1.3.1函数的单调性例题
1.3.1函数的单调性 题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间 例1.作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间 （1）12-=x y ; （2）322++-=x x y ; （3）2 )2(1-++=x x y ; （4）969622++++-=x x x x y 相应作业1：课本P32第3题. 题型二、用定义法证明函数的单调性 用定义法证明函数的单调性步骤：取值 作差变形 定号 下结论 ?取值，即_____________________________； ?作差变形,作差____________,变形手段有__________、_____、_____、_______等； ?定号，即____________________________________________________________; ④下结论，即______________________________________________________。 例2.用定义法证明下列函数的单调性 （1）证明：1)(3 +-=x x f 在()+∞∞-,上是减函数.
▲定义法证明单调性的等价形式： 设[]b a x x ,21∈、，21x x ≠,那么 [])(0) ()(0)()()(2 1212121x f x x x f x f x f x f x x ?>--? >--在[]b a ,上是增函数； [])(0) ()(0)()()(2 1212121x f x x x f x f x f x f x x ?<--? <--在[]b a ,上是减函数. (2)证明：x x x f -+=1)(2在其定义域内是减函数； （3）证明：21 )(x x f = 在()0,∞-上是增函数； 法一： 作差 法二：作商
函数的单调性知识点总结与经典题型归纳
函数的单调性 知识梳理 1. 单调性概念 一般地，设函数()f x 的定义域为I ： （1）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数； （2）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 2. 单调性的判定方法 （1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （2）定义法步骤； ①取值：设12,x x 是给定区间内的两个任意值，且12x x < (或12x x >)； ②作差：作差12()()f x f x -，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）； ③定号：判断12()()f x f x -的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论； ④下结论：根据定义得出其单调性. （3）复合函数的单调性： 当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 3. 单调区间的定义 如果函数()y f x =，在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间． 例题精讲 【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图． (1)从左向右看，图形是如何变化的？ (2)在哪些区间上升?哪些区间下降？
解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降； （2）在区间[0,4]和[14,24]下降，在区间[4,14]下降。 【例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f (x )=x ; ①从左至右图象上升还是下降? ②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ （2）f (x )=x 2． ①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ ②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ 解：（1）①从左至右图象是上升的； ②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大． （2）①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着减小； ②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大． 【例3】函数()y f x =在定义域的某区间D 上存在12,x x ，满足12x x <且12()()f x f x <，那么函 数()y f x =在该区间上一定是增函数吗？ 解：不一定，例如下图： 【例4】下图是定义在闭区间[5,5]-上的函数()y f x =的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数． 解：函数()y f x =的单调区间有[5,2),[2,1),[1,3),[3,5)---； 其中在区间[5,2),[1,3)--上是减函数，在区间[2,1),[3,5)-上是增函数. 【例5】证明函数()32f x x =+在R 上是增函数.
人教版数学高一-15-16高中数学必修1作业 1.函数的单调性
§1.3 函数的基本性质 1．3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性 课时目标 1.理解函数单调性的性质.2.掌握判断函数单调性的一般方法． 1．函数的单调性 一般地，设函数f (x )的定义域为I ： (1)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是__________． (3)如果函数y ＝f (x )在区间D 上是________或________，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有________________，区间D 叫做y ＝f (x )的__________． 2．a >0时，二次函数y ＝ax 2的单调增区间为________． 3．k >0时，y ＝kx ＋b 在R 上是____函数． 4．函数y ＝1x 的单调递减区间为__________________． 一、选择题 1．定义在R 上的函数y ＝f (x ＋1)的图象如右图所示． 给出如下命题： ①f (0)＝1； ②f (－1)＝1； ③若x >0，则f (x )<0； ④若x <0，则f (x )>0，其中正确的是( ) A ．②③ B ．①④
C ．②④ D ．①③ 2．若(a ，b )是函数y ＝f (x )的单调增区间，x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1f (x 2) D ．以上都可能 3．f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上( ) A ．至少有一个根 B ．至多有一个根 C ．无实根 D ．必有唯一的实根 4．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增 D ．先递增再递减 5．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中不正确的是( ) A.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2 >0 B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0 C ．f (a )0 6．函数y ＝x 2＋2x －3的单调递减区间为( ) A ．(－∞，－3] B ．(－∞，－1] C ．[1，＋∞) D ．[－3，－1] 二、填空题 7．设函数f (x )是R 上的减函数，若f (m －1)>f (2m －1)，则实数m 的取值范围是______________． 8．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________. 三、解答题 9．画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象，并指出函数的单调区间．
必修一函数的单调性题型归纳
函数的单调性与最值 一、知识点归纳 1、函数单调性的性质： （1）增函数：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时， 都有，. （2）减函数：如果对于属于定义域内某个区间的任意两个自变量的值，当时， 都有， . （3）函数的单调性还有以下性质. 1、函数与函数的单调性相反. 2、当恒为正或恒为负时，函数与的单调性相反. 3、在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等. 4、如果，函数与函数具有相同的单调性.（如果，单调性相反.） 若，则函数与具有相反的单调性. 若，函数与函数具有相同的单调性. （若，单调性相反.） 函数在上具有单调性，则在上具有相反的单调性. 2、复合函数的单调性。 定义：如果函数，则称为的复合函数。 复合函数的单调性的判断：同增异减。 I 12,x x 12x x <()()12f x f x <()()1212 0f x f x x x ->-I 12,x x 12x x <()()12f x f x >()()12120f x f x x x -<-()f x ()f x -()f x () 1f x ()f x 0k >()kf x ()f x 0k <()0f x ≠() 1f x ()f x ()0f x >()f x ()f x ()0f x <()f x R ()f x -R ()(),,,u g x x A u A y f u =∈∈=()y f g x =????x
二、例题精讲 题型一、单调性讨论或证明 定义法证明单调性的等价形式：设，那么 在上是增函数； 在上是减函数. 例1、（不含参）证明：21)(x x f = 在()0,∞-上是增函数. 变式1、判断在上的单调性. 例2、（含参）求函数在区间内的单调性. 例3、（抽象函数）设()y f x =的单增区间是(2,6)，求函数(2)y f x =-的单调区间． 题型二、比较函数值的大小 例4、已知函数)(x f y =在[)+∞,0上是减函数，试比较)4 3 (f 与)1(2+-a a f 的大小. []1212,,,x x a b x x ∈≠()()()()()()12121212 00f x f x x x f x f x f x x x --->?>?????-[],a b ()()()()()()12121212 00f x f x x x f x f x f x x x ----()1,1-
函数的单调性练习题
高一数学同步测试（6）—函数的单调性 一、选择题： 1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 （ ） A ．y =2x ＋1 B ．y =3x 2＋1 C ．y = x 2 D ．y =2x 2 ＋x ＋1 2．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数， 则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25 3．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(0， 2 1) B ．( 2 1，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数 7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4) C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞） D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞） 8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5 －t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是 （ ） A ．]1,(],0,(-∞-∞ B ．),1[],0,(+∞-∞ C ．]1,(),,0[-∞+∞ D ),1[),,0[+∞+∞
人教版高中数学必修1《函数的单调性》教案
课题：函数的单调性（教案） 教材：人教版普通高中课程标准实验教科书必修1第一章 【教学目标】 1、知识与技能： （1）建立增（减）函数的概念 通过观察一些函数图象的升降，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数的定义，掌握用定义证明函数单调性的基本方法与步骤。 （2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，从图型语言到数学语言，理解增函数、减函数区间概念的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。 2、过程与方法 （1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性． 3、情态与价值：渗透从直观到抽象，从特殊到一般的数学思想，激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，让学生感受数学思想方法的魅力。【教学重点】形成增（减）函数的形式化定义 【教学难点】用定义证明函数的单调性 【教学方法与手段】 1、教法与学法：主要采取的教学方法是教师启发引导，学生探究学习的教学方法。从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用定义证明函数单调性。通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。 2、教学用具：多媒体投影、几何画板. 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 由于天气的原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，下图是北京市2008年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.
提问：我们可以通过图象来捕捉到一些什么信息？ 分析：学生可能会发现以下信息，当天的最高温度与最低温度以及达到的时刻，在某个时刻的温度，某些时段温度升高，某些时段温度降低，等等。 二、探索归纳，形成概念 1、借助图象，直观感知 问题1：下面分别是函数2,y x y x ==的图象，观察函数图象的升降趋势。 分析：学生会观察到一次函数y x =的图象从左到右都是上升的，而二次函数 2y x =的图象在y 轴的左侧从左到右是下降的，在y 轴的右侧从左到右是上升的。 问题2：以函数2x y =为例，完成下列表格，并思考下列问题。 思考：（1）观察表格中，自变量x 的值从0到5变化时，函数值y 如何变化？ （2）在()0,+∞上，任意改变12,x x 的值，当12x x <时，都有2212x x <吗？ （3）对于函数2x y =，在区间()0,+∞上，随着x 的增大，相应的()f x 如何变化？ 分析：教师引导学生完成表格，解决问题，并通过几何画板进行动画演示，帮助学生理解抽象的概念。 问题3：在数学上规定：函数2x y =在区间()0,+∞上是增函数，谁能给增函数下个定义？ 分析：引导学生讨论、交流，说出各自的想法。学生在下定义的时候可能会出现的情况：没有说明12x x 、在哪个区间上，没有考虑到12x x 、是任意取的两个数，还有就是没有考虑到“当12x x >时，都有12()()f x f x >”是否也对。 2、抽象概括，形成概念
新课标必修一函数的单调性的教学设计
课题：函数的单调性教学目标： 1．知识与技能 （1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性概念； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； (3)了解数形结合的思想及严密的逻辑推理，培养学生良好的数学思想和数学方法； （4）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．2．过程与方法能够观察研究函数图象的特点，来研究函数的单调性性质． 3．情感、态度、价值观：培养学生学习数学的兴趣，体会函数图象的变化规律及蕴含本质 教学方法：引导发现法 教学重点：函数的单调性． 教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性． 教学程序与环节设计：
1．创设情境 ：问题引入 2．组织探究：通过几个函数的图象的“上升“和”下降 “的整体认识探究函数的单调性的定义及判断函数单调性的方法步骤 3．尝试练习：利用函数的图象确定函数的单调区间 4．巩固提高：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性． 5．作业反馈：单调性定义的应用 教学过程： 一、 引入课题 1． 在初中，有没有学过函数的增减性？（学过） 一些函数的增减性是怎样知道的？（观察图象得出） 2 （1）． f(x) = -x ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大， f(x)的值随着 ________ ． （2）． f(x) = x 2 ○ 1在区间 ____________ 上，f(x)
随着x的增大而 ________ ． ○2在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x的增大而 ________ ． （3）．如何把上述的图象所反映的特征用数学符号语言表示出来？{引导学生探讨，归纳} 二、新课教学 （一）函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1必修1函数单调性说课稿
必修1《函数的单调性》说课稿 酒泉中学马长青 一. 教学内容分析 1.本课定位与内容 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》A版第一章第三节函数的基本性质第一小节函数的单调性与最大(小)值，本节课内容教材主要学习函数的单调性的概念，判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性，共2课时，本节课为第一课时。 2. 教材的地位和作用 从单调性本身看，学生的学习分为三个层面，首先是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对函数的增减性有一个初步的感性认识，其次在高一对单调性进行严格定义，最后在高三从导数的角度再次研究单调性。本节课的学习处于对单调性学习的第二层面，通过图象归纳、抽象出单调性的准确定义，并在高中首次经历代数的严格证明，是对初中学习的一次升华。 从本节的教学看，在此学习单调性是对函数概念的延续和拓展，对进一步探索、研究函数的其他性质有着示范性的作用，从本章的教学看，本节课的学习是后续研究指数函数、对数函数内容的基础。 ) 从函数知识网络看，单调性起着承上启下的作用，一方面，是初中学习内容的深化，使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识。另一方面，函数的单调性为后面学习指数函数、对数函数、三角函数及数列这种特殊的函数打下基础，与不等式、求函数的值域、最值，导数等都有着紧密的联系。 从高中数学学习看，函数的单调性是培养学生数形结合思想的重要内容，也是研究变量的变化范围的有力工具。 3.教学目标 根据本课教材特点、课程标准对本节课的教学要求以及学生的认知水平，教学目标确定为： 知识与技能： （1）从形与数两方面理解单调性的概念 （2）初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法 （3）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力 ,
函数的单调性 知识点与题型归纳
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意： 研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！ 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1
2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式： 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是增函数；
3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 10，则f (x )在区间D 内为增函数；如果f ′(x )<0，则f (x )在区间D 内为减函数． 注意：(补充) （1）若使得f ′(x )=0的x 的值只有有限个，
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)
高中数学必修1 第二章 函数单调性和奇偶性专项练习 一、函数单调性相关练习题 1、（1）函数2)(－＝x x f ，∈x ｛0，1，2，4｝的最大值为_____. （2）函数1 23)(－＝ x x f 在区间[1，5]上的最大值为_____，最小值为_____. 2、利用单调性的定义证明函数21)(x x f ＝在（－∞，0）上是增函数. 3、判断函数12)(＋＝x x f 在（－1，＋∞）上的单调性，并给予证明. 4、画出函数322丨＋丨＋＝－x x y 的图像，并指出函数的单调区间. 5、已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小： (1)f(6)与f(4)； (2)f (2)f (15)与 6、已知)(x f y ＝在定义域（－1，1）上是减函数，且)23()1 (－＜－a f a f ，求实数a 的取值范围. 7、求下列函数的增区间与减区间 (1)y ＝|x 2＋2x －3| (2)y (3)y ＝＝x x x x x 2221123-----+|| （4）20 12－－＝x x y 8、函数f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2在[1，＋∞]上是增函数，求实数a 的取值范围． 9、【例4】判断函数＝≠在区间－，上的单调性．f(x)(a 0)(11)ax x 21 - 10、求函数x x x f 4)(＋＝在[1，3]上的最大值和最小值. 二、函数奇偶性相关练习题 11、判断下列函数是否具有奇偶性. （1）11) 1()(－＋－＝x x x x f ； （2）a x f ＝)( （R x ∈）； （3）3232)52()52()(－－＋＝x x x f 12、若32)1(2＋＋－＝mx x m y 是偶函数，则m ＝_________．
必修1函数单调性说课稿
必修1《1.3.1 函数的单调性》说课稿 酒泉中学马长青 一. 教学内容分析 1.本课定位与内容 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》A版第一章第三节函数的基本性质第一小节函数的单调性与最大(小)值，本节课内容教材主要学习函数的单调性的概念，判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性，共2课时，本节课为第一课时。 2. 教材的地位和作用 从单调性本身看，学生的学习分为三个层面，首先是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对函数的增减性有一个初步的感性认识，其次在高一对单调性进行严格定义，最后在高三从导数的角度再次研究单调性。本节课的学习处于对单调性学习的第二层面，通过图象归纳、抽象出单调性的准确定义，并在高中首次经历代数的严格证明，是对初中学习的一次升华。 从本节的教学看，在此学习单调性是对函数概念的延续和拓展，对进一步探索、研究函数的其他性质有着示范性的作用，从本章的教学看，本节课的学习是后续研究指数函数、对数函数内容的基础。 从函数知识网络看，单调性起着承上启下的作用，一方面，是初中学习内容的深化，使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识。另一方面，函数的单调性为后面学习指数函数、对数函数、三角函数及数列这种特殊的函数打下基础，与不等式、求函数的值域、最值，导数等都有着紧密的联系。 从高中数学学习看，函数的单调性是培养学生数形结合思想的重要内容，也是研究变量的变化范围的有力工具。 3.教学目标 根据本课教材特点、课程标准对本节课的教学要求以及学生的认知水平，教学目标确定为： 知识与技能： （1）从形与数两方面理解单调性的概念 （2）初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法 （3）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力 过程与方法： （1）通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合思想方法
函数单调性
函数单调性及其应用 1.一元函数单调性及其应用 2.多元函数单调性及其应用 2.1 多元函数单调性的定义 一元函数)(x f y =在某个区间上的单调性，如该区间为),(+∞-∞时，可看成该函数在有向直线x 轴上的单调性；如该区间为[]b a ,或()b a ,时，可以看成该函数在x 轴上的一条有向线段（方向与x 轴正方向相同）上的单调性等等，类似地，可定义二元函数在xoy 面上的一条有向线段，有向直线或射线上的单调性。 定义 设AB 为xoy 面上的一条有向线段，二元函数),(y x f z =在AB 上有定义，对于AB 任意两点21,P P ,设21P P 与AB 同向。 若)()(21P f P f <,则称二元函数),(y x f z =在AB 上单调增加。 若)()(21P f P f >，则称二元函数),(y x f z =在AB 上单调减少。 2.2多元函数单调性的判别法 如果),(y x f u =在点),(y x P 可微,l 的方向余弦是βαcos ,cos ，则),(y x f u =在),(y x P 沿射线l 的方向导数存在，且 βαcos cos y f x f l f ??+??=??。其中l 是),(y x P 出发的一条射线，他的方向向量记作l 由二元函数的中值公式：),(),(0000y x f k y h x f -++ =k h y h x f h k y h x f y x ),(),(0000?+?++?+?+θθθθ 定理 1 设二元函数),(y x f z =在区域I 内连续，有向线段I AB l ?=，且),(y x f z =在),(B A 内每个点处都可微，则在),(B A 内至少存在一点C ，使得 AB l f A f B f C ???=-)()( 其中),(B A 表示有向线段AB 上不包括两个端点的所有点构成的点集。AB 表示AB 的长度，l 是点A 出发的并且经过点B 的一条射线。 定理2 设二元函数),(y x f z =在区域I 内连续，有向线段I AB l ?=，且
高中数学必修1函数单调性和最值专题
函数专题：单调性与最值 一、增函数 1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： y 的值有什么变化？ ○ 2 能否看出函数的最大、最小值？ ○ 3 函数图象是否具有某种对称性？ 2、从上面的观察分析，能得出什么结论？ 不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数的单调性。 3.增函数的概念 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1【针对性练习】 下图是借助计算机作出函数y =－x 2 +2 | x | + 3的图象，请指出它的的单调区间． 2．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ① 任取x 1，x 2∈D ，且x 1
