高等数学复旦大学版黄立宏修订版习题二答案详解
高等数学上（修订版）黄立宏 习题二答案
详解
1． 设212s gt =
，求
2
d d t s
t =. 解：
d d s gt t =，故2
d 2d t s g t ==. 2．(1) 设1
()f x x
=
，求00()(0);f x x '≠
解：0
021()().x x f x f x x =''==-
(2) 设()(1)(2)(),f x x x x x n =--??-L 求(0).f '
解：
00()(0)
(0)lim
lim(1)(2)()
0(1)!
x x n f x f f x x x n x n →→-'==--??--=-L 3. 试求过点(3，8)且与曲线2
y x =相切的直线方程.
解：曲线上任意一点(,)x y 处的切线斜率为2k x =.因此过(3，8)且与曲线相切的直线方程为：
82(3)y x x -=-，且与曲线的交点可由方程组解得2
82(3)
y x x y x
-=-??=? 为(2，4)，(4，16)即为切点. 故切线方程为：44(2),
168(4).y x y x -=--=-
4．下列各题中均假定0()f x '存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么.
(1) 000()()
lim ;x f x x f x A x
?→-?-=?
解：0000000()()()()
lim
lim ()x x f x x f x f x x f x f x x x
?→?→-?--?-'=-=-?-?Q 故0()A f x '=- (2) 0
00()
()0,lim
;x x f x f x A x x
→==-
解：0
0000
()()
lim
lim ()x x x x f x f x f x x x x x →→'=-=---
故0()A f x '=- (3) 000
()()
lim
.h f x h f x h A h
→+--=
解：
0000000
0000000000()()()()()()lim
lim ()()()()
lim lim
()()2()
h h h h f x h f x h f x h f x f x h f x h h h f x h f x f x h f x h h f x f x f x →→→→+--+---??
=-????
+---=+-'''=+= 故02().A f x '= 5．求下列函数的导数:
(1) y =
解：y '=
(2) y =
解：5
323
y x -'=-
(3) 2y =
;
解：251232
6
y x x +-==
5
61.6
y x -'=
6
．讨论函数y =
0x =点处的连续性和可导性.
解：00(0)x f →==,故函数在0x =处连续.
又2300
lim
lim 0x x x x -→→-==∞-,故函数在0x =处不可导. 7. 如果()f x 为偶函数，且(0)f '存在，证明：(0)0.f '=
证明：
000()(0)()(0)
(0)lim
lim
()(0)
lim (0),x x x f x f f x f f x x
f x f f x
?→?→?→?--?-'==??-?-'=-=--?
故(0)0.f '=
8．求下列函数在0x 处的左、右导数，从而证明函数在0x 处不可导. (1) 03sin ,0,0;,
0,
x x y x x x ≥?==?
证明：0
0()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x
f x x
+
++→→-'===- 3
00()(0)(0)lim lim 0,0
x x f x f x f x x ---→→-'===-
因(0)(0)f f +-''≠，故函数在00x =处不可导.
(2) 10,
0,0;1e 0,0,
x
x x y x x ?≠?==+??=?
证明：10
0()(0)1
(0)lim lim 0,01e x x x f x f f x +
++→→-'===-+ 10
0()(0)1(0)lim lim 1,01e x
x x f x f f x -
-
-→→-'===-+ 因(0)(0)f f +-''≠，故函数在00x =处不可导.
(3) 02
1,
1.,
1,
x y x x x ≥==
证明：1
1()(1)11
(1)lim lim ,112
x x f x f f x x +
++→→-'===-- 211()(1)1
(1)lim lim 2,11
x x f x f x f x x --
-→→--'===-- 因(1)(1)f f +-''≠，故函数在01x =处不可导.
9．已知sin ,0,(),
0,
x x f x x x
≥?求()f x '.
解：当0x <时，()cos ,f x x '=
当0x >时，()1,f x '= 当0x =时，0
sin 0(0)lim 1,0
x x f x -
-→-'==- 00
(0)lim 1,0x x f x ++→-'==-
故(0) 1.f '= 综上所述知cos ,
0,()1,
0.
x x f x x
≥?
10．设函数2,
1,
(),
1.
x x f x ax b x ?≤=?
+>? 为了使函数()f x 在1x =点处连续且可导，,a b 应取什么值？
解：因2
1
1
lim ()lim 1(1)x x f x x f --
→→=== 11
lim ()lim()x x f x ax b a b +
+
→→=+=+ 要使()f x 在1x =处连续，则有1,a b +=
又211()(1)1
(1)lim lim 2,11
x x f x f x f x x --
-→→--'===-- 1
11(1)lim lim ,11
x x ax b ax a
f a x x +
+
+→→+--'===-- 要使()f x 在1x =处可导，则必须(1)(1)f f -+''=，
即 2.a =故当2,1a b ==-时，()f x 在1x =处连续且可导. 11. 讨论下列函数在指定点的连续性与可导性: (1) sin ,0;y x x ==
解：因为0,0
lim 0x x y y =→==所以此函数在0x =处连续.
又00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x f x x
-
--→→--'===--
00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x
f x x
+++→→-'===-
(0)(0)f f -+''≠，故此函数在0x =处不可导.
(2) 2
1sin ,0, 0;0,
0,x x y x x
x ?≠?
==??=? 解：因为2
01
lim sin
0(0),x x y x
→==故函数在0x =处连续.
又2001sin
()(0)(0)lim lim 00x x x f x f x y x x
→→-'===-, 故函数在0x =处可导.
(3) ,
1, 1.2,1,x x y x x x ≤?==?
->?
解：因为
1111
lim ()lim(2)1lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++
-
-
→→→→=-===
11
lim ()lim ()(1)1x x f x f x f +
-
→→===,故函数在x =1处连续. 又11()(1)1
(1)lim lim 111x x f x f x f x x -
--→→--'===--
11()(1)21
(1)lim lim 111
x x f x f x f x x +++→→---'===---
(1)(1)f f -+''≠，故函数在x=1处不可导.
12. 证明：双曲线2
xy a =上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2
2a .
证明：在双曲线上任取一点00(,),M x y
则22
2
220
, , x a a a y y y x x
x =''
==-=-，
则过M 点的切线方程为：2
0020
()a y y x x x -=--
令22
0000002202x y x a y x x x x a a
=?=+=+=
得切线与x 轴的交点为0(2,0)x ，
令2
0000000
02x y a x y y y y x x =?=+=+=
得切线与y 轴的交点为0(0,2)y ，
故 200001
2222.2
S x y x y a =
==V 13. 垂直向上抛一物体，其上升高度与时间t 的关系式为：2
1()10(m),2
h t t gt =-
求： ⑴ 物体从t =1(s)到t =1.2(s)的平均速度：
解：11112 1.4410(1.2)(1)220.78 (m s )1.210.2
g g
h h v --?-+-===-?- ⑵ 速度函数v (t )； 解：()()10v t h t gt '==-. ⑶ 物体何时到达最高. 解：令()100h t gt '=-=,得10
(s)t g
=
, 即物体到达最高点的时刻为10 s.t g
=
14. 设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0,t ]内，转过角度θ，从而转角θ是t 的函数：()t θθ=.如果旋转是匀速的，那么称t
θ
ω=为该物体旋转的角速度.如果旋转是非匀速的，应怎样确
定该物体在时刻0t 的角速度？
解：设此角速度值为ω,则
0000
()()
lim
()t t t t t t
θθωθ?→+?-'==?.
15. 设()Q Q T =表示重1单位的金属从0C ?
加热到C T ?所吸收的热量，当金属从C T ?升温到()C T T +??时，所需热量为()(),Q Q T T Q T ?=+?-Q ?与T ?之比称为T 到
T T +?的平均比热，试解答如下问题：
⑴ 如何定义在C T ?
时，金属的比热； 解：0()()
lim
()T Q T T Q T Q T T
ν?→+?-'==?
⑵ 当2
()Q T aT bT =+(其中a , b 均为常数)时，求比热. 解：()2Q T a bT ν'==+. 16. 已知()f x 在0x x =点可导，证明： 0000
()()
lim
()()h f x h f x h f x h
αβαβ→+--'=+.
证明： 000
()()
lim
h f x h f x h h
αβ→+--
00000
0()()()()
lim
lim h h f x ah f x f x h f x h h
βαβαβ→→+---=+-
000()()
()().
f x f x f x αβαβ''=+'=+
17. 求下列函数的导数： ⑴ π3ln sin 7
S t =+; 解：3S t
'= ⑵
y x =;
解：12)y x x x '=
+=+ ⑶ 2
(1)sin (1sin )y x x x =-??-; 解：
222
2
2
2sin (1sin )(1)cos (1sin )(1)sin (cos ) 2sin 2sin cos cos sin 2sin 2y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
=--+--+--=-+--+
⑷ 1sin 1cos x
y x
-=
-;
解：22
cos (1cos )(1sin )sin 1sin cos (1cos )(1cos )
x x x x x x
y x x ------'=
=-- ⑸ π
tan e y x =+; 解：2
sec y x '=
⑹ sec 3sec x
y x x
=
-; 解：2
sec tan sec 3sec tan x x x x
y x x x
-'=- ⑺ 2ln 2lg 3log y x x x =-+;
解：11112323(1)ln10ln 2ln1012y x x x x n '=
-+?=-+?? ⑻ 2
1
1y x x
=++.
解：22
(12)
(1)
x y x x -+'=
++ 18. 求下列函数在给定点处的导数： ⑴ 1sin cos ,2
y x x x =+
求
π
4
d d x y x =；
解：11
sin cos sin sin cos 22
y x x x x x x x '=+-
=+
π4
1ππππ
sin cos (1)244442
x y ='=
+=+ ⑵ 2
3(),55
x f x x =
+-求(0)f '和(2)f '； 解：232
()(5)5
f x x x '=
+-
317(0) (2)2515
f f ''=
= ⑶ 2
54, 1,()43, 1,
x x f x x x x -≤?=?
->?求(1)f '.
解：2
11()(1)431
(1)lim
lim 511
x x f x f x x f x x +++→→---'===-- 1
1()(1)541
(1)lim lim 511
x x f x f x f x x -
--→→---'===-- 故(1) 5.f '=
19. 设12()()()()0n p x f x f x f x =≠L ，且所有的函数都可导，证明：
1212()()()
()()()()()
n n f x f x f x p x p x f x f x f x ''''=+++L 证明：
1212121212()1
[()()()()()()()()()]()()()()() .
()
()
()
n n n n n p x f x f x f x f x f x f x f x f x f x p x p x f x f x f x f x f x f x ''''=+++'''=
+++
L L L L L
20. 求下列函数的导数：
⑴ 3e x
y =; ⑵ 2
arctan y x =;
⑶
y =; ⑷
2(1)ln(y x x =+?;
⑸ 2
2
1sin
y x x =?； ⑹ 23
cos y ax =（a 为常数）； ⑺ 1arccos y x =； ⑻ 2
(arcsin )2
x y =；
⑼
y = ⑽ sin cos n
y x nx =?； ⑾
y =
; ⑿
arcsin y =
⒀ ln cosarctan(sinh )y x =；
⒁
2arcsin (02a x y a a
=>为常数）. 解：⑴ 33e x
y '=;
⑵ 4
21x
y x
'=
+; ⑶
2y '==
⑷
2
2ln((1)(1y x x x '=?++
2ln(x x =;
⑸ 2
2231122sin
cos ()y x x x x x '=+?- 22121
2sin cos x x x x
=-；
⑹ 3
3
2
2cos (sin )3y ax ax ax '=?-?23
3sin 2ax ax =-；
⑺
21
()y x '=
-
=； ⑻
12arcsin
2
2
x y '=
2arcsin
x
=；
⑼
12ln y x x '=
?
=; ⑽ 1
1sin cos cos sin (sin )sin cos(1)n n n y n x x nx x nx n n x n x --'=?+-?=?+；
⑾
y '==
⑿
2
(1)(1)(1)x x y x -+--'=
=+ ⒀ 2
11
[sin arctan(sinh )]cosh tanh cos arctan(sinh )1(sinh )y x x x x x '=
?-??=-+；
⒁
21(2)2x y x a '=-+=.
21.
3arccos
3x y -=-求3
x y ='.
解：
2
1(6)
3x x y x ---'=- 3
1
3
x y ='
= 22.
试求曲线e x
y -=在点（0，1）及点（－1，0）处的切线方程和法线方程.
解：231
e e (1)3
x
x
y x ---'=-?+
1
2
. 3
x x y y ==-'
'
=-=∞
故在点（0，1）处的切线方程为：
2
1(0)3
y x -=-
-，即2330x y +-= 法线方程为：2
1(0)3
y x -=-，即3220x y -+=
在点（－1，0）处的切线方程为：1x =-
法线方程为：0y =
23. 设()f x 可导，求下列函数y 的导数
d d y x
： ⑴ 2
()y f x = 解：22()y xf x ''=
⑵ 2
2
(sin )(cos )y f x f x =+
解：2
2
2sin cos (sin )2cos (sin )(cos )y x xf x x x f x '''=+- 2
2
sin 2[(sin )(cos )]x f x f x ''=- 24. 求下列隐函数的导数：
⑴ 3
3
30x y axy +-=； ⑵ ln()x y xy =；
⑶ e e 10y
x
x y -=； ⑷ 22
ln()2arctan
y x y x
+=； ⑸ e
x y
xy +=
解：⑴ 两边求导，得：
2
2
33330x y y ay axy ''+?--=
解得 2
2ay x y y ax
-'=-.
⑵ 两边求导，得：
1
1ln()()y xy y y xy xy
''=+?
+ 解得 (ln ln 1)
x y
y x x y -'=
++.
⑶ 两边求导，得：
e e e e 0y
y
x
x
x y y y ''+?++=
解得 e e =e e
y x
y x
y y x +'-+. ⑷ 两边求导，得：
222
211(22)21()y x y
x yy y x y x x
'-'?+=??++ 解得 =
x y
y x y
+'-. ⑸ 两边求导，得：
e (1)x y y xy y +''+=+
解得 e =e x y x y
y
y x ++-'-.
25. 用对数求导法求下列函数的导数： ⑴
4
5
(3);(1)x y x -=
+
解：1(ln )[ln(2)4ln(3)5ln(1)]2
y y y y x x x '''=?=?++--+
45
(3)145
[](1)2(2)31
x x x x x -=--++-+ ⑵ cos (sin );x
y x =
解：
2cos (ln )(cos ln sin )1
[(sin )ln sin cos cos ]sin cos (sin )
(sin ln sin )sin x
y y y y x x y x x x x x
x x x x x
'''==?=-+??=- ⑶
2x y =
解：
211
(ln )[2ln(3)ln(5)ln(4)]22
111 ].
32(5)2(4)x y y y y x x x x x x x '''
==++-+--=+--++-
26. 求下列参数方程所确定的函数的导数
d d y
x
： ⑴ cos sin ,
sin cos ,
x a bt b at y a bt b at =+??
=-? (a ,b 为常数)
解：
d d cos sin d d d sin cos d cos sin cos sin y y ab bt ab at
t x x ab bt ab at
t
bt at
at bt
+==
-++=
-
⑵ (1sin ),
cos .
x y θθθθ=-??=?
解：
d d cos sin cos sin d d d 1sin (cos )1sin cos d y y x x θθθθθθ
θθθθθθθ
θ
--===
-+--- 27. 已知e sin ,
e cos ,
t
t
x t y t ?=??=??求当π3t =时d d y x 的值. 解：
d d
e cos e sin cos sin d d d e sin e cos sin cos d t t t t
y
y t t t t
t x x t t t t t
--===++
π3ππcos sin
d 332ππ
d sin cos 33
t y x =-=
=+.
28. 设()()f x x a x ?=-,其中a 为常数，()x ?为连续函数，讨论()f x 在x a =处的可导性.
解：
()()()()
()lim lim ()
()()()()
()lim lim ()
x a x a x a x a f x f a x a x f a a x a x a
f x f a a x x f a a x a x a ????+
+--+→→-→→--'===----'===---.
故当()0a ?=时，()f x 在x a =处可导，且()0f a '= 当()0a ?≠时，()f x 在x a =处不可导. 29. 已知2
()max{,3}f x x =，求()f x '.
解：23, (), x f x x x ?≤?=?>??
当x <时，()0f x '=,
当x >时，()2f x x '=
,
2
(((0,
x x x f x f -+'===-'==
故(f '不存在.
又
2
0,
(x x x f f x -+'=='===
故f '不存在. 综上所述知
0, ()2, x f x x x ?
>??30. 若1
1
()e x x f x
+=，求()f x '.
解：令
1
t x
=，则 1()e t t
f t +=,即1()e
x x
f x +=
121()e
(1)x x
f x x
+'=-
. 31. 若π1()1,(arccos )3f y f x '==，求
2
d d x y x
=.
解：
22
d 11(arccos )(()d d π11(d 344x y f x x x
y f x
='=?-
'===
32. 求函数11ln
21x
y x
+=
-的反函数()x y ?=的导数. 解：
2
1
[ln(1)ln(1)]
2
d 1111()d 2111y x x y x x x x =+--=+=
+--
故反函数的导数为：
2d 11d d d x x y
y x
==-. 33. 已知()y f x =的导数22
21
()(1)
x f x x x +'=
++，且(1)1f -=，求()y f x =的反函数()x y ?=的导数(1)?'.
解：1y =Q 时1,x =-
故22
1(1)()()21x x y f x x ?++'=='+, 从而22
[1(1)(1)](1)12(1)1
?+-+-'=
=-?-+. 34. 在括号内填入适当的函数，使等式成立：
⑴ d( )cos d t t =； ⑵ d( )sin d x x ω=; ⑶ 1
d( )d 1x x
=+； ⑷ 2d( )e d x x -=; ⑸
d( )x =
; ⑹ 2d( )sec 3d x x =； ⑺ 1
d( )ln d x x x =; ⑻
d( )x =
. 解：
⑴ (sint)cos t '=Q d(sin )cos d t C t t ∴+=. ⑵ 1
1
(cos )(sin )sin x x x ωωωω
ω
'-
=-
?-=Q
1
d(cos )sin d x C x x ωωω
∴-
+=.
⑶ 1[ln(1)]1x x
'+=
+Q 1
d[ln(1)]d 1x C x x
∴++=
+. ⑷ 22211
(e )(2)e =e 22x x x ---'-
=-?-Q 221
d(e )e d 2
x x C x --∴-+=.
⑸
2'=Q
)C x ∴=
. ⑹ 2211
(tan3)sec 33sec 333
x x x '=
??=Q 21d(tan3)sec 3d 3x C x x ∴+=. ⑺ 21111
(ln )2ln ln 22x x x x x '=??=Q
211
d(ln )ln d 2x C x x x
∴+=.
⑻
((2)x '=-=
Q
d()C x ∴=
.
35. 根据下面所给的值，求函数2
1y x =+的,d y y ?及d y y ?-：
⑴ 当1,0.1x x =?=时； 解：
2222()1(1)2210.10.10.21
d 2210.10.2d 0.210.20.01.
y x x x x x x y x x y y ?=+?+-+=?+?=??+==??=??=?-=-=. ⑵ 当1,0.01x x =?=时. 解：
222210.010.010.0201
d 2210.010.02d 0.02010.020.0001.
y x x x y x x y y ?=?+?=??+==??=??=?-=-= 36. 求下列函数的微分：
⑴ e x
y x =； ⑵ ln x y x
=
； ⑶
y = ⑷ ln tan 5x
y =；
⑸ 286e x x
y x =-； ⑹
2(arctan )y x =.
解：
⑴ d (e )d e (1)d x
x
y x x x x '==+；
⑵ 221
ln ln 1ln d ()d ()d d x x
x x x y x x x x x x
?--'===； ⑶
d d (sin
y x x x '==-=；
⑷ ln tan ln tan 21
d (5
)d (ln 55sec )d tan x
x y x x x x
'==??
? ln tan 1
2ln 55
d sin 2x
x x
=??
； ⑸ 22d (86e )d [8(1ln )12e ]d x
x
x
x
y x x x x x '=-=+-； ⑹
221
d (arctan )]d 2arctan ]d .1y x x x x x '==?+； 37. 求由下列方程确定的隐函数()y y x =的微分d y ：
⑴ 1e y
y x =+； ⑵ 22
221x y a b
+=；
⑶ 1
sin 2
y x y =+
； ⑷ 2arccos y x y -=. 解：⑴ 对等式两端微分，得 d e d d(e )y
y
y x x =+ 即d e d e d y
y
y x x y =+
于是e d d .1e y
y
y x x =
-
⑵ 对等式两端微分，得
22
112d 2d 0x x y y a b ?+?= 得22d d .b x y x a y
=-
⑶ 对等式两端微分，得 1
d d cos d 2
y x y y =+ 解得2
d d .2cos y x y
=
-
⑷ 对等式两端微分，得
2d d y y x y -=
解得d .y x =
38. 利用微分求下列函数的近似值：
⑴
⑵ ln 0.99；
⑶ arctan1.02.
解：⑴
1
13
x ≈+
，有
112(1) 2.0083380
==≈?+?=. ⑵ 利用近似公式ln(1)x x +≈，有
ln 0.99ln(10.01)0.0100.=-≈-
⑶ 取()arctan f x x =，令01,0.02x x ==V ， 而2
1
()1f x x '=
+，则 21
arctan1.02arctan10.0211
=0.7954.
≈+?+ 39. 设0a >，且b 与n
a 相比是很小的量，证明：
1
.n b a na -≈+
1
1x
n
≈+，有
1
1
(1)
n n
b b
a a
n a na-
=≈+?=+.
40. 利用一阶微分形式的不变性，求下列函数的微分，其中f和?均为可微函数：
⑴34
[()]
y f x x
?
=+；⑵(12)3sin()
y f x f x
=-+.
解：⑴3434
d[()]d[()]
y f x x x x
??
'
=++
34234
=[()][34()]d
f x x x x x x
??
''
++
⑵d d(12)3dsin()
y f x f x
=-+
=(12)d(12)3cos()d()
(12)(2)d3cos()()d
[2(12)3cos()()]d.
f x x f x f x
f x x f x f x x
f x f x f x x
'--+
''
=--+
''
=--+
41. 求下列函数的高阶微分：
⑴
y=2d y；⑵x
y x
=，求2d y；
⑶cos2
y x x
=?，求10
d y；⑷3ln
y x x
=?，求d n y；
⑸2323
cos sin0
r a
θθ
?-=(a为常数)，求2d r.
解：⑴
d d
y x x
'
==,
2
d d
y x
'
=
3
22
2
(1)d.
x x
-
=+
⑵(ln)(ln)(1ln).
x
y y y y x x x x
'''
===+
2
1
[(1ln)],
x
y x x
x
''=++
故222
1
d[(1ln)]d (0).
x
y x x x x
x
=++>
⑶由莱布尼兹公式，得
10
10(10)10()(10)10
10
10910
10
d(cos2)d[C cos2]d
10π9
[2cos(2)102cos(2π)]d
22
1024(cos25sin2)d.
i i i
i
y x x x x x x
x x x x
x x x x
-
=
==
=++??+
=-+
∑
⑷ 由莱布尼兹公式，得
3()13(1)23(2)33(3)
3122312
4d [(ln )C ()(ln )C ()(ln )
C ()(ln )
]d (1)!(2)!(1)(3)![(1)3(1)6(1)2(1)(2)( +6(1)6n n n n n n n n n n n n n n n n y x x x x x x x x x n n n n n x n x x x x x n n n n ---------'''=?+?+?'''+?----=?-?
+??-?+??----??-334)!]d [(1)6(4)!]d .n
n n n n x x
n x x --=-??- ⑸ 2
2
3
tan r a θ=
两端求导，得22
22323tan sec 2
rr a r θθθ''=??=
等式两端再求导得
2
2
2
3
2
223(2tan sec 4tan sec )r rr a θθθθ'''+=?+?
解得24
314sin 4cos r a θ
θ+''=
故22
24
314sin d d .4cos r a θ
θθ+= 42. 求自由落体运动2
1()2
s t gt =
的加速度. 解：()s t gt '=
()[()]s t s t g ''''==即为加速度. 43. 求n 次多项式11
01n
n n n y a x a x a x a --=++++L 的n 阶导数.
解： 1()
()1()()()()0100()()()()=()=!n n n n n n n n n n n y
a x a x a x a a x a n --=++++?L
44. 设()ln(1)f x x =+，求()
().n f
x
解：()
1(1)!
(ln )
(1)n n n
n x x --=-?
Q ()()1(1)!
()[ln(1)](1)(1)n n n n
n f x x x --∴=+=-?
+.
45. 验证函数e sin x
y x =满足关系式220y y y '''-+=
证明：e (sin cos )x
y x x '=+
e (sin cos )e (cos sin )2cos e x x x y x x x x x ''=++-=?
大学高等数学上考试题库(附答案)
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
高等数学经济数学习题集含答案
《高等数学（经济数学1）》课程习题 集 西南科技大学成人、网络教育学院版权所有 习题 【说明】：本课程《高等数学（经济数学1）》（编号为01014）共有单选题,填空题1,计算题等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。 一、单选题 1.幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称（） A 、函数 B 、初等函数 C 、基本初等函数 D 、复合函数 2.设,0 ,0 ,)(???≥+<=x x a x e x f x 当a=（）时，)(x f 在),(+∞∞-上连续 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3.由函数2x u e y u ==，复合而成的函数为（） A 、2 x e y =B 、2 x e x =C 、2 x xe y =D 、x e y = 4.函数f(x)的定义域为[1，3]，则函数f(lnx)的定义域为（） A 、],[3e e B 、]3,[e C 、[1，3] D 、],1[3e 5.函数x y x y z 2222-+=的间断点是（）A 、{} 02),(2=-x y y x B 、2 1 =x C 、0=x D 、2=y 6.不等式15<-x 的区间表示法是（）A 、(-4,6)B 、(4,6)C 、(5,6)D 、(-4,8) 7.求323 lim 3 x x x →-=-（）A 、３B 、２C 、５D 、－５ 8.求=++→43lim 20 x x x （） A 、１ B 、２ C 、３ D 、４ 9.若f(x)的定义域为[0，1]，则 )(2x f 的定义域为（）
A 、[-1,1] B 、（-1,1） C 、[０,1] D 、[-1,０] 10.求=+-→t e t t 1lim 2（）A 、21(1)e -+B 、211(1)2e +C 、)11(212+-e D 、11 (1)2e -+ 11.求0sin lim x x x ω→=（）A 、０B 、１C 、2ωD 、ω 12.求=-∞→x x x )1 1(lim （）A 、e 1B 、１C 、０D 、e 13.求=-+→x x x 11lim （）A 、１ B 、12C 、13D 、1 4 14.已知x x x f +-= 11)(，求)0(f ＝（）A 、１ B 、２C 、３D 、４ 15.求29)(x x f -=的定义域（）A 、[-1,1]B 、（-1,1）C 、[-3,3]D 、（-3,3） 16.求函数y =的定义域（）A 、[1,2]B 、（1,2）C 、[-1,2]D 、（-1,2） 17.判断函数53)(2+=x x f 的奇偶性（）A 、奇函数B 、偶函数C 、奇偶函数D 、非奇非偶函数 18.求13+=x y 的反函数（）A 、113y x = +B 、113y x =-C 、13 x y += D 、31 -=x y 19.求极限lim )x x →+∞的结果是（）A 、0B 、1 2 C 、∞ D 、不存在 20.极限01lim 23x x →+的结果是（）。A 、0B 、不存在C 、15D 、1 2 21.设x x y sin ?=，则y '=（） A 、)cos 2sin ( x x x x +B 、)sin 2cos (x x x x +C 、)cos 2sin (x x x x -D 、)sin 2cos (x x x x - 22.设4)52(+=x y ,则y '=（）A 、34(25)x +B 、3)52(8+x C 、44(25)x +D 、48(25)x + 23.设t e t y sin =则y ''=（）A 、2sin t e t --B 、2sin t e t -C 、2cos t e t -D 、t e t cos 2-- 24.=--→1 1lim 3 1x x x （）A 、1B 、2C 、3D 、4 25.设)()2)(1()(n x x x x x f ---=K ,则)()1(x f n +=（）A 、)!1(+n B 、1n +C 、0D 、1 26.曲线x y sin 2 += π 在0=x 处的切线轴与x 正向的夹角为：（） A 、 2πB 、3πC 、4 πD 、5π
高等数学求极限的常用方法附例题和详解
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推 论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f
大学高等数学下考试题库(附答案)
一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π =b a 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,2 2<+
10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ??+22sin ，其中2 2224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）
高等数学下册典型例题精选集合.doc
最新高等数学下册典型例题精选集合 第八章 多元函数及其微分法 最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿 的定义域是 从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护 与z? = / 1 定义域 的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕 所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。 兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1)
法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂 ，T() 丿 解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0<
而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂 〉?T O 〉?T O兀十〉 于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿 法2利用无穷小与有界函数的乘积 是无穷小的性质。 因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿 的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以
大学高等数学上习题(附答案)
《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?
(word完整版)高等数学习题集及答案
第一章 函数 一、选择题 1. 下列函数中，【 】不是奇函数 A. x x y +=tan B. y x = C. )1()1(-?+=x x y D. x x y 2sin 2 ?= 2. 下列各组中，函数)(x f 与)(x g 一样的是【 】 A. 3 3)(,)(x x g x x f = = B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== C. 1 1)(,1)(2+-=-=x x x g x x f D. 2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == 3. 下列函数中，在定义域内是单调增加、有界的函数是【 】 A. +arctan y x x = B. cos y x = C. arcsin y x = D. sin y x x =? 4. 下列函数中，定义域是[,+]-∞∞,且是单调递增的是【 】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 5. 函数arctan y x =的定义域是【 】 A. (0,)π B. (,) 22ππ- C. [,] 22ππ- D. (,+)-∞∞ 6. 下列函数中，定义域为[1,1]-，且是单调减少的函数是【 】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 7. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【 】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 8. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【 】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 9. 下列各组函数中，【 】是相同的函数 A. 2()ln f x x =和 ()2ln g x x = B. ()f x x =和()g x = C. ()f x x =和()2 g x = D. ()sin f x x =和()arcsin g x x = 10. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【 】 A. ()cos f x x = B. ()arccos f x x = C. ()tan f x x = D. ()arctan f x x = 11. 反正切函数arctan y x =的定义域是【 】 A. (,)22 ππ - B. (0,)π C. (,)-∞+∞ D. [1,1]- 12. 下列函数是奇函数的是【 】
清华大学微积分习题(有答案版)
第十二周习题课 一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2） 广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。 （3） Young 不等式：由（2）可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。 （4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 （5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 （6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1
大学高等数学第一册考试试题+答案
一、选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 1.设-∞=→)(lim 0 x f x x ，-∞=→)(lim 0 x g x x ，A x h x x =→)(lim 0 ，则下列命题不正确的是 ( B ) A. -∞=+→)]()([lim 0 x g x f x x ; B. ∞=→)]()([lim 0 x h x f x x ; C. -∞=+→)]()([lim 0 x h x f x x ; D. +∞=→)]()([lim 0 x g x f x x . 2. 若∞ →n lim 2)5 1(++n n =( A ) A. 5e ; B. 4e ; C. 3e ; D. 2e . 3. 设0lim →x x f x f cos 1) 0()(--=3,则在点x=0处 ( C ) A. f(x)的导数存在,且)0('f ≠0; B. f(x)的导数不存在; C. f(x)取极小值; D. f(x)取极大值. 4设x e 2-是f(x)的一个原函数,则 ?dx x xf )(= ( A ) A. x e 2-(x+ 2 1)+c; B; x e 2- (1－x)+c; C. x e 2- (x －1)+c; D. －x e 2- (x+1)+c. 5. ? x a dt t f )3('= ( D ) A. 3[f(x)－f(a)] ; B. f(3x)－f(3a); C. 3[f(3x)－f(3a)] ; D. 3 1 [f(3x)－f(3a)]. 二、填空题（本大题共7小题，每题3分，共21分） 1. 若+∞→x lim (1 1 223-+x x +αx+β)=1,则 α= －2 , β= 1 . . 2. 设f(x)在x=a 处可导,则0lim →h h h a f h a f ) 3()(--+= 4)('a f . 3. 设y=5 22)ln(e x a x +++,则dy . 4. 不定积分 dx e x x ?2 = c e x x ++2 ln 12 . 5. 广义积分?-3 11dx x x = 23 10 . . 6. ?-++11 21 sin dx x x x x = 0 .
高等数学(专科)复习题及答案
高等数学期末试卷 一、填空题（每题2分，共30分） 1．函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞ 。 2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f ． 解. 62 -x 3．________________sin lim =-∞→x x x x 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由23 4 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。 解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+- →→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的， 又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7. 设()()()n x x x x y -??--= 21, 则() =+1n y (1)!n + 8．2 )(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。
高数典型例题解析
第一章函数及其图形 例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设
解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 5： 例 f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数 解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。 由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定
大学高等数学下考试习题库(附答案)
欢迎阅读 《高等数学》试卷6（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b 3. （A ） 6π4.A.=?b a 5.函数z A.2 6.设z =A. 2 2 7. 级数（A 8.幂级数=1n n A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =?? ? ??02在收敛域内的和函数是（ ）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 二.填空题（4分?5）
1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. 设L 为取正向的圆周：221x y +=，则曲线积分2 (22)d (4)d L xy y x x x y -+-=? ?____________. 5. .级数 n ∞ 三.1.设z =2.3.计算D ??4. . 一.二.1.2-y x 2.(xy cos 3.62-y x 4. ()n n n n ∑ ∞ =+-01 21. 5.()x e x C C y 221-+= . 三.计算题 1. ()()[]y x y x y e x z xy +++=??cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=??cos sin .
关于大学高等数学期末考试试题与答案
关于大学高等数学期末考 试试题与答案 Last revision on 21 December 2020
（一）填空题（每题2分，共16分） 1 、函数ln(5)y x =+-的定义域为 . 2、2()12x e f x x a ??=??+? 000x x x <=> ，若0lim ()x f x →存在，则a = . 3、已知 30lim(1)m x x x e →+=，那么m = . 4、函数21()1x f x x k ?-?=-??? 11x x ≠= ，在(),-∞+∞内连续，则k = . 5、曲线x y e =在0x =处的切线方程为 . 6、()F x dx '=? . 7、sec xdx =? . 8、20cos x d tdt dx ??=? ???? . （二）单项选择（每题2分，共12分。在每小题给出的选项中，选出正确答案） 1、下列各式中，不成立的是（ ）。 A 、lim 0x x e →+∞= B 、lim 0x x e →-∞= C 、21 lim 1x x e →∞= D 、1lim 1x x e →∞= 2、下列变化过程中，（ ）为无穷小量。 A 、()sin 0x x x → B 、()cos x x x →∞ C 、()0sin x x x → D 、()cos x x x →∞ 3、0lim ()x x f x →存在是)(x f 在0x 处连续的（ ）条件。 A 、充分 B 、必要 C 、充要 D 、无关 4、函数3y x =在区间[]0,1上满足拉格朗日中值定理的条件，则ξ=（ ）。 A 、 B 、
5、若曲线()y f x =在区间(),a b 内有()0f x '<，()0f x ''>，则曲线在此区间内 （ ）。 A 、单增上凹 B 、单增下凹 C 、单减上凹 D 、单减下凹 6、下列积分正确的是（ ）. A 、1 12111dx x x --=-? B 、 122π-==?? C 、22cos xdx ππ-=?0 D 、2220 sin 2sin 2xdx xdx πππ-==?? （三）计算题（每题7分，共 56分） 1、求下列极限 （1 ）2x → （2）lim (arctan )2x x x π →∞?- 2、求下列导数与微分 （1）x x y cos ln ln sin +=，求dy ； （2）2tan (1)x y x =+，求 dx dy ； （3）ln(12)y x =+，求(0)y '' 3、计算下列积分 （1 ）； （2 ）； （3）10arctan x xdx ?. （四）应用题（每题8分，共16分） 1. 求ln(1)y x x =-+的单调区间与极值. 2. 求由抛物线21y x +=与直线1y x =+所围成的图形的面积. 参考答案 一、填空题（每空2分，共16分） 1. ()3,5 2. 2 3. 3 4. 2 5. 10x y -+= 6. ()F x C + 7. sec tan x x C ++ln 8.2cos x
高等数学试题及答案
高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
《 高等数学 》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos
大一高等数学试题及答案
期末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+- ，2b i j k =-+ ，则a b ? = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞ =?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周2 2 2 a y x =+（0≥y ），则曲线积分22 1 L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：?? --01 2 1),(y dx y x f dy ＝ dy y x dx ),(f 0 x -12 1 ? ? 6．级数∑ ∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:2 2 >≤+y y x D ,则32222 ln(1) 1 D x x y dxdy x y ++=++?? （ A ） A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6 、 微 分 方 程 2 2 ()()0y y y ' ''+ - =的阶数为 （ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为
高等数学习题集[附答案及解析]
WORD 格式 第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从 出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。
三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。
WORD 格式 §2 初等函数 必作习题 P31－33 1，8，9，10，16，17 必交习题 一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域： (1))(x e f ； (2))(ln x f ； (3))(arcsin x f ； (4))(cos x f 。 二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -； (2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ； (3)设x x f -= 11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x
三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。 四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ，???>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。
高等数学试题库
高等数学试题库 第二章 导数和微分 一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数
2019年交通大学{高等数学)试题及答案
《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ C ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ A ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ D ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ B ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ A ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ A ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ C ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin
中南大学高等数学答案
中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案 高等数学(专科) 一、填空题： 1.函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 。 解：),2[]2,(∞+--∞ 。 2.若函数52)1(2 -+=+x x x f ，则=)(x f 。 解：62 -x 3.sin lim x x x x →∞-= 。 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知，024=++b a ，得42--=a b ， 又由234 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x ，∴0,1a b =≠ 6.函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。 解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的， 又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7.设()()()n x x x x y -??--= 21, 则() =+1n y (1)!n +