16Kch1极限、连续与间断￥￥
第一章 极限、连续与间断
本章主要知识点
● 求极限的几类主要题型及方法 ● 连续性分析 ● 间断判别与分类
● 连续函数的介值定理及应用
一、求极限的七类题型
求极限问题归纳为七类主要题型，这里介绍前五类，后两类在相应的章节（洛必达法则，变限积分）再作相应介绍。
（1）题型I ()
()lim
m x n
P x P x ->∞
方法：上下同除以x 的最高次幂
例1.1．5422
lim x x x x x
->∞+-+ 解：原式5
34
111lim 11
x x x x x ->∞+-==∞+ 例1.2．()()22
4
3123lim
31
x x x x ->∞
+-+
解：原式()()
2
2
2
2
4
3123lim
1
3x x x x x x ->∞
+-=+
22
4
1332lim 1
3x x x x
->∞?
???+- ? ?
????
=+=12 例1.3．1
11313lim
-++-++∞
→x x x x x
解：原式=1
11313lim -++-++∞→x x x x x =x
x x x x 11111313lim -
++-
++
∞→=
3
例1.4．)214(lim 2
x x x x -+-+∞
→
解：原式=x
x x x x 2141lim
2
++-+-+∞
→
=2
1
141
1lim 2++-+
-+∞→x
x x x =41-
例1.5．x
x x x
x x x 234234lim --+++∞→
解：原式=x
x x
x x )2
1
()43(1)21()43(1lim
--+++∞→=1 （2）题型II ()
lim
()
m x a
n p x p x → 原式=()(),0()
,()0,()0()()0
m n n n m n m p a p a p a p a p a p a p a ?
≠???
∞=≠?
?==???
上下分解因式(或洛比达）, 例1.6．1
2
cos lim
1++→x x x π
解：原式=1/2
例1.7．1
2sin lim 231+-++→x x x
x x x π
解：原式=∞
例1.8．3
2lim 221-+-→x x x
x x
解：原式=)3)(1()
1(lim 1+--→x x x x x =3lim 1+→x x x =4
1
例1.9．1
1lim
3
1--→x x x
解：令u ==322111(1)(1)lim lim
1(1)(1)
u u u u u u u u u →→--++=--+＝23
例1.10. 22
32lim 2
21=+-++→x x b
x ax x 解：a+2+b=0,
原式=222)
2)(1()
2)(1(lim )2)(1()2(2lim 2=--=--++-=--+-+a x x a ax x x x a x ax
a=2,b=-4 （3）题型III
若0)(lim =→x f a
x ，)(x g 有界?0)()(lim =→x g x f a
x
例1.11. 2
lim
arc cot(sin(1))x x →+∞+
解：因为 2lim
3
x x →+∞+＝０，而2arccot(sin(1))x +有界 所以 原式＝０。
例1.12．2
2
limln(1tan )cos ()x x x
→+
解：因为 ln(1tan )0x +→（0x →），)2
(c o
s 2
x
有界， 所以 原式＝０．
例1.13．2006lim
(sin(2006))x x →+∞
解 因为 01111
lim 1
lim
3
=++=++∞→∞
→x
x x x x
x x x ，2006sin (sin(2006))x 有界；
所以 原式＝０。
（4）题型IV 10
lim(1)u
u u e →+=
识别此类题型尤为重要，主要特征为∞
1未定式．步骤如下：
uv uv u
v
e u u lim 1
})1lim{()1lim(=+=+
例1.14．∞
→x lim 32
2(
)1
x x x +-+ 解：原式＝∞→x lim (32)
3(1)1
x x +-++＝∞→x lim
3
(32)1
1
3
311x x x x -+++-?
?-????+?? ?+?????
?
＝3(32)
lim
91
x x x e
e →∞
-+-+=．
例1.15．∞→x lim 221
2
51()23
x x x x x +-+-+ 解：原式＝∞→x lim 232
(21)
2323
32
232123x x x x x x x x x x --+-+-+--?
?--???
?+?? ?-+???
??
?
＝(32)(21)lim
623
x x x x x e
e →∞
--+--+=
例1.16．x
x x x 12
)sin 1(lim +→
解：原式=1)sin 1(lim 1
)
sin(sin 1
2022=??
????????+→x
x x x x x x x
（5）题型V 等价无穷小替换
替换公式：)0(→x
x x ~sin x x ~tan
22
1~
cos 1x x - x x ~arcsin x x ~arctan
x n
x n
1~11-+
x x ~)1ln(+
x e x ~1-
替换原则：乘除可换，加减忌换。
例1.17．30sin lim x x
x x -→
错解：30lim x
x
x x -→=0
例1.18．1
)
5sin()21ln(lim
2
2--→x x e
x x
解：原式=2
52lim
2
0x x
x x ?-→=-20
例1.19．2
3
20arctan 1
21lim x x x --→
解：原式=220)
2(31
lim x
x x -?→=32- 例1.20．3
942lim
3
8-+-→x x x
解：令8x u -=，则8x u =+
原式＝0lim →u 32742163-+-+u u ＝0lim →u 1
27
118
1
1343-+-+u u
＝0lim →u 27
.318
1.2134u u
＝2
27 例1.21．x
x
x x 30tan sin tan lim -→ 解：原式=2121
lim )cos 1(tan lim 32
030=?=-→→x
x x x x x x x 例1.22. )
21ln(1
)(cos lim x x x -→
解：原式=22
011(cos 1)
112ln(12)
lim cos 1
24
lim (1cos 1)
x x x x x x x x e
e →-----→?
?+-==???
?
例1.23. 4
31
2arctan 1arcsin
lim
2
2+++∞→x x x x x 解：原式=23)1)(12()43(lim 4
3121lim 2222=+++=+++∞→∞→x x x x x x x x x x 例1.24. )
11sin()cos(lim
3
sin tan 0
-+-→x x e e x
x x
解：原式=)11sin()cos()
1(lim
3
sin tan sin 0
-+--→x x e e x x x x
=111
lim
3sin tan 0
-+--→x e x x x =03tan sin lim
112
x x x
x
→-=
（6）题型VI 洛必达法则（见导数相关内容）；
（7）题型VII 变上限积分有关积分（见积分相关内容）；
二、极限应用—连续性分析
定义：0
0lim ()()x x f x f x →=
变形：000(0)(0)()f x f x f x -=+=,其中0(0)f x ±分别表示左、右极限。
例1.25．sin ,0tan(sin 2)(),0x
x x f x a x ?≠?
=??=?
，若()f x 在0x =处连续，求a 。
解：0
0sin 1
lim ()lim
(0)tan(sin 2)2
x x x f x f a x →→====，故 12a =
例1.26．()22
1ln(12)sin ,0sin 2,01()01x x ax x x x f x b x x c x x ?-+
??
==??-?>?+?
，，若()f x 在0x =处连续，求,,a b c
解：2
01ln(12)
(00)lim (sin )sin 2x x f ax x x
→---=+
2
001ln(12)lim sin lim
1sin 2x x x a x x x
→-→--=+=- 2
1(00)lim ()1x x x f c x
→-+=+ )(x f 4
ce -=
由(00)(00)(0)f f f -=+=得：4
1b ce -== 故4
1,,b c e a =-=-为任意实数
例1.27．1
()sin ,0
()0, 0
g x x f x x x ?≠?=??=?，其中()g x 为有界函数，问()f x 在0x =是否连续？
解：因为0
1
lim ()lim ()sin 0(0)x x f x g x f x
→→===
所以，()f x 在0x =处连续。
例1.28．sin 1
()1
x f x x -=
-在1x =可能连续吗？
解：1010111(10)lim ()lim lim 111
x x x x x
f f x x x →-→-→---====---，
1010111
(10)lim ()lim lim 111
x x x x x f f x x x →+→+→--+====--
不论(1)f 取何值，()f x 均不能连续。
三、极限应用—间断识别及分类
1．识别方法：可能间断点应是其定义域中不能取值的端点或分段点。
2．分类方法： （a ）00(0)(0)f x f x +=-，0x 为可去间断；
（b ）00(0)(0)f x f x +≠-，0x 为第一类间断，或称跳跃型间断； （c ）)0(0+x f 、)0(0-x f 至少有一个不存在，0x 为第二类间断；
特别地，若左右极限中至少有一为∞，则为第二类无穷间断。 例1.29．x
x x x f tan )
()(π-=
解：间断点为πk x =，2
π
π+
k ，Z k ∈,
对于2
π
π+
=k x ， Z k ∈,因为0)(lim
2
=+
→x f k x ππ，所以2
π
π+
=k x 为可去间断。
对于πk x =，当0=k ，即0=x ，ππ-=-→x
x x x tan )
(lim
，0x =可去间断；
对于πk x =，当1=k ，即π=x ，ππ=-→x
x x x tan )
(lim
,π=x 可去间断；
当0,1k ≠，∞=-→x
x x k x tan )
(lim
ππ
，x k π=为第Ⅱ类无穷间断。
例1.30．1
1sin ()x x f x e x
-= 解：间断点1=x ，0
1110
(10)sin(1)lim 0x x f e
e -∞-→--===， 11
10
(10)sin(1)lim x x f e
e +∞-→++===∞。
()f x 在1=x 为Ⅱ类无穷间断。 1
lim ()x f x e -→=，x=0为可去间断点。
例1.31．)
2)(1)(3()
1ln(2)(++---=
x x x x x x f
解： 定义域为 1≤x 。
间断点为 2,1-=-=x x 。 因为∞=-→)(lim 1
x f x ，∞=-→)(lim 2
x f x
所以2,1--均为)(x f 的Ⅱ类无穷间断。 例1.32．x
e x
x x f -+-=
21
22)( 解： 定义域为22<<-x ，间断点为2,2-=x
对于2-=x ，∞=--→)(lim 0
2x f x ，2x =-为第Ⅱ类无穷间断；
对于2=x ， ∞=-=--→-→x x x e x x f 21
2022lim 21
)(lim ，2=x 为第Ⅱ类间断。
注：对2,2-=x 仅考虑了其一个单侧极限。
例1.33．???
?
???>=<-=-.
0,,0,1
,0,sin 1)(21x e x x x x x f x
解：间断点是：
2,,=∈=-x Z k k x π，x=0是可能间断点。
对于x=0，f(0+0)=2
1-e ,f(0-0)=∞,x=0为第Ⅱ类间断；
对于,,-∈=Z k k x ππ
k x x f →∞=,)(lim 为第Ⅱ类间断； 对于x=2,f(2-0)=0,f(2+0)=∞，为第Ⅱ类间断。 注：分段函数左右支分别识别，分段点单独考虑。
四、连续函数介值定理
定理：)(x f 在闭区间[]b a ,内连续，且0)()(
应用此定理需要注意以下几点： (0) ()f x 如何定义。
)1( []b a ,区间的选择，在证明题过程中，有明确的线索。 )2( 验证)(x f 在闭区间[]b a ,上的连续性，
)3( 验证)(x f 在两端的符号。
)4( 此定理不能确定)(x f 是否具有唯一零点，但有唯一性的要求时，应验证)(x f
在[]b a ,内的单调性（参见导数应用部分）
例1.34．证明：2=x
xe 在[]1,0内有一实根
证：构造2)(-=x xe x f ，[]1,0∈x
易知)(x f 在[]1,0上连续，且2)0(-=f ，02)1(>-=e f ，故 0)1()0(
4
=+-x x x 至少有一正根 证明：令23)(2
4
-+-=x x x x f ，[]2,0∈x
)(x f 在[]2,0内连续，且4)2(,2)0(=-=f f ，0)2()0( 由闭区间连续函数介值定理得，)(x f 在()2,0至少有一根，即命题得证。 五、数列极限 定理：对充分大的n 成立，n n n c b a ≤≤，如果A c a n n n n ==∞ →∞ →lim lim ， 那么 A b n =lim 。 例1.36． )2211lim( 2 22n n n n n ++++++ 解：因为1 2122112122222+++≤++++++≤+++n n n n n n n n n n ， 2 1 )(2)1(lim 21lim 22= ++=+++n n n n n n n 2 1 )1(2)1(lim 121lim 2 2=++=+++n n n n n ， 所以，原式=1/2。 单元练习题1 1．4)( lim =-+∞ →x x a x a x ，则=a 。 2．如果???=a x x f 2)(0 =≥x x ，在0=x 处连续，则=a 。 3．x x f 3cos 1)(-=)0(→x 与n mx 等价无穷小，=m ，________=n 。 ?4．11-++ x x )0(→x 与n mx 是等价无穷小，=m ，________=n 。 5． ) 2)(4)(1(3----x x x x 的间断点为 。 6．22 3lim 221=+-++→x x b ax x x ，则_______=a ，________=b 。 7．在下列极限中，正确的是（ ） A ．1lim sin 0x x x →∞= B ．22 1lim 32x x x x x →-=∞-+ C ．1ln(12)lim 1x x x →+=∞- D ．221lim 32 x x x x x →-=∞-+ 8．若|||)(|lim A x f a x =→那么（ ） A ．A x f a x =→)(lim B ．lim ()x a f x A →=- C ．|||)(|lim A x f a x =→ D ．以上都不正确 ?９．在下列极限中，不正确的是（ ） A ．()lim 210x x →+∞+= B ．102lim 03x x x x →-??= ?-?? C ．1 111 lim x x x e --→= D ．0 sin 22 lim tan 33 x x x →= = 10．计算下列极限 （1 ）) lim 2x x →+∞ （2）()2003 22004 lim cos 2004100!x x x x →+∞+ （3）22221lim 2x x x x x x →∞ ??-+ ?-+?? 怎么是两个解 （4）( ) 121cos 0 lim 12x x x -→+ （5）2111lim 132x x x x →??+ ?--+?? （6）()20 ln 12lim tan sin 2x x x x →- （7 ）2 x →（8）sin lim x x x ππ→- （9）x x x --→ 2 ) 12 sin(lim 2 π ππ （10）()242 ln 12lim sin x x x x →++ （11）()30 ln 2ln 2 lim 21 x x x →+-- （12） 31 x →- 11．分析函数()sin x f x x =的间断点，并指明其类型。 12．分析()221lim 1n n n x f x x →∞-=+的间断点，并指明其类型。 13．分析( )tan f x x = 的间断点，并指明其类型。 14．分析函数()()sin 11 x f x x -= -的间断点，并指明其类型。 15．证明方程4 2 31x x x --=至少有一正根，有一负根。 16．证明：方程()ln 13x +=至少有一正根。 17．)12 11 1lim( 2 2 2 n n n n ++ +++ + 。 18．)2211lim(32323 2n n n n n ++++++ 历年真考题 1、（2001）1、下列极限正确的是（ C ） A. 01lim(1)x x e x →+= B. 1 1lim(1)x x e x →∞+= C. 1lim sin 1x x x →∞= D. 01 lim sin 1x x x →= 2、（2001）求函数2 (1)sin ()(1) x x f x x x -= -的间断点，并指出其类型。 3、（2002）下列极限中，正确的是（ A ） A. cot 0 lim(1tan ) x x x e →+= B. 0 1lim sin 1x x x →= C. sec 0 lim(1cos ) x x x e →+= D. 1lim(1)n n n e →∞ += 4、(2003)在下列极限中，正确的是（ D ） A. sin 2lim 2x x x →∞= B. arctan lim 1x x x →+∞= C. 224 lim 2 x x x →-=∞- D. 0lim 1x x x →+= 5、（2003）1 21cos 0 lim(1) x x x -→+ 6、（2003）已知 sin(1) ()1 x f x x -= -，求其间断点并判断类型。 7、（2003）证明：2x xe =在(0,1)内有且仅有一个实根。 8、（2004） 当0→x 时，x x sin 2 -是关于x 的 （B ） A.高阶无穷小 B.同阶但不是等价无穷小 C.低阶无穷小 D.等价无穷小 9、（2004）设,32)(x x x x f ?? ? ??++=则=∞ →)(lim x f x _____ 10、（2004）求函数x x x f sin )(= 的间断点并判断类型。 11、（2005）x=0是函数x x x f 1 sin )(=的 （ ） A.可去间断点 B.跳跃间断点 C.第二类间断点 D.连续点 本章测试题 1．) 32lg(1 34lg 2-+ -=x x x y 的定义域是 。 2．?????-=，x x x f sin ,4)(2 3 22 ||<<≤x x 的定义域是 ，()2f π= 。 3．0sin lim x x x →= ，2 sin lim x x x π→ = ， sin lim x x x →∞= ，01 lim sin x x x →= ， 1 lim sin x x x →∞= 。 4. 3 21 )(2---= x x x x f 的连续区间是 ，间断点是 。 5. 2112 lim( )11 x x x →-=-- 。 6．若)()(a x x a x f -=-，则()f x =（ ） A ．)(a x x - B ．)(a x x + C ．))((a x a x -+ D ．2)(a x - 7．设x x f ln )(=，2)(+=x x g ，则)]([x g f 的定义域是（ ） A ．(-2,+∞ ) B ．[-2, +∞] C ．(-∞,2) D ．(-∞,2) 8．设1)(-= x x x f ，则当0≠x 且1≠x 时1()f f x ??=???? （ ） A ． x x 1- B ．1 -x x C ．1x - D ．x 9．当0→x 时 与4 23x x +为同阶无穷小量是（ ） A ．x B ．2x C ．3x D ．4 x 10．当1→x 时，下列变量中不是无穷小量的是（ ） A ．12 -x B ．1)2(+-x x C ．1232--x x D ．1242 +-x x 11．设32lim(1)kn n e n -→∞ + =，则k =（ ） A ．3/2 B ．3/2 C ．-3/2 D ．-2/3 12．函数()y f x =在x a =点处连续是()f x 在x a =点有极限的（ ） A ．充要条件 B ．充分条件 C ．必要条件 D ．无关条件 13．函数23 ()32 x f x x x -= -+的间断点是（ ） A ．1,2x x == B ．3x = C ．1,2,3x = D ．无间断点 14．当0x → 的等价无穷小量是（ ） A ．x B ．2x C ．2 x D ．2 2x 15 ．2lim n →∞=（ ） ， A ．3 B ．1 C ．∞ D ． 9 1 16．函数1 ,1,2,ln(1)()0,1 1,2x x x f x x x ?>≠?-?? ==??=??? 的连续区间是（ ） A ．[)∞,1 B ．()∞,1 C ．[)()∞,22,1 D ．()()∞,22,1 17. 分析y = 18. 21 lim( )01 x x ax b x →∞+--=+，求,a b 。 19. lim )x x →+∞ 20. x → 21. 4 x →22. 0ln(13) lim tan 2x x x →+ 23. 20 lim()x x x x e →+ 24.设2,0()sin 30a x x x f x x x x ?++≤? =?>?? ，，求a 使()f x 在0x =处连续。 25. 设2 3,0()1,01,1 x a x f x x x b x x +≤????=+< ，若 ()f x 在(,)-∞+∞ 内连续，求,a b 的值。 26. 求下列函数的间断点并判别类型。 （1）1121 ()21x x f x -= + （2）221()lim 1n n n x f x x x →∞-=+ （3）()2 (2) ,02cos 1sin 01,x x x x f x x x π+?≤??=??>?-? 27． 设()f x 在[,]a b 上连续且()f a a <,()f b b >。试证：在[,]a b 内至少存在一个ξ使 ()f ξξ=。 28. 设()f x 在[0,1]上连续，且0()1f x ≤≤。证明：在[0,1]上至少存在一个ξ使()f ξξ=。 29． 证明0235 =--x x 在(1,2)内至少有一个实根。 30． 设()f x 在()+∞∞-,上连续，且[]()f f x x =，证明：存在一个ξ使得()f ξξ= 本章练习解答 1、24a e =，1ln 4ln 22a = =； 2、0a =； 3、9 2 m =，2n = 4、12m = ，1 4 n =； 5、1,2x = 6、4a =-，3b =； 7、C 8、C 9、B 10、（1）解：原式 =22lim x lim x 1 2 - （2）解：原式=0 （3）解：原式=()() 2 1222121lim 12x x x x x x x x x x x -+-+-+-+→∞? ?--??? ?+?? ?-+???? ?? =2 e - （4）解：原式=()2 221 1cos 220 lim 12x x x x x -→??+???? =202 2lim 12x x x e →=4 e （5）解：原式()()121lim 12x x x x →-+=-- ()()11lim 12x x x x →-=--() 11 lim 2x x →=- 1=- （6）解：原式()2 2lim 2x x x x →-=?2= （7）解：令2u x =-，得2x u =+ 原式0u →= 0u →=011 22lim 1132u u u →?=?3 2= （8）令u x π=-，x u π=-，得 原式()0sin lim u u u π→-=0sin lim u u u →=1= （9）令2u x π=-，得2 x u π =- 原式02sin 11lim u u u π→??-- ???=02sin lim u u u π→??- ???=2π =- （10）原式24 202lim x x x x →+=1= （11）原式3ln 20ln(1)2lim 1x x x e →+=-02lim 3ln 2 x x x →=1 6ln 2= （12 ）解：原式01 x e →=-2 20123lim ln 3x x x →?=23ln 3= 11、解：间断点为x k π=，Z k ∈。 当0k =，即0x =时，0lim ()x f x →0lim x x x →=1=，0x =为可去间断； 当0k ≠，()lim x k f x π →=∞，x k π=为II 类无穷间断 12、解：1 1 01 1 11011 1 x x x x x -<-??=-?? -<??，间断点为1,1- ()101f --=-，()101f -+=， 1x =-，I 类跳跃间断； ()101f -=，()101f +=- ， 1x =，I 类跳跃间断。 13、解：()f x 的定义域2x ≤， 间断点为0,1,,2 x k k π π=+ ∈ 。 () 0lim 3 x x f x →→== ， 0x =为可去间断； ()1 lim x f x →=∞， 1x =为II 类无穷间断； ()2 lim x k f x ππ→+ =∞， 2 x k π π=+ 为II 类无穷间断。 14、解：1x =为间断点。 ()()10sin 110lim 11x x f x →---==--， ()() 10sin 110lim 11 x x f x →+-+==-， ∴1x =为I 类跳跃间断。 15、 证明:构造 4 2 ()31f x x x x =---， 对于 ]2,0[∈x ，()f x 在]2,0[上连续, 且01121216)2(,1)0(>=---=-=f f ， 据连续函数介质定理知,在)2,0(方程至少有一正根； 同理，对于]0,2[-∈x , (2)16122150,(0)10f f -=-+-=>=-<，故 在)0,2(-方程 至少有一负根,命题得证。 16、证明:构造4()ln(1)3,[0.1] f x x x x e =+-∈-， )(x f 在]1,0[4-e 连续,且3)0(-=f ， )1(4-e f 444(1)ln()34(1)30e e e =--=-->， 据闭区间连续介值定理得知,在1)-e (0,4内)(x f 至少有一正根，即命题得证。 17、1． 18、1/3。 测试答案 1．(]3,22,32?? ? ??? 2. [)2,3-,4/42π- 3. 1, π2，0，0，1 4. [)()1,33,?+∞，3x = 5． 1 2 6、Ｂ 7、Ａ 8、Ｃ 9、Ｂ 10、Ｄ 11、Ｃ 12、Ｂ 13、Ａ 14、Ａ 15、Ａ 16、Ｄ 17．定义域 x 3≥,间断点为1x =且为第二类无穷断点。 18．221()(1)(1)()1lim lim 011x x x a b x a x a b x b x x →∞→∞+-++--++-==++ 则1,0a a b =+=，即1,1a b ==-。 19．原式 =2x p q += 20 ．原式80013329lim 2122()38u x u u u u u =+→→→??- ???==-=-=-- 一、多元函数、极限与连续 ㈠二元函数 1 ．二元函数的定义：设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 P （x，y）∈ D ，变量按照 一定法则总有确定的值与它对应，则称是变量 x 、y 的二元函数（或点 P 的函数），记为 （或），点集 D 为该函数的定义域， x 、y 为自 变量，为因变量，数集为该函数值域。由此也可定义三元函数以及三元以上的函数。二元函数的图形通常是 一张曲面。例如是球心在原点，半径为 1 的上半球面。 ㈡二元函数的极限 ⒈设函数 f（x,y）在开区域（或闭区域） D 内有定义， 是 D 的内点或边界点，如果对于任意给定的正数，总存在正 数，使得对于适合不等式的一切点 ，都有成立，则称常数 A 为函数f（x,y）当 时的极限，记作或, 这里 。为了区别一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。 ⒉注意：二重极限存在是指沿任意路径趋于，函数 都无限接近 A 。因此，如果沿某一特殊路径，例如沿着一 条定直线或定曲线趋于时，即使函数无限接近于某一确定值，我们也不能由此判定函数的极限存在。 ㈢多元函数的连续性 1 ．定义：设函数 f（x，y）在开区间（或闭区间） D 内有定 义，是 D 的内点或边界点且。如果 ，则称函数 f（x，y）在点连续。如果函数 f（x，y）在开区间（或闭区间） D 内的每一点连续，那么就称函数 f（x，y）在 D 内连续，或者称 f（x，y）是 D 内的连续函数。 2 ．性质 ⑴一切多元初等函数在其定义域内是连续的； ⑵在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上一定有最大值和最小值； ⑶在有界闭区域 D 上的多元连续函数，如果在 D 上取两个不同的函数值，则它在 D 上取得介于这两 第二章 极限与连续 基础练习题（作业） §2.1 数列的极限 一、观察并写出下列数列的极限： 1．4682, ,,357 极限为1 2．11111,,,,,2345--极限为0 3．212212?-??=?+???n n n n n n a n 为奇数为偶数极限为1 §2.2 函数的极限 一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限： 1．lim →-∞x x e 极限为零 2．2 lim tan x x π → 无极限 3．lim arctan →-∞ x x 极限为2 π- 4．0 lim ln x x +→ 无极限，趋于-∞ 二、设2221,1()3,121,2x x f x x x x x x +??=-+? ，问当1x →，2x →时，()f x 的极限是否存在？ 211lim ()lim(3)3x x f x x x ++→→=-+=；11 lim ()lim(21)3x x f x x --→→=+= 1 lim () 3.x f x →∴= 222lim ()lim(1)3x x f x x ++→→=-=；222 lim ()lim(3)53x x f x x x --→→=-+=≠ 2 lim ()x f x →∴不存在。 三、设()1 1 1x f x e =+，求 0x →时的左、右极限，并说明0x →时极限是否存在． ()1001lim lim 01x x x f x e ++→→==+ ()1 001 lim lim 11x x x f x e --→→==+ 0 lim ()x f x →∴不存在。 四、试讨论下列函数在0x →时极限是否存在． 1．绝对值函数()||=f x x ，存在极限为零 2．取整函数()[]=f x x 不存在 3．符号函数()sgn =f x x 不存在 §2.3 无穷小量与无穷大量 一、判断对错并说明理由： 1．1sin x x 是无穷小量． 错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。当0x →时，1sin 0x x →；当1x →时，1sin sin1x x →不是无穷小量。 2．同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量． 对，两个无穷小量的商是“0/0”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。 3．无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量． 对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于任意给定的正数。 二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量： 1． 221 x x +-， 2x →-时，或x →∞时，为无穷小量； 1x →时，或1x →-时，为无穷大量。 2．1ln tan x ,k Z ∈ 习题2-1 1.观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1)1n n x n =+； （2)2(1)n n x =--; (3)13(1)n n x n =+-; （4）2 11n x n =-。 解：（1）此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+所以lim 1n n x →∞ =。 （2)12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====--所以原数列极限不存在。 （3）1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n =-=+=-=+=+- 所以lim 3n n x →∞ =。 (4)12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-=-=-=-=-所以lim 1n n x →∞ =- 2.下列说法是否正确： （1)收敛数列一定有界； （2）有界数列一定收敛； （3）无界数列一定发散； （4）极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：（1)正确. （2）错误例如数列{}(-1)n 有界，但它不收敛。 (3）正确。 (4)错误例如数列21(1)n n x n ??=+-???? 极限为1,极限大于零，但是11x =-小于零。 ＊3。用数列极限的精确定义证明下列极限： （1)1 (1)lim 1n n n n -→∞+-=； （2)222lim 11 n n n n →∞-=++; (3）3 23125lim -=-+∞→n n n 证：(1）对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε >即可,所以可取正整数1 N ε≥. 因此，0ε?>，1N ε???=???? ,当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以 函数的连续性 分段函数的极限和连续性 例 设???????<<=<<=) 21( 1)1( 21 )10( )(x x x x x f （1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间． 分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续． 解：（1）1lim )(lim 1 1 ==- - →→x x f x x 11lim )(lim 1 1 ==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 2 1)1(1 x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续． （3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）． 说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0 x f x f x f x x x x x x →→→+ - =才存在． 函数的图象及连续性 例 已知函数2 4)(2 +-= x x x f ， （1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象； （2）求）x f (的不连续点0x ； （3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数． 分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0 x f x x →，再让)(lim )(0 0x f x f x x →=即可． 解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时，.22 4)(2 -=+-=x x x x f 其图象如下图． （2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2 -=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为 ?? ? ??-=--≠+-=)2(4)2(2 4 )(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数． 说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致． 利用函数图象判定方程是否存在实数根 例 利用连续函数的图象特征，判定方程01523 =+-x x 是否存在实数根． 第一章 函数、极限与连续 (一) 1．区间[)+∞,a 表示不等式( ) A ．+∞< 习题2-1 1. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1) 1 n n x n = + ; (2) 2(1)n n x =--； (3) 13(1)n n x n =+-； (4) 211n x n =-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451 n n x x x x x n =====+L L 所以lim 1n n x →∞=。 (2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====--L L 所以原数列极限不存在。 (3) 1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n =-=+=-=+=+-L L 所以lim 3n n x →∞ =。 (4) 123421111 11,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-= -=-=-=-L L 所以lim 1n n x →∞=- 2.下列说法是否正确： (1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散； (4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。 (2) 错误 例如数列{} (-1)n 有界，但它不收敛。 (3) 正确。 (4) 错误 例如数列21(1) n n x n ?? =+-??? ? 极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。 *3.用数列极限的精确定义证明下列极限： (1) 1 (1)lim 1n n n n -→∞+-=; (2) 22 2 lim 11 n n n n →∞-=++； (3) 3 2 3125lim -=-+∞→n n n 证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--= -=<，只要1 n ε >即可，所以可取正整数1 N ε ≥ . 因此，0ε?>，1N ε?? ?=???? ，当n N >时，总有 1(1)1n n n ε-+--<，所以 函数的极限及函数的连续性典型例题 一、重点难点分析： ① 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 ② 要掌握常见的几种函数式变形求极限。 ③ 函数 f(x)在 x=x 0 处连续的充要条件是在 x=x 0 处左右连续。 ④ 计算函数极限的方法，若在 x=x 0 处连续，则 ⑤ 若函数在 [a,b] 上连续，则它在 [a,b] 上有最大值，最小值。 二、典型例题 例 1 ．求下列极限 解：由 可知 x 2+mx+2 含有 x+2 这个因式， ∴ x=-2 是方程 x 2+mx+2=0 的根， ∴ m=3 代入求得 n=-1。 求 m,n 。 ① ④ ④ ③ ③ ② 解析：① 例 2．已知 的连续性。 解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处 函数是连续的， 从而 f(x)在点 x=-1 处不连续。 ∴ f(x) 在 (- ∞,-1),(- 1,+∞) 上连续， x=-1 为函数的不连续点。 , (a,b 为常数 ) 。 试讨论a,b 为何值时，f(x)在 x=0 处连续。 例 3 ．讨论函数 例 4 ．已知函数 ， ∴ f(x)在 x=1 处连续。 解析： ∴ a=1, b=0 。 例 5 ．求下列函数极限 ① ② 解析：① ② 要使 存在，只需 ∴ 2k=1 ，故 时， 存在。 例7．求函数 在 x=-1 处左右极限，并说明在 x=-1 处是否有极限？ ，∴ f(x)在 x=-1处极限不存在。 三、训练题： 2． 的值是 3. 已知 ，则 = ，2a+b=0，求 a 与 b 的值。 ，求 a 的值。 5．已知 参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0 例 6 ．设 ，问常数k 为何值时，有 存在？ 解析：∵ 4．已知 解析：由 1．已知 多元函数的极限与连续习题 1. 用极限定义证明:14)23(lim 1 2=+→→y x y x 。 2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。 （1）y x y x y x f +-=),(； (2) y x y x y x f 1s i n 1s i n )(),(+=； (3) y x y x y x f ++=23 3),(； (4) x y y x f 1 s i n ),(=。 3. 求极限 （1）2 20 ) (lim 22 y x x y x y +→→； （2）1 1lim 2 2 220 0-+++→→y x y x y x ； （3）2 20 01 sin )(lim y x y x y x ++→→； （4）22220 0) sin(lim y x y x y x ++→→。 4. 试证明函数?? ???=≠+=0 0)1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上是连续的。 1. 用极限定义证明:14)23(lim 2 1 2=+→→y x y x 。 因为1,2→→y x ，不妨设0|1|,0|2|<-<-y x ， 有54|2||42||2|<+-≤+-=+x x x ， |22123||1423|2 2 -+-=-+y x y x |1|2|2|15|1|2|2||2|3-+-<-++-≤y x y x x |]1||2[|15-+- 第二章 极限与连续习题答案 练习题2.1 1. （1）1 （2）0 （3）不存在 （4）不存在 2. （1）0 （2）不存在 3. （1）不存在 （2）0 4. 5123 lim ()14,lim ()2,lim ()2,lim ()4x x x x f x f x f x f x →-→→→==== 练习题2.2 1. （1）0sin 7lim 7x x x →= （2）0tan 2lim 2x x x →= （3）0sin 55lim sin 33 x x x →= （4）3lim sin 3x x x →∞= 2. （1）55511lim(1)lim (1)x x x x e x x →∞→∞??+=+=??? ? （2）22211lim(1)lim (1)x x x x e x x ---→∞→∞??-=+=??-? ? （3）21 12200lim(12)lim (12)x x x x x x e ---→→??-=-=???? （4）2232 33 003lim()lim (1)33x x x x x x e ---→→??--=+=???? 练习题2.3 1. （1）无穷小 （2）无穷大 （3）无穷小 （4）无穷大 2. x →∞时函数为无穷小；2x →时函数为无穷大 3. （1）202lim sin 0x x x →= （2）11lim(1)cos 01 x x x →-=- 练习题2.4 未定式及极限运算 1. （1）4233lim 01 x x x x →-=++ （2）223lim 2 x x x →-=∞- （3）322042lim 032x x x x x x →-+=+ （4）252lim 727 x x x →∞-=+ （5）2423lim 01 x x x x →∞-=++ （6）211113132lim()lim lim 11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x →→→+---===∞---+-+ 2. 22222 2lim ()lim(2)6,lim ()lim()2,lim (),4x x x x x f x x f x x m m f x m ++--→→→→→=+==+=+∴= 存在 练习题2.5函数的连续 1. 1y ?=- 2. （1）(1,)-+∞ （2）(,0)(0,)-∞+∞ 3. 12 x =连续 1x =不连续 2x =连续 4. （1）1x =-第二类间断点 （2）4x =第一类间断点 5. 证明：设5()31,f x x x =--则()f x 在(,)-∞+∞内连续，所以()f x 在[]1,2内也连续，而 (1)30,(2)250f f =-<=>，所以，根据零点定理可知，至少有一个12ξ∈（，） ，使得()0f ξ=，即方程531x x -=至少有一个实根介于1和2之间。 复习题二 1. 判断题 （1） X （2） √ （3） X （4） X （5） √ （6） √ （7） X （8） X （9） X （10）X （11）X （12）√ （13）X （14）X （15）√ （16）X （17）√ （18）√ （19）√（20）X （21）√ （22）X 2. 填空题 二元函数的极限 二元极限存在常用夹逼准则证明 例1 14)23(lim 2 12=+→→y x y x 例2 函数?? ???+=01sin 1sin ),(，x y y x y x f .00=≠xy xy ，在原点（0,0）的极限是0. 二元极限不存在常取路径 例3 证明：函数）），（，，00)(()y (442≠+=y x y x y x x f 在原点（0，0)不存在极限. 与一元函数极限类似，二元函数极限也有局部有限性、极限保序性、四则运算、柯西收敛准则等. 证明方法与一元函数极限证法相同，从略. 上述二元函数极限)(lim 0 0y x f y y x x ，→→是两个自变量x 与y 分别独立以任意方式无限趋近于0x 与0y .这是个二重极限. 二元函数还有一种极限： 累次极限 定义 若当a x →时（y 看做常数），函数)(y x f ，存在极限，设当b y →时，)(y ?也存在极限，设 B y x f y a x b y b y ==→→→)(lim lim )(lim ，?， 则称B 是函数)(y x f ，在点)(b a P ，的累次极限.同样，可定义另一个不同次序的累次极限，即 C y x f b y a x =→→)(lim lim ，. 那么二重极限与累次极限之间有什么关系呢？一般来说，它们之间没有蕴含关系. 例如： 1)两个累次极限都存在，且相等，但是二重极限可能不存在. 如上述例3. 2)二重极限存在，但是两个累次极限可能都不存在. 如上述的例2. 多重极限与累次极限之间的关系 定理 若函数)(y x f ，在点），000(y x P 的二重极限与累次极限（首先0→y ，其次0→x ）都存在，则 )(lim lim (lim 0 000y x f y x f y y x x y y x x ，），→→→→=. 二元函数的连续性 定理 若二元函数)(P f 与()P g 在点0P 连续，则函数)()(P g P f ±，)()(P g P f ，) ()(P g P f （0)(0≠P g ）都在点0P 连续 第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数: 第二章 极限与连续 教学要求 1.理解数列极限和函数极限(包括左、右极限)的概念，理解数列极限与函数极限的区别与联系。 2.熟练掌握极限的四则运算法则，熟练掌握两个重要极限及其应用。 3.理解无穷小与无穷大的概念，掌握无穷小比较方法以及利用无穷小等价求极限的方法。 4.理解函数连续性(包括左、右连续)与函数间断的概念，了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值与最小值定理和介值定理），并能灵活运用连续函数的性质。 教学重点 极限概念，极限四则运算法则；函数的连续性。 教学难点 极限定义，两个重要极限；连续与间断的判断。 教学内容 第一节 数列的极限 一、数列 1.数列的概念； 2.有界数列； 3.单调数列； 4.子列。 二、数列的极限 三、数列极限的性质与运算 1.数列极限的性质； 2.数列极限的运算法则。 第二节 函数的极限 一、函数极限的概念 1.自变量趋于有限值时函数的极限； 2.自变量趋于无穷大时函数的极限。 二、函数极限的性质 第三节 函数极限的运算法则 一、函数极限的运算法则 二、复合函数的极限运算法则 三、两个重要极限 1.重要极限1 1sin lim 0=→x x x ； 2.重要极限2 e x x x =+∞→)11(lim 或e x x x =+→1 0)1(lim 。 第四节无穷大与无穷小 一、无穷小 二、无穷大 第五节函数的连续性与间断点 一、函数的连续性概念 1.函数的增量； 2.函数的连续性 二、函数的间断点 第六节连续函数的性质 一、连续函数的和、差、积、商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 四、闭区间商连续函数的性质 第七节 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作 x ?，即x ?＝1x －2x 。（增量可正可负）。 例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=?+x x 时，函数值的改变量。 2．函数在点连续的定义 定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量 x ?=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ?＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当 0x x →时的极限存在，即)()(lim 00 x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数 ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值 )(x f 都满足不等式：ε <-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。 注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝)(x f 在点0x 有定义） ，（2） )(lim 0 x f x x →存在；（3）)()(lim 00 x f x f x x =→。 3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义： （1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续?)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且 )()(lim 000 x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。 （2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续?)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且 )()(lim 000 x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。 显然，函数y ＝)(x f 在点0x 处连续?函数y ＝)(x f 在点0x 处既左连续又右连 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作x ?，即x ?＝1x －2x 。（增量可正可负）。 例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=?+x x 时，函数值的改变量。 2．函数在点连续的定义 定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量x ?=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ?＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当 0x x →时的极限存在，即)()(lim 00 x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值)(x f 都满足不等式：ε<-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。 注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝ )(x f 在点0x 有定义），（2） )(lim 0x f x x →存在；（3）)()(lim 00 x f x f x x =→。 3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义： （1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续?)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。 （2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续?)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。 显然，函数y ＝)(x f 在点0x 处连续?函数y ＝)(x f 在点0x 处既左连续又右连 数学分析 第16章多元函数的极限与连续计划课时： 1 0 时 第16章 多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 ) § 1 平面点集与多元函数 一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}. 余集c E . 1. 常见平面点集: ⑴ 全平面和半平面 : }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >, }|),{(b ax y y x +≥等. ⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ?, 1||||),{(≤+y x y x }. ⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环，圆的一部分. 极坐标表示, 特别是 }cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤. ⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r . ⑸ 简单域: -X 型域和-Y 型域. 2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域. 空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集 }||0 , ||0|),{(00δδ<-<<- 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以() x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值． 第 6 次课 2 学时 §1.9 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 连续性是函数的重要性态之一，在实际问题中普遍存在连续性问题，如气温的变化，物体速度的变化，动植物的生长等。这些现象在函数上的反映，就是函数的连续性问题。 1．函数的增量 一个变量u 由初值1u 变到终值2u ，终值与初值之差称为u 的增量( 或改变量)，记作 1,u u ??-2即 u=u 对于函数()y f x =，设它在0x 及0x 的某个邻域内有定义，在0x 处给自变量 x 一个增量x ?，则函数有相应的增量00((y y f x f x ??=?， +x)- ) （几何解释） 21()2 1.f x x =-??例设分别求： (1) x 由１变到1.2时， （2) x 由１变到0.8时， 的增量x 和y . 解：（略） 2．函数的连续性 如果自变量 x 的增量 x ?很小时，函数y 的增量y ? 也很小，则说明函数是随着自变量的渐变而渐变的，这时称函数是连续的。 定义 1：设)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，如果当自变量x 在0x 的增量0x ?→时，相应函数的增量00()()0y f x x f x ?=+?-→，就称函数)(x f y =在0x 点处连续。 注 ：)(x f 在0x 点连续0lim 0x y ?→??=。 例2 ：证明函数2 ()21f x x =-在x=1 处连续。 证明：函数的定义域为(),-∞+∞，在x=1 的邻域内有定义。 ()()()()2222002:1112*1142lim lim 420()211x x x x x x y x x f x x x ?→?→→+?→??????---=?+??? ???=?+?=? ?=-= ， f(x): f(1)f(1+x) y=f(1+x)-f(1)=21+x 故 在 处连续 ． （类似可证该函数在其定义域内的任意一点处都连续。） 高等数学函数极限与连续习题及答案 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与 ()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． §2.3 二元函数的极限与连续 定义设二元函数在点的某邻域内有意义, 若存在 常数A,,当（即）时，都有 则称A是函数当点趋于点时的极限,记作 或 或或。必须注意这个极限值与点趋于点的方式无关,即不论P 以什么方 向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向。只要P与充分接近, 就能 使与A 接近到预先任意指定的程度。注意：点P趋于点点方式可有无穷多 种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。 图8-7 同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,极限 存在,但不相等, 则可以判定在该点极限不存在。这是判断多元函数极限不 存在的重要方法之一。 一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二 元函数极 限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。 例如若有, 其中 求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理 来计算。例4 求。解由于 而,根据夹逼定理知 ,所以 例5求（a≠0)。解。例6求。解由于且 ,所以根据夹逼定理知 . 例7 研究函数在点处极限是否存在。解当x2+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于 （0，0）的极限，有,。很显然，对于不同的k值，可得到不同的极 限值,所以极限不存在,但 。注意：的区别, 前面两个求极限方式的 本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的 极限,我们称为求二重极限。 例8 设函数。它关于原点的两个累次极限都不存在,因 为对任何,当时,的第二项不存在极限；同理对任何 时,的第 一项也不存在极限,但是, 由于, 因此 由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。由例8可知,二重极限存 在,但二个累次极限不存在。我们有下面的结果: 定理1若累次极限和二重极限 都存在,则 三者相等（证明略）。推论若存在但 第二章.极限概念 函数的连续性 对于函数的概念，我们总是能够从日常直观出发，就能很好地加以理解，因为毕竟因果关系的观念在我们的意识当中是非常深根蒂固的。那么要真正严格地理解极限的观念，就不是那么自然的了。 对于极限的观念，最为关键的问题是，如何定量地加以描述，并把这种描述作为一般的判别标准。 这个问题实际上困扰了人们几百年，一直到19世纪才加以解决的。 数列的极限描述（数列存在极限判别定理，定义法、柯西法、子数列法、夹逼法、单调有界法） 设存在一个数列，也就是一个数值的集合，这个集合的元素可以一个一个的数出来，同时每一个元素都可以加上唯一的标志，而自然数是最为适宜作这件工作的。比如说，把一个数列写成这样的样子：,....,,321a a a ，或者简单地记成{}a n 。 观察这个数列取值变化， 有的数列变化具有下面的变化规律： 对于数列,....,,321a a a ，假设存在一个确定的常数a ，现在我们考虑变量a a n -（显然这是一个反映数列数值变化的，随着n 而发生变化的变量。），如果我们任意找到一个数ε，无论它的数值有多么大或者多么小，我们总是能够在这个数列当中找到一个元素a N ，使得在这个a N 元素后面的所有的数列元素，都使得相应的变量a a n -的值小于ε， 换一句话来说，对于任意的ε，总是存在一个N ，当n>N 时， 总是有ε <-a a n 成立 这时我们就把a 称为数列,...,,321a a a 的极限。并且称数列 ,....,,321a a a 收敛于极限a 。我们使用记号a a n n =∞→lim 来表示该数列极限。 否则我们就说数列{}a n 是发散的。一、多元函数、极限与连续解读
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