14.模的运算
高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话:139********)数学丛书,给您一个智慧的人生！
高考数学母题
[母题]Ⅰ(1-14):模的运算(014) 33
模的运算
[母题]Ⅰ(1-14):(《选修2-2》(人教A 版)P106习题3.1B 组第2题)已知复数z 的虚部为3,在复平面内复数z 对应的向量的模为2,求该复数z.
[解析]:由复数z 的虚部为3,可设z=x+3i(x ∈R)?|z|=32+x ;又由|z|=2?x=±1?z=±1+3i.
[点评]:如果复数z=a+bi,则z 的模|z|=
22b a +,复数的模有如下性质:①|z 1z 2|=|z 1||z 2|;|z|2
=|z 2
|;②|z 1+z 2|2
+|z 1-z 2|
2
=2(|z 1|2
+|z 2|2
);③|
2
1z z |=||||21z z ;复数的模与共轭复数有如下关系:①|z|=|z |;②z =?z |z|2
;③|z|=1?z =?z 1. [子题](1):(2010年课标卷高考试题)已知复数z=
2
)31(3i i -+,则|z|=( )
(A)
41 (B)2
1
(C)1 (D)2 [解析]:由z=
2
)31(3i i -+?|z|=
2
|31||3|i i -+=
2
2
2=
2
1
.故选(B). 注:利用复数模的性质求复数的模,无需把所给复数化成a+bi 的形式,减少了计算量,是最佳途径.
[子题](2):(1986年全国高中数学联赛试题,2006年复旦大学保送生考试试题)为z 为复数,M={z|(z-1)2
=|z-1|2
},
那么( )
(A)M={纯虚数} (B)M={实数} (C){实数}?M ?{复数} (D)M={复数}
[解析]:(z-1)2=|z-1|2?(z-1)2=(z-1)(z -1)?z=1,或z=z
?M={实数}..
注:复数的模与共轭的关系:z =?z |z|2
,直接建立了复数的模与共轭复数的相互转化途径,这为解题带来了灵活性. [子题](3):(2001年复旦大学保送生考试试题)设复数z 1、z 2满足:|z 1|=|z 1+z 2|,1z z 2=a(1+3i),其中i 是虚数单位,a 是负实数,求
1
2
z z . [解析]:由|z 1|=|z 1+z 2|?|z 1|2=|z 1+z 2|2?z 11z =(z 1+z 2)(1z +2z )?z 12z +1z z 2+z 22z =0(1z z 2=a(1+
3i)?z 12z =a(1-
3i))?z 22z =-2a ?
2
122z z z z =
)
31(2i a a +-?
1
2z z =
231i +-?1
2z z
=
231i --. 注:本题为复数的模与共轭复数的相互转化带来了很好的示范. [子题系列]:
1.(2006年上海高考试题)若复数z=(m-2)+(m+1)i 为纯虚数(i 是虚数单位),其中m ∈R,则|z|= .
2.(2008年广东高考试题)己知0 (A)(1,5) (B)(1,3) (C)(1,5) (D)(1,3) 3.(2013年江苏高考试题)设z=(2-i)2 (为虚数单位),则复数z 的模为 . 4.(2004年辽宁高考试题)设复数z 满足 z z +-11=i,则|1+z|=( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)2 5.(2013年广东高考试题)若i(x+yi)=3+4i,x,y ∈R,则复数x+yi 的模是( ) 34 [母题]Ⅰ(1-14):模的运算(014) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 6.(2010年江苏高考试题)设复数z 满足z(2-3i)=6+4i(i 为虚数单位),则z 的模为 . 7.(2011年辽宁高考试题)a 为正实数,i 为虚数单位,| i i a +|=2,则a=( ) (A)2 (B)3 (C)2 (D)1 8.(2013年辽宁高考试题)复数z= 1 1 -i 的模为( ) (A) 21 (B)2 2 (C)2 (D)2 9.(2013年课标Ⅱ卷高考试题)| i +12 |=( ) (A)22 (B)2 (C)2 (D)1 10.(2013年山东高考试题)复数z=i i 2 )2(-(i 为虚数单位),则|z|=( ) (A)25 (B)41 (C)5 (D)5 11.(2013年重庆高考试题) 已知复数z= i i 215+(i 为虚数单位),则|z|= . 12.(2011年“华约”自主招生试题)设复数z 满足:|z|<1,且|z +z 1|=2 5 ,则|z|=( ) (A) 54 (B)43 (C)32 (D)2 1 13.(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)复数z 满足|z|(3z+2i)=2(iz ?6),则|z|等于 . 14.(2004年全国高中数学联赛吉林初赛试题)设{z n }是一个复数数列,定义z n =(1+i)(1+ 2 i ) (1) n i ),则∑=+-n n n n z z 1 1||= . 15.(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设z 是复数,且|z|=1,则u=|z 2 -z+1|的最大值与最小值是 . [子题详解]: 1.解:由z=(m-2)+(m+1)i 为纯虚数?m=2?z=3i ?|z|=3. 2.解:由0 3.解:|z|=|(2-i)2 |=|2-i|2 =5. 4.解:由 z z +-11=i ?(1+i)z=1-i ?z=-i ?|1+z|=2.故选(C). 5.解:由i(x+yi)=3+4i ?|i||x+yi|=|3+4i|?|x+yi|=5.故选(D). 6.解:由z(2-3i)=6+4i ?|z|=2. 7.解:由|i i a +|=2?||||i i a +=2?a 2 +1=4?a=3.故选(B). 8.解:|z|=|11-i |=|1|1-i =2 2.故选(B). 9.解:| i +12|=|1|2i +=2 2 =2.故选(C). 10.解:|z|=|i i 2)2(-|=|||2|2i i -=5.故选(C). 11.解:|z|=|i i 215+|=5. 12.解:由|z + z 1|=25?|z 1(z z +1)|=25?| |1z (|z|2 +1)=25?|z|=2,21.故选(D). 13.解:设|z|=r(r>0)?z=i r ri 23212+-+?r 2=|z|2=|i r ri 23212+-+|2=22| 23||212|i r ri +-+=49414422++r r ?r 4 =16?r=2. 14.解:由z n =(1+i)(1+2 i ) (1) n i )?|z n -z n+1|=|(1+i)(1+ 2 i ) (1) n i )(- 1 +n i )|=2? 2 3?…? n n 1+? 1 1+n = 1? ∑=+-n n n n z z 1 1||=n. 15.解:u=|z 2 -z+1|=|z 2 -z+z z |=|z(z+z -1)|=|z+z -1|.设z=x+yi,则|x|≤1?u=|z+z -1|=|2x-1|∈[0,3].