理论力学课后习题答案 第9章 动量矩定理及其应用)
习题9－2图
习题20-3图
习题20-3解图
Ox
F Oy
F g
m g
m D
d
α
第9章 动量矩定理及其应用
9－1 计算下列情形下系统的动量矩。
1. 圆盘以ω的角速度绕O 轴转动，质量为m 的小球M 可沿圆盘的径向凹槽运动，图示瞬时小球以相对于圆盘的速度v r 运动到OM = s 处（图a ）；求小球对O 点的动量矩。
2. 图示质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮心为A ，质心为C ，且AC = e ；轮子半径为R ，对轮心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一铅垂线上（图b ）。（1）当轮子只滚不滑时，若v A 已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩；（2）当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩。 解：1、2
s m L O ω=（逆） 2、（1）
)1()(R
e mv e v m mv p A A C +
=+==ω
R
v me J R
e R mv
J e R mv L A A A
C C B
)
()
()(2
2
-++=++=ω
（2）)(e v m mv p A C ω+==
ωωωω)()()())(()(2meR J v e R m me J e R e v m J e R mv L A A A A C C B +++=-+++=++=
9－2 图示系统中，已知鼓轮以ω的角速度绕O 轴转动，其大、小半径分别为R 、r ，对O 轴的转动惯量为J O ；物块A 、B 的质量分别为m A 和m B ；试求系统对O 轴的动量矩。 解：
ω)(2
2r m R m J L B A O O ++=
9－3 图示匀质细杆OA 和EC 的质量分别为50kg 和100kg ，并在点A 焊成一体。若此结构在图示位置由静止状态释放，计算刚释放时，杆的角加速度及铰链O 处的约束力。不计铰链摩擦。
解：令m = m OA = 50 kg ，则m EC = 2m 质心D 位置：（设l = 1 m) m 6565=
=
=l OD d
刚体作定轴转动，初瞬时ω=0 l mg l mg J O ?+?=22α
2
2
2
2
32)2(212
13
1ml
ml
l m ml
J O =+??+
=
即mgl
ml 2
532=
α
2
r a d /s 17.865==
g l
α
g
l a D 36
256
5t
=
?=
α
由质心运动定理： Oy D F mg a m -=?33t
449
12
1136
2533==
-=mg g m
mg F Oy N （↑）
=ω，0
n
=D
a ， 0
=Ox F
习题9－1图
(a)
v (b)
（b ） 习题9－5解图
习题9－5图
J 9－4 卷扬机机构如图所示。可绕固定轴转动的轮B 、C ，其半径分别为R 和r ，对自身转轴的转动惯量分别为J 1和J 2。被提升重物A 的质量为m ，作用于轮C 的主动转矩为M ，求重物A 的加速度。
解：对轮C ：
r F M J C T 2-=α
对轮B 和重物A ：
mgR R F mR J -'=+T 2
1)(α
运动学关系：
ααR r a C == 2
2
2
22
12)(r
mR R J r J rR
mgr M a ++-=
9－5 图示电动绞车提升一质量为m 的物体，在其主动轴上作用一矩为M 动力偶。已知主动轴和从动轴连同安装在这两轴上的齿轮以及其它附属零件对各自转动轴的转动惯量分别为J 1和J 2；传动比r 2 : r 1 = i ；吊索缠绕在鼓轮上，此轮半径为R 。设轴承的摩擦和吊索的质量忽略不计，求重物的加速度。
解：对轮1（图a ）：
111Fr M J -=α
对轮2（图b ）：
mgR r F mR J -'=+222
2)(α
2211ααr r =；21ααi =
2
12
22i
J mR
J mgR Mi ++-=
α
重物的加速度：2
12
22)(i
J mR
J R mgR Mi R a ++-=
=α
9－6 均质细杆长2l ，质量为m ，放在两个支承A 和B 上，如图所示。杆的质心C 到两支承的距离相等，即AC = CB = e 。现在突然移去支承B ，求在刚移去支承B 瞬时支承A 上压力的改变量ΔF A 。
解：mge J A =α，mge me ml =+α)3
1
(2
2
A C F mg ma -= 2
2
233e
l ge
e a C +=
=α
2
2
233e
l mge
mg F A +-
=
mg e l l
e mg e
l mge
F mg F A A )
3(232
332
2
2
222
2
2+-=
-
+=
-=
?
习题9－6图
习题9－4图
习题9－6解图
α
习题9－7图
习题9－8图
(b) 习题9－7解图
9－7 为了求得连杆的转动惯量，用一细圆杆穿过十字头销A 处的衬套管，并使连杆绕这细杆的水平轴线摆动，如图a 、b 所示。摆动100次所用的时间为100s 。另外，如图c 所示，为了求得连杆重心到悬挂轴的距离AC = d ，将连杆水平放置，在点A 处用杆悬挂，点B 放置于台秤上，台秤的读数F = 490N 。已知连杆质量为80kg ，A 与B 间的距离l =1m ，十字头销的半径r = 40mm 。试求连杆对于通过质心C 并垂直于图面的轴的转动惯量J C 。
解：图（a ），1<<θ时， θθ)(r d mg J A +-= 0)(=++θθr d mg J A
)
(=++θθ
A
J
r d mg
A
J
r d mg )
(n +=
ω
)
(π
2π
2n
r d mg J
T A
+==ω （1）
2
)
(r d m J J
C A
++=
（2）
由图（b ）： 0
=∑A
M ，625
.08
5===
mg
Fl d
m
代入（1）、（2），注意到周期s
2=T
，得
2
2
2
2
2
m
kg 45.17)
665.0π
8.9(665.080)]
(π
)[()(π
)
(?=-??=+-+=+-+=
r d g r d m r d m r d mg J C
9－8 图示圆柱体A 的质量为m ，在其中部绕以细绳，绳的一端B 固定。圆柱体沿绳子解开的而降落，
其初速为零。求当圆柱体的轴降落了高度h 时圆柱体中心A 的速度υ和绳子的拉力F T 。
解：法1：图（a ） T F mg ma A -= （1） r F αJ A T = （2） r αa A = （3）
2
2
1mr
J
A
=
解得 mg
F 3
1T =
（拉）
g
a A 3
2=
（常量）
（4）
习题9－10图
习题9－9图
(a)
C
T
F 由运动学
gh
h a v A A 33
22=
=（↓）
法2：由于动瞬心与轮的质心距离保持不变，故可对瞬心C 用动量矩定理：
m g r J C =? （5） 2
2
2
3mr
mr
J J A
C =
+=
又 r a A =?
g
a A 3
2=（同式（4））
再由 T
F mg ma
A
-=
得 mg
F 3
1
T =
（拉）
gh
h a v A A 33
22=
=（↓）
9－9 鼓轮如图，其外、内半径分别为R 和r ，质量为m ，对质心轴O 的回转半径为ρ，且ρ2
= R ·r ，鼓轮在拉力F 的作用下沿倾角为θ的斜面往上纯滚动，F 力与斜面平行，不计滚动摩阻。
试求质心O 的加速度。
解：鼓轮作平面运动，轴O 沿斜面作直线运动：
θs i n f mg F F ma O --= （1） R F Fr m f 2
+=αρ （2） 纯滚：αR a O = （3）
代入（2） R F Fr R
a m O f 2
+=?
ρ
（4）
解（1）、（4）联立，消去F f ，得 )
(s i n )(2
2
2
ρθ
+-+=
R m m g R r R FR a O
9－10 图示重物A 的质量为m ，当其下降时，借无重且不可伸长的绳使滚子C 沿水平轨道滚动而不滑动。绳子跨过不计质量的定滑轮D 并绕在滑轮B 上。滑轮B 与滚子C 固结为一体。已知滑轮B 的半径为R ，滚子C 的半径为r ，二者总质量为m ′，其对与图面垂直的轴O 的回转半径为ρ。求：重物A 的加速度。
f
习题9－11图
习题9－12图
(a)
解：法1：对轮： Fr TR J O -=α （1） T F a m O -='
（2） 对A ：
T mg ma A -=
（3）
又：t
H H A a a a ==绳 以O 为基点：
t
n n t HO HO O H H a a a a a ++=+
ααα)(t
t
r R r R a a a O HO H -=-=-=（→）
α)(r R a A -=（↓）
（4）
由上四式联立，得（注意到2
ρ
m J O
'=）
1
)
()
()()()
(2
2
2
2
2
2
2
+-+?'=-++'-=
r R r m m g
r R m r m r R mg a A ρ
ρ
法2：对瞬心E 用动量矩定理（本题质心瞬心之距离为常数）
)(r R T J E -=α T mg ma A -= 又α)(r R a A -=
)(2
22r m r m J J O E +'='+=ρ 可解得：1
)
()
(2
2
2
+-+?'=r R r m m g
a A
ρ
9－11 图示匀质圆柱体质量为m ，半径为r ，在力偶作用下沿水平面作纯滚动。若力偶的力偶矩M 为常数，滚动阻碍系数为δ，求圆柱中心O 的加速度及其与地面的静滑动摩擦力。
解：f
M
M J D -=α
（1）
N
f
F M
δ=
mg
F =N 2
23mr
J D =
r
a =
α
代入（1），得
mr
mg M a 3)
(2δ-=
又：F
ma
=
r
mg M F 3)
(2δ-=
9－12 跨过定滑轮D 的细绳，一端缠绕在均质圆柱体A 上，另一端系在光滑水平面上的物体B 上，如图所示。已知圆柱A 的半径为r ，质量为m 1；物块B 的质量为m 2。试求物块B 和圆柱质心C 的加速度以及绳索的拉力。滑轮D 和细绳的质量以及轴承摩擦忽略不计。 解：对轮C ： r F J C T =α
T 11F g m a m C -=
对物块B ：T 2F a m B = 且：αr a a B C +=；2
12
1r m J C =
解得：g
m m m a B
2
113+=
；g m m m m a C
2
12132++=
g m m m m F 2
121T 3+=
HO a
O a
(b)
g
m 绳
H a H
'
O
T
(a)
a A
F
·
E
(a)
(b)
x
9－13 图示匀质圆轮的质量为m ，半径为r ，静止地放置在水平胶带上。若在胶带上作用拉力F ，并使胶带与轮子间产生相对滑动。设轮子和胶带间的动滑动摩擦因数为f 。试求轮子中心O 经过距离s 所需的时间和此时轮子的角速度。
解：图（a ），轮O 平面运动： 1F ma O =
（1）
mg F -=N 0 （2） r F J O 1=α
（3）
由（2），
mg F =N
动滑动时，
fmg fF F ==N 1
（4） （4）代入（1），得
fg a O = （5）
（4）代入（3），得（2
21mr
J O
=）
r
fg 2=
α
（6）
由（5）代入下式：
2
2
1t
a s O =
得
fg
s t 2=
fgs
r
t 22=
=αω（逆）
9－14 图示匀质细杆AB 质量为m ，长为l ，在图示位置由静止开始运动。若水平和铅垂面的摩擦均略去不计，试求杆的初始角加速度。
解：法1：P 为AB 杆瞬心，2
l PC
=
，图（a ）：
θ
αsin 2
l mg J P ?=
2
31ml
J P =
θ
αsin 23l
g =
∴
（1）
法2：AB 杆平面运动
B C F x
m = （2）
mg F y
m A C -= （3）
θ
θαcos 2sin 2
l F l F J B
A C -?= （4）
θ
sin 2l x C =，θcos 2
l y C
=
θθ
?=cos 2
l x C ，θθ
?-=
sin 2
l y
C
θθθ
θθθ ?=?+?-=cos 2
cos 2sin 22l l l
x
C
（5）
θθθθθθ ?-=?-?-=sin 2
sin 2cos 22l l l
y
C （6） （∵初瞬时0
=θ
）
αθ
=
（7）
将（5）、（6）、（7）代入（2）、（3）、（4）得
B
F m l =?αθcos 2
（8）
习题9－13图
习题9－14图
(a)
IC
F IC
F 'C
C
mg
F m l A -=?-αθsin 2
（9）
θ
θαcos 2
sin 2
12
12
B A F l F l ml -
=
?
（10）
解得：l
g 2sin 3θα
=
，与（1）式相同。
9－15 圆轮A 的半径为R ，与其固连的轮轴半径为r ，两者的重力共为W ，对质心C 的回转半径为ρ，缠绕在轮轴上的软绳水平地固定于点D 。均质平板BE 的重力为Q ，可在光滑水平面上滑动，板与圆轮间无相对滑动。若在平板上作用一水平力F ，试求平板BE 的加速度。
解：对轮C ：r F R F J C T f -=α；2
ρg
W J C = f T F F a g
W C -=；αr a C =
对板BE ： f F F a g
Q BE -=；α)(r R a BE -=
求得：)
()()(2
2
2
2
r W r R Q g
r R F a BE ++--=ρ
*9－16 图示水枪中水平管长为2l ，横截面面积为A ，可绕铅直轴z 转动。水从铅直管流入，以相对速度υr 从水平管喷出。设水的密度为ρ，试求水枪的角速度为ω时，流体作用在水枪上的转矩z
M
。
解：水平管上各点科氏加速度相同
r C 2v ωa ?= r C 2v ωa =
科氏惯性力均布，其合力（如图）：
lA v a lA F ρωρr C IC 2=??=
r
2
IC 22
2v A l l F M
z
ωρ?=?
?=
*9－17 图示匀质细长杆AB ，质量为m ，长度为l ，在铅垂位置由静止释放，借A 端的水滑轮沿倾斜角为θ的轨道滑下。不计摩擦和小滑轮的质量，试求刚释放时点A 的加速度。
解：图（a ），初瞬时0
=AB
ω，以A 为基点，则 τ
CA
a a a a a +=+=A Cy Cx C
即θ
αθcos 2
cos τ
l a a a a A CA A Cx
-
=-=
（1） θ
αθsin 2
sin τ
l a a CA Cy =
=
（2）
由平面运动微分方程：
习题9－15图
习题9－17图
习题9－16图
习题9－15解图
(a)
(a)
A
(a)
θ
sin mg ma Cx =
∴θ
sin g a Cx
=
（3） N
cos F mg ma Cy -=θ
（4）
θ
αsin 2
N l F J C ?
=
即
θ
αsin 2
12
1N 2
l F ml ?
=
（5）
解（2）、（4）、（5）联立，得 )
sin 31(2sin 32
θθα+=
l g （6）
由（1）、（3），得 θ
αθsin cos 2
g l a A =?-
（6）代入，得
g
a A θ
θ2
sin 31sin 4+=
*9－18 匀质细长杆AB ，质量为m ，长为l ，CD = d ，与铅垂墙间的夹角为θ，D 棱是光滑的。在图示位置将杆突然释放，试求刚释放时，质心C 的加速度和D 处的约束力。
解：初始静止，杆开始运动瞬时，D v 必沿支承处切向，即沿AB 方向，所以D a 此时沿AB 方向，如图（a ），以D 为基点：
由t
n
CD CD D Cy Cx a a a a a ++=+
1t
α?==d a a CD Cx
（1）
由AB 作平面运动：
N sin F mg ma Cx -=α
（2）
α
cos mg ma Cy = （3） d
F ml
N 12
12
1=?α
（4）
由（3），α
c o s g a Cy
=
解（1）、（2）、（4）联立
2
22
12sin 12d l
gd a Cx +=
α
2
22N 12sin d
l
mgl F +=
α
9－19 如图所示，足球重力的大小为4.45N,以大小1v =6.1m/s,方向与水平线夹400角的速度向球员飞来，形成头球。球员以头击球后，球的速度大小为1v '=9.14m/s ，并与水平线夹角为200角。若球－头碰撞时间为0.15s 。试求足球作用在运动员头上的平均力的大小与方向。
解：击球前后球的动量改变为)(1v v p 1
-'=m ?
)]
40sin 1.6(20sin 14.9),40cos 1.6(20
cos 14.9[45.4o
o
o
o
-----=
g
p ?
=0.454（13.26,0.795）=（6.02,0.361）N·s
设p ?与水平夹角α
06
.002
.6361.0tan ==
=αx
y p p ??
o
431
.3=α
03
.622=+=
y
x
p
p
p ??? N·s
2
.4015
.003.6==
=
t
p F ?N
人头受力F 与p ?反向，即向左下方。
习题9－18图
习题9－19图
(b)
碰末
(a) 碰前
(c)
转到最高处
ωC v
(a)
(b)
9－20 边长为a 的方形木箱在无摩擦的地板上滑动，并与一小障碍A 相碰撞。碰撞后绕A 翻转。试求木箱能完成上述运动的最小初速0v ；木箱碰撞后其质心的瞬时速度C v 与瞬时角速度ω。
解：碰前方箱以初速度0v 平移，碰后箱绕A 点转动直到翻倒，碰撞中箱只在A 点受冲
量，重力等其它有限力的冲量可忽略不计，因此碰撞前后箱对A 点的动量矩守恒。
设箱的质量为m
2
2
2
2
3
2)
2
2(
6
1ma
a m ma
J md
J
C A
=
+=
+=
对A 动量矩守恒：ω
2
03
22
ma a mv =
a
v 430=
ω （1）
若箱刚能完成翻转，则转到最高点时0
=ω，从碰后到
最高点机械能守恒，即
a
mg
ma a mg
2
2322122
2=+
ω
由（1）得，a
mg a
v ma
)2
12(
1693
12
202
-=?
ag
v 207.016
32
0=
ag
v 05
.10= 由此，a
g a
v 788
.0430==
ω
，
ag
a v C 557.02
==
ω（方向如图示）
*9－21 台球棍打击台球，使台球不借助摩擦而能作纯滚动。假设棍对球只施加水平力，试求满足上述运动的球棍位置高度h 。
解：设杆给球的冲量为I ，受击后球心速度为v ，球的角速度为ω，球质量为m 。
动量定理：v m I = （1）
对质心动量矩定理：ω
2
52)(mr r h I =
-
（2）
纯滚动：ωr v = （3） （1）、（3）代入（2），消I 、v 得
习题9－20图
习题9－21图
(a)
A
v 'r
r h 5
2=
-
d
r h 10
75
7=
=
*9－22 匀质杆长为l ，质量为m ，在铅垂面内保持水平下降并与固定支点E 碰撞。碰撞前杆的质心速
度为C v ，恢复因数为e 。试求碰撞后杆的质心速度C
v '与杆的角速度ω。 解：碰后E 点不动，C
ev v ='n
杆只有D 点受冲量，故相对D 点动量矩守恒
ω
)1612
(
4
2
2
ml l
m l mv
C
+=?
由此可解出：l
v C
712=
ω
设碰后C 点速度C
v '出向上，由图(a)可知 C
D
C v e l v v )7
3(4
-
=-'='ω
由此式知，当7
3>e
时，C v '确实向上，若73 v '应向下。 习题9－22图 C (a-2) D R (a-3) (b-1) D R 第1篇 工程静力学基础 第1章 受力分析概述 1－1 图a 、b 所示，Ox 1y 1与Ox 2y 2分别为正交与斜交坐标系。试将同一力F 分别对两坐标系进行分解和投影，并比较分力与力的投影。 习题1－1图 解：（a ）图（c ）：11 s i n c o s j i F ααF F += 分力：11 cos i F αF x = ， 11 s i n j F αF y = 投影：αcos 1F F x = ， αs i n 1F F y = 讨论：?= 90°时，投影与分力的模相等；分力是矢量，投影是代数量。 （b ）图（d ）： 分力：22)cot sin cos (i F ?ααF F x -= ，22sin sin j F ? α F y = 投影：αcos 2F F x = ， )cos(2α?-=F F y 讨论：?≠90°时，投影与分量的模不等。 1－2 试画出图a 和b 习题1－2图 比较：图（a-1）与图（b-1）不同，因两者之F R D 值大小也不同。 （c ） 2 2 x （d ） 1－3 试画出图示各物体的受力图。 习题1－3图 B 或(a-2) B (a-1) (b-1) F (c-1) 或(b-2) (e-1) F (a) 1－ 4 图a 所示为三角架结构。荷载F 1作用在铰B 上。杆AB 不计自重，杆BC 自重为W 。试画出b 、c 、d 所示的隔离体的受力图，并加以讨论。 习题1－4 图 1－ 5 图示刚性构件ABC 由销钉A 和拉杆D 支撑，在构件C 点作用有一水平力F 。试问如果将力F 沿其作用线移至D 或E （如图示），是否会改为销钉A 的受力状况。 解：由受力图1－5a ，1－ 5b 和1－5c 分析可知，F 从C 移至E ，A 端受力不变，这是因为力F 在自身刚体ABC 上滑移；而F 从C 移至D ，则A 端受力改变，因为HG 与ABC 为不同的刚体。 1 (f-1) 'A (f-2) 1 O (f-3) F F'F 1 (d-2) F y B 21 (c-1) F A B 1 B F Dx y (b-2) 1 (b-3) F y B 2 A A B 1 B F 习题1－5图 1.1 沿水平方向前进的枪弹，通过某一距离s 的时间为t 1，而通过下一等距离s 的时间为2t .试证明枪弹的减速度（假定是常数）为 由题可知示意图如题1.1.1图: { { S S 2 t 1 t 题1.1.1图 设开始计时的时刻 速度为0v ,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为a .则有 :()()??? ??? ? +-+=-=2 21210211021221t t a t t v s at t v s 由以上两式得 1102 1 at t s v += 再由此式得 ()() 2121122t t t t t t s a +-= 1.26一弹性绳上端固定，下端悬有m 及m '两质点。设a 为绳的固有长度，b 为加m 后的 伸长，c 为加m '后的伸长。今将m '任其脱离而下坠，试证质点m 在任一 瞬时离上端O 的距离为 解 以绳顶端为坐标原点.建立如题1.26.1图所示坐标系. 题1.26.1图 设绳的弹性系数为k ,则有 kb mg = ① 当 m '脱离下坠前， m 与m '系统平衡.当m '脱离下坠前，m 在拉力T 作用下上升，之后作简运.运动微分方程为 ()y m a y k mg =-- ② 联立①② 得 b b a g y b g y +=+ ③ 0=+y b g y 齐次方程通解 t b g A t b g A Y sin cos 2 11+= 非齐次方程③的特解 b a Y +=0 所以③的通解b a t b g A t b g A Y +++=sin cos 2 11 代入初始条件：0=t 时，,c b a y ++=得0,21==A c A ； 故有 b a t b g c y ++=cos 即为m 在任一时刻离上端O 的距离. O m m ' T 第一章静力学基础 一、是非题 1．力有两种作用效果，即力可以使物体的运动状态发生变化，也可以使物体发生变形。 （） 2．在理论力学中只研究力的外效应。（） 3．两端用光滑铰链连接的构件是二力构件。（）4．作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。（）5．作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。（） 6．三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。（） 7．平面汇交力系平衡时，力多边形各力应首尾相接，但在作图时力的顺序可以不同。 （）8．约束力的方向总是与约束所能阻止的被约束物体的运动方向一致的。（） 二、选择题 1．若作用在A点的两个大小不等的力 1和2，沿同一直线但方向相反。则 其合力可以表示为。 ①1－2； ②2－1； ③1＋2； 2．作用在一个刚体上的两个力A、B，满足A=－B的条件，则该二力可能是 。 ①作用力和反作用力或一对平衡的力；②一对平衡的力或一个力偶。 ③一对平衡的力或一个力和一个力偶；④作用力和反作用力或一个力偶。 3．三力平衡定理是。 ①共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点； ②共面三力若平衡，必汇交于一点； ③三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡。 4．已知F 1、F 2、F 3、F4为作用于刚体上的平面共点力系，其力矢 关系如图所示为平行四边形，由此。 ①力系可合成为一个力偶； ②力系可合成为一个力； ③力系简化为一个力和一个力偶； ④力系的合力为零，力系平衡。 5．在下述原理、法则、定理中，只适用于刚体的有。 ①二力平衡原理；②力的平行四边形法则； ③加减平衡力系原理；④力的可传性原理； ⑤作用与反作用定理。 三、填空题 第6章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。 解：?c o s )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0ω=0?= 0 22 1t α?= （3） 起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ? =CP CP 0，即 θ?r R = ?θr R = ， ??r r R A += （4） 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ?? ??? +=+=+=22 2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。 解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为 h v AC v AP v AB θθω2 000cos cos === 6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。 解：R v R v A A == ω R v R v B B 22==ω B A ωω2= 6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度ω＝12 rad/s ，θ＝30?，?＝60?，BC ＝270mm 。试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。 习题6-1图 习题6－2图 习题6－2解图 习题6-3解图 习题6-3图 v A = v v B = v ωA ωB 第五章 习题5-2.重为G的物体放在倾角为α的斜面上，摩擦系数为f；问要拉动物体所需拉力T的最小值是多少，这时的角θ多大？ 解：(1) 研究重物，受力分析（支承面约束用全反力R表示），画受力图： (2) 由力三角形得 (3) 当T与R垂直时，T取得最小值，此时有： 习题5-6.欲转动一放在V形槽中的钢棒料，需作用一矩M=15N.m的力偶，已知棒料重400N，直径为25cm；求棒料与槽间的摩擦系数f。 解：(1) 研究钢棒料，受力分析（支承面约束用全反力R表示），画受力图： (2) 由力三角形得： (3) 列平衡方程： 由(2)、(3)得： (4) 求摩擦系数： 习题5-7.尖劈顶重装置如图所示，尖劈A的顶角为α，在B块上受重物Q的作用，A、B块间的摩擦系数为f（其他有滚珠处表示光滑）；求：（1） 顶起重物所需力P之值；（2）取支力P后能保证自锁的顶角α之 值。 解：(1) 研究整体，受力分析，画受力图： 列平衡方程 (2) 研究尖劈A，受力分析，画受力图 由力三角形得 (3) 撤去P力后要保持自锁，则全反力与N A成一对平衡力 由图知 习题5-8.图示为轧机的两个轧辊，其直径为d=500mm，辊面间开度为a=5mm，两轧辊的转向相反，已知烧红的钢板与轧辊间的摩擦系数为f=0.1；试 问能轧制的钢板厚度b是多少？ 解：(1) 研究钢块，处于临界平衡时，画受力图： (2) 由图示几何关系： 习题5-10.攀登电线杆用的脚套钩如图所示，设电线杆的直径d=30cm，A、B间的垂直距离b=10cm，若套钩与电线杆间的摩擦系数 f=0.5；试问踏 脚处至电线杆间的距离l为多少才能保证安全操作？ 解：(1) 研究脚套钩，受力分析（A、B处用全反力表示），画受力图： (2) 由图示几何关系： 习题5-12.梯子重G、长为l，上端靠在光滑的墙上，底端与水平面间的摩擦系数为f；求：（1）已知梯子倾角α，为使梯子保持静止，问重为P 的人的活动范围多大？（2）倾角α多大时，不论人在什么位置梯 子都保持静止。 解：(1) 研究AB杆，受力分析（A处约束用全反力表示），画受力图： 第五章 Lt 习题5-2.重为G的物体放在倾角为a的斜面上，摩擦系数为 所需拉力T的最小值是多少，这时的角9多大？ 解：（1）研究重物，受力分析（支承面约束用全反力R表 示）， （2）由力三角形得 sin(a +甲」gin[(90J - a + (a + 6)] 千曲")& 皿0 - ??0=甲聽=arctgf T=Gsin(tt +(pJ 习题5-6.欲转动一放在V形槽中的钢棒料，需作用一矩M=15N.m勺力偶，已知棒料重400N,直径为25cm；求棒料与槽间的摩擦系数f。 解：（1）研究钢棒料，受力分析（支承面约束用全反力R表示），画受力图: （2）由力三角形得： R广护血（4亍-趴）& =0co昭5—忙） (3)列平衡方程： Vm o (F) = 0: - M+K血礼x/*+&$in化xr = O 由⑵、（3）得: M=FT[sin(45tf -(p H) + cos(45J -(p fl)]xrx sin(p w =JP>sin(p… x2sin45L，cos(p K 化35° （4）求摩擦系数: Wr =04243 习题5-7. 尖劈顶重装置如图所示，尖劈 A 的顶角为a ，在B块上受重物Q的作用， A、B块间的摩擦系数为f （其他有滚珠处表示光滑）；求：（1）顶起重 物所需力P之值；（2）取支力P后能保证自锁的顶角a之值。 解：（1）研究整体，受力分析，画受力图： 列平衡方程 审"：-S+JV X=O ■^ = Q 由力三角形得 P 二JV 勰(a+w)二伽(d +v)^?r(ff+ 6章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。 解：?cos )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0ω=0?= 0 22 1t α?= （3） 起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ? =CP CP 0，即 θ?r R = ?θr R = ， ??r r R A += （4） 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ?? ??? +=+=+=22 2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。 解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为 h v AC v AP v AB θθω2 000cos cos === 6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。 解：R v R v A A == ω R v R v B B 22==ω B A ωω2= 6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度ω＝12 rad/s ，θ＝30?，?＝60?，BC ＝270mm 。试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。 习题6-1图 A B C v 0 h θ 习题6－2图 P ωAB v C A B C v o h θ 习题6－2解图 习题6-3解图 习题6-3图 v A = v v B = v ωA ωB ·36· 第4章 空间力系 一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”) 1．力在坐标轴上的投影是代数量，而在坐标面上的投影为矢量。 ( √ ) 2．力对轴之矩是力使刚体绕轴转动效应的度量，它等于力在垂直于该轴的平面上的分力对轴与平面的交点之矩。 ( √ ) 3．在平面问题中，力对点之矩为代数量；在空间问题中，力对点之矩也是代数量。 ( × ) 4．合力对任一轴之矩，等于各分力对同一轴之矩的代数和。 ( √ ) 5．空间任意力系平衡的必要与充分条件是力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。 ( √ ) 6．物体重力的合力所通过的点称为重心，物体几何形状的中心称为形心，重心与形心一定重合。 ( × ) 7．计算一物体的重心，选择不同的坐标系，计算结果不同，因而说明物体的重心位置是变化的。 ( × ) 8．物体的重心一定在物体上。 ( × ) 二、填空题 1．空间汇交力系共有三个独立的平衡方程，它们分别表示为0=∑x F 、 0=∑y F 和 0=∑z F 。 空间力偶系共有三个独立的平衡方程，它们分别表示为0=∑x M 、 0=∑y M 和 0=∑z M 。而空 间任意力系共有六个独立的平衡方程，一般可表示为 0=∑x F 、 0=∑y F 、 0=∑z F 、 0) (=∑F x M 、 0) (=∑F y M 和 0)(=∑F z M 。 2．由n 个力组成的空间平衡力系，如果其中的(n -1)个力相交于A 点，那么另一个力也必定通过点A 。 3．作用在同一刚体上的两个空间力偶彼此等效的条件是力偶矩矢相等。 4．空间力对一点的矩是一个矢量，而空间力对某轴的矩是一个代数量。 5．空间力F 对任一点O 之矩)(F M O 可用矢量积来表示，即F r F M ?=)(O 。写成解析表达式为 k j i F M )()()()(x y z x y z O yF xF xF zF zF yF -+-+-=。 6．当空间力与轴相交时，力对该轴的矩等于零。 7．空间力系向一点简化，若主矩与简化中心的选择无关，则该力系的主矢等于零，该力系可合成为一个合力偶。若空间任意力系向任一点简化，其主矩均等于零，则该力系是 平衡力系。 8．力螺旋是指由一力和一力偶组成的力系，其中的力垂直于力偶的作用面。力螺旋可分为左螺旋和右螺旋。 y x 第十一章 动量矩定理 习题解 [习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为：23t x C =，24t y C =，3 2 1t = ?，其中长度以m 计，角度以rad 计，时间以s 计。设刚体质量为kg 10，对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ，求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。 解： )(1223|2 2m x t C =?== )(1624|22m y t C =?== t t dt d dt dx v C Cx 6)3(2=== )/(1226|2s m v t Cx =?== t t dt d dt dy v C Cy 8)4(2=== )/(1628|2s m v t Cy =?== 2323)21(t t dt d dt d === ?ω )/(622 3 |22s rad t =?==ω → →→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω → → -+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2 ωρ → =→ ?-?+??=k L t O ]1612121665.0[10|2 2 → =→ =k L t O 15|2 )/(2 s m kg ?，→ k 是z 轴正向的单位向量。 [习题11-2] 半径为R ，重为W 的均质圆盘固结在长l ，重为P 的均质水平直杆AB 的B 端，绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转，求系统对转轴的动量矩。 解： g Pl l g P J AB z 3312 2,= ??= 平动 )(a O 转动 绕定轴C )( b 转动 绕定轴1 )(O c 1 O 在圆弧上作纯滚动 )(d g l R W l g W g J l z 4) 4(R W 412222,+= ?+??=圆盘 ωω?+?=圆盘,,z AB z z J J L ω4) 4(3[222g l R W g Pl L z ++= ω)4443( 2 2 2 g WR g Wl g Pl L z ++= ω4333(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)433( 2 2R g W l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ，半径为R ，当它作图示四种运动时，对固定点1O 的动量矩分别为多大？图中l C O =1。 解：)(a 因为圆盘作平动，所以 ωω211ml J L z O O == 解：)(b → → → →?+=p r L L C C O 1 其中，质心C 的动量为0 ωω22 1 1mR J L Cz O = = 解：)(c ωω)2 1 (2211ml mR J L z O O +== 解：)(d 因为圆盘作平面运动，所以： )(11→ +=C Z O Cz O v m M J L ω F DB CB DB F ' 习题3－3图 第3章 静力学平衡问题 3－1 图示两种正方形结构所受荷载F 均已知。试求其中1，2，3各杆受力。 解：图（a ）：045cos 23=-?F F F F 2 2 3= （拉） F 1 = F 3（拉） 045cos 232=?-F F F 2 = F （受压） 图（b ）：033='=F F F 1 = 0 F 2 = F （受拉） 3－2 图示为一绳索拔桩装置。绳索的E 、C 两点拴在架子上，点B 与拴在桩A 上的绳索AB 连接，在点D 加一铅垂向下的力F ，AB 可视为铅垂，DB 可视为水平。已知α= 0.1rad.，力F = 800N 。试求绳AB 中产生的拔桩力（当α很小时，tan α≈α）。 解：0=∑y F ，F F ED =αsin αs i n F F ED = 0=∑x F ，DB ED F F =αcos F F F DB 10tan == α 由图（a ）计算结果，可推出图（b ）中：F AB = 10F DB = 100F = 80 kN 。 3－3 起重机由固定塔AC 与活动桁架BC 组成，绞车D 和E 分别控制桁架BC 和重物W 的运动。桁架BC 用铰链连接于点C ，并由钢索AB 维持其平衡。重物W = 40kN 悬挂在链索上，链索绕过点B 的滑轮，并沿直线BC 引向绞盘。长度AC = BC ，不计桁架重量和滑轮摩擦。试用角?=∠ACB 的函数来表示钢索AB 的张力F AB 以及桁架上沿直线BC 的压力F BC 。 (b-1) 习题3－1图 (a-1) (a-2) '3 (b-2) 习题3－2图 F 《理论力学》课后答案 习题4-1．求图示平面力系的合成结果，长度单位为m。 解：(1) 取O点为简化中心，求平面力系的主矢： 求平面力系对O点的主矩： (2) 合成结果：平面力系的主矢为零，主矩不为零，力系的合成结果是一个合力偶，大小是260Nm，转向是逆时针。 习题4－3．求下列各图中平行分布力的合力和对于A点之矩。 解：(1) 平行力系对A点的矩是： 取B点为简化中心，平行力系的主矢是： 平行力系对B点的主矩是： 向B点简化的结果是一个力R B和一个力偶M B，且： 如图所示； 将R B向下平移一段距离d，使满足： 最后简化为一个力R，大小等于R B。其几何意义是：R的大小等于载荷分布的矩形面积，作用点通过矩形的形心。 (2) 取A点为简化中心，平行力系的主矢是： 平行力系对A点的主矩是： 向A点简化的结果是一个力R A和一个力偶M A，且： 如图所示； 将R A向右平移一段距离d，使满足： 最后简化为一个力R，大小等于R A。其几何意义是：R的大小等于载荷分布的三角形面积，作用点通过三角形的形心。 习题4-4．求下列各梁和刚架的支座反力，长度单位为m。 解：(1) 研究AB杆，受力分析，画受力图： 列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。 校核： 结果正确。 (2) 研究AB杆，受力分析，将线性分布的载荷简化成一个集中力，画受力图： 列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。 校核： 结果正确。 (3) 研究ABC，受力分析，将均布的载荷简化成一个集中力，画受力图： 列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。 校核： 结果正确。 习题4-5．重物悬挂如图，已知G=1.8kN，其他重量不计；求铰链A的约束反力和杆BC所受的力。 动量矩定理 12-1 质量为m 的点在平面Oxy 内运动，其运动方程为： t b y t a x ωω2sin cos == 式中a 、b 和ω为常量。求质点对原点O 的动量矩。 解：由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度 t b t y v t a t x v y x ωωωω2cos 2d d sin d d ==-== 质点对点O 的动量矩为 t a t b m t b t a m x mv y mv m M m M L y x O O ωωωωωωcos 2cos 22sin )sin ()()(0??+?-?-=?+?-=+=y x v v t mab ωω3 cos 2= 12-3 如图所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A ，质心为C ，AC = e ；轮子半径为R ，对轴心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一铅直线上。（1）当轮子只滚不滑时，若v A 已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。（2）当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。 解：（1）当轮子只滚不滑时B 点为速度瞬心。 轮子角速度 R v A = ω 质心C 的速度 )(e R R v C B v A C +==ω 轮子的动量 A C mv R e R mv p += =（方向水平向右） 对B 点动量矩 ω?=B B J L 由于 222)( )( e R m me J e R m J J A C B ++-=++= 故 [] R v e R m me J L A A B 22)( ++-= （2）当轮子又滚又滑时由基点法求得C 点速度。 e v v v v A CA A C ω+=+= 轮子动量 )(e v m mv p A C ω+== （方向向右） 对B 点动量矩 ) ( )()()( )( 2e mR J e R mv me J e R e v m J BC mv L A A A A C C B +++=-+++=+=ωω ωω 12-13 如图所示，有一轮子，轴的直径为50 mm ，无初速地沿倾角?=20θ的轨道滚下，设只滚不滑，5秒内轮心滚动的距离为s = 3 m 。试求轮子 O ω R r A B θ 习题9－2图 习题20-3图 Ox F Oy F g m D d α 习题20-3解图 第9章 动量矩定理及其应用 9－1 计算下列情形下系统的动量矩。 1. 圆盘以ω的角速度绕O 轴转动，质量为m 的小球M 可沿圆盘的径向凹槽运动，图示瞬时小球以相对于圆盘的速度v r 运动到OM = s 处（图a ）；求小球对O 点的动量矩。 2. 图示质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮心为A ，质心为C ，且AC = e ；轮子半径为R ，对轮心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一铅垂线上（图b ）。（1）当轮子只滚不滑时，若v A 已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩；（2）当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩。 解：1、2 s m L O ω=（逆） 2、（1） )1()(R e mv e v m mv p A A C +=+==ω（逆） R v me J R e R mv J e R mv L A A A C C B )()()(22 -++=++=ω （2）)(e v m mv p A C ω+== ωωωω)()()())(()(2meR J v e R m me J e R e v m J e R mv L A A A A C C B +++=-+++=++= 9－2 图示系统中，已知鼓轮以ω的角速度绕O 轴转动，其大、小半径分别为R 、r ，对O 轴的转动惯量为J O ；物块A 、B 的质量分别为m A 和m B ；试求系统对O 轴的动量矩。 解： ω)(22r m R m J L B A O O ++= 9－3 图示匀质细杆OA 和EC 的质量分别为50kg 和100kg ，并在点A 焊成一体。若此结构在图示位置由静止状态释放，计算刚释放时，杆的角加速度及铰链O 处的约束力。不计铰链摩擦。 解：令m = m OA = 50 kg ，则m EC = 2m 质心D 位置：（设l = 1 m) m 6 565== =l OD d 刚体作定轴转动，初瞬时ω=0 l mg l mg J O ?+?=22 α 222232)2(212 1 31 ml ml l m ml J O =+??+ = 即mgl ml 2 532=α 2rad/s 17.865==g l α g l a D 36 256 5t =?=α 由质心运动定理： Oy D F mg a m -=?33t 4491211 362533==-=mg g m mg F Oy N （↑） 0=ω，0n =D a ， 0=Ox F (a) O M v ω ω A B C R v A (b) 习题9－1图 习题7-2图 习题7-1图 s F 第3篇 工程动力学基础 第7章 质点动力学 7-1 图示滑水运动员刚接触跳台斜面时，具有平行于斜面方向的速度40.2km/h ，忽略 摩擦，并假设他一经接触跳台后，牵引绳就不再对运动员有作用力。试求滑水运动员从飞离斜面到再落水时的水平长度。 解：接触跳台时 17 113600 102403 0..v =?= m/s 设运动员在斜面上无机械能损失 768 8442892171122 02 0....gh v v =??-= -= m/s 141 8.cos v v x ==θm/s, 256 3.s i n v v y ==θm/s 541 022 1.g v h y == m 33201.g v t y == s 2 2 0121)(gt h h = + 780.08 .9) 44.2541.0(2) (2012=+= += g h h t s 112.121=+=t t t s 05 911211418...t v x x =?==m 7-2 图示消防人员为了扑灭高21m 仓库屋顶平台上的火灾，把水龙头置于离仓库墙基15m 、距地面高1m 处，如图所示。水柱的初速度250=υm/s ，若欲使水柱正好能越过屋顶边缘到达屋顶平台，且不计空气阻力，试问水龙头的仰角α应为多少？水柱射到屋顶平台上的水平距离s 为多少？ 解：(1) α cos v t 0115= (1) 20 2 1sin 2 110=- ?gt t v α (2) (1)代入(2)，得 0 1.44cos sin 375cos 5002=+-ααα α αα2 2 c o s 1c o s 3751.44cos 500-=+ 0 81.1944cos 96525cos 3906252 4 =+-αα 22497.0cos 2 =α, ?=685.61α (2) g v t αsin 02= （到最高点所经过时间） 26 .232)15cos (20=?-?=t v S αm 7-3 图示三角形物块置于光滑水平面上，并以水平等加速度a 向右运动。另一物块置于其斜面上，斜面的倾角为θ。设物块与斜面间的静摩擦因数为s f ，且tan θ>s f ，开始时物块在斜面上静止，如果保持物块在斜面上不滑动，加速度a 的最大值和最小值应为多少？ 习题7-1解图 θ v 0 v y O 理论力学课后习题及答案 应按下列要求进行设计（D ） A．地震作用和抗震措施均按8度考虑 B．地震作用和抗震措施均按7度考虑 C．地震作用按8度确定，抗震措施按7度采用答题（共38分） 1、什么是震级？什么是地震烈度？如何评定震级和烈度的大小？（6分） 震级是表示地震本身大小的等级，它以地震释放的能量为尺度，根据地震仪记录到的地震波来确定（2分） 地震烈度是指某地区地面和各类建筑物遭受一次地震影响的强弱程度，它是按地震造成的后果分类的。（2分） 震级的大小一般用里氏震级表达（1分） 地震烈度是根据地震烈度表，即地震时人的感觉、器物的反应、建筑物破坏和地表现象划分的。（1分） D．地震作用按7度确定，抗震措施按8度采用 4．关于地基土的液化，下列哪句话是错误的（A）A．饱和的砂土比饱和的粉土更不容易液化 B．地震持续时间长，即使烈度低，也可能出现液化 C．土的相对密度越大，越不容易液化 D．地下水位越深，越不容易液化 5．考虑内力塑性重分布，可对框架结构的梁端负弯矩进行调幅（B ）A．梁端塑性调幅应对水平地震作用产生的负弯矩进行 B．梁端塑性调幅应对竖向荷载作用产生的负弯矩进行 C．梁端塑性调幅应对内力组合后的负弯矩进行 D．梁端塑性调幅应只对竖向恒荷载作用产生的负弯矩进行 6．钢筋混凝土丙类建筑房屋的抗震等级应根据那些因素查表确定（ B ）A．抗震设防烈度、结构类型和房屋层数 B．抗震设防烈度、结构类型和房屋高度 C．抗震设防烈度、场地类型和房屋层数 D．抗震设防烈度、场地类型和房屋高度 7.地震系数k与下列何种因素有关？ ( A ) A.地震基本烈度 B.场地卓越周期 一、 C.场地土类 1．震源到震中的垂直距离称为震源距（×）2．建筑场地类别主要是根据场地土的等效剪切波速和覆盖厚度来确定的（√）3．地震基本烈度是指一般场地条件下可能遭遇的超越概率为10%的地震烈度值 （×）4．结构的刚心就是地震惯性力合力作用点的位置（×）5．设防烈度为8度和9度的高层建筑应考虑竖向地震作用（×）6．受压构件的位移延性将随轴压比的增加而减小C．地震作用按8度确定，抗震措施按7度采用答题（共38分） 1、什么是震级？什么是地震烈度？如何评定震级和烈度的大小？（6分） 震级是表示地震本身大小的等级，它以地震释放的能量为尺度，根据地震仪记录到的地震波来确定（2分） 地震烈度是指某地区地面和各类建筑物遭受一次地震影响的强弱程度，它是按地震造成的后果分类的。（2分） 震级的大小一般用里氏震级表达（1分） 地震烈度是根据地震烈度表，即地震时人的感觉、器物的反应、建筑物破坏和地表现象划分的。（1分） D．地震作用按7度确定，抗震措施按8度采用 4．关于地基土的液化，下列哪句话是错误的（A）E．饱和的砂土比饱和的粉土更不容易液化 F．地震持续时间长，即使烈度低，也可能出现液化 G．土的相对密度越大，越不容易液化 (b) 第2篇 工程运动学基础 第4章 运动分析基础 4－1 小环A 套在光滑的钢丝圈上运动，钢丝圈半径为R （如图所示）。已知小环的初速度为v 0，并且在运动过程中小环的速度和加速度成定角θ，且 0 ＜ θ ＜2 π，试确定小环 A 的运动规律。 解：R v a a 2 n sin ==θ，θ sin 2R v a = θ θtan cos d d 2t R v a t v a = ==，??=t v v t R v v 02d tan 1d 0θ t v R R v t s v 00tan tan d d -==θθ ??-=t s t t v R R v s 0000d tan tan d θθ t v R R R s 0tan tan ln tan -=θθθ 4－2 已知运动方程如下，试画出轨迹曲线、不同瞬时点的 1．?? ???-=-=225.1324t t y t t x ， 2．???==t y t x 2cos 2sin 3 解：1．由已知得 3x = 4y （1） ? ??-=-=t y t x 3344 t v 55-= ? ??-=-=34y x 5-=a 为匀减速直线运动，轨迹如图（a ），其v 、a 图像从略。 2．由已知，得 2arccos 21 3arcsin y x = 化简得轨迹方程：29 4 2x y -= （2） 轨迹如图（b ），其v 、a 图像从略。 4－3 点作圆周运动，孤坐标的原点在O 点，顺钟向为孤坐标的正方向，运动方程为 22 1 Rt s π=，式中s 以厘米计，t 以秒计。轨迹图形和直角坐标的关系如右图所示。当点第一次到达y 坐标值最大的位置时，求点的加速度在x 和y 轴上的投影。 解：Rt s v π== ，R v a π== t ，222 n Rt R v a π== y 坐标值最大的位置时：R Rt s 2 212ππ== ，12=∴t R a a x π==t ，R a y 2π-= A 习题4－1图 习题4－2图 习题4－3图 习 题 11-1 质量为m 的质点在平面Oxy 内运动，其运动方程为：t b y t a x ωω2sin ,cos ==。其中a 、b 和w 均为常量。试求质点对坐标原点O 的动量矩。 t a x v x ωωsin -== t b y v y ωω2cos 2== x mv y mv L y x O +-= )cos 2cos 22sin sin (t a t b t b t a m ωωωωωω?+?= )cos 2cos 22sin (sin t t t t mab ωωωωω?+?= )cos 2cos 2cos sin 2(sin t t t t t mab ωωωωωω?+?= )2cos (sin cos 22t t t mab ωωωω+= t mab ωω3cos 2= 11-2 C 、D 两球质量均为m ，用长为2 l 的杆连接，并将其中点固定在轴AB 上，杆CD 与轴AB 的交角为θ，如图11-25所示。如轴AB 以角速度w 转动，试求下列两种情况下，系统对AB 轴的动量矩。（1）杆重忽略不计；（2）杆为均质杆，质量为2m 。 图11-25 (1) θθ222sin 2)sin (2ml l m J z =?= θω22sin 2l m L z = (2) θθ2202sin 32d )sin (2ml x x l m J l z ==? 杆 θ22sin 3 8 ml J z = θ ω22sin 3 8 l m L z = 11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m 。 图11-26 (a) ω2 3 1ml L O = (b) 22291)6(121ml l m ml J O =+= ω29 1ml L O -= 高等教育出版社，金尚年，马永利编著的理论力学课后习题答案 第一章 1.2 写出约束在铅直平面内的光滑摆线 上运动的质点的微 分方程，并证明该质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关. 解： 设s 为质点沿摆线运动时的路程，取 =0时，s=0 S= = 4 a (1 ) X Y 设 为质点所在摆线位置处切线方向与x 轴的夹角，取逆时针为正， 即切线斜率 = 受力分析得： 则 ，此即为质点的运动微分方程。 该质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关，为. 1.3 证明：设一质量为m 的小球做任一角度0θ的单摆运动 运动微分方程为θθθ F r r m =+)2(&&&& θθ sin mg mr =&& ① 给①式两边同时乘以d θ θθθθ d g d r sin =&& 对上式两边关于θ&积分得 c g r +=θθcos 2 12& ② 利用初始条件0θθ=时0=θ &故0cos θg c -= ③ 由②③可解得 0cos cos 2-θθθ -?=l g & 上式可化为dt d l g =?-?θθθ0cos cos 2- 两边同时积分可得θθθθθθθθd g l d g l t ??--- =-- =0 2 02 2 200 2 sin 12 sin 1001 2cos cos 12 进一步化简可得θθθθd g l t ?-= 0002 222sin sin 1 2 1 由于上面算的过程只占整个周期的1/4故 ?-==0 2 2 2 sin 2 sin 12 4T θθθ θd g l t 由?θθsin 2 sin /2sin 0= 两边分别对θ?微分可得??θ θθd d cos 2 sin 2cos 0= ?θθ 20 2 sin 2 sin 12 cos -= 故?? θ? θθd d 20 2 sin 2 sin 1cos 2 sin 2 -= 由于00θθ≤≤故对应的2 0π ?≤≤ 故?? θ ? θ?θθ θθπ θd g l d g l T ??-=-=20 20 2 2 cos 2 sin sin 2 sin 1/cos 2 sin 4 2 sin 2 sin 2 故?-=2 022sin 14π??K d g l T 其中2 sin 022θ=K 通过进一步计算可得 g l π 2T =])2642)12(531()4231()21(1[224222ΛΛΛΛ+????-????++??++n K n n K K 1.5 第一章 习题4-1．求图示平面力系的合成结果，长度单位为m。 解：(1) 取O点为简化中心，求平面力系的主矢： 求平面力系对O点的主矩： (2) 合成结果：平面力系的主矢为零，主矩不为零，力系的合成结果是一个合力 偶，大小是260Nm，转向是逆时针。 习题4－3．求下列各图中平行分布力的合力和对于A点之矩。 解：(1) 平行力系对A点的矩是： 取B点为简化中心，平行力系的主矢是： 平行力系对B点的主矩是： 向B点简化的结果是一个力R B和一个力偶M B，且： 如图所示； 将R B向下平移一段距离d，使满足： 最后简化为一个力R，大小等于R B。其几何意义是：R的大小等于载荷分布的矩形面积，作用点通过矩形的形心。 (2) 取A点为简化中心，平行力系的主矢是： 平行力系对A点的主矩是： 向A点简化的结果是一个力R A和一个力偶M A，且： 如图所示； 将R A向右平移一段距离d，使满足： 最后简化为一个力R，大小等于R A。其几何意义是：R的大小等于载荷分布的三角形面积，作用点通过三角形的形心。 习题4-4．求下列各梁和刚架的支座反力，长度单位为m。解：(1) 研究AB杆，受力分析，画受力图： 列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。 校核： 结果正确。 (2) 研究AB杆，受力分析，将线性分布的载荷简化成一个集中力，画受力图： 列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。校核： 结果正确。(3) 研究ABC，受力分析，将均布的载荷简化成一个集中力，画受力图： 列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。 校核： 结果正确。 习题4-5．重物悬挂如图，已知G=1.8kN，其他重量不计；求铰链A的约束反力和杆BC所受的力。 解：(1) 研究整体，受力分析（BC是二力杆），画受力图： 列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。 第11章 动量矩定理 一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”) 1. 质点系对某固定点(或固定轴)的动量矩，等于质点系的动量对该点(或轴)的矩。 (×) 2. 质点系所受外力对某点(或轴)之矩恒为零，则质点系对该点(或轴)的动量矩不变。(√) 3. 质点系动量矩的变化与外力有关，与内力无关。 (√) 4. 质点系对某点动量矩守恒，则对过该点的任意轴也守恒。 (√) 5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。 (×) 6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中，以对质心轴的转动惯量为最大。 (×) 7. 质点系对某点的动量矩定理e 1d ()d n O O i i t ==∑L M F 中的点“O ”是固定点或质点系的质心。 (√) 8. 如图所示，固结在转盘上的均质杆AB ，对转轴的转动惯量为20A J J mr =+ 221 3 ml mr =+，式中m 为AB 杆的质量。 (×) 9. 当选质点系速度瞬心P 为矩心时，动量矩定理一定有e 1 d ()d n P P i i t ==∑L M F 的形式，而 不需附加任何条件。 (×) 10. 平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零，则刚体只能做平动；若所受外力的主矢等于零，刚体只能作绕质心的转动。 (×) 图 二、填空题 1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。 2. 质量为m ，绕z 轴转动的回旋半径为ρ，则刚体对z 轴的转动惯量为2ρm J z =。 3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。 4. 质点系的动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的外力对该点的矩有关，而与系统的内力无关。 5. 质点系对某点动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对该点之矩的矢量和等于零，质点系的动量对x 轴的动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对x 轴之矩的代数和理论力学课后答案(范钦珊)
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