2012高三数学一轮复习单元练习题:解析几何
第Ⅰ卷
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的
括号内(本大题共12个小题,每小题5分,共60分). 1.圆2x 2
+2y 2
=1与直线x sin θ+y -1=0(θ∈R ,θ≠2
π
+k π,k ∈Z )的位置关系是( )
A .相交
B .相切
C .相离
D .不确定的 2.下列方程的曲线关于x =y 对称的是
( )
A .x 2-x +y 2=1
B .x 2y +xy 2=1
C .x -y =1
D .x 2-y 2=1
3.设动点P 在直线x =1上,O 为坐标原点.以OP 为直角边,点O 为直角顶点作等腰Rt △OP Q ,则动点Q
的轨迹是 ( ) A .圆 B .两条平行直线
C .抛物线
D .双曲线
4.已知双曲线)0( 12
2
2>=-a y
a
x 的一条准线为2
3=x ,则该双曲线的离心率为 ( )
A .
2
3 B .
2
3 C .
2
6 D .
3
32
5.当θ是第四象限时,两直线0cos 1sin =-++a y x θθ和0cos 1=+-+b y x θ的位置关系是
( )
A .平行
B .垂直
C .相交但不垂直
D .重合
6.抛物线2
4x y =上一点A 的纵坐标为4,则点A 与抛物线焦点的距离为 ( )
A .2
B .3
C .4
D .5
7.设直线l 过点)0,2(-,且与圆12
2
=+y x 相切,则l 的斜率是
( )
A .1±
B .2
1± C .3
3±
D .3±
8.设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l ',若l '与椭圆2
2
14
y
x +
=的交点为A 、B 、,点P 为椭
圆上的动点,则使P A B ?的面积为12
的点P 的个数为
( )
A .1
B .2
C .3
D .4
9.直线3+=x y 与曲线14
9
2
=-
x x y
的公共点的个数是
( )
A .1
B .2
C .3
D .4
10.已知x ,y 满足0))(1(≤+--y x y x ,则22)1()1(+++y x 的最小值是
( )
A .0
B .2
1 C .
2
2 D .2
11.已知P 是椭圆192522=+y x 上的点,Q 、R 分别是圆4
1)4(22=++y x 和圆4
1
)4(22=+-y x 上的点,则
|PQ|+|PR|的最小值是 ( )
A .89
B .85
C .10
D .9
12.动点P (x ,y )是抛物线y =x 2 -2x -1上的点,o 为原点,op 2 当x=2时取得极小值,求,op 2的最小值
( ) A.
4
3
116- B.
4
3
611+ C.
4
3
611- D.
4
3
116+
第Ⅱ卷
二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共4个小题,每小题4分,共16分). 13.将直线220x y +-=绕原点逆时针旋转90?所得直线方程是 . 14.圆心为(1,2)且与直线51270x y --=相切的圆的方程为_____________.
15.已知⊙M :,1)2(2
2
=-+y x Q 是x 轴上的动点,QA ,QB 分别切⊙M 于A ,B 两点,求动弦AB 的中点P
的轨迹方程为 . 16.如图把椭圆
22
125
16
x
y
+
=的长轴AB 分成8分,过每个
作x轴的垂线交椭圆的上半部分于1P ,2P ,……7P 七个点, F 是椭圆的一个焦点,则127......P F P F P F +++=______.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题,共74分)。
17.(12分)设直线1+=kx y 与圆042
2
=-+++my kx y x 交于N M ,两点,且N M ,关于直线0
=+y x
对称,求不等式组??
?
??≥≤-≥+-0001y my kx y kx 表示平面区域的面积.
18.(12分)已知点P 到两个定点M (-1,0)、N (1,0)距离的比为2,点N 到直线PM 的距离为1.求
直线PN 的方程.
19.(12分)已知直角坐标平面上点Q (2,0)和圆C :x 2+y 2
=1,动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常
数λ(λ>0).求动点M 的轨迹方程,说明它表示什么曲线. 20.(12分)设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上,l 是AB 的垂直平分线, (I )当且仅当21x x +取何值时,直线l 经过抛物线的焦点F ?证明你的结论; (II )当3,121-==x x 时,求直线l 的方程.
21.(12分)已知动圆过定点P (1,0),且与定直线l :x =-1相切,点C 在l 上. (I )求动圆圆心的轨迹M 的方程;
(II )设过点P ,且斜率为-3的直线与曲线M 相交于A 、B 两点.
(i )问:△ABC 能否为正三角形?若能,求点C 的坐标;若不能,说明理由; (ii )当△ABC 为钝角三角形时,求这种点C 的纵坐标的取值范围.
22.(14分)已知椭圆)0(1:
2
22
2>>=+
b a b
y a
x C 的离心率为
3
6,F 为椭圆在x 轴正半轴上的焦点,M 、
N 两点在椭圆C 上,且)0(>=λλFN MF ,定点A (-4,0). (I )求证:当1=λ时AF MN ⊥; (II )若当1=λ时有3
106=
?AN AM ,求椭圆C 的方程;
(III )在(2)的条件下,当M 、N 两点在椭圆C 运动时,试判断MAN AN AM ∠??tan 是否有最大
值,若存在求出最大值,并求出这时M 、N 两点所在直线方程,若不存在,给出理由.
参考答案(4)
一、选择题
1.C ;2.B ;3.B ;4.A ;5.B ;6.D ;7.D ;8.B ;9.C ;10.B ;11.D ;12.C . 二、填空题
13.220x y -+=; 14.22(1)(2)4x y -+-=; 15.).2(16
1)
4
7(2
2
≠=
-+y y x ; 16.35.
三、解答题
17.解:由题意直线1+=kx y 与圆042
2
=-+++my kx y x 交于N M ,两点,且N M ,关于直线
0=+y x 对称,则1+=kx y 与0=+y x 两直线垂直,可求出m k ,,又不等式组所表示的平面区域
应用线性规划去求,易得面积为
4
1。
18.解:设点P 的坐标为(x ,y ),由题设有
2|
|||=PN PM ,
即2
2
2
2)1(2)1(y x y
x +-?=++.
整理得 x 2
+y 2
-6x +1=0. ①
因为点N 到PM 的距离为1,|M N|=2, 所以∠PMN =30°,直线PM 的斜率为±
3
3,
直线PM 的方程为y =±
3
3(x +1).②
将②式代入①式整理得x 2
-4x +1=0. 解得x =2+3,x =2-3.
代入②式得点P 的坐标为(2+3,1+3)或(2-3,-1+3);(2+3,-1-3)或(2-3,1-3).
直线PN 的方程为y =x -1或y =-x +1.
19.如图7—15,设直线MN 切圆于N ,则动点M 组成的集合是:P ={M ||MN |=λ|MQ |},(λ>0为常数)因为
圆的半径|ON |=1,所以|MN |2=|MO |2-|ON |2=|MO |2-1.
设点M 的坐标为(x ,y ),则
2
222)2(1y x y x +-=-+λ
整理得(λ2
-1)(x 2
+y 2
)-4λ2
x +(1+4λ2
)=0 当λ=1时,方程化为x =
4
5,它表示一条直线,该直线与x 轴垂直,交x 轴于点(
4
5,0);
当λ≠1时,方程化为(x -
122
2
-λλ
)2+y 2
=
)
1(312
2
-+λλ
它表示圆心在(
1
22
2
-λλ
,0),半径为
|
1|312
2
-+λλ
的圆.
20.解:(1)∵抛物线22x y =,即4
1,2
2
=∴=
p y x ,
∴焦点为1
(0,)8F
直线l 的斜率不存在时,显然有021=+x x
直线l 的斜率存在时,设为k ,截距为b 即直线l :y =kx +b ,由已知得:
1
2
1
2
121
2
2
2
1k b
k
y
y x
x
y y x
x
?++?=?
+??-
?=-
?-?
22
1
21222
12122212222k b k x x x x x x x x ?++=?+?
?
??-?=-?-?
22121212212k b
k x x x x x x +?+=?+????
?+=-??
221
2
104
b x
x
?
+
=-
+≥14
b ?≥
即l 的斜率存在时,不可能经过焦点1(0,)8
F .
所以当且仅当12x x +=0时,直线l 经过抛物线的焦点F .
(2)当121,3x x ==-时,直线l 的斜率显然存在,设为l :y=kx+b
则由(1)得:
22121212212k b
k x x x x x x +?+=?+???
?
+=-??
1
2
10
2
1
2
2k b k
x
x
+?
?+=?????-
=-??
14414
k b ?
=????
?=?? 所以,直线l 的方程为1414
4
y x =
+
,即4410x y -+=.
21.(1)解法一,依题意,曲线M 是以点P 为焦点,直线l 为准线
的抛物线,所
以曲线M 的方程为y 2=4x .
解法二:设M (x ,y ),依题意有|MP |=|MN |, 所以|x +1|=
2
2)1(y x +-.化简得:y 2=4x .
(2)(i )由题意得,直线AB 的方程为y =-3(x -1).
由????
?=--=.
4),
1(32
x y x y 消y 得3x 2-10x +3=0,
解得x 1=
3
1,x 2=3.
所以A 点坐标为(3
3
2,
3
1),B 点坐标为(3,-23),|AB |=x 1+x 2+2=
3
16.
假设存在点C (-1,y ),使△ABC 为正三角形,则|BC |=|AB |且|AC |=|AB |,即
???????=-++=+++.)316()32()13
1(,)316()32()13(22222
2y y
由①-②得42+(y +23)2=(3
4)2+(y -3
3
2
)2,
解得y =-93
14
.
但y =-
9
3
14不符合①,
所以由①,②组成的方程组无解.
因此,直线l 上不存在点C ,使得△ABC 是正三角形.
(ii )解法一:设C (-1,y )使△ABC 成钝角三角形,由???-=--=.
1),
1(3x x y 得y =23,
即当点C 的坐标为(-1,23)时,A 、B 、C 三点共线,故y ≠23.
又|AC |2
=(-1-
3
1)2
+(y -
3
32)2
=
3
349
28y -
+y 2
,
|BC |2=(3+1)2+(y +23)2=28+43y +y 2
,
|AB |2=(
3
16)2=
9
256.
当∠CAB 为钝角时,co sA =
|
|||2|
|||||2
22AC AB BC AC AB ?-+<0.
即|BC |2
>|AC |2
+|AB |2
,即
9
2563
349
2834282
2
+
+-
>
++y y y y ,即
y >
39
2时,∠CAB 为钝角.
当|AC |2
>|BC |2
+|AB |2
,即
9
25634283
349
282
2+
++>+-
y y y y ,即y <-
33
10时,∠CBA 为钝角.
又|AB |2
>|AC |2+|BC |2
,即
2
234283
349
289
256y y y y ++++-
>
,
即0)3
2(,03
433
42
2
<+
<+
+
y y y .
该不等式无解,所以∠ACB 不可能为钝角.
因此,当△ABC 为钝角三角形时,点C 的纵坐标y 的取值范围是
)32(9
323310≠>
-
解法二:以AB 为直径的圆的方程为(x -3 5)2 +(y +33 2)2 =( 3 8)2 . 圆心(33 2 ,35- )到直线l :x =-1的距离为3 8, 所以,以AB 为直径的圆与直线l 相切于点G (-1,-3 32 ). 当直线l 上的C 点与G 重合时,∠ACB 为直角,当C 与G 点不重合,且A 、B 、C 三点不共线时,∠ACB 为锐角,即△ABC 中,∠ACB 不可能是钝角. 因此,要使△ABC 为钝角三角形,只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角. 过点A 且与AB 垂直的直线方程为)3 1(3 33 32- = -x y . 令x =-1得y =93 2 . 过点B 且与AB 垂直的直线方程为y +23 33= (x -3). 令x =-1得y =- 33 10. 又由?? ?-=--=. 1),1(3x x y 解得y =23, 所以,当点C 的坐标为(-1,23)时,A 、B 、C 三点共线,不构成三角形. 因此,当△ABC 为钝角三角形时,点C 的纵坐标y 的取值范围是y <-3 310或y >93 2 (y ≠23). 22.(1)设)0,(),,(),,(2211c F y x N y x M ,则),(),,(2211y c x NF y x c MF -=--=, 当1=λ时,c x x y y FN MF 2,,2121=+=-∴=, 由M ,N 两点在椭圆上,2 2212 2 22 22 2 2 12 21 ),1(),1(x x b y a x b y a x =∴- =- =∴ 若21x x -=,则c x x 2021≠=+舍,21x x =∴ .),0,4(),2,0(2AF MN c AF y MN ⊥∴+==∴ 。 (2)当1=λ时,不妨设2 42 2 2 )4(),,(),, (a b c AN AM a b c N a b c M - +=?∴- 又3 1061686 5,2 ,2 32 2 2 22 = ++∴ = = c c c b c a , 2=∴c ,椭圆C 的方程为 .12 6 2 2 =+ y x 。 (3)||||2tan N M AMN y y AF S MAN AN AM -==∠???, 设直线MN 的方程为)0(),2(≠-=k x k y 联立? ????=+-=126 )2(2 2y x x k y ,得024)31(2 22=-++k ky y k , 2 2 4 312424||k k k y y N M ++= -∴。 记2 2 2 4 31,312424k s k k k t +=++= , 则2 2 2113 62)3 1( )31( 24s s s s s t - + ?= -+-? = 3≤ ∴t ,当4=s ,即1±=k 时取等号 . 并且,当k =0时0tan =∠??MAN AN AM , 当k 不存在时33 62||<= -N M y y 综上MAN AN AM ∠??tan 有最大值,最大值为36 此时,直线的MN 方程为02=--y x ,或02=-+y x 。 中职数学解析几何测试卷 一.选择题 1.过点(1,-3)且与直线4x -3y+2=0平行的直线方程为( ) A.3x+4y+13=0 B.3x-4y+13=0 C.4x+3y+13=0 D.4x-3y-13=0 2.下列4条直线中与直线2x+3y-6=0垂直的直线方程( ) A.2x-3y-5=0 B.3x-2y+1=0 C.4x+6y+11=0 D.3x+2y-5=0 3.直线3x-4y-2=0与圆x 2+y 2+2x=0之间的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交且直线过圆心 D.相交且直线不过圆心 4.方程x 2+y 2-x-y+m=0表示一个圆。则m 的值( ) A.m<2 B. m ≤-2 C. 21 9.如果方程1232 2=+++k y k x 表示椭圆。那么实数k 的取值范围是( ) A.k>-3 B. -3 数列题目精选精编 【典型例题】 (一)研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. (1)求32,a a ; (2)证明: 312n n a -= . 解:(1)2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . (2)证明:由已知1 13 --=-n n n a a ,故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= , 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)等差数列{}n b 的各项为正,其前n 项和为n T ,且315T =,又112233,,a b a b a b +++成等比数列,求n T . 解:(Ⅰ)由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥, 两式相减得:112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥, 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1,公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= (Ⅱ)设{}n b 的公差为d ,由315T =得,可得12315b b b ++=,可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+,又1231,3,9a a a ===, 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+,解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正,∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同,且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立,数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; ⑵是否存在N k * ∈,使得(0,1)k k b a -∈,请说明理由. 点拨:(1)2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式,可以联想到已知n S 求n a 的方法,当2n ≥时,1n n n S S a --=. (2)把k k a b -看作一个函数,利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解:(1)已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N )① 2n ≥时,212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N )② 第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则中职数学解析几何测试卷
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