高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第13节导数的综合应用第一课时练习新人教A版
第二章 第13节 导数的综合应用 第一课时
1．(导学号14577225)(2018·银川市模拟)设f (x )＝x ln x ＋ax 2
，a 为常数． (1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线过点A (0，－2)，求实数a 的值； (2)若f (x )有两个极值点x 1，x 2且x 1＜x 2 ①求证：－1
2
＜a ＜0
②求证：f (x 2)＞f (x 1)＞－1
2
.
解：(1)f (x )＝x ln x ＋ax 2
的导数为f ′(x )＝ln x ＋1＋2ax ， 在x ＝1处的切线斜率为k ＝1＋2a ，切点为(1，a )， 在x ＝1处的切线过点A (0，－2)，则k ＝1＋2a ＝a ＋2， 解得a ＝1；
(2)证明：①由题意可得f ′(x )＝0有两个不等的实根x 1，x 2，且0＜x 1＜x 2， 设g (x )＝ln x ＋1＋2ax ，g ′(x )＝1
x
＋2a ，x ＞0.
当a ≥0，则g ′(x )＞0，g (x )在(0，＋∞)递增，不合题意； 当a ＜0时，g ′(x )＞0解得x ＜－12a ，g ′(x )＜0解得x ＞－1
2a ，
即有g (x )在? ????0，－12a 递增，在? ????－12a ，＋∞递减．
即有g ? ????－12a ＝ln ? ????－12a ＞0，解得－12＜a ＜0；
②由上可知，f (x )在(x 1，x 2)递增，即有f (x 2)＞f (x 1)，
f ′(1)＝
g (1)＝1＋2a ＞0，则x 1∈(0,1)，由①可得ax 1＝
－1－ln x 1
2
， 即有f (x 1)＝x 1ln x 1＋ax 2
1＝12(x 1ln x 1－x 1)，
设h (x )＝1
2
(x ln x －x )，0＜x ＜1，
h ′(x )＝12
ln x ＜0在(0,1)恒成立，
故h (x )在(0,1)递减，故h (x )＞h (1)＝－1
2，
由此可得f (x 1)＞－1
2
，
综上可得f (x 2)＞f (x 1)＞－1
2
.1．(导学号14577225)(2018·银川市模拟)设f (x )＝x ln
x ＋ax 2，a 为常数．
(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线过点A (0，－2)，求实数a 的值； (2)若f (x )有两个极值点x 1，x 2且x 1＜x 2 ①求证：－1
2
＜a ＜0
②求证：f (x 2)＞f (x 1)＞－1
2
.
解：(1)f (x )＝x ln x ＋ax 2
的导数为f ′(x )＝ln x ＋1＋2ax ， 在x ＝1处的切线斜率为k ＝1＋2a ，切点为(1，a )， 在x ＝1处的切线过点A (0，－2)，则k ＝1＋2a ＝a ＋2， 解得a ＝1；
(2)证明：①由题意可得f ′(x )＝0有两个不等的实根x 1，x 2，且0＜x 1＜x 2， 设g (x )＝ln x ＋1＋2ax ，g ′(x )＝1
x
＋2a ，x ＞0.
当a ≥0，则g ′(x )＞0，g (x )在(0，＋∞)递增，不合题意； 当a ＜0时，g ′(x )＞0解得x ＜－12a ，g ′(x )＜0解得x ＞－1
2a ，
即有g (x )在? ????0，－12a 递增，在? ????－12a ，＋∞递减．
即有g ? ????－12a ＝ln ? ????－12a ＞0，解得－12＜a ＜0；
②由上可知，f (x )在(x 1，x 2)递增，即有f (x 2)＞f (x 1)，
f ′(1)＝
g (1)＝1＋2a ＞0，则x 1∈(0,1)，由①可得ax 1＝
－1－ln x 1
2
， 即有f (x 1)＝x 1ln x 1＋ax 2
1＝12(x 1ln x 1－x 1)，
设h (x )＝1
2
(x ln x －x )，0＜x ＜1，
h ′(x )＝12
ln x ＜0在(0,1)恒成立，
故h (x )在(0,1)递减，故h (x )＞h (1)＝－1
2，
由此可得f (x 1)＞－1
2，
综上可得f (x 2)＞f (x 1)＞－1
2
.
2．(导学号14577226)已知函数f (x )＝x ln x ＋mx (m ∈R )的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为2.
(1)求实数m 的值； (2)设g (x )＝
f x －x
x －1
，讨论g (x )的单调性；
(3)已知m ，n ∈N *
且m >n >1，证明
m
n n m >n m . 解：(1)因为f (x )＝x ln x ＋mx ，所以f ′(x )＝1＋ln x ＋m . 由题意f ′(1)＝1＋ln 1＋m ＝2，得m ＝1. (2)g (x )＝
f x －x x －1＝x ln x
x －1
(x >0，x ≠1)，
所以g ′(x )＝
x －1－ln x
x －2
.
设h (x )＝x －1－ln x ，h ′(x )＝1－1
x
. 当x >1时，h ′(x )＝1－1
x
>0，h (x )是增函数，
h (x )>h (1)＝0，
所以g ′(x )＝
x －1－ln x
x －12
>0，
故g (x )在(1，＋∞)上为增函数；
当0 x <0，h (x )是减函数， h (x )>h (1)＝0， 所以g ′(x )＝ x －1－ln x x －2 >0，故g (x )在(0,1)上为增函数； 所以g (x )在区间(0,1)和(1，＋∞)上都是单调递增的． (3)证明：由已知可知要证 m n n m >n m ， 即证ln n m －ln m n >ln n －ln m ， 即证n －1n ln m >m －1 m ln n ， 即证 m ln m m －1>n ln n n －1 ，即证g (m )>g (n )， 又m >n >1(m ，n ∈N * )，由(2)知g (m )>g (n )成立，所以 m n n m >n m . 3．(导学号14577227)(理科)函数f (x )＝ln(x ＋m )－n ln x . (1)当m ＝1，n ＞0时，求f (x )的单调减区间； (2)n ＝1时，函数g (x )＝(m ＋2x )f (x )－am ，若存在m ＞0，使得g (x )＞0恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )＝ln(x ＋1)－n ln x ，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋1－n x ＝－n x －n x x ＋ ， ①当n ＝1时，f ′(x )＝ －1 x x ＋ ＜0，此时f (x )的单调减区间为(0，＋∞)； ②当0＜n ＜1时，0＜x ＜ n 1－n 时，f ′(x )＜0，此时f (x )的单调减区间为? ? ? ?? 0，n 1－n ； ③当n ＞1时，x ＞n 1－n 时，f ′(x )＜0，此时减区间为? ?? ??n 1－n ，＋∞. (2)n ＝1时，g (x )＝(m ＋2x )[ln(x ＋m )－ln x ]－am ， ∵g (x )＞0，∴g x x ＞0，即? ????m ＋x x ＋1ln m ＋x x －a ? ?? ??m ＋x x －1＞0， 设 m ＋x x ＝t ＞1，∴(t ＋1)ln t －a (t －1)＞0，∴ln t －a t － t ＋1 ＞0. 设h (t )＝ln t － a t －t ＋1 ，h ′(t )＝t 2＋－a t ＋1 t t ＋2 ，h (1)＝0， ①当a ≤2时，t 2 ＋2(1－a )t ＋1≥t 2 －2t ＋1＞0，故h ′(t )＞0，∴h (t )在(1，＋∞)上单调递增，因此h (t )＞0； ②当a ＞2时，令h ′(t )＝0，得：t 1＝a －1－ a － 2 －1，t 2＝a －1＋a －12－1， 由t 2＞1和t 1t 2＝1，得：t 1＜1，故h (t )在(1，t 2)上单调递减，此时h (t )＜h (1)＝0.综上所述，a ≤2. 3．(文科)(2018·西安市三模)已知函数f (x )＝x 2 ＋6ax ＋1，g (x )＝8a 2 ln x ＋2b ＋1，其中a ＞0. (1)设两曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在该点处的切线相同，用a 表示b ，并求 b 的最大值； (2)设h (x )＝f (x )＋g (x )，证明：若a ≥1，则对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2，有 h x 2－h x 1 x 2－x 1 >14. 解：(1)：设f (x )与g (x )的图象交于点P (x 0，y 0)(x 0＞0)， 则有f (x 0)＝g (x 0)， 即x 20＋6ax 0＋1＝8a 2 ln x 0＋2b ＋1 ① 又由题意知f ′(x 0)＝g ′(x 0)，即2x 0＋6a ＝8a 2 x 0 ②， 由②解得x 0＝a 或x 0＝－4a (舍去)， 将x 0＝a 代入①整理得b ＝72 a 2－4a 2 ln a ， 令K (a )＝72a 2－4a 2 ln a ，则K ′(a )＝a (3－8ln a )， 当a ∈?? ??0，8 e 3 时，K (a )单调递增，当a ∈??? ?8e 3，＋∞时K (a )单调递减， 所以K (a )≤K (8e 3 )＝2e 34，即b ≤2e 34 ， b 的最大值为2e 3 4 ； (2)证明：不妨设x 1，x 2∈(0，＋∞)， x 1＜x 2，h x 2－h x 1 x 2－x 1 >14， 变形得h (x 2)－14x 2＞h (x 1)－14x 1， 令T (x )＝h (x )－14x ，T ′(x )＝2x ＋8a 2 x ＋6a －14， ∵a ≥1，T ′(x )＝2x ＋8a 2 x ＋6a －14≥8a ＋6a －14≥0， 则T (x )在(0，＋∞)上单调递增，T (x 2)＞T (x 1)， 即 h x 2－h x 1 x 2－x 1 >14成立， 同理可证，当x 1＞x 2时，命题也成立． 综上，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2， 不等式 h x 2－h x 1 x 2－x 1 >14成立． 4．(导学号14577229)(理科)(2018·大庆市一模)已知函数f (x )＝ln (x ＋a )－x 2 －x 在x ＝0处取得极值． (1)求函数f (x )的单调区间； (2)若关于x 的方程f (x )＝－5 2x ＋b 在区间(0,2)有两个不等实根，求实数b 的取值范围； (3)对于n ∈N * ，证明：212＋322＋432＋…＋n ＋1n 2>ln(n ＋1)． 解：(1)由已知得f ′(x )＝ 1x ＋a －2x －1＝1－2x x ＋a － x ＋a x ＋a ， ∵f ′(0)＝0，∴1－a a ＝0， ∴a ＝1. ∴f (x )＝ln (x ＋1)－x 2 －x (x ＞－1)， 于是f ′(x )＝ 1－2x x ＋－x ＋ x ＋1 ＝－2x ? ????x ＋32x ＋1 (x ＞－1)， 由f ′(x )＞0得－1＜x ＜0；由f ′(x )＜0，得x ＞0， ∴f (x )的单调递增区间是(－1,0)，单调递减区间是(0，＋∞)． (2)令g (x )＝f (x )－? ?? ??－52x ＋b ＝ln (x ＋1)－x 2 ＋32x －b ，x ∈(0,2)， 则g ′(x )＝1x ＋1－2x ＋32＝－4x 2 ＋x －5x ＋，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－5 4(舍去)． 当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当1＜x ＜2时g ′(x )＜0， 即g (x )在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． 方程f (x )＝－5 2x ＋b 在区间(0,2)有两个不等实根等价于函数g (x )在(0,2)上有两个不 同的零点． ∴????? g g g ，即????? －b <0 ln 2＋1 2 －b >0 ln 3－1－b >0 ；亦即????? b >0 b 12 b >ln 3－1 ， ∴ln 3－1＜b ＜ln 2＋1 2， 故所求实数b 的取值范围为 ? ?????b |ln 3－1＜b ＜ln 2＋12. (3)证明：由(1)可得，当x ≥0时ln (x ＋1)≤x 2 ＋x (当且仅当x ＝0时等号成立)． 设x ＝1n ，则ln ? ????1＋1n ＜1n 2＋1 n ，即ln n ＋1n ＜n ＋1n 2 ① ∴22 12＞ln 21，322＞ln 32，432＞ln 43，…，n ＋1n 2＞ln n ＋1n ， 将上面n 个式子相加得： 22 1＋32＋43＋…＋n ＋1n ＞ln 21＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n ＋1 n ＝ln (n ＋1)， 故212＋322＋432＋…＋n ＋1 n 2>ln(n ＋1) 4．(导学号14577230)(文科)(2018·天津河北区三模)已知函数f (x )＝ax ＋b －ln x 表示的曲线在点(2，f (2))处的切线方程x －2y －2ln 2＝0 (1)求a ，b 的值； (2)若f (x )≥kx －2对于x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数k 的取值范围； (3)求证：n ∈N * 时，n (n ＋1)≤2e n －1 e －1 . 解：(1)函数f (x )＝ax ＋b －ln x 的导数为f ′(x )＝a －1 x ，在点(2，f (2))处的切线方 程x －2y －2ln 2＝0， 即有a －12＝1 2 ，解得a ＝1， f (2)＝2a ＋b －ln 2＝1－ln 2，解得b ＝－1， 则有a ＝1，b ＝－1； (2)f (x )≥kx －2对于x ∈(0，＋∞)恒成立，即有 x －1－ln x ≥kx －2对于x ∈(0，＋∞)恒成立， 即有k －1≤1－ln x x 对于x ∈(0，＋∞)恒成立． 令g (x )＝1－ln x x ，g ′(x )＝ln x －2x 2 ， 当x ＞e 2 时，g ′(x )＞0，g (x )递增； 当0＜x ＜e 2 时，g ′(x )＜0，g (x )递减． 则x ＝e 2 处g (x )取得极小值，也为最小值，且为－1e 2， 即有k －1≤－1e 2，解得k ≤1－1 e 2； (3)证明：f (x )＝x －1－ln x (x ＞0)， f ′(x )＝1－1 x ， 当x ＞1时，f ′(x )＞0，f (x )递增， 当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，f (x )递减． 则x ＝1处f (x )取得极小值，也为最小值，且为0， 则有f (x )≥0， 即为x －1≥ln x ， 取x ＝n ，则n －1≥ln n ， 即有n ≤e n －1 . 即有1＋2＋…＋n ≤1＋e ＋e 2 ＋…＋e n －1 . 则有12n (n ＋1)≤1－e n 1－e ， 即有n ∈N * 时，n (n ＋1)≤2e n －1e －1 . 2．(导学号14577226)已知函数f (x )＝x ln x ＋mx (m ∈R )的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为2. (1)求实数m 的值； (2)设g (x )＝ f x －x x －1 ，讨论g (x )的单调性； (3)已知m ，n ∈N * 且m >n >1，证明 m n n m >n m . 解：(1)因为f (x )＝x ln x ＋mx ，所以f ′(x )＝1＋ln x ＋m . 由题意f ′(1)＝1＋ln 1＋m ＝2，得m ＝1. (2)g (x )＝ f x －x x －1＝x ln x x －1 (x >0，x ≠1)， 所以g ′(x )＝ x －1－ln x x －2 . 设h (x )＝x －1－ln x ，h ′(x )＝1－1 x . 当x >1时，h ′(x )＝1－1 x >0，h (x )是增函数， h (x )>h (1)＝0， 所以g ′(x )＝ x －1－ln x x －12 >0， 故g (x )在(1，＋∞)上为增函数； 当0 x <0，h (x )是减函数， h (x )>h (1)＝0， 所以g ′(x )＝ x －1－ln x x －2 >0，故g (x )在(0,1)上为增函数； 所以g (x )在区间(0,1)和(1，＋∞)上都是单调递增的． (3)证明：由已知可知要证 m n n m >n m ， 即证ln n m －ln m n >ln n －ln m ， 即证n －1n ln m >m －1 m ln n ， 即证 m ln m m －1>n ln n n －1 ，即证g (m )>g (n )， 又m >n >1(m ，n ∈N * )，由(2)知g (m )>g (n )成立，所以 m n n m >n m . 3．(导学号14577227)(理科)函数f (x )＝ln(x ＋m )－n ln x . (1)当m ＝1，n ＞0时，求f (x )的单调减区间； (2)n ＝1时，函数g (x )＝(m ＋2x )f (x )－am ，若存在m ＞0，使得g (x )＞0恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )＝ln(x ＋1)－n ln x ，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋1－n x ＝－n x －n x x ＋ ， ①当n ＝1时，f ′(x )＝ －1 x x ＋ ＜0，此时f (x )的单调减区间为(0，＋∞)； ②当0＜n ＜1时，0＜x ＜ n 1－n 时，f ′(x )＜0，此时f (x )的单调减区间为? ? ? ?? 0，n 1－n ； ③当n ＞1时，x ＞n 1－n 时，f ′(x )＜0，此时减区间为? ?? ??n 1－n ，＋∞. (2)n ＝1时，g (x )＝(m ＋2x )[ln(x ＋m )－ln x ]－am ， ∵g (x )＞0，∴g x x ＞0，即? ????m ＋x x ＋1ln m ＋x x －a ? ?? ??m ＋x x －1＞0， 设 m ＋x x ＝t ＞1，∴(t ＋1)ln t －a (t －1)＞0，∴ln t －a t － t ＋1 ＞0. 设h (t )＝ln t －a t －1t ＋1，h ′(t )＝t 2＋－a t ＋1t t ＋2 ，h (1)＝0， ①当a ≤2时，t 2 ＋2(1－a )t ＋1≥t 2 －2t ＋1＞0，故h ′(t )＞0，∴h (t )在(1，＋∞)上单调递增，因此h (t )＞0； ②当a ＞2时，令h ′(t )＝0，得：t 1＝a －1－ a － 2 －1，t 2＝a －1＋a －12－1， 由t 2＞1和t 1t 2＝1，得：t 1＜1，故h (t )在(1，t 2)上单调递减，此时h (t )＜h (1)＝0.综上所述，a ≤2. 3．(文科)(2018·西安市三模)已知函数f (x )＝x 2 ＋6ax ＋1，g (x )＝8a 2 ln x ＋2b ＋1，其中a ＞0. (1)设两曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在该点处的切线相同，用a 表示b ，并求 b 的最大值； (2)设h (x )＝f (x )＋g (x )，证明：若a ≥1，则对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2，有 h x 2－h x 1 x 2－x 1 >14. 解：(1)：设f (x )与g (x )的图象交于点P (x 0，y 0)(x 0＞0)， 则有f (x 0)＝g (x 0)， 即x 2 0＋6ax 0＋1＝8a 2 ln x 0＋2b ＋1 ① 又由题意知f ′(x 0)＝g ′(x 0)，即2x 0＋6a ＝8a 2 x 0 ②， 由②解得x 0＝a 或x 0＝－4a (舍去)， 将x 0＝a 代入①整理得b ＝72 a 2－4a 2 ln a ， 令K (a )＝72a 2－4a 2 ln a ，则K ′(a )＝a (3－8ln a )， 当a ∈?? ??0，8 e 3 时，K (a )单调递增，当a ∈??? ?8e 3，＋∞时K (a )单调递减， 所以K (a )≤K (8e 3 )＝2e 34，即b ≤2e 34 ， b 的最大值为2e 3 4 ； (2)证明：不妨设x 1，x 2∈(0，＋∞)， x 1＜x 2，h x 2－h x 1 x 2－x 1 >14， 变形得h (x 2)－14x 2＞h (x 1)－14x 1， 令T (x )＝h (x )－14x ，T ′(x )＝2x ＋8a 2 x ＋6a －14， ∵a ≥1，T ′(x )＝2x ＋8a 2 x ＋6a －14≥8a ＋6a －14≥0， 则T (x )在(0，＋∞)上单调递增，T (x 2)＞T (x 1)， 即 h x 2－h x 1 x 2－x 1 >14成立， 同理可证，当x 1＞x 2时，命题也成立． 综上，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2， 不等式 h x 2－h x 1 x 2－x 1 >14成立． 4．(导学号14577229)(理科)(2018·大庆市一模)已知函数f (x )＝ln (x ＋a )－x 2 －x 在x ＝0处取得极值． (1)求函数f (x )的单调区间； (2)若关于x 的方程f (x )＝－5 2x ＋b 在区间(0,2)有两个不等实根，求实数b 的取值范围； (3)对于n ∈N * ，证明：212＋322＋432＋…＋n ＋1n 2>ln(n ＋1)． 解：(1)由已知得f ′(x )＝ 1x ＋a －2x －1＝1－2x x ＋a － x ＋a x ＋a ， ∵f ′(0)＝0，∴1－a a ＝0， ∴a ＝1. ∴f (x )＝ln (x ＋1)－x 2 －x (x ＞－1)， 于是f ′(x )＝ 1－2x x ＋－x ＋ x ＋1 ＝－2x ? ????x ＋32x ＋1 (x ＞－1)， 由f ′(x )＞0得－1＜x ＜0；由f ′(x )＜0，得x ＞0， ∴f (x )的单调递增区间是(－1,0)，单调递减区间是(0，＋∞)． (2)令g (x )＝f (x )－? ?? ??－52x ＋b ＝ln (x ＋1)－x 2 ＋32x －b ，x ∈(0,2)， 则g ′(x )＝1x ＋1－2x ＋32＝－4x 2 ＋x －5x ＋，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－5 4(舍去)． 当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当1＜x ＜2时g ′(x )＜0， 即g (x )在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． 方程f (x )＝－5 2x ＋b 在区间(0,2)有两个不等实根等价于函数g (x )在(0,2)上有两个不 同的零点． ∴????? g g g ，即????? －b <0 ln 2＋1 2 －b >0 ln 3－1－b >0 ；亦即????? b >0 b 12 b >ln 3－1 ， ∴ln 3－1＜b ＜ln 2＋1 2， 故所求实数b 的取值范围为 ? ?????b |ln 3－1＜b ＜ln 2＋12. (3)证明：由(1)可得，当x ≥0时ln (x ＋1)≤x 2 ＋x (当且仅当x ＝0时等号成立)． 设x ＝1n ，则ln ? ????1＋1n ＜1n 2＋1 n ，即ln n ＋1n ＜n ＋1n 2 ① ∴22 12＞ln 21，322＞ln 32，432＞ln 43，…，n ＋1n 2＞ln n ＋1n ， 将上面n 个式子相加得： 22 1＋32＋43＋…＋n ＋1n ＞ln 21＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n ＋1 n ＝ln (n ＋1)， 故212＋322＋432＋…＋n ＋1 n 2>ln(n ＋1) 4．(导学号14577230)(文科)(2018·天津河北区三模)已知函数f (x )＝ax ＋b －ln x 表示的曲线在点(2，f (2))处的切线方程x －2y －2ln 2＝0 (1)求a ，b 的值； (2)若f (x )≥kx －2对于x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数k 的取值范围； (3)求证：n ∈N * 时，n (n ＋1)≤2e n －1e －1 . 解：(1)函数f (x )＝ax ＋b －ln x 的导数为f ′(x )＝a －1 x ，在点(2，f (2))处的切线方 程x －2y －2ln 2＝0， 即有a －12＝1 2 ，解得a ＝1， f (2)＝2a ＋b －ln 2＝1－ln 2，解得b ＝－1， 则有a ＝1，b ＝－1； (2)f (x )≥kx －2对于x ∈(0，＋∞)恒成立，即有 x －1－ln x ≥kx －2对于x ∈(0，＋∞)恒成立， 即有k －1≤1－ln x x 对于x ∈(0，＋∞)恒成立． 令g (x )＝1－ln x x ，g ′(x )＝ln x －2x 2 ， 当x ＞e 2 时，g ′(x )＞0，g (x )递增； 当0＜x ＜e 2 时，g ′(x )＜0，g (x )递减． 则x ＝e 2 处g (x )取得极小值，也为最小值，且为－1e 2， 即有k －1≤－1e 2，解得k ≤1－1 e 2； (3)证明：f (x )＝x －1－ln x (x ＞0)， f ′(x )＝1－1 x ， 当x ＞1时，f ′(x )＞0，f (x )递增， 当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，f (x )递减． 则x ＝1处f (x )取得极小值，也为最小值，且为0， 则有f (x )≥0， 即为x －1≥ln x ， 取x ＝n ，则n －1≥ln n ， 即有n ≤e n －1 . 即有1＋2＋…＋n ≤1＋e ＋e 2 ＋…＋e n －1 . 则有12n (n ＋1)≤1－e n 1－e ， 即有n ∈N * 时，n (n ＋1)≤2e n －1e －1 . 第一章导数及其应用测试题 一、 选择题 1．设x x y sin 12-=，则='y （ ）． A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B ．x x x x x 2 2sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．x x x x sin ) 1(sin 22--- 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ） ． A ． 54 B ．52 C ．51 D ．5 3 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3 ) (32lim 3--→x x f x x 的值为（ ）． A ．4- B ．0 C ．8 D ．不存在 4．曲线3 x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）． A ．126-=x y B ．1612-=x y C ．108+=x y D ．322-=x y 5．已知函数d cx bx ax x f +++=2 3)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ， )0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22 131)(2 3， 当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则 1 2 --a b 的取值范围是（ ）． A ．)1,4 1( B ．)1,2 1( C ．)4 1,21(- D ．)2 1,21(- 7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x += 在区间]2 ,0[π 的值域为（ ）． A ．]21,21[2π e B ．)2 1 ,21(2πe C ．],1[2πe D ．),1(2π e 8．积分 =-? -a a dx x a 22（ ）． 知识就是力量 第二部分 导数、微分及其导数的应用 知识汇总 一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则 若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则 若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法 对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则 设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ 可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法 二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax 高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3； 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2， 所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0 课题： 导数、导数的计算及其应用 2课时 一、考点梳理： 1.导数、导数的计算 （1）．导数的概念：一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0Δy Δx ＝__________，称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y '=. （2）．导函数： 记为f ′(x )或y ′. （3）．导数的几何意义： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几 何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________． ! （4）．基本初等函数的导数公式 （5）．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝__________；(2)[f (x )·g (x )]′＝__________；(3)??? ?f x g x ′ ＝__________(g (x )≠0)． （6）．复合函数的导数： 2．导数与函数的单调性及极值、最值 （1）导数和函数单调性的关系： (1)对于函数y ＝f (x )，如果在某区间上f ′(x )>0，那么f (x )为该区间上的________；如果在某区间上f ′(x )<0，那么f (x )为该区间上的________． (2)若在(a ，b )的任意子区间内f ′(x )都不恒等于0，f ′(x )≥0?f (x )在(a ，b )上为____函数，若在(a ，b )上，f ′(x )≤0，?f (x )在(a ，b )上为____函数． [ （2）函数的极值与导数 (1)判断f (x 0)是极值的方法： 一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时， ①如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ： ①____________ ；②________________ ;③_________________________. （3）求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤： (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )上的________； (2)将函数y ＝f (x )的各极值与______________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． ` 二、基础自测： 1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx 等于( )． A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2Δx 2 原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) ； f ′(x )＝________ f (x )＝sin x f ′(x )＝________ f (x )＝cos x f ′(x )＝________ f (x )＝a x f ′(x )＝________ f (x )＝e x > f ′(x )＝________ f (x )＝lo g a x f ′(x )＝________ f (x )＝ln x f ′(x )＝________ 导数的综合应用 一、选择题 1.已知函数f(x)=x2+mx+ln x是单调递增函数,则m的取值范围是( B ) (A)m>-2(B)m≥-2 (C)m<2 (D)m≤2 解析:函数定义域为(0,+∞), 又f'(x)=2x+m+. 依题意有f'(x)=2x+m+≥0在(0,+∞)上恒成立, ∴m≥-恒成立,设g(x)=-, 则g(x)=-≤-2, 当且仅当x=时等号成立. 故m≥-2, 故选B. 2.(2013洛阳统考)函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f'(x)>1,则不等式 e x·f(x)>e x+1的解集为( A ) (A){x|x>0} (B){x|x<0} (C){x|x<-1或x>1} (D){x|x<-1或0 解析:由导数的定义知,S'(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率.如图所示,正五角星薄片中首先露出水面的是区域Ⅰ,此时其面积S(t)在逐渐增大,且增长速度越来越快,故其瞬时变化率S'(t)也应逐渐增大;当露出的是区域Ⅱ时,此时的S(t)应突然增大,然后增长速度减慢,但仍为增函数,故其瞬时变化率S'(t)也随之突然变大,再逐渐变小,但S'(t)>0(故可排除选项B);当五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再变化,故其导数值S'(t)最终应等于0,符合上述特征的只有选项A. 4.已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示.若两正 数a,b满足f(a+2b)<1,则的取值范围是( B ) (A)(B) (C)(-1,0) (D)(-∞,-1) 解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,所以f(-4)=-f(4),所以f(4)=1,所以f(a+2b) 导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导， 目录 导数专题一、单调性问题 (2) 导数专题二、极值问题 (38) 导数专题三、最值问题 (53) 导数专题四、零点问题 (77) 导数专题五、恒成立问题和存在性问题 (118) 导数专题六、渐近线和间断点问题 (170) 导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题 (190) 导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 (201) 导数专题九、公切线解决导数中零点问题 (214) 导数专题十、极值点偏移问题 (219) 导数专题十一、构造函数解决导数问题 (227) 导数专题一、单调性问题 【知识结构】 【知识点】 一、导函数代数意义：利用导函数的正负来判断原函数单调性； 二、分类讨论求函数单调性：含参函数的单调性问题的求解，难点是如何对参数进行分类讨论， 讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系. 三、分类讨论的思路步骤： 第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点； 第二步、以导函数的零点存在性进行讨论；当导函数存在多个零点的时，讨论他们的大小关系及与 区间的位置关系（分类讨论）； 第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号（画导图、标正负、截定义域）；第四步、（列表）根据第五步的草图列出f '(x)，f (x)随x 变化的情况表，并写出函数的单调区间； 第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点，极值与区间端点函数 值比较得到函数的最值. 四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点： 1.最高次项系数是否为0； 2.导函数是否有极值点； 3.两根的大小关系； 4.根与定义域端点讨论等。 五、求解函数单调性问题的思路： （1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为f '(x) ≥ 0 或f '(x) ≤ 0 恒成立； （2）已知区间上不单调，转化为导函数在区间上存在变号零点，通常利用分离变量法求解参 变量的范围； （3）已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于 零有解. 六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法 （1）参变分离； （2）导函数的根与区间端点直接比较； 1．1.1～1.1.2 变化率问题 导数的概念 1．平均变化率 函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率Δy Δx ＝□ 01f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 . 若函数y ＝f (x )在点x ＝x 0及其附近有定义，则函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率是Δy Δx ＝□ 02f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 2．瞬时变化率 设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变Δx 时，函数值的改变量Δy ＝□ 03f (x 0＋Δx )－f (x 0)． 如果当Δx 趋近于0时，平均变化率Δy Δx 趋近于一个常数L ，则常数L 称为函数f (x )在x 0的瞬时变化率，记作□ 04lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝L . 3．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 一般地，函数y ＝f (x )在点x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx ＝□ 05lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或□ 06y ′| x ＝x 0.即f ′(x 0)＝□ 07lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 简言之，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是y ＝f (x )在x ＝x 0处的□ 08瞬时变化率． 导数概念的理解 (1)Δx→0是指Δx从0的左右两侧分别趋向于0，但永远不会为0. (2)若f′(x0)＝lim Δx→0Δy Δx存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值． (3)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0， 于是f′(x0)＝lim x→x0f(x)－f(x0) x－x0 与概念中的f′(x0)＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx意 义相同． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．() (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．() (3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．() 答案(1)√(2)×(3)× 2．做一做 (1)自变量x从1变到2时，函数f(x)＝2x＋1的函数值的增量与相应自变量的增量之比是________． (2)函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________． (3)函数y＝f(x)＝1 x在x＝－1处的导数可表示为________． 答案(1)2(2)2(3)f′(－1)或y′|x ＝－1 探究1求函数的平均变化率 例1求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值． [解]函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 f(x0＋Δx)－f(x0) (x0＋Δx)－x0＝ [3(x0＋Δx)2＋2]－(3x20＋2) Δx ＝6x0·Δx＋3(Δx)2 Δx＝6x0＋3Δx. 当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. 第1讲 变化率与导数、导数的运算 【2014年高考会这样考】 1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程． 2．考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导． 【复习指导】 本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导. 基础梳理 1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 . 若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为Δy Δx . 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0Δy Δx ＝ li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0Δy Δx . (2)几何意义 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝li m Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx 为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. 4．基本初等函数的导数公式 若f (x )＝c ，则f ′(x )＝0； 若f (x )＝x α(α∈R )，则f ′(x )＝αx α－1； 若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x ； （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________； 2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα== 2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． ） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R， （1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在0处的导数等于0； （）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围． 数学选修 2-2 第一章 单元测试题 一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点() A．1 个B．2 个 C．3 个D．4 个 1 1 2．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在 1 同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是() C．8D．4 2 3．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( ) ππ3 A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π) 3 π 3 C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π] 1 4．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是() 3 3 A．m≥2 B．m＞2 3 3 C．m≤2 D．m＜2 x 2 2 5．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 () f x 0＋3 －f x 0 Δx 6．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx ＝1， Δx→0 则 f ′(x0)等于( ) A．1 B．0 C．3 x＋9 7．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为() A．x＋y＝0 B．x＋25y＝0 C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0 D．以上皆非 8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－ 3b＜0 时，f ( x) 是() A．增函数 B．减函数 C．常数 D．既不是增函数也不是减函数 高中数学专题训练 导数的应用——极值与最值一、选择题 1．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和1 3，则() A．a－2b＝0B．2a－b＝0 C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0 答案 D 解析y′＝3ax2＋2bx，据题意， 0、1 3是方程3ax 2＋2bx＝0的两根 ∴－2b 3a＝ 1 3，∴a＋2b＝0. 2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝() A. 1 ln2B．－ 1 ln2 C．－ln2 D．ln2 答案 B 解析由y＝x·2x得y′＝2x＋x·2x·ln2 令y′＝0得2x(1＋x·ln2)＝0 ∵2x＞0，∴x＝－ 1 ln2 3．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则() A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜1 2 答案 A 解析f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0， ∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1 综上，b的范围为0＜b＜1 4．连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是() A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点 B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点 C．x＝－1不是函数f(x)的极值点 D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点 答案 B 解析x>－1时，f′(x)>0 x<－1时，f′(x)<0 ∴连续函数f(x)在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x＝－1为极小值点． 5．函数y ＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( ) A ．－173 B ．－103 C ．－4 D ．－643 答案 A 解析 y ′＝x 2＋2x －3. 令y ′＝x 2＋2x －3＝0，x ＝－3或x ＝1为极值点． 当x ∈[0,1]时，y ′<0.当x ∈[1,2]时，y ′>0，所以当x ＝1时，函数取得极小值，也为最小值． ∴当x ＝1时，y min ＝－173. 6．函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，如右图所示，则( ) A ．x ＝1是最小值点 B ．x ＝0是极小值点 C ．x ＝2是极小值点 D ．函数f (x )在(1,2)上单增 答案 C 解析 由导数图象可知，x ＝0，x ＝2为两极值点，x ＝0为极大值点，x ＝2为极小值点，选C. 7．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( ) A ．f (－a 2)≤f (－1) B ．f (－a 2) 导数专题复习（基础精心整理）学生版 【基础知识】 1.导数定义：在点处的导数记作k = 相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=- 2.常见函数的导数公式: ①；②；③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧ 。 3.导数的四则运算法则： （1） （2） （3） 4.导数的应用： （1）利用导数判断函数单调性： ①是增函数；②为减函数；③为常数； （2）利用导数求极值：①求导数；②求方程的根；③列表得极值（判断零点两边的导函数的正负）。 （3）利用导数求最值：比较端点值和极值 【基本题型】 一、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率 ()()00f x x f x y x x +?-?=?V ；（3）取极限，得导数()00lim x y f x x →?'=?V 。 例1..已知x f x f x x f x ?-?+=→?) 2()2(lim ,1)(0则的值是（ ） A. 41- B. 2 C. 4 1 D. －2 变式1：()()()为则设h f h f f h 233lim ,430 --='→（ ） A ．－１ Ｂ．－2 C ．－3 D ．1 二、导数的几何意义 ()f x 0x x x f x x f x f x x y x ?-?+='=='→?) ()(lim )(|000 00'0C ='1()n n x nx -='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'()ln x x a a a =x x e e =')('1(log )ln a x x a =x x 1 )(ln '= )()()()(])()(['+'='x g x f x g x f x g x f 2)()()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f ' -'=' ??? ? ??' ?'='x u u f x u f ))(()(0)(x f x f ?>')(0)(x f x f ?<')(0)(x f x f ?≡')(x f '0)(='x f 第一章导数及其应用练习题 部门： xxx 时间： xxx 整理范文，仅供参考，可下载自行编辑 第一章导数及其应用 1．1 变化率与导数 1．1.1 变化率问题1．1.2 导数的概念 1．已知函数f(x>＝2x2－4的图象上一点(1，－2>及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy>，则错误!等于( >．b5E2RGbCAP A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx>2 2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是( >． A．4 B．4.1 C．0.41 D．3 3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2>(s的单位为m，t的单位为s>，那么其在1.2 s末的瞬时速度为( >．p1EanqFDPw A．－4.8 m/s B．－0.88 m/sC．0.88 m/s D．4.8 m/s 4．已知函数y＝2＋错误!，当x由1变到2时，函数的增量Δy＝________. 5．已知函数y＝错误!，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________. 6．利用导数的定义，求函数y＝错误!＋2在点x＝1处的导数．7．已知函数y＝f(x>＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( >． A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 8．设函数f(x>可导，则错误!错误!等于( >．DXDiTa9E3d A．f′(1> B．3f′(1> C.错误!f′(1> D．f′(3> 9．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________． 10．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝vt，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．RTCrpUDGiT 11．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝ 1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．5PCzVD7HxA 12．(创新拓展>已知f(x>＝x2，g(x>＝x3，求满足f′(x>＋2＝g′(x>的x的值． 1.1.3导数的几何意义 1．已知曲线y＝错误!x2－2上一点P错误!，则过点P的切线的倾斜角为( >．jLBHrnAILg A．30° B．45° C．135° D．165° 2．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2>，则A处的切线斜率等于( >． A．2 B．4C．6＋6Δx＋2(Δx>2D．6 3．设y＝f(x>存在导函数，且满足错误!错误!＝－1，则曲线y＝f(x>上点(1，f(1>>处的切线斜率为( >．xHAQX74J0X A．2 B．－1 C．1 D．－2 4．曲线y＝2x－x3在点(1,1>处的切线方程为________．(完整word版)第一章导数及其应用测试题(含答案)
k52006年高考第一轮复习数学：14.1 导数的概念与运算
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※第十四章
●网络体系总览
导 概 数 念 的 导 数
导数
的 性 导 求 函 单 数 法 数 调 的 的 导 应 函 极 数 用 数 值 的 函 最 数 大 的 值 小 与 值 最
●考点目标位定位 要求： （1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率 等） ，掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. （2）熟记基本求导公式〔C，xm（m 为有理数） ，sinx,cosx,ex,ax,lnx,logax 的导数〕 ，掌握 两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数. （3）了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条 件和充分条件（导数在极值点两侧异号） ，会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值 和最小值. ●复习方略指南 深入理解和正确运用极限的概念、法则是本章学习的基础,能对简单的初等函数进行求 导是本章学习的重点,能把实际问题转化为求解最大（小）值的数学模型,应用导数知识去解 决它是提高分析问题、解决问题能力,学好数学的关键. 1.熟练记忆基本求导公式和函数的求导法则,是正确进行导数运算的基础. 2.掌握导数运算在判断函数的单调性、求函数的极大（小）值中的应用,尤其要重视导数 运算在解决实际问题中的最值问题时所起的作用.
14.1
●知识梳理
导数的概念与运算
1.导数的概念： （1）如果当Δ x→0 时，
?y 有极限，我们就说函数 y=f（x）在点 x0 处可 ?x
导 ， 并 把 这 个 极 限 叫 做 f （ x ） 在 点 x0 处 的 导 数 ， 记 作 f ′ （ x0 ） 即 f ′ （ x0 ） = ，
?x ?0
lim
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim . ?x ?x?0 ?x
（2）如果函数 f（x）在开区间（a,b）内每一点都可导，就说 f（x）在开区间（a,b）内 可导.这时对于开区间（a,b）内每一个确定的值 x0,都对应着一个确定的导数 f′（x0）,这样 就在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新函数叫做 f（x）在开区间（a,b）内的导函 数，记作 f′（x）,即 f′（x）= lim
?x ?0
f ( x ? ?x) ? f ( x) ，导函数也简称导数. ?x
2.导数的几何意义：函数 y=f（x）在点 x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y=f（x）在点 P（x0,f（x0） ）处的切线的斜率. 3.几种常见的导数： － C′=0（C 为常数）;（xn）′=nxn 1;（sinx）′=cosx;（cosx）′=－sinx;（ex）′=ex;高考数学 导数及其应用的典型例题
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