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整周未知数的解算方法

整周未知数的解算方法
整周未知数的解算方法

整周未知数的解算方法

资源环境与城乡规划管理20091303021李金权摘要:GPS定位技术的普及,使之成为实际测量的主要手段,而整周未知数的确定是GPS定位中的核心问题。本文就主要讲解了快速解算整周未知数的方法。

关键词:整周未知数;单历元解算;宽巷模糊度; LAMBDA; 分组搜索

过去的二十多年中,国内外许多学者对整周未知数解算的理论进行了研究,提出了许多解算整周未知数的方法。常用的有下列几种:

1.伪距法

伪距法是在进行载波相位测量的同时又进行了伪距测量,将伪距观测值减去载波相位测量的实际观测值(化为以距离为单位)后即可得到λ·N0。但由于伪距测量的精度较低,所以要有较多的λ·N0去平均值后才能获得正确的整波段数。

2.将整周未知数当做平差中的待定系数——经典方法

把整周未知数当做平差计算中的待定系数来加以估计和确定有两种方法。

(1)整数解

整周未知数从理论上讲应该是是一个整数,利用这一特性能提高解得精度。短基线定位时一般采用这种方法。首先根据卫星位置和修复了周跳后的相位观测值进行平差计算,求得基线向量和整周未知数。由于各种误差的影响,解得的整周未知数往往不是一个整数,称为实数解。然后将其固定为整数(通常采用四舍五入法),并重新进行平差计算。在计算中整周未知数采用整周值并视为已知数,以求得基线向量的最后值。

(2)实数解

当基线较长时,误差的相关性将降低,许多误差消除的不够完善。所以无论是基线向量还是整周未知数,均无法估计得很准确。在这种情况下再将整周未知数固定为某一整数往往无实际意义,所以通常将实数解作为最后解。

采用经典方法解算整周未知数时,为了能正确求得这些参数,往往需要一个小时甚至更长的观测时间,从而影响了作业效率,所以只有在高精度定位领域中才应用。

3.多普勒法(三差法)

由于连续跟踪的所有载波相位测量观测值中均含有相同的整周未知数N0,所以将相邻两个观测历元的载波相位相减,就将该未知参数消去,从而直接解出坐标参数。这就是多普勒法。但两个历元之间的载波相位观测值之差受到此期间接收机钟及卫星钟的随机误差的影响,所以精度不太好,往往用来解算未知参数的初始值。三差法可以消除掉许多误差,所以使用较广泛。

4.快速确定整周未知数法

1990年E.Frei和G.Beutler提出了利用快速模糊度(即整周未知数)结算发进行快速定位的方法。采用这种方法进行短基线定位时,利用双频接收机只需观测一分钟便能成功地确

定整周未知数。

这种方法的基本思路是,利用初始平差的解向量(接收机点的坐标及整周未知数的实际解)及其精度信息(单位权中误差和方差协方差阵),以数理统计理论的参数估计和统计假设检验为基础,确定在某一置信区间整周未知数可能的整数解的组合,然后依次将整周未知数的每一组合作为已知值,重复地进行平差计算。其中使估值的验后方差或方差和为最小的一组整周未知数,即为整周未知数的最佳估值。

(1) 码伪距法

利用P (Y )码可以直接测定从卫星至接收机间的伪距 i

ρ。因此, 如果在进行载波相 位测量的同时, 又利用测距码进行伪距测量的话, 就可以将伪距观测值 i

ρ减去载波相位 测量的实际观测值 i i r =nt +I F ???i ()()(均以周数为单位)与载波波长

λ的乘积后, 即可得到λN ,即

i i

N λρλ?=- (1) 由于伪距测量的精度较低, 所以, 仅根据一个历元的伪距测量值通常还无法求得正确的N 值。必须有较多历元的观测值取平均后才有可能求得正确的整周未知数N , 即

1

1()n i i i N n λρλ?==-∑ (2) 显然, 为了正确确定N ,λN 的平均值的精度必须优于半个波长,即102cm λ≈。例如,当P (Y ) 码伪距的精度为20cm ±时, 需多于4个历元的伪距观测值, 才能正确确定整周未知数。因为, 只有当4n >时,N λ的中误差1220n cm σ=才能小于10cm 。

在实际测量时, 由于存在着电离层, 而且, 它对于载波相位测量和码伪距测量的影响是相反的, 故需采用下列公式计算: 221211221222212112222121122222221211222()()2()()f f f f N f f f f f f f f N f f f f ρρλλρρλλ?+=-?--??+?=-?--?

(3) 式中, 1N 和2N 分别为 1L 载波和2L 载波的整周未知数, 1f 和2f 分别为1L 和2L 的频率,

1λ和2λ分别为1L 和2L 的波长, 1ρ和 2

ρ分别为利用调制在1L 载波上的P (Y )码和调制在2L 载波上的P (Y ) 码测定的伪距。

采用码伪距法时, 用户可以在很短的时间内(例如, 1min 内) 确定整周未知数, 因而,无疑是一种方便有效的好方法。目前, 美国A O A 公司宣称他们生产的SN R 一12 SM TurboRo gue 接收机的码伪距精度可达1cm 。这样, 用户只需用一个历元的伪距观测值, 即可确定整周未知数, 实现所谓的“ 整周未知数的瞬时确定” , 从而, 提供了一种十分诱人的前景。然而, 由于美国政府实施了A S 技术, 包括我国用户在内的未经美国政府批准的全世界广大

用户目前已无法使用Y 码。而C / A 码的测距精度较低, 并且只调制在1L 载波上, 从而, 使得广大未经批准的用户无法用这种方法来确定整周未知数。正因为如此, 该方法一直未受到人们广泛的重视。然而, 近来情况已有所变化。首先, 是G PS 接收机技术取得了重大突破, 采用Z 跟踪技术的接收机在美国政府实施A S 技术的情况下,仍可用P 码来进行伪距测量。其次, 由于采用了窄相关技术, C / A 码的测距精度已有了大幅度的提高, 可达到与P 码大致相仿的精度。加之美国交通部目前正在与美国国防部协商, 希望在第一代的GPS 卫星

BlackIF 中能把C/ A 码同时调制在第二个载波上。上述计划如果能够实现, 那么, 用产即使使用C / A 码接收机( 采用窄相茉技术) 也能快速确定整周未知数了。从而使码伪距法成为一种可供用户普遍使用的方法。

(2)单历元解算方法

GPS 整周模糊度单历元解算的数学模型

因为双差组合具有可消除接收机钟差和卫星钟差,大大消弱了卫星星历误差、电离层延迟、对流层延迟等误差影响的优点。所以本文采用双差组合观测值进行模糊度单历元解算,首先进行观测量双差组合,双差观测方程为:

伪距观测方程: [,,][,,]T C C l m n X Y Z ρδδδε=+?+

宽巷载波观测方程: [,,][,,]T W W W W l m n X Y Z N ?ρδδδλε=+?-?+

载波观测方程: [,,][,,]T i i i L l m n X Y Z N ?ρδδδλε=+?-?+ (1) 式中,C 为双差伪距观测值, ρ 为双差几何距离, [,,]X Y Z δδδ为流动站坐标改正量,

[,,]l m n 为测站至两颗卫星方向余弦之差,W ?代表双差宽巷观测值, W λ为宽巷载波的波长,W N 为双差宽巷整周模糊度, i ?为双差载波相位观测值, i λ为载波相位的波长,i N 为载波的双差整周模糊度,i = 1,2,C ε、W ε、L ε为各观测方程的残差项。

双差宽巷载波相位和测距码观测方程的矩阵形式为:

0W C L W W W V B X C V B I N L λ????????=+???????????????

?? (2) 式中,X 为坐标改正向量, B 为坐标改正量的系数矩阵, W N 为宽巷双差模糊度向量, I 为单位阵, C 、W L 为双差测距码观测值、双差宽巷观测值与几何距离之差, C V 、L V 分别为观测值C 、W L 的改正数。

至少有四颗同步观测卫星才可组成观测方程组进行最小二乘解算。法方程及解为:

10N Y U Y N U -?+=??=-?

(3) 其中[]T W Y X N =,

00T W W B B N P B I B I λλ????=??????????

11112

0W L W W W L V B X L N B I N L V N λλ??-??????=+???????????????????

P 为权阵。由于宽巷载波相位观测值的精度比伪距观测值的精度高,所以同一卫星宽巷载波相位观测值的权要比伪距观测值的权大。

双差整周模糊度单历元解算

双差宽巷模糊度的解算由于单历元伪距观测值的精度低,影响观测方程最小二乘解算的估值精度。宽巷模糊度浮解的精度差,模糊度组合的搜索空间会比较大。较大的模糊度搜索空间会引入过多的错误模糊度组合,增加了模糊度固定的难度,甚至会导致模糊度搜索失败。如果模糊度搜索空间中备选模糊度组合的数量能大大减少,那么得到正确模糊度组合的搜索效率就会明显提高。因此,对宽巷模糊度做分组降维处理,分成主模糊度组和从模糊度组,进行逐步解算。在选择分步解算模糊度时,因为首先固定误差较小的模糊度,显著缩小模糊度搜索空间,所以能够提高模糊度搜索的成功率和效率。

在模糊度搜索时,传统的做法是,当模糊度的个数为n 时,建立n 维搜索空间,所有的模糊度都通过搜索来确定。事实上,模糊度向量中有三个模糊度是独立的,如果它们( 三个或三个以上模糊度) 被固定为正确的整数时,其他的模糊度可以通过确定的线性关系进行计算,因此可采用分组模糊度搜索法逐步固定宽巷模糊度。根据模糊度协方差矩阵Q ,能够估计模糊度实数解的精度情况。首先选择方差较小的模糊度进行搜索,即把模糊度分为主模糊度组和从模糊度组。对主模糊度组进行搜索固定,从模糊度组在主模糊度组固定后再确定。

选择方差较小的模糊度组成主模糊度( 个数大于三个) ,并得主模糊度参数组的实数解 M N

和协方差阵M Q ,剩下的模糊度组成从模糊度参数组 D N

。使用LAMBDA 方法对主模糊度进行解算,因为相对于整个模糊度向量维数有所减少,所以主模糊度的将相关处理较分组前更为容易。用高斯整数迭代或其他方法( 联合去相关法等) 生成整数变换矩阵Z ,搜索主模糊度。去相关处理过程为:

ZM M N

Z N = T ZM M Q ZQ Z = (4)

主模糊度组的搜索空间定义为:

12()()T ZM ZM ZM ZM ZM

N N Q N N χ---≤ (5) 其中ZM N 为待确定的整周模糊度,χ 为2χ分布的置信系数。使用搜索空间中的每一组备选模糊度组合,计算如下的目标函数Ω:

1=()()T ZM ZM ZM ZM ZM

N N Q N N -Ω-- (6) 对目标函数值进行似然比检验( Ratio 检验) ,即函数次小值与最小值之比:

atio=R ΩΩ次小

最小 (7)

当Ratio 值大于某一阈值时( 一般选取2或3) ,认为函数最小值对应的模糊度组合为正确的模糊度组合。将正确的整周模糊度组合进行回代,得到固定的主模糊度组:

1M ZM N Z N -= (8)

当主模糊度组NM 固定为整数向量后,转化成精度较高( 相对于伪距观测值) 的距离观测值,回代双差的观测方程。用固定的这部分宽巷模糊度更新观测方程,可以改进所有的参数,包括从模糊度组参数,求得从模糊度实数解及其方差。再使用LAMBDA 方法,能够比较容易的得到从模糊度组的固定解,进而将宽巷模糊度组合固定下来。

双差L1 /L2 模糊度的解算

宽巷双差模糊度固定后,宽巷观测值和1L 观测值的观测方程矩阵形式为:

11110W L W W W L V B X L N B I N L V λλ??-??????=+????????????????

??? (9) 式中各符号的含义同式( 2) ,其中1L 为L1 载波的双差相位观测值与几何距离之差,1λ为L1 的波长,1N 为L1 的双差模糊度,1L V 为L1 的改正数。对上式观测方程进行最小二乘解

算,其法方程的形式与式( 3) 相似。宽巷模糊度准确确定后,距离观测值的精度得到极大提高,则可得到载波相位模糊度较高精度的浮点解及其协方差矩阵。这种情况下载波相位双差整周模糊度的解算效率和成功率较高,一般可使用LABMDA 方法直接固定1N 。若用LAMBDA 对整个模糊度向量进行搜索出现问题时,可使用3. 1 节中处理宽巷模糊度的方法对L1 双差模糊度进行分组处理,逐步解算固定1N 。1N 准确固定后,

L2 载波的双差模糊度2N 可由1N 、2N 和双差宽巷模糊度W N 三者之间的线性关系得到: 2N =1N -W N 。

本文介绍了几种整周未知数的解算方法,主要讲解了快速解算整周未知数的单历元解法。利用伪距观测值和载波相位观测值的单历元数据组成双差观测方程得到宽巷模糊度的浮点解和协方差矩阵,根据方差对模糊度进行分组降维处理,显著缩小了模糊度搜索的空间。然后,再使用LABMDA 方法对宽巷模糊度进行分步解算,能够在单历元准确确定载波相位观测值的宽巷模糊度。宽巷模糊度确定后,利用宽巷模糊度值和载波相位观测值可快速、准确的解算出L1 /L2 整周模糊度。本文提出的方法克服了单历元伪距观测值精度较低,模糊度浮点解精度较差,而使模糊度搜索空间较大给单历元模糊度解算带来的困难。该方法进行单历元整周模糊度解算具有较高的模糊度搜索效率和成功率。因此快速确定整周未知数的算法得到广泛应用。

参考文献

【1】 李 明,等. 一种改进的周跳多项式拟合方法[J ] .测绘科学,2008

【2】祝会忠,等. 一种GPS 整周模糊度单历元解算方法. 中国测绘科学研究院,北京【3】黄劲松,等. G PS 快速静态定位技术. 武测科技1996

如何解未知数是减数和除数的方程

在教学五年级解方程一单元之前,一直都认为使用各部分数量之间的关系来解方程。接触了这个单元,才知道现在是利用天平平衡的原理来解答方程。因此,在教学时,先让学生了解天平保持平衡的道理的原理,再学习解方程学生,结果效果还行,简单的方程学生基本能解。但是棘手的问题出现了如:10-x=8。按照天平保持平衡的原理的过程是:解:10-x+x=8+x 8+x=10 8+x-8=10-8 x= 2 但是,在练习中,学生对这种题下不了手。后来,在和同事的讨论下,决定运用老教材的方法——利用四则运算关系法去解方程。10-x=8。 解: x=10-8 (减数=被减数-差) x=2 但是,还是会出现这样的现象:10-x=8。 解:10-x+10 =10+10 X=20 反思: 一、对天平保持平衡的原理掌握不透彻 方法一:利用天平保持平衡的原理,也就是说天平两边同时加上或减去相同的法码,天平保持平衡!对于这道题,我们就是要把天平两边都加上x的法码才行,可是我们连一个X是多少都不知道,如何知道加上的是x的法码呢这种方法从理论上讲是我感觉是对的,可是从小学生认知能力的角度思考,他们能真正的认同吗这与其它解方程先消去已知数,只剩未知数的题型是相反的,因此,会使学生出现混乱的现象! 二、对四则运算关系的淡化 方法二是老教材所主张的方法,而切从低年级开始一直在渗透四则运算的关系,因此,利用他来解方程是很简单的。但新教材注重数学模型的建构。回避和淡化了四则运算的关系,所以在教学第二种解法时,学生甚至不知道哪个是减数,哪个是被减数……,这样怎么会利用他们之间的关系来解呢 三、思维定势

这种题型是出现在一般方程之后,学生习惯性的将已知数消去,出现思维定势,会习惯性地把10-x看成x-10,从而出现:10-x+10 =10+10这种情况。 在新教材下,如何让学生真正学会解这类方程也是我们所困惑的。

人教版-数学-一年级上册-《填未知数》精品教案

《填未知数》精品教案 教学目标 1.理解加法算式中未知数的意义。 2.会填加法算式中的未知数。 3.培养学生初步的逆向思维能力及语言表达能力。 教学内容 教科书第70页的内容,练习十的第1、2题。 教具、学具准备 口算卡、多媒体课件或挂图、游戏卡片。 教学设计 准备练习 1.口算练习。(开火车) 9-6 2+5 4+6 10-4 9-8 10-6 10-9 7-7 1+9 5+3 2.说出下面各数的组成。 7 9 10 9 8 3□4□6□3□□5 3.猜一猜。 出示图片: 苹果树上结了10个苹果,我用纸盖住了一部分,请你们猜一猜,我用纸盖住了几个苹果?(6个)你是怎么想出来的?(学生可能答出:4和6组成10;10可以分成4和6;4加6等于10;10减4等于6;根据苹果树的样子推测大概是6个苹果) 教师评价:你们都很聪明,能用学过的知识猜对用纸盖住的苹果的个数。今天,我们就用学过的知识来解决新问题,看谁学得又快又好。 探究新知 1.教学铅笔图。 出示例题插图: 提问:图上画的是什么?(汇报)看着这幅图,你能知道是什么吗?(学生汇报:盒子里放了7枝笔;如果把盒子放满,可以放10枝笔;盒子里少放了3枝笔;盒子里原来可能有10枝笔,拿走了3枝,还剩7枝等) 根据这幅图,谁能编一个故事,提一个问题?(学生汇报:1.盒子里原来有10枝笔,拿走了3枝,还剩几枝?2.盒子里放了7枝笔,再放3枝笔是几枝笔?3.盒子里放了7枝笔,再放3枝笔就是10枝笔吗?) 通过刚才的观察,我们知道,盒子里已经放了7枝笔(板书:7),还要放几枝,题里告诉了吗?(没有)我们把没有告诉的、不知道的数叫“未知数”。“未知数”可以用小括号来表示,谁会写小括号?(学生汇报,全班书空)已经放的7枝笔和还要放的枝数合起来是10枝,谁能列一个加法算式?(学生汇报,教师板书:7+()=10)这个算式怎么读?(学生汇报:7加几等于10) 7加几等于10?括号里应该填几?这节课,我们就来学习“填加法算式中的未知数”。 (出示课题) 学生分组讨论:7加几等于10?括号里应该填几?你是怎么想出来的? 学生汇报,全班交流:7再添上3就是10,所以括号里填3;7和3组成10,所以括号里填3;7加3等于10,所以括号里填3;10减7等于3,所以括号里填3;盒子里空了3

解方程的基本方法和例题练习题

(10-7.5)x=0.125X 8 (5x-12) X 8=24 (3x-101)十 2=8 解方程 知识回顾: 1、 含有未知数的等式叫做方程。 2、 使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。 3、 求方程的解的过程叫做解方程。 4、 等式的基本性质①等式两边加上或减去同一个数或式子,左右两边仍然相等 ②等式两边乘或除以同一个不为 0的数或式子,左右两边仍然相等 本次课我们要解决稍复杂的方程,比如方程两边都含有未知数,如 8x 10 2 x 6 ;等号两边都是分数形 解方程中需要掌握的一般方法: 一、利用等式的基本性质~~简化方程: ① 等式两边加上或减去同一个数或式子,左右两边仍然相等 ② 等式两边乘或除以同一个不为 0的数或式子,左右两边仍然相等 、合并含未知数的式子 :根据乘法分配律 三、 去括号:乘法分配律; 括号前面是减号,去掉括号要改号;括号前面是加号,去掉括号不改号 四、 两边是分数形式的方程,运用交叉相乘法,转化为不是分数形式的方程。 五、 解方程步骤要规范,求出得数后可以检验。 解方程实际上就是利用等式的性质将等式一步一步变形,最后变成 x=O 的形式,就求出了未 知数的值,即方程的解。 (1) 去括号; (2) 整理不含未知数的数:利用等式的基本性质消去等号一边的数 (3) 如果等号左右两边都出现含未知数 x 的式子,则要利用等式的基本性质把等号一边的 x 消掉; (4) 合并含未知数x 的式子; (5) 使含未知数x 的式子出现在等号的一边,不含未知数的数出现在等号的另一边; (6) 等号左右两边同除以未知数 x 前的乘数; 补充:【把一个式子从等号的一边移到另一边,要改变式子的符号。一般情况下,把含有未知数的式子移到 等号的右边,把其他数移到等号的右边。 (4x=3x+50=>4x-3x =50; 5+2x=7=>2x=7-5 )】 一、利用等式的基本性质: 20-x=9 5宁 x=3 式的方程,如 5x 1 6 2(x+1)=6 43-5x=23

巧设未知数解应用题

巧设未知数解应用题 列方程解应用题时,设未知数是很关键的步骤。巧设未知数,不仅能让思路流畅,而且能让方程变得简单,更有利于计算。 一、直接设未知数 例1、某商店销售一种衬衫,四月份的营业额为5000元,为了扩大销售,在五月份将每件衬衫按原价的8折销售,销售数量比四月份增加了40件,营业额比四月份增加了600元,求四月份每件衬衫的售价。 分析:本题的思路很清晰,等量关系为“五月份的营业额比四月份增加了600元”。若直接设四月份每件衬衫的售价为x元,则五月份的营业额为5000×0.8+0.8×40x=(5000+40x) ×0.8元,而四月份的营业额为5000元,那么方程很容易建立。 解:设四每件衬衫的售价为x元,则有 (5000+40x)×0.8=5000+600解得:x=50(元). 答:四月份每件衬衫的售价为50元. 评析:像上例这样,对于思路清晰,容易用含未知数的式子表示等量关系中的各种量的应用题,一般用直接设未知数的方法来解。 二、间接设未知数 例2、学校综合实践活动小组的同学们乘车到天池山农科所进行社会调查,可供租用的车辆有两种:第一种车每辆可乘8人,第二种车每辆可乘4人。若只租第一种车若干辆,则空4个座位;若只租第二种车,则比租用第一种车多3辆,且刚好坐满。问参加本次社调查的学生共多少名? 分析:如果直接设参加本次社会调查的学生y名,那么根据“只租用第二种车,则比租 用第一种车多3辆”列方程,有 4 3 48 y y+ =+。这个方程含分母,解这个方程也比较复杂, 如果采用间接设未知数,即设只租第一种车x辆,则学生共(8x-4)人,只租第二种车(x+3)辆,根据学生总人数相等,得方程8x-4=4(x+3)。很显然,方程相对要简单些,在理解上容易得多。 解:设只租第一种车x辆,则有 8x-4=4(x+3) 解得x=4。 所以学生总数:8x-4=8×4-4=28(人) 答:参加本次社会调查的学生共28名。 说明:本题由于关系量多,设直接未知数容易造成思路混乱时,可采用间接设未知数的方法。 三、设中间未知数 中间未知数,也可以理解为辅助未知数,它在解题中起过渡作用。设的中间未知数,一般在解题中可消去,或者不需要求解,甚至可设为特殊值1(如工程问题中设总工作量)。 例3、某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会。入场券分为团体票和零售 票,其中团体票占总票数的2 3 ,若提前购票则给予不同程度的优惠。在五月份,团体票按 每张12元,共售出团体票数的3 5 ;零售票每张16元,共售出零售票数的一半。如果在六 月份内,团体票按每张16元出售,并计划在六月份内售出全部余票,那么,零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款持平?

人教版小学一年级填未知数(详案)

《填未知加数》教学设计 教学内容:人教版《义务教育课程标准实验教科书数学》一年级上册第70页。 教学目标: 1、知识与技能:理解加法算式中未知数的意义,能用自己的方法正确填出10以内加法算式中的未知数,培养学生数形结合观察思考的能力以及逆向思考的能力。 2、过程与方法:通过看一看、数一数、画一画、填一填等活动,引导学生经历填未知数的过程,感悟填未知数的逆向思维方法,同时,在解决填未知加数问题的过程中,引导学生体会算法的多样化。 3、情感态度与价值观:通过从实物图抽象填未知加数算式,使学生感受到数学与现实世界的密切联系,培养热爱数学的积极态度和情感。 教学重点:使学生理解填未知加数的算理,能用自己的方法正确填出10以内加法算式中的未知加数。 教学难点:理解填未知加数的算理。 教学过程: 一、复习 开火车游戏口算。数的组成与分成。 (前边我们学习了10以内的加减法,下边我们来开火车,同学们的火车开得又快又好,真棒)

二、游戏引入,激发参与 1、师导入:小朋友,你们玩过扑克牌吗?现在,老师想和大家一起来玩一个小小的扑克牌游戏,你们有兴趣吗? 2、(师出示两张扑克牌的背面):我这儿有两张扑克牌,你能猜出他们是几吗?你怎么猜的?(生胡乱猜4、5后)你有什么依据吗? 3、看来,刚才大家都是瞎蒙的,现在老师再告诉你们一个条件,这两张牌合起来是9,猜猜,他们可能是几和几?(1和8、2和7、3和6、4和5板书在一角) 4、刚才我们想出这几种可能,现在我告诉大家,这其中一张是7,你能知道另一张是几了吗?你是怎么想的? 5、再猜:如果两张牌合起来是8,其中一张是7,另一张是几?如果其中一张是2,合起来是10,另一张是几? 三、探究新知,交流算法 1、教学圆珠笔图 师:还想再猜吗?(智慧树上结了10个智慧果,老师画出6个,叶子遮住了几个呢?)你是怎么想出来的?(你们都很聪明,能用学过的知识猜出叶子后边的智慧果个数,今天,我们就用学过的知识来解决新问题,看谁学得又快又好)(出示圆珠笔图),现在我们一起去数学乐园玩玩吧,哟,要我们闯三关呀,有信心吗?来看看第一关是什么?(数一数)谁能说说你看到了什么?想到了什么?(学生汇报:盒子里放了7枝笔;如果把盒子放满,可以放10枝笔;盒子里

人教版小学一年级数学上册《填未知数》教案

填未知数 教学目标: 1.理解加法算式中未知数的意义。 2.会填加法算式中的未知数。 3.培养学生初步的逆向思维能力及语言表达能力。 教具、学具准备:课件、口算卡、游戏卡片。 教学设计: 一、准备练习 1.口算练习。(开火车) 9-6 2+5 4+6 10-4 9-8 10-6 10-9 7-7 1+9 5+3 2.说出下面各数的组成。7 9 10 9 8 3□4□6□3□□5 二、课件出示图片 苹果树上结了10个苹果,我用纸盖住了一部分,请你们猜一猜,我用纸盖住了几个苹果?(6个)你是怎么想出来的? 教师评价:你们都很聪明,能用学过的知识猜对用纸盖住的苹果的个数。今天,我们就用学过的知识来解决新问题,看谁学得又快又好。 二、探究新知 1.教学铅笔图。 课件出示例题插图: 提问:图上画的是什么?(汇报)看着这幅图,你能知道是什么吗?

根据这幅图,谁能编一个故事,提一个问题? 通过刚才的观察,我们知道,盒子里已经放了7枝笔(板书:7),还要放几枝,题里告诉了吗?(没有)我们把没有告诉的、不知道的数叫“未知数”。“未知数”可以用小括号来表示,谁会写小括号?7加几等于10?括号里应该填几?这节课,我们就来学习“填加法算式中的未知数”。(出示课题) 学生分组讨论:7加几等于10?括号里应该填几?你是怎么想出来的? 学生汇报,全班交流:7再添上3就是10,所以括号里填3;7和3组成10,所以括号里填3;7加3等于10,所以括号里填3;10减7等于3,所以括号里填3;盒子里空了3个位置,所以我就知道括号里填3等。 想一想:括号里的3表示什么? 2.教学小旗图。 出示小旗图: 再画几面旗就是8面旗?6+()=8 再画几面小旗就是8面小旗? 请同学们先在横线上画一画,再在括号里填数。(小组活动) 6加几等于8?括号里应该填几呢?(学生汇报,全班交流) 3.直接填数。 看着图,同学们很快就能填出括号里的数,如果老师只给同学们算式,你还会填吗?

巧设未知数根据化学方程式计算

巧设未知数根据化学方程式计算 ------ 一道化学计算题的不同设法初探 根据化学方程式计算是初中化学计算的重要组成部分,也是各级各类考试的必考点。根据方程式计算一般分为五步,解设未知数是计算的第一步,也是关键的一步。灵活的设未知数对计算起着画龙点睛的作用。 设未知数的方法可分为直接设法和间接设法。通俗的讲,直接设法即:“问什么设什么”。间接设法即“设与待求量有关系的量”为未知数,根据题意求解的方法。下面就一道化学计算题按不同设法求解为例,谈谈这两种设法在化学计算中的应用。 题目:用H2还原混有CU粉的CuO4.68g,完全反应后得到纯净的Cu粉,冷却后称得质量为4.04g,求原混合物中CuO的质量分数。 解析:混合物中通入H2时,CuO与H2反应,Cu与H2不反应,反应前固体混合物的质量为4.68g,反应后固体的质量为4.04g,是反应前的Cu粉和反应后生成Cu的质量之和。 直接设法:设原混合物中CuO的质量分数为x CuO十H2 Cu+H2O 80 64 4.68x 4.04g-4.68g(1-x) 80/4.68x=64/4.04g-4.68g(1-x) x=68.4

间接设法:(一)设原混合物中Cu的质量为x CuO十H2 Cu+H2O 80 64 4.68g-x 4.04g-x 80/4.68g-x=64/4.04g-x x=1.48g 原混合物中CuO的质量分数为: (4.68g-1.48g)/4.68g×%=68.4% 间接设法(二)设原混合物中CuO的质量为x, CuO十H2 Cu+H2O 80 64 x 4.04g-(4.68g-x) 80/x=64/ 【4.04g-(4.68g-x)】 x=3.2g 原混合物中CuO的质量分数为3.2g/4.68g×%=68.4% 当然了本题最简便的解法是用差量法计算,此外本题还可以按下面的方法计算: 解由题意分析可知,固体减少的质量为氧化铜中氧元素的质量,则质量为4.68g-4.04g=0.64g;则原混合物中CuO的质量为0.64g/20%=3.2g ;则CuO的质量分数为3.2g/4.68g×%=68.4% 除上述所示方法外,还可以由氧元素的质量算出水的质量,然后由水的质量计算CuO的质量,再算CuO质量分数.(这种方法很繁琐,仅供

列方程解应用题设未知数常用方法

列方程解应用题设未知数常用方法 甘肃省康县第一中学 (746500) 杜红全 列一元一次方程解应用题,若未知数设得好,则可使解题更为方便省事。下面介绍几种设未知数的技巧。 一.直接设未知数 直接设未知数就是题目问什么,就设什么为x 。 例1.一条环形跑道长400米。甲练习骑自行车,平均每分钟骑550米;乙练习赛跑,平均每分钟跑250米.两人同时同向从同地出发,经过多少分钟相遇? 解:直接设经过x 分钟两人相遇,依题意,得 550x -250x =400 解得x = 43。 答:经过4 3分钟两人相遇。 二.间接设未知数 对有的题,若直接设未知数使求解过程繁琐,可间接设与所求未知数有关的未知数,使求解过程简化。所谓间接设未知数就是选取一个与问题有关的量为未知数,再通过这个未知数求出题目中要求的量。 例2.为了测量井深,将一定长度的绳子折成相等的3段后放下去,绳的下端碰到井底时,上端露出井口4尺;将绳子折成相等的4段之后再放下去,下端碰到井底时上端正好与井口平齐。求井深。 解:不直接设井深,而设绳长为x 尺,那么井深为 4x 尺,依题意,得 3x -4=4x , 解得x =48, 4x =12。 答:井深为12尺。 三.有选择的设未知数 题目中,若要求多个未知数,可根据未知数之间的关系,有选择地设其中一个或几个便于求解的未知数。 例3.某商店现有甲、乙、丙三种电视机共1800台。已知其中甲电视机数是乙种电视机的5倍,而丙种电视机比乙种电视机多120台。问甲、乙、丙三种电视机各有多少台? 解:选择设乙种电视机有x 台,则甲种电视机有5x 台,丙种电视机有(x +5)台,依题意,得 5x +x +(x +120)=1800, 解得x =240,5x =1200,x +120=360. 答:这个商店现有甲种电视机1200台,乙种电视机240台,丙种电视机360 台。 四.设比例关系中的一份为未知数 涉及某些连比的题目,若直接设未知数不便时,则可以设比例关系中的一份为未知数。 例4.一种混凝土由水、水泥、黄沙、碎石搅拌而成。这四种原料的质量比是1.7:2:3: 5.7。 搅拌这种混凝土3100千克,四种原料各需多少千克?

分母中含有未知数的方程叫做分式方程

分母中含有未知数的方程叫做分式方程.如:等等都是分式方程. 在此之前我们学过的方程,分母中都不含有未知数,都是整式方程,因此目前学过的方程可归纳为: 2、解分式方程的基本思路——转化 解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程.这种转化的具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,归纳如下: 如:解方程: 方程两边都乘以(x+3)(2x-7)得 2(2x-7)=3(x+3) 4x-14=3x+9 x=23 3、解分式方程的一般步骤 (1)去分母:方程两边同乘以各分母的最简公分母,将分式方程转化整式方程. (2)解整式方程. (3)验根,即把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,若结果不是零,说明此根是原方程的根;若结果是零,说明此根是原方程的增根,必须舍去.见例1. (4)写出方程的解. 解分式方程的一般步骤列表如下:

4、列分式方程解应用题的步骤 (1)审清题意,找出题目的等量关系,设出未知数.(2)根据等量关系,列出分式方程. (3)解分式方程,并验根. (4)写出答案. 二、重难点知识归纳 分式方程的解法及应用既是重点,又是难点. 三、例题赏析 例1、解下列分式方程: 分析: (1)先确定最简公分母为2(x-1),再按步骤求解.(2)先将2-x化为-(x-2),然后去分母求解. (3)先将分母分解因式,再确定公分母为6x(x+1).

解: (1)方程两边同乘以2(x-1),得 2x=3-4(x-1) 解之得 检验:当时,2(x-1)0 ∴是原方程的根. (2)方程两边同乘以(x-2),得 x-3+(x-2)=-1 2x-5=-1 解之得x=2 检验:将x=2代入最简公分母x-2=0, ∴x=2为原方程的增根. ∴原方程无解. (3)原方程可变为: 方程两边同乘以6x(x+1),得 12x+6=5x 解之得

一元一次方程培优专题(设未知数的技巧)

一元一次方程培优专题——设未知数的技巧 著名数学家华罗庚先生曾这样论述数学的应用:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,无处不用到数学。”随着素质教育的实施,列方程解应用题是各省市中考数学中的必考题。在解这类问题时,由于受算术解法的影响,往往习惯于“题目中求什么就设什么”,即直接设未知数。但这种方法对有的问题就显得不够简便。 一、直接设元法 题目中要求什么量,就设什么量为未知数,或有几个要求的量,而设其中的某一个量为未知数,像这样设未知数的方法叫做直接设元法,它是列方程解决实际问题的一种最基本和最常用的方法。 【典型例题】 1、某公司有28名工人生产螺栓和螺母,每名工人每天平均生产螺栓12个或螺母18个.如果每天生产的螺栓和螺母要按1∶2配套,应分别安排多少名工人生产螺栓?多少名工人生产螺母?解:设安排x名工人生产螺栓,则生产螺母的有________名工人.根据题意,得方程________.解这个方程,得x=________.所以28-x=________.答:应安排________名工人生产螺栓,________名工人生产螺母. 2、某种商品因换季准备打折出售,如果按定价的七五折出售将赔25元,而按定价的九折出售将赚20元,问:这种商品的定价是多少元? 【变式训练】 1、“艺馨”文艺团体为“希望工程”募捐,组织了一场义演,若售出的票为1000张,其中成人票每张8元,学生票每张5元,能否筹得票款6930元,为什么? 2、(2011广西崇左)元代朱世杰所著《算学启蒙》里有这样一道题:“良马日行两百四十里,驽马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良马几何追及之?”请你回答:良马________天可以追上驽马. 二、间接设元法 对有的题,若直接设未知数使求解过程繁琐,可间接设与所求未知数有关的未知数,使求解过程简化。所谓间接设未知数就是选取一个与问题有关的量为未知数,再通过这个未知数求出题目中要求的量。如:涉及连比的题目,若直接设未知数不便时,则可以设比例关系中的一份为未知数;涉及数字的题目,一般设某一位上的数字为未知数来求解。 【典型例题】 1、(2012山西)图1是边长为30 cm的正方形纸板,裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子,已知该长方体的宽是高的2倍,则它的体积是________ cm3. 2、如图所示是一块电脑屏幕上出现的矩形色块图,由6个颜色不同的正方形组成(其中正方形①②大小相同),设中间最小的一个正方形边长为1,试求这个矩形ABCD的面积.

如何解未知数是减数和除数的方程

如何解未知数是减数和除数的方程? 在教学五年级解方程一单元之前,一直都认为使用各部分数量之间的关系来解方程。接触了这个单元,才知道现在是利用天平平衡的原理来解答方程。因此,在教学时,先让学生了解天平保持平衡的道理的原理,再学习解方程学生,结果效果还行,简单的方程学生基本能解。但是棘手的问题出现了如:10-x=8。按照天平保持平衡的原理的过程是:解:10-x+x=8+x 8+x=10 8+x-8=10-8 x= 2 但是,在练习中,学生对这种题下不了手。后来,在和同事的讨论下,决定运用老教材的方法——利用四则运算关系法去解方程。10-x=8。 解: x=10-8 (减数=被减数-差) x=2 但是,还是会出现这样的现象:10-x=8。 解:10-x+10 =10+10 X=20 反思: 一、对天平保持平衡的原理掌握不透彻 方法一:利用天平保持平衡的原理,也就是说天平两边同时加上或减去相同的法码,天平保持平衡!对于这道题,我们就是要把天平两边都加上x的法码才行,可是我们连一个X是多少都不知道,如何知道加上的是x的法码呢?这种方 法从理论上讲是我感觉是对的,可是从小学生认知能力的角度思考,他们能真正的认同吗?这与其它解方程先消去已知数,只剩未知数的题型是相反的,因此,会使学生出现混乱的现象! 二、对四则运算关系的淡化 方法二是老教材所主张的方法,而切从低年级开始一直在渗透四则运算的关系,因此,利用他来解方程是很简单的。但新教材注重数学模型的建构。回

避和淡化了四则运算的关系,所以在教学第二种解法时,学生甚至不知道哪个是减数,哪个是被减数……,这样怎么会利用他们之间的关系来解呢? 三、思维定势 这种题型是出现在一般方程之后,学生习惯性的将已知数消去,出现思维定势,会习惯性地把10-x看成x-10,从而出现:10-x+10 =10+10这种情况。 在新教材下,如何让学生真正学会解这类方程也是我们所困惑的。

实际问题与一元一次方程---设未知数的常规与技巧

实际问题与一元一次方程(二)设未知数的常规与技巧 设未知数的方法 1.直接设未知数——适用于所求的未知数只有一个(见例1) 2.间接设未知数(见例2) ●比例式——通常设一份为x, ●数字问题——常设某一位为x ●行程问题——S=vt,中三个量:路程、时间、速度,常常一个是已知量,另两个是未知量, 常挑一个未知量设未知数,另一个列方程。 3.整体设未知数(见例3) 4.其他(设“辅助”未知数)(见例4) 注意:无论采用哪种方法设未知数,列方程都根据相等关系 1.总量=各部分量的和 2.表示同一个量的两个不同的式子相等。 3.以含“和、差、倍、分”等词的语句为等量关系建立方程 例题1:直接设未知数 1.目前,我国对教育储蓄暂不收利息,小芳爸爸为她存了一份年利率为3.24%的三年期教育储蓄,到期后可得本息和5486元。小芳爸爸存入了多少钱? 2.用“全球通”每月收月租50元,此外按0.40元/分收通话费;“神州行”不收月租费,按0.60 元/分收通话费。一个月内通话多少分钟,两种通信方式的收费相同? 3.一件工作甲单独做需40天完成,乙单独做需50天完成,甲先单独做4天,然后两人合作完成这个工作,问两人合作多少天? 分析:常用公式:工作量=工作效率×工作时间 工作总量=各工作分量的和 问题中的相等关系:工作总量__________, 甲的工作效率________,乙的工作效率______________ 甲单独完成的工作量= 甲乙共同完成的工作量= 甲单独完成的工作量+ 甲乙共同完成的工作量= 解:

例题2,间接设未知数 1. 洗衣机厂今年计划生产洗衣机25500台,其中A 型,B 型,C 型三种洗衣机的数量之比为1:2:14,这三种洗衣机计划生产多少台? 2. 一个两位数,十位上的数字与个位上的数字之和是11,若把十位上的数字与个位上的数字对调,则得到的新数比原数大63,求这个两位数。 3. (测试9第24题)一个通信员骑车要在规定时间内把信送到某地,如果每小时走15千米,则可以早到24分钟,如果每小时走12千米,则迟到15分钟,求他去某地的路程。 分析:已知量——速度, 未知量——两次的实际时间,两地的路程, 相等关系——不变的量有两个:规定时间、两地路程 设规定时间为x 小时,根据两地路程相等列方程 或者设两地路程为x 千米,则根据规定时间相等列方程。 解法一: 解法二: 4. 如图,是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图,由6个不同颜色的正方 形组成,已知中间最小的一个正方形的边长为1,那么这个长方形色块 图的面积为多少? 例3,整体设未知数 1. 三个数,每两个数之和分别是27、28、29,求这三个数。 2. 有一个六位数,它的个位数字是6,如果把6移至第一位前面时,所成的新六位数是原数的4 倍,求这个六位数. 例题4,设“辅助”未知数 1.一个长方形(如图),被两条直线分成四个长方形,其中三个的面积分别是20平方米、25平方米和30平方米。问另一个(图中阴影部分)长方形的面积是多少平方米?

这样设未知数你才真的会解方程题

这样设未知数你才真的会解方程题作为公务员行测笔试题而言,数量关系无疑是很多考生成“公”道路上的大山。面对这座大山,考生有没有愚公移山的勇气,是最终能够在考场上拿到高分的关键。今天华图教育专家就从这座大山的一角——方程法入手,带领大家逐步走进这座大山,领略这座大山的魅力。 在解答方程题的过程中,大多数考生都有一个误区,往往题目最终问的什么,就设哪个量为未知数,也就是求什么设什么。这种设未知数的方式,偶尔能够很好的解决问题;但是大多数情况下,反而会让考生无从下手,因为面对一些数量题,求什么设什么,往往会让列出的方程无比繁琐。华图教育专家在本文中通过例题的形式给考生提供一种设未知数的方法:设中间量。 【例题1】小王、小李和小周一共收藏了121本图画书,小王给小李和小周每人6本后,小王图画书的本数是小周的3倍,小李的2倍,则小周原有图画书的本数是()。 A.14 B.15 C.16 D.22 【华图解析】若直接设小王、小李、小周的原有本数为x、y、z,我们需要列出三个相关方程。首先三个人相加总本数为121本①x+y+z=121;小王给小李之后,本书为小李的2倍②(x-12)=2(y+6);小王图画书为小周的3倍 国家公务员| 事业单位| 村官| 选调生| 教师招聘| 银行招聘| 信用社| 乡镇公务员| 各省公务员|

(x-12)=3(z+6)。很多考生估计看完这三个方程,都想放弃了,这1min 能解出来么。 在上面的这种设未知数的方式中,考生们的直观思维是将题干中“小王的本书是小周的3倍,小李的2倍”这句话作为两个等量关系进行列式,这种做法可谓相当浪费。如果我们能够直接设小王给完之后书本数量为6x,那么小周则为2x,小李为3x。可以通过三个人书本总数为121本,得到方程6x+2x+3x=121,解得x=11,所以小周给完之后的书本数为2x=22本,则小周原有22-6=16本数。答案选择C。 比较两种方法,第二种无疑简单的多,这种方法就是我们所说的设中间量。当然在上面的解题过程中,我们还有两个问题没有解决,第一个是为什么设给完之后小王的书本数?第二个是为什么设为6x?只有解决了这两个问题,你才是真正的懂得了何为设中间量。 首先解决第一个问题:为什么设小王的书本数?这是因为小王的书本与小周有联系,同时与小李有联系,小王的书本数相当于将其他两个量联系了起来。所以我们在设未知数的时候优先设小王为未知数。总结来说就是A、B相关,B、C相关,设A为未知数,通过A直接表示出B和C。 其次解决第二个问题:为什么设为6x?这主要是根据三者之间的倍数关系得来的。在本题中小王给完之后的书本数为小周的3倍,则小王书本数应为3的倍数;小王书本数为同时也为小李的2倍,则小王书本数应为2的倍数。综 国家公务员| 事业单位| 村官| 选调生| 教师招聘| 银行招聘| 信用社| 乡镇公务员| 各省公务员|

设未知数X解方程一般步骤及习题练习

设未知数X 解方程一般步骤及习题练习 一、设未知数解方程的一般步骤: (1)弄清题意,找出未知数,并用x 表示; (2)分析题目所给已知量,找出相应数量之间的等量关系,列方程; (3)解方程; (4)检验,写出正确答案。 二、习题巩固: (1)一块合金内,铜和锌的比是2:3,现在再加入6克锌,共得新合金36克。求新合金中锌的重量。 (2)如图,在一只圆形钟面上,时针长3厘米,分针长5厘米。经过12 小时,时针扫过的面积是多少平方厘米?分针走了多少厘米? (3)为了学生的卫生安全,学校给每个住宿生配一个水杯,每只水杯3元,大洋商城打九折,百汇商厦“买八送一”。学校想买180只水杯,请你当“参谋”,算一算:到哪家购买较合算?请写出你的理由。 (4)李师傅加工一批零件,第一天完成的个数与零件总数的比是1:3。如果再加工15个,就可以完成这批零件的一半。这批零件共有多少个? (5)求图中阴影部分的面积和周长(单位:分米) 。 求面积: 23549 678

2、提升训练: (1)一项工程,甲队独修15天完成,乙队独修20天完成。两队合修5天后,甲队调走,剩下的由乙队继续修完。乙队还要几天修完? (2)有一批书,小亮9天可装订 43,小冬20天可装订65,小亮和小冬合作,几天能完成这批书的 32? (3)一项工程,甲单独做20天完成,乙单独做30天完成。甲乙合做了几天后,乙因事请假,甲继续做,从开工到完成任务共用了16天。乙请假多少天? (4)李冬看一本故事书,第一天看了全书的 121还少5页,第二天看了全书的15 1还多3页,还剩206页。这本故事书有多少页? (5)下面是某电影大世界的影片告示: 张老师一家三口去看了某一场次的电影,票价节 省了31.5元,那么,张老师一家看的是哪个场次的电影?优惠票价是多少? 3、附加题: (1)有一批零件,张师傅加工了全部的 61,李师傅加工了余下的41,孙师傅加工的零件比张师傅少 4 1,这时还有980个零件没有加工,这批零件共有多少个? (2)有两根钢管,第一根钢管长54米,第二根钢管长50米。两根钢管使用同样长的一段后,第二根钢管剩下的长度是第一根钢管剩下的长度的9 7,用去一段后第一根钢管长多少米? 片 名 《不二神探》 票 价 35元 优惠办法 上午场 六折 下午场 七折 晚 场 不优惠

巧设未知数列一元二次方程解决实际应用

巧设未知数列一元二次方程解决实际问题 安徽省无为县刘渡中心学校(238341)丁浩勇 一元二次方程是刻画现实世界数量关系的重要工具,利用一元二次方程知识可以解决许多的实际问题.我们要善于从实际问题中抽象出数学模型,根据数量关系和等量关系,列出一元二次方程来解答.请看下面的问题. 为了美化环境,小烨要布置房间,决定在一幅长cm 80,宽cm 50的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅与原画长宽比例相同的矩 形挂图(如图).如果要使四周的金色衬边所占面积是 原挂图面积的44.0倍,并且左、右镶边等宽,上、下 镶边等宽,那么应如何设计四周所镶金边的宽度? [点拨与解析]本题是实际生活中的图画装俵问 题,考查了将实际问题转化为数学(一元二次方程)问题的能力.解决这类问题,首先要从实际问题中抽象出数学模型,再根据数量关系、等量关系列出方程,最后解方程得出合理的解. 解法1 原画的长宽之比为5:850:80=,由于镶边后它的长宽之比仍是5:8,若左、右镶边宽度为acm ,上、下镶边宽度为bcm ,则有58250280=++b a ,由此可得5:8:=b a ,即左、右镶边与上、下镶边的宽度之比也是5:8.故可设左、右边衬为x 8,上、下边衬的宽度为x 5,于是可列方程 ()())44.01(508052508280+??=?+?+x x 整理,得 011102=-+x x 解方程,得 11=x ,112-=x (不合题意,舍去) 所以,左、右镶边的宽度为cm 8,上下镶边的宽度为cm 5. 解法2 考虑到大小矩形的长宽比都是5:8,大矩形面积是小矩形面积的44.1倍,设间接未知数来解要简单一些. 设大矩形的长为x 8,则宽为x 5.根据题意,得 44.1508058??=?x x 整理,得 1442=x 解方程,得 121=x ,122-=x (不合题意,舍去) 80cm ? ? ?? 50cm

列方程解应用题设未知数常用方法

列方程解应用题设未知 数常用方法 Document number:WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

列方程解应用题设未知数常用方法 甘肃省康县第一中学(746500)杜红全 列一元一次方程解应用题,若未知数设得好,则可使解题更为方便省事。下面介绍几种设未知数的技巧。 一.直接设未知数 直接设未知数就是题目问什么,就设什么为x 。 例1.一条环形跑道长400米。甲练习骑自行车,平均每分钟骑550米;乙练习赛跑,平均每分钟跑250米.两人同时同向从同地出发,经过多少分钟相遇 解:直接设经过x 分钟两人相遇,依题意,得 550x -250x =400 解得x =43 。 答:经过43 分钟两人相遇。 二.间接设未知数 对有的题,若直接设未知数使求解过程繁琐,可间接设与所求未知数有关的未知数,使求解过程简化。所谓间接设未知数就是选取一个与问题有关的量为未知数,再通过这个未知数求出题目中要求的量。 例2.为了测量井深,将一定长度的绳子折成相等的3段后放下去,绳的下端碰到井底时,上端露出井口4尺;将绳子折成相等的4段之后再放下去,下端碰到井底时上端正好与井口平齐。求井深。 解:不直接设井深,而设绳长为x 尺,那么井深为4 x 尺,依题意,得

3x -4=4 x , 解得x =48,4 x =12。 答:井深为12尺。 三.有选择的设未知数 题目中,若要求多个未知数,可根据未知数之间的关系,有选择地设其中一个或几个便于求解的未知数。 例3.某商店现有甲、乙、丙三种电视机共1800台。已知其中甲电视机数是乙种电视机的5倍,而丙种电视机比乙种电视机多120台。问甲、乙、丙三种电视机各有多少台 解:选择设乙种电视机有x 台,则甲种电视机有5x 台,丙种电视机有(x +5)台,依题意,得 5x +x +(x +120)=1800, 解得x =240,5x =1200,x +120=360. 答:这个商店现有甲种电视机1200台,乙种电视机240台,丙种电视机360台。 四.设比例关系中的一份为未知数 涉及某些连比的题目,若直接设未知数不便时,则可以设比例关系中的一份为未知数。 例4.一种混凝土由水、水泥、黄沙、碎石搅拌而成。这四种原料的质量比是:2:3:。搅拌这种混凝土3100千克,四种原料各需多少千克 解:设其中每一份为x千克,那么水、水泥、黄沙、碎石的质量分别是千克,2x 千克,3x 千克,千克,依题意,得

20以内加减法填未知数专项练习题.doc

一年级20以内加减法填未知数专项练习题 (横线上面填写步骤) □+5=18 □+4=17 3+□=13 5+□=15 3+□=10 10+□=16 □+7=12 □+6=15 □-0=16 □-5=8 □-4=9 □-8=6 15-□=8 16-□=9 17-□=5 19-□=9 8-□=7 10-□=8

□+4=11 □+3=12 4+□=18 6+□=14 5+□=18 2+□=16 □+8=12 □+9=15 □-4=16 □-8=8 □-9=10 □-8=12 19-□=9 18-□=8 18-□=6 17-□=8 16-□=8 15-□=7

有很多小朋友,对于两数之间相隔几个数;求看了多少页;前几位后几位求和的问题不是很容易理解。以下是解决这些问题的公式: 1、两个数之间相隔几个数的问题:大数-小数再-1。 2、求看了多少页的问题:大数减-小数+1。 3、前几位,后几位,求和:前几位+后几位+1 首先要弄清题目的意思,然后根据题目的意思进行列式计算。 练习 1. 一本书小明从第2页看到第5页,一共看了多少页? 分析:从第二页看到第五页,求一共多少页? 公式:大数减-小数+1 2.一部动画片从1月的2号开始播,播到一月的8号结束,一共播放了多少天? 分析:从2号播到8号结束,求共播放了多少天? 公式:大数减-小数+1 3. 同学们排队做操,小红排第2,小明排第9,小红和小明之间还有多少人? 分析:小红第2,小明第9,求小红小明之间人数。 公式:大数-小数-1 4. 今天小红从第3页读到第7页,明天该读第8页了,小红今天读了几页? 分析:求今天读了几页,那就和明天的8页没有关系。今天是从第3页读到第7页,也就是求第3页到第7页,小红共读了几页? 公式:大数—小数+1 5. 小朋友排队。小平的左面有4个人,右面有8个人。这一行共有多少个人? 分析:小平前左4右8,加上小平共多少人? 公式:前几位+后几位+1

小学未知数方程

方程和列方程解应用题(一) 一、知识介绍 1、用字母表示数 用字母表示我们学过的自然数、整数、小数……用含有字母的式子可以简明地表示运算定律、计算公式、数量关系。 2、(1)等式:表示相等关系的式子叫做等式。 (2)方程:含有未知数的等式叫做方程。 (3)方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 (4)解方程:求方程的解的过程叫做解方程。 3、列方程解应用题 列方程解应用题是把题目中的未知量用字母表示,把它先当成已知数,然后根据题目中的等量关系列出等式,即列出方程。再解方程而求得未知量。 在列方程时要注意搞清题意,哪些是已知数,哪些是未知数,它们之间有什么联系,分析题中的等量关系,具体解题步骤如下: (1)弄清题意,明确已知条件和所求问题的关系。 (2)用字母表示未知数。 (3)根据题意找出数量间的相等关系,列出方程。 (4)解方程,求出未知数的值。 (5)检验并写答。 二、例题精讲 例1.a的一半与b的1.5倍的和,用含有字母的式子表示是()。如果a=4,b=8,式子的值是()。 例2.解下列方程 x÷6=12 0.8x-2.1×7=1.3 3x+2.5x=2.2 12x÷3=10 例3.一台电视机的价格是2900元,它比一种DVD影碟机的4倍还多100元。这种DVD影碟机每台多少元?(用算术法和方程解) 例4.甲、乙两车同时从相距1000千米的两地相对开出,6小时后两车相距130千米,甲车每小时行85千米,乙车每小时行多少千米?(用算术法和方程解) 例5.甲、乙两个工程队合修了一条600米的公路,甲队修的米数是乙队修的1.5倍,甲、乙两队各修了多少米?

列方程时设未知数的几种技巧063

初二数学培优资料 列方程时设未知数的几种技巧 班级___________ 姓名_________________ 座号___________ 成绩____________ 列分式方程解实际问题时,根据题目的特点,恰当的设出未知数,是顺利列出方程的关键和难点,现以几道习题为例,说明常见的设未知数的方法。以帮助同学们突破这一难点。 一、直接设 这种方法就是将题目要求的未知量直接设为x或其他字母,再结合题意列出方程。 例1、某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测,测得甲厂有合格产品48件,乙厂有合格产品45件,甲厂的合格率比乙厂的合格率高5%,问甲厂的合格率是多少? 二、间接设 当直接设所示的未知量列方程较困难时,可考虑间接设未知数,再用与所设未知数有关的代数式去表示题目所求的未知量。 例2、某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场,就用8万元购进这种衬衫,上市后果然供不应求,商厦又用17.6万元购进第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进量的2倍,但单价贵了4元,商厦销售这种衬衫定价是58元,最后剩下150件按八折销售,很快售完,在这笔生意中,商厦共盈利多少元? 三、少设 有的问题要求的未知数不止一个,且这些未知数的关系比较明显,可用其中的一个未知数表示其他的未知数,此时就可以只设一个未知数。即采用少设的方法求解。 例3、某车间加工1200个零件后,采用了新工艺,工效是原来的1.5倍,这样加工同样多的零件就少用了10h,采用了新工艺后前、后每小时分别加工多少个零件? 四、多设 这类问题只设一个未知数,很难将方程列出,可采用另设辅助未知数的方法,这些辅助未知数不必求出,在求解的过程中自行消失,其作用是为列方程起“牵线搭桥”的作用。 例4、已知甲乙二人均由A地去B地,甲步行比乙提前4小时出发,乙骑自行车出发,已知甲走完这段路所用时间比乙多用6小时,且乙出发 3 10 小时后在途中追上甲,求乙由A地到B地所用的时间?

人教版-数学-一年级上册-《填未知数》教案

《填未知数》教案 教学目标: 1、知识与技能:理解加法算式中未知数的意义,能用自己的方法正确填出10以内加法算式中的未知数,培养学生数形结合观察思考的能力以及逆向思考的能力。 2、过程与方法:通过看一看、数一数、画一画等活动,引导学生经历填未知数的过程,感悟填未知数的逆向思维方法,同时,在解决填未知加数问题的过程中,引导学生体会算法的多样化。 3、情感态度与价值观:通过从实物图抽象填未知加数算式,使学生感受到数学与现实世界的密切联系,培养热爱数学的积极态度和情感。 教学重点:使学生理解填未知加数的算理,能用自己的方法正确填出10以内加法算式中的未知加数。 教学难点:理解填未知加数的算理。 教学过程: 一、游戏引入: 1、师导入:小朋友,你们玩过扑克牌吗?现在,老师想和大家一起来玩一个小小的扑克牌游戏,你们有兴趣吗? 2、(师出示两张扑克牌的背面):我这儿有两张扑克牌,你能猜出他们是几吗?你怎么猜的?(生胡乱猜4、5后)你有什么依据吗? 3、看来,刚才大家都是瞎蒙的,现在老师再告诉你们一个条件,这两张牌合起来是9,猜猜,他们可能是几和几?(1和8、2和7、3和6、4和5板书在一角) 4、刚才我们想出这几种可能,现在我告诉大家,这其中一张是7,你能知道另一张是几了吗?你是怎么想的? 5、再猜:如果两张牌合起来是8,其中一张是7,另一张是几?如果其中一张是2,合起来是10,另一张是几? 二、探究新知: 1、教学圆珠笔图 ①师:还想再猜吗?(出示圆珠笔图),谁能说说你看到了什么?想到了什么?(已经有7支圆珠笔了,再放几支就是10支了) ②已经有7支圆珠笔了,再放几支就是10支了,可以用一个算式来表示,7+()=10 ③哪个小朋友知道这个算式怎么读?生试读,师示范读,生再次跟读。()就用来表示不知道的数,今天这节课,我们就来学习填小括号里的数。 ④谁能说说,括号里应该填几?你是怎样想出来的?同桌先交流,再汇报。 ⑤生汇报后师出示答案。 2、教学书P70小旗图。 ①有一位叫小红的小朋友现在想考考大家(出示P70的小旗图),谁会读小红提的问题?你知道是什么意思吗?(已经画了6面小旗了,再画几面就是8面了。) ②你能解决小红提出的这个问题吗?请你在练习纸上画一画,再把小括号里的数填上。 ③先同桌交流,再指名几个同学在实物投影仪上反馈:说说你是怎么想的。 3、直接填数: 看着图,小朋友们很快就能填出小括号里的数,如果老师只给同学们算式,你还会填吗? 出示:3+()=5 ()+4=7 独立填好后,说说你的想法。

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