【2019-2020学年度】最新通用版高考数学二轮复习课时跟踪检测二十五理

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【2019-2020学年度】最新通用版高考数学二轮复习课时跟踪

检测二十五理

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1．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)．

(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；

(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．

解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．

当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，

f(1)＝0，f′(x)＝ln x＋－3，f′(1)＝－2.

故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.

(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于ln x－＞0.

设g(x)＝ln x－，

则g′(x)＝－＝，g(1)＝0.

①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)＞0；

②当a＞2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－，x2＝a－1＋.

由x2＞1和x1x2＝1得0

综上，a的取值范围是(－∞，2]．

2．(2017·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x2)ex.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．

解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．

f′(x)＝(1－2x－x2)ex.

令f′(x)＝0，得x＝－1－或x＝－1＋.