大一高数期末考试复习题及答案

一.填空题(共5小题,每小题4分,共计20分)

1.

2

1

lim()

x

x x e x →-=

.

2.

()()120051

1x x x x e e dx --+-=

?

.

3.设函数()y y x =由方程2

1

x y

t e dt x

+-=?确定,则0

x dy

dx

==

.

4. 设()x f 可导,且1

()()x

tf t dt f x =?,1)0(=f ,则()=x f . 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为 .

二.选择题(共4小题,每小题4分,共计16分)

1.设常数0>k ,则函数

k e x x x f +-

=ln )(在),0(∞+内零点的个数为( ).

(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2. 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为( ).

(A )cos2y A x *=; (B )cos2y Ax x *

=; (C )cos2sin2y Ax x Bx x *

=+; (D )x A y 2sin *

=. 3.下列结论不一定成立的是( ).

(A )若[][]b a d c ,,?,则必有

()()??≤b

a

d c

dx x f dx x f ;

(B )若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b

a

f x dx ≥?;

(C )若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有

()()??

+=T

T a a

dx

x f dx x f 0

;

(D )若可积函数()x f 为奇函数,则()0x

t f t dt ?也为奇函数.

4. 设

()x

x e e

x f 11

321++=

, 则0=x 是)(x f 的( ).

(A) 连续点; (B) 可去间断点;

(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三.计算题(共5小题,每小题6分,共计30分) 1.计算定积分2

230

x x e dx

-?

.

2.计算不定积分dx x x

x ?

5cos sin .

本页满分36分 本页得分

本页满分 12分 本页得分

3.求摆线???-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在

2π=

t 处的切线的方程. 4. 设

20

()cos()x

F x x t dt

=-?,求)(x F '.

5.设n n n n n x n

n )

2()3)(2)(1( +++=

,求n

n x ∞→lim .

四.应用题(共3小题,每小题9分,共计27分) 1.求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.

2.设平面图形D 由22

2x y x +≤与y x ≥所确定,试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积.

3. 设

1,a >at a t f t

-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.

五.证明题(7分)

设函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导且

1

(0)=(1)0,(

)1

2f f f ==,

试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ' 一.填空题(每小题4分,5题共20分):

1. 2

1

lim()x x x e x →-=

2

1e .

2.

()()120051

1x x x x e e dx --+-=

?

e 4

.

3.设函数()y y x =由方程2

1

x y

t e dt x +-=?确定,则0

x dy

dx

==

1-e .

4. 设()x f 可导,且

1

()()

x tf t dt f x =?,1)0(=f ,则()=x f 22

1x e

.

5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为x

e x C C y 221)(-+=.

二.选择题(每小题4分,4题共16分):

本页满分 12分 本页得分

本页满分15分 本页得分

本页满分18分 本页得分

本页满分7分 本页得分

1.设常数0>k ,则函数

k

e x x x

f +-

=ln )( 在

),0(∞+内零点的个数为( B ). (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2. 微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为 ( C )

(A )cos2y A x *=; (B )cos2y Ax x *

=;

(C )cos2sin2y Ax x Bx x *

=+; (D )x A y 2sin *

= 3.下列结论不一定成立的是 ( A )

(A) (A) 若[][]b a d c ,,?,则必有

()()??

≤b

a

d

c

dx

x f dx x f ;

(B) (B) 若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b

a

f x dx ≥?;

(C) (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有

()()??

+=T

T a a

dx

x f dx x f 0

;

(D) (D) 若可积函数()x f 为奇函数,则

()0

x t f t dt

?

也为奇函数.

4. 设

()x

x e e

x f 11

321++=

, 则0=x 是)(x f 的( C ). (A) 连续点; (B) 可去间断点;

(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三.计算题(每小题6分,5题共30分): 1.计算定积分?-2

032

dx

e x x .

解:

??

?----===2

02

020

322121,2

t t x tde dt te dx e x t x 则设 -------2

?

??

???--=?--200221dt e te t t -------2 2

223210221

----=--=e e e t --------2

2.计算不定积分dx x x x ?

5cos sin .

解:

???

???-==???x dx x x x xd dx x x x 4445cos cos 41)cos 1(41cos sin --------3

C x x x x x d x x x +--=+-=

?tan 41tan 121cos 4tan )1(tan 41

cos 43

4

24 -----------3

3.求摆线???-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在

2π=

t 处的切线的方程. 解:切点为)),12((a a -π

-------2

2

π==

t dx dy k 2

)c o s 1(s i n π=-=

t t

a t a 1= -------2

切线方程为

)

12

(

--=-π

a x a y 即

a

x y )2

2(π

-

+=. -------2

4. 设 ?-=x

dt

t x x F 0

2)cos()(,则

=')(x F )cos()12(cos 22

2x x x x x ---. 5.设

n n n n n x n

n )

2()3)(2)(1( +++=

,求n

n x ∞→lim .

解:

)

1l n (1ln 1∑=+=n i n n i

n x ---------2 ?∑+=+==∞→∞→101)1ln(1

)1ln(lim ln lim dx

x n n i x n i n n n --------------2 =1

2ln 211

)1ln(1

010-=+-+?dx x x

x x ------------2 故 n

n x ∞→lim =

e e 41

2ln 2=- 四.应用题(每小题9分,3题共27分) 1.求由曲线2-=

x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.

解:

设切点为

),00y x (,则过原点的切线方程为x

x y 221

0-=

, 由于点

),00y x (在切线上,带入切线方程,解得切点为2,400==y x .-----3 过原点和点)2,4(的切线方程为

22x

y =

-----------------------------3

面积

dy

y y s )222(2

2

?

-+==32

2-------------------3

322)22

21(

2

2120

4

2

=

--+=?

?dx x x xdx s

2.设平面图形D 由22

2x y x +≤与y x ≥所确定,试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积

.

大一高数期末考试复习题及答案

解: 法一:21V V V -=

[

]

[]

?

??---=-----=10

22

1

210

2

2

)1(12)2()11(2dy

y y

dy y dy y πππ -------6

)

314(201)1(3

1423-=??????--=ππππy --------3 法二:V =

?---1

2)2)(2(2dx

x x x x π

??----=10

10

22

)2(22)2(2dx

x x dx x x x ππ ------------------ 5

[]

?--+--=10223

4

222)22(π

πdx x x x x x ππππππ

ππ32213421323

4141201)2(322223

2-=-+=-????????+-=x x ------------- 4

3. 设

1,a >at a t f t

-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.

解:

.ln ln ln 1)(0ln )(a a

a t a a a t f t -

==-='得由 --------------- 3

0)(l n 1ln ln )(2

e

e a a a a a t ==-=

'得唯一驻点又由------------3

.)(,0)(,;0)(,的极小值点为于是时当时当a t e a a t e a a t e a e e e =<'<>'>-----2

.1

1ln 1)(,)(e e e e t a t e a e e -=-

==最小值为的最小值点为--------------1

五.证明题(7分)

设函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导且1

(0)=(1)0,()12f f f ==,

试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'

证明:设()()F x f x x =-,()F x 在[0,1]上连续在(0,1)可导,因(0)=(1)=0f f ,

有(0)(0)00,(1)(1)11F f F f =-==-=-,--------------- 2

又由1()=12f ,知11111

()=()-=1-=2

2222F f ,在1[1]2,

上()F x 用零点定理, 根据11(1)()=-0

22F F <,--------------- 2

可知在1(1)2,内至少存在一点η,使得1()=0(,1)(0,1)

2F ηη∈?,,

(0)=()=0F F η由ROLLE 中值定理得 至少存在一点(0,)(0,1)ξη∈?使得

()=0F ξ'即()1=0f ξ'-,证毕. --------------3

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