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空间位置关系的判断与证明.板块二.对空间位置关系的判断.学生版

【例1】直线和平面所成的角为α，则（）

A ．090α?<

B ．090α??≤≤

C ．090α?

D ．090α?

【例2】若直线a ∥平面α，直线b ?平面α，则直线a 与b 的位置关系是

【例3】室内有一根直尺，无论怎么放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线

A ．异面

B ．相交

C ．平行

D ．垂直

【例4】若不共线的三点到平面α的距离相等，则该三点确定的平面β与α之间的关系为

（）

A ．平行

B ．相交

C ．平行或相交

D ．无法确定

【例5】设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）

A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥

B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥

C ．若a α?，b β?，a b ∥，则αβ∥

D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥

【例6】下列命题中，真命题有_______．

①若,,//a b a b αβ??，则//αβ；

②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ； ③若,,//a b a αββ??，则a b =? ；

④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ= ，则αβ=? ；

【例7】 m ，n 是空间两条不同直线，α，β是空间两条不同平面，下面有四个命题：

①,;

m n m n αβαβ⊥?⊥ ,　

②,,;

m n m n αβαβ⊥⊥? ③,,;m n m n αβαβ⊥?⊥

③,,;

m m n n ααββ⊥?⊥

其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）．

【例8】（2009广东五校）在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中，真命题是（）

A ．若l β?，且αβ⊥，则l α⊥

B ．若l β⊥，且//αβ，则l α⊥

典例分析

板块二.空间位置关系的判断

C ．若m αβ= ，且l m ⊥，则//l α

D ．若l β⊥，且αβ⊥，则//l α

【例9】（2010年二模·东城·文·题3）

已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的

是（）

A ．,m n m n αα⊥?⊥∥

B ．,,m n m n αβαβ???∥∥

C ．,m m n n αα⊥⊥?∥

D ．,,,m n m n ααββαβ???∥∥∥

【例10】（2010年二模·宣武·理·题4）

已知直线m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是

（）

A ．,m n αβ∥∥且αβ∥，则m n ∥

B ．,m n αβ⊥∥且αβ⊥，则m n ⊥

C ．,m n m αβ=⊥ 且αβ⊥，则n α⊥

D ．,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥

【例11】（2010浙江高考）

设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 A ．若l m ⊥，m α?，则l α⊥ B ．若l α⊥，l m ∥，则m α⊥ C ．若l α∥，m α?则l m ∥ D ．若l α∥，m α∥，则l m ∥

【例12】（2008新课标海南宁夏）

已知平面α⊥平面β，l αβ= ，点A α∈，A l ?，直线AB l ∥，直线AC l ⊥，直线m α∥，m β∥，则下列四种位置关系中，不一定．．．

成立的是（） A ．AB m ∥ B ．AC m ⊥

C ．AB β∥

D ．AC β⊥

【例13】已知直线m n ，与平面αβ，

，下面三个命题中正确的有______． ①m n m n αα?∥，∥∥；②m n n m αα⊥?⊥∥，；③m m αβαβ⊥?⊥，∥．

【例14】（05广东）给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题：

①若m α?，l A α= ，点A m ?，则l 与m 不共面；

②若m 、l 是异面直线，∥l α，∥m α，且n l ⊥，n m ⊥，则n α⊥； ③若∥l α，∥m β，∥αβ，则∥l m ；

④若l α?，m α?，l m = 点A ，∥l β，∥m β，则∥αβ．其中为假命题的是（）

A ．①

B ．②

C ．③

D ．④

【例15】（2009北江中学）已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，给出

下列命题：

①若,m m αβ⊥?，则αβ⊥；

②若m α?，,//,//n m n αββ?，则αβ∥；

③如果,,m n m n αα??、是异面直线，则n 与α相交；

④若,m n m αβ= ∥，且,n n αβ??，则n α∥且n β∥．

其中正确的命题是（） A ．①② B ．②③

C ．③④

D ．①④

【例16】（05福建卷）

已知直线m 、n 与平面，

αβ，给出下列三个命题： ①若m α⊥，∥n α，则∥m n ②若∥m α，n α⊥，则n m ⊥ ③若m α⊥，∥m β，则αβ⊥ 其中真命题的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

【例17】（2010年二模·朝阳·理·题5）

已知平面,αβ，直线l α⊥，直线m β?，有下面四个命题：

①l m αβ?⊥∥②l m αβ⊥?∥③l m αβ?⊥∥④l m αβ⊥?∥

其中正确的命题是（）

A ．①与②

B ．③与④

C ．①与③

D ．②与④

【例18】（2010年二模·海淀·理·题6）

已知m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n α⊥成立的是

（）

A ．αβ⊥，n β?

B ．//αβ，n β⊥

C ．αβ⊥，//n β

D ．//m α，n m ⊥

【例19】（2010年二模·丰台·文·题7）

设,,a b c 是空间三条不同的直线，,,αβγ是空间三个不同的平面，给出下列四

个命题：

① 若,a b αα⊥⊥，则a b ； ② 若,αγβγ⊥⊥，则αβ ； ③ 若,b b αβ?⊥，则αβ⊥；

④ 若c 是b 在α内的射影，a α?且a c ⊥，则a b ⊥．其中正确的个数是（）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【例20】（2010年一模·崇文·理·题5）（崇文·文·题6）

已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( )

A ．若,,αγβγ⊥⊥则αβ∥

B ．若,,m n αα⊥⊥则m n ∥

C ．若,m n αα∥∥，则m n ∥

D ．若,,m m αβ∥∥则αβ∥

【例21】（09年西城区期末考试5）已知m 是平面α的一条斜线，点A α?，l 为过点A 的

一条动直线，那么下列情形可能出现的是（）

A ． l m ∥，l α⊥

B ． l m ⊥，l α⊥

C ． l m ⊥，l α∥

D ． l m ∥，l α∥

【例22】（05江苏）

设，，αβγ为两两不重合的平面，，，l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：

①若αγ⊥，βγ⊥，则∥αβ；②若m α?，n α?，∥m β，∥n β，则∥αβ； ③若∥αβ，l α?，则∥l β；④若l αβ= ，m βγ= ，n γα= ，∥l γ，则∥m n ．

其中真命题的个数是（）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【例23】（2008浙江）

对两条不相交的空间直线a 和b ，必定存在平面α，使得（）

A ．a α∈，b α∈

B ．a α?，b α∥

C ．a α⊥，b α⊥

D ．a α?，b α⊥

【例24】（2009江苏12）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：

①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；

②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；

③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）

【例25】（2007湖南文6）如图，在正四棱柱 1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1AB 、1

BC 的中点，则以下结论中不成立的是（） A ．EF 与1BB 垂直 B ．EF 与BD 垂直 C ．EF 与CD 异面

D ．EF 与11A C 异面

B C

E F A 1

B 1

C 1

D 1

【例26

【例27】（2008崇文一模）

如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是1D D 的

中点，N 是11A B 上的动点，则直线NO 、AM 的位置关系是（） A ．平行 B ．相交 C ．异面垂直 D ．异面不垂直

D 1

C 1

B 1

A 1

D C

M N

【例28】（2009山东文9）已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，

则“αβ⊥”是“m β⊥”的（）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【例29】对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是（）

A ．如果，

m n αα??，m 、n 是异面直线，那么∥n α B ．如果，

m n αα??，m 、n 是异面直线，那么与n α相交 C ．如果，

∥m n αα?，m 、n 共面，那么∥m n D ．如果∥，

∥m n αα，m 、n 共面，那么∥m n

【例30】（2009福建文10）设m n ，是平面α内的两条不同直线；1l ，2l 是平面β内的两条

相交直线．则αβ∥的一个充分而不必要的条件是（） A ．m β∥且1l α∥ B ．1m l ∥且2n l ∥

C ．m β∥且n β∥

D ．m β∥且2n l ∥

【例31】已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能

是．

①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线 ④一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）．

【例32】（2007西城高三期末）在空间中，有如下四个命题：

①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；

②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；

③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，则∥αβ； ④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直．其中正确的两个命题是（）

A ．①、③

B ．①、④

C ．②、④

D ．②、③

【例33】两个平面平行的条件是（）

A ．一个平面内一条直线平行于另一个平面

B ．一个平面内两条直线平行于另一个平面

C ．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面

D ．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面

【例34】（2009江苏12）

设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：

①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；

【例35】（05年北京卷6）在正四面体P ABC -中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．

的是（） A ．BC ∥平面PDF B ．DF ⊥平面PAE

C ．平面PDF ⊥平面ABC

D ．平面PA

E ⊥平面ABC

【例36】判断下面命题的正误：

⑴一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．

⑵如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直． ⑶垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．

⑷过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于α的平面内．

⑸如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．

【例37】（2010年一模·朝阳·文·题8）

如图，设平面,,EF AB CD αβαα=⊥⊥ ，垂足分别为,B D ，且AB CD ≠，如

果增加一个条件就能推出BD EF ⊥，给出四个条件：①AC β⊥；②AC EF ⊥；③AC 与BD 在β内的正投影在同一条直线上；④AC 与BD 在平面β内的正投影所在直线交于一点．那么这个条件不可能．．．是（） A ．①② B ．②③ C ．③ D ．④

【例38】（2009四川）

如图，已知六棱锥P ABCDEF

-的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，2

PA AB

=，则下列结论正确的是（）

A．PB AD

⊥ B．平面PAB⊥平面PBC

C．直线∥

BC平面PAE D．直线PD与平面ABC所成的角为45?

E D

C A

空间中直线与直线之间的位置关系

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系整体设计教学分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念. 三维目标 1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系. 2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用. 3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质. 重点难点两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法. 课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入）在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系. 学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样. 教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系. 思路2.（事例导入）观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？图1 推进新课新知探究提出问题 ①什么叫做异面直线？ ②总结空间中直线与直线的位置关系. ③两异面直线的画法. ④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？ ⑤什么是空间等角定理？ ⑥什么叫做两异面直线所成的角？ ⑦什么叫做两条直线互相垂直？

空间位置关系的判断与证明

. . 空间中的线面关系要求层次重难点空间线、面的位置关系 B ① 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理． ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上所有的点在此平面． ◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． ◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． ◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． ◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． ② 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．公理1，公理2，公理3，公理4，定理* A 高考要求模块框架空间位置关系的判断与证明

. . 理解以下判定定理． ◆如果平面外一条直线与此平面的一条直线平行，那么该直线与此平面平行． ◆如果一个平面的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行． ◆如果一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． ◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明． ◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行． ◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行． ◆垂直于同一个平面的两条直线平行． ◆如果两个平面垂直，那么一个平面垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直． ③ 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题． *公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 1．集合的语言：我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系：点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ?；点A 在平面α，记作：A α∈；点A 不在平面α，记作A α?；直线l 在平面α（即直线上每一个点都在平面α），记作l α?；直线l 不在平面α（即直线上存在不在平面α的点），记作l α?；直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =，简记为l m A =；知识内容

空间中的平行关系练习题

1.2.2空间中的平行关系【目标要求】 1.理解并掌握公理4，能应用其证明简单的几何问题. 2.理解并掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，明确线线平行与面面平行的关系. 3.能够熟练的应用线面平行的性质定理和判定定理. 1.以下说法中正确的个数是（其中a，b表示直线，表示平面α） ( ) ①若a∥b，b∥α，则a∥α②若a∥α，b∥α，则a∥b ③若a∥b，b∥α，则a∥α④若a∥α，b∥α，则a∥b A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2.a∥α，b∥β，a∥b，则α与β的位置关系是（） A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.一定垂直 3.如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是d，则直线AB和平面α的位置关系一定是（） A.平行 B.相交 C.平行或相交 D. AB?α 4.当α∥β时，必须满足的条件（） A.平面α内有无数条直线平行于平面β B.平面α与平面β同平行于一条直线 C.平面α内有两条直线平行于平面β D.平面α内有两条相交直线与β平面平行 5.已知a∥α，b∥α，则直线a，b的位置关系①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.；其中可能成立的有（） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 6.直线a∥平面α，点A∈α，则过点A且平行于直线a的直线（） A.只有一条，但不一定在平面α内 B.只有一条，且在平面α内 C.有无数条，但都不在平面α内 D.有无数条，且都在平面α内 7.已知直线a∥平面α，且它们的距离为d，则到直线a与到平面α的距离都等于d的点的集合是（） A.空集 B.两条平行直线 C.一条直线 D.一个平面 8. A、B是直线l外的两点，过A、B且和l平行的平面的个数是（） A.0个 B.1个 C.无数个 D.以上都有可能 9.设α，β是不重合的两个平面，l和m是不重合的两条直线，则能得出α∥β的是（） A.l?α，m?α，且l∥β，m∥β B.l?α，m?β，且l∥m C.l⊥α，m⊥β，且l∥m D.l∥α，m∥β，且l∥m 10.已知直线a、b，平面α、β，以下条件中能推出α∥β的是（） ①a?α，b?β，a∥b；②a?α，b?α，a∥β，b∥β；③a∥b，a⊥α，b⊥β. A.① B.② C.③ D.均不能 11.若平面α∥平面β，直线a?α，直线b?β，那么直线a，b的位置关系是（） A.垂直 B.平行 C.相交 D.不相交 12.梯形ABCD中AB∥CD，AB?平面α，则直线CD与平面α的位置关系是（） A.平行 B.平行或相交 C.相交 D. CD平行平面α或CD?α 13.正方体AC1中，E、F、G分别为B1C1、A1D1、A1B1的中点求证：平面EBD//平面FGA.

空间中点线面位置关系(经典)

第一讲：空间中的点线面一，生活中的问题？生活中课桌面、黑板面、教室墙壁、门的表面都给我们以“平面”形象．如果想把一个木棍钉在墙上，至少需要几个钉子？教室的门为什么可以随意开关？插上插销后为什么不能开启？房顶和墙壁有多少公共点？通过本节课学习，我们将从数学的角度解释以上现象．二，概念明确 1，点构成线，线构成面，所以点线面是立体几何研究的主要对象。所以：点与线的关系是_____________________，用符号______________。线与面的关系是_____________________，用符号______________。点与面的关系是_____________________，用符号______________。 2，高中立体几何主要研究内容：点，线，面的位置关系和几何量（距离，角） 3，直线是笔直，长度无限的；平面是光滑平整，向四周无限延伸，没有尽头的。点，线，面都是抽象的几何概念。不必计较于一个点的大小，直线的长度与粗细。 4，平面的画法与表示描述几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限的画法通常把水平的平面画成一个，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的倍，如图a所示，如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用画出来，如图b所示

记法 (1)用一个α，β，γ等来表示，如图a中的平面记为平面α (2) 用两个大字的(表示平面的平行四边形的对角线的顶点)来表示，如图a中的平面记为平面AC或平面BD (3) 用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如图a 中的平面记为平面ABC或平面等 (4) 用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的)来表示，如图a中的平面可记作平面ABCD 检验检验：下列命题：(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一个平面的长是50m，度是20m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为() A．1B．2C．3D．4 三，点，线，面的位置关系和表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面. 文字语言符号语言图形语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外文字语言符号语言图形语言 l在α内 l与α平行

空间点线面之间位置关系知识点总结

高中空间点线面之间位置关系知识点总结第一章空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。（2）柱，锥，台，球的结构特征棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.（二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法：在坐标系''' x o y中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。重点记忆：直观图面积=原图形面积 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 ②圆柱的表面积③圆锥的表面积2 S rl r ππ =+ ④圆台的表面积22 S rl r Rl R ππππ =+++⑤球的表面积2 4 S R π = ⑥扇形的面积公式 21 3602 n R S lr π == 扇形（其中l表示弧长，r表示半径） 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积V S h =? 底 ②锥体的体积1 3 V S h =? 底 ③台体的体积1) 3 V S S S S h =+? 下下上上（④球体的体积3 4 3 V R π = 2 π 2 π 2r rl S+ =

空间位置关系的判断与证明.板块一.对平面的进一步认识.学生版

题型一平面的基本性质【例1】在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（） A ．充分不必要条件． B ．必要不充分条件． C ．充要条件． D ．既不充分也不必要条件．【例2】判断下面说法是否正确： ①如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面． ②经过一点的两条直线确定一个平面． ③经过空间任意三点有且只有一个平面． ④若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形． ⑤两个平面的公共点的集合，可能是一条线段． ⑥空间中的四个点只可能确定一个平面或四个平面．【例3】若P 是正方体1111ABCD A B C D -上底面对角线AC 上一点，则B 、D 、P 三点可以确定平面（） A ．1个 B ．2个 C ．无数个 D ．1个或无数个【例4】下列推理错误的是（） A ．,,,A l A B l B l ααα∈∈∈∈?? B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈?= C ．,,,,,A B C A B C αβ∈∈，且,,A B C 不共线?,αβ重合 D ．,l A l A αα?∈?? 【例5】已知点A ，直线l ，平面α， ①,A l l A αα∈??? ②,A l l A αα∈∈?∈ ③,A l l A αα???? ④,A l A l αα∈??? 以上命题表达正确，且是真命题的有________．共线问题【例6】在正方体1111ABCD A B C D -中，O ，1O 分别是上，下底的中心，P 是1DB 的中点，则O 、P 、1 O 典例分析板块一.对平面的进一步认识

空间几何——平行与垂直证明

c c ∥∥b a b a ∥?一、“平行关系”常见证明方法（一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β b a a =??βαβ α∥b a ∥? b a b a ////??? ? ?? ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥?

7) 利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点（二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点（三）平面与平面平行的证明常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα∥?a β ∥a ?b ∥a b a αα??α ∥a ?

利用空间向量证明空间位置关系

利用空间向量证明立体几何中的平行与垂直问题 [考纲要求] 1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．会简单应用空间两点间的距离公式． 2．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．掌握空间向量的数量积及其坐标表示．能用向量的数量积判断向量的共线和垂直． 4．理解直线的方向向量及平面的法向量．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系． 5．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理)．知识点一：空间向量及其运算 1．空间向量及其有关概念 (1)空间向量的有关概念 (2) 2. (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 3．空间向量的运算及其坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

[基本能力] 1．如图，已知空间四边形ABCD ，则13AB ―→＋13BC ―→＋13CD ―→ 等于________．答案：13 AD ―→ 2．已知i ，j ，k 为标准正交基底，a ＝i ＋2j ＋3k ，则a 在i 方向上的投影为________．答案：1 3．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)共线，则p ＝________，q ＝________. 答案：3 2 4．已知向量a ＝(－1,0,1)，b ＝(1,2,3)，k ∈R ，若k a －b 与b 垂直，则k ＝________. 答案：7 考法一空间向量的线性运算 [例1] 已知四边形ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O .Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值： (1)O Q ―→＝P Q ―→＋x PC ―→＋y PA ―→； (2)PA ―→＝x PO ―→＋y P Q ―→＋PD ―→. [解] (1)如图，∵O Q ―→＝P Q ―→－PO ―→＝P Q ―→－12(PA ―→＋PC ―→)＝P Q ―→－ 1 2PA ―→－12 PC ―→， ∴x ＝y ＝－1 2 . (2)∵PA ―→＋PC ―→＝2PO ―→， ∴PA ―→＝2PO ―→－PC ―→. 又∵PC ―→＋PD ―→＝2P Q ―→，∴PC ―→＝2P Q ―→－PD ―→. 从而有PA ―→＝2PO ―→－(2P Q ―→－PD ―→)＝2PO ―→－2P Q ―→＋PD ―→ . ∴x ＝2，y ＝－2. 考法二共线、共面向量定理的应用 [例2] 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法求证： (1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH . [证明] (1)如图，连接BG ，则EG ―→＝EB ―→＋BG ―→＝EB ―→＋12 (BC ―→＋BD ―→ ) ＝EB ―→＋BF ―→＋

高中数学空间点线面之间的位置关系的知识点总结

高中空间点线面之间位置关系知识点总结 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。公理2作用：确定一个平面的依据。 D C B A α L A · α C · B · A · α

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2

空间位置关系与距离专题

1 C _ A _ B _ M _ D _ E O _ C 空间位置关系与距离专题【考题回放】 1．已知平面α外不共线的三点A,B,C 到α的距离都相等,则正确的结论是( ) A.平面ABC 必平行于α B. 存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内 C. 平面ABC 必与α相交 D. 平面ABC 必不垂直于α 2．如图，过平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有( ) A.4条 B.6条 C.8条 D.12条 3．设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、 CC 1 上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B —APQC 的体积为（） A ．16 B ．14 C ．13V D ．12 4．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若βαβα//,,则⊥⊥m m ； ②若βααβγα//,,则⊥⊥ ③若βαβα//,//,,则n m n m ? ?； ④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ??，其中真命题是（） A ．①和② B ．①和③ C ．③和④ D ．①和④ 5．在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线' BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，则( ) ① 四边形E BFD '一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形 ③ 四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD ' 有可能垂直于平面D BB ' 以上结论正确的为。（写出所有正确结论的编号） 6．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、BC 的中点,2,CA CB CD BD ==== AB AD == （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；（Ⅲ）求点E 到平面ACD 的距离. 【考点透视】判断线线、线面、面面的平行与垂直，求点到平面的距离及多面体的体积。【热点透析】 1．转化思想： ① ??⊥?⊥?⊥线线平行线面平行面面平行,线线线面面面； ② 异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离，平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。 2．空间距离则主要是求点到面的距离主要方法： ①体积法； ②直接法,找出点在平面内的射影

高考数学命题角度4_3空间位置关系证明与二面角求解大题狂练理

命题角度4.3：空间位置关系证明与二面角求解 1.如图所示，已知三棱柱111ABC A B C -中， 1111AC B C =， 111A A A B =， 1160AA B ∠=?．（1）求证： 1AB B C ⊥；（2）若1112A B B C ==， 112B C =，求二面角11C AB B --的余弦值．【答案】(1)见解析；（2） 21 7 . 【解析】试题分析: （1）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与论证往往需要结合平几知识，如利用等腰三角形性质得底边上中线垂直底面得线线垂直，（2）一般利用空间向量数量积求二面角大小，先根据条件确定恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角余弦值，最后根据法向量夹角与二面角关系确定二面角的余弦值. （2）∵1ABB ?为等边三角形， 2AB =，∴13OB =，

∵在ABC ?中， 2AB =， 2BC AC ==， O 为AB 中点， ∴1OC = ， ∵12B C =， 13OB =，∴222 11OB OC B C +=， ∴1OB OC ⊥，又1OB AB ⊥， ∴1OB ⊥平面ABC ．以O 为原点， OB ， OC ， 1OB 方向为x ， y ， z 轴的正向，建立如图所示的坐标系， ()1,0,0A -， () 10,0,3B ， ()1,0,0B ， ()0,1,0C ，则() 1111,1,3OC OC CC OC BB =+=+=-，则()11,1,3 C -， ()1 1,0,3AB =， () 10,1,3AC =，则平面1BAB 的一个法向量()0,1,0m =，设(),,n x y z =为平面11AB C 的法向量，则1130, {30, n AB x z n AC y z ?=+=?=+=令1z =-，∴3x y ==， ∴( ) 3,3,1n = -， ∴21 cos ,7m n m n m n ?= =?．点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

《空间中的平行关系》教案

《空间中的平行关系》教案教学目标 1、知识与技能（1）认识和理解空间平行线的传递性，会证明空间等角定理. （2）通过直观感知，归纳直线和平面平行及平面和平面平行的判定定理. （3）掌握直线和平面平行，平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这些定理解决空间中的平行关系问题. 2、过程与方法通过类比和转换的思维方法，将空间中的某些立体图形问题转化为平面图形的问题，从而化难为易，化繁为简，带未知为已知，使问题得到很好的解决（线∥线线∥面面∥面）.教学重难点重点：平面的基本性质与推论以及它们的应用；线线平行及平行线的传递性和面面平行的定义与判定. 难点：自然语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用；如何由平行公理以及其他基本性质推出空间线、线，线、面和面、面平行的判定和性质定理，并掌握这些定理的应用. 教学过程一、导入看图观察，图中的关系是什么？二、平面中的平行关系 1. 平行直线（1）空间两条直线的位置关系 ①相交：在同一平面内，有且只有一个公共点； ②平行：在同一平面内，没有公共点. （2）初中几何中的平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行. 【说明】此结论在空间中仍成立．（3）公理4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行．即：如果直线a // b,c // b，那么a // c. 【说明】此公理是判定两直线平行的重要方法：寻找第三条直线分别与前两条直线平行. 2. 等角定理等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这

两个角相等. 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. 需要说明的是：对于等角定理中的条件：“方向相同”. （1）若仅将它改成“方向相反”，则这两个角也相等. （2）若仅将它改成“一边方向相同，而另一边方向相反”，则这两个角互补.此定理及推论是证明角相等问题的常用方法. 3. 空间图形的平移如果空间图形F的所有点都沿同一方向移动相同的距离到F＇的位置，则说图形F在空间做了一次平移. 注意：图形平移后与原图形全等，即对应角和对应两点间的距离保持不变. 图形平移有如下性质：（1）平移前后的两个图形全等；（2）对应角的大小平移前后不变；（3）对应两点的距离平移前后不变；（4）对应两平行直线的位置关系在平移前后不变；（5）对应两垂直直线的位置关系在平移前后不变. 4. 证明空间两直线平行的方法（1）利用定义用定义证明两条直线平行，需证两件事：一是两直线在同一平面内；二是两直线没有公共点. （2）利用公理4 用公理4证明两条直线平行，只需证一件事：就是需找到直线c，使得a // c，同时b//c，由公理4得a // b. 5. 直线与平面平行（1）直线和平面的位置关系有三种，用公共点的个数归纳为（2）线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.

2018届高考数学复习—立体几何：(二)空间直线、平面关系的判断与证明—2.平行与垂直关系的证明(试题版)

【考点2:空间直线、平面的平行与垂直关系证明】题型1：直线、平面平行的判断及性质【典型例题】 [例1]?(1)如图,在四面体P ABC中,点D,E,F,G分别是棱 AP,AC,BC,PB的中点.求证：DE∥平面BCP . ?(2)(2013福建改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC, AB＝6,DC＝3,若M为P A的中点,求证：DM∥平面PBC . ?(3)如图,在四面体A-BCD中,F,E,H分别是棱AB,BD,AC 的中点,G为DE的中点.证明：直线HG∥平面CEF . [例2]?(1)如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证： ①B,C,H,G四点共面； ②平面EF A1∥平面BCHG . ?(2)如图E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证： ①EG∥平面BB1D1D； ②平面BDF∥平面B1D1H . 【变式训练】 1.(2014·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1 的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为______. 2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH . 3.如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,E,H分别为棱 A1B1,D1C1上的点,且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1 相交,交点分别为F,G,求证：FG∥平面ADD1A1 . 4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E 在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE＝FC1＝B1G＝ 1,H是B1C1的中点. (1)求证：E,B,F,D1四点共面； (2)求证：平面A1GH∥平面BED1F . 题型2：直线、平面垂直的判断及性质【典型例题】 [例1]?(1)如图,在四棱锥P-ABCD中, P A⊥底面ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,P A＝AB＝BC,E是PC中点. 证明：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE . ?(2)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面

空间中直线间的位置关系

翔宇教育集团课时设计纸总课题：7.1直线的倾斜角和斜率总课时2 第2课时主备人：杨玉叶课题：直线的倾斜角和斜率（二）课型：新授课教学目的：（1）掌握经过两点的直线的斜率公式。（2）能结合三角函数和反三角函数知识进行斜率和倾斜角间的转化运算。（3）准确运用倾斜角和斜率的对应关系解题。教学重点：过两点的直线的斜率公式。教学难点：过两点的直线的斜率公式的建立。教学过程：一复习引入 1.判断正误（1）直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α；（2）直线的斜率值为tan β，则该直线倾斜角为β；（3）因为所有直线都有倾斜角，故所有直线都有斜率；（4）因平行y 轴的直线斜率不存在，故平行y 轴的直线倾斜角不存在。 2.直线有倾斜角是直线斜率存在的条件。 3．直线过A （1，1）B （－1，－1）求直线AB 的倾斜角和斜率。若B 点坐标改为（3，2）或（－3，－2），结果又如何？先求倾斜角再求斜率较繁，能否直接用点的坐标表示斜率？二讲授新课 1．斜率公式 P 1（x 1，y 1） P 2(x 2,y 2) 当向量P 1 P 2方向向上时，斜率k= 当向量方向向下,斜率k= 当向量P 1 P 2垂直y 轴时，斜率k= 当向量P 1 P 2垂直x 轴时，斜率k= 综上有：当直线P 1 P 2斜率存在时，斜率k=2 121x x y y -- 指出：（1）斜率公式与两点的顺序无关；（2）若x 1≠x 2 ，y 1 ＝y 2直线平行x 轴或x 轴，k ＝0 （3）若x 1＝x 2 ，y 1≠ y 2直线垂直x 轴 k 不存在。（4）在同一直线上的任两点所确定的斜率都相等 2.直线的方向向量直线上的向量P 1 P 2及与它平行的向量都称为方向向量. 思考：（1）方向向量P 1 P 2的坐标为多少？（2）当x 1≠x 2时向量2 11x x - P 1 P 2是直线P 1 P 2的方向向量吗？坐标为多少？由公式可知：如果知道直线上两点的坐标，即可求出直线的斜率。

利用空间向量证明空间中的位置关系-新人教B版高考数学一轮总复习测试

核心素养测评四十三利用空间向量证明空间中的位置关系 (30分钟60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,1,1), 则( ) A.l∥α B.l⊥α C.l?α或l∥α D.l与α斜交【解析】选C.因为a=(1,0,2),n=(-2,1,1), 所以a·n=0,即a⊥n,所以l∥α或l?α. 2.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=m a+n b+(4,-4,1).若c与a及b都垂直,则m,n的值分别为 ( ) A.-1,2 B.1,-2 C.1,2 D.-1,-2 【解析】选 A.由已知得c=(m+4,m+2n-4,m-n+1),故a·c=3m+n+1=0,b·c=m+5n-9=0.解得m=-1,n=2. 3.已知平面α内有一点M(1,-1,2),平面α的一个法向量为n=(6,-3,6),则下列点P中,在平面α内的是( ) A.P(2,3,3) B.P(-2,0,1) C.P(-4,4,0) D.P(3,-3,4) 【解析】选A. 逐一验证法,对于选项A,=(1,4,1),所以·n=6-12+6=0,所以⊥n,所以点P在平面α内,同理可验证其他三个点不在平面α内. 4.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则: ①A1M∥D1P;②A1M∥B1Q; ③A1M∥平面DCC1D1;④A1M∥平面D1PQB1.

以上说法正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选C.=+=+,=+=+,所以∥,所以A1M∥D1P,由线面平行的判定定理可知,A1M∥平面DCC1D1,A1M∥平面D1PQB1.①③④正确. 5.如图,F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点.E是BB1上一点,若D1F⊥DE,则有( ) A.B1E=EB B.B1E=2EB C.B1E=EB D.E与B重合【解析】选A.分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2, 则D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2), 设E(2,2,z),则=(0,1,-2),=(2,2,z),因为·=0×2+1×2-2z=0,所以z=1,所以B1E=EB. 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.若A0,2,,B1,-1,,C-2,1,是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=________. 【解析】=1,-3,-,=-2,-1,-, a·=0,a·=0,x∶y∶z

空间的平行关系

空间的平行关系综合问题空间平行与垂直关系的关系的证明要注意转化：线线平行线面平行面面平行，线线垂直线面垂直面面垂直。一、线线平行。判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行2、垂直于同一平面的两条直线互相平行；3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、线面平行。判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点；2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行；3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面； 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面； 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面基础训练题 1.下列命题中，正确命题的个数是 . ①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α;②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点. 2.下列条件中，不能判断两个平面平行的是（填序号）. ①一个平面内的一条直线平行于另一个平面②一个平面内的两条直线平行于另一个平面③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 3.对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中假命题是（填序号）. ①若m⊥α，m⊥n，则n∥α②若m∥α，n∥α，则m∥n ③若m?α，n∥α，则m∥n ④若m、n与α所成的角相等，则m∥n 4.已知直线a,b,平面α，则以下三个命题： ①若a∥b,b?α,则a∥α; ②若a∥b,a∥α,则b∥α; ③若a∥α,b∥α,则a∥b. 其中真命题的个数是 . 5、设有直线m、n和平面α、β.下列命题不正确的是（填序号）. ①若m∥α,n∥α,则m∥n②若m?α，n?α,m∥β,n∥β,则α∥β

2021版高考数学二轮复习专题限时集训8空间位置关系的判断与证明文2020147

专题限时集训(八) 空间位置关系的判断与证明 [专题通关练] (建议用时：30分钟) 1．若a ，b 是空间中两条不相交的直线，则过直线b 且平行于直线a 的平面( ) A ．有且仅有一个 B ．至少有一个 C ．至多有一个 D ．有无数个 B [∵a ，b 是空间中两条不相交的直线．∴a ，b 可能平行或异面．若a ，b 平行，则过直线b 且平行于直线a 的平面有无数个；若a ，b 异面，在b 上取一点O ，过O 作c ∥a ，则b ，c 确定平面α，∴a 平行于α，此时过直线b 且平行于直线a 的平面只有一个．故选B.] 2．(2019·长沙模拟)已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长为4，底面边长为2 3.若点M 是线段A 1C 的中点，则直线BM 与底面ABC 所成角的正切值为( ) A.12 B.13 C.23 D.34 C [过点M 作MN ⊥AC 于N ，连接BN (图略)，则∠MBN 为直线BM 与底面ABC 所成角，由题意可知MN ＝2，BN ＝3，所以tan∠MBN ＝MN BN ＝23 .] 3．已知α，β表示两个不同的平面，l 表示既不在α内也不在β内的直线，存在以下三个条件：①l ⊥α；②l ∥β；③α⊥β，若以其中两个推出另一个构成命题，则正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 C [由①②?③、①③?②是真命题，而由②③不能得到①，故选C.] 4．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°.将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A -BCD ，则在三棱锥A -BCD 中，下列命题正确的是( ) A ．平面ABD ⊥平面ABC B ．平面AD C ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDC D ．平面ADC ⊥平面ABC D [因为在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，所以BD ⊥CD ，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以CD ⊥平面ABD ，则CD ⊥AB ，又AD ⊥AB ，CD ∩AD ＝D ，所以AB ⊥平面ADC ，即平面ABC ⊥平面ADC ，故选D.] 5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间与三条直线A 1D 1，