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有限元在汽车工程中的应用

有限元在汽车工程中的应用
有限元在汽车工程中的应用

有限元在汽车工程中的应用

摘要:现代汽车工业技术快速发展,计算机技术不断推陈出新,使分析仿真技术以其快速高效和低成本的强大优势,成为汽车设计的重要手段,各种分析软件成为CAE技术广泛应用的工具。

关键词:有限元分析汽车CAE技术

1. 前言

汽车由底盘、发动机、车身三大总成构成。在这三大总成中,车身总成比底盘和发动机总成要复杂得多,车身的设计过程也相对复杂,涉及到工业造型、工程材料、生产工艺、结构力学、人机工程等众多学科。所以直到今日,车身设计尚无通用的标准和规范的设计过程可以遵循。CAE技术将“基于物理样机试验的传统设计方法”带入基于“虚拟样机仿真的现代设计方法”,大幅缩短了产品开发周期,并可以获得比试验更多的数据。

2. 正文

随着中国汽车工业的发展,自主品牌轿车日渐成为国内汽车厂家的发展战略目标,轿车数字化设计成为必经之路。现代设计方法表明,产品设计虽然只占产品整个成本的5%,但它却影响整个成本的70%,CAE模拟分析技术可以很好地解决产品设计中的问题,并做到快速修正。在汽车底盘设计中,后桥设计很关键。由于后桥零部件受力比较复杂且相互关联,在概念设计完成后,只有通过CAE仿真分析,才可以快速、全面了解后桥各零部件受力和相互影响情况,并指导优化设计,以保证后桥零部件具有足够的刚度和强度,同时满足结构型式要求。

在汽车发展历史上,至今还没有什么技术能与CAE技术相比,为汽车企业带来巨大的回报。统计结果表明,应用CAE 技术后,新车开发期的费用占开发成本的比例从80%~90%下降到8%~12%。例如:美国福特汽车公司2000年应用CAE 后,其新车型开发周期从36个月降低到12~18个月;开发后期设计修改率减少50%;原型车制造和试验成本减少50%;投资收益提高50%。汽车行业是一个高速发展的行业,其竞争也日趋激烈,在这种情况下,新产品推出的速度也越来越快,这也对行业的CAE应用提出了越来越高的要求。CAE技术为汽车行业的高速发展提供具有中心价值地位的技术保障,可以为企业带来巨大的技术经济效益。

2.1有限元方法在汽车上的应用

有限元方法在汽车上主要有以下几种应用:

(1)结构静力分析:这是在车辆及其发动机的各种零部件设计中最常见的问题,也是应用最为广泛的领域,即分析计算结构与时间无关的应力分布与变形情况。例如齿轮轮齿、钢板弹簧、车架、发动机缸体、缸套、进(排)气阀、活塞、飞轮的静力分析。

(2)结构动力学问题:可分为两类问题:一类是求解结构或系统本身的动态特性,如固有频率、振型等,这对分析与解决振动问题是十分重要的;另一类是强迫响应分析,即结构在动载荷的作用下的响应,这较静力分析更接近于车辆及其发动机中的许多零部件的实际工作情况,但一般计算量也将增加许多倍。随着对环境问题的日益重视,在车辆及发动机的设计中已普遍采用各种分析工具,采取各种有效措施,来改善和减少车辆的振动和噪声。例如车辆动力装置的动态性分析等。

(3)温度场分析:分析结构内部温度的分布情况以及热应力和热变形的情况,包括稳态和瞬态的问题,例如可应用于发动机中的活塞、气缸盖等燃烧室附近的零部件。在进行这类零部件的强度刚度分析计算时,不仅要考虑机械负荷.而且还要同时考虑热负荷。

(4)流场分析:是有限元方法在流体力学领域中的应用。一般流场分析是非线性问题,较为复杂。解决流体力学中的问题应用较多的是有限差分法与可以认为是介于有限差分法和有限元方法之间的有限容积法。这一类问题的应用实例有:车辆外形对行驶阻力的影响的分析、对发动机冷却系统的分析等。

其他还有断裂力学问题、接触问题等,例如为提高车辆的安全性而进行的车辆碰撞情况的动态模拟等。

2.2车身有限元分析中难点及解决方法

建立车身有限元模型时要如实反映车身实际结构的重要力学特性,保证较高的计算精度。有限元分析计算结果的可信度高低,直接受分析模型、载荷处理、约束条件等和实际工程结构力学特性符合程度的影响,若有失误则会造成很大误差,严重时将使计算、分析失败。

一般而言,网格剖分需要经过以下步骤:首先在有限元分析软件中建立零部件的几何模型,而后利用有限元分析软件选取适当的单元对几何模型进行自动剖分;也可以用手工剖分的方法直接给出各个结点坐标,然后利用结点构造单元,最终形成网络。

汽车车身一般是薄钢板焊接或铆接的整体结构,所以在进行有限元分析时,一般而言,也是将车身作为一个整体来考虑。非承载式与半承载式车身通过车架与板簧支座相连;承载式车身直接与板簧支座相连。所以车身的边界条件就体现为板簧支座的位移

在有些情况下,我们更关心车身局部的受力、变形或振动情况。例如,计算车身侧撞时中立柱的受力。这时,就需要确定单个零部件的边界条件。确定单个零部件的边界条件大概分为两步。首先将车身作为一个整体,选取较稀疏的网格进行计算,得到零部件处的位移,然后将该位移施加在具体零部件的边界,作为该零部件的边界条件。

我们也可以通过实验来确定边界条件。即在实验样车的具体部位贴应变片,然后使实验样车处于指定工况,将应变片所测得的数据作为零部件得边界条件。车身结构的有限元分析既可对已用于加工中的车身进行强度与刚度分析,又可对正在设计的车身进行仿真,通过应力与位移分析,找到设计的薄弱环节,达到改进设计的目的。

车身是轿车的关键总成,车身结构必须有足够的强度以保证气疲劳寿命,足够的静刚度以保证其装配和使用要求,同时应有合理的动态特性达到控制振动与噪声的目的。有限元分析的方法能够有效地满足上述车身设计的要求。汽车结构有限元分析的应用体现于:一是在汽车设计中对所有的结构件、主要机械零部件的刚度、强度和稳定性进行分析;二是在汽车的计算机辅助设计和优化设计中,用有限元法作为结构分析的工具;三是在汽车结构分析中普遍采用有限元法来进行各构件的模态分析,同时在计算机屏幕上直观形象地再现各构件的振动模态,进一步计算出各构件的动态响应,较真实地描绘出动态过程,为结构的动态设计提供了方便。有限元分析在汽车结构上的应用实践证明可以从根本上提到车身设计水平,并降低研制周期和成本。

NVH是评价车辆舒适性的重要指标,直接关系到产品的市场形象。NVH分

析有助于匹配产品结构重各子系统的振动频率特性,以消除振动过程中耦合现象,从而改善产品的振动特性。噪音、振动分析包括动力总成的缸体模态、点的传递函数、静负荷强度及动态响应、BIW动态稳定性、整车各子系统的刚度频率匹配等。虽然NVH的CAE技术起步较晚,NVH的建模方法以及计算还处在摸索阶段。但随着计算机的能力及容量的越来越强大,计算结果的精度越来越准确,计算方法越来越科学性,CAE在汽车的NVH开发设计当中所发挥的作用也越来越大。在汽车开发设计的初期,就以及开始了NVH的各项规划,甚至在样车完成之前或设计图纸完成之前,通过对现有车型的对比,就可以预先得到新开发车型的NVH 性能指标,并在此基础上,对设计及制造的各个环节加以优化及完善。无论是从设计成本上,还是从开发周期上考虑,都为车厂更快、更好地开发出新一代车型来提供了强有力的保障。可以预测,NVH的CAE技术,在汽车设计开发及改进领域内的应用会越来越广泛,而其本身也会越来越成熟,成为人们进行汽车设计开发所不可或缺的工具。

在IDEAS CAE模块中建立整车模型,通过强度、刚度计算,可以发现各个部件之间、各个系统的力的传动关系,检验与设计目标是否相符;通过模态分析,可以发现各个系统之间的频率分布,指导NVH设计。结合Nastran SOL200 可以同时考虑模态、整体刚度、关键部位强度对各个部件的设计灵敏度等进行计算,在保证强度的前提下,进行减重设计、部件优化。

3.总结

有限元法是一种用于结构分析的数值分析方法,是CAD系统的重要组成部分,在车身设计中充分应用有限元分析技术可以改善设计质量,提高了设计的一次成功率,从而可以提高汽车厂家的自主开发能力。从昌河公司应用有限元分析的实际情况来看,有限元分析在车身零部件和车身整体的结构分析、模态分析和碰撞分析等领域中都有着广阔的应用前景。

参考文献

[1]许尚贤.机械设计中的有限元方法.北京:高等教育出版社.1992

[2]王勖成,邵敏.有限元基本原理和数值方法.北京:清华大学出版社,2000

[3]冯国胜,贾素梅.轻型车有限元分析及应用.机械强度,1996,18.

[4]龚培康.汽车拖拉机有限元法基础.北京:机械工业出版社,1996

有限元法在机械工程中的应用

有限元法在机械工程中的应用 摘要:有限元法广泛应用于科学计算、设计、分析中,解决了许多复杂的问题。在机械设计中已成为一个重要的工具。在有限元基本原理的基础上,介绍了有限元的概念、分析了有限元的设计过程、介绍了有限元软件和其在机械设计中的应用。 关键词:有限元机械工程应用 前言 有限元方法诞生于20世纪中叶,随着计算机技术和计算方法的发展,已成为计算力学和计算工程领域里最为有效的计算方法。许多工程分析问题,如固体力学中的位移场和应力场分析、电磁学中的电磁场分析、振动特性分析、热学中的温度场分析、流体力学的流场分析等,都可归结为在给定边界条件下求解其控制方程的问题。有限元技术的出现为机械工程结构的设计、制造提供了强有力的工具,它可以解决许多以往手工计算根本无法解决的问题,为企业带来巨大的经济效益和社会效益。在现代机械工业中要设计生产出性能优越、可靠的机械产品,不应用计算及进行辅助设计分析是根本无法实现的,因此目前各生产设计部门都非常重视在设计制造过程中采用先进的计算机技术。 有限元法简介 有限元法最早是人们在研究固体力学的时候应运而生的,早在七八十年前,就有一些美国人在结构矩阵的分析方面有了一些研究发现,随后就有人研究出了钢架位移的方法,并将其推广应用到了弹性力学平面的分析当中,也就是把一些连续的整体划分为矩形和三角形,再将这些小的单元中的位移函数用近似的方法表达出来。后来,随着科学技术的不断发展,计算机的水平也有了很大的提高,有限元法也就相应的发展起来了,因为有限元法在产品的设计和研发的过程中起到了相当大的作用,所以有限元软件越来越受到相关专业人士的喜爱,而其在机械设计中的应用也是非常广泛的。 3.有限元法在机械工程中的应用 近年来,国内外许多学者对机械零部件的有限元分析进行了大量的研究,归纳起来主要是以下几个方面: (1)静力学分析。当作用在结构上的载荷不随时间变化或随时间的变化十分缓慢,应进行静力学分析。这是对机械结构受力后的应力、应变和变形的分析,是有限元法在机械工程中最基本、最常用的分析类型。 (2)动力学分析。机械零部件在工作时不仅受到静载荷作用,当外界有与其固有频率相近的激励时,还会引起共振,严重破坏结构从而引起失效。故零部件在结构设计时,对复杂结构,在满足静态刚度要求条件下,要检验动态刚度。

有限元理论方法

关于有限元分析法及其应用举例 摘要:本文主要介绍有限元分析法,作为现代设计理论与方法的一种,已经在 众多领域普遍使用。介绍了它的起源和国内外发展现状。阐述了有限元法的基 本思想和设计方法。并从实际出发,例举了有限元法的一个简单应用———啤 酒瓶的应力分析和优化,表明了利用有限元分析法的众多优点。随着计算机的 发展,基于有限元分析方法的软件开发越来越多。本文也在其软件开发方面进 行阐述,并简单介绍了一下主流软件的发展情况和使用范围。并就这一领域的 未来发展趋势进行阐述。 关键词:有限元分析法软件啤酒瓶 Abstract:This thesis mainly introduces the finite element analysis, as a modern design theory and methods used widely in in most respects. And this paper introduces its origins and development in world. It also expounds the basic thinking and approach of FEM..Proceed from the actual situation,this text holds the a simple application of finite-element method———the analysis and optimized of an beer bottle and indicate the the numerous benefits of finite element analysis .As computers mature and based on the finite element analysis of the software development is growing. This article introduces its application in the software development aspects as well, and briefly states the development and scope of the mainstream software. And it’s also prospect future development tendency in this area . Key: Finite Element Analysis Software Beer bottle 0 绪论 有限元法(Finite Element Method,FEM),是计算力学中的一种重要的方法,它是20世纪50年代末60年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。有限元法最初应用在工程科学技术中,用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。对于过去用解析方法无法求解的问题和边界条件及结构形状都不规则的复杂问题,有限元法则是一种有效的分析方法。有限元法的基本思想是先将研究对象的连续求解区域离散为一组有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合,且单元本身又可以有不同形状,因此可以模拟成不同几何形状的求解小区域;

有限元法及其在工程中的应用

机械与汽车学院 曹国强 主要内容: 1、有限元法的基本思想。 2、结构力学模型的简化和结构离散化。 3、有限元法的实施过程。 一、有限元法的基本思想 有限元法是随着计算机的发展而发展起来的一种有效的数值方法。其基本思想是:将连续的结构分割成数目有限的小单元体(称为单元),这些小单元体彼此之间只在数目有限的指定点(称为节点)上相互连接。用这些小单元体组成的集合体来代替原来的连续结构。再把每个小单元体上实际作用的外载荷按弹性力学中的虚功等效原理分配到单元的节点上,构成等效节点力,并按结构实际约束情况决定受约束节点的约束。这一过程称为结构的离散化。其次,对每个小单元体选择一个简单的函数来近似地表示其位移分量的分布规律,并按弹性力学中的变分原理建立起单元节点力和节点位移之间的关系(单元刚度方程),最后,把全部单元的节点力和节点位移之间的关系组集起来,就得到了一组以结构节点位移为未知量的代数方程组(总体刚度方程),同时考虑结构的约束情况,消去那些结构节点位移为零的方程,再由最后的代数方程组就可求得结构上有限个离散节点的各位移分量。求得了结构上各节点的位移分量之后,即可按单元的几何方程和物理方程求得各单元的应变和应力分量。 有限元法的实质就是把具有无限个自由度的连续体,理想化为有限个自由度的单元的集合体,使问题简化为适合于数值解法的结构型问题。 经典解法(解析法)与有限元法的区别 解析法 { } 建立一个描述连续体性质的偏微分方程组 有限元解法 连续体 数目增加到∞ 大小趋于0 微元 有限元 离散化 (单元分析)集合 总体分析 求得近似解

二、结构力学模型的简化和结构离散化 (一)结构力学模型的简化 用有限元法研究实际工程结构问题时,首先要从工程实际问题中抽象出力学模型,即要对实际问题的边界条件、约束条件和外载荷进行简化,这种简化应尽可能地反映实际情况,不至于使简化后的解答与实际差别过大,但也不要带来计算上的过分复杂,在力学模型的简化过程中,必须判断实际结构的问题类型,是二维问题还是三维问题。如果是平面问题,是平面应力问题,还是平面应变问题。同时还要搞清楚结构是否对称,外载荷大小和作用位置,结构的几何尺寸和力学参数(弹性模量E、波松比μ等)。 (二)结构的离散化 将已经简化好的结构力学模型划分成只在一些节点连续的有限个单元,把每个单元看成是一个连续的小单元体,各单元之间只在一些点上互相联结,这些点称作节点,每个单元体称为一个单元。用只在节点处连接的单元的集合体代替原来的连续结构,把外载荷按虚功等效原理移置到有关受载的节点上,构成节点载荷,把连续结构进行这样分割的过程称为结构的离散化。现举例说明。 设一平面薄板,中间有一个园孔,其左端固定,右端受面力载荷q,试对其进行有限元分割和力学模型简化。

对有限元方法的认识

我对有限元方法的认识 1有限元法概念 有限元方法(The Finite Element Method, FEM)是计算机问世以后迅速发展起来的一种分析方法。每一种自然现象的背后都有相应的物理规律,对物理规律的描述可以借助相关的定理或定律表现为各种形式的方程(代数、微分、或积分)。这些方程通常称为控制方程(Governing equation)。 针对实际的工程问题推导这些方程并不十分困难,然而,要获得问题的解析的数学解却很困难。人们多采用数值方法给出近似的满足工程精度要求的解答。 有限元方法就是一种应用十分广泛的数值分析方法。 有限元方法是处理连续介质问题的一种普遍方法,离散化是有限元方法的基础。 这种思想自古有之:古代人们在计算圆的周长或面积时就采用了离散化的逼近方法:即采用内接多边形和外切多边形从两个不同的方向近似描述圆的周长或面积,当多边形的边数逐步增加时近似值将从这两个方向逼近真解。 近年来随着计算机技术的普及和计算速度的不断提高,有限元分析在工程设计和分析中得到了越来越广泛的重视,已经成为解决复杂的工程分析计算问题的有效途径,现在从汽车到航天飞机几乎所有的设计制造都已离不开有限元分析计算,其在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电器、国防军工、船舶、铁道、石化、能源、科学研究等各个领域的广泛使用已使设计水平发生了质的飞跃。 国际上早在 60 年代初就开始投入大量的人力和物力开发有限元分析程序。“有限单元”是由Clough R W于1960年首次提出的。但真正的有限元分析软件是诞生于 70 年代初期,随着计算机运算速度的提高,内、外存容量的扩大和图形设备的发展,以及软件技术的进步,发展成为有限元分析与设计软件,但初期其前后处理的能力还是比较弱的,特别是后处理能力更弱。

有限元方法及其工程应用

《有限元方法及其工程应用》读书报告 数值分析技术是在力学理论、计算数学和计算机技术相互结合和渗透的基础上发展起来的一门应用数学学科。它主要借助计算机和软件技术实现大规模的计算分析。根据构造数值计算公式的原理不同,目前工程上常用的数值分析方法主要有:有限差分法、有限单元法和边界单元法等。与其它方法比较,有限元法在计算公式构造、计算精度及效率、求解过程的稳定性和适用性等方面具有明显的优势。有限元法的基本思想是把一个复杂实际问题划分成有限个简单问题的组合进行求解,由于实际问题已被较简单的问题所代替,故只能获得近似解。如对结构受力分析问题,首先把结构的求解区域看成是由有限(数量)个小的在节点处相互联系的子域(单元)组成,先对每一个单元假定一个合适的近似解,然后推导结构的整体平衡方程,在满足边界条件情况下就可获得近似解。当划分的子域(单元)尺寸变的越来越小时,其近似解就越来越逼近精确解。 弹性力学是进行工程结构承载分析的基本理论。建立与未知量相等的方程是进行应力分析的首要条件,此外还需满足协调方程(位移和应变连续)和边界条件(弹性结构表面的给定位移和力的条件)。弹性力学假设物体是完全弹性、连续、均匀和各向同性的,并且变形和位移是微小的。弹性力学有外力、应力、应变和位移等基本概念。弹性平面问题主要有平面应力问题和平面应变问题。平面应力问题主要应用于厚度尺寸与长度和宽度相比很小的板状结构体,如板架、机体等。这类物体只在板边受平行于板平面的外力,且外力沿厚度方向不变,体力也平行于板面并且不沿厚度变化。平面应力问题只有σXX ,σYY ,τXY =τYX 三个应力分量不为零,是一种二维函数问题。平面应变问题适用于截面不变化但长度很长的柱形结构体,如长圆柱体、高压容器、管道等。这类物体只受到平行于截面、并且沿长度不变化的体力和面力。平面应变问题只有三个应变分量:εXX ,εYY ,γXY =γY X 不为零。 弹性力学的控制方程有:平衡微分方程、几何方程和物理方程。其中弹性平面的 平衡微分方程为: ???????=+??+??=+??+??00Y y y X y x yy xy x y xx σττσ 几何方程为应变和位移的关系: ?????????+??=??=??=y u x v xy y v yy x u xx γεε, 物理方程为应力-应变关系(即三维条件下的广义虎克定律): ()[]zz yy xx xx v E σσσε+-=1 , xy xy G τγ1= 其它两个物理方程类似。 另外还有变形协调方程和边界条件。可见三维弹性问题总共有15个未知参数。 能量原理是力学的基本原理之一,弹性力学能量原理,就是利用能量的概念研究物体在外力的作用下应力、应变和位移参量之间的变化规律,以及外力作功与物体变形势能所涉及的能量转换过程。主要有泛函、变分的概念和虚位移原理和最小势能原理。在工程中除存在依赖与自变量变化的函数关系外,还存在另一类函数,其自变量也是一类函数,而不是有限个变量,这种函数的函数叫“泛函”。变分学就是研究这些“泛函”的极值性质,即在一组容许函数中选定一个函数,使给定的“泛函”获

有限元法分析过程

有限元法分析过程 有限元法分析过程大体可分为:前处理、分析、后处理三大步骤。 对实际的连续体经过离散化后就建立了有限元分析模型,这一过程是有限元的前处理过程。在这一阶段,要构造计算对象的几何模型,要划分有限元网格,要生成有限元分析的输入数据,这一步是有限元分析的关键。 有限元分析过程主要包括:单元分析、整体分析、载荷移置、引入约束、求解约束方程等过程。这一过程是有限元分析的核心部分,有限元理论主要体现在这一过程中。 有限元法包括三类:有限元位移法、有限元力法、有限元混合法。 在有限元位移法中,选节点位移作为基本未知量; 在有限元力法中,选节点力作为未知量; 在有限元混合法中,选一部分基本未知量为节点位移,另一部分基本未知量为节点力。 有限元位移法计算过程的系统性、规律性强,特别适宜于编程求解。一般除板壳问题的有限元应用一定量的混合法外,其余全部采用有限元位移法。因此,一般不做特别声明,有限元法指的是有限元位移法。 有限元分析的后处理主要包括对计算结果的加工处理、编辑组织和图形表示三个方面。它可以把有限元分析得到的数据,进一步转换为设计人员直接需要的信息,如应力分布状态、结构变形状态等,并且绘成直观的图形,从而帮助设计人员迅速的评价和校核设计方案。 附:FELAC 2.0软件简介 FELAC 2.0采用自定义的有限元语言作为脚本代码语言,它可以使用户以一种类似于数学公式书写和推导的方式,非常自然和简单的表达待解问题的微分方程表达式和算法表达式,并由生成器解释产生完整的并行有限元计算C程序。 FELAC 2.0的目标是通过输入微分方程表达式和算法之后,就可以得到所有有限元计算的程序代码,包含串行程序和并行程序。该系统采用一种语言(有限元语言)和四种技术(对象技术、组件技术、公式库技术生成器技术)开发而成。并且基于FELAC 1.0的用户界面,新版本扩充了工作目录中右键编译功能、命令终端输入功能,并且丰

ANSYS有限元分析在隧道工程中的应用

ANSYS有限元分析在隧道工程中的应用 摘要:结合某公路隧道的现场实际施工情况,利用ANSYS有限元分析软件,对隧道开挖引起的地表沉降、围岩应力变化、塑性区变化等进行了计算分析,研究结果对于现场施工起到了一定的指导意义,并值得类似工程的借鉴。 关键字:ANSYS软件;有限元分析;隧道工程 1.引言 隧道工程处于地面以下,岩土的构成复杂,且难于直接观察,而有限元分析则可把数值结果形象化,把内部结构相互作用过程展示出来,有很大的实用价值。诸如隧道开挖过程中较为普遍的塌方冒顶现象,若根据地质勘察,了解场地断层、裂隙和节理的走向与密度,借助于试验方法,可以确定岩石本身的力学性能及岩体夹层和界面的力学特性、强度条件。在此基础上,通过有限元分析可以确定开挖过程中硐室的应力分布、判断硐室是否稳定[4]。隧道开挖有限元计算的重点是评估隧道开挖引起的地面沉降,研究和评估整体和局部结构由此产生的反应,研究施工过程中隧道衬砌和岩土体的相互作用。 2. 工程背景及有限元模型的建立 2.1隧道工程概况 某隧道为上下行分离的双向八车道高速公路隧道,建筑限界宽度为17.25m,净高5m。左右主线隧道均采用四车道,最大毛洞开挖跨度为19.9m,高度10.838m,项目场址区属低山丘陵地貌,地形起伏大,线路沿北西向穿越低山丘陵区,地质复杂,施工难度大。隧道左洞全长319m;右洞全长315m。左洞拱顶埋深最大为18.182m,右洞拱顶埋深最大为8.732m,两隧道中心线间距31.37m。隧道左右隧道间距为小净距(最小11m左右),为特大断面小净距隧道。 图2.1隧道设计断面图 图2.2魁岐隧道出洞口图 2.2材料参数选择 根据已有现场施工、勘察资料,近似将场地分为四类岩土层,最上一层为坡积亚粘土层,其下部分别为强风化花岗岩层、弱风化花岗岩层、微风化花岗岩层。

北京科技大学《工程中的有限元方法》-上课笔记

肯定有bug。仅供参考。 1401052200 隐式方法与显式方法:== 静态隐式方法:不适用于短时高速下的大变形。基于虚功原理,一般需要迭代(除迭代法外还有直接法)。可能遇到迭代过程不收敛,以及方程组病态无确定解的问题。ANSYS默认使用的方法。 动态显式方法:可用于短时、高速下的大变形。基于动力学方程,每步计算形成新的刚度矩阵,无需迭代,不存在收敛性问题。LS-DYDA模块(ANSYS中也包含)默认使用。 如何判断有限元的分析结果是正确的? 1.有限元分析的结果能否与模型简化后存在的解析解对应; 2.有限点处的计算结果与实验结果吻合; 3.结果收敛; 4.与实际经验吻合;……【结合书上P168】 力学应力、温度热学分析提倡使用对称性,但不是所有的情况都能使用对称性,比如结构件的振动。 有限元方法:求解偏微分方程,基础为加权残值法。 求解有限元方程本质为解线性方程组。 ADD:要求所ADD的为同一种材料。 低阶单元:只有角节点,没有边中点或面内点的单元。(目前已不使用面内点) 高阶单元:不但有角节点,还有边中点或面内点的单元。 静态小变形使用高阶单元。 动态大变形使用低阶单元。 连续介质单元:求解得到位移。 结构单元:求解得到位移和转角。 求解结果的位移精度大于应力精度。 网格类型:三角形,四边形;四面体(三棱锥),五面体(三棱柱),六面体。 根据自由度关系,单元节点间存在铰接(自由度不同)和刚接(自由度相同)的关系。 连续介质单元也有一维单元(如接触关系)。 工字钢既可以使用梁单元,也可以使用连续介质单元。 对于直接法的求解效率: 带宽解法:ANSYS的默认求解法;尽量减小单元内节点号差值从而减小带宽。 波阵解法:ABAQUS的默认求解法;尽量减小绕一节点所连接的单元号的差值从而减小波阵

有限元方法及国内外研究现状(最新整理)

现代机械设计理论与方法 有限元方法 学院:机械工程学院 日期:2012年12月8日

目录 摘要 (3) 关键词 (3) Abstract (3) Key Words (4) 1 有限元方法的国内外研究现状及应用实例 (4) 1.1 有限元的发展趋势 (4) 1.2 有限元的应用实例 (4) 2 有限元方法的分析过程 (5) 2.1 有限元分析的三个阶段 (5) 2.2 有限元分析的七个步骤 (5) 2.3 有限元软件的分析过程 (6) 3 参考文献 (8)

有限元方法 摘要:有限元方法法的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。有限元法的基本思想是先化整为零﹑再积零为整,也就是把一个连续体分割成有限个单元;即把一个结构看成由若干通过节点相连的单元组成的整体,先进行单元分析,然后再把这些单元组合起来代表原来的结构进行整体分析。 关键词:有限元方法;单元;节点 Finite Element Method Abstract:The basic concepts of the finite element method is solving complex problems with a simple question instead.The basic idea of the finite element method is dismembered, and then plot the parts into a whole, that is divided a continuum into a finite number of unit; that is to regard a structure as a whole connected by many nodes,first to analysis unit,then analysis the overall combined by these units,which represents the original structure. Key Words:finite element method;unit;node 1 有限元方法的国内外研究现状及应用实例 “有限单元法”这一名称是克拉夫(Clough)在1960年首先引用的。它是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。它虽然是50年代首先在连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中应用过的一种有效的数值分析方法,但是,由于它所依据理论的普遍性,已经能够成功地用来求解其它工程领域中的许多问题[1]。随后很快广泛的应用于求应力场、位移场、电磁场、温度场、流体场等连续性问题。涉及了很多的工程学科,如机械设计、声学、电磁学、岩土力学、流体力学等。在机械工程领域,有限元被广泛的应用于机构、振动和传热问题上。 1.1 有限元的发展趋势 纵观当今国际上有限元软件的发展情况,可看出有限元软件的一些发展趋势:与CAD软件的无缝集成;更为强大的网格处理能力;由求解线性问题发展到求解非线性问题;由单一结构场求解发展到耦合场问题的求解;程序面向用户开放性等。 1.2 有限元的应用实例 1.2.1地铁振动预测的周期性有限元—边界元耦合模型 Jones利用有限元—无限元耦合二维模型计算了铁路隧道内及周围土体的动力响

有限元分析方法在工程中的应用

有限元分析方法在工程中的应用 Application of finite element analysis method in Engineering 一、引言 从20世纪50年代诞生到现在,有限元方法和技术经历了60年的发展历程,已经成为当今科学与工程领域中分析和求解微分方程的系统化数值计算方法。由于有限元分析方法适用性强、形式简单、理论可靠等众多优点,近年来已被推广应用到航空航天、土木建筑、机械等相关科学领域。本文以ANSYS软件为例,介绍其功能和应用,包括几何建模技术、网格划分与有限元建模技术、施加载荷与求解过程、结果后处理技术等。图1是用有限元方法分析工程问题时的具体步骤[1]。 本文以车轮钢的疲劳性能研究为例,介绍有限元分析方法在其中的应用。 图1. 有限元方法进行计算机辅助工程分析的步骤 二、ANSYS操作步骤 ANSYS的基本操作步骤包括建模、划分网格、加载求解和后处理等步骤。进入ANSYS系统后有六个系统,提供使用者和软件之间的交流凭借这六个窗口可以实现输入命令、检查模型的建立、观察分析结果及图形输出与打印。ANSYS

各窗口及工具条如图2所示。 图2. ANSYS的窗口及工具条 1、建立模型 首先必须指定作业名和分析标题,接着使用PREP7前处理器定义单元类型、单元实常数、材料特性,然后建立几何模型。需要注意的是,ANSYS的GUI界面下没有类似WORD中的后退操作按钮,所以就出现了一个常见问题:做错一步操作如何后退?这里可以采用三种方法:(1)建模阶段可以使用Delete(删除)图元命令,划分网格阶段可以使用Clear(清除)单元命令。(2)每完成一个模块的操作,都用SA VE AS保存数据到不同名的数据库文件中,出错后点击Resum Form恢复。(3)使用命令:UNDO,ON以便激活ANSYS内部的返回命令。 本文以车轮钢为例,建立好的模型与图2类似,只是未划分网格。 2、单元网格划分 一个实体模型进行网格划分(meshing)之前必须指定所产生的单元属性(element attribute)。ANSYS有限元网格划分是进行数值模拟分析至关重要的一步,它直接影响着后续数值计算分析结果的精确性。ANSYS软件平台提供了映射网格划分和自由网格划分的策略。映射网格划分用于曲线、曲面、实体的网格划分方法,自由网格划分方法用于空间自由曲面和复杂实体。

有限元分析中的一些问题

有限元分析的一些基本考虑-----单元形状对于计算精度的影响 笔者发现,在分析复杂问题时,我们所可能出现的错误,竟然是一些很根本的错误,这些根本错误是由于对有限元的基本理论理解不清晰而造成的。 鉴于这个原因,笔者决定对一些基本问题(例如单元形状问题,单元大小问题,应力集中问题等)展开调查,从而形成了一系列文章,本篇文章是这些系列文章中的第一篇。 本篇文章先考虑有限元分析中的第一个基本问题:单元形状问题。 我们知道,单元形状对于有限元分析的结果精度有着重要影响,而对单元形状的衡量又有着诸多指标,为便于探讨,这里首先只讨论第一个最基本的指标:长宽比(四边形单元的最长尺度与最短尺度之比),而且仅考虑平面单元的长宽比对于计算精度的影响。 为此,我们给出一个成熟的算例。该算例是一根悬臂梁,在其端面施加竖直向下的抛物线分布载荷,我们现在考察用不同尺度的单元划分该梁时,对于A点位移的影响。 这五种不同的划分方式,都使用矩形单元,只不过各单元的长宽比不同。 例如第一种(1)AR=1.1,就是长宽比接近1; 第二种(2)AR=1.5,就是长宽比是1.5.其它类推。 第五种(5)AR=24,此时单元的长度是宽度的24倍。 现在我们看看按照这五种单元划分方式对于A点位移的影响,顺便我们也算出了B点的位移,结果见下表。

我们现在仔细查看一下上表,并分析其含义。 我们先考虑第一行,它是第一种单元划分情况,此时每个单元的长宽比是1.1,由此我们计算出A点,B点的垂直位移,可以看到,A点的竖直位移是-1.093英寸,而B点的竖直位移是-0.346英寸。而这两点我们都是可以用弹性力学的方式得到精确解的,其精确解分别是-1.152以及-0.360.这样,我们可以得到此时A点位移误差的百分比是 [(-1.093)-(-1.152)]/1.152 = 5.2%. 对于其它情况,也采用类似的方式得到A点位移误差的百分比。 从上表可以看出来,随着长宽比的增加,位移误差越来越大,竟然大到56%。因此,如果我们是用长宽比为24的单元进行划分的话,那么我们的结果可以说是完全错误的。 下面按照上表绘制出一张图,该图从形象的角度表达了上表的含义。 由此可见,长宽比越接近于1,那么结算结果越精确,越远离1,则误差越大。

有限元在汽车工程中的应用

有限元在汽车工程中的应用 摘要:现代汽车工业技术快速发展,计算机技术不断推陈出新,使分析仿真技术以其快速高效和低成本的强大优势,成为汽车设计的重要手段,各种分析软件成为CAE技术广泛应用的工具。 关键词:有限元分析汽车CAE技术 1. 前言 汽车由底盘、发动机、车身三大总成构成。在这三大总成中,车身总成比底盘和发动机总成要复杂得多,车身的设计过程也相对复杂,涉及到工业造型、工程材料、生产工艺、结构力学、人机工程等众多学科。所以直到今日,车身设计尚无通用的标准和规范的设计过程可以遵循。CAE技术将“基于物理样机试验的传统设计方法”带入基于“虚拟样机仿真的现代设计方法”,大幅缩短了产品开发周期,并可以获得比试验更多的数据。 2. 正文 随着中国汽车工业的发展,自主品牌轿车日渐成为国内汽车厂家的发展战略目标,轿车数字化设计成为必经之路。现代设计方法表明,产品设计虽然只占产品整个成本的5%,但它却影响整个成本的70%,CAE模拟分析技术可以很好地解决产品设计中的问题,并做到快速修正。在汽车底盘设计中,后桥设计很关键。由于后桥零部件受力比较复杂且相互关联,在概念设计完成后,只有通过CAE仿真分析,才可以快速、全面了解后桥各零部件受力和相互影响情况,并指导优化设计,以保证后桥零部件具有足够的刚度和强度,同时满足结构型式要求。 在汽车发展历史上,至今还没有什么技术能与CAE技术相比,为汽车企业带来巨大的回报。统计结果表明,应用CAE 技术后,新车开发期的费用占开发成本的比例从80%~90%下降到8%~12%。例如:美国福特汽车公司2000年应用CAE 后,其新车型开发周期从36个月降低到12~18个月;开发后期设计修改率减少50%;原型车制造和试验成本减少50%;投资收益提高50%。汽车行业是一个高速发展的行业,其竞争也日趋激烈,在这种情况下,新产品推出的速度也越来越快,这也对行业的CAE应用提出了越来越高的要求。CAE技术为汽车行业的高速发展提供具有中心价值地位的技术保障,可以为企业带来巨大的技术经济效益。 2.1有限元方法在汽车上的应用 有限元方法在汽车上主要有以下几种应用: (1)结构静力分析:这是在车辆及其发动机的各种零部件设计中最常见的问题,也是应用最为广泛的领域,即分析计算结构与时间无关的应力分布与变形情况。例如齿轮轮齿、钢板弹簧、车架、发动机缸体、缸套、进(排)气阀、活塞、飞轮的静力分析。 (2)结构动力学问题:可分为两类问题:一类是求解结构或系统本身的动态特性,如固有频率、振型等,这对分析与解决振动问题是十分重要的;另一类是强迫响应分析,即结构在动载荷的作用下的响应,这较静力分析更接近于车辆及其发动机中的许多零部件的实际工作情况,但一般计算量也将增加许多倍。随着对环境问题的日益重视,在车辆及发动机的设计中已普遍采用各种分析工具,采取各种有效措施,来改善和减少车辆的振动和噪声。例如车辆动力装置的动态性分析等。

有限元分析的一般过程

一、结构的离散化 将结构或弹性体人为地划分成由有限个单元,并通过有限个节点相互连接的离散系统。 这一步要解决以下几个方面的问题: 1、选择一个适当的参考系,既要考虑到工程设计习惯,又要照顾到建立模型的方便。 2、根据结构的特点,选择不同类型的单元。对复合结构可能同时用到多种类型的单元,此时还需要考虑不同类型单元的连接处理等问题。 3、根据计算分析的精度、周期及费用等方面的要求,合理确定单元的尺寸和阶次。 4、根据工程需要,确定分析类型和计算工况。要考虑参数区间及确定最危险工况等问题。 5、根据结构的实际支撑情况及受载状态,确定各工况的边界约束和有效计算载荷。 二、选择位移插值函数 1、位移插值函数的要求 在有限元法中通常选择多项式函数作为单元位移插值函数,并利用节点处的位移连续性条件,将位移插值函数整理成以下形函数矩阵与单元节点位移向量的乘积形式。 位移插值函数需要满足相容(协调)条件,采用多项式形式的位移插值函数,这一条件始终可以满足。 但近年来有人提出了一些新的位移插值函数,如:三角函数、样条函数及双曲函数等,此时需要检查是否满足相容条件。 2、位移插值函数的收敛性(完备性)要求: 1)位移插值函数必须包含常应变状态。 2)位移插值函数必须包含刚体位移。 3、复杂单元形函数的构造 对于高阶复杂单元,利用节点处的位移连续性条件求解形函数,实际上是不可行的。因此在实际应用中更多的情况下是利用形函数的性质来构造形函数。 形函数的性质: 1)相关节点处的值为 1,不相关节点处的值为 0。 2)形函数之和恒等于 1。 1、建立数学模型(特征消隐,理想化,清除)((即从CAD 几何体→FEA 几何体),共 有下列三法:▲ 特征消隐:指合并和消除在分析中认为不重要的几何特征,如外圆角、圆边、标志等。▲ 理想化:理想化是更具有积极意义的工作,如将一个薄壁模型用一个平面来代理▲ 清除:因为用于划分网格的几何模型必须满足比实体模型更高的要求。) 2、建立有限元模型:(选择网格种类及定义分析类型;添加材料属性;施加约束;定义载 荷;网格划分) 3、求解有限元模型:再在此基础上计算应变和应力等其它物理量;在热分析中,FEA 首先 计算的是网格中每个节点的温度(标量),再在此基础上计算温度梯度和热流等其它物理量. 一般如果模型可划分网格,那么它就可以求解,但如果没有定义材料或载荷,则求解会终止。 4、结果分析:材料线性假设、小变形假设、静态载荷假设等等。

隧道工程结构设计中的有限元分析

隧道工程结构设计中的有限元分析 ////// (安徽理工大学,安徽淮南232001) 摘要:有限元技术作为一种应用广泛的科学计算方法,已经成为解决复杂工程实际问题的重要手段,尽管隧道的洞型和施工工序均较为复杂,应用有限元分析仍不失为一种十分理想的方法。采用有限元分析软件ANSYS14.5对隧道的受力情况作了静态的受力分析。通过分析和计算,得出隧道的应力和应变的分布情况,为隧道的结构设计提供了理论依据,同时也展示了有限元分析应用于工程设计应力计算的方法,有一定的工程实用价值。 有限元核心思想是结构离散化,即将实际结构假想地离散为有限数目的规则单元组合体,实际结构的物理性能可以通过对离散体进行分析,得出满足工程精度的近似结果来替代对实际结构的分析,这样可以解决很多实际工程需要解决而理论分析又无法解决的复杂问题。 关键词:隧道;应变分布图;应力分布图;有限元分析 The Finite Element Analysis in The Design of Tunnel Structure ////////// (Anhui University Of Science & Technology,Anhui Huainan,232001) Abstract:The finite element technique as one of the widely used scientific methods of calculation,has become an important mean of solving the engineering problems.Although the hole type and construction process of the tunnel are more complex than before, the application of the finite element analysis is an ideal method. Using the finite element analysis software ANSYS14.5,the stress state of the tunnel shows itself.Through the analysis and calculation of the tunnel, the stress and strain distribution of the tunnel has been acquired,which provides a theoretical basis for structure design of tunnel.At the same time, the method of applying the finite element analysis,which is used to do the engineering design and calculation of stress, has its practical engineering value. The core idea of the finite element analysis is the discretization of structure,which means that hypothetically the actual structure is discretized into a finite number of rules of unit combination and can be based on the discrete analysis on the physical properties of the actual structure.Through that we can acquire the result of approximation precision engineering to substitute actual structure analysis.It can solve a lot of practical engineering complex problems which the theoretical analysis is unable to solve . Key words: Tunnel Project;Strain distribution;Stress distribution;The finite element analysis 一、国内外研究现状

非线性有限元在工程中的应用

非线性有限元在工程中的应用 车辆五班包迪 20110403103 弹性力学的有限单元法,也就是我们上个学期学习的有限单元法这门课,最后归结于一个线性代数方程组的求解。但工程中的所有问题都是非线性的,为了提高计算速度,降低计算成本,对符合要求的问题,我们进行了线性的简化,而结果是符合要求的。但是对于其他的问题,结果偏差很大甚至出现了不能计算的后果。对于这些问题中的一部分,我们可以采用非线性有限元进行求解。 固体力学非线性问题一般分为三种:一类是几何非线性问题;一类是材料非线性问题,还有一类是接触非线性问题。 几何非线性问题是由于结构变形的大位移引起的,在线性有限元中,有一条假设是假定单元几何形状保持不变。还有一种几何非线性问题是由于大的应变引起的,如橡胶等材料在弹性范围内仍然可以产生大变形,大位移。 而材料非线性是指材料的本构关系是非线性的,可以分为三种情况。 第一种情况是与时间无关的材料非线性问题,如橡胶,土壤,岩石是非线性弹性问题,金属材料超过弹性极限的弹塑性问题。 第二种情况是与时间有关的非线性问题,为蠕变问题,即粘弹性问题和弹塑性问题。 第三种情况是非线性场问题,如热传导、电势、磁势、流体运动等稳态场的非线性问题。 首先讨论非线性有限元解决金属弹塑性问题的例子。金属材料的弹塑性理论是比较成熟的,采用Mises屈服条件和关联的流动法则能够足够精确地给出金属材料的弹塑性本构关系。目前在非线性有限元分析中金属的弹塑性问题仍然是最成熟的一个领域(特别是小变形问题)。 在工厂中对于一个加工好的成形构件(如图所示),我们需要对其进行疲劳试验,以检测构件设计的合理性。这种实物试验方法在构件设计阶段,显得费时费力,成本很高,并且带有一定的盲目性。可以采用弹塑性有限元接触法模拟构件的成型过程,在算得残余应力的基础上.进一步分析构件服役时在交变载荷作用下的应力,研究构件的最危险点及其应力谱。对成型构件服役后的疲劳强度进行校核,有效提高产品的安全可靠度。

有限元计算原理与方法

1.有限元计算原理与方法 有限元是将一个连续体结构离散成有限个单元体,这些单元体在节点处相互铰结,把荷载简化到节点上,计算在外荷载作用下各节点的位移,进而计算各单元的应力和应变。用离散体的解答近似代替原连续体解答,当单元划分得足够密时,它与真实解是接近的。 1.1. 有限元分析的基本理论 有限元单元法的基本过程如下: 1.1.1.连续体的离散化 首先从几何上将分析的工程结构对象离散化为一系列有限个单元组成,相邻单元之间利用单元的节点相互连接 而成为一个整体。单元可采用各种类 型,对于三维有限元分析,可采用四 面 体单元、五西体单元和六面体 单元等。在Plaxis 3D Foundation 程序中,土体和桩体主要采用包 含6个高斯点的15节点二次楔 形体单元,该单元由水平面为6 节点的三角形单元和竖直面为四 边形8节点组成的,其局部坐标 下的节点和应力点分布见图3.1,图3.1 15节点楔形体单元节点和应力点分布界面单元采用包含9个高斯点的 8个成对节点四边形单元。 在可能出现应力集中或应力梯度较大的地方,应适当将单元划分得密集些;

若连续体只在有限个点上被约束,则应把约束点也取为节点:若有面约束,则应 把面约束简化到节点上去,以便对单元组合体施加位移边界条件,进行约束处理; 若连续介质体受有集中力和分布荷载,除把集中力作用点取为节点外,应把分布 荷载等效地移置到有关节点上去。 最后,还应建立一个适合所有单元的总体坐标系。 由此看来,有限单元法中的结构已不是原有的物体或结构物,而是同样材料 的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。因此,用有限元法计算获得的结果 只是近似的,单元划分越细且又合理,计算结果精度就越高。与位移不同,应力 和应变是在Gauss 积分点(或应力点)而不是在节点上计算的,而桩的内力则可通 过对桩截面进行积分褥到。 1.1. 2. 单元位移插值函数的选取 在有限元法中,将连续体划分成许多单元,取每个单元的若干节点的位移 作为未知量,即{}[u ,v ,w ,...]e T i i i δ=,单元体内任一点的位移为{}[,,]T f u v w =。 引入位移函数N (x,y,z )表示场变量在单元内的分布形态和变化规律,以便用 场变量在节点上的值来描述单元内任一点的场变量。因此在单元内建立的位移模 式为: {}[]{}e f N δ= (3-1) 其中:12315[][,,......]N IN IN IN IN =,I 为单位矩阵。 按等参元的特性,局部坐标(,,)ξηζ到整体坐标,,x y z ()的坐标转换也采用 与位移插值类似的表达式。经过坐标变化后子单元与母单元(局部坐标下的规则 单元)之间建立一种映射关系。不管内部单元或边界附近的单元均可选择相同的 位移函数,则为它们建立单元特性矩阵的方法是相同的。因此,对于15节点楔 形体单元体内各点位移在整体坐标系,,x y z ()下一般取:

浅析有限元方法的发展与应用

浅析有限元方法的发展与应用 1965年“有限元”这个名词第一次在我国出现,到今天有限元在工程上得到广泛应用,经历了三十多年的发展历史,理论和算法都已经日趋完善。有限元法(Finite Element Method,简写为FEM)是求解微分方程的一种非常有效的数值计算方法,用这种方法进行波动数值模拟受到越来越多的重视。 绪论 有限元法是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法,随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。它是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成,对每一单元假定一个合适的(较简单的)近似解,然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件),从而得到问题的解。这个解不是准确解,而是近似解,因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解,而有限元不仅计算精度高,而且能适应各种复杂形状,因而成为行之有效的工程分析手段。有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。 一、有限元的发展历程 有限元法的发展历程可以分为提出(1943)、发展(1944-1960)和后期(1961-二十世纪九十年代)三个阶段。有限元法是受内外动力的综合作用而产生的。 1943年,柯朗在《美国数学学会公报》(Bulletin of The American Mathematical Society)上发表了《平衡和振动问题的变分解法》(Variational Methods for The Solution of Problems of Equilibrium And Vibration)一文,这篇文章实际上是他1941年在美国数学学会演讲的书面稿,在其中柯朗提出了有限元法的核心思想。大约与柯朗同时,工程师阿格瑞斯在另一个领域独立地提出了有限元法。柯朗和阿格瑞斯各自在数学和工程学领域独立提出了有限元法,他们分别开创了有限元法的数学传统和工程学传统。 有限元法被提出来以后,经过一段时间的沉寂期,在二十世纪五十年代和六十年代初有了很大的发展。主要表现为在代数表达形式、单元划分、单元类型选择和解的收敛性研究上取得的突破。1960年,克劳夫在《平面应力分析中的有限元》(The Finite Element in Plan Stress Analysis)的论文中,第一次从数学上说明了将定义域划分成有限的单元能够成功的原因:他表明对一些特定类型的单元来说,随着单元尺寸的减小,近似解将收敛到精确解,这就在某些情况下证明了有限元法的收敛性。并第一次提出了“有限元法”这个名称,这个名称一直沿用至今,标志着有限元法早期发展阶段的结束。 有限元法后期阶段的发展有国外和国内两条线索。在国外的发展表现为: 第一,建立了严格的数学和工程学基础;第二,应用范围扩展到了结构力学以外的领域;第三,收敛性得到了进一步研究,形成了系统的误差估计理论;第四,发展起了相应的商业软件包。 在国内,我国数学家冯康在特定的环境中独立于西方提出了有限元法。1965年,他发表论文《基于变分原理的差分格式》,标志着有限元法在我国的诞生。冯康的这篇文章不但提出了有限元法,而且初步发展了有限元法。他得出了有限元法在特定条件下的表达式,独创了“冯氏大定理”并且初步证明了有限元法解的收敛性。虽然冯康创造的有限元法不成熟,但他能在当时的条件下独立提出有限元法已十分不易。对于他的这项成就,国内外专家学者和国家领导人都有很高的评价。 半个世纪来,有限单元法蓬勃发展,不仅已经成为结构分析中必不可少的工具,而且成为现象分析的一种手段。其应用已由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题,由静力平衡问题扩展到稳定问题、动力问题和波动问题。分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料等,从固体力学扩展到流体力学、渗流与固结理论、热传导与热应力问题、磁场问题以及建筑声学与噪音问题。不仅涉及稳态场问题,还涵盖材料非线性、几何非线性、时间维问题和断裂力学等。

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