12.1函数
(第1课时)
霍邱县乌龙镇中心学校龚家林
教学目标
1、通过直观感知,领悟常量、变量、函数的意义。
2、了解函数三种表示方法中的列表法和解析法
教学重点、难点
1、重点:理解函数的意义,并会根据具体问题探究相应的函数关系式
2、难点:对函数意义的准确理解
教学过程
一、创设情境,导入新课
导语:注意观察情境图,并引导学生思考情境图中的热气球是怎样运动变化的?图下方的表格表达的是怎样的含义?
二、合作交流、解读探究
问题1、如图12-1,用热气球探测高空气象,设热气球从海拔1800m 处的某地上升空,它上升后到达的海拔高度hm 与上升时间tmin 的关系记录如下表:
(引导学生观察课本P21图12-1并回答书中问题.)
(1)观察上表,该问题涉及哪几个量,热气球在升空的过程中平均每分上升多少米?
(2)你能写出表达式上升后到达的海拔高度h 与上升时间t 的关系式吗? (h =30 t +1800)
问题2:图12-2是S 市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线。 (引导学生观察图12-2)
看图回答
(1)该问题涉及哪几个量,任意给出这天中的某一时刻X ,能找到这一时刻的负荷ymw (兆瓦)是多少吗?
(2)这一天的用电高峰、用电低谷时负荷各是多少?它们是在什么时刻达到的? 问题3:汽车在行驶过程中,由于惯性的作用刹车后的仍将滑行一段距离才能停住,刹车距离是分析事故原因的一个重要因素。某型号的汽车在平整路面上的刹车距离Sm 与车速vkm/h
之间有下列经验公式:
式中涉及哪几个量,当刹车时速V 分别是40、60km/h 时,相应的滑行距离S 分别是多少? 问题1中,热气球的上升速度在上升速度过程中的始终保持不变(取值一直为30 m / min ),这个量叫做常量,而热热气球的上升时间t 和上升的高度h 都是变化的,叫做变量 h 是随着t 的变化而变化的,任给变量t 的一个值,就可以相应地得到变量h 的一个确定的值,t 是自变量,h 是因变量
[交流]:在问题2-3中,哪些量是常量?哪些量是自变量?哪些变量是因变量?与同伴交流。 一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x 与y ,并且对于x 的每一个值,y 都有唯一确定的值与其对应的,那么我们就说x 是自变量,y 是x 的函数 练习:课本P23,第1、2题
2562
v s
从上面讨论可以看出,表示两个变量的函数关系,主要有下列三种方法
1、列表法
通过列出自变量的值,与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法
例如:问题1
2、解析法
用数学式子表示函数关系的方法叫做解析法
例如:问题3
三、例题评析
课本P24-25。例1,2略讲,明确:
1.在函数关系式中,以自变量的值代入求得的值叫函数值。
2.在用关系式表示函数时,要考虑自变量的取值必须使函数关系式有意义,如分母不得为零、负数不能开平方等。通过计算理解函数概念的三个要素:定义域(自变量取值范围)、值域(函数值的取值范围)、对应关系。
例3、一个游泳池内有水300 m3,现打开排水管以每时25 m3排出量排水。
(1)写出游泳池内剩余水量Q m3与排水时间th间的函数关系式;
(2)写出自变量t的取值范围
(3)开始排水后的第5h末,游泳池中还有多少水?
(4)当游泳池中还剩150 m3已经排水多少时?
解:(1)排水后的剩水量Q m3是排水量时间h的函数,有Q=-25 t +300t
(2)由于池中共有300 m3每时排25 m3全部排完只需300÷25=12(h),故自变量T的取值范围是0≤t≤12
(3)当t=5,代入上式得Q=-5×25+300=175(m3),即第5h末池中还有水175 m3
(4)当Q=150时,由150=-25 t +300,得t =6,即节6 h末池中有水150m3
四、学生练习
练习:课本P25,第1、2、3、4、5题
五、小结
掌握函数的概念,能根据问题背景,确定函数关系式,会确定自变量的取值范围。
六、布置作业:
1、课本P31,习题12.1第1,2,3,题
2、《基训》
《一次函数》的教学设计 教学内容:一次函数 教学目标: 1、知识与技能: 掌握一次函数解析式的特点及意义;理解一次函数图象特征与解析式的联系规律。 2、过程与方法: 利用数形结合思想,进一步分析一次函数与正比例函数的联系,从而提高比较鉴别能力。 3、情感态度与价值观: 通过学习,培养学生独立思考、合作探究,科学的思维方法。 4、法制目标: 通过对新知的应用,向学生渗透《中华人民共和国环境保护法》提高学生对法律的认识。 教学重点: 1、一次函数解析式特点. 2、一次函数图象特征与解析式联系规律。 教学难点: 一次函数图象特征与解析式的联系规律。 教学过程 一、提出问题,创设情境 问题:某登山队大本营所在地的气温为15℃,海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高xkm时,他们所处位置的气温是y℃.试用解析式表示y?与x的关系。 分析:从大本营向上当海拔每升高1km时,气温从15℃就减少6℃,那么海拔增加xkm时,气温从15℃减少6x℃.因此y与x的函数关系式为: y=15-6x (x≥0) 当然,这个函数也可表示为: y=-6x+15 (x≥0) 当登山队员由大本营向上登高0.5km时,他们所在位置气温就是x=0.5时函数y=-6x+15的值,即y=-6×0.5+15=12(℃)。 这个函数与我们上节所学的正比例函数有何不同?它的图象又具备什么特征?我们这节课将学习这些问题。 二、导入新课 1、合作探究: 我们先来研究下列变量间的对应关系可用怎样的函数表示?它们又有什么共同特点? (1)、有人发现,在20~25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t(℃)有关,即C?的值约是t的7倍与35的差。 (2)、一种计算成年人标准体重G(kg)的方法是,以厘米为单位量出身高值h减常数105,所得差是G的值。 (3)、某城市的市内电话的月收费额y(元)包括:月租费22元,拨打电话x分的计时费(按0.01元/分收取)。
二次函数的图象与性质(第1课时)教学设计教材来源:义务教育教科书《数学(九年级下册)》/北京师范大学出版社2014年版 内容来源:义务教育教科书《数学(九年级下册)》第二章第二节主题:二次函数的图象与性质(1)课时:1课时 授课对象:九年级学生 设计者:田梦梦 目标确定的依据 1、课程标准相关要求 会用描点法画出二次函数的图象,通过图象了解二次函数的性质。 2、教材分析 函数是“数与代数”的重要内容,也是义务教育阶段学生比较难理解和掌握的数学概念之一。因此教材对函数内容的编排体现了螺旋上升的原则,分阶段逐渐深化。而“二次函数的图象与性质(1)”正处于第二阶段,即在感性认识的基础上,研究具体的二次函数2x y± =及其性质,了解研究二次函数2x =的基本方法,使得学生能够在操作 y± 层面认识和理解二次函数2x =,这有助于学生形成模型思想,对于学 y± 生感受数学的广泛联系和应用价值、获得相应的知识和技能、积累运用函数解决问题的经验都具有重要的作用。 3、学情分析 学生的知识技能基础:学生在前面已经学习过一次函数、反比例函数,经历过探索、分析和建立两个变量之间的一次函数、反比例函数关系的过程,学会了用描点法画函数图象的方法,并结合图象归纳
总结函数的性质。在本章第一节课中,又学习了二次函数的概念,经历了探索和表示二次函数关系的过程,获得了用二次函数表示变量之间关系的体验。 学生活动经验基础:在学习一次函数、反比例函数过程中,学会了用描点法画函数图象的方法,学生已具备了一定的作图能力,并经历了利用一次函数、反比例函数图象探索函数性质的活动,解决了一些简单的现实问题,感受到了数形结合的必要性和重要性,获得了一些探究函数图象和性质的数学活动经验基础;同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力。 目标 1、经历列表、描点、连线等动手操作活动,画出二次函数2x y=的图象。 2、借助二次函数2x y=的图象会描述图象的形状,说出并理解二次函数2x y=图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3、通过观察图象、讨论并归纳出二次函数2x y=的增减性,经历观察图象或分析表达式确定函数的最值的过程;获得利用图象研究函数性质的经验. 4、通过类比函数2x y=的图象及性质,猜想、动手操作、合作交流、归纳总结出二次函数2 y=的性质,比较两个函数的图象及性质; -x 提高类比学习能力、形成求同求异思维。 5、通过观察图象或计算函数值比较图象上两个点纵坐标的大小。 评价任务
【课题】5.6三角函数的图像和性质(第一课时) 【教学目标】 知识目标: (1) 理解正弦函数的图像和性质; (2) 理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法; (3) 了解余弦函数的图像和性质. 能力目标: (1) 认识周期现象,以正弦函数、余弦函数为载体,理解周期函数; (2) 会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图; (3) 通过对照学习研究,使学生体验类比的方法,从而培养数学思维能力. 情感目标 培养学生的审美能力,作图能力,激发学习数学的兴趣,探究其他作图的方法. 【教学重点】 (1)正弦函数的图像及性质; 0,2π上的简图. (2)用“五点法”作出函数y=sin x在[] 【教学难点】 周期性的理解. 【教学设计】 (1)结合生活实例,认识周期现象,介绍周期函数; (2)利用诱导公式,认识正弦函数的周期; (3)利用“描点法”及“周期性”作出正弦函数图像; (4)观察图像认识有界函数,认识正弦函数的性质; (5)观察类比得到余弦函数的性质. 【教学备品】 课件,实物投影仪,三角板,常规教具. 【课时安排】 1课时.(45分钟) 【教学过程】 一、揭示课题 5.6三角函数的图像和性质 二、创设情景兴趣导入 1、问题 观察钟表,如果当前的时间是2点,那么时针走过12个小时后,显示的时间是多少呢?
再经过12个小时后,显示的时间是多少呢?L L . 2、解决 每间隔12小时,当前时间2点重复出现. 3、推广 类似这样的周期现象还有哪些? 三动脑思考 探索新知 概念 对于函数()y f x =,如果存在一个不为零的常数T ,当x 取定义域D 内的每一个值时,都有x T D +∈,并且等式()()f x T f x +=成立,那么,函数()y f x =叫做周期函数,常数T 叫做这个函数的一个周期. 由于正弦函数的定义域是实数集R ,对α∈R ,恒有2π()k k α+∈∈R Z ,并且 sin(2π)=sin ()k k αα+∈Z ,因此正弦函数是周期函数,并且 2π,4π, 6π,L 及2π-,4π-,L 都是它的周期. 通常把周期中最小的正数叫做最小正周期,简称周期,仍用T 表示.今后我们所研究的函数周期,都是指最小正周期.因此,正弦函数的周期是2π. 四、构建问题 探寻解决 说明 由周期性的定义可知,在长度为2π的区间(如[]0,2π,[]2,0-π,[]2,4ππ)上,正弦函数的图像相同,可以通过平移[]0,2π上的图像得到.因此,重点研究正弦函数在一个周期内,即在[]0,2π上的图像. 1、问题 用“描点法”作函数x y sin =在[]0,2π上的图像. 2、解决 把区间[]0,2π分成12等份,并且分别求得函数x y sin =在各分点及区间端点的函数值,列表如下:(见教材) 以表中的y x ,值为坐标,描出点(,)x y ,用光滑曲线依次联结各点,得到[]sin 0,2y x =π在上的图像.(见教材) 3、推广 将函数sin y x =在[]0,2π上的图像向左或向右平移2π,4π,L ,就得到sin ,y x =∞+∞在(-)上的图像,这个图像叫做正弦曲线.(见教材) 五、动脑思考 探索新知 1、概念 正弦曲线夹在两条直线1y =-和1y =之间,即对任意的角x ,都有sin 1x …成立,函数的这种性质叫做有界性. 一般地,设函数)(x f y =在区间),(b a 上有定义,如果存在一个正数M ,对任意的
1.2.1 函数的概念 第一课时 一,教材的地位与作用 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言来刻画函数,函数的思想方法将贯穿于高中数学课程的始终。 函数的概念是抽象概括出的概念,通过大量的实例,培养学生从“特殊到一般”的综合归纳的能力,培养学生分析问题的能力,引导学生如何发现事物的本质,如何找到问题的突破口来解决问题。 二,教学目标 1,知识与技能: (1)理解函数的概念及其符号表示,能够辨别函数的例证和反例 (2)会求简单函数的定义域与值域 (3)掌握构成函数的三要素,学会判别两个函数是否相等,理解函数的整体性 2,过程与方法: (1)通过实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;(2)通过函数概念学习的过程,培养学生从“特殊到一般”的分析问题能力以及抽象概括能力 3,情感态度与价值观 让学生体会现实世界充满变化,感受数学的抽象概括之美。 三,教学重点与难点 1,教学重点:函数的概念,构成函数的三要素 2,教学难点:函数符号y=f(x)的理解 四,教学方法分析 1,教法分析: 遵循建构主义观点的教学方式,即通过大量实例,按照从“特殊到一般”的认识规律,提出问题,大胆猜想,确定方向分组研究尝试验证,归纳总结,通过搭建新概念与学生原有认识结构间的桥梁,使学生在心理上得到认同,建立新的认识结构。 2,学法分析: 倡议学生主动观察,积极思考,提出问题,大胆猜测,从而自主归纳小结。在学习中培养自我的从“特殊到一般”的分析问题能力,感受数学的抽象概括之美。 五、教学过程 1,复习回顾 回顾初中所学函数(如一次函数y=ax+b a≠0等)及函数的概念:(传统定义:设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量);指出用函数可以描述变量之间的依赖关系;强调函数是
第一章 集合与简易逻辑——第1课时:集合的概念 1 集合的概念 一.课题:集合的概念 二.教学目标:理解集合、子集的概念,能利用集合中元素的性质解决问题,掌握集合问题的常规 处理方法. 三.教学重点:集合中元素的3个性质,集合的3种表示方法,集合语言、集合思想的运用. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.集合、子集、空集的概念; 2.集合中元素的3个性质,集合的3种表示方法; 3.若有限集A 有n 个元素,则A 的子集有2n 个,真子集有21n -,非空子集有21n -个,非空真子集有22n -个. (二)主要方法: 1.解决集合问题,首先要弄清楚集合中的元素是什么; 2.弄清集合中元素的本质属性,能化简的要化简; 3.抓住集合中元素的3个性质,对互异性要注意检验; 4.正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化. (三)例题分析: 例1.已知集合2{1}P y x ==+,2{|1}Q y y x ==+,2{|1}E x y x ==+,2{(,)|1}F x y y x ==+, {|1}G x x =≥,则 ( D ) ()A P F = ()B Q E = ()C E F = ()D Q G = 解法要点:弄清集合中的元素是什么,能化简的集合要化简. 例2.设集合{},,P x y x y xy =-+,{} 2222 ,,0Q x y x y =+-,若P Q =,求,x y 的值及集合P 、Q . 解:∵P Q =且0Q ∈,∴0P ∈. (1)若0x y +=或0x y -=,则22 0x y -=,从而{} 22,0,0Q x y =+,与集合中元素的互异性 矛盾,∴0x y +≠且0x y -≠; (2)若0xy =,则0x =或0y =. 当0y =时,{},,0P x x =,与集合中元素的互异性矛盾,∴0y ≠; 当0x =时,{,,0}P y y =-,22{,,0}Q y y =-, 由P Q =得22 0y y y y y -=??=-?≠?? ① 或220 y y y y y -=-??=?≠?? ② 由①得1y =-,由②得1y =, ∴{01x y ==-或{ 01 x y ==,此时{1,1,0}P Q ==-. 例3.设集合1{|,}24k M x x k Z == +∈, 1 {|,}42 k N x x k Z ==+∈,则 ( B ) ()A M N = ()B M N ?≠ ()C M N ? ()D M N φ= 解法一:通分;
变式训练 1.已知a 、b ∈N *,f (a +b )=f (a )f (b ),f (1)=2,则 )2006()2007()2()3()1()2(f f f f f f +++ =_________.分析:令a =x ,b =1(x ∈N *), 则有f (x +1)=f (x )f (1)=2f (x ), 即有) ()1(x f x f +=2(x ∈N *). 所以,原式= 2006222++=4012. 答案:4012 2.2007山东蓬莱一模,理13设函数f (n )=k (k ∈N *),k 是π的小数点后的第n 位数字,π= 3.1415926535…,则[]{} 100 )10(f f f 等于________. 分析:由题意得f (10)=5,f (5)=9,f (9)=3,f (3)=1,f (1)=1,…, 则有[]{} 100 )10(f f f =1. 答案:1 2.2007山东济宁二模,理10已知A={a ,b ,c },B={-1,0,1},函数f :A→B 满足f (a )+f (b )+f (c )=0,则这样的函数f (x )有( ) A.4个 B.6个 C.7个 D.8个 活动:学生思考函数的概念,什么是不同的函数.定义域和值域确定后,不同的对应法则就是不同的函数,因此对f (a ),f (b ),f (c )的值分类讨论,注意要满足f (a )+f (b )+f (c )=0. 解:当f (a )=-1时, 则f (b )=0,f (c )=1或f (b )=1,f (c )=0, 即此时满足条件的函数有2个; 当f (a )=0时, 则f (b )=-1,f (c )=1或f (b )=1,f (c )=-1或f (b )=0,f (c )=0, 即此时满足条件的函数有3个; 当f (a )=1时, 则f (b )=0,f (c )=-1或f (b )=-1,f (c )=0, 即此时满足条件的函数有2个. 综上所得,满足条件的函数共有2+3+2=7(个). 故选C. 点评:本题主要考查对函数概念的理解,用集合的观点来看待函数. 变式训练 若一系列函数的解析式相同,值域相同,但是定义域不同,则称这些函数为“同族函数”.那么解析式为y =x 2,值域是{1,4}的“同族函数”共有( ) A.9个 B.8个 C.5个 D.4个 分析:“同族函数”的个数由定义域的个数来确定,此题中每个“同族函数”的定义域中至少含有1个绝对值为1的实数和绝对值为2的实数. 令x 2=1,得x =±1;令x 2=4,得x =±2. 所有“同族函数”的定义域分别是{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{1,-1,2},{1,-1,-2},{1,-2,2},
1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念 整体设计 教学分析 函数是中学数学中最重要的基本概念之一.在中学,函数的学习大致可分为三个阶段.第一阶段是在义务教育阶段,学习了函数的描述性概念,接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数,了解了它们的图象、性质等.本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段,这是对函数概念的再认识阶段.第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习,这是函数学习的进一步深化和提高. 在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前,学生已经把函数看成变量之间的依赖关系;同时,虽然函数概念比较抽象,但函数现象大量存在于学生周围.因此,课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念. 三维目标 1.会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号y=f(x)的含义;通过学习函数的概念,培养学生观察问题、提出问题的探究能力,进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力;启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯,学会数学表达和交流,发展数学应用意识. 2.掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的作用,使学生感受到学习函数的必要性的重要性,激发学生学习的积极性. 重点难点 教学重点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数. 教学难点:符号“y=f(x)”的含义,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一地理解成对应关系,甚至认为函数就是函数值. 课时安排 2课时 教学过程 第1课时函数的概念 导入新课 思路1.北京时间2005年10月12日9时整,万众瞩目的“神舟”六号飞船胜利发射升空,5天后圆满完成各项任务并顺利返回.在“神舟”六号飞行期间,我们时刻关注“神舟”六号离我们的距离y随时间t是如何变化的,本节课就对这种变量关系进行定量描述和研究.引出课题. 思路2.问题:已知函数y=1,x请用初中所学函数的定义来解释y与x的函数关系?先让学生回答后,教师指出:这样解释会显得十分勉强,本节将用新的观点来解释,引出课题. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)给出下列三种对应:(幻灯片) ①一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度为h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律是h=130t-5t2. 时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}.则有对应 f:t→h=130t-5t2,t∈A,h∈B. ②近几十年来,大气层的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧洞问题.图1-2-1-1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位:106 km2)随时间t(单位:年)从1991~2001年的变化情况.
课题:1.1集合-集合的概念(1) 教学目的: (1)使学生初步理解集合的概念,知道常用数集的概念及记法 (2)使学生初步了解“属于”关系的意义 (3)使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义 教学重点:集合的基本概念及表示方法 教学难点:运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单的集合 授课类型:新授课 课时安排:1课时罗华的手稿1831年1月伽罗华在 教具:多媒体个结论,他写成论文提交给法国科、实物投影仪 内容分析:当时的数学家S.K.泊松为了理 1.集合是中学数已证明的一个结果可以表明伽罗华学的一个重要的基本概念在小学数学中,就渗透了集合的初步概念,到了初议科学院否定它1832年5月30日中,更进一步应用集合的语言表述一些问题例如,在代数中用到的有数集、解忙写成后,委托他的朋友薛伐里叶集等;在几何中用到的有点集至于逻辑,可以说,从开始学习数学就离不开对造福人类1832年5月31日离开了逻辑知识的掌握和运用,基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中,也是认识,他死后14年,法国数学家刘维问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义,也是于刘维尔主编的《数学杂志》上本章学习的基础 把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始,是因为在高中数学中,这些知识与其他内容有着密切联系,它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如,下一章讲函数的概念与性质,就离不开集合与逻辑本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手,引出集合与集合的元素的概念,并且结合实例对集合的概念作了说明然后,介绍了集合的常用表示方法,包括列举法、描述法,还给出了画图表示集合的例子 这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣,使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时,主要还是通过实例,对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集”这句话,只是对集合概念的描述性说明教学过程: 一、复习引入: 1.简介数集的发展,复习最大公约数和最小公倍数,质数与和数; 2.教材中的章头引言; 3.集合论的创始人——康托尔(德国数学家)(见附录);
(人教版八年级下册) 第十九章一次函数 19.1.2函数图象第1课时 一、情景引入: 函数是描述运动和变化过程的重要数学模型,试观察下面问题中,当自变量的值增大时,函数值如何变化? 二、揭示目标: 1、了解函数图象的画法 2、会观察分析图象信息 3、会利用函数图象信息解决问题 三、探究新知 问题:1、表示正方形的面积s与边长x的关系。 x 这个函数的自变量的取值范围是多少?
2、函数S =x2 (x>0)的图象画法步骤 (1)、列表:(2)、描点:(3)、连线 上图的曲线即函数S=x2 (x>0)的图象. 3、一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象. 四、应用新知: 下图是自动测温仪记录的图象,它反映了北京春季某天气温T如何随时间t 变化而变化,你从图象中得到了哪些信息?
(1)、最低、最高温度分别是多少? (2)、哪些时段温度呈下降状态?上升状态呢? (3)、我们可以从图象中看出这一天中任一时刻的气温大约是多少吗? 五、巩固新知: 1、下图是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象。 (1)、这一天内,上海与北京何时气温相同? (2)、这一天内,上海在哪段时间比北京气温高?在哪段时间比北京气温低? 六、解决问题: 例2:如图(1),小明家、食堂、图书馆在同一条直线上,小明从家去食堂吃早餐,接着去图书馆读报,然后回家.图(2)反映了这个过程中,小明离他家的距离 y (km )与时间 x(min)之间的对应关系。 . 8 2 2 5 6 x / y / O
课题:教学目标:集合、子集的概念,能利用集合中元素的性质解决问题,掌握集合问题的 常规处理方法. 教学重点:集合中元素的3个性质,集合的3种表示方法,集合语言、集合思想的运用. 教学过程: (一)主要知识:1.集合、子集、空集的概念;两个集合相等的概念. 2.集合中元素的3个性质,集合的3种表示方法; 3.若有限集A 有n 个元素,则A 的子集有2n 个,真子集有21n -,非空子集有21n -个, 非空真子集有22n -个. 4.空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集. 5.若A B B C ??,,则A C ? 6.,,.A A B A B A A B A B ??? 7.A B A B B ??= ;A B A B A ??= . (二)主要方法: 1.解决集合问题,首先要弄清楚集合中的元素是什么,即元素分析法的掌握. 2.弄清集合中元素的本质属性,能化简的要化简; 3.抓住集合中元素的3个性质,对互异性要注意检验; 4.正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化. (三)典例分析: 问题1:已知集合{}3,M x x n n Z ==∈,{}31,N x x n n Z ==+∈, {}31,P x x n n Z ==-∈,且a M ∈,b N ∈,c P ∈,设d a b c =-+,则 .A d M ∈ .B d N ∈ .C d P ∈ .D d M N ∈ 问题2:设集合{}2 24A x x a a ==++,{}2 47B y y b b ==-+. ()1若a R ∈,b R ∈,试确定集合A 与集合B 的关系; ()2若a N ∈,b R ∈,试确定集合A 与集合B 的关系.
一.课题:集合的概念 二.教学目标:理解集合、子集的概念,能利用集合中元素的性质解决问题,掌握集合问题 的常规处理方法. 三.教学重点:集合中元素的3个性质,集合的3种表示方法,集合语言、集合思想的运用. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.集合、子集、空集的概念; 2.集合中元素的3个性质,集合的3种表示方法; 3.若有限集A 有n 个元素,则A 的子集有2n 个,真子集有21n -,非空子集有21n -个,非空真子集有22n -个. (二)主要方法: 1.解决集合问题,首先要弄清楚集合中的元素是什么; 2.弄清集合中元素的本质属性,能化简的要化简; 3.抓住集合中元素的3个性质,对互异性要注意检验; 4.正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化. (三)例题分析: 例1.已知集合2 {1}P y x ==+,2 {|1}Q y y x ==+,2 {|1}E x y x ==+,2{(,)|1}F x y y x ==+,{|1}G x x =≥,则 ( D ) ()A P F = ()B Q E = ()C E F = ()D Q G = 解法要点:弄清集合中的元素是什么,能化简的集合要化简. 例2.设集合{},,P x y x y xy =-+,{} 2222,,0Q x y x y =+-,若P Q =,求,x y 的值及集合P 、Q . 解:∵P Q =且0Q ∈,∴0P ∈. (1)若0x y +=或0x y -=,则2 2 0x y -=,从而{} 22,0,0Q x y =+,与集合中元素的互异性矛盾,∴0x y +≠且0x y -≠; (2)若0xy =,则0x =或0y =. 当0y =时,{},,0P x x =,与集合中元素的互异性矛盾,∴0y ≠; 当0x =时,{,,0}P y y =-,2 2 {,,0}Q y y =-, 由P Q =得22 0y y y y y -=??=-?≠?? ① 或220 y y y y y -=-??=?≠?? ② 由①得1y =-,由②得1y =, ∴{01x y ==-或{ 01 x y ==,此时{1,1,0}P Q ==-. 例3.设集合1{|,}24k M x x k Z == +∈, 1 {|,}42 k N x x k Z ==+∈,则 ( B ) ()A M N = ()B M N ?≠ ()C M N ? ()D M N φ=I 解法一:通分;
19.1.1 变量与函数 教学目标 知识与技能 1.认识变量、常量. 2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量. 过程与方法 1.经历观察、分析、思考等数学活动过程,发展合情推理,有条理地、清晰地阐述自己观点. 2.逐步感知变量间的关系. 情感与价值观要求 1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲. 2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯. 教学重点 1.认识变量、常量 2.用式子表示变量间关系 教学难点 用含有一个变量的式子表示另一个变量 教学方法 合作交流自主探究 教具准备 多媒体课件 课时安排 1课时 教学过程 活动一图片欣赏 1.加油站的三个量的变化 2.汽车行驶路程随时间变化 3.树高随树龄的变化 活动二提出问题,创设情境 问题1:一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶,行驶里程为s千米.?行驶时间为t小时. 1. 2.__________. 3.试用含t的式子表示s. 问题2:每张电影票的售价为10元,如果早场售出票150张,日场售出205张,晚场售出310张,三场电影票的票房收入各多少元?若设一场电影售出票x 张,票房收入为y元,怎样用含x的式子表示y? 问题3:圆形水波慢慢地扩大,在这一过程中,当圆的半径r分别为10cm,20cm,30cm 时,圆的面积S分别为多少?怎样用半径r来表示面积S? 问题4:用10 m长的绳子围一个矩形,当矩形的一边长x分别为3m,3.5m,
4m,4.5m时,它的邻边长y分别为多少?如何用一边长x来表示它的邻边长y? 学生合作交流自主完成. 结论:1.S=60t; 2.y=10x; 3.S=兀r2;4. y=5–x. 问题升华 提问1:分别指出思考(1)~(4)的变化过程中所涉及的量,在这些量中哪些量是发生了变化的?哪些量是始终不变的? 提问2:在思考(1)~(4)的变化过程中,当一个量发生变化时,另一个量是否也随之发生变化?是哪一个量随哪一个量的变化而变化? 提问3:在思考(1)~(4)的变化过程中,发生变化的量有限制条件吗?如何限制? 活动三形成概念 变量:在一个变化过程中,数值发生变化的量为变量。 常量:在一个变化过程中,数值始终不变的量为常量。 问题1:在一个变化过程中,理解变量、常量的关键词是什么? 指出:在同一个变化过程中,理解变量与常量的关键词分别是:发生了变化和始终不变. 问题2请指出上面各个变化过程中的常量、变量。 活动四辨析概念 解:略 补充练习: 指出下列关系式中的变量与常量: (1) y=5x -6;(3)y=4x2+5x - 7; (2) y =6 x; (4)S=兀r2 . 解:(1)5和-6是常量,x和y是变量. (2)6是常量,x、y是变量. (3)4、5、-7是常量,x、y是变量. (4)兀是常量,s、r是变量. 活动五理解概念 问题探究:请结合你的生活实际,自己设计一个变化过程,指出其中的变量
对数函数(第一课时) 一、教材分析1、教材的地位与作用函数是高中数学的核心,对数函数是重要的基本初等函数之一,它是学生已学过指数函数及对数与常用对数基础上引入的,这为过渡到本节的学习起到辅垫作用;“对数函数”这节教材是在没有学习反函数的基础上研究指数函数和对数函数的自变量与因变量之间的关系。学习本节使学生的知识体系更加完整、系统,同时又是指数函数知识的拓展和延伸,它是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具。2、教学目标的确定及依据通过对教材的研究和结合学生的实际情况等方面的要求,本节的知识目标:理解对数函数的概念,掌握对数函数的图象和性质,在掌握性质的基础上学会初步应用。能力目标是:通过对数函数的学习,培养学生数形结合,分类讨论的数学思想;注重培养学生分析、类比、归纳的能力。情态及价值观目标:用联系的观点分析问题,认识事物之间的转化,在民主和谐的教学气氛中,培养合作意识,感受学习乐趣,动脑思考的良好个性品质。3、教学重点、难点重点:对数函数的概念,图象和性质难点:①指数函数与对数函数的内在关系②通过已知的指数函数图象和性质再类比对数函数的图象和性质。二、教法分析数学是一门培养和发展人的思维的重要学科,因此,在教学中不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。1、教法——发现法发现法的教学方法,体现了认知心理学的应用。在教学过程中,首先创设一个问题的情境,引导学生积极思考,容易激发其兴趣,唤起
其有意注意,兴趣可调动学习积极性。由学生熟悉的指数函数知识逐步过渡到对数函数知识的认识,其次,借助老师和学习伙伴的帮助,发挥其主动性来对知识的“发现”和接受(即在学习过程中帮助学生很好地掌握对数函数的概念,图象和性质,并对指数函数与对数函数的内在关系达到较深刻的理解)2、学法启发式与独立自主学习,合作交流学习相结合提出富有启发性的问题激发他们的独立自主探索,与合作交流。以学生作为教学主体,教师作为教学主导,在讨论中以教师的点拔如“类比法”使学生能够找到解决问题的方法,从而解决所提问题,通过加强合作交流,反馈练习法,激发他们手脑并用,引发和加强学生的有意注意。3、教学手段①利用学校局域网,采用计算机辅助教学,让形象、直观、清晰的对数函数与指数函数图象加深学生的理解。②利用投影仪提出问题三、教学过程教学矛盾的主要方面是学生的学,学是中心,会学是目的,因此在教学中要不断指导学生学会学习。创设情境提出问题类比联想动手操作观察分析合作交流巩固应用知识整合(一)教学流程图引入新课XX年10月18日,美国某城市的日报醒目标题刊登了“市政委员会今天宣布,本市垃圾的体积达到50000立方米”,副标题“垃圾的体积每三年增加一倍”(1)设想城市垃圾的体积继续每三年增加一倍,24年后本市的垃圾的体积是多少?(2)若按现在这个速度,该市要经过多少年垃圾的体积达到百万立方米、千万立方米,……(由环保问题引出)这个问题的解决方法,就是今天所要学习的内容——对数函数设计意图:通过“引例”使学生对本节内容产生兴趣。有了“引例”辅垫,学生将
19.1.2 函数的图象 李度一中陈海思 第1课时函数图象的意义及画法 一、新课导入 1.导入课题 有些问题中的函数关系很难用函数解析式来表示,但是可以用图象来直观地反映它们的变化情况,这节课我们一起来学习函数的图象. 2.学习目标 (1)知道函数图象上的点的横坐标与纵坐标的意义. (2)能从函数图象上读取信息. 3.学习重、难点 重点:从函数图象上读取信息. 难点:函数图象上的点的横坐标与纵坐标的意义. 二、分层学习 1.自学指导 (1)自学内容:P75到P76思考的内容. (2)自学时间:5分钟. (3)自学要求:阅读课文,领会画函数图象的方法和步骤. (4)自学参考提纲: ①表19.1-3中的各对数值与点的坐标有什么关系? ②不在曲线上的点用空心圈还是用实心点表示?在曲线上的点呢? ③函数的图象与自变量的取值范围有什么关系? ④图象的高低与函数值的大小有什么关系? 2.自学:学生可参考自学参考提纲进行自学. 3.助学 (1)师助生: ①明了学情:关注学生是否掌握画函数图象的方法、步骤,了解认知困难在哪里?
②差异指导:a.确定坐标的方法;b.取的点组成的集合就成线的道理. (2)生助生:相互交流,帮助矫正错误. 4.强化 (1)函数图象的意义. (2)讲解从解析式到图象的描述过程. (3)画函数图象的步骤. 1.自学指导 (1)自学内容:P76至P77的例2. (2)自学时间:8分钟. (3)自学要求:可以分5段看例2的图象,观察分析每段图象中y与x是怎样变化的? (4)自学参考提纲: ①图象上点的纵坐标表示小明离家的距离;横坐标表示小明离家的时间. ②小明的活动可以分为5个过程是:小明从家到食堂,吃早餐,从食堂到图书馆,在图书馆读报,从图书馆回家. ③函数的图象可以分5段,从中可以知道小明的5个活动的时间和离家状况分别是:0~8分钟,离家越来越远;8~25分钟,离家距离不变,为0.6千米;25~28分钟,离家距离由0.6千米增加到0.8千米;28~58分钟,离家0.8千米;58~68分钟,离家越来越近,直至到家.. ④用图象来解决例题中的5个问题有什么优点? 2.自学:学生可参考自学参考提纲进行自学. 3.助学 (1)师助生: ①明了学情:关注学生在理解图象信息时遇到的困难. 差异指导:指导学生结合实际活动变化过程对应着图象变化特点进行理解. (2)生助生:相互交流、研讨,解决疑难之处. 4.强化 (1)强化自学参考提纲中的问题. (2)总结看图象的要点和方法. (3)展示本节所学知识点和数学思想方法.
课题:集合的概念 教学目标:集合、子集的概念,能利用集合中元素的性质解决问题,掌握集合问题的常规处理方法. 教学重点:集合中元素的3个性质,集合的3种表示方法,集合语言、集合思想的运用. 教学过程: (一)主要知识:1.集合、子集、空集的概念;两个集合相等的概念. 2.集合中元素的3个性质,集合的3种表示方法; 3.若有限集A 有n 个元素, 则A 的子集有2n 个,真子集有21n -,非空子集有21n -个,非空真子集有22n -个. 4.空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集. 5.若A B B C ??,,则A C ? 6.,,.A A B A B A A B A B ??? 7.A B A B B ??=;A B A B A ??=. (二)主要方法: 1.解决集合问题,首先要弄清楚集合中的元素是什么,即元素分析法的掌握. 2.弄清集合中元素的本质属性,能化简的要化简; 3.抓住集合中元素的3个性质,对互异性要注意检验; 4.正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化. (三)典例分析: 问题1:已知集合{}3,M x x n n Z ==∈,{} 31,N x x n n Z ==+∈, {}31,P x x n n Z ==-∈,且a M ∈,b N ∈,c P ∈,设d a b c =-+,则 .A d M ∈ .B d N ∈ .C d P ∈ .D d M N ∈ 问题2:设集合{} 224A x x a a ==++,{} 247B y y b b ==-+. ()1若a R ∈,b R ∈,试确定集合A 与集合B 的关系; ()2若a N ∈,b R ∈,试确定集合A 与集合B 的关系. 问题3:2008年第29届奥运会将在北京召开,现有三个实数的集合,既可以表示 为{},,1 b a a ,也可以表示为{} 2 ,,0a a b +,则2008 2008a b +=
19.2.2 一次函数(第一课时) 教学详案 【设计说明】. 一次函数是中学阶段接触到的最简单、最基本的函数,它在实际生活中有着广泛的应用.一次函数的学习是建立在学习了平面直角坐标系、变量与函数和正比例函数的基础上的.一次函数的第一课时主要内容是一次函数的有关概念,本课是在学习正比例函数的基础上,进一步学习一次函数的概念.一次函数的概念是在观察一类具体函数的解析式的特点的基础上,通过抽象得到的函数模型. 【教学目标】 1.结合具体情境理解一次函数的意义,能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式; 2.能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系; 3.初步体会用待定系数法求一次函数解析式的方法. 【教学重难点】 重点:一次函数的概念. 难点:求一次函数解析式. 【课前准备】 多媒体、图片 【教学过程】 (-)导入新课 1、什么是正比例函数?能举例说明吗? 2、购买一枝钢笔需5.6元,付款总数y(元)随所购枝数x(枝)的变化而变化,用解析式表示为:. 3、问题:某登山队大本营所在地的气温为5℃,海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高xkm时,他们所处位置的气温是y℃.试用解析式表示y?与x的关系. 师生共同分析:从大本营向上当海拔每升高1km时,气温从5℃就减少6℃,那么海拔增加xkm时,气温从5℃减少6x℃.因此y与x的函数关系式为:y=5-6x(x≥0) 当然,这个函数也可表示为:y=-6x+5 (x≥0) 当登山队员由大本营向上登高0.5km时,他们所在位置气温就是当x=0.5时函数y=-6x+5的值,即y=-6×0.5+5=2(℃). 这个函数叫什么函数,它与我们上节所学的正比例函数有何不同?我们这节课将学习这些问题. (二)探究新知 4、下列问题中,变量之间的对应关系是函数关系吗?如果是,请写出函数解析式,这些函数解析式有哪些共同特征? (1).有人发现,在20~25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t(单位:℃)有关,即C?的值约是t的7倍与35的差. (2).一种计算成年人标准体重G(单位:kg)的方法是,以厘米为单位量出身高值h,再减常数105,所得差是G的值. (3).某城市的市内电话的月收费额y(单位:元)包括月租费22元和拨打电话xmin的计时费(按0.1元/min收取). (4).把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少xcm,宽不变,长方形的面积y(单位:cm2)随x的值而变化. 师生活动:学生先独立思考,然后小组交流,可以得到这些问题的函数解析式分别为: (1).C=7t-35.(20≤t≤25)(2).G=h-105. (3).y=0.1x+22.(4).y=-5x+50(0≤x≤10). 教师引导观察后请学生代表归纳:它们的形式与y=-6x+5一样,这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式.
1.2.1 函数的概念(第一课时) 年级:高一 主备人:崔艳 思考:y=1是函数吗?对于这个问题若用函数变量的观点来解释就很难说明它是一个函数,因此,我们不得不用新的观点来解释它是一个函数。 学习任务: 阅读课本P 15—18例1完,回答下列问题: 1、请用集合的观点写出函数的定义。并指出其中关键词。 3、请填写下列表格。 4、函数f :A →B 的定义域是什么?若它的值域为C ,那么集合B=C 吗? 5、回答:函数的三要素是什么?四个符号y=f (x ),f (0),f (x ),f (a )之间的区别和联系是什么? 思考:如何理解函数记号y=f (x )?是不是表示“y 等于f 与x 的乘积”? 6、下列图中,可表示函数y=f (x )图像的只能是( ) 7、下列表达式中关于y 是x 函数的是哪一个?① 2x y = ②2y x =③1=y 必做题: 1.已知:2 1 3)(++ += x x x f , ①求)3(-f , )32(f ,))3((-f f 的值。 ②当0>a ,求)(a f ,)1(-a f . 2.课本P 19 练习2. P 24 习题4、6 选做题: 1.设}20{≤≤=x x M ,}20{≤≤=y y N ,给出如图所示的四个图形,其中能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( ) A B C D 函数 一次函数 二次函数 反比例函数 a >o a-o,a<0 对应关系 定义域 值域 :f B A 1 2 3 4 5 6 ① : f B A 1 2 3 4 6 ② : f B A 1 3 4 5 6 ③ :f B A 1 2 4 5 6 ④ : f B A 1 2 3 4 5 ⑤ 2、左边图形哪些表示的是从集合A 到集合B 表示的函数的是,请你说明理由?
1.1集合的概念 第1课时集合的概念 问题导学 预习教材P2-P3,并思考以下问题: 1.集合和元素的概念是什么? 2.如何用字母表示集合和元素? 3.元素和集合之间有哪两种关系? 4.常见的数集有哪些?分别用什么符号表示? 1.元素与集合的概念 (1)元素:一般地,我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示. (2)集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).集合通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示. (3)集合相等:只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的. (4)元素的特性:确定性、无序性、互异性. ■名师点拨 在解决集合问题时,首先要明确集合中的元素是什么,集合中的元素可以是点,也可以是一些人或一些物.
2.元素与集合的关系 对元素和集合之间关系的两点说明 (1)符号“∈”“?”刻画的是元素与集合之间的关系.对于一个元素a 与一个集合A 而言,只有“a ∈A ”与“a ?A ”这两种结果. (2)∈和?具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如R ∈0是错误的. 3.常用的数集及其记法 集合? ????有限集(含有有限个元素的集合)无限集(含有无限个元素的集合) 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)集合中的元素一定是数.( ) (2)高一四班的全体同学组成一个集合.( ) (3)由1,2,3构成的集合与由3,2,1构成的集合是同一个集合. ( ) (4)一个集合中可以找到两个相同的元素.( ) (5)集合N 中的最小元素为0.( ) (6)若a ∈Q ,则一定有a ∈R .( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)√ 由“title ”中的字母构成的集合中元素的个数为( ) A .2 B .3 C .4 D .5 解析:选C.由“title ”中的字母构成的集合中元素为t ,i ,l ,e ,共4个. 下列关系①0.21∈Q ;②10 5?N *;③-4∈N *;④4∈N .其中正确的个数是( ) A .0 B .1