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证明(二)经典讲义

证明(二)经典讲义
证明(二)经典讲义

证明(二)

1.你能证明它们吗

一、主要知识点

1、证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有

HL)及全等三角形的性质是对应边相等,对应角相等。

2、等腰三角形的有关知识点。

等边对等角;等角对等边;等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(三线合一)

3、等边三角形的有关知识点。

判定:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形;

三条边都相等的三角形是等边三角形;

三个角都是60°的三角形是等边三角形;

有两个叫是60°的三角形是等边三角形。

性质:等边三角形的三边相等,三个角都是60°。

4、反证法:先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条

件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法

二、重点例题分析

例1:如下图,在△ABC中,∠B=90°,M是AC上任意一点(M与A不重合)MD⊥BC,交∠ABC的平分线于点D,求证:MD=MA.

例2 如右图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,求证:AE=CD.

例3:如图:已知AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,F为垂足,

求证: ① AC=AD;②CF=DF。

图2 图1B C

D

O O D

C

B

例4 如图1、图2,△AOB ,△COD 均是等腰直角三角形,∠AOB =∠COD =90o,

(1)在图1中,AC 与BD 相等吗?请说明理由(4分)

(2)若△COD 绕点O 顺时针旋转一定角度后,到达力2的位置,请问AC 与BD 还相等吗?为什么?(8分)

例5 如图,在△ABC 中,AB=AC 、D 是AB 上一点,E 是AC 延长线上一点,且CE=BD ,连结DE 交BC 于F 。(1)猜想DF 与EF 的大小关系;(2)请证明你的猜想。

例6 证明:在一个三角形中至少有两个角是锐角.

2.直角三角形

一、主要知识点

1、直角三角形的有关知识。

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方;

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形;

在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半; 在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半。 2、互逆命题、互逆定理 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 二、典型例题分析

例1 :说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假: (1)四边形是多边形;

(2)两直线平行,同旁内角互补; (3)如果ab=0,那么a=0,b=0;

(4)在一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边相等 例2:如图,ABC ?中,35

90,12,,22

C C

D BD ∠=?∠=∠=

=,求AC 的长。

例3 :如图所示的一块地,∠ADC=90°,AD=12m ,CD=9m ,AB=39m ,BC=36m ,求这块地的面积。

例4:如图,一架2.5米长的梯子AB ,斜靠在一竖直的墙AC 上,这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么梯足将向外移多少米?

C

1

例5 :如图2-5所示.在等边三角形ABC 中,AE=CD ,AD ,BE 交于P 点,BQ ⊥AD 于Q .求证:BP=2PQ .

3.线段的垂直平分线

4.角平分线

一、主要知识点

1、 线段的垂直平分线。

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;

到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。

三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。 2、 角平分线。

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。 三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。 3、 逆命题、互逆命题的概念,及反证法

如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

二、重点例题分析 例1:(1)在△ABC 中,AB =AC ,AB 的垂直平分线交AB 于N ,交BC 的延长线于M ,∠A =0

40,求∠NMB 的大小

(2)如果将(1)中∠A 的度数改为0

70,其余条件不变,再求∠NMB 的大小 (3)你发现有什么样的规律性?试证明之.

(4)将(1)中的∠A 改为钝角,对这个问题规律性的认识是否需要加以修改

例2:在△ABC 中,AB 的中垂线DE 交AC 于F ,垂足为D ,若AC=6,BC=4,求△BCF 的周长。

例3:如图所示,AC=AD ,BC=BD ,AB 与CD 相交于点E 。求证:直线AB 是线段CD 的垂直平分线。

A

C D E

B

例4:如图所示,在△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=1200

,D 、F 分别为AB 、AC 的中点,

A B

N M

A B C N

M A B

C

N

M

,,E、G在BC上,BC=15cm,求EG的长度。

DE AB FG AC

⊥⊥

A

例5::如图所示,Rt△ABC中,,D是AB上一点,BD=BC,过D作AB的垂线交AC于点E,CD交BE于点F。求证:BE垂直平分CD。

C

E

F

A D B

例6::在⊿ABC中,点O是AC边上一动点,过点O作直线M N∥BC,与∠ACB的角平分线交于点E,与∠ACB的外角平分线交于点F,求证:OE=OF

⊥于例7、如图所示,AB>AC,∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D,自D作DE AB

⊥于,求证:BE=CF。

E,DF AC F

A

E

B M C

F

D

相应练习

1、 如图,在△ABC 中,AB=AC=BC ,

于Q 。求证:

BP=2PQ

2、 如图,△ABC 中,AB= AC ,P 、Q 、R

分别在 求证:点Q 在PR 的垂直平分线上。

3、 如图,△ABC 中,AD 为∠BAC F ,连

接AF 。 求证:∠B=∠CAF

4、 已知:如图,A B ∥CD ,∠BAC 的角平分线与∠DCA 的角平分线交于点M ,经过M 的直

线EF 与AB 垂直,垂足为F ,且EF 与CD 交于E 求证:点M 为EF 的中点

单元训练题

一、精心选一选,慧眼识金(每小题3分,共30分)

1.如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形

状的玻璃.那么最省事的办法是带( )去配.

A . ①

B . ②

C . ③

D . ①和② 2.下列说法中,正确的是( ).

A .两腰对应相等的两个等腰三角形全等

B .两角及其夹边对应相等的两个三角形全等

C .两锐角对应相等的两个直角三角形全等

D .面积相等的两个三角形全等

3.如图2,AB ⊥CD ,△ABD 、△BCE 都是等腰三角形,如果CD =8cm ,BE =3cm ,那么AC 长为( ).

A .4cm

B .5cm

C .8cm

D .34cm

4.如图3,在等边ABC ?中,,D E 分别是,BC AC 上的点,且BD CE =,AD 与BE 相交于点P ,则12∠+∠的度数是( ).

A .0

45 B .0

55 C .0

60 D .0

75

5.如图4,在ABC ?中,AB=AC ,0

36A ∠=,BD 和CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线,且相交于点P. 在图4中,等腰三角形(不再添加线段和字母)的个数为( ). A .9个 B .8个 C .7个 D .6个

6.如图5,123,,l l l 表示三条相互交叉的公路,现在要建一个加油站,要求它到三条公路的

距离相等,则可供选择的地址有( ).

A .1处

B .2处

C .3处

D .4处 7.如图6,A 、C 、

E 三点在同一条直线上,△DAC 和△EBC 都是 等边三角形,AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ,有如下结 论:① △ACE ≌△DCB ;② CM =CN ;③ AC =DN. 其中,正确结论的个数是( ).

A .3个

B .2个

C . 1个

D .0个

8.要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离,先在AB 的垂线BF 上取两点C ,D ,使CD=BC ,再作出BF 的垂线DE ,使A ,C ,E 在同一条直线上(如图7),可以证明ABC ?≌EDC ?,得ED=AB. 因此,测得DE 的长就是AB 的长,在这里判定ABC ?≌EDC ?的条件是( ). A .ASA B .SAS C .SSS D .HL

9.如图8,将长方形ABCD 沿对角线BD 翻折,点C 落在点E 的 位置,BE 交AD 于点F.

求证:重叠部分(即BDF ?)是等腰三角形. 证明:∵四边形ABCD 是长方形,∴AD ∥

BC

又∵BDE ?与BDC ?关于BD 对称,

∴ 23∠=∠. ∴BDF ?是等腰三角形. 请思考:以上证明过程中,涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项?( ). ①12∠=∠;②13∠=∠;③34∠=∠;④BDC BDE ∠=∠ A .①③ B .②③ C .②① D .③④

10.如图9,已知线段a ,h 作等腰△ABC ,使AB =AC ,且 BC =a ,BC 边上的高AD =h . 张红的作法是:(1)作线段 BC =a ;(2)作线段BC 的垂直平分线MN ,MN 与BC 相 交于点D ;(3)在直线MN 上截取线段h ;(4)连结AB , AC ,则△ABC 为所求的等腰三角形. 上述作法的四个步骤中,有错误的一步你认为是( ).

A . (1)

B . (2)

C . (3)

D . (4) 二、细心填一填,一锤定音(每小题3分,共30分)

1.如图10,已知,在△ABC 和△DCB 中,AC=DB ,若不增加任何字母与辅助线,要使 △ABC ≌△DCB ,则还需增加一个条件是____________. 2.如图11,在Rt ABC ?中,090,BAC AB AC ∠==,分别过点,B C 作经过点A 的直线的垂线段BD ,CE ,若BD=3厘米,CE=4厘米,则DE 的长为

_______.

3.如图12,P ,Q 是△ABC 的边BC 上的两点,且BP =PQ =QC =AP =AQ ,则∠ABC 等于_________度.

图8

4.如图13,在等腰ABC ?中,AB=27,AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交AC 于点E ,若BCE ? 的周长为50,则底边BC 的长为_________. 5.在ABC ?中,AB=AC ,AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为0

50,则 底角B 的大小为________.

6.在《证明二》一章中,我们学习了很多定理,例如:①直角三角形两条直角边的平方和 等于斜边的平方;②全等三角形的对应角相等;③等腰三角形的两个底角相等;④线段 垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;⑤角平分线上的点到这个角两边的 距离相等.在上述定理中,存在逆定理的是________.(填序号)

7.如图14,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=5cm ,BC=10cm ,将△ABC 折叠,点B 与点A 重合,折痕为DE ,则CD 的长为________. 8.如图15,在ABC ?中,AB=AC ,0

120A ∠=,D 是BC 上任意一点,分别做DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,如果BC=20cm ,那么DE+DF= _______cm.

9.如图16,在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠B =15°,DE 是AB 的中垂线,垂足为D ,交BC 于点E ,若4BE =,则AC =_______ .

10.如图17,有一块边长为24m 的长方形绿地,在绿地旁边B 处有健身

器材, 由于居住在A 处的居民践踏了绿地,小颖想在A 处立一个标 牌“少走_____步,踏之何忍?”但小颖不知在“_____”处应填什么 数字,请你帮助她填上好吗?(假设两步为1米)? 三、耐心做一做,马到成功(本大题共48分)

1.(7分)如图18,在?ABC 中,0

90ACB ∠=,CD 是AB 边上的高,

030A ∠=. 求证:AB= 4BD.

2.(7分)如图19,在?ABC 中,0

90C ∠=,AC=BC ,AD 平分CAB ∠ 交BC 于点D ,DE ⊥AB 于点E ,若AB=6cm. 你能否求出BDE ?的

周长?若能,请求出;若不能,请说明理由.

3.(10分)如图20,D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点, BE 与CD 相交于O 点. 现有四个条件:①AB =AC ;②OB =OC ;

③∠ABE =∠ACD ;④BE =CD .

(1)请你选出两个条件作为题设,余下的两个作为结论,写出一个正确..的命题:

命题的条件是 和 ,命题的结论是 和 (均填序号). (2)证明你写出的命题. 已知: 求证: 证明:

4.(8分)如图21,在ABC ?中,0

90A ∠=,AB=AC ,ABC ∠的 平分线BD 交AC 于D ,CE ⊥BD 的延长线于点E. 求证:1

2

CE BD =.

5.(8分)如图22,在?ABC 中,090C ∠=.

(1)用圆规和直尺在AC 上作点P ,使点P 到A 、B 的距离相等. (保留作图痕迹,不写作法和证明);

(2)当满足(1)的点P 到AB 、BC 的距离相等时,求∠A 的度数.

6.(8分)如图23,0

90AOB ∠=,OM 平分AOB ∠,将直角三角板的顶 点P 在射线OM 上移动,两直角边分别与OA 、OB 相交于点C 、D ,问 PC 与PD 相等吗?试说明理由.

图23

图21

四、拓广探索(本大题12分)

如图24,在?ABC 中,AB=AC ,AB 的垂直平分线交AB 于点N ,

交BC 的延长线于点M ,若0

40A ∠=. (1)求NMB ∠的度数;

(2)如果将(1)中A ∠的度数改为070,其余条件不变,再求

NMB ∠的度数;

(3)你发现有什么样的规律性,试证明之;

(4)若将(1)中的A ∠改为钝角,你对这个规律性的认识是否需要加以修改?

图24

人教版八年级下册 第十六章 二次根式知识清单及典型题型练习 讲义(无答案)

二次根式知识清单及典型题型练习 姓名________ 1.二次根式:形如a (a ≥0)的式子,叫做二次根式。 ) )00x x ><中,二次根式有 个 二次根式有意义的条件: ①当__________时, 1 1 m +有意义;②当__________ x 有( )个.A .0 B .1 C .2 D .无数 变式:已知x,y 都是实数,且满足5.011+-+-< x x y ,化简 1 1--y y =_________. 2.最简二次根式:必须同时满足下列条件:⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。 练.下列式子为最简二次根式的是( ) 3.二次根式的性质: (1)(a )2=a (a ≥0); (2 ) 利用二次根式的性质化简:①.若0x <,则x = ;②.若0,0a b <>,则 = ;2 = ;④若0xy ≠,=-成立的条件是 ;⑤若01x <<等于 . ⑥= ;⑦3y =,x +y 的平方根=_____. 4.同类二次根式: 二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 练:下列各组二次根式中是同类二次根式的是( ) A .2112与 B .2718与 C .3 13与 D .5445与 变式:若最简二次根式____,____a b ==。 5.二次根式的运算: (1)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. a (a >0) ==a a 2 a -(a <0) 0 (a =0);

(2)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. ab =a ·b (a≥0,b≥0); b b a a = (a>0,b≥0) (特别应注意a 、b 的取值) 练:①使等式 ()()1111x x x x +-= -+g 成立的条件是 。 ②当x __________时, 22 x x x x =--有意义; ③计算: ( ) 483273_____________-÷=;33 23121418÷???? ? ?++-= 6、二次根式的大小比较(通常采用平方法,作差法,求倒法) 比较大小:①23- 32- ②53- 23+ ③76- 65- 变式:设25,3223-=-=-= c ,b a ,则a 、b 、c 的大小关系 7、在实数范围内分解因式 在实数范围内分解因式。(1)4x 2-3= ;(2)9y 4-4= 8、规律性问题 练:观察下列各式及其验证过程: , 验证:; 验证:. (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想4 4 15 =_________; (2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n≥2,且n 是整数)表示的等式,并给出验证过程. 变式: 已知,则a _________ 巩固练习: 1、下列根式中,最简二次根式为:( ) A 0.2b B .x 2 4- C . x 4 D .()x +42

最新九年级二次函数讲义

二次函数 一.知识梳理 1、定义:只含有一个未知数,且未知数最高次数为2的方程叫做一元二次方。一元二次方程的标准式:ax2+bx+c=0 (a≠0) 其中:ax2叫做二次项,bx叫做一次项,c叫做常数项 a是二次项系数,b是一次项系数 2、一元二次方程根的判别式(二次项系数不为0): “△”读作德尔塔,在一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)中△=b2-4ac △=b2-4ac>0 <====> 方程有两个不相等的实数根,即:x1,x2 △=b2-4ac=0 <====> 方程有两个相等的实数根,即:x1=x2 △=b2-4ac<0 <====> 方程没有实数根。 注:“<====>”是双向推导,也就是说上面的规律反过来也成立,如:告诉我们方程没有实数根,我们便可以得出△<0 3、一元二次方程根与系数的关系(二次项系数不为0;△≥0),韦达定理。 ax2+bx+c=0 (a≠0)中,设两根为x1,x2,那么有: 因为:ax2+bx+c=0 (a≠0)化二次项系数为1可得,所以:韦达定理也描述为:两根之和等于一次项系数的相反数,两根之积等于常数项。 注意:(1)在一元二次方程应用题中,如果解出来得到的是两个根,那么我们要根据实际情况判断是否应舍去一个跟。 5、一元二次方程的求根公式: 注:任何一元二次方程都能用求根公式来求根,虽然使用起来较为复杂,但非常有效。

一、求二次函数的三种形式: 1. 一般式:y=ax 2 +bx+c ,(已知三个点) 顶点坐标(-2b a ,244ac b a -) 2.顶点式:y=a (x -h )2 +k ,(已知顶点坐标对称轴) 顶点坐标(h ,k ) 3.交点式:y=a(x- x 1)(x- x 2),(有交点的情况) 与x 轴的两个交点坐标x 1,x 2 对称轴为2 2 1x x h += 二、a b c 作用分析 │a │的大小决定了开口的宽窄,│a │越大,开口越小,│a │越小,开口越大, a , b 的符号共同决定了对称轴的位置,当b=0时,对称轴x=0,即对称轴为y 轴,当a ,b 同号时,对称轴x=- 2b <0,即对称轴在y 轴左侧,当a ,b?异号时,对称轴x=-2b a >0, 即对称轴在y 轴右侧,c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置, c=0c<0时,与y?轴交于负半轴,以上a ,b ,c 的符号与图像的位置是共同作用的,也可以互相推出.

八年级二次根式教师讲义带答案

第五章二次根式 【知识网络】 知识点一:二次根式的概念 形如…()的式子叫做二次根式。 注:在二次根式中,被幵方数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是J为二次根式的前提条件,如J,& I,二「’等是二次根式,而J ,丿厂■等都不是二次根式。 知识点二:取值范围 1. 二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a± 0时," 有意义,是 二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被幵方数大于 或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a< 0时, ■■ 没有 意义。 知识点三:二次根式二(』匚)的非负性 ^:)表示a的算术平方根,也就是说,门(二/ )是一个非负数, 即Z 10 (“ _「)。 注:因为二次根式二)表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数, 0的算术平方根是0,所以非负数()的算术平方根是非负数,即「上 0 (),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类 似。这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0 ;若八」,则a=0,b=0 ;若“、-,则a=0,b=0。 知识点四:二次根式(厂):的性质 文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注:二次根式的性质公式)是逆用平方根的定义得出的结论。 上面的公式也可以反过来应用:若心:,则如:—w.

知识点五:二次根式的性质 文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注: 1化简爲「时,一定要弄明白被幵方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即&二;若a是负数,则等于a的相反数-a, 2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,='一定有意义; 3、化简勺丁时,先将它化成’,再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六:、'与打的异同点 1不同点:二八与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而“'表示一个实数a的平方的算术平方根;在中^ :|,而中a可以是正实数,0,负实数。但-、宀与都是非负数,即',&兰°。因而它的运算的结果是有差别的,(亦尸,而 2、相同点:当被幵方数都是非负数,即时,―' 二扛;-「时,无 意义,而八 '. 知识点七:二次根式的运算 1. 二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求:①应为最简二次根式或有理式;②分母 中不含根号. (2) 注意知道每一步运算的算理; (3) 乘法公式的推广: 2. 二次根式的加减运算 先化为最简二次根式,再类比整式加减运算,明确二次根式加减运算的实质; 3. 二次根式的混合运算

不等式证明方法讲义.doc

学习必备欢迎下载 不等式的证明方法 一、比较法 1. 求证: x2 + 3 > 3 x 证:∵ (x2 + 3) 3x = x2 3x ( 3 ) 2 ( 3 )2 3 (x 3 ) 2 3 0 2 2 2 4 ∴x2 + 3 > 3 x 2. 已知 a, b, m 都是正数,并且 a < b,求证:a m a b m b a m a b(a m) a( b m) m(b a) 证: m b b(b m) b(b m) b ∵ a,b,m 都是正数,并且a 0 , b a > 0 ∴ m(b a) 0 即:a m a b(b m) b m b 变式:若 a > b,结果会怎样?若没有“ a < b”这个条件,应如何判断? 3. 已知 a, b 都是正数,并且 a b,求证: a5 + b5 > a2 b3 + a3b2 证: (a5 + b5 ) (a2b3 + a3b2) = ( a5 a3b2) + ( b5 a2b3 ) = a3 (a2 b2 ) b3 (a2 b2 ) = ( a2 b2 ) (a3 b3) 2 2 2 = ( a + b)(a b) (a + ab + b ) ∵a, b 都是正数,∴ a + b, a2 + ab + b2 > 0 又∵ a b,∴ (a b)2 > 0 ∴ (a + b)(a b)2(a2 + ab + b2) > 0 即: a5 + b5 > a2b3 + a3b2 4. 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度m 行走,另一半时间以速度 n 行走;有一半路程乙以速度m 行走,另一半路程以速度n 行走,如果 m n,问:甲乙两人谁先到达指定地点? 解:设从出发地到指定地点的路程为S, 甲乙两人走完全程所需时间分别是t1, t2, t1 t1 n S S 2S , t 2 S( m n) 则:m S, t2 可得: t1 2mn 2 2 2m 2n m n ∴ t1 t2 2S S(m n) S[ 4mn (m n)2 ] S(m n)2 2mn 2(m n)mn 2mn( m n) m n ∵ S, m, n 都是正数,且 m n,∴ t1 t2 < 0 即: t 1 < t2 从而:甲先到到达指定地点。 变式:若m = n,结果会怎样?

二次根式拓展提高讲义及答案

二次根式拓展提高(讲义) 一、知识点睛 1. 理解二次根式的双重非负性,辨识四类典型形式. (1)若20x y z ++=,则_____x y _____z _____,,.=== (2)若出现2x -或x -,则x _____=. (3)若x 和x -同时存在,则x _____=. (4)2_______x =;2()=_______x . 2. 根据数轴和线段的几何特征建等式. c b a C B A 如图,数轴上三点A ,B ,C 对应的实数分别为a ,b ,c ,若点A 与点B 关于点C 对称(即C 是线段AB 的中点),则线段AC =_______,BC =_______,因为AC =BC ,所以a ,b ,c 的数量关系是______________. 3. 完全平方公式在二次根式化简中的应用. (1)222_________a ab b ±+=; (2)若00m n > ,>,则 ()()22 22m mn n m mn n ++=++()2_________.m n =+= 4. 实数比较大小. (1)作差法 (2)形似法 (3)乘方法 (4)分母有理化 二、精讲精练 1.若x ,y 为实数,且220x y ++-=,则2013x y ?? ???的值为( ) A .1 B .-1 C .2 D .-2

2.已知212102 x y y ++++=,则y x =___________. 3.一个数的平方根是22+a b 和4a -6b +13,求这个数. 4.若a ,b 为实数,且满足()1110a b b +---=,则 20132012a b -=________. 5.若21--x 有意义,则x 的值为________. 6.化简()2 241121711a a a a +--+----=________. 7.若223y x x =-+--,则y x =________. 8.若224412-+-+=-x x y x ,则3x +4y =________. 9.当1<<4x 时,化简:2212816.x x x x -++-+ 10.实数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示: a b c 0 化简:()()323a c b a b a c +--++ -. 11.化简:()2 244123x x x -+- -.

高中数学全套讲义 选修1-2 证明方法中档 学生版

目录 目录 (1) 考点一分析法和综合法 (2) 课后综合巩固练习 (3)

考点一分析法和综合法 1.分析法 一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明的方法叫做分析法.用Q表示要证明的结论,则分析法可表示为: [Q?P1]→[P1?P2]→[P2?P3]→…→[得到一个明显的成立条件]. 2.综合法 一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论,则综合法可表示为: [P?Q1]→[Q1?Q2]→[Q2?Q3]→…→[Q n?Q]. 3.分析法和综合法的区别 综合法证明是“由因导果”,分析法证明是“执果索因”,它们是两种思路截然相反的证明方法.分析法便于寻找解题思路,而综合法便于叙述. 1.(2019春?滁州期末)只要证1020 +, 5,只要证:2125 <.这种证明方法是() A.反证法B.分析法C.综合法D.间接证法 2.(2018春?未央区校级期中)可选择的方法有以下几种,其中最合理的是() A.综合法B.分析法C.比较法D.归纳法3.(2018春?湖北期中)以下是解决数学问题的思维过程的流程图:

在此流程图中,①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( ) A .①-分析法,②-反证法 B .①-分析法,②-综合法 C .①-综合法,②-反证法 D .①-综合法,②-分析法 4.(2018春?龙华区校级期中)已知函数()|sin |f x x =的图象与直线(0)y kx k =>有且仅有三 个交点,交点的横坐标的最大值为α,2 1,34cos A B sin sin ααααα +==+令.则( ) A .A B > B .A B < C .A B = D .A 与B 的大小不确定 课后综合巩固练习 5.(2018春?龙岗区期末)分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a b c >>,且 0a b c ++=””索的因应是( ) A .0a b -> B .0a c -> C .()()0a b a c --> D .()()0a b a c --< 6.(2017春?菏泽期中)命题:“对于任意角θ,44cos sin cos2θθθ-=”的证明过程:“44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos2θθθθθθθθθ-=-+=-=”应用了( ) A .分析法 B .综合法 C .综合法与分析法结合使用 D .演绎法 7.(2016?石景山区一模)德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想:任给一个正整 数n ,如果n 是偶数,就将它减半(即)2 n ;如果n 是奇数,则将它乘3加1(即31)n +,不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到1.对于科拉茨猜想,目前谁也不能证明,也不能否定,现在请你研究:如果对正整数n (首项)按照上述规则施行变换后的第8项为1(注:1可以多次出现),则n 的所有不同值的个数为( ) A .4 B .6 C .32 D .128 8.(2016春?邹平县校级期中)若a b c >>,则使11k a b b c a c +---恒成立的最大的正整数

二次函数辅导讲义全

名思教育辅导讲义

例3、已知二次函数的部分图象如图所示,则关于的一元二次方程的解为。 4、根据二次函数图象提供的信息,确定有a、b、c构成横坐标和纵坐标的点的位置 例4、已知二次函数的图象如图所示,则点在第象限。 5、根据二次函数图象提供的信息,确定两个函数在同一坐标系中的大致图象 例5、在同一平面直角坐标系中,直线y=ax+b和y=ax2+bx+c的图象只可能是——。 6、根据二次函数图象提供的信息,确定某一个待定系数的围 例6、如图6所示的抛物线是二次函数的图象,那么的值是。 考点2、考抛物线的解析式 求二次函数的解析式,是重点容。 1、已知抛物线上任意的三个点的坐标,求解析式 例1、已知抛物线经过点A(1,2)、B(2,2)、C(3,4),求抛物线的解析式。 2、已知抛物线与x轴的交点坐标,和某一个点的坐标,求解析式 例2、已知抛物线与x轴的交点是A(-2,0)、B(1,0),且经过点C(2,8)。 求该抛物线的解析式。

3、已知抛物线的顶点坐标,和某一个点的坐标,求解析式 例3、在直角坐标平面,二次函数图象的顶点为A(1,-4),且过点B(3,0). 求该二次函数的解析式。 4、已知抛物线的对称轴,和某两个点的坐标,求解析式 例4、有一座抛物线形拱桥,正常水位时,AB宽为20米,水位上升3米就达到警戒水位线CD,这时水面的宽度为10米。请你在如图所示的平面直角坐标系中,求出二次函数的解析式。 5、已知一个抛物线的解析式,求平移的函数解析式 例5、将抛物线y=x2的图象向右平移3个单位,接着再向上平移6个单位,则平移后的抛物线的解析式为___________。 例6、将抛物线y=2(x+1)2-3向右平移1个单位,再向上平移3个单位,则所得抛物线的表达式为 例7、在同一坐标平面,图象不可能由函数y=2x2+1 的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是()A.y=2(x+1)2-1 B. y=2x2+3 C.y=-2x2-1 D. 6、抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式 结论:抛物线y= a2x+bx+c关于x 轴的对称抛物线为:y=-(a2x+bx+c)。 例8、抛物线 y=2(x-1)2+3关于x轴对称的抛物线的解析式为。 7、抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式 结论:抛物线y= a2x+bx+c关于y 轴的对称抛物线为:y=a2x-bx+c。 例9、抛物线 y=2(x-1)2+3关于y轴对称的抛物线的解析式为。 8、抛物线关于原点轴对称的抛物线的解析式 结论:抛物线y= a2x+bx+c关于x 轴的对称抛物线为:y=-a2x+bx-c。 例10、抛物线 y=2(x-1)2+3关于原点对称的抛物线的解析式为。

最新二次根式的讲义汇总

专题一二次根式【知识点1】二次根式的概念:一般地,我们把形如.a _0(a 一0)的式子叫做二次根式。二次根式的实质是一个非负数数a的算数平方根。 【注】二次根式的概念有两个要点:一是从形式上看,应含有二次根号;二是被开方数的取值范围有限制:被开方数a必须是非负数。 例 1 下列各式1)L;,2).飞,3) - -X22,4)、一4,5)L(-;)2,6).,口,7), a2—2a 1, 其中是二次根式的是_________ (填序号). 例2使,x +“ ;x-2有意义的x的取值范围是() A ,x > 0 B ,x 丰 2 C.x>2 D ,x > 0 且 2.[来源:学*科* 网Z*X*X*K]例 3 若y= .、X -5 + _ 5 -X +2009,则x+y= ______________ 练习1使代数式有意义的x的取值范围是() x —4 A 、x>3 B x> 3 C x>4 D、x >3 且x丰4 练习2若x —1 - .1—x = (x y),则x —y 的值为() A. —1 B . 1 C . 2 D . 3 例 4 若a—2|+5/^5 =0,贝U a2—b= ____________________ 。 例5 在实数的范围内分解因式:X4 - 4X 2 + 4= ________ ___________ 例6 若a、b为正实数,下列等式中一定成立的是(): A、诟+ 品=^a2+b2; B、寸(a2+b2)2=a2+b2; C、( .a + . b )2= a2+b2; D、. (a—b)2=a—b; 【知识点2】二次根式的性质:(1)二次根式的非负性,■. a 一0(a 一0)的最小值是0;也就是说=(「:—?)是一个非负数,即二二0 注:因为二次根式=(,二I)表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正

推理与证明讲义

1.1 归纳推理 【学习要求】 1.了解归纳推理的含义,能利用归纳推理进行简单的推理. 2.了解归纳推理在数学发展中的作用. 【学法指导】 一,基础知识回顾: 归纳是推理常用的思维方法,其结论不一定正确,但具有猜测和发现结论,探索和提供思路的作用,有利于创新意识的培养 1.归纳推理定义:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性,我们将这种推理方式称为归纳推理. 2.归纳推理的思维过程大致是实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论. 3.归纳推理具有如下的特点:(1)归纳推理是由部分到整体,由个别到一般 的推理;(2)由归纳推理得到的结论不一定 正确;(3)归纳推理是一种具有创造性的推理. 二,问题探究 探究点一:归纳推理的定义 例1:在日常生活中我们常常遇到这样一些问题:看到天空乌云密布,燕子低飞,蚂蚁搬家等现象时,我们会得出一个判断——天要下雨了;张三今天没来上课,我们会推断——张三一定生病了;谚语说:“八月十五云遮月,来年正月十五雪打灯”等,像上面的思维方式就是推理,请问你认为什么是推理? 答:根据一个或几个已知的命题得出另一个新的命题的思维过程就叫作推理. 变式迁移1:观察下面两个推理,回答后面的两个问题:(1)哥德巴赫猜想:6=3+3 8=3+5 10=5+5 12=5+7 14=7+7 16=5+11…… 1 000=29+971 1 002=139+863……猜想:任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和.(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电,猜想:一切金属都能导电.回答 ①以上两个推理在思维方式上有什么共同特点?②其结论一定正确吗? 答:①共同特点:部分推出整体,个别推出一般.(这种推理称为归纳推理) ②其结论不一定正确. 小结 归纳推理定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 探究点二:归纳推理在数列中的应用 例2:在数列{a n }中,a 1=1,a n +1=2a n 2+a n ,n ∈N *,猜想这个数列的通项公式,这个猜想正确吗?请说明理由. 解:在{a n }中,a 1=1,a 2=2a 12+a 1=23,a 3=2a 22+a 2=12=24,a 4=2a 32+a 3=25 ,…,所以猜想{a n }的通项公式为a n =2n +1.这个猜想是正确的,证明如下:因为a 1=1,a n +1=2a n 2+a n ,所以1a n +1 =2+a n 2a n =1a n +12,即1a n +1-1a n =12 ,所以数列??????1a n 是以1a 1=1为首项,12为公差的等差数列,所以1a n =1+(n -1)×12=12n +12,所以通项公式a n =2n +1 变式迁移2:已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2a n +1(n =1,2,3,…) (1)求a 2,a 3,a 4,a 5; (2)归纳猜想通项公式a n . 解:(1)当n =1时,知a 1=1,由a n +1=2a n +1得a 2=3, a 3=7,a 4=15,a 5=31. (2)由a 1=1=21-1,a 2=3=22-1, a 3=7=23-1,a 4=15=24-1,a 5=31=25-1,可归纳猜想出a n =2n -1(n ∈N *).

二次函数讲义 详细

创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 第一讲 二次函数的定义 知识点归纳:二次函数的定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数, )0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数具备三个条件,缺一不可:(1)是整式方程;(2)是一个自变量的二次式;(3)二次项系数不为0 考点:二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式 例1、 函数y=(m +2)x 2 2-m +2x -1是二次函数,则m= . 例2、 下列函数中是二次函数的有( ) ①y=x +x 1;②y=3(x -1)2+2;③y=(x +3)2-2x 2 ;④y=21 x +x . A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时,每天可以售出300套.据市场调查发现,这种服装每提高1元售价,销量就减少5套,如果商场将售价定为x ,请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式. 例4 、如图,正方形ABCD 的边长为4,P 是BC 边上一点,QP ⊥AP 交DC 于Q ,

如果BP=x ,△ADQ 的面积为y ,用含x 的代数式表示y . 训练题: 1、已知函数y=ax 2+bx +c (其中a ,b ,c 是常数),当a 时,是二次函数;当a ,b 时,是一次函数;当a ,b ,c 时,是正比例函数. 2、若函数y=(m 2 +2m -7)x 2 +4x+5是关于x 的二次函数,则m 的取值范围为 。 3、已知函数y=(m -1)x 2m +1 +5x -3是二次函数,求m 的值。 4、已知菱形的一条对角线长为a ,另一条对角线为它的3倍,用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系. 5、请你分别给a ,b ,c 一个值,让c bx ax y ++=2 为二次函数,且让一次函数y=ax+b 的图像经过一、二、三象限 6.下列不是二次函数的是( ) A .y=3x 2+4 B .y=-31 x 2 C .y=52-x D .y=(x +1)(x -2) 7.函数y=(m -n )x 2+mx +n 是二次函数的条件是( ) A .m 、n 为常数,且m ≠0 B .m 、n 为常数,且m ≠n C .m 、n 为常数,且n ≠0 D .m 、n 可以为任何常数

证明(三)经典讲义

证明(三)主要知识点: 一、三角形 按角分 三角形 按边分 二、四边形 1. 知识结构如下图 (1)弄清定义及四边形之间关系图1: (2)四边形之间关系图2: 四边形 正方形 两腰相等 有一个角是直角 直角梯形 平行四边形 矩形菱形 正 方 形 等腰梯形直角梯形 梯形 四边形 直角三角形 钝角三角形 三条边都不相等的三角形 等腰三角形 等边三角形(正三角形) 1

2、几种特殊的四边形的性质和判定: 2

3 3、一些定理和推论: 三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半。 推论:夹在两平行线间的平行线段相等。 推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半; 推论:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 4、一些思想方法: ⑴方程思想:运用方程思想将一个几何问题化为一个方程的求解问题。 ⑵化归思想方法:解四边形问题时,常通过辅助线把四边形问题转化归为三角形问题来解决。梯形问题化为三角形、平行四边形来解决。 ⑶分解图形法:复杂的图形都是由简单的基本图形组成,故可将复杂图形分解成几个基本图形,从而使问题简单化。 ⑷构造图形法:当直接证明题目有困难时,常通过添加辅助线构造基本图形以达到解题的目的。 ⑸解证明题的基本方法:①从已知条件出发探索解题途径的综合法;②从结论出发,不断寻找使结论成立的条件,直至已知条件的分析法;③两头凑的方法,就是综合运用以上两种方法找到证明的思路(又叫分析—综合法)。 ⑹转化思想:就是将复杂问题转化,分解为简单的问题,或将陌生的问题转化成熟悉的问题来处理的一种思想。 5、注意: ⑴四边形中基本图形 ⑵梯形问题中作辅助线的常用方法(基本图形 ) ⑶菱形的面积公式:S=两条对角线积的一半。

二次函数讲义详细

第一讲二次函数的定义 知识点归纳 :二次函数的定义:一般地,如果y =aχ2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫做X的二次函数.二次函数具备三个条件,缺一不可:(1)是整式方程;(2)是一个自变量的二次式;(3)二次项系数不为O 考点:二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式 例1、函数y= ( m + . 2 ) X m2 + 2x —1是二次函数,则m= __________ 例2、下列函数中是二次函数的有() 1 2 2 2 1 ① y=x + :② y=3 (X —1) 2+ ③ y= (X + 3) —2x ;④ y= 2+ X X X A . 1个 B . 2个 C . 3个D. 4个 例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时,每天可以售出300套.据市场调查发现,这种服装每提高1元售价,销量就减少5套,如果商场将售价定为X,请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式. 例4、如图,正方形ABCD的边长为4, P是BC边上一点,QP⊥AP交DC于Q,如果BP=X, △ ADQ的面积为y,用含X 的代数式表示y. A D B

训练题: 1、 已知函数y=aχ2+ bx + C (其中a , b , C 是常数),当a ____ 时,是二次函数;当 a_, b ______ 时,是一次函数; 当a ___ , b ___ , C ___ 时,是正比例函数. 2、 若函数y=(m 2+2m- 7)x 2+4x+5是关于X 的二次函数,贝U m 的取值范围为 __________ 。 2m +1 3、 已知函数y=(m — 1) X +5x - 3是二次函数,求 m 的值。 4、已知菱形的一条对角线长为 a ,另一条对角线为它的 3倍,用表达式表示出菱形的面积 S 与对角线a 的关系. 5、请你分别给a , b , C 一个值,让y = aχ2 ■ bx C 为二次函数,且让一次函数 y=ax+b 的图像经过一、 象限 6. 下列不是二次函数的是( ) C . m 、n 为常数,且n ≠0 D . m 、n 可以为任何常数 8 .如图,校园要建苗圃,其形状如直角梯形,有两边借用夹角为 135°的两面墙,另外两边是总长为 30米的铁 栅栏.(1)求梯形的面积y 与高X 的表达式;(2)求X 的取值范围. 9. 如图,在矩形 ABCD 中,AB=6cm , BC=12cm .点P 从点A 开始沿AB 方向向点B 以1cm∕s 的速度移动,同 时,点Q 从点B 开始沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动.如果 P 、Q 两点分别到达 B 、C 两点停止移动,设运动 开始后第t 秒钟时,五边形 APQCD 的面积为Scm 2,写出S 与t 的函数表达式,并指出自变量 t 的取值范围. A . y=3χ2+ 4 B . y=— C . y-.x^5 7 .函数y= (m — n ) x 2 + mx + n 是二次函数的条件是( A . m 、n 为常数,且m ≠0 D . y= (X + 1) (X — 2) ) B . m 、n 为常数,且m ≠ n A D

四边形证明(讲义及答案)

四边形证明(讲义) 知识点睛 菱形 精讲精练 1.如图,AE∥BF,AC平分∠BAD,且交BF于点C,BD平分∠ABC,且交AE于点D,连接 CD.求证:四边形ABCD是菱形. O A E B C F D 2.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°.AG∥CD,交BC于点G,E,F分别为AG, CD的中点,连接DE,FG,DG. (1)求证:四边形DEGF是平行四边形; (2)当点G是BC的中点时,求证:四边形ABGD是矩形. 3.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,O为AB的中点,连接DO并延长至点 E,使OE=DO,连接AE,BE. (1)求证:四边形AEBD是矩形; (2)当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方形?请说明理由. O E D C B A A D F E B G C

4. 如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,BC 的垂直平分线DE 交BC 于点D ,交AB 于点E ,点F 在 DE 上,且AF =CE =AE . (1)求证:四边形ACEF 是平行四边形; (2)当∠B 满足什么条件时,四边形ACEF 是菱形?请说明理由. F E D C B A 5. 如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 的中点,过点A 作BC 的平行线交BE 的延 长线于点F ,连接CF .若 AB ⊥AC ,试判断四边形ADCF 的形状,并证明你的结论. F E D C B 6. 如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在BC ,CD 边上,且AE =AF . (1)求证:BE =DF ; (2)连接AC ,交EF 于点O ,延长OC 至点M ,使OM =OA ,连接EM ,FM ,则四边形AEMF 是什么特殊四边形?请证明你的结论. M O F E D C B A

二次函数经典解题技巧

龙文教育学科教师辅导讲义

解:(1)根据题意,得?????+?-?=-+-?--?=. 0405, )1(4)1(02 2c a c a …2分 解得 ? ? ?-==.5, 1c a …………………………3分 ∴二次函数的表达式为542 --=x x y .……4分 (2)令y =0,得二次函数542 --=x x y 的图象与x 轴 的另一个交点坐标C (5, 0).……………5分 由于P 是对称轴2=x 上一点, 连结AB ,由于262 2= +=OB OA AB , 要使△ABP 的周长最小,只要PB PA +最小.…………………………………6分 由于点A 与点C 关于对称轴2=x 对称,连结BC 交对称轴于点P ,则PB PA += BP +PC =BC ,根据两点之间,线段最短,可得 PB PA +的最小值为BC . 因而BC 与对称轴2=x 的交点P 就是所求的点.……………………………………8分 设直线BC 的解析式为b kx y +=,根据题意,可得? ? ?+=-=.50,5b k b 解得???-==.5, 1b k 所以直线BC 的解析式为5-=x y .…………………………………………………9分 因此直线BC 与对称轴2=x 的交点坐标是方程组? ? ?-==5,2x y x 的解,解得???-==.3, 2y x 所求的点P 的坐标为(2,-3).……………………………10分 压轴题中求最值 此种题多分类讨论,求出函数关系式,再求各种情况的最值,最后求出最值。 典型例题: 1如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B =90°,BC =6,AD =3,∠DCB =30°.点E 、F 同时从B 点出发,沿射线BC 向右匀速移动.已知F 点移动速度是E 点移动速度的2倍,以EF 为一边在CB 的上方作等边△EFG .设E 点移动距离为x (x >0). ⑴△EFG 的边长是____(用含有x 的代数式表示),当x =2时,点G 的位置在_______; ⑵若△EFG 与梯形ABCD 重叠部分面积是y ,求 ①当0<x ≤2时,y 与x 之间的函数关系式; ②当2<x ≤6时,y 与x 之间的函数关系式; ⑶探求⑵中得到的函数y 在x 取含何值时,存在最大值,并求出最大值.

立体几何平行证明问题讲义教师

立体几何平行证明问题讲义 (一)平行的问题 一“线线平行”与“线面平行”的转化问题 (一)中位线法:当直线上没有中点,平面内有一个中点的时候,(如例1求证:PB//平面AEC P 、B 为顶点,平面AEC 内E 为中点)采用中位线法。 具体做法:如例1,平面AEC 的三个顶点,除中点E 夕卜,取AC 的中点0,连接EQ 再 确定由直线 PB 和中点E 、O D 确定的 PBD (连接 PBD 的第三边BD ),在 PBD 中,E0为 PB 的中位线。a 【习题巩固一】 1. (2011天津文)如图,在四棱锥P ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,0为AC 中点 M 为PD 中点.(I )证明:PB//平面ACM ; 规范写法: a//b,a ,b , b// 例1如图,在底面为平行四边形的四棱锥 求证:PB//平面AEC ; P ABCD 中,点E 是PD 的中点 . 例2三棱柱ABC ABiG 中,D 为AB 边中点。求证: AG // 平面 CDB ,; b A B 1 B A C B

21. (2013年高考课标U卷(文))如图,直三棱柱ABC-ABG中,D是AB的中点.(1)证明 BC// 平面A i CD; 2. (2011 四川文)如图,在直三棱柱ABC —A1B1C1 中,/ BAC=90° AB=AC=AA i=1 ,延长A i C i 至点P,使C1P = A1C1,连接AP交棱CC1于D . 求证:PB1//平面 BDA1; (二)平行四边形法:当直线上有一个中点(如例1证明:FO//平面CDE ;O为中点)采用平行四边形法。 具体做法:FO先与E连接(原因是ECD的三个顶点E、C D中只有E与已知平行条件EF//BC有关),再与ECD的另两个顶点CD的中点M相连,构成平行四边形FOE(原因是EF//OM, EF=OM,从而FO//EM。 规范写法(如图): EF//GH,EF GH , EFGH 是平行四边形EH//FG,EH ,FG , EH // 例1【天津高考】如图,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,面CDE 是等边三角形,棱EF〃〔BC . (1)证明:FO//平面CDE ; 2

二次根式讲义(初次、基础版)

二次根式 【知识要点】 必杀技:要注意二次根式中字母的取值范围: 被开方数必须是非负数. 1. 二次根式的主要性质: ①???<-≥==002a a a a a a ; ②()a a =2(),0≥a ; ③()0,0≥≥?=b a b a ab ④()0,0>≥==b a b ab b a b a ; ⑤()()b a b a b a b a b a b a --=-+-=+1 ; ⑥b a b a b a -+=-1. A 、最简二次根式:被开方数中不含分母,并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式,像这样的二次根式成为最简二次根式 最简二次根式的条件: ①根号内不含有开的尽方的因数或因式 ②根号内不含有分母 ③分母不含有根号 B 、同类二次根式:被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式 C 、乘法公式:)0,0______(≥≥=?b a b a ;反之:)0,0_______(≥≥=b a ab D 、除法公式:)0,0______(>≥=b a b a ;反之:)0,0______(>≥= b a b a E 、合并同类二次根式:__________________;=-=+a n a m a n a m 【典型例题】 例1.x 是怎样的实数时,下列二次根式有意义? (1)1+x ; (2)23-x ; (3) 123+x ; (4)x 231-. 例2.若a a ---33有意义,则a 的值为______________. 例3.若22)2()2(-=-x x ,则x 的取值范围是________________.

例4.已知2<x<3,化简:3)2(2 -+-x x . 例5.数a、b 在数轴上的位置如图所示,化简222)()1()1(b a b a ---++. 例1、乘法运算 (1))169()25(-?- (2)1527? (3)2 28n m (4)a a 122532?- 例2:除法运算 (1)354- (2)531513÷ (3)921.150 04.0?? ( 4)2294a b 例3:加减混合运算 (1)4832 31531 1312--+

一次和二次函数 - 拔高难度 - 讲义

一次与二次函数 知识讲解 一、一次函数 概念:形如(0)y kx b k =+≠的函数叫做一次函数. (一次函数又叫做线性函数) 它的定义域为R ,值域为R . 斜率:一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是直线,其中k 叫做该直线的斜率. 截距:一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是直线,其中b 叫做直线在y 轴上的截距. 注:截距不是距离,截距可以是正的,可以是负的,也可以是0. 性质:(1)函数值的改变量21y y y ?=-与自变量的该变量21x x x ?=-的比值等于常数k , 即2121 y y y k x x x -?==?-,k 的大小表示直线与x 轴的倾斜程度. (2)当0k >时,一次函数是增函数;当0k <时,一次函数是减函数. (3)当0b =时,一次函数变为正比例函数,是奇函数; 当0b ≠时,它既不是奇函数,也不是偶函数. (4)直线(0)y kx b k =+≠与x 轴的交点为(,0)b k -,与y 轴的交点为(0,)b . (5)直线111:l y k x b =+,直线222:l y k x b =+, ①1l //2l 12k k ?=且12b b ≠.②1l 与2l 重合12k k ?=且12b b =. 二、二次函数 1.概念:形如2(0)y ax bx c a =++≠叫做二次函数. 2.定义域:它的定义域为R .

3.值域:当0a >时,值域为24|4ac b y y a ??-≥???? ; 当0a <时,值域为24|4ac b y y a ??-≤???? 4.解析式4种形式 一般式:2 (0)y ax bx c a =++≠,对称轴2b x a -=,顶点2 4(,)24b ac b a a -- 顶点式:2 ()(0)y a x h k a =-+≠,对称轴x h =,顶点(,)h k 交点式:12()()(0)y a x x x x a =--≠,抛物线与x 轴交于1(,0)x ,2(,0)x 对称点式:12()()y a x x x x b =--+,抛物线图象上有两对称点 12(,),(,)x b x b 注意: ①二次函数的一般式可通过配方得到顶点式. ②在求二次函数的解析式时,应根据已知条件,合理设式. 已知三点坐标,若有对称点(两点的纵坐标相同),则设对称点式;若没有,则设一般式. 已知对称轴或顶点坐标,应设顶点式. 5.性质 性质1:顶点坐标2 4(,)24b ac b a a --,对称轴2b x a -=,与y 轴交于(0,)c ; 性质2:当0a >时,开口向上,当2b x a -=时,2 min 4()24b ac b y f a a --==; 单调递增区间是,2b a -??+∞????,单调递减区间为,2b a -??-∞ ?? ? 性质3:当0a <时,开口向下,当2b x a -=时,2 max 4()24b ac b y f a a --==;

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