高考数学压轴专题最新备战高考《三角函数与解三角形》综合练习
高考数学《三角函数与解三角形》课后练习
一、选择题
1．将函数()()sin 0,π2f x x ?ω?ω?
?=+>< ??
?的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关
于y 轴对称，且1π2f ω??
=- ???
，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ）
A ．()sin 26f x x π?
?
=+
??
?
B ．()sin 2π6f x x ?
?=- ???
C ．()sin 4π6f x x ?
?=+ ??
?
D ．()sin 4π6f x x ?
?=- ??
?
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意利用函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由
12f πω??
=- ???
，求出φ，再根据所得图象关于y 轴对称求出ω，可得()f x 的解析式．
【详解】
解：将函数()()sin (0,)2
f x x π
ωφωφ=+><
的图象向右平移
6
π
个单位长度后，可得sin 6y x ωπωφ??
=-+ ???
的图象；
∵所得图象关于y 轴对称，∴6
2
k ωπ
π
φπ-
+=+
，k Z ∈．
∵()1sin sin 2f ππφφω??
=-=+=- ?
??
，即1sin 2φ=，26ππφφ<=，. ∴63
k ωπ
π
π-
=+
，620k ω=-->,
则当ω取最小值时，取1k =-，可得4ω=，
∴函数()f x 的解析式为()sin 46f x x π??
=+ ??
?
. 故选C ． 【点睛】
本题主要考查函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．
2．能使sin(2))y x x θθ=+++为奇函数，且在0,4??
????
π上是减函数的θ的一个值是（ ）
A ．
5π3
B ．
43
π C ．
23
π D ．
3
π 【答案】C 【解析】 【分析】
首先利用辅助角公式化简函数，然后根据函数的奇偶性和单调性求得θ的值. 【详解】
依题意π2sin 23y x θ??=++
?
?
?，由于函数为奇函数，故ππ
π,π33
k k θθ+==-，当1,2k =时，2π3θ=
或5π3θ=，由此排除B,D 两个选项.当2π3
θ=时，()2sin 2π2sin 2y x x =+=-在0,4??
????π上是减函数，符合题意.当5π3θ=时，
()2sin 22π2sin 2y x x =+=，在0,4??
????
π上是增函数，不符合题意.
故选C. 【点睛】
本小题主要考查诱导公式的运用，考查三角函数的奇偶性和单调性，属于基础题.
3．函数()[]()
cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．
53
π B ．2π
C ．
76
π D ．π
【答案】B 【解析】 【分析】
根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】
令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1
sin 2
x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-
或32x π=或6x π=或56
x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522
266
s π
πππ
π=-+
++=，故选B. 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.
4．若函数()sin 2f x x =向右平移
6
π
个单位后，得到()y g x =，则关于()y g x =的说法
正确的是（ ） A ．图象关于点,06π??
- ???
中心对称 B ．图象关于6
x π
=-轴对称
C ．在区间5,126ππ??
--????单调递增 D ．在5,1212ππ??
-
???
?单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】
利用左加右减的平移原则，求得()g x 的函数解析式，再根据选项，对函数性质进行逐一判断即可. 【详解】
函数()sin 2f x x =向右平移6π
个单位，得()sin 2()sin(2)63
g x x x ππ=-=-． 由23
x π
-＝k π，得26k x ππ=+()k ∈Z ，所以,06π??
- ???
不是()g x 的对称中心，故A 错； 由23
x π-
＝2
k π
π+
， 得212k x π5π
=
+
()k ∈Z ，所以()g x 的图象不关于6
x π=-轴对称，故B 错；
由2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
，得1212
k x k π5π
π-
≤≤π+
()k ∈Z ， 所以在区间5,12
6ππ??
-
-????上()g x 不单调递增，在5,1212ππ??-????上单调递增， 故C 错，D 对； 故选：D ． 【点睛】
解答三角函数问题时一般需将解析式化简为sin()y A x B ω?=++或cos()y A x B ω?=++，从而可利用正（余）弦型周期计算公式2||
T π
ω=
周期，对正弦型函数，其函数图象的对称中心为,k B π?ω-??
???
，且对称中心在函数图象上，而对称轴必经过图象的最高点或最低点，此时函数取得最大值或最小值．
5．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至
BC ，在旋转的过程中，记([0,])2
ABP x x π
∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区
域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断. 【详解】
当0,4x π??
∈????时，()112y f x tanx ==??; 当,42x ππ??∈ ???
时，()11112y f x tanx ==-??
; 根据正切函数图象可知选D. 【点睛】
本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题.
6．已知函数()()203f x x πωω?
?=
-> ??
?的最小正周期为π，若
()()122f x f x ?=-，则12x x -的最小值为（ ）
A ．
2
π B ．
3
π C ．π
D ．
4
π
【答案】A 【解析】 【分析】
由正弦型函数的最小正周期可求得ω，得到函数解析式，从而确定函数的最大值和最小值；根据()()122f x f x ?=-可知1x x =和2x x =必须为最大值点和最小值点才能够满足等式；利用整体对应的方式可构造方程组求得()12122
x x k k π
π-=-+，12,k k Z ∈；从
而可知120k k -=时取最小值. 【详解】
由()f x 最小正周期为π可得：
2π
πω
= 2ω∴= (
)23f x x π?
?∴=
- ??
?
(
)max f x ∴，(
)min f x =()()122f x f x ?=-Q 1x x ∴=和2x x =分别为()f x 的最大值点和最小值点
设1x x =为最大值点，2x x =为最小值点
()111222
2232,2232x k k k Z x k ππππππ?
-=+??∴∈??-=-??
()12122x x k k ππ∴-=-+，
当120k k -=时，12min
2
x x π
-=
本题正确选项：A 【点睛】
本题考查正弦型函数性质的综合应用，涉及到正弦型函数最小正周期和函数值域的求解；关键是能够根据函数的最值确定1x 和2x 为最值点，从而利用整体对应的方式求得结果.
7．函数sin 26y x π?
?=+ ??
?
的图象可由函数2cos 2y x x =-的图象（ ）
A ．向右平移3
π
个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 B ．向右平移6
π
个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 C ．向左平移3π
个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到 D ．向左平移6π
个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12
，横坐标不变得到 【答案】D
【解析】 【分析】
合并cos2y x x =-得：2sin 26y x π?
?=- ??
?，利用平移、伸缩知识即可判断选项。 【详解】
由cos2y x x =-得：2sin 26y x π??
=- ??
?
将它的图象向左平移
6
π
个单位， 可得函数2sin 22sin 2666y x x πππ??
?
??
?=+
-=+ ? ? ??
?????
的图象， 再将上述图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到：sin 26y x π?
?=+ ??
?图
象. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了三角函数图象的平移、伸缩变换，考查了两角差的正弦公式，属于中档题。
8．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2
k a k Z π
≠
∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +?=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,
3
π??
??
?
上单调且存在020,3
x π??
∈ ??
?
，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（ ） A ．20,
3?? ??? B ．30,
2?
? ???
C ．24,
33??
???
D ．33,42??
???
【答案】D 【解析】 【分析】
推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203
x π?
?
∈ ??
?
，
上单调且存在()()0020203
x f x f x x π??
∈+-= ???
，
，，即可得出结论． 【详解】
∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52
k π
≠（k ∈Z ）， sin 2a 3+2sin a 5?cos a 5＝sin 2a 7，
∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝
2sin 372a a +cos 732a a -?2cos 372a a +sin 7
3
2a a -=2sin a 5cos2d ?2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1，
∴d 8
π
=
．
∴f （x ）8
π
=
cos ωx ，
∵在203
x π??
∈ ??
?
，上单调 ∴
23
ππω≥， ∴ω32
≤
； 又存在()()0020203x f x f x x π??∈+-= ???
，，， 所以f （x ）在（0，23
π
）上存在零点， 即
223ππω＜，得到ω34
＞． 故答案为 33,42??
???
故选D 【点睛】
本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．
9．锐角ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，若
()
sin 0
3A B C π?
?+++= ???，b =c =，则角B =（ ）
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
512
π 【答案】B 【解析】 【分析】
先由()sin 03A B C π??
+
++= ??
?求出3
A π
=，然后用余弦定理算出a =再用余弦定理算出cos B 即可. 【详解】
因为()sin 03A B C π??
+++= ??
?
所以
11sin sin 022A A A A A +==
所以tan A =0,2A π?
?
∈ ??
?
，所以3
A π
=
所以由余弦定理得：
222
22co 1
2322s a b c bc A -=+-=+=??
所以a =
所以2
222
32cos 22a c b B ac +-+-===
因为0,2B π??
∈ ??
?
，所以4
B π
=
故选：B 【点睛】
本题考查的是利用余弦定理解三角形，数据不特殊，计算能力是解题的关键.
10．在△ABC 中，7b =，5c =，3
B π
∠=，则a 的值为 A ．3 B ．4
C ．7
D ．8
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题中所给的条件两边一角，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，代入计算即可得到所求的值. 【详解】
因为7,5,3
b c B π
==∠=
，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，
即2
1
4925252
a a =+-??
，整理得25240a a --=， 解得8a =或5a =-（舍去），故选D. 【点睛】
该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，解三角形所用的就是正弦定理和余弦定理，结合题中的条件，选择适当的方法求得结果.
11．已知函数()sin()f x x π?=+某个周期的图象如图所示，A ，B 分别是()f x 图象的最高点与最低点，C 是()f x 图象与x 轴的交点，则tan ∠BAC ＝（ ）
A ．
12
B ．
47
C 255
D 7
6565
【答案】B 【解析】 【分析】
过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ，设C （a ，0），可得32
CD =
，11,2AD DE ==
，3
tan 2CD CAD AD ∠=
=，1tan 2
ED EAD AD ∠==，再利用tan tan()BAC CAD EAD ∠=∠-∠计算即可.
【详解】
过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ， 由题可得周期为2，设(,0)C a ，则1(,1)2B a +-，3
(,1)2
A a +， 所以32
CD =
，1
1,2AD DE ==，
3
tan 2CD CAD AD ∠=
=，1tan 2
ED EAD AD ∠=
= 所以tan tan tan tan()1tan tan CAD EAD
BAC CAD EAD CAD EAD
∠-∠∠=∠-∠=
+∠?∠
31
4
22
317
1
22
-
==
+?
.
故选：B
【点睛】
本题主要考查两角差的正切公式，涉及到正弦型函数图象等知识，考查学生数学运算能力，是一道中档题.
12．已知
5
sinα，sin()
10
10
αβ
-=-，,αβ均为锐角，则β=（）
A．
5
12
π
B．
3
π
C．
4
π
D．
6
π
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，可得
22
ππ
αβ
-<-<，利用三角函数的基本关系式，分别求得
cos,cos()
ααβ
-的值，利用sin[(]
sin)
ααβ
β=--，化简运算，即可求解.
【详解】
由题意，可得α，β均为锐角，∴－
2
π
<α－β<
2
π
.
又sin(α－β)
10
，∴cos(α－β)
310
.
又sin α
5
cos α
25
∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝
5310
－
25
×
10
?
??
＝
2
2
.∴β＝
4
π
.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，合理构造sin[(]sin )ααββ=--，及化简与运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
13．已知()0,απ∈，3sin 35πα??
+= ??
?，则cos 26πα?
?+= ???
（ ） A ．
24
25
B ．2425
-
C ．
725
D ．725
-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据余弦的二倍角公式先利用sin 3πα??
+
??
?
求得2cos 23
πα??
+
??
?
.再由诱导公式求出sin 26πα??+ ??
?,再利用同角三角函数关系中的平方关系求得cos 26πα?
?+ ???.根据角的取值范
围,舍去不合要求的解即可. 【详解】 因为3sin 35
πα??
+
= ??
? 由余弦二倍角公式可得2
2237cos 212sin 1233525
ππαα??????+=-+=-?= ? ? ?
?
????? 而2cos 2cos 2sin 23
626ππππααα?
????
?+
=++=-+ ? ? ??
?????
所以27sin 2cos 26325ππαα?
?
?
?
+
=-+=- ? ?
?
??
?
由同角三角函数关系式可得24cos 2625πα?
?
+==± ??
? 因为()0,απ∈ 则4,333π
ππ
α??
+
∈ ?
??,而3sin 035πα??+=> ??
? 所以,33π
παπ??
+∈ ???
则,33π
παπ??+
∈ ???
所以22,233ππ
απ????
+
∈ ? ??
???
32,
3262ππππα?
???
+-∈ ? ?
????,即32,662
πππα??
+∈ ???
又因为7sin 20625πα?
?+=-< ??
?,所以32,62ππαπ??+∈ ??? 故cos 206πα?
?
+
< ??
?
所以24cos 2625
πα??
+=- ??
? 故选:B 【点睛】
本题考查了同角三角函数关系式及诱导公式的化简应用,三角函数恒等变形及角的范围确定,综合性较强,属于中档题.
14．直线y a =与函数()tan (0)4f x x πωω?
?
=+
> ??
?
的图象的相邻两个交点的距离为2π，若()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，则m 的取值范围是（ ）
A ．(0,
]4
π B ．(0,]2
π
C ．3(0,
]4
π D ．3(0,
]2
π 【答案】B 【解析】 【分析】
根据直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，得到1
2
ω=
，则()1
tan 2
4f x x π??=+ ???，然后求得其单调增区间，再根据()f x 在()(),0m m m ->上是增
函数，由(,)m m -是增区间的子集求解. 【详解】
因为直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期， 所以12ω=，()1
tan 2
4f x x π??=+ ???，
由12
242k x k π
ππππ-
<
+<+，得322()22k x k k ππ
ππ-<<+∈Z ， 所以()f x 在3,22ππ??
-
??
?上是增函数， 由3(,),22m m ππ??-?-
??
?，
解得02
m π
<≤.
故选：B 【点睛】
本题主要考查正切函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题
15．函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4
π
x =-对称，则()f x 的最大值为（ ）
A ．2
B
C ．
D 或【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数2
()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4
π
x =-对称，则有()(0)2
f f π
-=，解得a ，得到函数再求最值. 【详解】
因为函数2
()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4
π
x =-对称， 所以()(0)2f f π
-=，
即220a a +-=， 解得2a =-或1a =，
当2a =-时，()sin 2cos 2cos 44f x x x x x π?
?=--=- ???，此时()f x 的最大值为
；
当1a =时，()sin cos 2cos 4f x x x x x π?
?=+-=- ??
?，此时()f x ；
综上()f x 或. 故选：D 【点睛】
本题主要考查三角函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.
16．定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且
当π0,2x ??
∈????时，()sin f x x =，则5π3f ??
???
的值为( )
A ．12
-
B ．
2
C ．
D ．
12
【答案】B 【解析】 分析：要求53
f π??
???
，则必须用()sin f x x =来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间02π??????
，上，再应用其解析式求解 详解：()f x Q 的最小正周期是π
552333f f f ππππ??????∴=-=-
? ? ???????
()f x Q 是偶函数
33f f ππ????
∴-= ? ?????
，
53
3f f π
π????= ? ?????
Q 当02x π??
∈????
，时，()sin f x x =，
则5 sin 333f f πππ????
===
? ???
??
故选B
点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质．
17．设函数()()sin f x x x x R =∈，则下列结论中错误的是（ ） A ．()f x 的一个周期为2π B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 在区间2,63ππ??
??
?上单调递减 D ．3f x π??
+
??
?
的一个零点为6
x π
=
【答案】D 【解析】 【分析】
先利用两角和的正弦公式化简函数()f x ，再由奇偶性的定义判断A ；由三角函数的有界性判断B ；利用正弦函数的单调性判断C ；将6x π
=代入 3f x π??+ ??
?判断D .
【详解】
()
sin f x x x = 23sin x π?
?=+ ??
?，
()f x 周期22,1
T A π
π=
=正确； ()f x 的最大值为2，B 正确，
25,
,,63
326x x πππππ????∈∴+∈ ?
???
??Q ， ()f x ∴在2,
63
ππ
??
???
上递减，C 正确； 6
x π
=时，1032f x f ππ????+==≠ ? ??
???
， 6x π
=
不是3f x π??
+
??
?
的零点，D 不正确. 故选D. 【点睛】
本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.
18．化简
21
sin 352sin 20??
-=（ ）
A ．
12 B ．12
-
C ．1-
D ．1
【答案】B 【解析】 【分析】
利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论. 【详解】
依题意，原式1cos701
1cos701sin 20122sin 202sin 202sin 202
--==-?=-?=-
o o o
o o o ，故选B. 【点睛】
本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.
19．设2α
是第一象限角，且cos cos αα=-，则α是第（ ）象限角
A ．一
B ．二
C ．三
D ．四 【答案】B 【解析】 【分析】
计算得到720180720k k α?<
∵
2
α是第一象限角，∴360903602k k α
?<
∴720180720k k α?<
∴α为第一象限角或第二象限角或终边在y 轴正半轴上的轴线角，
∵cos cos αα=-，∴cos 0α<，∴α是第二象限角. 故选：B . 【点睛】
本题考查了角度所在象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.
20．将函数sin(2)4
y x π
=-
的图象向左平移
4
π
个单位，所得图象对应的函数在区间(,)m m -上无极值点，则m 的最大值为（ ）
A ．
8
π B ．
4
π C ．38
π D ．
2
π 【答案】A 【解析】 【分析】
由三角函数的图象变换，求得函数sin 24y x π??
=+
??
?
，求得增区间3,,88k k k Z ππππ??
-++∈????，令0k =，可得函数的单调递增区间为3,88ππ??-????，进而根据函数sin 24y x π?
?=+ ??
?在区间(),m m -上无极值点，即可求解. 【详解】
由题意，将函数sin 24y x π?
?=- ??
?的图象向左平移4π个单位， 可得函数sin 2sin 2444y x x πππ??
???
?=+-=+ ? ????
?????
， 令222,2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈，解得3,88
k x k k Z ππ
ππ-
+≤≤+∈ 即函数sin 24y x π?
?
=+
??
?
的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ??
-
++∈????
，
令0k =，可得函数的单调递增区间为3,88ππ??
-
???
?，
又由函数sin 24y x π??
=+ ??
?
在区间(),m m -上无极值点，则m 的最大值为
8
π
，故选A. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换得到函数的解析式，再根据三角函数的性质，求得其单调递增区间是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.
2017年高考全国1卷理科数学试题和答案解析
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14 B ．π8 C ． 12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；
[数学]数学高考压轴题大全
1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；
（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：．
6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；
(完整word版)高三理科数学选择题填空题专项训练
高三理科数学限时训练 一、选择题(本大题共10小题,每题5分,共50分.每题都给出四个结论，其中有且只有一个 结论是正确的.) 1. 复数z 满足(2)z z i =+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 2. 已知实数a ≠0，函数2,1()2,1x a x f x x a x +
北京市高考数学压轴题汇编51题(含答案)
1．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为 棱1DD ，AB 上的点. 已知下列判断： ①1 AC ^平面1B EF ；②1B EF D 在侧面11BCC B 上 的正投影是面积为定值的三角形；③在平面 1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平 面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位 置无关. 其中正确判断的个数有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（B ） 2.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点,F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F//面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1 所成角的正切值构成的集合是 C A. {}2 B. 255?? ? ??? C. {|222}t t ≤≤ D. 2 {|52}5 t t ≤≤ 3. 如图，四面体OABC 的三条棱OC OB OA ,,两两垂直，2==OB OA ,3=OC ，D 为四 面体OABC 外一点.给出下列命题. ①不存在点D ,使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ,使四面体ABCD 是正三棱锥 ③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等 ④存在无数个点D ,使点O 在四面体ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是D （A ）①② （B ）②③ （C ）③ （D ）③④ 4. 在一个正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形 1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心， ,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=u u u u r u u u u r 的实数λ的值 有 C A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做 A B C D E 1A 1 D 1 B 1 C O A B D C A 1 D 1 A 1 C 1 B D C B O P N M Q
高考理科数学压轴题及答案汇编
高考理科数学压轴题 (21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点 的距离的最大值为 3,最小值为 1. (I) 求椭圆 C 的标准方程 ; (II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆 过椭 圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 . (22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0. 1 (I) 当 b 时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ; 2 (II)求函数 f (x)的极值点 ; 1 1 1 (III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 . n n n 22 xy (21)解： (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0) ab 2 a c 3,a c 1，a 2,c 1, b 2 3 22 x 2 y 2 1. 43 Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD 1， y kx m (II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， 由 2 x 2 y 得 1 4 3 2 2 2 (3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 2 3) 2 2 2 64m 2 k 2 16( 3 4k 2)( 2 m 3) 0， 22 3 4k 2 m 2 0 8mk 2 ,x 1 x 2 2 4(m 2 3) 3 4k 2 y 1 y 2 2 (kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) m 2 3(m 2 4k 2) 3 4k 2
(完整)高考数学选择题专项训练(二)
高考数学选择题专项训练（二） 1、函数y =cos 4x -sin 4x 图象的一条对称轴方程是（ ）。 （A ）x =-2π （B ）x =-4π （C ）x =8 π （D ）x =4π 2、已知l 、m 、n 为两两垂直且异面的三条直线，过l 作平面α与m 垂直，则直线n 与平面α的关系是（ ）。 （A ）n //α （B ）n //α或n ?α （C ）n ?α或n 不平行于α （D ）n ?α 3、已知a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，且xy ≠0，那么y c x a +的值为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4、如果在区间[1, 3]上，函数f (x )=x 2+px +q 与g (x )=x + 21x 在同一点取得相同的最小值，那么下列说法不对．． 的是（ ）。 （A ）f (x )≥3 (x ∈[1, 2]) （B ）f (x )≤4 (x ∈[1, 2]) （C ）f (x )在x ∈[1, 2]上单调递增 （D ）f (x )在x ∈[1, 2]上是减函数 5、在(2+43)100展开式中，有理数的项共有（ ）。 （A ）4项 （B ）6项 （C ）25项 （D ）26项 6、等比数列{a n }的公比q <0，前n 项和为S n , T n =n n a S ，则有（ ）。 （A ）T 1
7、设集合A ＝ο/，集合B ＝{0}，则下列关系中正确的是（ ） （A ）A ＝B （B ）A ?B （C ）A ?B （D ）A ?B 8、已知直线l 过点M （－1，0），并且斜率为1，则直线l 的方程是（ ） （A ） x ＋y ＋1＝0 （B ）x －y ＋1＝0 （C ）x ＋y －1＝0 （D ）x ―y ―1＝0 9、已知集合A ＝{整数}，B ＝{非负整数}，f 是从集合A 到集合B 的映射，且f ：x → y ＝x 2（x ∈A ，y ∈B ），那么在f 的作用下象是4的原象是（ ） （A ）16 （B ）±16 （C ）2 （D ）±2 10、已知函数y ＝1 -x x ,那么（ ） （A ）当x ∈（－∞，1）或x ∈（1，＋∞）时，函数单调递减 （B ）当x ∈（－∞，1）∪（1，＋∞）时，函数单调递增 （C ）当x ∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞）时，函数单调递减 （D ）当x ∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞）时，函数单调递增 11、在(2－x )8的展开式中，第七项是（ ） （A ）112x 3 （B ）－112x 3 （C ）16x 3x （D ）－16x 3x 12、设A ＝{x | x 2＋px ＋q ＝0},B ＝{x | x 2＋(p －1)x ＋2q ＝0}, 若A ∩B ＝{1}，则（ ）。 （A ） A ?B （B ）A ?B （C ）A ∪B ＝{1, 1, 2} （D ）A ∪B ＝(1,－2)
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