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2018届高中数学人教A版解三角形单元测试(Word版,含答案)11

2017-2018学年度xx学校xx月考卷

一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)

1.若三角形三边长之比是1∶∶2，则其所对角之比是()

A． 1∶2∶3

B． 1∶∶2

C． 1∶∶

D．∶∶2

2.在△ABC中，如果sin A sin B＋sin A cos B＋cos A sin B＋cos A cos B＝2，则△ABC是()

A．等边三角形

B．钝角三角形

C．等腰直角三角形

D．直角三角形

3.在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC等于()

A． 4

B． 2

C．

D．

4.已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为()

A． 9

B． 18

C． 9

D． 18

5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为

()

A．

B．

C．或

D．或

6.在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，a∶b∶c＝3∶3∶5，则等于() A．－

B．－

C．

D．不是常数

7.在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于()

A． 12

B．

C． 28

D． 6

8.如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则该建筑物的高度为()

A． (30＋30)m

B． (30＋15)m

C． (15＋30)m

D． (15＋15)m

9.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A等于() A．

B．

C．

D．

10.在△ABC中，AB＝，A＝45°，C＝75°，则BC等于()

A．

B． 3－

C． 2

D． 3＋

11.在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°，60°，则塔高为()

A．m

B．m

C．m

D．m

12.△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为()

A．

B．

C．

D． 9

二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)

13.在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________.

14.如图，已知梯形ABCD中，CD＝2，AC＝，∠BAD＝60°，则梯形的高为________．

15.在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝________，sin A＝________.

16.在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则sin A＝________.

三、解答题(共6小题,每小题12.0分,共72分)

17.某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．

18.在△ABC中，已知sin B＝cos A sin C，·＝9，又△ABC的面积等于6.

(1)求C；

(2)求△ABC的三边长．

19.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(sin C，sin B cos A)，n＝(b,2c)，且m·n＝0.

(1)求A；

(2)若a＝2，c＝2，求△ABC的面积S.

20.在△ABC中，且·＝S △ABC(其中S△ABC为△ABC的面积)．

(1)求sin2＋cos 2A的值；

(2) 若b＝2，S△ABC＝3，求a的值．

21.已知A、B、C是△ABC的三个内角，a、b、c为其对应边，向量m＝(－1，)，n＝(cos A，

sin A)，m·n＝1.

(1)求A；

(2)若＝(2,1)，＝，求△ABC的面积S. 22.在△ABC中，

(1)已知A＝45°，a＝2，b＝，求B；

(2)已知A＝30°，a＝5，c＝10，求B，C及b.

答案解析1.【答案】A

【解析】设三边长分别为a，a,2a(a>0)，

设最大角为A，

则cos A＝＝0，∴A＝90°.

设最小角为B，

则cos B＝＝，

∴B＝30°，∴C＝60°.

因此三角之比为1∶2∶3.

2.【答案】C

【解析】由已知，得cos(A－B)＋sin(A＋B)＝2，

又|cos(A－B)|≤1，|sin(A＋B)|≤1，

故cos(A－B)＝1且sin(A＋B)＝1，

即A＝B且A＋B＝90°，故选C.

3.【答案】B

【解析】利用正弦定理解三角形．

在△ABC中，＝，

∴AC＝＝＝2.

4.【答案】C

【解析】∵∠A＝30°，∠B＝120°，∴∠C＝30°，

∴BA＝BC＝6，

∴S △ABC＝·BA·BC·sin B

＝×6×6×＝9.

5.【答案】D

【解析】依题意得，·tan B＝，

∴sin B＝，∴B＝或B＝，选D.

6.【答案】C

【解析】根据正弦定理,＝＝－＝－＝，故选C.

7.【答案】D

【解析】由题意得，cos A＝＝＝，

∴A＝60°，

∴S △ABC＝bc sin A＝×3×8×＝6.

8.【答案】A

【解析】在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°

＝×－×＝，

由正弦定理，得＝，

所以PB＝＝30(＋)(m)．

所以建筑物的高度为PB sin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)m.

9.【答案】C

【解析】在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，

∵b＝c，∴a2＝2b2(1－cos A)，又∵a2＝2b2(1－sin A)，

∴cos A＝sin A，∴tan A＝1，

∵A∈(0，π)，∴A＝，故选C.

10.【答案】B

【解析】由正弦定理，得

BC＝＝＝＝＝3－.

11.【答案】A

【解析】如图所示，

山高AB＝200 m，∠EBD＝30°，∠EBC＝60°，

∴∠ABC＝∠CBD＝30°，∴∠BDC＝120°.

在Rt△ABC中，BC＝＝(m)．

在△BCD中，＝，

∴CD＝＝(m)．

12.【答案】B

【解析】设另一条边为x，则x2＝22＋32－2×2×3×，∴x2＝9，∴x＝3.设两边的夹角为θ，cosθ＝，

则sinθ＝.

∴2R＝＝＝.

13.【答案】3

高中解三角形题型大汇总

解三角形题型总结题型一：正选定理的应用 1. ABC ?的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a b c 、、，若,2a A B ==，则cos _____B = B. C. D. 2. 如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则（） A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 ( ) C a A c b cos cos 3=-，则 =A cos _________________。 4.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=a b A ． B ． C D 5.ABC ?中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（） A ． 33sin 34+??? ? ?+πB B ． 36sin 34+??? ??+πB C ．33sin 6+??? ??+πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 6. 在ABC ?中，已知3,1,60===?ABC S b A o ，则=++++C B A c b a sin sin sin 7.设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35 cos ,cos ,3,513 A B b = ==则c =______

高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题1

解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2 ＋b 2 ＝c 2 。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝ c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式：（1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.

高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1

实用标准

—tanC。

例 1 ? (1 )在 ABC 中，已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800，所以 B 640，或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3，求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中，已知 a 20 cm ， b 28 cm ， 40°，解三角形（角度精确到 10，边长精确到 1cm ) o 解：（1 ）根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ；根据正弦定理，b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm)；根据正弦定理，c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 （2 ）根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ，解三角形; ①当 B 640 时， C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。例2 ?在ABC 中， sin A cos A

si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二：由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6

高中数学解三角形方法大全

解三角形的方法 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形。以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立：（1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边）（2）角的关系：π=++C B A ，π<A ， C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+，2 cos 2sin C B A =+ （3）边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形板块一：正弦定理及其应用 1．正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===，其中R 为AB C ?的外接圆半径 2．正弦定理适用于两类解三角形问题：（1）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边；（2）已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解

总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能如图，在ABC ?中，已知a 、b 、A （1）若A 为钝角或直角，则当b a >时，ABC ?有唯一解；否则无解。（2）若A 为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解；当A b a sin =时，三角形有唯一解；当b a A b <

(完整版)高中数学必修五解三角形测试题及答案

（数学5必修）第一章：解三角形 [基础训练A 组] 一、选择题 1．在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -等于（） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ． A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（） A ．2 B ． 2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-= AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。三、解答题 1．在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？

高中数学论文应用三角形的面积巧解竞赛题

应用三角形的面积巧解竞赛题三角形是几何中最基本的多边形。在求其它多边形问题时，经常把多边形问题化归成三角形问题来求解。特别是三角形的面积，在解题中更是应用广泛。下面就举例说明。一、知识点回顾：三角形的面积公式：三角形的面积等于底乘以其边上的高的一半。性质： 1、等底同高的两个三角形，面积相等。 2、同底等高的两个三角形，面积相等。 3、等底等高的两个三角形，面积相等。请同学们仔细体会解题过程中的“设而不求”的奇妙。二、应用举例例1、如图1所示，矩形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点P 在矩形ABCD 内．若AB ＝4cm ，BC ＝6cm ，AE ＝CG ＝3cm ，BF ＝DH ＝4cm ，四边形AEPH 的面积为5cm 2 ，则四边形PFCG 的面积为_________cm 2 ．08年浙江省初中数学竞赛初赛试题解法1、如图2所示，连接EH 、HG 、GF 、FE ，在矩形ABCD 中，因为，DH=BF ，BE=DG ，∠B=∠D ，所以，△BEF ≌△DGH ，所以，EF=GH ，同理可证，△AEH ≌△CFG ，所以，EH=GF ，所以，四边形EFGH 是平行四边形，因为， S △AEH = 21×AE ×AH=21 ×2×3=3= S △CFG ， S △DGH =21×DH ×GH=2 1 ×4×1=2 =S △DGH ，所以, S 四边形EFGH =24-2(3+2)=14,

所以，S △EPH + S △PGF =7，因为，四边形AEPH 的面积为5cm 2 ，所以，S △EPH =2，所以，S △PGF =5，所以，S △PGF + S △CFG =5+3=8，即四边形PFCG 的面积为8cm 2 。解法2、如图3所示，连接PA 、PC ，过点P 分别作MN ∥AB ，交AD 于点M ，交BC 于点N ； OR ∥BC ，交AB 于点O ，交DC 于点R ，则四边形ABNM 、四边形OBCR 都是矩形，设PM=x ，PN=4-x ，PO=y ，PR=6-y ，因为， S △PAH = 21×PM ×AH=21 ×2×x=x ， S △PAE =21×AE ×PO=21×3×y=2 3 y ，因为，四边形AEPH 的面积为5cm 2 ，所以,x+2 3 y=5， S △PFC = 21×FC ×PN=21 ×2×(4-x)= 4-x ， S △PCG =21×CG ×PR=21×3×(6-y)=9-2 3 y ，因为，四边形PFCG 的面积= S △PFC+ S △PCG =4-x+9-2 3 y =13-（x+ 2 3 y ）=13-5=8，即四边形PFCG 的面积为8cm 2 。解法2、如图3所示，连接PA 、PC ，过点P 分别作MN ∥AB ，交AD 于点M ，交BC 于点N ； OR ∥BC ，交AB 于点O ，交DC 于点R ，则四边形ABNM 、四边形OBCR 都是矩形，设PM=x ，PN=4-x ，PO=y ，PR=6-y ，因为， S △PAH = 21×PM ×AH=21 ×2×x=x ， S △PAE =21×AE ×PO=21×3×y=2 3 y ，

高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题

第一章解三角形 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有： 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④ sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ．注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。 2、已知两角和一边，求其余的量。 ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把a 扰着C 当无交点则B 无解、当有一个交点则B 有一解、当有两个交点则B 有两个解。法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况：当ab 时，B 有一解

注：当A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式： 111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ?AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ， 2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论： 222 cos 2b c a bc +-A =， 222 cos 2a c b ac +-B =， 222 cos 2a b c C ab +-=． (余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角) 6、如何判断三角形的形状：设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >． 7、正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A 、B, C 并测得∠ACB=75O , ∠BCD=45O , ∠ADC=30O ,

高中数学解三角形最值

高中数学解三角形最值 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2 三角形中的最值（或范围）问题解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化，正弦余弦定理等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。其实，这一部分的最值问题解决的方法一般有两种：一是建立目标函数后，利用三角函数的有界性来解决，二是也可以利用重要不等式来解决。类型一：建立目标函数后，利用三角函数有界性来解决例1．在△ABC 中， ,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且2asinA =（2b+c ）sinB+（2c+b ）sinC. (1) 求角A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值. 变式1：已知向量(,)m a c b =+，(,)n a c b a =--，且0m n ?=，其中,,A B C 是△ABC 的内角，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边. (1) 求角C 的大小；（2）求sin sin A B +的最大值. 解：由m n ?=()a c +()()0a c b b a -+-=，得a 2+b 2—c 2=ab=2abcosC 所以cosC=21 ，从而C=60 故sin sin sin sin(120)O A B A A +=+-=3sin(60 +A) 所以当A=30 时，sin sin A B +的最大值是3 变式2．已知半径为R 的圆O 的内接⊿ABC 中，若有2R （sin 2A —sin 2C ）=（2a —b ）sinB 成立，试求⊿ABC 的面积S 的最大值。解：根据题意得：

【高中数学】解三角形的知识总结和题型归纳

解三角形的知识总结和题型归纳一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式：（1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面【高中数学】

【高中数学】解三角形基本题型

解三角形解三角形正弦定理的基本运用 1、 △A BC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为。 2、在△ABC 中，b cos A =a cos B ，则三角形为。 3、已知△ABC 中，a =10,B =60°,C =45°，则c = 。 4、在△ABC 中，已知150,350,30==?=c b B ，那么这个三角形是。 5、在ABC ?中，?===452232B b a ，，，则A 为。 6、在△ABC 中，A =60°，C =45°，b =2，则此三角形的最小边长为。

余弦定理的基本运用 1、在△ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则A 等于。 2、已知△ABC 的面积2,32,3===b a S ，解此三角形。 3、在△ABC 中，1326+===c b a ，，，求A 、B 、C 。 4、在△ABC 中，化简b cos C +c cos B = 。 5、在△ABC 中，化简 ) cos cos cos (222c C b B a A c b a abc ++++。正余弦定理的综合运用 1、已知在△ABC 中，c =10，A =45°，C =30°，求a 、b 和 B 。 2、在△ABC 中，c =22，tan A =3,tan B =2,试求a 、b 及此三角形的面积。 3、在△ABC 中，a =2，A =30°,C =45°，则△ABC 的面积S △ABC 等于。

4、已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为。 5、△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为3,则△ABC外接圆的直径为。 6、在△ABC中，BC=3，AB=2，且 )1 6 ( 5 2 sin sin + = B C ，A=。

高中数学解三角形题型完整归纳

高中数学解三角形题型目录一．正弦定理 1.角角边 2.边边角 3.与三角公式结合 4.正弦定理与三角形增解的应对措施 5.边化角 6.正弦角化边二．余弦定理 1.边边边 2.边角边 3.边边角 4.与三角公式结合 5.比例问题 6.余弦角化边 7.边化余弦角三．三角形的面积公式 1.面积公式的选用 2.面积的计算 3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用四．射影定理五．正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合 2.与平面向量结合 3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状 4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角 (2)最长(短)边 (3)边长或周长的最值

(4)面积的最值 (5)有关正弦或余弦或正切角等的最值 (6)基本不等式与余弦定理交汇 (7)与二次函数交汇六．图形问题 1.三角形内角之和和外角问题 2.三角形角平分线问题 3.三角形中线问题 4.三角形中多次使用正、余弦定理 5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用 6.四边形与正、余弦定理六．解三角形的实际应用 1.利用正弦定理求解实际应用问题 2.利用余弦定理求解实际应用问题 3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题一．正弦定理 1.角角边 ?=?=?= 例.在中,解三角形 ABC A B a 30,45,2,. ?=?=?== 练习1.在中则 ABC A B a c ,30,45, . 练习2.在中,已知45,,求 ?=?=?= 30. ABC C A a b 2.边边角例中，解这个三角形?===? ABC a .45,. 练习1中,则 ?==+== . 1,2,sin ABC a b A C B C 练习2.中则 ?===?= ,3,60,_____ ABC c b C A

高中数学解三角形练习及详细答案

解三角形练习题一：在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝(). A．43B．2 3 C. 3 D. 3 2 题二：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝23，c＝22，1＋tan A tan B＝ 2c b，则C ＝(). A．30°B．45° C．45°或135°D．60° 题三：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b＝2a sin B，则角A的大小为________．题四：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cos A－a cos C＝0.求角A的大小. 题五：在△ABC中，内角A，B，C依次成等差数列，AB＝8，BC＝5，则△ABC外接圆的面积为________．题六：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan A＋tan C)＝tan A tan C. 求证：a，b，c成等比数列. 题七：某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港

口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇． (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．题八：如图，在△ABC中，已知B＝π 3，AC＝43，D为BC边上一点．若AB＝AD，则△ADC的周长的最大值为________．题九：如图，在△ABC中，点D在BC边上，AD＝33，sin∠BAD＝5 13，cos∠ADC＝ 3 5. (1)求sin∠ABD的值； (2)求BD的长．题十：如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)(). A．2.7 m B．17.3 m C．37.3 m D．373 m 题十一：在△ABC中，若sin2A＋sin2B < sin2C，则△ABC的形状是(). A．锐角三角形B．直角三角形

高中数学专题练习：解三角形问题

高中数学专题练习:解三角形问题 [题型分析·高考展望]正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角形问题是高考每年必考的热点问题之一.命题的重点主要有三个方面：一是以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形状等;二是以实际生活为背景，考查解三角形问题;三是与其他知识的交汇性问题，此类试题一直是命题的重点和热点. 常考题型精析题型一活用正弦、余弦定理求解三角形问题例1(1)(·广东)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝23， cos A＝ 3 2且b

点评在根据正弦、余弦定理解三角形问题中，要结合大边对大角进行判断.一般地，斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，有两解，已知大角求小角有一解;在解三角形问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止增解等扩大范围的现象发生. 变式训练1(·课标全国Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC. (1)求sin B sin C; (2)若∠BAC＝60°，求B. 题型二正弦、余弦定理的实际应用例2如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为 1 260 m，经测量cos A＝12 13，cos C＝ 3 5.

椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复习)

椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复习) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

椭圆焦点三角形面积公式的应用性质1(选填题课直接用，大题需论证): 在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2 tan 221θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得 .4)(,2222121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得：2(cos 2212 22 1r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . .2 tan 221θ b S PF F =∴? 同理可证，在椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 典型例题例1 若P 是椭圆 164 1002 2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积. 例2 已知P 是椭圆 19252 2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若2 1 | |||2121= ?PF PF ，则△21PF F 的面积为（）

解三角形最值问题

三角形最值问题课前强化 1．在△ABC 中，已知0 45,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是 ( ) Ａ.222 ＜x＜Ｂ．222≤＜x Ｃ．2x ＞Ｄ．2x ＜ 2．△ABC 中，若sinA ：sinB ：sinC=m ：(m+1)：2m, 则m 的取值范围是（）Ａ．（０，＋∞）Ｂ．（ 2 1，＋∞）Ｃ．（１，＋∞）Ｄ．（２，＋∞） 3．在△ABC 中，A 为锐角，lg b +lg(c 1)=lgsin A =－lg 2, 则△ABC 为（） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 4．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）Ａ．0 075,45,10===C A b Ｂ．080,5,7===A b a Ｃ．060,48,60===C b a Ｄ．045,16,14===A b a 5．△ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,) p a c b =+ (,)q b a c a =-- ,若//p q ,则角C 的大小为 (A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23 π 6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定最值范围问题： 7、在ABC ?中，角所对的边分别为且满足（I ）求角的大小；（II ）求)cos(sin 3C B A +-的最大值，并求取得最大值时角的大小． ,,A B C ,,a b c sin cos .c A a C =C ,A B

(word完整版)高中数学解三角形练习题

解三角形卷一一．选择题 1．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为 A ．23 B ．－23 C ．14 D ．－14 2、在ABC △中，已知4,6a b ==，60B =o ，则sin A 的值为 A 、3 B 、2 C 、3 D 、2 3、在ABC △中，::1:2:3A B C =，则sin :sin :sin A B C = A 、1:2:3 B 、 C 、 D 、2 4、在ABC △中，sin :sin :sin 4:3:2A B C =，那么cos C 的值为 A 、14 B 、14- C 、78 D 、1116 5、在ABC △中，13,34,7===c b a ，则最小角为 A 、3π B 、6π C 、4 π D 、12π 6、在ABC △中，60,16,A b ==o 面积3220=S ，则c = A 、610 B 、75 C 、55 D 、49 7、在ABC △中，()()()a c a c b b c +-=+，则A = A 、30o B 、60o C 、120o D 、150o 8、在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是 A 、10,45,70b A C ===o o B 、60,48,60a c B ===o C 、7,5,80a b A ===o D 、14,16,45a b A ===o 二、填空题。 9．在△ABC 中，a ，b 分别是∠A 和∠B 所对的边，若a ＝3，b ＝1，∠B ＝30°，则∠A 的值是． 10．在△ABC 中，已知sin B sin C ＝cos 22 A ，则此三角形是__________三角形． 11. 在△ABC 中，∠A 最大，∠C 最小，且∠A ＝2∠C ，a ＋c ＝2b ，求此三角形三边之比为．

必修五-解三角形-题型归纳

一．构成三角形个数问题 1．在ABC ?中，已知,2,45a x b B === ，如果三角形有两解，则x 的取值范围是（） A ．． D.02x << 2．如果满足 60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是__________． 3．在ABC ?中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）二．求边长问题 4．在ABC ?中，角,,A B C 所对边,,a b c ，若03,120a C ==，ABC ?的面积则c =（） A ．5 B ．6 C ．7 5．在△ABC 中，01,45,2ABC a B S ?===，则b =_______________. 三．求夹角问题 6．在ABC ?中，，则=∠BAC sin （） A

7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别S c b a ,,,为表示△ABC 的面积，若 ,sin cos cos C c A b B a =+ B=( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30° 四．求面积问题 8．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为c b a ,,.若2cos ,,13 a b A B c π ===，则 △ABC 的面积等于（） 9．锐角ABC ?中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，已知（Ⅰ）求C sin 的值；（Ⅱ）当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 的长及ABC ?的面积． 10．如图，在四边形ABCD 中，（1）求AD 边的长；（2）求ABC ?的面积．

高中数学解三角形最值或范围-含答案

解三角形最值或范围1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a -c b =cos C cos B ，b =2．（1）求B ；（2）求△ABC 的面积的最大值．【解】（1）由2a -c b =cos C cos B ，结合正弦定理可得（2sin A -sin C ）cos B =sin B cos C ， ∴2sin A cos B ﹣sin C cos B =sin B cos C ， ∴2sin A cos B =sin C cos B +sin B cos C =sin （B +C ）=sin A ，得cos B =12 ，∵B ∈（0,π），∴B =π3 ；（2）若b =2，由余弦定理得：4=a 2+c 2-2ac ?cos π3 ，即a 2+c 2﹣ac =4，又a 2+c 2﹣ac ≥2ac ﹣ac =ac ，即ac ≤4．∴△ABC 的面积的最大值为S =12 ac ?sin B =12 ×4×3 2 =3 ．2.在锐角△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a sin B -3 2 b =0．（1）求角A 的大小；（2）若a =4，求△ABC 面积的最大值．【解】（1）因为a sin B -3 2 b =0，所以sin A sin B -3 2 sin B =0，又sin B ≠0，所以sin A =3 2 ，即A =60°．（2）因为a 2=b 2+c 2﹣2bc cos A ，A =60°，a =4，所以16=b 2+c 2-2bc ×12 =b 2+c 2-bc ，所以16≥2bc ﹣bc =bc ，即bc ≤16（当且仅当b =c =4时取等号），故S △ABC =12 bc sin A ≤12 ×16×sin60°=43 ．△ABC 面积的最大值：43 ． 3.在△ABC 中，a =2，2cos2A +3=4cos A ．（1）求角A 的大小（2）求△ABC 的周长L 的取值范围【解】（1）因为2cos2A +3=4cos A ，所以2cos 2A +12 =2cos A ，所以4cos 2A ﹣4cos A +1=0，所以cos A =12 ，又因为0

正余弦定理的应用三角形面积公式定理公开课一等奖

正余弦定理的应用——三角形面积公式一、教学内容解析本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学5》第一章1.2节。 1.教材内容本节内容是正弦定理与余弦定理知识的延续，借助正弦定理和余弦定理，进一步解决一些有关三角形面积的计算。教材中先结合已知三角形面积公式推导新的三角形面积公式，然后借助正弦定理和余弦定理求三角形面积，最后给出三角形面积实际问题的求解过程。 2.教学内容的知识类型在本课教学内容中，包含了四种知识类型。三角形面积公式的相关概念属于概念性知识，三角形面积公式的符号语言表述属于事实性知识，利用正弦定理和余弦定理求解三角形面积的步骤属于程序性知识，发现问题——提出问题——解决问题的研究模式，以及从直观到抽象的研究问题的一般方法，属于元认知知识。 3.思维教学资源与价值观教育资源已知三角形两边及其夹角求三角形面积的探索过程能引发提出问题——分析问题——解决问题的研究思维；生活实际问题求解三角形面积，是培养数学建模思想的好契机；引出海伦公式和秦九韶“三斜求积”公式，激发学生学习数学的兴趣，探究数学史材料，培养学生对数学的喜爱。二、学生学情分析主要从学生已有基础进行分析。 1.认知基础：从学生知识最近发展区来看，学生在初中已经学习过用底和高表示的三角形面积公式，并且掌握直角三角形中边和角的关系。现在进一步探究两边及其夹角表示的面积公式符合学生的认知规律。此外在前面两节的学习中学生已经掌握了正余弦定理，这为求解三角形的边和角打下了坚持基础。 2.非认知基础：通过小学、初中和高中阶段三角函数和应用题的学习，学生具有一定的分析问题、类比归纳、符号表示的能力。具备相当的日常生活经验，能够从实际问题抽象出数学问题并建立数学模型解决问题。三、教学策略选择

2018届高中数学人教A版 解三角形单元测试(Word版,含答案)11