浦东金桥新王牌补习班三角恒等式

第十二讲

三角恒等式（二）

一．知识点复习 1. 二倍角公式： sin 2α=_________ t a n 2_______α=

cos ________________________α===

2. 升幂公式：1cos 2_________α+= 1cos 2_________α-=

3. 降幂公式：22sin _________α= 22cos _________α=

4. 万能公式：sin 2α=_________ c o s 2α

=_________ 5. 正弦定理：__________________________

6. 余弦定理： __________________________

7. 面积公式：111sin sin sin 222

S ab C ac B bc A === 8.

二．常考题复习 1. ()

222sin cos cos sin y x x x x =?--的最大值和最小值之积是___________ 2. sin :sin 8:52

x x =，则cos x =___________

3.若270360α<< ___________

4.若3sin 5

x =-，且32x ππ<<，则cos 2

x =___________ 5. 3sin 4cos x x =，且sin 0x <，则tan 2x =___________ 6.在ABC 中，若10,6,30a b c C +=== ,则ABC 的面积是___________

7. 在ABC 中，若6,30b a A === ，则c = ___________

8. 在ABC 中，cos cos a A b B =,则ABC 的形状是__________

9.化简1cos sin ___________1cos sin x x x x

+-=-- 二．课堂练习

1. 57,22ππα??∈????

__________=

2．若ABC 的三个内角之比是1:2:3，则它们所对边之比是___________ 3.

2sin cos 5sin 3cos x x x x

+=--，则3cos 24sin 2x x += ___________ 4.在ABC 中，若s i n :s i n :s i n 3:A B C =,则此三角形最大内角的度数是___________

5.在ABC 中，60A = ，1b =，ABC S sin sin sin a b c A B C

++=++ ___________ 6 ABC 的三边a,b,c ，满足()()0a b c c a +--=，则此三角形的形状是___________

7. 在ABC 中，若2b a ==，且三角形有解，则A 的取值范围___________

8.若三角形的面积是)222

S b c a =+-，则A= __________

9.在ABC 中，若2b a =，B=A+ 60 ,则A= ___________

10. 在ABC 中，已知10,6,120a b C === ，求sin A 的值。

11. 在ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是a,b,c ，若2b=a+c,求角B 的范围。

12. 在ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是a,b,c ，已知)

()22sin sin sin A c a b B -=-,

ABC C; ⑵求ABC 的面积S 的最大值。

常见的三角恒等式

常见的三角恒等式及其证明 设A，B，C是三角形的三个内角 (1) tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC 证明： tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=tan(π-c)(1-tanAtanB)+tanC=-ta nC(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC (2) cotAcotB＋cotBcotC+cotCcotA=1 证明： tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC cotX*tanX=1 tanA*cotAcotBcotC＋tanB*cotAcotBcotC＋tanC*cotAcotBcotC=tanAtanBtanC* cotAcotBcotC cotAcotB＋cotBcotC+cotCcotA=1 (3) (cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1 证明： (cosA)^2+(cosB)^2+x^2+2cosAcosBx=1 x^2+2cosAcosBx+(cosA)^2+(cosB)^2-1=0 x={-2cosAcosB+-√[(2cosAcosB)^2-4((cosA)^2+(cosB)^2-1)]}/2 x=-cosAcosB+-√[(cosAcosB)^2-((cosA)^2+(cosB)^2-1)] x=-cosAcosB+-√[1-(cosA)^2][1-(cosB)^2] x=-cosAcosB+-√[(sinA)^2(sinB)^2] x=-cosAcosB+-sinAsinB x=-cos(A+B)或x=-cos(A-B) x=cosC或x=-cos(A-B) 所以 cosC是方程的一个根 所以 (cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1 (4) cosA+cosB+cosC＝1＋4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) 证明： cosA+cosB+cosC=1+4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) cos(180-B-C)+cosB+cosC=1+2sin(A/2)[2sin(B/2)sin(C/2)] cos(180-B-C)+cosB+cosC=1+2cos(B/2+C/2)[2sin(B/2)sin(C/2)] -cos(B+C)+cosB+cosC=1+2cos(B/2+C/2)[2sin(B/2)sin(C/2)]

高中常用三角函数公式大全

高中常用三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa

cos( 2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc= a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα cot （π＋α）= cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

三角函数常用公式以及证明

三角函数公式和相关证明 倒数关系： tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 商的关系： sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan α *cot α=1 一个特殊公式 （sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ） 证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ） 坡度公式 我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示， 即i=h / l, 坡度的一般形式写成l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a(叫做坡角），那么i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式 正弦：sin α=∠α的对边/∠α 的斜边 余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边 二倍角公式 正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 正切 tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)） 三倍角公式

宝山语文辅导班新王牌文言文解析

【文言文一】 崇明县 ①刘惔字真长，沛国相人也。惔少清远，有标奇。家贫，织芒屩以为养，虽荜门陋巷，晏如也。人未之识，惟王导深器之。以惔雅．善言理，简文帝初作相，与王蒙并为谈客，俱蒙上宾礼。时孙盛作《易象妙于见形论》，帝使殷浩难之，不能屈。帝曰：“使真长来，故应有．以．制之。”乃命迎惔。盛素敬服惔，及至，便与抗答，辞甚简至，盛理遂屈。一．坐抚掌大笑，咸称美之。 ②累迁丹杨尹，为政清整，门无杂宾。时百姓颇有讼官长者，诸郡往往有相举正，惔叹曰：“夫居下讪上，此弊道也。古之善政，司契而已，岂不以其敦本正源，镇静流末乎！君虽不君，下安可以失礼。若此风不革，百姓将往而不反。”遂寝．而不问。 ③惔每奇温才，而知其有不臣之迹。及温为荆州，惔言于帝曰：“温不可使居形胜地，其位号常宜抑之。”劝帝自镇上流，而己为军司，帝不纳。又请自行，复不听。及温伐蜀，时咸谓未易可制，惟惔以为必克。或问其故。云：“以蒱博验之，其不必得，则不为也。恐温终专制朝廷。”及后竟如其言。尝荐吴郡张凭，凭卒为美士，众以此服其知人。 （节选自《晋书》） 20.试简要分析第②段中刘惔“寝而不问”的原因。（3分） 奉贤区 （1）钱士贵，字符冲，奉贤高桥人。万历庚戌进士，授进贤知县。丁忧服阙补上饶，以治行。征拜．御史，寻谢病归。崇祯改元，以原官起用。遣督蚀，还，掌京畿道。寻迁南大理寺丞，以疾告者。十年，起应天府丞，迁南太常卿，召为刑部右侍郎，未至卒。 （2）初，以御史征也，时“移宫、红丸、梃击”三大案，狱．久未定，下廷臣议，士贵议曰：“选侍①移宫在停封一月后，既无垂帘之举，而迹涉疑似，阁臣顾不力争，泄泄以处，何以压服众心。李可灼妄进红丸，鼎湖载泣，人思判刃，而阁臣保恶容奸，欲辞赵宣子恶名②不可得也。请诛可灼，论政府罪，如律议上。”会魏阉窃政，悉反三案，议以倾朝士。士贵恐祸及，遂拂衣去。 （3）其起应天府丞也，值淮南被寇，流民避乱，接踵渡江，而金陵又遇岁饥，道馑相望。士贵立义仓,臵粥厂，计口授餐，全．活甚众。 （4）家居十年，为善惟恐不足，梁涉槽死，絮．冻铺馁，恒致倾囊，乡党颂义焉。敕建专祠，从祀乡贤。 注：①选侍，明光宗朱常洛宠妃李选侍。照顾皇长子朱由校迁入干清宫，不到一个月后，光宗死于鸿胪寺丞李可灼红丸案。李选侍与太监魏忠贤密谋，欲居干清宫，企图挟皇长子自重。②恶名，指弑君之名。 20.第②段钱士贵为什么建议“请诛可灼，论政府罪”？用自己的话概括。（3分) 21.从全文看，朝廷为钱士贵敕建乡祠的理由有哪些？请分条陈述。（3分)

最常用三角公式(精心简洁整理,可直接打印)

最常用三角公式 1. 诱导公式 sin(-a) = - sin(a) cos(-a) = cos(a) sin(π/2 - a) = cos(a) cos(π/2 - a) = sin(a) sin(π/2 + a) = cos(a) cos(π/2 + a) = - sin(a) sin(π - a) = sin(a) cos(π - a) = - cos(a) sin(π + a) = - sin(a) cos(π + a) = - cos(a) 2. 两角和与差的三角函数 sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(α)sin(b) cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b) cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) tan(a + b) = [tan(a) + tan(b)] / [1 - tan(a)tan(b)] tan(a - b) = [tan(a) - tan(b)] / [1 + tan(a)tan(b)] 3.和差化积公式 sin(a) + sin(b) = 2sin[(a + b)/2]cos[(a - b)/2] sin(a) - sin(b) = 2cos[(a + b)/2]sin[(a - b)/2] cos(a) + cos(b) = 2cos[(a + b)/2]cos[(a - b)/2] cos(a) - cos(b) = - 2sin[(a + b)/2]sin[(a - b)/2]

常用的三角函数公式大全

三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A =2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+

tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积

sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = - 2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)] 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2(tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2

三角函数公式的推导及公式大全

诱导公式 目录·诱导公式 ·诱导公式记忆口诀 ·同角三角函数基本关系 ·同角三角函数关系六角形记忆法 ·两角和差公式 ·倍角公式 ·半角公式 ·万能公式 ·万能公式推导 ·三倍角公式 ·三倍角公式推导 ·三倍角公式联想记忆 ·和差化积公式 ·积化和差公式 ·和差化积公式推导 诱导公式 ★诱导公式★ 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα (以上k∈z) 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※

广州小学数学培训机构_小学最好的辅导班-新王牌

圆知识点总结[广州新王牌] 1、圆是由一条曲线围成的平面图形。 （以前所学的图形如长方形、梯形等都是由几条线段围成的平面图形） 2、画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示； 连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示； 通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示。 在同一个圆里，有无数条半径和直径。 在同一个（等）圆里，所有半径的长度都相等，所有直径的长度都相等。 3、用圆规画圆的过程：先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。 画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动；两脚间的距离必须保持不变；要旋转一周，首尾相连。 围成圆的曲线叫做圆周，也叫圆上，用字母C表示，曲线内部的区域叫做圆内，曲线外部叫做圆外， 圆上的任意一点到圆的中心点的距离都相等。 判断半径的方法：一端在圆心，另一端在圆上的线段就是圆的半径 4、在同一个圆里，半径是直径的一半，直径是半径的2倍。（d=2r, r =d÷2） 5、圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴就是直径所在的直线。 对称轴是一条直线，所以直径所在的直线是圆的对称轴。 圆的两条对称轴的交点就是圆心。 1、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两边完全重合，这样的图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴。 2、中心对称：在一个平面内，一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转的图形完全重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。 3、旋转对称：一个图形绕某一点旋转一定的角度（小于周角）后与原来的图形重合，这样的图形叫做旋转对称图形。如正方形（90°）重合4次。等边三角形（120°）3次，圆（无数次）。 6、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。要比较两圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径 。圆的半径越大，圆越大。

最全面高中数学三角恒等式变形解题常用方法2021(完整版)

高中数学三角恒等式变形解题常用方法 一.知识分析 1. 三角函数恒等变形公式 （1）两角和与差公式 （2）二倍角公式 （3）三倍角公式 （4）半角公式 （5）万能公式 ，， （6）积化和差 ， ， ，

（7）和差化积 ， ， ，2.网络结构

3. 基础知识疑点辨析 （1）正弦、余弦的和差角公式能否统一成一个三角公式？ 实际上，正弦、余弦的和角公式包括它们的差角公式，因为在和角公式中，是一个任意角，可正可负。另外，公式虽然形式不同，结构不同，但本质相同： 。

（2）怎样正确理解正切的和差角公式？ 正确理解正切的和差角公式需要把握以下三点： ①推导正切和角公式的关键步骤是把公式，右边的“分子”、“分母”都除以，从而“化弦为切”，导出了。 ②公式都适用于为任意角，但运用公式时，必须限定，都不等于。 ③用代替，可把转化为，其限制条件同②。 （3）正弦、余弦、正切的和差角公式有哪些应用？ ①不用计算器或查表，只通过笔算求得某些特殊角（例如15°，75°，105°角等）的三角函数值。 ②能由两个单角的三角函数值，求得它们和差角的三角函数值；能由两个单角的三角函数值与这两个角的范围，求得两角和的大小（注意这两个条件缺一不可）。 ③能运用这些和（差）角公式以及其它有关公式证明三角恒等式或条件等式，化简三角函 数式，要注意公式可以正用，逆用和变用。运用这些公式可求得简单三角函数式的最大值或最 小值。 （4）利用单角的三角函数表示半角的三角函数时应注意什么？ 先用二倍角公式导出，再把两式的左边、右边分别相除，得到，由此得到的三个公式：，， 分别叫做正弦、余弦、正切的半角公式。公式中根号前的符号，由所在的象限来确定，如果没有给出限制符号的条件，根号前面应保持正、负两个符号。另外，容易 证明。 4. 三角函数变换的方法总结 三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三 角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初等数学中

三角函数恒等式

二倍角公式 sin2A=2sinA?cosA cos2A=cos^2A-sin^2A=1-2sin^2A=2cos^2A-1 tan2A=（2tanA）/（1-tan^2A） 三倍角公式 sin3α=4sinα2sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα2cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a 2 tan(π/3+a)2 tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin^2a) =4sina[(√3/2)^2-sin^2a] =4sina(sin^260°-sin^2a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a) /2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos^2a-3/4) =4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]

=4cosa(cos^2a-cos^230°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-3 0°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)) 和差化积 sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

三角形内有关角的三角函数恒等式的证明

三角形内有关角的三角函数恒等式的证明 张思明 课型和教学模式：习题课，“导学探索，自主解决”模式 教学目的： （1）掌握利用三角形条件进行角的三角函数恒等式证明的主要方法，使学生熟悉三角变换的一些常用方法和技巧（如定向变形，和积互换等）。 （2）通过自主的发现探索，培养学生发散、创造的思维习惯和思维能力，体验数形结合、特殊一般转化的数学思想。并利用此题材做学法指导。 （3）通过个人自学、小组讨论、互相启发、合作学习，培养学生自主与协作相结合的学习能力和敢于创新，不断探索的科学精神。 教学对象：高一（5）班 教学设计： 一．引题：（A，B环节） 1．1复习提问：在三角形条件下，你能说出哪些有关角的三角恒等式？ 拟答： ， …… ， ， …… 这些结果是诱导公式，的特殊情况。 1．2今天开始的学习任务是解决这类问题：在三角形条件下，有关角的三角恒等式的证明。学习策略是先分若干个学习小组（四人一组），分头在课本P233---P238，P261-266的例题和习题中，找出有三角形条件的所有三角恒等式。 1．3备考：期待找出有关△ABC内角A、B、C的三角恒等式有： （1）P233：例题10：sinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2

(2)P238:习题十七第6题：sinA+sinB-sinC=4sinA/2sinB/2cosC/2. (3) cosA+cosB+cosC=1+4sinA/2sinB/2sinC/2. (4) sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC. (5)cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC. (6)P264:复参题三第22题：tgA+tgB+tgC = tgAtgBtgC. (7) 也许有学生会找出:P264--（23）但无妨。 1．4请各组学生分工合作完成以上恒等式的证明： 提示：建议先自学例题10，注意题目之间的联系，以减少证明的重复劳动。 二．第一层次的问题解决（C，D环节） 2．1让一个组上黑板，请学生自主地挑出有“代表性”的3题（不超过3题）书写证明过程。然后请其他某一个组评判或给出不同的证法。 证法备考：（1）左到右：化积---->提取----->化积。 （2）左到右：化积---->提取----->化积sin(A+B)/2=cosC/2 (3)左到右：化积--->--->留“1”提取-->化积 （4）左到右：化积--->提取---->化积sin2C=sin2(A+B) (5)左到右： （6）左到右：tgA+tgB=tg(A+B)(1-tgAtgB) (7)左到右：通分后利用（4）的结果 2．2教师注意记录学生的“选择”，问：为什么认为你们的选择有代表性？ 体现学法的“暗导”。选择的出发点可以多种多样，如从品种、不同的证法、逻辑源头等考虑。 2．3另一组学生判定结果或给出其他解法，（解法可能多样。）也可对前一组学生所选择书写的“例题”的“代表性”进行评价。教师记录之。注意学生的书写中的问题（不当的跳步等……）。 2．4其他证法备考： 1．如右到左用积化和差，（略） 2．利用已做的习题：

3-2-2 三角恒等式的应用

能 力 提 升 一、选择题 1．函数y ＝sin x 1＋cos x 的周期等于( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．3π [答案] C [解析] y ＝2sin x 2cos x 2 2cos 2x 2＝tan x 2，T ＝π 1 2＝2π. 2．函数y ＝1 2sin2x ＋sin 2x 的值域是( ) A.??????－12，32 B.???? ??－32，12 C.??????－22＋12，22＋12 D.? ????? －22－12，22－12 [答案] C [解析] ∵y ＝12sin2x ＋sin 2x ＝12sin2x ＋1－cos2x 2＝12＋22sin ? ? ? ??2x －π4， ∴值域为??????12 －22，12＋22. 3．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴是x ＝5π 3，则

函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的最大值是( ) A.223 B.23 3 C.43 D.263 [答案] B [解析] 由于函数f (x )的图象关于x ＝5π 3对称， 则f (0)＝f ? ?? ??10π3，∴a ＝－32－a 2， ∴a ＝－3 3， ∴g (x )＝－3 3sin x ＋cos x ＝233sin ? ????x ＋2π3， ∴g (x )max ＝23 3. 4．函数y ＝cos 2ωx －sin 2ωx (ω>0)的最小正周期是π，则函数f (x )＝2sin(ωx ＋π 4)的一个单调递增区间是( ) A ．[－π2，π 2] B ．[5π4，9π4] C ．[－π4，3π4] D ．[π4，5π4] [答案] B [解析] y ＝cos 2ωx －sin 2ωx ＝cos2ωx (ω>0)， 因为函数的最小正周期为π，故 2π 2ω＝π，所以ω＝1.则

杨浦区补习班 高中辅导班 新王牌数学龚Y老师 函数的性质

杨浦新王牌小班 3.4 函数的基本性质（3） 基本问题及方法 理解并能求解函数的最值和值域，综合运用函数的性质 练习 一、填空题 1． 函数()2f x x =________ 2． 函数2()4,[1,5]f x x x x =-∈的最小值为__________；最大值为___________ 3． 函数221 ()1 x f x x -=+的值域为_____________ 二、选择题 4． 下列函数中，值域是(0,)+∞的是（ ） （A ）y = B ）21(0)y x x =+>（ C ）21y x x =++（ D ）2 1y x = 5． 函数222(03) ()6(20) x x x f x x x x ?-≤≤=?+-≤

值。

第三章单元测试 一、填空题 1． 函数0(4) y x = --的定义域为________ 2． 函数2()21f x x =-，则(1)f x -＝___________ 3． 函数32()2f x x x =+，1 ()2 g x x =+，则()()f x g x ＝_____________ 4． 函数y = 的递减区间是__________ 5． 偶函数()f x ，当x >0时，2()22f x x x =-+，则x <0时，()f x ＝____________ 6． 两个同心圆，已知小圆半径为a 米，设大圆半径为x 米，则两个同心圆间的圆环面积y 与x 之间的函数关系为_____________ 7． 已知53()8f x x ax bx =++-，且(2)10f -=，则(2)f ＝__________ 8． 函数y = R ，则k 的取值范围是___________ 9． 已知函数()||2f x x b =-+在(0,)+∞上为增函数，则实数b 满足的条件是___________ 10． 函数()y f x =同时满足条件：①定义域[1,1]-；②偶函数；③值域[1,0]-。则()y f x =的一个解析式是 ____________ 二、选择题 11． 若2 ()1x f x x = +，则下列等式中成立的是（ ） （A ）1()()f f x x =（B ）1()()f f x x =-（C ）11 ()() f x f x = （D ）1()()f f x x =- 12． 关于函数()f x = ） （A ）只有最大值，没有最小值； （B ）只有最小值，没有最大值； （C ）既有最大值，又有最小值； （D ）既无最大值，也无最小值。 13． “()f x 不具有奇偶性”是“()f x 的定义域不关于原点对称”的（ ）条件 （A ）充分非必要 （B ）必要非充分 （C ）充分必要 （D ）既非充分也非必要 14． 已知函数3()4x f x x +=-，229 ()712 x g x x x -=-+的值域分别为集合P 、Q ，则（ ） （A ）P Q ? （B ）P Q = （C ）P Q ? （D ）以上答案都不对

三角函数常用公式公式及用法

三角函数常用公式及用法 珠海市金海岸中学 唐云辉 1、终边相同的角及其本身在内的角的表示法: S={ | k 360°,k Z}，或者 S { | 用法：用来将任意角转化到 0?2的范围以便于计算。 公式中k 的求法： 如是正角就直接除以3600或2，得到的整数 就是我们 要求的k ，剩余的角就是公式中 的；如果是 负角，就先取绝对值然后再去除以 3600或者2，得到 的整数加1后再取相反数就是上述公式中的 k,等于3600或者2减去剩余的角的值。 用法：前者是弧长公式，用以计算圆弧的长度；后者为扇形的面积公式，用以计算扇形的面积。 3.三角形面积公式： 1 , 1 1 1 abc 2 S 』= a h a = ab si nC =—bc si nA = —ac si nB = =2R sin A si n B si nC 2 2 2 4R 2 a sin BsinC 2 sin A 2 2 b sinAsinC c sinAsinB = = =pr= P (P a)(p b)(p c) 2si nB 2sinC 1 ( 其中p -(a 2 4 ?同角关系： b c) , r 为三角形内切圆半径) (1 )、商的关系：① tan =y = sin x cos 用法：一般用来计算三角函数的值。 (2 )、平方关系：sin 2 cos 2 1 行运算，遇到sin cos m 就先平方而后再运算， 遇到sin cos sin 2 cos 2 这类题目就联想 2 2 到分母为"1” =s in cos 进行运算即可。 --------- K (3)、辅助角公式： asin bcos Va 2 b 2 sin( ) (其中 a>0,b>0 ，且 tan —) a 用法：用以将两个异名三角函数转化成同名三角函数，以便于求取相关的三角函数。 5、函数y= Asin( x ) k 的图象及性质：( 0, A 0 ) 2、 L 弧长= n nR R =180 扇 =丄LR 」F 2 2 2 n R 2 360 2k ,k Z} 用法：凡是见了 sin cos m 或者sin cos ?2 sin 2 cos 的形式题目都可以用上述平方关系进

三角函数恒等式证明的基本方法

三角函数恒等式证明的基本方法 三角函数恒等式是指对定义域内的任何一个自变量x 都成立的等式；三角函数恒等式的证明问题是指证明给定的三角函数等式对定义域内的任何一个自变量x 都成立的数学问题。这类问题主要包括：①三角函数等式一边较繁杂，一边较简单；②三角函数等式的两边都较繁杂两种类型。那么在实际解答三角函数恒等式的证明问题时，到底应该怎样展开思路，它的基本方法如何呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题。 【典例1】解答下列问题： 1、证明下列三角函数恒等式： （1）4222sin sin cos cos 1αααα++=； （2） 22(cos 1)sin 22cos ααα-+=-； （3）若sin α.cos α＜0,sin α.tan α＜0， =±2tan 2 α 。 【解析】 【知识点】①同角三角函数的基本关系；②二次根式的定义与性质；③分式的定义与性质。 【解题思路】（1）对左边运用同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到右边，从而证明恒等式；（2）对左边运用同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到右边，从而证明恒等式；（3）对左边运用分式的性质，同角三角函数的基本关系和二次根式的性质，通过运算就

可得到右边，从而证明恒等式。 【详细解答】（1）Q 左边=sin 2α( sin 2α+ cos 2α)+ cos 2α= sin 2α+ cos 2α=1 =右边，∴4222sin sin cos cos 1αααα++=；（2）Q 左边= cos 2α-2 cos α+1+ sin 2α =2-2 cos α=右边，∴22(cos 1)sin 22cos ααα-+=-；（3） Q sin α.cos α＜0，sin α.tan α＜0，∴α是第二象限的角，?2 α 是第一象限或第三象限的角，①当 2 α 是第一象限的角时，左边 |1sin |2|cos | 2α α+- |1sin |2|cos | 2 α α-=1sin 1sin 2 2cos 2 α α α +-+=2tan 2α；②当2 α是第一象限的角时，左边 |1sin |2|cos |2α α+-|1sin | 2|cos | 2α α- = 1sin 1sin 2 2cos 2 α α α --+-=-2tan 2α；?左边=±2tan 2 α=右边，∴若若 sin α.cos α＜0，sin α.tan α＜0 ±2tan 2α。 2、求证：22sin()sin() sin cos αβαβαβ+-=1-22tan tan βα ； 【解析】

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第4课时 实数（1） 0.81 ， 1.29= ，0.59 = 数概念做准备．

7 - { } { } 认识， 数概念的理解．

第5课时实数（2）

实数练习题 一、填空题 1.一个正数有 个平方根，0有 个平方根，负数 平方根. 2. 16 9 的算术平方根是 ，它的平方根是 . 3.一个数的平方等于49，则这个数是 . 4.16的算术平方根是 ，平方根是 . 5.一个负数的平方等于81，则这个负数是 . 6如果一个数的算术平方根是5，则这个数是 ，它的平方根是 723-的相反数地 ，绝对值是 . 8写出两个无理数，使它们的和为有理数 ；写出两个无理数，使它们的积为有理数 . 9在数轴上，到原点距离为5个单位的点表示的数是 . 10.在 262262226.4,9,4.0,81,8,2,3 1 ,14.3---?π.）个之间依次多两个216(中： 属于有理数的有 属于无理数的有 属于正实数的有 属于负实数的有 11.－5的相反数是 ，绝对值是 ，没有倒数的实数是 . 12.， 2 π 1.5 二、选择题 13.下列说法正确的个数是 ( ) ①∵36.0)6.0(-2 = ∴－0.6是0.36的一个平方根 ②∵0.82 ＝0.64 ∴0.64的平方根是0.8 ③∵ 16 94 3 2 ＝）（－ ∴43169＝－ ④∵2552＝）（±∴525±±＝ A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 14.下列说法中，正确的是 （ ） A.64的平方根是8 B.4的平方根是2或－2 C. 2 3）（－没有平方根 D.16的平方根是4和－4 15. 7的平方根是 （ ）

第10讲 三角恒等式一(数学竞赛)

第10讲 三角恒等式与三角不等式（一） 【赛点突破】 1． 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。 2． 同角函数基本关系：平方关系，倒数关系，商关系。 3． 三角公式：和差倍半，和差化积，积化和差。 【范例解密】 例1若x 是锐角，证明：（1）sin tan x x x <<；（2） sin tan 2 x x x +>。 分析与解：（1）如图，在单位圆中， OAB OAB OBC S S S ??<<扇形，即sin tan x x x <<； （2）224tan tan 2tan sin tan 22 221tan 1tan 1tan 222 x x x x x x x x +=+= +-- 2tan 222 x x x >>?=。 注：（2）的变形值得回味。 例2 2tan x =-，求x 的取值范围。 解：原式左边= 1sin 1sin 2sin cos cos cos x x x x x x -+--=，故cos 0x >或者sin 0x =，则 22,22 k x k k Z π π ππ- <<+ ∈或者,x k k Z π=∈。 注：本题非常容易漏解，考查思维的严谨性。 例3 求15 ()()44f x x = ≤≤的最小值。 分析与解：sin()2 ()x f x π π-+=54x =取得最大值，分子当54x =取得最小值，故5 4 x = 原式取得最小值。 注：解决问题的思维值得借鉴。 例4求 1 tan10cos50 +的值。

分析与解： 1cos802cos 40cos80cos402cos60cos 20 sin40sin80sin80sin80 ++ += = 2cos30cos10 3 sin80 ==。 注；tan10cot80 =是一个很好的变形，另外2cos40 cos802cos(12080) + =- cos802sin120sin80 +=是一个更启发思路的方法。 例5()sin2)sin()23,[0,] 42 f x x x a x ππ =-+++∈，若 () cos() 4 f x x π > - 恒成立，求a的取值范围。 分析与解：设sin cos x x t +=∈，则2 sin21 x t=-，原不等式化为 2 4 (2)22 t a t a t -+++>，即 2 (2)()0 t t a t -+-<，故 2 a t t >+恒成立，则3 a>。注：其中的三角换元是常用的重要方法，高次方程的分解因式是稍高的技巧。例6ABC ?中，求cos cos cos A B C ++的最大值。 分析与解：原式2 2cos cos cos2sin12sin 2222 A B A B C C C +- =+≤+-= 2 13 2(sin) 222 C --+，故当 3 A B C π ===时原式的最大值是 3 2 。 注（1）如果求cos cos cos A B C ++的值域呢？ （2）3 cos cos cos cos2cos2cos 322 C A B A B C π π+ + +++≤+≤ 3 3 4cos 42 A B C π +++ =是很好的方法，由此如何解决sin sin sin A B C ++的最值问题，并和其他的方法比较。 例7,a b是正实数，且 sin cos8 55tan 15 cos sin 55 a b a b ππ π ππ + = - ，求 b a 的值。 分析与解：设tan, b x x a =是锐角，则 tan tan8 5tan 15 1tan tan 5 x x π π π + = - ，即 8 tan()tan 515 x ππ +=， 故 8 , 5153 x x πππ +==， b a = 注：本解法比较灵巧，还有多种基本的方法，请自己探索。

三角函数常用公式

数学必修4三角函数常用公式及结论 一、三角函数与三角恒等变换 2、同角三角函数公式 sin 2α+ cos 2α= 1 ααcos tan = 3、二倍角的三角函数公式 sin2α= 2sin αcos α cos2α=2cos 2α-1 = 1-2 sin 2α= cos 2α- sin 2α αα α2tan 1tan 22tan -= 45 1- cos2α= 2 sin 2α 6、两角和差的三角函数公式 sin (α±β) = sin αcos β土cos αsin β cos (α±β) = cos αcos β干sin αsin β ()βαβ αβαtan tan 1tan tan tan ±=± 7、两角和差正切公式的变形： tan α±tan β= tan (α±β) (1干tan αtan β) ααtan 1tan 1-+=αα tan 45tan 1tan 45tan ?-+?= tan (4π+α) ααtan 1tan 1+-=αα tan 45tan 1tan 45tan ?+-?= tan (4π -α) 8

10、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限。” sin (π－α) = sin α， cos (π－α) = －cos α， tan (π－α) = －tan α； sin (π+α) = －sin α cos (π+α) = －cos α tan (π+α) = tan α sin (2π－α) = －sin α cos (2π－α) = cos α tan (2π－α) = －tan α sin (－α) = －sin α cos (－α) = cos α tan (－α) = －tan α sin (2π－α) = cos α cos (2 π－α) = sin α sin (2π+α) = cos α cos (2 π+α) = －sin α 11.三角函数的周期公式 函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ω?=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T π ω=. 解三角形知识小结和题型讲解 一、 解三角形公式。 1. 正弦定理 2. 余弦定理 在运用余弦定理的计算要准确，同时合理运用余弦定理的变形公式. 3.三角形中三内角的三角函数关系)(π=++C B A ○1).tan(tan ),cos(cos ),sin(sin C B A C B A C B A +-=+-=+=（注：二倍角的关系） ○2),2sin(2cos ),2cos(2sin C B A C B A +=+= 5.几个重要的结论 ○1B A B A B A cos cos ,sin sin <>?>； ○2三内角成等差数列00120,60=+=?C A B 2(ABC ) sin sin sin a b c R R A B C ===?是的外接圆半径2 222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-222 2 22 222 cos 2 cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-=