Edward Taylor

Edward Taylor

●(c. 1642 – 1729)

●Born in Leicestershire, England in 1642.

●Not much is know about him before his arrival in Boston in 1668.

●Admitted to Harvard; graduated in 1671.

●Went to settlement of Westfield as minister & remained there for the rest of his life.

●Married twice

●14 children

●Acted as physician for town as well as being their spiritual leader.

●Although his poems were composed in the late 17th & early 18th centuries, they were not

made available to the reading public until over 200 years later.

●Fundamental religious ideas were identical to those of John Calvin (Calvinism).

●His library contained only one book of poetry: a copy of Anne Bradstreet’s collection.

●Manuscript of his works inherited by his grandson, Ezra Stiles.

●Respected injunction th at “his heirs should never publish it.”

●Given to library at Yale during Stiles’ presidency there.

●Remained there until their discovery in 1937.

●His activities as a preacher in the wilderness takes on significance of his poetry.

●Had they been different, his poetry would not be what it is.

●His preaching so influenced his poetry that the poems lose their full importance if

separated from his sermons.

●Collection of sermons “Christographia”

●Composed sermons at 6-week intervals

●After each one – before delivering it – he composed the poetic meditation.

●Regarded his meditations as sacramental acts of private devotion & worship.

●Used them for the cleansing of his soul & to put him in the correct spiritual

frame of mind

●In preparation for administering Lord’s Supper

●In preparation for his eternal heavenly union with Christ

●Primarily were addressed to God or to Christ (and not to any other reader, public or

private).

●More than 200 preparatory meditations preserved

●All are entirely religious in subject matter.

●Motivated by poet’s sincere and intense religious beliefs.

●Edward Taylor

●Imagery used by Taylor :

●Images of writing

●Images of warfare

●Images of gardens & vegetation

●Images of feasting & communion

●Images of spinning & weaving

●Recurrent theme:

●Fear that his heart has grown cold toward God and the hope that, through God’s

grace, his affections will be warmed.

最新泰勒展开式在高考题中的应用

泰勒展开式在高考题中的应用 莲塘一中 李树森 高中数学中函数导数部分占据了重要的位置,高考试题中函数导数题往往也是以难题、压轴题形式出现.如何应对函数导数难题？高等数学中有一些知识、方法与中学数学相通,本文针对一类函数导数问题借助高等数学中的泰勒展开式解决该类初等数学问题. 如果函数()f x 在定义域I 上有定义,且有1n +阶导数存在,0,x x I ∈,则 ()200000001()()()()()()()...()1!2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R n +'''=+-+-++-+, 其中(1)110()()(1)! n n n f R x x n ξ+++=-+,其中ξ介于x 和0x 间.上式即为函数()f x 在0x 点处的泰勒展开式.[1] 令()ln(1)f x x =+,00x =,有23 11ln(1)...(1)23n n n x x x x x R n -++=-+++-+. 上式可以进行放缩,比较ln(1)x +和x 、2 2 x x -的大小, 可以得到不等式：2 ln(1)2 x x x x -≤+≤,(0)x ≥. （*） 下面证明该不等式. 证明：设2()ln(1)2x h x x x =--+,2 1()10,(0)11 x h x x x x x -'=--=≤≥++,则()h x 在[0,)+∞单调递减,()(0)0h x h ∴≤=,即有2 ln(1)2 x x x -≤+,当0x =时取等号. 设()ln(1)f x x x =+-,1()10,(0)11 x f x x x x -'=-=≤≥++,则()f x 在[0,)+∞单调递减, ()(0)0f x f ∴≤=,即有ln(1)x x +≤,当0x =时取等号. 综上所述,有不等式：2 ln(1)2 x x x x -≤+≤,(0)x ≥,当0x =时取等号. 如图所示： 例题展示 考题1 （2015年福建卷理科20题） 已知函数()ln(1),(),()f x x g x kx k R =+=∈ （1）证明：当0x >时,()f x x <； （2）证明：当1k <时,存在00x >,使得对任意的0(0,)x x ∈,恒有()()f x g x >； （3）确定k 的所有可能取值,使得存在0t >,对任意的(0,)x t ∈,恒有2 ()()f x g x x -<. 解析：（1）在对（*）式的证明过程中已经体现.

机械工程学专业词汇英语翻译

t t 型梁 t t 型尾翼 补翼 转速表 视距仪 滑车组 接触式传感器触觉感受器 尾部 尾部面积 拖尾带 尾部激波 尾旋 尾水 水平尾翼 尾水沟 起飞距离 功率提取 起飞速度 深泓线 塔曼原理 捣固 切线长度 切线 切向法

切线模数 切平面 切向加速度切向分量 切向位移 切向力 切向荷载 切向压力 切向阻力 切向速度 切向应力 切向量 切向速度 切向风应力槽 机翼根梢比皮重 目标 等时降落轨迹滑行 泰勒效应 泰勒展开 泰勒流 泰勒公式

泰勒不稳定性泰勒微尺度 泰勒级数 泰勒涡流 泰勒平行涡系撕裂试验 裂开 撕裂不稳定性 撕开型裂纹诊断工程学 构造的 构造分析 构造地震 构造应力 远程控制 遥测计 遥控机械手 遥测 遥测计 遥测 遥控机械手 望远镜的 远程温度计 回火脆性

温度边界层温度系数 温度传导率温度第 温度补偿 温度曲线 温度差 温度分布 温度降差 温度效应 温度降差 温度涨落 温度梯度 温度下减率平衡温度温度振荡 温度剖面图温度范围 温度下降 温度弛豫 温升 热应力 热应力 温度波

暂时硬度 暂时应变 粘性 拉的 拉伸应变 拉力图 张力 拉伸破坏 拉伸冲豢度 拉伸载荷 拉伸弹性模量抗拉刚度 抗拉刚度 抗张应变 抗拉强度 拉伸应力 抗拉应力场 张力试验 高温张力试验 抗张试样 拉力试验机 张力波 抗拉屈服强度

张力 受拉斜杆 拉力测力计 张力场 拉伸破坏 张力冲辉验 拉伸载荷 张力消除 紧边 抗张试样 拉簧 拉伸应变 拉伸应变 张力波 张量 张量分析 张量耦合 张量密度 张量场 张量力 有限转动张量 惯性张量 张量势

泰勒公式及泰勒级数的应用

摘要：多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容。而函数的泰勒公式就是其中比较典型的一种。 本文先介绍泰勒公式和泰勒级数，然后再深入的分析和探讨了泰勒公式和泰勒级数在近似计算、极限计算、求函数值、不等式的证明以及判断级数敛散性等几个方面的应用。 关键字：泰勒公式；泰勒级数；应用

目录 目录 1 引言 (3) 2预备知识 (4) 2.1泰勒公式 (4) 2.2泰勒级数和泰勒展开式 (4) 2.3常见函数的展开式 (6) 3泰勒公式与泰勒级数的应用 (7) 3.1用泰勒公式进行近似计算 (7) 3.2利用泰勒公式进行极限计算 (7) 3.3求函数的极值和不等式的证明 (8) 3.4判断或证明级数的敛散性 (9) 3.5用泰勒公式求行列式的值 (9) 3.6 泰勒公式在经济学中的应用 (10) 3.7用泰勒级数解微分方程 (11) 4结论 (14) 参考文献 (15) 致谢 (14)

1引 言 泰勒公式是高等数学中非常重要的内容，它将一些复杂的函数近似表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的方法，使它成为分析和研究其他数学的有力杠杆，并且在经济学上有一定的应用。泰勒公式的问世，使得许多以前难以解决或是不能解决的问题都得到了解决。 泰勒级数使得幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。而实际应用中，我们需要把泰勒级数截断，只取有限项，泰勒定理可以用于估算这种近似的误差。 泰勒公式中含有有限多项, 泰勒级数中含有无限多项, 泰勒公式不是泰勒级数, 泰勒级数也不是泰勒公式。当()f x 的各阶导数都存在时，()f x 的泰勒级数在收敛情况下一定等于()f x ；但不论()f x 的泰勒级数是否收敛,只要()f x 有1n 阶导数, 就有泰勒公式成立。可见泰勒级数收敛时,与泰勒公式结果一致,都是()f x 。 泰勒公式在理论研究和数值计算中具有广泛的应用, 泰勒级数是函数项级数的特例, 泰勒公式和泰勒级数在解决实际问题中有某些的相似性, 但是它们引入不同, 因此还是有一定的差异性。泰勒公式是通过重复运用柯西中值定理得来的, 过程比较复杂；泰勒级数属于函数项级数中的幂级数。千万不要把泰勒公式和泰勒级数混为一谈。

泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应用 数学学院数学与应用数学专业 2009级杨立 指导教师吴春 摘要:泰勒公式以一种逼近的思想成为数学分析中的一个重要知识，在分析和研究数学问题中有着重要的作用。本文研究了利用泰勒公式证明微分中值定理，求函数的极限，进行近似计算，求函数的高阶导数和偏导数等方面的应用，恰当的运用泰勒公式能够给我们的解题带来极大的方便。 关键词：泰勒公式；微分中值定理；极限；高阶导数；偏导数 Abstract:Taylor formula is an important knowledge of mathematics analysis in an approximation of the thought, and it plays an important role in the analysis and study of mathematical problems. This paper studies the application of the Taylor formula in proving differential mean value theorem, the limit of function, approximate calculation, the application of high order derivative for function and partial derivative, and using Taylor formula appropriate can bring great convenience to our problem. Keywords:Taylor formula; approximate calculation; limit; higher derivative; partial derivative 引言 泰勒公式最早是以泰勒级数的形式出现在泰勒1715年出版的著作《增量及其逆》中，但在该书中却没有给出具体的证明，直到19世纪由柯西给出了现在的形式及其严格的证明。泰勒公式是一种逼近的思想，集中体现了逼近法的精髓，可以将有理分式函数﹑无理函数和初等超越函数等复杂函数用简单的多项式函

微通道内气_液弹状流动及传质特性研究进展_尧超群

2015年8月 CIESC Journal ·2759· August 2015第66卷 第8期 化 工 学 报 V ol.66 No.8 微通道内气-液弹状流动及传质特性研究进展 尧超群1，乐军2，赵玉潮1，陈光文，袁权1 （1中国科学院大连化学物理研究所，辽宁 大连 116023；2格罗宁根大学化学工程系，荷兰 格罗宁根 9747 AG ） 摘要：气-液弹状流，又称Taylor 流，是一种以长气泡和液弹交替形式流动的流动形态。微通道内气-液弹状流因其气泡与液弹尺寸分布均一、停留时间分布窄、径向混合强等优点，是一种适于强化气-液反应的理想流型。本文首先介绍了微通道内气泡的生成机理、气泡和液弹长度，以及气泡生成阶段的传质特征。其次系统综述了主通道中弹状流动及传质过程的研究进展，包括气泡形状与液膜厚度、液弹内循环和泄漏流特征、气-液传质系数的测量与预测，以及物理与化学吸收过程中的传质特性等方面内容。最后阐述了当前研究的不足并展望了气-液弹状流的研究方向。 关键词：多相流；微通道；微反应器；气泡；传质 DOI ：10.11949/j.issn.0438-1157.20150820 中图分类号： TK 124 文献标志码：A 文章编号：0438—1157（2015）08—2759—08 Review on flow and mass transfer characteristics of gas-liquid slug flow in microchannels YAO Chaoqun 1, YUE Jun 2, ZHAO Yuchao 1, CHEN Guangwen 1, YUAN Quan 1 (1Dalian Institute of Chemical Physics , Chinese Academy of Sciences , Dalian 116023, Liaoning , China ; 2Department of Chemical Engineering , University of Groningen , 9747 AG Groningen , The Netherlands ) Abstract: Gas-liquid slug flow (also termed as Taylor flow) is a flow pattern characterized by the alternate movement of elongated bubbles and liquid slugs. Gas-liquid slug flow operation in microchannels has been found important implications in the enhancement of gas-liquid reactions due to its advantages such as easy control, uniform bubble and slug size, narrowed residence time distribution as well as enhanced radial mixing. This review presents the basic conceptions and recent research progress on flow and mass transfer characteristics during the gas-liquid slug flow in microchannels. The gas bubble formation mechanisms, the corresponding bubble and liquid lengths, and mass transfer during bubble formation are summarized. For regular slug flow in the main section of microchannels, several important aspects are addressed including bubble cross-sectional shape and liquid film profile, internal liquid recirculation and leakage flow through the gutters, gas-liquid mass transfer coefficients and coupling phenomena between flow and mass transfer in physical and chemical absorption processes. Finally, an outlook is given for future research directions in this field. Key words : multiphase flow; microchannel; microreactor; bubble; mass transfer 2015-06-03收到初稿，2015-06-18收到修改稿。 联系人：陈光文。第一作者：尧超群（1989—），男，博士研究生。基金项目：国家自然科学基金项目（21225627，21376234）。 Received date: 2015-06-03. Corresponding author: Prof. CHEN Guangwen, gwchen@https://www.wendangku.net/doc/c51442677.html, Foundation item: supported by the National Natural Science Foundation of China (21225627, 21376234).

泰勒展开式在高考题中的应用

泰勒展开式在高考题中的应用 河北正定中学 （050800） 温绍雄 高中数学中函数导数部分占据了重要的位置,高考试题中函数导数题往往也是以难题、压轴题形式出现.如何应对函数导数难题？高等数学中有一些知识、方法与中学数学相通,本文针对一类函数导数问题借助高等数学中的泰勒展开式解决该类初等数学问题. 如果函数()f x 在定义域I 上有定义,且有1n +阶导数存在,0,x x I ∈,则 ()200000001()()()()()()()...()1!2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R n +'''=+-+-++-+, 其中(1)110()()(1)! n n n f R x x n ξ+++=-+,其中ξ介于x 和0x 间.上式即为函数()f x 在0x 点处的泰勒展开式.[1] 令()ln(1)f x x =+,00x =,有23 11ln(1)...(1)23n n n x x x x x R n -++=-+++-+. 上式可以进行放缩,比较ln(1)x +和x 、2 2 x x -的大小, 可以得到不等式：2 ln(1)2 x x x x -≤+≤,(0)x ≥. （*） 下面证明该不等式. 证明：设2()l n (1)2x h x x x =--+,2 1()10,(0)11 x h x x x x x -'=--=≤≥++,则()h x 在[0,)+∞单调递减,()(0)0h x h ∴≤=,即有2 ln(1)2 x x x -≤+,当0x =时取等号. 设()ln(1)f x x x =+-,1()10,(0)11 x f x x x x -'=-=≤≥++,则()f x 在[0,)+∞单调递减, ()(0)0f x f ∴≤=,即有ln(1)x x +≤,当0x =时取等号. 综上所述,有不等式：2 ln(1)2 x x x x -≤+≤,(0)x ≥,当0x =时取等号. 如图所示：

《泰勒公式及其应用》的开题报告

《泰勒公式及其应用》的开题报告 《泰勒公式的验证及其应用》的开题报告 关键词：泰勒公式的验证数学开题报告范文中国论文开题报告 1．本课题的目的及研究意义 目的：泰勒公式集中体现了微积分、逼近法的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。泰勒公式是非常重要的数学工具，现对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。 研究意义：在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数以一种“逼近”的思想，用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的。 2．本课题的研究现状 数学计算中泰勒公式有广泛的应用，需要选取点将原式进行泰勒展开，如何选取使得泰勒展开后，计算的结果在误差允许的范围内，并且使计算尽量简单、明了。泰勒公式是一元微积分的一个重要内容，不仅在理论上有重要的地位，而且在近似计算、极限计算、函数性质的研究方面也有重要的应用。对于泰勒公式在高等代数中的应用，还在研究中。

3．本课题的研究内容 对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。 本课题将从以下几个方面展开研究： 一、介绍泰勒公式及其证明方法 二、利用泰勒公式求极限、证明不等式、判断级数的敛散性、证明根的唯一存在性、判断函数的极值、求初等函数的幂级数展开式、进行近似计算、求高阶导数在某些点的数值、求行列式的值。 三、结论。 4．本课题的实行方案、进度及预期效果 实行方案： 1.对泰勒公式的证明方法进行归纳； 2.灵活运用公式来解决极限、级数敛散性等问题； 3.研究实际数学问题中有关泰勒公式应用题目，寻求解决问题的途径。 实行进度： 研究时间为第8学期，研究周期为9周。 1．前期准备阶段： 收集有关信息进行分析、归类，筛选有价值的信息，确定研究主题；制定课题计划，学习理论。 2．研究阶段：20XX年12月—20XX年4月

微反应器内入口结构对Taylor气泡形成过程的影响

2014年3月 CIESC Journal ·1· March 2014第65卷 第3期 化 工 学 报 V ol.65 No.3 微反应器内入口结构对Taylor 气泡形成过程的影响 党敏辉1, 2，任明月1, 2，陈光文1 （1中国科学院大连化学物理研究所，辽宁 大连 116023；2中国科学院大学，北京 100049） 摘要：采用计算流体力学方法，考察了微通道入口结构、气液比及两相混合速度对Taylor 气泡形成过程的影响， 模拟结果与可视化实验符合良好。与单纯流体体积法相比，水平集法（level set ）和流体体积法（volume of fluid ）相耦合的方法（coupled level set and volume of fluid method ，CLSVOF ）可获得更精确的气液界面，且CLSVOF 法 结果与实验结果更符合。数值模拟结果发现，通道入口结构及气液比对气泡长度、气泡生成频率及气泡体积有很 大影响。气液比恒定，不同通道入口结构，两相混合速度对气泡长度有不同影响。 关键词：泰勒流；两相流；计算流体力学；微通道；微反应器；入口结构 DOI ：10.3969/j.issn.0438-1157.2014.03.006 中图分类号：O 359.1 文献标志码：A 文章编号：0438—1157（2014）03—0805—08 Effect of microchannel inlet configuration on Taylor bubble formation in microreactors DANG Minhui 1, 2, REN Mingyue 1, 2, CHEN Guangwen 1 (1Dalian Institute of Chemical Physics , Chinese Academy of Sciences , Dalian 116023, Liaoning , China ; 2University of Chinese Academy of Sciences , Beijing 100049, China ) Abstract : The effects of microchannel inlet configuration, gas-liquid flow ratio and two-phase mixture velocity on Taylor bubble formation were investigated via computational fluid dynamics (CFD) method, and the simulated values were in good agreement with the visualization experimental results. Compared with the volume of fluid method (VOF),the coupled level set and volume of fluid method (CLSVOF) could get a more accurate gas-liquid interface, and the bubbles obtained by the CLSVOF method were more consistent with the experimental measurements. The results of numerical simulation showed that microchannel inlet configuration and gas-liquid flow ratio had a great influence on bubble length, bubble generation frequency and bubble volume. For the same gas-liquid flow ratio and different inlet configurations, two-phase mixture velocity had different effects on bubble length. Key words: Taylor flow; two-phase flow; CFD; microchannels; microreactor; inlet configuration 引 言 经过二十多年的发展，得益于高效的传热及传 质特性，微化工技术已成为化学工业中一种重要的 过程强化技术[1-4]。其中，微通道反应器中的Taylor 流更是受到广泛关注。Taylor 流特征决定其在许多 化工过程中都有应用前景，如纳米颗粒合成[5-6]及气液反应等[7-10]。Taylor 流是气液两相流中操作范围 2013-08-12收到初稿，2013-09-25收到修改稿。 联系人：陈光文。第一作者：党敏辉（1984—），男，博士研究生。基金项目：国家自然科学基金项目（21225627，21106141）。 Received date ：2013-08-12. Corresponding author: Prof. CHEN Guangwen, gwchen@https://www.wendangku.net/doc/c51442677.html, Foundation item: supported by the National Natural Science Foundation of China (21225627, 21106141).

旋转流变仪MARS 40 60中文版

Thermo Scientific HAAKE MARS 流变仪模块化流变仪工作站 探索 MARS新篇章

MARS 特点 01面向未来 “我们为您提供的产品可以充分满足您目前的要求，而且这些产品无一例外能支持您未来的应用。” HAAKE MARS 工作站的灵活性，让您在实验室中面对新材料快速变化的测试需求游刃有余。模块化设计的改进，为制药、石化、矿业、化妆品、食品、油漆涂料以及聚合物领域中最严格的分析提供更多选择。 作为科学服务领域的世界领导者，我们为高级质量控制与应用研究领域的科学家们提供高性能的流变仪。在模块化流变仪工作站（MARS ）的开发过程中，我们主要强调Thermo Scientific?HAAKE? MARS? 流变仪平台的以下几大特点： ? 面向未来? 准确性? 易用性? 模块化 ? 针对应用的解决方案 2

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泰勒公式的应用

泰勒公式及其应用

摘要 文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。 关键词：泰勒公式，最优化理论，应用

一、泰勒公式 1.1 一元泰勒公式 若函数)(x f 在含有x 的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和： 1 0)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()!1() (++-+n n x x n f ξ ξ在x 和0x 之间的一个数， 该余项)(x R n 为拉格朗日余项。 1.1.1 泰勒公式的推导过程 我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式： n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= 来近似表达函数)(x f ； 设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以 )(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 !2)(02x f a ''= n n a n x p !)(0) (=，所以有! )(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(! )()(!2)())(()()(00)(2 00000-++-''+ -'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明 我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）： 设)()()(x p x f x R n -= 于是有0)()()(000=-=x p x f x R n 所以有0)()()()(0) (000===''='=x R x R x R x R n n n n n 根据柯西中值定理可得： n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ 1ξ是在x 和0x 之间的一个数； 对上式再次使用柯西中值定理，可得：

泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应用 [摘 要] 文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,针对泰勒公式的应用讨论了九个问题， 即应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性,判断函数的极值,求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值. [关键词] 泰勒公式；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值;展开式;近似计算;行列式. １ 引言 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识 定义2.1]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有 '''200000()() ()()()()1!2! f x f x f x f x x x x x =+-+-+ ()000() ()(())! n n n f x x x o x x n +-+- （1） 这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式. 当0x =0时,（1）式变成)(! )0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n n n x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式 为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.

定义2.2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则 ''()' 2 0000000()()()()()()()...()()2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ , （2）这里 ()n R x 为拉格朗日余项(1)10() ()()(1)! n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒 公式. 当0x =0时,（2）式变成''()' 2(0)(0)()(0)(0)...()2!! n n n f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式. 常见函数的展开式： 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ . )()! 12()1(!5!3sin 221 253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)! n n n x x x x x o x n =-+-++-+ . )(1 )1(32)1ln(11 32++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . )(111 2n n x o x x x x +++++=- +-+ +=+2 ! 2)1(1)1(x m m mx x m . 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得

函数泰勒展开式的应用【文献综述】

毕业论文文献综述 数学与应用数学 函数泰勒展开式的应用 1、本课题研究的意义 多项式是最简单的函数。因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是高等数学中的重要内容，在各个领域有着广泛的应用，例如在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明，求函数在某点的高阶导数值等方面。除此以外，泰勒公式及泰勒级数的应用，往往能峰回路转，使问题变得简单易解。 2、目前国内的研究现状 本人以 1999—2010 十一年为时间范围，以“泰勒公式”“泰勒公式的应用”、为关键词，在中国知网以及万方数据等数据库中共搜索到 30 余篇文章，发现国内外对泰勒公式及其研究进展主要分配在:1、带不同型余项泰勒公式的证明；2、泰勒公式的应用举例。 3、本课题的研究方向和重点 泰勒公式是高等数学中的一个重要的内容, 但一般高数教材中仅介绍了如何用泰勒公式展开函数, 而对泰勒公式的应用方法并未进行深入讨论在高等数学教材中, 一般只讲泰勒公式, 对其在解题中的应用介绍很少。但泰勒公式在解决一些问题中确实有十分重要的作用。 一、带不同型余项泰勒公式的证明，即：1.带皮亚诺余项的泰勒公式；2.带拉格朗日余项的泰勒公式；3.带积分型余项的泰勒公式的证明。 二、泰勒公式的应用举例。本次论文将涉及到泰勒公式在以下七个方面的应用： 1、泰勒公式在极限计算中的应用；在函数极限运算中, 不定式极限的计算始终为我们所注意, 因为这是比较困难的一类问题。计算不定式极限我们常常使用洛必达法则或者洛必达法则与等价无穷小结合使用。但对于有些未定式极限问题若采用泰勒公式求解, 会更简单明了。我将在论文中就例题进行探讨。 2、泰勒公式在判定级数及广义积分敛散性中的应用；泰勒公式是微分学中值定理推广。然而它在判断级数和广义积分的敛散性中的应用则很少提及, 事实上, 它在这方面的应用起着不可替代的 作用, 我将通过应用泰勒公式对无穷小量或无穷大量的阶进行估计, 寻找简便有效的判定级数及 广义积分的敛散性的方法。 3、泰勒公式在行列式中的应用；函数的泰勒公式在数值计算及数学

泰勒公式与导数的应用

泰勒公式与导数的应用

巩固练习 ★1.按)1(-x 的幂展开多项式43)(24++=x x x f 。 知识点：泰勒公式。 思路：直接展开法。求)(x f 按)(0x x -的幂展开的n 阶泰勒公式，则依次求)(x f 直到1+n 阶的导 数在0x x =处的值，然后带代入公式即可。 解：3 ()46f x x x '=+，(1)10f '=；2 ()126f x x ''=+，f (1)18''=； ()24f x x '''=，(1)24f '''=；24)()4(=x f ；24)1()4(=f ；0)()5(=x f ； 将以上结果代入泰勒公式，得 (4)23 4 (1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)(1)1!2!3!4!f f f f f x f x x x x ''''''=+-+-+-+-432)1()1(4)1(9)1(108-+-+-+-+=x x x x 。 ★★2.求函数 x x f =)(按)4(-x 的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。 知识点：泰勒公式。 思路：同1。 解 ：()f x '= ， 1(4)4f '=；321()4f x x -''=-，1 (4)32 f ''=-； 523()8f x x -'''=，3(4)256 f '''=；27 41615)(--=x x f )(；将以上结果代入泰勒公式，得 (4)23 4(4)(4)(4)()()(4)(4)(4)(4)(4)1!2!3!4!f f f f ξf x f x x x x ''''''=+-+-+-+- 42 7 32)4(1285)4(512 1 )4(641)4(412-- -+---+=x ξ x x x ，（ξ介于x 与4之间）。 ★★★3.把 2 2 11)(x x x x x f +-++= 在0=x 点展开到含4x 项，并求)0() 3(f 。 知识点：麦克劳林公式。

泰勒展开式在高考题中的应用

泰勒展开式在高考题中的应用 莲塘一 中 李树森 高中数学中函数导数部分占据了重要的位置 , 高考试题中函数导数题往往也是以难题、压轴题形式出 现 . 如何应对函数导数难题？高等数学中有一些知识、方法与中学数学 相通 , 本文针对一类函数导数问题借 助高等数学中的泰勒展开式解决该类初等数学问题. 如果函 数 f ( x) 在定义域 I 上有定义 , 且有 n 1阶导数存在 , x, x 0 I , 则 f (x) f ( x 0 ) f ( x 0 ) ( x x 0 ) f ( x 0 ) ( x x 0 )2 ... f (n ) ( x 0 ) ( x x 0 )n R n 1 , 1! 2! n! 其中 R 1 f ( n 1) ( ) ( x x )n 1 , 其中 介于 x 和 x 0 间 . 上式即为函数 f ( x) 在 x 0 点处的泰勒展开式 .[1] n ( n 1)! 0 令 f (x) ln( x 1) , x 0 0 , 有 ln( x 1) x x 2 x 3 ... ( 1)n 1 x n R n 1 . x 2 2 3 n 上式可以进行放 缩 , 比较 ln( x 1) 和 x 、 x 的大小 , 2 可以得到不等式： x x 2 ln( x 1) x , ( x 0) . （ *） 2 下面证明该不等式 . 证 明 ： 设 h( x) x x 2 ln( x 1), h ( x) 1 x 1 x 2 ) 单调递 2 x 1 x 0,( x 0) , 则 h( x) 在 [0, x 2 1 减 , h( x) h(0) ln( x 1) , 当 x 0 时取等号 . 0 , 即有 x 2 1 x 设 f (x) ln( x 1) x , f ( x) 1 0,( x 0) , 则 f (x) 在 [0, ) 单调递减 , x 1 x 1 f ( x) f (0) 0 , 即有 ln( x 1) x , 当 x 0 时取等号 . 综上所述 , 有不等式： x x 2 1) x , ( x 0) , 当 x 0 时取等号 . ln( x 2 如图所示： 例题展示

常用十个泰勒展开公式

常用十个泰勒展开公式 常用泰勒展开公式如下： 1、e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… 2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1) 3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞

1)!+…… (-∞

泰勒公式及其在解题中应用

本科生毕业设计（论文） （ 2014届） 设计（论文）题目泰勒公式及其在解题中应用 作者周立泉 分院理工分院用数学1001班 指导教师（职称）徐华（讲师） 专业班级数学与应用数学） 论文字数 8000 论文完成时间 2014年4月3日 杭州师范大学钱江学院教学部制

泰勒公式及其在解题中应用 数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华 摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用． 关键词：泰勒公式;数学分析 ;导数 Taylor Formula and Its Application in Solving Problem Mathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHua Abstract：Taylor's formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications. Keyword:Taylor's formula;Mathematical analysis; derivative.