2015年秋新人教版八年级数学上册同步综合学案14.3因式分解.doc
14.3因式分解
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、掌握因式分解的定义；
2、掌握因式分解的方法（提公因式法，公式法等）
【重点难点】
1、因式分解的定义；
2、因式分解的方法（提公因式法，公式法等）
知识概览图
新课导引
在一条宽阔的马路上，整齐地排列着十个花坛，每个花坛都栽种了丁香树和各种颜色的花卉，每个花坛的形状都像操场上的跑道一样，两端呈半圆形，半圆的半径均为3 m，连接两个半圆的边缘部分是直的，已知每个花坛边缘直的部分的长分别为36 m．25 m，30 m，28 m，25 m，32 m，24 m，24 m，22 m，32 m，你能求出这些花坛的总面积吗?
【问题探究】要求花坛总面积，就是求每个花坛中两个半圆及中间长方形的面积，再把这十个花坛面积相加即可，即10×π×32＋6×36＋6×25＋6×30＋6×28＋6×25＋6×32＋6×24＋6×24＋6×22＋6×32的结果为所求，那么这个式子怎样算能简单些呢?(π≈3．14)
【解析】10π×32＋6×36＋6×25＋6×30＋6×28＋6×25＋6×32＋6×24
＋6×24＋6×22＋6×32
＝90π＋6×(36＋25＋30＋28＋25＋32＋24＋24＋22＋32)
＝90π＋6×278
≈1950．6(m2)．
教材精华
知识点１因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
拓展(1)①因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算．
例如：x2－(x＋1)(x－1)．
②因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
(2)①因式分解的结果必须是积的形式．
②因式分解的结果中，每个因式必须是整式．
③在因式分解的过程中注意防止分解不彻底或走回头路．
知识点2 提公因式法
多项式ma＋mb＋mc中的各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式．ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)就是把ma＋mb＋mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式a＋b＋c 是ma＋mb＋mc除以m所得的商．像这种分解因式的方法叫做提公因式法．例如：x2－x＝x(x－1)，8a2b－4ab＋2a＝2a(4ab－2b＋1)．
拓展在运用提公因式法分解因式时，注意防止公因式确定错误，从而造成因式分解不彻底．
知识点3 公式法
(1)平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
(2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2．
即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．
拓展(1)用来因式分解的平方差公式的特点：
①左边是二项式，两项都能写成平方的形式，并且符号相反．
②右边分解的结果是左边两个平方项中两底数的和与这两底数差的积．
(2)用来因式分解的完全平方公式的特点：
①左边是三项式，首末两项是两个数(或两个式子)的平方，且符号都为正，中间一项是这两个数(或两个式子)的积的2倍，符号正负均可．
②右边是两个数(或两个式子)的和(或差)的平方，和还是差，与积的2倍的符号保持一致．
(3)要想用公式分解因式，必须通过添括号法则把它化成符合公式的形式．
(4)分解因式的最后结果是因式乘积的形式，每个因式都最简因式，不能再分解，而且不舍括号．
(5)分解因式的步骤：
①首先观察有无公因式，若有公因式则应先把公因式提出来．
②对没有公因式的多项式考虑用公式法分解，如果是二项式，那么考虑用平方差公式，写成平方差公式的形式；如果是三项式，那么考虑用完全平方公式，写成完全平方公式的形式，四项或四项以上则通过添括号把它们分组化成两项或三项，然后再考虑用提公因式法或用公式法分解．
知识点4 完全平方式
形如a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2的代数式叫做完全平方式．
拓展(1)完全平方式是三项式，这个三项式可以写成两数和(或差)的平方的形式．
(2)注意：－a2－2ab－b2不是完全平方式，它提出“－”后，才是完全平方式，是完全平方式的相反数．
(3)完全平方式的两个平方项的系数必须为正，积的2倍项的符号可正可负．
探究交流下列变形是不是因式分解?为什么?
(1)3x2y－xy＋y＝y(3x2－x)；
(2)x2－2x＋3＝(x－1)2＋2；
(3)x2y2＋2xy－1＝(xy＋1)(xy－1)；
(4)x n(x2－x＋1)＝x n＋2－x n＋1＋x n．
解析(1)不是因式分解，提公因式错误，可以用整式乘法检验其正误．
(2)不是因式分解，不满足因式分解的含义．
(3)不是因式分解，因为因式分解是恒等变形，而本题不恒等．
(4)不是因式分解，是整式乘法．
规律方法小结利用提公因式法分解因式的关键是确定公因式和提取公因式．其中确定公因式按两个标准进行：一是取多项式各项系数最大的公约数作为系数，二是取相同字母(或因式)的最低次幂作为字母因式．提取公因式就是用多项式的每一项除以公因式，然后分解成两个因式的积，其中一个因式是多项式各项的公因式，另一个是多项式除以公因式的商．
课堂检测
基础知识应用题
1、用提公因式法将下列各式分解因式．
(1)ax－ay；(2)6xyz－3xz2；(3)－x3z＋x4y；
(4)36aby－12abx＋6ab；
(5)3x(a－b)＋2y(b－a)；
(6)x(m－x)(m－y)－m(x－m)(y－m)．
2、已知多项式2x 3－x 2＋m 有一个因式是2x ＋1，求m 的值．
综合应用题
3、若a ，b ，c 是三角形的三边，且满足关系式a 2－2bc ＝c 2－2ab ，试判断这个三角形的形状．
探索创新题
4、计算2004
2003200420036565434321212
2222222+-+++-++-++- ．
体验中考
1、若多项式x2＋mx＋4能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是( )
A．4 B．－4 C．±2 D．±4
2、给出三个单项式：a2，b2，2ab．
(1)在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式分解；
(2)当a＝2010，b＝2009时，求代数式a2＋b2－2ab的值．
学后反思
附：课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析本题主要考查利用提取公因式法进行因式分解．(1)～(4)题直接提取公因式分解即可，(5)题和(6)题首先要适当地变形，其中(5)题把b－a化成－(a－b)，
(6)题把(x －m )(y －m )化成(m －x )(m －y )，然后再提取公因式．
解：(1)ax －ay ＝a (x －y )．
(2)6xyz －3xz 2＝3xz (2y －z )．
(3)－x 3z ＋x 4y ＝x 3(－z ＋xy )．
(4)36aby －12abx ＋6ab ＝6ab (6y －2x ＋1)．
(5)3x (a －b )＋2y (b －a )＝3x (a －b )－2y (a －b )＝(a －b )(3x －2y )．
(6)x (m －x )(m －y )－m (x －m )(y －m )
＝x (m －x )(m －y )－m (m －x )(m －y )
＝(m －x )(m －y )(x －m )
＝－(m －x )2(m －y )．
规律·方法 运用提公因式法分解因式时，要注意下列问题：
(1)因式分解的结果是每个括号内没有同类项要合并，而且每个括号不能再分解．
例如：(7m －8n )(x ＋y )－(3m －2n )(x ＋y )＝(x ＋y )[(7m －8n )－(3m －2n )]＝(x ＋y )(4m －6n )＝2(x ＋y )(2m －3n )．
(2)如果出现像(5)(6)小题需统一时，首先要统一，尽可能使统一的个数少，减少统一计算出现误差的几率，这时注意到(a －b )n ＝(b －a )n (n 为偶数)．
例如：分解因式a (x －y )2＋b (y －x )3＋c (y －x )2．本题既可以把x －y 统一成y －x ，也可以把y －x 统一成x －y ，但比较而言，把x －y 化成y －x 比较简便，因为(x －y )2＝(y －x )2．则a (x －y )2＋b (y －x )3＋c (y －x )2＝a (y －x )2＋b (y －x )3＋c (y －x )2＝(y －x )2[a ＋b (y －x )＋c ]＝(y －x )2(a ＋by －bx ＋c )．
(3)因式分解最后如果有同底数幂，要写成积的形式．
例如：(7a －8b )(a －2b )＋(a －8b )(a －2b )＝(a －2b )[(7a －8b )＋(a －8b )]＝(a －2b )(8a －16b )＝8(a －2b )(a －2b )＝8(a －2b )2．
2、分析 直接将2x 3－x 2＋m 分解因式不可能，我们可以逆向思考．由2x ＋1是2x 3－x 2＋m 的因式知2x 3－x 2＋m 能写成2x ＋1与另一个因式乘积的形式，所以当2x ＋1＝0时，2x 3－x 2＋m ＝0．即当x ＝2
1
时．2x 3－x 2＋m ＝0，从而求出m 的值．
解：由2x ＋1＝0知x ＝21-
， 当x ＝2
1-时，2x 3－x 2＋m ＝0， ∴02121223=+??
? ??--??? ??-?m ，∴21=m ．
3、解：∵a 2－2bc ＝c 2－2ab ，
∴(a 2－c 2)＋2ab －2bc ＝0，(a ＋c )(a －c )＋2b (a －c )＝0，
∴(a －c )(a ＋c ＋2b )＝0．
∵a ＋c ＋2b ≠0，∴a －c ＝0．
∴这个三角形是等腰三角形．
4、分析 本题旨在考查因式分解的灵活运用，即b
a b a b a b a b a +-+=+-))((22＝a －b (a ＋b ≠0)．
解：原式＝20042003)20042003)(20042003(65)65)(65(43)43)(43(21)21)(21(+-++++-+++-+++-+ ＝(1－2)＋(3－4)＋(5－6)＋…＋(2003－2004)
＝(－1)×(2004÷2)
＝－1002
体验中考
1、分析 本题考查完全平方式的概念，完全平方式是三项式，其中有两个平方项，且符号为正，另一项是积的2倍项，可正、可负．当m ＝±4时，x 2＋mx ＋4是完全平方式．故选D ．
2、分析 本题综合考查分解因式的方法，答案不唯一．
解：(1)若选a 2和b 2，则a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )，b 2－a 2＝(b ＋a )(b －a )；若选a 2和2ab ，则a 2－2ab ＝a (a －2b )，2ab －a 2＝a (2b －a )；若选b 2和2ab ，则b 2－2ab ＝b (b －2a )，2ab －b 2＝b (2a －b )．
(2)a2＋b2－2ab＝(a－b)2＝(2010－2009)2＝1．