《线性代数》考试试题
一、(每题8分,共16分)
1、求过点)1,2,1(-A 且与两个平面222,522-=++=+-z y x z y x 的交线平行的直线方程.(P56)
2、求直线0
2221-=-=-z y x 到平面22-=+-z y x 的距离.(P42) 二、计算(每题10分,共20分)
1、计算n 阶行列式a
b b b a b b
b a
.(P25) 2、已知????
??????=??????????01-12201-111-12-01111-1X ,求矩阵X .(P34) 三、(共15分)分别求a 、b 为何值时线性方程组?????=++=-+=-+b ax x x x x x x x x 321
321321*********无解、有唯一解、
有无穷多解,并在有无穷多解是求解.(要求用向量形式表示解)(P50)
四、(共15分)设)9,6,4,2(),4,5,1,3(),1,2,3,2(),4,3,2,1(4321=-=--==αααα,求向量组4321,,,αααα的一个极大线性无关组,并将其余向量用极大线性无关组线性表出.(P27)
五、(共15分)用正交线性变换TY X =化实二次型
3231212322213218442),,(x x x x x x x x x x x x f --+++-=
为标准型.(要写出所作的正交线性替换与标准二次型).(P52)
六、证明题(共19分)
1、(9分)设21,αα分别是n 级矩阵A 属于不同特征值21,λλ的特征向量,证明:21αα+不是A 的特征向量.(P54)
2、(10分)设B A ,分别为n m ?和s n ?矩阵,0=AB ,证明:n B r A r ≤+)()(.(P95)
线性代数(A 卷) 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =,则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ; 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ,*A 是A 的伴随矩阵,则*1()A -= ; 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ; 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ; 5. 设A 为正交矩阵,则A = ;
数学史话线性代数发展史简介 数学史话—线性代数发展史简介 一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分,因为科学只能给我们知识,而历史却能给我们智慧。 傅鹰 数学的历史是重要的,它是文明史的有价值的组成部分,人类的进步和科学思想是一致的。 F. Cajori 从事数学研究,发现新的定理和技巧是一回事;而以一种能使其他人也能掌握的方式来阐述这些定理和技巧则又是一回事。学习那些伟大的数学家们的思想,使今天的学生能够看到某些论题在过去是怎样被处理的。 V. Z.卡兹 数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言,数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系,其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用,同时是影响政治家和神学家的学说。 M(Kline 一、了解数学史的重要意义 数学是人类文明的一个重要组成部分,是一项非常重要的人类活动。与其他文化一样,数学科学是几千年来人类智慧的结晶。在学习数学时,我们基本是通过学习教材来认识这门学科的。教材是将历史上的数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以重组、取舍编撰而成,因此,数学教材往往舍去了许多数学概念和方法形成的实际背景、演化历程以及导致其演化的各种因素。由于数学发展的实际情况与教材的编写体系有着许多不同,所以,对数学教材的学习,往往难以了解数学的全貌
和数学思想产生的过程。正因为如此,许多人往往把数学当成了枯燥的符号、无源的死水,学了很多却理解得很少。 数学和任何一门科学一样,有着自身发展的丰富历史,是积累性的科学。数学的发展历史展示了人类追求理想和美好生活的力量,历史上数学家的成果、业绩和品德无不闪耀着人类思想的光辉,照亮着人类社会发展和进步的历程。 通过了解一些数学史,可以使我们了解数学科学发生、发展的规律,通过追溯数学概念、思想和方法的演变和发展过程,探究数学科学发展的规律和文化内涵,帮助我们认识数学科学与人类社会发展的互动关系以及数学概念和方法的重要意义。 二、代数学的历史发展情况 数学发展到今天,已经成为科学世界中拥有一百多个主要分支学科的庞大的“共和国”。大体说来,数学中研究数的部分属于代数学的范畴;研究形的部分,属于几何学的范筹;沟 通形与数且涉及极限运算的部分,属于分析学的范围。这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围,由于数学通过数与形这两个概念,与其它科学互相渗透,而出现了许多边缘学科和交叉学科。本节简要介绍一下代数学的历史发展情况。 “代数”(algebra)一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔?花拉子米(al-Khwarizmī,约780,850)一本代数教程,书名的直译为《还原与对消的计算概要》(其书名中的al-jabr 这个词意为“还原”,它所指的意思是把方程式一边的负项移到方程另一端“还原”为正项;al-muqabala意即“对消”或“化简”,指方程两端可以消去相同的项或合并同类项。在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”,拉丁文“aljebra”一词后来被许多国家采用,英文词“algebra”就是阿拉伯文“al-jabr”的讹用。
线性代数选择题道(含答案) 1.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ,则A-1等于() A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有() A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 3.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是() A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 4.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则 必有() A. k≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 5.下列矩阵中是正定矩阵的为() A. 23 34 ? ? ? ? ? B. 34 26 ? ? ? ? ? C. 100 023 035 - - ? ? ? ? ? ? ? D. 111 120 102 ? ? ? ? ? ? ? 6.下列矩阵中,()不是初等矩阵。 A. 001 010 100 ?? ?? ?? ?? ?? B. 100 000 010 ?? ?? ?? ?? ?? C. 100 020 001 ?? ?? ?? ?? ?? D. 100 012 001 ?? ?? - ?? ?? ??
行列式的应用 案例1 大学生在饮食方面存在很多问题,多数大学生不重视吃早餐,日常饮食也没有规 律,为了身体的健康就需要注意日常饮食中的营养。大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物,下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养(它 试根据这个问题建立一个线性方程组,并通过求解方程组来确定每天需要摄入的上述三种食物的量。 解:设123,,x x x 分别为三种食物的摄入量,则由表中的数据可以列出下列方程组 123231 23365113337 1.1352347445 x x x x x x x x ++=?? +=? ?++=? 利用matlab 可以求得 x = 0.27722318361443 0.39192086163701 0.23323088049177 案例2 一个土建师、一个电气师、一个机械师组成一个技术服务社。假设在一段时间内, 每个人收入1元人民币需要支付给其他两人的服务费用以及每个人的实际收入如下表所示,问这段时间内,每人的总收入是多少?(总收入= 实际收入+支付服务费) 解:设土建师、电气师、机械师的总收入分别是123,,x x x 元,根据题意,建立方程 组 1232133 120.20.35000.10.47000.30.4600 x x x x x x x x x --=?? --=??--=? 利用matlab 可以求得
x = 1.0e+003 * 1.25648414985591 1.44812680115274 1.55619596541787 案例3 医院营养师为病人配制的一份菜肴由蔬菜、鱼和肉松组成,这份菜肴需含1200cal 热量,30g 蛋白质和300mg 维生素c ,已知三种食物每100g 中的有关营养的含量如下表, 解:设所配菜肴中蔬菜、鱼和肉松的数量分别为123,,x x x 百克,根据题意,建立方程组 12312312360300600120039630906030300 x x x x x x x x x ++=?? ++=? ?++=? 利用matlab 可以求得 x = 1.52173913043478 2.39130434782609 0.65217391304348 矩阵的应用 案例1 矩阵概念的引入 (1)线性方程组 1111221121122222 1122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=?? ??+++=? 的系数(,1,2,,),(1,2,,)i j j a i j n b j n == 按原来的位置构成一数表
太原理工大学 2013级《线性代数》复习自测题 2014年4月 复习题(一) 1-5题为判断题 1.向量组A:,,与向量组B:,,等价。( ) 2.齐次线性方程组的非零解向量的分量全部不为零。 ( ) 可以经过初等变换化为。( ) 4.如果,那么成立。 ( ) 5.已知阶方阵的特征值为;的特征值为;的特征值为,那么。
( ) 6-10题为单项选择题 6.已知非齐次线性方程组无解,并且其增广矩阵的秩等于4,那么系数矩阵的秩等于 ( ) (A)3; (B)2; (C)1; (D)0。 7.已知三阶方阵,则的逆矩阵等于 ( ) (A);(B);(C);(D)。 8. 若、都是阶矩阵,并且可逆,那么( ) (A)和相等;(B)和不相等; (C)和相似;(D)和不相似。 9.设二阶正定矩阵的特征值不相同,那么方程表示 ( ) (A)圆; (B)椭圆; (C)双曲线; (D)抛 物线。 10.若阶矩阵的每行元素之和都等于,则的每行元素之和都等于( ) (A);(B);(C); (D)。 11-15题为填空题 11.若方阵满足,则的特征值等于 。
12.若,则行列式 。 13.已知向量组线性无关,则向量组,,也线性无关的充分必要条件是常数满足 。 14.已知是线性空间上的线性变换,并且,。则 。 15.已知通过向量组线性表示的方式不唯一,则常数应该满足的条件为 。 16.计算行列式。 17.求解线性方程组。 18.已知矩阵,求正交矩阵,使得。 19.已知,,,求解矩阵方程。 20.证明向量组,,线性无关;将向量用线性表示;如果,求出。 复习题(一)解答 1. ×。因为的秩为,而的秩为,所以它们不等价。 2. √。因为的秩为,所以方程组存在非零解,基础解系中只有一个向 量,方程通解为,对于任意非零解应该满足,即非零解向量的分量 全部不等于零。 3. √。因为为方阵,所以与是同型矩阵,而,所以与等价,因此可以经 过初等变换化为。 4.√。矩阵与其伴随矩阵是可交换的,而当矩阵可交换时成立。 5. √。利用以及即可。 6. A。因为方程组无解,所以,并且,所以系数矩阵的秩等于3。 7. C。根据逆矩阵的定义,直接验证即可。注意可逆的上三角矩阵的逆 矩阵仍为上三角矩阵,所以B,D一定错误。 8. C。因为,所以和相似。 9. B。因为为二阶正定矩阵,所以通过正交变换后,二次型化为,并 且,所以方程表示椭圆。
线性代数应用实例 ● 求插值多项式 右表给出函数()f t 上4个点的值,试求三次插值多项式23 0123()p t a a t a t a t =+++, 并求(1.5)f 的近似值。 解:令三次多项式函数23 0123()p t a a t a t a t =+++过 表中已知的4点,可以得到四元线性方程组: ?????? ?=+++-=+++=+++=6 279318420 33 210321032100 a a a a a a a a a a a a a 对于四元方程组,笔算就很费事了。应该用计算机求解了,键入: >>A=[1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27], b=[3;0;-1;6], s=rref([A,b]) 得到x = 1 0 0 0 3 0 1 0 0 -2 0 0 1 0 -2 0 0 0 1 1 得到01233,2,2,1a a a a ==-=-=,三次多项函数为23 ()322p t t t t =--+,故(1.5)f 近似等于23 (1.5)32(1.5)2(1.5)(1.5) 1.125p =--+=-。 在一般情况下,当给出函数()f t 在n+1个点(1,2,,1)i t i n =+L 上的值()i f t 时,就可 以用n 次多项式2012()n n p t a a t a t a t =++++L 对()f t 进行插值。 ● 在数字信号处理中的应用----- 数字滤波器系统函数 数字滤波器的网络结构图实际上也是一种信号流图。它的特点在于所有的相加节点都限定为双输入相加器;另外,数字滤波器器件有一个迟延一个节拍的运算,它也是一个线性算子,它的标注符号为z -1。根据这样的结构图,也可以用类似于例7.4的方法,求它 的输入输出之间的传递函数,在数字信号处理中称为系统函数。 图1表示了某个数字滤波器的结构图,现在要求出它的系统函数,即输出y 与输入u 之比。先在它的三个中间节点上标注信号的名称x1,x2,x3,以便对每个节点列写方程。
线性代数的起源发展及其意义 线性代数是处理矩阵和向量空间的数学分支,在现代科学的各个领域都有应用。由于费马和笛卡尔的工作,线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末,线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡,矩阵论始于凯莱,在十九世纪下半叶,因当时对其充分的研究和探索而使其达到了它的顶点。1888年,皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中。线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理,即是说不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域,这就引向模的概念,这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。 “代数”这一个词在中国出现较晚,在清代时才传入中国,当时被人们译成“阿尔热巴拉”,直到1859年,清代著名的数学家、翻译家李善男才将它翻译成为“代数学”,之后一直沿用。 线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。 主要理论成熟于十九世纪,而第一块基石(二、三元线性方程组的解法)则早在两千年前出现。
线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用,因而它在各种代数分支中占居首要地位 在计算机广泛应用的今天,计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分; 该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系,从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等,对于强化人们的数学训练,增益科学智能是非常有用的 随着科学的发展,我们不仅要研究单个变量之间的关系,还要进一步研究多个变量之间的关系,各种实际问题在大多数情况下可以线性化,而由于计算机的发展,线性化了的问题又可以计算出来,线性代数正是解决这些问题的有力工具。 线性(linear)指量与量之间按比例、成直线的关系,在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数,非线性(non-linear)则指不按比例、不成直线的关系,一阶导数不为常数。线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里,一个向量是一个有方向的线段,由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量,比如力,也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。 现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。作
《线性代数》重点题 一. 单项选择题 1.设A 为3阶方阵,数 = 3,|A | =2,则 | A | =( ). A .54; B .-54; C .6; D .-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵,λ为实数,则|λA |=( ) A 、λ|A |; B 、|λ||A |; C 、λn |A |; D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =( ). 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0; B. ()2,2-; C. 22?? ?-??; D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量,矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4,则|-2A |=( ). A 、-32; B 、-4; C 、4; D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是( ). A .一个零向量一定线性无关; B .一个非零向量一定线性相关; C .含有零向量的向量组一定线性相关; D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关;不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关;不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关;对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα
《第四章 向量空间》 自测题 (75 分钟) 一、选择、填空(20分,每小题4分) 1. 下列向量集合按向量的加法和数乘运算构成R 上一个向量空间的是( )。 (A )R n 中,分量满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量; (B )R n 中,分量是整数的所有向量; (C )R n 中,分量满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量; (D )R n 中,分量满足x 1=1,x 2,…,x n 可取任意实数的所有向量。 2.设R 4 的一组基为,,,,4321αααα令 414433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=, 则子空间}4,3,2,1,|{44332211=∈+++=i F k k k k k W i ββββ的维数为 ,它的一组基为 。 3. 向量空间R n 的子空间 },0|)0,,,,{(1121121R x x x x x x x W n n ∈=+=--ΛΛ的维数为 , 它的一组基为 。 4. 设W 是所有二阶实对称矩阵构成的线性空间,即?? ????????∈???? ??=R a a a a a W ij 2212 1211,则它的维数为 ,一组基为 。 5.若A=??????? ?????????-100021021b a 为正交矩阵,且|A|=-1,则a = ,b = 。 二、计算题(60分) 1.(15分)设R 3 的两组基为: T T T )1,1,0(,)0,1,1(,)1,0,1(321===ααα和T T T )1,2,1(,)2,1,1(,)1,1,1(321===βββ, 向量α=(2,3,3)T (1)求由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵。 (2)求α关于这两组基的坐标。 (3)将321,,βββ化为一组标准正交基。 2. (15分)在R 4 中,求下述齐次线性方程组的解空间的维数和基,
华北水利水电学院 线性代数发展简史 课程名称:线性代数 专业班级: 成员组成: 联系方式: 2011年11月6日
摘要:代数学可以笼统地解释为关于字母运算的学科。线性代数是高等代数的一大分支,是研究如何求解线性方程组而发展起来的。线性代数的主要内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、线性空间、线性变换、欧氏空间和二次型等。 关键词:高等代数行列式矩阵向量 线性代数发展简史 1 代数学可以笼统地解释为关于字母运算的学科。在中学所学的初等代数中,字母仅用来表示数。初等代数从最简单的一元一次方程开始,一方面进而讨论二元及三元的一次方程组,另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展,代数学在讨论任意多个未知数的一次方程组,也叫线性方程组的同时,还研究次数更高的一元方程及多元方程组。发展到这个阶段,就叫做高等代数。 线性代数是高等代数的一大分支,是研究如何求解线性方程组而发展起来的。线性代数的主要内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、线性空间、线性变换、欧氏空间和二次型等。在线性代数中,字母的含义也推广了,它不仅用来表示数,也可以表示行列式、矩阵、向量等代数量。笼统地说,线性代数是研究具有线性关系的代数量的一门学科。线性代数不仅在内容上,更重要的是在观点和方法上比初等代数有很大提高。 在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。虽然表面上看,行列式和矩阵不过是一种语言或速记,但从数学史上来看,优良的数学符号和生动的概念是数学思想产生的动力和钥匙。 行列式出现于线性方程组的求解。行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的,他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作,标题的意思是“解行列式问题的方法”,书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家、微积分学奠基人之一莱布尼兹(Leibnitz)。1750年克莱姆(Cramer)在他的《线性代数分析导言》中发表了求解线性方程组的重要基本公式(即人们熟悉的Cramer 克莱姆法则)。1764年,法国数学家贝佐特(Bezout)把确定行列式每一项的符号的
二、选择题 1.(1987—Ⅰ,Ⅱ)设 A 为n 阶方阵,且A 的行列式0A a =≠,而*A 是A 的伴随矩阵,则* A 等于 ( C ) (A)a . (B) 1a . (C)1n a -. (D)n a . 【考点】伴随矩阵的性质. 解 1 *n A A -=. 2.(1987—Ⅳ,Ⅴ)假设 A 是n 阶方阵,其秩r n <,那么在A 的n 个行向量中( ) (A) 必有r 个行向量线性无关. (B) 任意r 个行向量线性无关. (C) 任意r 个行向量都构成最大线性无关向量组. (D) 任何一个行向量都可以由其他r 个行向量线性表出. 【考点】矩阵的秩,向量组的线性相关性及向量组的最大无关组. 解 ()R A r n A =
第三章 1.初等变换不改变矩阵的秩. ( ) 2.若向量组B 能由向量组A 线性表示,则()(,)R B R A B =.( ) 3.()()()R A B R A R B +≤+ ( ) 4.如果线性方程组b x A n n =?无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零. 5.初等变换不改变矩阵的秩. ( ) 6.若0A ≠,则齐次线性方程组0A x =只有零解. ( ) 7.若A ~B ,则()()R A R B =. ( ) 8.若0A =,则齐次线性方程组0A x =必有非零解. 9.若m n <,则0m n A x ?=有非零解. ( ) 10.(√)2.若m n <,则0m n A x ?=有非零解. 11.若m n <,则0m n A x ?=有非零解. ( ) 12.已知12,a a ,3a 是四元非齐次线性方程组A x b =的三个解向量,且()3R A =, 1(1,2,3,4) T a =,23(0,1,2,3)T a a +=,c 是任意的常数,则A x b =的通解是x = ( ) A. 11213141c ?? ?? ? ? ? ?+ ? ? ? ??? ?? B. 10213243c ???? ? ? ? ?+ ? ? ? ??? ?? C. 12233445c ?? ?? ? ? ? ?+ ? ? ? ??? ?? D. 1324 3546c ?? ?? ? ? ? ?+ ? ? ? ??? ?? . 13.设A 是m n ?矩阵,且秩()R A m n =<,则( ) A.A 的任意m 个列向量必定线性无关 B.A 的任意一个m 阶子式不等于零 C.齐次线性方程组0A x =只有零解 D.非齐次线性方程组A x b =必有无穷多解 14.设A 是4×5矩阵,A 的秩等于3,则齐次线性方程组0A x =的基础解系中所含解向量的个数为( )
线性代数发展史 由于研究关联着多个因素的量所引起的问题,则需要考察多元函数。如果所研究的关联性是线性的,那么称这个问题为线性问题。历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题,而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展,这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践,正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。另外,近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。 行列式 行列式出现于线性方程组的求解,它最早是一种速记的表达式,现在已经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。1693 年4 月,莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式,并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。 1750 年,瑞士数学家克莱姆(G.Cramer,1704-1752) 在其著作《线性代数分析导引》中,对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述,并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后,数学家贝祖(E.Bezout,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系 统化,利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。 总之,在很长一段时间内,行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用,并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外,单独形成一门理论加以研究。 在行列式的发展史上,第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述,即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人,是法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 。范德蒙自幼在父亲的知道下学习音乐,但对数学有浓厚的兴趣,后来终于成为法兰西科学院院士。特别地,他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身这一点来说,他是这门理论的奠基人。1772 年,拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则,推广了他的展开行列式的方法。 继范德蒙之后,在行列式的理论方面,又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西。1815 年,柯西在一篇论文中给出了行列式的第
第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m, a a a a 1311 2321 =n,则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于() A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ,则A-1等于() A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是() A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有() A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T)等于() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则() A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0 C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0 D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r,则A中() A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是() A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2η1+1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆,则必有()
线性代数 案例 Cayler-Hamilton 定理 【实验目的】 1.理解特征多项式的概念 2.掌握Cayler-Hamilton 定理 【实验要求】掌握生成Vandermonde 矩阵的vander 命令、求矩阵特征多项式系数的poly()命令、求矩阵范数的norm 命令及矩阵多项式运算的polyvalm 命令 【实验内容】 Cayler-Hamilton 定理是矩阵理论中的一个比较重要的定理,其内容为:若矩阵A 的特征多项式为 1121)det()(+-++++=-=n n n n n a s a s a s a A sI s f 则有()0,f A =亦即 11210 n n n n a A a A a A a E -+++ ++= 假设矩阵A 为Vandermonde 矩阵,试验证其满足Cayler-Hamilton 定理。 【实验方案】 Matlab 提供了求取矩阵特征多项式系数的函数poly(),但是poly()函数会产生一定的误差,而该误差在矩阵多项式求解中可能导致了巨大的误差,从而得出错误的结论。 在实际应用中还有其他简单的数值方法可以精确地求出矩阵的特征多项式系数。例如,下面给出的Fadeev-Fadeeva 递推算法也可以求出矩阵的特征多项式。 ()1111,1,2,...,,,2,...,k k k k k c tr AR k n k R I R AR c I k n --?=-=?? ?==+=? 该算法首先给出一个单位矩阵I ,并将之赋给1R ,然后对每个k 的值分别求出特 征多项式参数,并更新k R 矩阵,最终得出矩阵的特征多项式的系数k c 。该算法可以直接由下面的Matlab 语句编写一个( )1poly 函数实现: Function c=poly1(A) [nr,nc]=size(A); if nc==nr % 给出若为方阵,则用Fadeev-Fadeeva 算法求特征多项式 I=eye(nc); R=I; c=[1 zeros(1,nc)]; for k=1:nc,c(k+1)=-1/k*trace(A*R);r=A*R+c(k+1)*I;
第四章 (×)1.若向量组123,,ααα线性相关,则3α可由12,αα线性表示. (√)2.若向量组A 可由向量组B 线性表示,则()()R A R B ≤. (×)3.若向量组123,,ααα线性相关,则1α可由23,αα线性表示. (√)4.若向量组A 可由向量组B 线性表示,则()()R A R B ≤. 5.若齐次线性方程组0AX = 只有零解,则A 的列向量组线性无关. 6.等价的向量组具有相同的秩. ( ) 设A 为n 阶矩阵,则T A 与A 的特征值相同. ( ) 4.非零向量组的最大无关组存在且唯一. ( ) 5.对于任意参数123,,m m m ,向量组11100m α?? ? ?= ? ???,22102m α?? ? ?= ? ???,3 3123m α?? ? ?= ? ??? 总是线性 无关. ( ) 6. 设V =({)}1,,,,,,212121=+++∈=n n T n x x x R x x x x x x x 满足, 则V 是向量空间. ( ) 7.设21,V V 分别为向量组A ,B 生成的向量空间,且向量组A ,B 等价,则21V V =. 8.若存在一组数120m k k k ==== ,使得 11220m m k k k ααα+++= 成立,则向量组12,,,m ααα ( ) .A 线性相关 .B 线性无关 .C 可能线性相关,也可能线性无关 .D 部分线性相关 9.已知43?的矩阵A 的行向量组线性无关,则=')(A R ( ) .A 1; .B 2; .C 4; .D 3. 10.向量组12,,,m a a a (2m ≥)线性相关,则 ( ) .A 12,,,m a a a 中每一个向量均可由其余向量线性表示; .B 12,,,m a a a 中每一个向量均不可由其余向量线性表示; .C 12,,,m a a a 中至少有一个向量可由其余向量线性表示;
线性代数发展史 线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程,讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意 , 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念 , 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合 , 然而它以力或速度作为直接的物理意义 , 并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度 , 散度 , 旋度就更有说服力。同样 , 行列式和矩阵如导数一样(虽然 dy/dx 在数学上不过是一个符号 , 表示包括△y/△x的极限的长式子 , 但导数本身是一个强有力的概念 , 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情)。因此,虽然表面上看,行列式和矩阵不过是一种语言或速记,但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。 线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的。行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的,他在 1683 年写了一部叫做《解伏题之法》的著作,意思是“解行列式问题的方法”,书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家,微积分学奠基人之一莱布尼兹( Leibnitz ,1693 年)。 1750 年克莱姆( Cramer )在他的《线性代数分析导言》( Introduction d l'analyse des lignes courbes alge'briques )中发表了求解线性系统方程的重要基本公式(既人们熟悉的 Cramer 克莱姆法则)。 1764 年 , Bezout 把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。对给定了含 n 个未知量的 n 个齐次线性方程 , Bezout 证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件。 Vandermonde 是第一个对行列式理论进行系统的阐述 ( 即把行列 ' 式理论与线性方程组求解相分离 ) 的人。并且给出了一条法则,用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。就对行列式本身进行研究这一点而言,他是这门理论的奠基人。 Laplace 在 1772 年的论文《对积分和世界体系的探讨》中 , 证明了 Vandermonde 的一些规则 , 并推广了他的展开行列式的方法 , 用 r 行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式,这个方法现在仍然以他的名字命名。德国数学家雅可比( Jacobi )也于 1841 年总结并提出了行列式的系统理论。另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家柯西 (Cauchy) ,他大大发展了行列式的理论,在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法,与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证明了 laplace 的展开定理。相对而言,最早利用矩阵概念的是拉格朗日( Lagrange )在 1700 年后的双线性型工作中体现的。拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题,其方法就是人们知道的拉格朗日迭代法。为了完成这些,他首先需要一阶偏导数为 0 ,另外还要有二阶偏导数矩阵的条件。这个条件就是今天所谓的正、负的定义。尽管拉格朗日没有明确地提出利用矩阵。 高斯( Gauss )大约在 1800 年提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题。(这种涉及测量、求取地球形状或当地精确位置的应用数学分支称为测地学。)虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名,但早在几世纪中国人的手稿中就出现了解释如何运用“高斯”消去的方法求解带有三个未知量的三方程系统。在当时的几年里,高斯消去法一直被认为是测地学发展的一部分,而不是数学。而高斯 - 约当消去法则最初是出现在由 Wilhelm Jordan 撰写的测地学手册中。许多人把著名的数学家 Camille Jordan 误认为是“高斯 - 约当”消去法中的约当。 矩阵代数的丰富发展,人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义。二者要在大约同一时间和同一地点相遇。 1848 年英格兰的 J.J. Sylvester 首先提出了矩阵这个词,它来源于拉丁语,代表一排数。 1855 年矩阵代数得到了 Arthur Cayley 的工作培育。 Cayley 研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义,使得复合变换 ST 的系数矩阵变为矩阵 S 和矩阵 T 的乘积。他还进一步研究了那些包括矩阵逆在内的代数问题。著名的 Cayley- Hamilton 理论即断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的根,就是由 Cayley 在 1858 年在他的矩阵理论文集中提出的。利用单一的字母 A 来表示矩阵是对矩阵代数发展至关重要的。在发展的早期公式 det( AB ) = det( A )det( B ) 为矩阵代数和行列式间提供了一种联系。数学家 Cauchy 首先给出了特征方程的术语,并证明了阶数超过 3 的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值;给出了相似矩阵的概念,并证明了相似矩阵有相同的特征值;研究了代换理论, 数学家试图研究向量代数,但在任意维数中并没有两个向量乘积的自然定义。第一个涉及一个不可交换向量积(既 v x w 不等于 w x v )的向量代数是由 Hermann Grassmann 在他的《线性扩张论》( Die lineale Ausdehnungslehre )一书中提出的。(1844) 。他的观点还被引入一个列矩阵和一个行矩阵的乘积中,结果就是现在称之为秩数为 1 的矩阵,或简单矩阵。在 19 世纪末美国数学物理学家 Willard Gibbs 发表了关于《向量分析基础》 ( Elements of Vector Analysis ) 的著名论述。其后物
线性代数练习题 一 选择题 1B A ,都是n 阶矩阵,且0=AB , 则必有:( ) (A) 0A =或0=B . (B) 0A B == . (C) 0=A 或.0=B (D) 0A B == 2设1011,1101a b c d -??????= ??? ?-?????? 则a b c d ?? = ???( ) (A)01. 11?? ?-?? (B)11. 10-?? ??? (C)11. 11-?? ??? (D)11. 01?? ?-?? 3若 A 为n m ?矩阵,且n m r A R <<=)(则( )必成立. (A )A 中每一个阶数大于r 的子式全为零。 (B )A 是满秩矩阵。 (C )A 经初等变换可化为??? ? ??000r E (D )A 中r 阶子式不全为零。 4 向量组 s ααα ,,21,线性无关的充分条件是( ) (A ) s ααα ,,21均不是零向量. (B ) s ααα ,,21中任一部分组线性无关. (C ) s ααα ,,21中任意两个向量的对应分量都不成比例. (D ) s ααα ,,21中任一向量均不能由其余S-1个向量线性表示. 5 齐次线性方程组0AX =是非齐次线性方程组AX B =的导出组,则( )必定成立. (A )0AX =只有零解时, AX B =有唯一解. (B )0AX =有非零解时, AX B =有无穷多解. (C )α是θ=AX 的任意解,0γ 是AX B =的特解时,0γα+是AX B =的全部解. (D )12γγ,是AX B =的解时, 21γγ+ 是0AX =的解. 6若θ≠B ,方程组B AX =中, 方程个数少于未知量个数,则有( )