2.4 指数函数导学案

2.4 指数函数

一、【学习目标】

1. 了解指数函数模型的实际背景；

2. 理解有理数指数幂的含义，掌握幂的运算；

3. 理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点。

二、【考情播报】

1.指数函数的图象、单调性是考察的重点，常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，考查分类讨论思想和数形结合思想。

2.多以选择题、填空题形式出现，但以e 为底的指数函数与导数交汇的命题，则以解答题形式出现。

三、【自主学习】

基础回扣

1. 根式

（1） 根式的概念

① 若____,则x 叫做a 的n 次方根,其中n>1且n ∈N *.

叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.

② a 的n 次方根的表示:

**_____(_____(n

x n n N x a x n n N ?=∈=??=∈?当为奇数且时）,当为偶数且时）. （2） 根式的性质

①

*().n a n N =∈

②

_____,n ,0_____,.,0a a n a a ??=≥??=??-

(1) 分数指数幂的意义

① 正分数指数幂：*_______(0,,,1);m

n a a m n N n =>∈>且

② 负分数指数幂： -*___=____(0,,,1);m

n a a m n N n =>∈>且

③ 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂__________.

(2) 有理数指数幂的运算性质

① a r a s =____(a>0,r,s ∈Q);

② (a r)s=___(a>0,r,s∈Q);

③ (ab)r=____(a>0,b>0,r∈Q).

上述有理数指数幂的运算性质,对于无理数指数幂也适用.

3.指数函数的概念

(1) 解析式:y= _____________.

(2) 自变量:________.

(3) 定义域:________.

________

________

过定点______

思考辨析

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).

(1) = -4. ( )

(2) ()()

21

42

-1=-1 ( )

(3) 函数y=a-x是R上的增函数. ( )

(4) 函数

21(1)

x

y a a

+

=>的值域是()

0+.

∞

， ( )

(5) 函数y=2x-1是指数函数. ( )

考点自测

1. 化简1

02---1????

6（2）（）的结果为( ) (A) -9 (B) 7 (C) -10 (D) 9

2. 化简

＜0，y ＜0)得( )

(A) 2x 2y (B) 2xy (C) 4x 2y (D) -2x 2y

3. 当a>0且a ≠1时,函数f(x)=a x-2-3的图象必过定点 .

4.指数函数y=(2-a)x 在定义域内是减函数,则a 的取值范围是 .

5.函数y=( )1-x 的值域是 .

考向 1 指数幂的化简与求值

【典例1】化简：

433

42()a b a b -

(2) 1

111-0-10.25334

273-[3()][81(3)]100.02788---??+-?（0.0081）

【拓展提升】指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.

(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.

(3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分

数.

(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来

解答.

【变式训练】 (1)计算下列各题

:

1

1

203217(0.027)()(2)1).79

----+-②

2. 已知 331

122

m m 22m m

41122m m ---+=--，求 .

考向 2 指数函数图象的应用

【典例2】 已知函数

|1|1()3

x y +=. (1) 作出图象.

(2) 由图象指出其单调区间.

(3) 由图象指出当x 取什么值时函数有最值.

【拓展提升】

1.指数型函数的性质问题的求解思路

对指数型函数的性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解.

指数型方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.

【变式训练】k 为何值时,方程|3x -1|=k 无解?有一解?有两解?

考向 3 指数函数性质的应用

【典例3】 已知11(01).12

x a a a >≠-3f(x)=（+）x 且 (1)讨论f(x)的奇偶性.

(2)求a 的取值范围,使f(x)>0在定义域上恒成立.

【拓展提升】利用指数函数的性质可求解的问题及其解题思路

(1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小.

（2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求

解方法,与前面所讲一般函数的求解方法一致,只需根据条件灵活选择即可.

【变式训练】(1)函数2431()()3

x x f x --+=的单调递减区间为_____，值域为______. (2)已知函数1()(01),1

x x a f x a a a -=>≠+且 ①求f(x)的定义域；

②讨论f(x)的奇偶性；

③讨论f(x)的单调性.

● 考情研习

【典例】(2012·山东高考) 若函数f(x)=a x (a ＞0，a ≠1)在［-1，2］上的最大值为4，

最小值为m ，且函数g(x)=(1-4m) 在［0，+∞)上是增函数，则a=_______.

【思考点评】

1. 指数函数的底数不确定时应分类讨论指数函数的底数不确定时,单调性不明确,从而无法确定其最值,故应分a>1和0

2. 根据函数的单调性确定其最值根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用法

之一,熟练掌握基本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础.

● 高考模拟

1. (2013·烟台模拟)若点(a ，9)在函数y=3x 的图象上，则tan 6

a π 的值为( )

2.(2013·济南模拟) 设y 1=40.9,y 2=80.48,y 3=( 12

)-1.5,则( )

(A)y 3>y 1>y 2 (B)y 2>y 1>y 3 (C)y 1>y 3>y 2 (D)y 1>y 2>y 3

3.(2013·合肥模拟)函数1112x y +??= ???的值域为( )

(A)(-∞，1) (B) ( 12 ，1) (C)［ 12 ，1) (D)［12 ，+∞)

4. (2012·上海高考) 方程4x -2x+1-3=0的解是 .

5. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f(x)=1-2-x ，则不等式

f(x)＜- 12 的解集是( )

(A)(-∞，-1) (B)(-∞，-1］ (C)(1，+∞) (D)［1，+∞)

6.若关于x 的方程21(1)10(01)x

x a a a a m +++=>≠且有解，则m 的取值范围是( ) (A)(-∞，1-

3］ (B)［1-3，0)∪(0，1］ (C)［1-3

，0) (D)［1，+∞)

指数函数学案

3.1.2《指数函数》学案(一） 姜永章 刘欢 张志华 2012.10.13 一、课标点击 (一)学习目标： 1、理解指数的定义并掌握指数函数的图象和性质； 2、能够利用指数函数的图象和性质解决有关问题。 (二)学习重、难点： 重点：指数函数的图象和性质 难点：指数函数的图象和性质的应用 （三）教学方法 自主探究，合作交流。 二、学习探究 问题1： 1、某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……. 1个这样的 细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？ 2、质量为1的一种放射性物质不断地衰变为其他物质，每经过一年剩留的质量约为原来的50%，求这种物质的剩留量y 与时间 x 的函数关系。 观察你写的两个函数解析式，它们的共同特征是什么？你能写出这类解析的一般形式吗？ 学习探究（一） 1、指数函数的定义： 。 2、小练习 指出下列函数哪些是指数函数： ① x y 4=； ② x y 4-=； ③ x y )4(-=； ④ x y π=； ⑤24x y =； ⑥x y 32?=； ⑦(21)x y a =-（12 1 ≠>a a 且） 3、思考与讨论： （1）为什么指数函数的定义中要规定a>0,且a ≠1呢？ （2）如何判断一个函数是否为指数函数？ 问题2、 作函数x y 2=与x y )2 1 (=的图象，并观察图象指出它们的性质。 学习探究（二） 1

2、思考与讨论： （1）底数大小与函数单调性的关系？ （2）指数函数,0(>=a a y x 且1≠a ），x 取何值时， 1>y ？x 取何值时，10<，比较b a ,的大小。 四、变式拓展： 1、已知7.08.0=a ，9.08.0=b ，8.02.1=c ，按大小顺序排列c b a ,, 五、归纳总结 结合本节课的学习谈谈你的收获和体会。 六、课后作业：93页 A 2 B 1,2,3

2020高考数学一轮复习2.4指数与指数函数学案

第四节 指数与指数函数 突破点一 指数幂的运算 [基本知识] 1．根式 (1)根式的概念 若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N * .式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)a 的n 次方根的表示 x n ＝a ??? ? x ＝ n a 当n 为奇数且n >1时，x ＝±n a 当n 为偶数且n >1时. 2．有理数指数幂 幂的有关概念 正分数指数幂：a m n ＝n a m (a ＞0，m ，n ∈N * ，且n ＞1) 负分数指数幂：a － m n ＝ 1a m n ＝ 1 n a m (a ＞0，m ，n ∈N * ，且n ＞1) 0的正分数指数幂等于_0_，0的负分数指数幂无意义 有理数指数幂的性质 a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q) (a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q) (ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q) 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1) 4 －a 4 ＝－a .( ) (2)(－a )24 ＝(－a )12 ＝－a .( ) (3)(n a )n ＝a .( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题 1．计算：π0 ＋2－2 ×? ?? ??2141 2＝________.

答案：118 2．设a >0，将 a 2a ·3 a 2 表示成分数指数幂的形式，其结果是________． 解析： a 2 a ·3 a 2 ＝ a 2a ·a 23 ＝ a 2a 53 ＝ a 2 a 51×32 ＝a 2 ·a - 56 ＝a - 526 ＝a 76 . 答案：a 76 3．若2a －12 ＝ 3 1－2a 3 ，则实数a 的取值范围为________． 解析： 2a －1 2 ＝|2a －1|， 3 1－2a 3 ＝1－2a . 因为|2a －1|＝1－2a . 故2a －1≤0，所以a ≤1 2. 答案：? ????－∞，12 指数幂的运算规律 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． [典例] (1) a 3a ·5 a 4 (a >0)的值是( ) A ．1 B ．a C ．a 1 5 D ．a 1710 (2)? ????2 350＋2－2·? ????2 14-1 2－(0.01)0.5 ＝________. [解析] (1) a 3 a ·5 a 4＝ a 3 a 1 2 ·a 45 ＝a 143--25 ＝a 1710 .故选D.

指数函数及其性质教学设计

一、标题与单位 指向数学学科核心素养的课堂教学设计 ——指数函数及其性质 《数学5 必修A版》（人教版）第二章（2.1.2） 建宁一中肖秀勇 二、教学设计 （一）内容和内容解析 本节课的内容在知识体系上起到承上启下的作用。这是在学生已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上进一步研究指数函数以及指数函数的图像与性质。在实际生活中应用也非常广泛。它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。这节课在授课的时候借助了空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。 我根据所教班级的实际情况，我把这部分内容分为两节课来讲。其一，探究图象及其性质；其二，指数函数及其性质的应用。这是第一节课，所以所讲的内容是“探究图象及其性质”。作为常见函数，它一方面可以进一步深化学生对函数的理解，使学生得到较系统的函数知识和研究函的方法，另一方面也为学习对数函数、幂函数以及等比数列的学打习下坚实的基础。 （二）目标和目标解析 1、知识目标：理解并掌握指数函数的定义，熟悉指数函数的图像特点及其性质。能画出指数函数的简图，会判断指数函数的单调性，并能根据指数函数的单调性判断同底幂的大小。 2、能力目标：一方面培养学生运用信息技术解决数学问题的能力；另一方面提高学生观察分析、类比归纳和问题探究的能力。 3、情感目标：通过主动探究，合作交流学习，使学生养成积极思考，勇于探索的思想，同时培养学生的团队合作精神。 在直观想象核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维。在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。 （三）教学问题诊断分析

10指数与指数函数(无答案)-山东省青岛志贤中学高考数学复习学案

技能训练（十） 指数与指数函数 序号：NO.10 日期：2019.12.19 【考纲传真】 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象 通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13 的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型． 【知识通关】 1．根式 n 次方 根 概 念 如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的__________，其中n ＞1，n ∈N * 表 示 当n 是_______时，a 的n 次方根x ＝n a 当n 是_______时，正数的n 次方根x ＝±n a ；负数没有偶次方根 0的任何次方根都是__，记作n 0＝0 根式 概念 式子n a 叫做______，其中n 叫做________，a 叫做_________ 性质 (n a )n ＝__ 当n 为奇数时，n a n ＝__ 当n 为偶数时，n a n ＝|a |＝___________ 2.有理数指数幂 (1)分数指数幂

①正分数指数幂：a m n ＝_____ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②负分数指数幂：a -m n ＝_______＝_______ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分数指数幂等于__,0的负分数指数幂____________． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r·a s＝_______ (a＞0，r，s∈Q)； ②(a r)s＝_____ (a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝______ (a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 y＝a x a＞10＜a＜1图象 定义域R 值域_________ 性质 过定点______ 当x＞0 时， ______；x ＜0时， ________ 当x＞0时，________；x＜0时，_______ 在R上是 _______ 在R上是_______ 【题型全通】 [题型一]指数幂的化简求值

人教新课标版数学高一必修1学案 2.1.2指数函数及其性质(二)

2.1.2指数函数及其性质(二) 自主学习 1．理解指数函数的单调性与底数a的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题．2．理解指数函数的底数a对函数图象的影响． 基础自测 1．下列一定是指数函数的是() A．y＝－3x B．y＝x x(x>0，且x≠1) C．y＝(a－2)x(a>3) D．y＝(1－2)x 2. 指数函数y＝a x与y＝b x的图象如图，则() A．a<0，b<0 B．a<0，b>0 C．01 D．02 C．－1

规律方法 比较两指数大小时，若底数相同，则先构造出该底数的指数函数，然后利用单调性比较；若底数不同，则考虑选择中间量，通常选择“1”作为中间量． 变式迁移1 比较????4313，223，????－233，????3412的大小． 解简单的指数不等式 【例2】 如果a 2x ＋1≤a x － 5(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围． 规律方法 解a f (x )>a g (x )(a >0且a ≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性，它的一般步骤为 变式迁移2 已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－ x ，则x 的取值范围是____________． 指数函数的最值问题 【例3】 (1)函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2 ，求a 的值； (2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上有最大值14，试求a 的值．

苏教版版高考数学一轮复习第二章函数指数与指数函数教学案

１．根式 （１）n次方根的概念 １若x n＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞１且n∈N*.式子错误!叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． ２a的n次方根的表示 x n＝a? （２）根式的性质 １（错误!）n＝a（n∈N*，n＞１）． ２错误!＝错误! ２．有理数指数幂 （１）幂的有关概念 ３0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． （２）有理数指数幂的运算性质 １a r a s＝a r＋s（a＞0，r，s∈Q）； ２（a r）s＝a rs（a＞0，r，s∈Q）； ３（ab）r＝a r b r（a＞0，b＞0，r∈Q）． ３．指数函数的图象与性质 y＝a x a＞１0＜a＜１

图象 定义域R 值域（0，＋∞） 性质 过定点（0,１） 当x＞0时，y＞１； 当x＜0时，0＜y＜１ 当x＞0时，0＜y＜１； 当x＜0时，y＞１在R上是增函数在R上是减函数 错误! １．指数函数图象的画法 画指数函数y＝a x（a＞0，且a≠１）的图象，应抓住三个关键点：（１，a），（0,１），错误!. ２．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数（１）y＝a x，（２）y＝b x，（３）y＝c x，（４）y＝d x的图象，底数a，b，c，d与１之间的大小关系为c＞d＞１＞a＞b＞0．由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝a x（a ＞0，a≠１）的图象越高，底数越大． ３．指数函数y＝a x（a＞0，a≠１）的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞１与0＜a ＜１来研究． [答案]（１）×（２）×（３）×（４）×

二、教材改编 １．函数f（x）＝２１—x的大致图象为（） A B C D A[f（x）＝２１—x＝错误!错误!，又f（0）＝２，f（１）＝１，故排除B，C，D，故选Ａ．]２．若函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠１）的图象经过点P错误!，则f（—１）＝________. 错误![由题意知错误!＝a２，所以a＝错误!， 所以f（x）＝错误!错误!，所以f（—１）＝错误!错误!＝错误!.] ３．化简错误!（x＜0，y＜0）＝________. [答案] —２x２y ４．已知a＝错误!错误!，b＝错误!错误!，c＝错误!错误!，则a，b，c的大小关系是________．c＜b＜a[∵y＝错误!错误!是减函数， ∴错误!错误!＞错误!错误!＞错误!错误!， 则a＞b＞１， 又c＝错误!错误!＜错误!错误!＝１， ∴c＜b＜a.] 考点１指数幂的运算 指数幂运算的一般原则 （１）有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． （２）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． （３）底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．（４）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

指数函数及其性质导学案

<<指数函数及其性质>>导学案 探究一：指数函数的概念 问题1：细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个（即 12），第2次由2个分裂成4个（即 ），第3次由4个分裂成8个（即 ），如此下去，如果第x 次分裂得到 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是 问题2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出截取x 次后，木棰剩余量y 关于x 的函数关系式是 在2x y = 和 1()2 x y =中，指数 x 是自变量，底数是一个大于0 且 不等于1的常量。我们把这种自变量在指数位置，而底数是大于0不等于1的常量的函数称为指数函数。 （一）指数函数的定义 一般地，函数 叫做指数函数，x 是自变量，函数的定义域为 。 思考：1、指数函数解析式的结构特征： ①x a 前面的系数为 ②a 的取值范围 ③指数只含 （二）巩固练习 1、下列函数是指数函数的序号为 ①x y ? ? ? ??=51 ②25x y =? ③2x y = ④23-=x y ⑤x y 4-= ⑥x y )14.3(-=π ⑦1 2 -=x y 2、 已知函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数，则=a 1．用列表、描点、连线的作图步骤，画出指数函数x y 2=、x y ?? ? ??=21的图像。 -2 -1 0 1 2 1 2 4 4 2 1 通过图像，分析以下问题： 问题1、分别说出x y 2=、x y ?? ? ??=21的性质（定义域、值域、单调性、特殊点） 1 1 2 3 -2 -3 2 -1

问题2、x y 2=与x y ?? ? ??=21的图像有什么关系？ 问题3、底数a 选取不同的值（如3x y =、13x y ?? = ??? ）函数图像又会如何呢？试画出草图并与上 图作比较。 2．通过比较，会发现指数函数x a y =（1,0≠>a a 且）的图像和性质如下： 《巩固训练》 1. 1+=x a y 过定点 _. 2. 若函数x a y )12(+=是减函数，则a 的取值范围是__________________. 例2：已知指数函数x a x f =)(（1,0≠>a a 且）的图象经过点),3(π,求)3(),1(),0(-f f f 的值. 1．下列函数中，指数函数的个数是（ ） ①x y 32?= ②13+=x y ③x y ?? ? ??=32 ④2x y = ⑤12-=x y ⑥x y )3(-=

指数与指数函数复习学案

指数与指数函数复习学案（解析篇） 【高考要求】指数函数（B ） 【学习目标】理解有理数指数幂的含义；了解实数指数幂的意义,能进行幂的运算. 理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的性质,会画指数函数的图象. 了解指数函数模型的实际案例,会用指数函数模型解决简单的实际问题. 【学习重难点】指数函数的性质及其应用 （课前基础知识回顾，事先发给学生填写，课上用投影打出一起回顾） 一、根式 1．根式的概念 2．两个重要公式 (1)n a n ＝??? a ， n 为奇数， |a |＝? ???? a (a ≥0)，－a (a ＜0)， n 为偶数； (2)(n a )n ＝a (注意a 必须使n a 有意义)． 二、有理数指数幂 1．幂的有关概念 (1)正分数指数幂：a m n ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； (2)负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1 n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 2．有理数指数幂的性质 (1)a r a s ＝a r ＋ s (a >0，r ，s ∈Q)； (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q)； (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q)．

三、指数函数的图象和性质 函数 y ＝a x (a >0，且a ≠1) 图象 01 图象特征 在x 轴上方，过定点(0,1) 性 质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 单调性 减函数 增函数 函数值变化 规律 当x >0时，y >1 当x <0时，y >1；当x >0时，0

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)指数与指数函数(含解析)

2016届高考数学一轮复习教学案 指数与指数函数 [知识能否忆起] 一、根式 1．根式的概念 2．两个重要公式 (1)n a n＝ ?? ? ??a，n为奇数， |a|＝ ?? ? ??a a， －a a＜， n为偶数； (2)(n a)n＝a(注意a必须使 n a有意义)． 二、有理数指数幂1．幂的有关概念

(1)正分数指数幂：a m n ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； (2)负分数指数幂：a －m n ＝ 1 a m n ＝ 1 n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 2．有理数指数幂的性质 (1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q)； (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q)； (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q)． 三、指数函数的图象和性质 [小题能否全取]

1．(教材习题改编)化简[(－2)6]1 2－(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9 解析：选B 原式＝(26) 1 2 －1＝7. 2．(教材习题改编)函数f (x )＝1－2x 的定义域是( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞) 解析：选A ∵1－2x ≥0，∴2x ≤1，∴x ≤0. 3．已知函数f (x )＝4＋a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A ．(1,5) B ．(1,4) C ．(0,4) D ．(4,0) 解析：选A 当x ＝1时，f (x )＝5. 4．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则实数a 的值为________． 解析：∵a 2－3a ＋3＝1，∴a ＝2或a ＝1(舍)． 答案：2 5．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知0

指数函数及其性质导学案

2。1。2 指数函数及其性质（学案） （第1课时） 【知识要点】 1.指数函数； 2.指数函数的图象; 3.指数函数的单调性与特殊点 【学习要求】 1。理解指数函数的概念与意义; 2.能借助计算器或计算机画出具体的指数函数的图象，并理解指数函数的单调性与特殊点; 【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 54 页～第57页） 1。指数函数的概念 (1）函数x y 073.1=与x y )2 1(=的特点是 。 （2）一般地，函数x a y =（ )叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域是 . 2.指数函数的图象与性质 （1)列表、描点、作图象 x x y 2= x y )2 1 (= 图象 x y 2= x y )2 1(= 2- 5.1- 1- 5.0- 0 5.0 1 5.1 2 （2）两个图象的关系 函数x y 2=与x y )2 1(=的图象,都经过定点 ，它们的图象关于 对称. 通过图象的上升和下降可以看出， 是定义域上的增函数, 是定义域上的减函数. （3)类比以上函数的图像,总结函数性质，填写下列表格：

10<a 图象 定义域 值域 性质 【基础练习】 1。指出下列哪些是指数函数 (1）x y 4=；（2）4 x y =；(3）x y 4-=；(4）x y )4(-=;（5）x y π=； （6)24x y =；（7）x x y =；（8))12 1 ()12(≠> -=a a a y x 且。 2。作出x y 3=的图象. 3。求下列函数的定义域及值域： （1）3 -=x a y ； （2）x x y 22 3-=； （3）11 )2 1 (-=x y 4.下列关系中正确的是（ ）. （A ）313232)21()51()21(<< （B)32 3231)5 1()21()21(<< (C)323132)21()21()51(<< （D ）313232)2 1()21()51(<<

3.1《指数函数的图像和性质》教学设计

§3.1 《指数函数的图像和性质》教学设计 一、教学指导思想与理论依据 通过学习新课标和新的教育理念，我深深感受到：在中学数学的教学过程中，不仅要重视让学生掌握知识，更应重视让学生经历数学知识的形成与应用过程；重视学习过程中的情感体验；重视培养学生自主探究，合作交流，勇于创新的意识和能力。以往那种教师说的多，强调的多，学生未必会记住；教师讲得精彩，学生未必能理解；学生做题多，未必正确率高。同时教学中应采用多种教学形式，多种教学手段进行，在适当的时候，合理的运用多媒体，能有益的辅助教学，提高课堂效率，丰富教学内容。 新课标的教育宗旨是：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。这就要求在课程的设计中，要联系生活实际，联系学生已有的知识经验，学习内容要有层次。 二、教材分析： 本节课是北师大版高中《数学》必修1第三章第三节《指数函数》的内容。我将从以下两个方面对教材进行分析。 （一）教学内容的地位和作用分析: 《指数函数》是函数中的一个重要基本初等函数，是后续知识——对数函数（指数函数的反函数）的准备知识。而指数函数的图像和性质是学习指数函数的重要内容。通过这部分知识的学习进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识并体会研究函数较为完整的思维方法，特别是通过这部分的学习，对于学生进行数形结合、几何直观等重要的数学思想方法的渗透，有很大的促进作用，这些数学思想方法对于进一步探究对数函数、三角函数等有很强的引领作用。 （二）教材分析和教材处理： 教材在安排这一节内容时，共安排了三个课时，《指数函数的概念及指数函数x y 2=与 x y ?? ? ??=21的图象和性质》 、《指数函数的图像和性质（1）》、《指数函数的图像和性质（2）》第一课时侧重指数函数概念的理解以及两个具体的指数函数图像的认识，第二课时在第一课时基础上探究指数函数的性质及性质，第三课时侧重性质的应用。 我对教材内容进行了重新的整合与处理，这部分内容的重点在于学生根据图像研究指数函数的性质，难点在于性质的运用。性质的研究必须以具体的指数函数图像为载体，而列

(完整版)指数函数及其性质教案

2.1.2指数函数及其性质教学设计 一、教学目标： 知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。 过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。 情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 二、教学重点、难点： 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 三、教学过程： （一）创设情景 问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗？ 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝2x 。 问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x 表示,剩留量用y 表示。 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝0.84x 。 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 1．指数函数的定义 一般地，函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如2 1,2=-=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,x a 无意义） (3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a .

2.1.2 指数函数及其性质导学案(1)

高一数学组 编写人： 审核人： - 1 - §2.1.2 指数函数及其性质（1） 学习目标 1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系； 2. 理解指数函数的概念和意义； 3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（单调性、特殊点）. P 54~ P 57，找出疑惑之处） （1）0 a = ；（2）n a -= ； （3）m n a = ；m n a -= .其中*0,,,1a m n N n >∈> 复习2：有理指数幂的运算性质. （1）m n a a = ；（2）()m n a = ；（3）()n ab = . 二、新课导学 探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念 实例： A ．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么？ B ．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？ 讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？ 新知：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential func tion ），其中x 是自变量，函数的定义域为R . 反思：为什么规定a ＞0且a ≠1呢？否则会出现什么情况呢？ 例1.判断下列函数是否为指数函数？ (1)=y x 4 (2)4 x y = (3)x y 4-= (4) 1 4+=x y 探究任务二：指数函数的图象和性质 引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ 回顾： 研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： 1 () x y =， 2x y = 讨论：（1）函数2x y =与1()2x y =的图象有什么关系？如何由2x y =的图象画出1 ()2 x y =的图象？ （2）根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. 变底数为3或1 3 后呢？ 新知：根据图象归纳指数函数的性质 )例2.函数()x f x a =（0,1a a >≠且）的图象过点(2,)π，求(0)f ,(1)f - , (1)f 的值. 小结：①确定指数函数重要要素是 ； ② 待定系数法. 三、总结提升 ※ 学习小结：①指数函数模型应用思想；②指数函数概念；③指数函数的图象与性质； ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为（ ）. A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 任意值 2. 函数f (x )=21x a -+ (a >0,a ≠1)的图象恒过定点（ ）. A. (0,1) B. (0,2) C. (2,1) D. (2,2) 3. 指数函数①()x f x m =，②()x g x n =满足不等式 01m n <<<，则它们的图象是（ ）.

指数运算与指数函数(学案)

指数运算与指数函数 高考要求 知识梳理 知识点一：有理数指数幂 1. n 次方根概念与表示 一般地，如果n x ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1，且*N n ． n

2.根式概念 式子a n 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 3.根式的性质 ① n a =. ② ||,a n a n ?=??，为奇数为偶数； 4.分数指数幂 正分数指数幂：a m n =√a m n (a >0,m,n ∈N ?,n >1) 负分数指数幂：a ? m n = 1 a m n = √a m n a >0,m,n ∈N ?,n >1) 0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 5.实数指数幂的运算性质 a r a s =a r+s (a >0,s ∈Q ) (a r )s =a rs (a >0,s ∈Q ) (a b )r =a r b r (a >0,s ∈Q ) 知识点二：指数函数的图像和性质 1.指数函数概念： 形如0(>=a a y x 且1≠a ）函数叫指数函数，其中x 是自变量，函数定义域为R . 2.指数函数图象与性质 R

知识点三：指数函数性质的运用（比较大小） 指数函数在第一象限按逆时针方向底数依次增大 考点解析 典型习题一：指数幂(根式)的化简与计算 例1、已知当27=x ,64=y 时，化简并计算 例2、已知 01x <<，且1 3x x -+=，求112 2 x x - -的值. 典型习题二：指数函数的图像问题 例1、已知函数2 ()x f x m -=（0m >，且1m ≠）恒过定点(,)a b ，则在直角坐标系中函数 ||1 ()()x b g x a +=的图象为（ ） )6 5 )(41(561 312112 13 2-----y x y x y x

【学案】【第2章 函数】§2.6 指数与指数函数

§2.6 指数与指数函数 【复习目标】 1.了解指数函数模型的实际背景，知道指数函数是一类重要的函数模型； 2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算； 3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点。【基础练习】 1．函数( ) f x）A．(] ,0 -∞B．[) 0,+∞C．() ,0 -∞ 2．已知函数()()() f x x a x b =--（其中a b >），若(f 所示，则函数()x g x a b =+的图象大致为（ 3．若1,0,b b b b a b a a a a -- >>+=- 且则的值等于（） A B．22 - 或C．2-D．2 4．已知()2|1| x f x x =+-，则[(1)] f f=____________。 5．如图2-6-2，是指数函数： ①x y a =，②x y b =，③x y c =，④x y d =的图象， 则a、b、c、d与1的大小关系是。 【典型例题】 例1．求下列各式的值： （1）[] 14 030.75 3 0.0641216 --- -+-+ （）（）（） （2）已知 11 223 x x- +=，求 33 22 2 3 x x x x - - ++ ++ 的值。 图2-6-2

例2．已知()442 x x f x =+，x R ∈。 （1）求证：对x R ?∈，()(1)f x f x +-是定值；（2）求()()()1210001001 10011001f f f +++L 的值。 例3．定义在R 上的函数()f x 满足(4)()f x f x +=，当2≤x ≤6时，||1()(),(4)312x m f x n f -=+=。 (1) 求m , n 的值； (2) 比较2(log )f m 与2(log )f n 的大小。 例4．已知2()()(0,1)1x x a f x a a a a a -=->≠-。（1）判断()f x 的奇偶性；（2）讨论的单调性； （3）当[1,1]x ∈-时，()f x b ≥恒成立，求b 的取值范围。 §2.6 指数与指数函数参考答案 【基础练习】 1. A 2. A 3. D 4. 5 5. 1b a d c <<<< 【典型例题】 1.（1）14380 ；（2）25 2. 解：（1）114444()(1)424242424x x x x x x x f x f x --+-=+=+++++?42142x x +==+，为定值。 （2）由（1）知：110002999()()()()f f f f +=+3998()()1f f =+==L 1239991000()()()()()500 1001 1001 100110011001 f f f f f ++ ++=L 3. 解：(1)由题意知：f(2)＝f(6) ∴(12 )|2-m|+n ＝(12 )|6-m|+n ∴|2-m|＝|6-m| ∴m ＝4 ∴f(x)＝(12 )|x-4|+n ∴f(4)＝(12 )|4-4|+n ＝1+n ＝31 ∴n ＝30 故m ＝4，n ＝30 (2)f(x)的图象关于x ＝4对称，且在(4,+∞)上递减 又|log 2m-4|＝|log 24-4|＝2 |log 2n-4|＝|log 230-4|＝216 30 log 2<, ∴f(log 2m)＜f(log 2n)

指数函数及其性质导学案

指数函数及其性质导学 案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

指数函数及其性质（学案） （第1课时） 【知识要点】 1.指数函数； 2.指数函数的图象； 3.指数函数的单调性与特殊点 【学习要求】 1.理解指数函数的概念与意义； 2.能借助计算器或计算机画出具体的指数函数的图象，并理解指数函数的单调性与特殊点； 【预习提纲】 （根据以下提纲，预习教材第 54 页～第57页） 1.指数函数的概念 （1）函数x y 073.1=与x y )2 1 (=的特点是 . （2）一般地，函数x a y =（ ）叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域是 . 2.指数函数的图象与性质 函数x y 2=与x y )2 1 (=的图象，都经过定点 ，它们的图象关于 对称.通过图象的上升和下降可以看出， 是定义域上的增函数， 是定义域上的减函数.

1.指出下列哪些是指数函数 （1）x y 4=；（2）4x y =；（3）x y 4-=；（4）x y )4(-=；（5）x y π=； （6）24x y =；（7）x x y =；（8）)12 1 ()12(≠>-=a a a y x 且. 2.作出x y 3=的图象. 3.求下列函数的定义域及值域： （1）3 -=x a y ； （2）x x y 22 3-=； （3）11 )2 1 (-=x y 4.下列关系中正确的是（ ）. （A ）31 32 32 )21()51()21(<< （B ）32 32 31 )5 1 ()21()21(<< （C ）323132)21()21()51(<< （D ）313232)2 1 ()21()51(<< 【典型例题】 例1 已知指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x 且的图象经过点),3(π，求)0(f ， )1(f ，)3(-f 的值. 例2 比较下列各题中两个值的大小： （1）5.27.1，37.1；

指数导学案

指数与指数函数（预习案） 命题人 张慧 班级 姓名 1、 了解指数函数模型的实际背景。 2、 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 3、 理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点。 1、 根式和正数的分数指数幂 （1）=a n m (a>0,m,n ∈N +,且m/n 为既约分数)。 （2）=-a n m (a>0,m,n ∈N +,且m/n 为既约分数)。 （3）0的任何次方根都是 ，即 =0。 （4）() =n a n （n ∈N +）。 （5）当n 为奇数时，=n n a ；当n 为偶数时，=n n a 。 2、 有理指数幂的运算性质 （1）a a s r ?= （a>0,r,s ∈Q ）. （2） ()a r s = （a>0,r,s ∈Q ）. (3 )()ab r = (a>0,b>0,r ∈Q). （4）=÷a a s r （a>0,r,s ∈Q ）. 3、 指数函数 一般地，函数y=a x (a>0,a ≠1,x ∈R)叫做 ，其中x 是自变量。

4. 指数函数的图像与性质 1 .已知函数()()1,0≠>+=-a a x f a a x x ，若f(-1)=3,则f(0)+f(2)的值为（ ） A.13 B.9 C.7 D.11 2. 若定义域为R 的函数f(x)满足条件：f(0)=1,f(3x)=[f(x)]3,则f(x)可能是（ ） A.f(x)=2x B.f(x)=x 3 C.f(x)=(1/4)x D.f(x)=log 2(x+1) 3. 函数f(x)=a x-2009+2009(a>0,a ≠1)的图像恒过定点P ，则P 点坐标为 4. 函数f(x)=(1/5)x -3x 在闭区间[-1,1]上的最大值等于 。 5. 函数()()3/23+=x x f 的单调递减区间是 ，该函数的最大值是 。 通过这堂课的学习，我明确了 收获与感受 疑惑之处

指数函数及其性质(学案3)

2.1.2指数函数及其性质（第三课时） 自学导引： 1.若f(x)的单调递增区间[m,n],则) 1() (>=a a y x f 的单调递增区间为 2. 若 f(x)的单调递减区间[s,t],则 )1()(>=a a y x f 的单调递减区间为 3. 若 f(x)的单调递增区间[m,n],则 )10()(<<=a a y x f 在区间[m,n]上 4. 若 f(x)的单调递减区间[s,t],则 )10() (<<=a a y x f 在区间[s,t]上 5.如果函数f(x)的定义域为A ，那么函数 )10()(≠>=a a a y x f 且的定义域为 。 6. 如果函数f(x)的值域为[m,n]，那么函数 )10() (≠>=a a a y x f 且的值域为 。 典例分析：一.复合函数的单调性 例1.求下列函数的单调区间。 （1）11 ()()142 x x y =-+； （2）2 2) 2 1 (++-=x x y ； 二、解指数不等式 例2：（1）不等式 22 12 2≤-x ）（的解集为 。 （2）设函数??? ??>≤-=-) 0()0(12)(21x x x x f x 若1)(0>x f ， 则x 0的取值范围是 。 三、指数函数图象变换 例3.利用函数()2x f x =的图像，作出下列函数图象，并总结出规律。 （1） f （x+2）； （2）f （x ）-2； （3）f （-x ）； （4）-f （x ）；

课后作业： 1、当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 . 2、函数3 22 2)(--=x x x f 的单调递增区间是 . 3、分别求函数 2 32)(++-=x x a x f （0 a ，且1≠a ） 的单调递增区间和递减区间。 4、 当a ＞1时，判断函数y =1 1 -+x x a a 是奇函数. 5、已知x x a a a a -++>++122)2()2(，则x 的取值范围是。 6、设0 a 5 3x -x 2+成立的 x 的集合。 7、作出函数||()2x f x =的图像，并指出其单调区间。