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整除数的性质和规律

一、整除性质

1：如果数a、b都能被c整除，则(a+b)与(a-b)也能被c整除；

2：如果数a能被数b整除，c为整数，则积ac也能被数b整除；

3：如果数a能被数b整除，b又能被c整除，则a也能被数c整除；

4：如果数a能同时被数b、c整除，且b，c互质，则a一定能被b和c的积整除；

5：如果数a能被c整除，b不能被c整除，则(a+b)与(a-b)不能被c整除。

二、整除规律

⑴、能被1整除的数：任何数都能被1整除。

⑵、能被2整除的数：末位是0,2,4,6或8的数,都能被2整除。

⑶、能被5整除的数

一个整数的末位是0或5,则这个整数能被5整除

个位上是0的数，既能被2整除，又能被5整除，而且还能被10整除。

⑷、能被3或9整除的数：

一个数只要各数位数字的和是3或9的倍数，就一定能被3或9整除。

例如：判断3576，2549能不能被3整除

3576：∵3＋5+7＋6=21（21是3的倍数）

∴3576能被3整除。

2549：∵2＋5＋4＋9=20（20不是3的倍数）

∴2549不能被3整除。

检验：2549÷3=849 (2)

又如：判4212、5282能不能被9整除

4212：∵4+2+1+2=9（9是9的倍数）

∴4212能被9整除。

5282：∵5+2+8+2=17（17不是9的倍数）

∴5282不能被9整除。

用上述方法不但能判断一个数能不能被3或9整除，而且还能判断不能整除时，余数是多少。

如：判断7485能不能被9整除

7+4+8+5=24→2+4=6

各位数字继续相加

从结果看出：把7485的各位数字相加，最后所得的和是6不是9，所以7485这个数不能被9整除。最后得出的6，就是7485除以9的余数。即：

7485÷9=831 (6)

能被9整除的数，一定能被3整除。能被3整除的数，却不一定能被9整除。

⑸、能被6整除的数

既能被2整除，又能被3整除，也就是能被6整除的数。

①.首先看这个数是不是偶数，凡是偶数都能被2整除。这就符合了能被6整除的第一个条件。如果这个数不是偶数，那就排除了能被6整除的可能。

②.然后按照能被3整除的数的特征，即：这个数各位数字的和是不是3的倍数，如果是3的倍数，这个数就能被6整除。

例如：判断654能不能被6整除

654是偶数，能被2整除；654各位数字的和是6+5+4=15，15是3的倍数，因此，654能被6整除。

又如：判断274能不能被6整除

274是偶数，但它各位数字的和是2+7+4=13，13不能被3整除，因此274不能被6整除。

⑹、能被4或25整除的数

一个数的末两位数能被4或25整除，那么这个数就一定能被4或25整除。

例如：4750=47×100+50

928=9×100+28

3800=38×100

因为25与4相乘的积是100，100既能被4整除，又能被25整除，因此百位以前的数（100的倍数）可以不考虑，只要这个数的末两位数能被4或25整除，这个数就一定能被4或25整除。由此可以得出：凡是一个数的末两位数都是0（必然是100的倍数），这个数就一定能被4或25整除。

4750的末两位数是50，50能被25整除，但不能被4整除，4750只能被25整除，而不能被4整除。

928的末两位数是28，28能被4整除，但不能被25整除，928就只能被4整除，而不能被25整除。

3800的末两位数都是0，说明3800是100的倍数，因此，3800既能被4整除，也能被25整除。

⑺、能被7整除的数

判断一个数能不能被7整除，不像判断一个数能不能被2、5、3整除那佯，根据这个数的数字特征就能直接做出判断。一般需要采用割减法。

割减法的过程是这样的：把一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例1：判断3164能不能被7整除

316-4×2＝308，30-8×2＝14

因为14是7的倍数，所以3164能被7整除。

检验：3164÷7=452

对于数字不大的数，使用割减法判断能不能被7整除是比较方便的。

如：判断133是否能被7整除

13-3×2=7,所以133是7的倍数。

⑻、能被11整除的数

判断一个数能不能被11整除与判断一个数能不能被7整除一样，都没有直接判断的方法，需要借助间接的方法，这种间接的方法有两种，其一是“割减法”，其二是奇偶位差法。

①.割减法：判断被11整除的割减法与判断被7整除的割减法不同。即：一个数割去末尾数字，再从留下来的数中减去这个末位数字，这样一次一次地减下去，如果最后结果是11的倍数（包括得0），那么这个数就能被11整除；如果最后结果不是11的倍数，那么这个数就不能被11整除。

例如：4708……割去末位8

470-8＝462，46-2＝44

∵44是11的倍数，∴4708能被11整除。

又如：判断891和1007能否被11整除

89-1＝88，88是11的倍数

100-7＝93，93不是11的倍数

通过口算可以得出：891能被11整除；1007不能被11整除。

在判断时，对于数目不大的数，用口算就可以看出结果。

②.奇偶位差法：把一个整数奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差（用大数减小数），如果这个差是11的倍数（包括0），那么原数就一定能被11整除。（一个整数的个位、百位、万位、…称为奇数位，十位、千位、百万位……称为偶数位。）

例1：判断283679能不能被11整除。

奇位上的数之和：8+6+9＝23

偶位上的数之和：2+3+7＝12

23-12=11

因此，283679能被11整除。

例2：判断480637能不能被11整除。

奇位上的数之和：8+6+7＝21

偶位上的数之和：4+0+3＝7

21-7=14

因此，480637不能被11整除。

上述这种方法叫做奇偶位差法，算理可通过下列算式说明。

9÷9=1 9÷11（不能整除）

99÷9=11 99÷11=9

999÷9=111 999÷11（不能整除）

9999÷9=1111 9999÷11=909

99999÷9=11111 99999÷11（不能整除）

999999÷9=111111 999999÷11=90909

…………

由以上两算式中可以看到：全部由9组成的任何一个数，都能被9整除，但除以11则不一定，只有当9的个数成偶数时，才能被11整除，当9的个数是奇数时，则不能被11整除。

当一个数首尾数字相同，中间都是0，而且0的个数成偶数时，这个数也能被11整除。

如：11÷11=1

1001÷11=91

300003÷11=27273

……

通过用奇偶位差法的分解来判断8712能不能被11整除，从中也可以进一步理解这种判断方法的算理。

8712=8000+700+10+2①

偶位上的数可以写成：

8000=8×1000=8×（1001-1）②

10=1×10=1×（11-1）③

奇位上的数可以写成：

700=7×100=7×（99+1）④

把②③④式代到①式中去。

8712＝8000+700+10+2

＝8×1000+7×100+1×10+2

＝8×（1001-1）+7×（99+1）+1×（11-1）+2

＝（8×1001+7×99+1×11）-（8-7+1-2）

＝11×（8×91+7×9+1）-（8-7+1-2）

第一个括号中所得的结果，肯定能被11整除，原数能不能被11整除，决定于第二个括号中所得的数.

而第二个括号中的数8-7+1-2＝（8+1）-（7+2），恰恰是奇数位上数字之和减去偶数位上数字之和的差，由此而得出了用奇偶位差法来判断一个数能不能被11整除。

实际上，一个整数被11除所得的余数，即是这个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差被11除所得的余数。

同学们还会发现：任何一个三位数连写两次组成的六位数一定能被11整除。

如186这个三位数，连写两次成为六位数186186。由于这个六位数的奇数位数字和为6＋1＋8，偶数位数字和为8＋6＋1，它们的差恰好为零，故186186是11的倍数。奇数位数字和为c＋a＋b，偶数位数字和为b＋c＋a，它们的差恰为零，象这样由三位数连写两次组成的六位数是否能被7整除呢？

如186186被7试除后商为26598，余数为零，即7｜186186。能否不做186186÷7，而有较简单的判断办法呢？

由于186186＝186000＋186

＝186×1000＋186

＝186×1001

而1001＝7×11×13，所以186186一定能被7整除。

这就启发我们考虑，由于7×11×13＝1001，故若一个数被1001整除，则这个数必被7整除，也被11和13整除。

或将一个数分为两部分的和或差，如果其中一部分为1001的倍数，另一部分为7（11或13）的倍数，那么原数也一定是7（11或13）的倍数。

如判断2839704是否被7整除？

由于2839704＝2839000＋704

＝2839×1000＋704

＝2839×1001－2839＋704

＝2839×1001－（2839－704）

∵2839－704＝2135是7的倍数，所以2839704能被7整除；2135不是11或13的倍数，所以2839704不能被11或13整除。

实际上，对于283904这样一个七位数，要判断它是否被7或11或13整除，只需将它分为2839和704两个数，看它们的差是否被7或11或13整除即可。

又如判断42952是否被13整除，可将42952分为42和952两个数，只要看952－42＝910是否被13整除即可。由于910＝13×70，所以13能整除42952。

一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。

另法：将一个多位数从后往前数，三位一组进行分段。奇数段各三位数之和与偶数段各三位数之和的差若被7（11或13）整除，则原多位数也被7（11或13）整除。

如3546725可分为3，546，725三段。奇数段的和为725＋3＝728，偶数段为546，二者的差为 728－546＝182＝7×26＝7×2×13

⑼、能被13整除的数

一个数能不能被13整除，在判断上也没有直接的方法，需要借助间接的方法，这种间接的方法是：一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，这个差如果能被13整除，那么原来的这个多位数就能被13整除。

例如：判断383357能不能被13整除

383357这个数的末三位数是357，末三位以前的数字所组成约数是383，这两个数之差是383-357=26。

∵26能被13整除，

∴383357也能被13整除。

又如：判断35062能不能被13整除

35062这个数的末三位数是62，末三位以前的数字所组成的数是35，这两个数之差是：62-35=27。

∵27不能被13整除，

∴35062也不能被13整除。

这个方法也同样适用于判断一个数能不能被7或11整除。

⑽、能被8或125整除的数

一个数的末三位数能被8或125整除，这个数就能被8或125整除。具体地说，一个数的末三位数是0或是8的倍数，就能被8整除；一个数的末三位数是0或是125的倍数，就能被125整除。

例如：2168、32000、1875，3个数中，2168的末三位数是168，168是8的倍数，所以2168能被8整除。1875的末三位数是875，875是125的倍数，所以1875能被125整除。32000的末三位数都是0，所以32000既能被8整除，又能被125整除。

这种根据一个数末三位数来进行判断的方法，其算理是：任何一个三位以上的多位数，都是由1000的倍数和一个三位数组成的。

例如：9864=9×1000+864

56750=56×1000+750

93000=93×1000

1000既能被8和125整除，1000的倍数也必然能被8和125整除，因此，一个数末三位左边的数可以不看，只要末三位数能被8或125整除，这个数就能被8或125整除。

看末三位数是不是8的倍数，还可以采用简便的方法：

①.先看末位数是奇数还是偶数，倘若是奇数，可以肯定不是8的倍数，因为8的倍数永远是偶数。

②.如果是偶数，用8去除末三位数，看所得的商是8的倍数，这个数就能被8整除。

由于125本身就是三位数，在所有的三位数内，125的倍数只有有限的几个（125、250、375、500、625、750、875、1000），所以，只要熟记这几个数据，就可以准确、迅速地进行判断了。

⑾、能被17整除的数

判断一个数能不能被17整除，也没有直接的方法，间接的方法也使用“割减法”。不过这里使用的割减法与判断一个数能不能被7整除的割减法不完全一样。它也是先割去原来数的末位数字，然后再从留下来的数中减去割去数字的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如：判断9894能不能被17整除

989-4×5＝969，96-9×5＝51

最后结果是51，51能被17整除，所以9894能被17整除。

又如：判断8765能不能被17整除。

876-5×5＝851，85-1×5＝80

由于80不能被17整除，因此，8765不能被17整除。

这种判断一个数能不能被17整除的割减法的算理是：先割去末位数字，实际上是减去末尾数字本身的1倍，再从前位减去所割数字的5倍，实际上又减去了所割数字的50倍，加上已经减去的1倍，一共减去所割数字的51倍。因为51=17×3，51既是17的倍数，减得的结果是17或是17的倍数（包括0），都证明原来这个数一定能被17整除，反之，则不能。

如果要求判断的数不大，判断过程也完全可以用口算进行。

如：判断782和693能不能被17整除。

78-2×5＝68

69-3×5＝54

从上述口算过程可以得出：782能被17整除；693不能被17整除。

⑿、能被12、15、18、45整除的数

判断一个数能不能被12、15、18、45整除都没有直接的方法，可以按照前面提到的判断被6整除的做法，从而找出一个间接的方法来。

①.怎样判断一个数能不能被12整除。

一个数能被3整除又能被4整除，那么这个数就一定能被12整除。判断被3和4整除的数的特征，在前面已经做了解答，只要满足被3和4整除的这两个条件,这个数就一定能被12整除。即：一个数的各位数字的和是3的倍数，末两位的数又是4的倍数，这个数就一定能被12整除。

例如：判断3084能不能被12整除

3084的各位数字的和是3+0+8+4=15，

15是3的倍数，3084的末两位数是84，84又是4的倍数，所以3084能被12整除。

检验：3084÷12=257

又如：判断4734能不能被12整除。

4734的各位数字的和是4+7+3+4=18，18是3的倍数，但4734的末两位数是34，34不是4的倍数，所以4734不能被12整除。

检验：4734÷12=394 (6)

②.判断一个数能不能被15整除。

一个数既能被3整除，又能被5整除，这个数就一定能被15整除。即：一个数的各位数字的和是3的倍数，而它末位数字是0或5，这个数就能被15整除。

例如：判断8715能不能被15整除。

8715的各位数字的和是8+7+1+5=21，21是3的倍数，8715的末位数字又是5，所以8715这个数能被15整除。

检验：8715÷15=581

③.判断一个数能不能被18整除。

一个数既能被2整除，又能被9整除，那么这个数就一定能被18整除。即：一个末位数字是0、2、4、6、8的数，而它的各位数字的和又是9的倍数，这个数就能被18整除。

例如：判断52416能不能被18整除。

52416的末位数字是6，能被2整除，而52416的各位数字的和是5+2+4+1+6=18，18又是9的倍数，因此，52416一定能被18整除。

检验：52416÷18=2912

④.判断一个数能不能被45整除？

一个数既能被5整除，又是9的倍数，那么这个数就一定能被45整除。即：一个数的末位数字是5或0，而它的各位数字的和又是9的倍数，这个数就一定能被45整除。

例如：判断98865能不能被45整除。

98865的末位数字是5，可以被5整除，98865的各位数字的和是9+8+8+6+5=36，36又是9的倍数，因此，98865一定能被45整除。

检验：98865÷45=2197

使用上述4种间接判断方法，要特别注意一个问题，即：一个数所分解的两个数，这两个数必须是互质数，否则就会发生判断上的错误。

例如：12不能分解成2×6，18也不能分解成3×6。如果12=2×6，2与6并不是互

质数，且6=2×3，这样，2就重复考虑了两次，结果就形成了能被6整除的数就能被12整除的错误结论。

如果18=3×6，3与6这两个数也不是互质数，6又可以分解成2×3，这样，3又重复考虑了两次。6是3的倍数，也会导致能被6整除的数就能被18整除的错误结论。事实上，如：246、462这些数，都满足能被3和6整除的条件，但却不能被18整除。

⒀、能被19整除的数

把一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如：608能否被19整除？

60+8×2＝76，7+6×2＝19

∵19能被19整除

∴608能被19整除

检验：608÷19＝32

⒁、能被23或29整除的数

判定一个数能否被23或29整除，只要将其末四位与前面隔开，看末四位与前面隔出数的5倍的差（大减小）是否被23或29整除。

例：24196能否被23整除？

24196：4196-2×5＝4186，

因为4186能被23整除，所以24196能被23整除。

⒂、能被73或137整除的数

若一个整数的末四位与前面的数的差能被73整除，则这个数能被73整除

若一个整数的末四位与前面的数的差能被137整除，则这个数能被137整除

⒃、3个连续数相乘的积一定是6的倍数？

三个连续数相乘的积一定是6的倍数，这决定于自然数列的排列规律。因为在自然数列里，所有的偶数都是2的倍数，也就是每隔一个数必是一个2的倍数，而每隔两个数，必是3的倍数。

无论从任何一个数开始，三个连续数中，必定有2和3的倍数，而2与3的乘积是6，所以在三个连续数的乘积里，必定有6的倍数。或者说：三个连续数相乘的积一定是6的倍数。

例如：14、15、16三个连续数。

这三个连续数中，14和16是2的倍数，15是3的倍数，因此，这三个连续数相乘的积，一定是6的倍数。14、15、16相乘积是14×15×16=3360，而3360是6的560倍。

说明：两个数字中的“|”表示整除，如2|4表示2能整除4，或4能被2整除。

公务员考试行测常见数字整除的判定

据了解，公考热已经持续了很多年，随着报考人数的逐年增多，考试题目的难度也在逐渐加大。诸多考生感觉这是速度与激情的碰撞。因为历来的江苏公务员考试行测都是90分钟125道题目。这样的时间和题目数量让广大考生的做题速度备受考验。江苏公务员考试专家认为,行测考试题目中不乏难度极高的题目，考生要在有限的时间里尽可能的快且准地答题，就需掌握一定的节省时间的小技巧。一、概念与核心两个整数相除，得到一个整数，这就称之为整除，比如，15÷5=3，我们就可以说5能够整除15，或者15能够被5整除。在国考中，整除法的核心主要是利用整除关系来快速判断选项，比如题目里面出现了分书、分人、分球等条件，一般情况下用整除就可以迅速选出选项。二、常见数字的整除判定第一类，局部看。，是2和5的几次方就看末几位，比如说，判断2和5的整除特性，因为它们分别是2和5的一次方，所以看末一位就可以，也就是说如果一个数字它的末一位能够被2，被5整除，那么这个数字本身就能够被2，

被5整除;再比如说，判断4和25的整除特性，因为它们分别是2和5的二次方，所以看末两位就可以，也就是说如果一个数字它的末两位能够被4，被25整除，那么这个数字本身就能被4，被25整除。第二类，整体看。以3和9为主，判定3和9的整除，只需要把这个数字本身各位数字加和，如果它们的和能够被3和9整除，那么这个数字本身就能被3和9整除。比如说，12345这个数字，各位数字加和之后为15,15能够被3整除，所以12345这个数字本身能够被3整除;15不能被9整除，那么12345这个数字本身不能被9整除。以7、11和13为主，判定7、11和13的整除，需要把这个数字从后往前数，数三位划线，大数减小数，得到的结果如果能被7、被11、被13整除，那么这个数字本身就能被7、11、13整除。比如说，12345这个数字，从后往前数，数三位，得到345和12，用345减去12，得到333,333不能被7整除，所以12345这个数字不能被7整除。第三类，其他合数。对于一些合数，比如6，如何来判定它的整除，则是把6拆成2乘3的形式，如果一个数字既能被2整除也能被3整除，那么这个数字就能被6整除。但

专题02 数的整除性

专题02 数的整除性阅读与思考设a，b是整数，b≠0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称 b整除a，记作b|a，又称b为a的约数，而a称为b的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识： 1．数的整除性常见特征： ①若整数a的个位数是偶数，则2|a； ②若整数a的个位数是0或5，则5|a； ③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)； ④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)； ⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)； ⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a． 2．整除的基本性质设a，b，c都是整数，有： ①若a|b，b|c，则a|c； ②若c|a，c|b，则c|(a±b)； ③若b|a，c|a，则[b，c]|a； ④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a； ⑤若a|bc，且a与c互质，则a|b．特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c．例题与求解【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除． (“五羊杯”竞赛试题) 解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．【例2】已知a，b是正整数(a＞b)，对于以下两个结论： ①在a＋b，ab，a－b这三个数中必有2的倍数； ②在a＋b，ab，a－b这三个数中必有3的倍数．其中( ) A．只有①正确B．只有②正确 C．①，②都正确D．①，②都不正确 (江苏省竞赛试题) 解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．

数的整除特征(一)教案

数的整除特征（一）新课引入：数的整除问题是整数的内容中最基本的问题。常见数的整除特征如下：（1）1与0的特性： 1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a. 0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0. （2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。（4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！如121，1375。（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。如312。新课讲授：例1．在能被2,3,5整除。能被 2,3,5和5整除的数的特征是个位上的数字必须是0，里填能被3+9+0的和能被3整除，那有几种呢？填1,4,7.符合条件的有2190,2490,2790。做练习题。例2．五位数2A10B能被72整除，这样的五位数有几个？解题思路：因为72=8×9，且8和9互质，这个数必须同时能被8和9整除。要能被8整除得看末三位，B必须是4；当个位是4时，千位上必须是2（因为2+2+1+0+4=9），所以符合条件的只有1个，即22104。解：要使2A10B能被72整除，B=4，因为2+2+1+0+4=9，所以A=2。

13的整除判定法则

7、11、13的整除判定法则华图教育邹维丽在公务员考试数学运算这部分中，不少题目通过适当运用数的整除性质就可快速选出答案，这就要求考生对数的整除判断法则要熟练掌握。下面我们先给出一些特殊数的整除判定基本法则：一、能被2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性能被2 （或 5）整除的数，末位数字能被2（或 5）整除；能被4 （或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；能被8 （或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；一个数被2（或5）除得的余数，就是其末位数字被2（或5）除得的余数一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或25）除得的余数一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数二、能被3、9 整除的数的数字特性能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。三、能被7 整除的数的数字特性能被7 整除的数，其末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数。能被7 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7 整除。四、能被11 整除的数的数字特性能被11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除。能被11 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被11 整除。五、能被13 整除的数的数字特性能被13 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被13 整除。从上述表述中，我们发现7、11、13有一个相同的整除判断法则，就是判断其末三位与剩下的数之差，那么，为什么7、11、13有相同的整除判断法则呢？事实上，这一规律源自经典分解1001=7×11×13。下面我们利用1001=7×11×13来证明能被7整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7整除。设abcd为超过三位的数，其中b, c, d分别为百位数、十位数、个位数，则

数的整除的特性(五年级)

第四讲：数论初步（二） ——整除问题一、训练目标知识传递：掌握和拓展数的整除特征，根据整除特征灵活应用。能力强化：分析能力、观察能力、综合能力、判断能力、推算能力。思想方法：假设思想、对应思想、排除思想、尝试思想、重叠思想。二、知识与方法归纳 1、熟悉并掌握 2、 3、5、9的倍数的特征。 2、一个数的末两位数能4或25整除，这个数就一定能被4或25整除。（4×25=100）。（8×125=1000。） 3、一个数的末三位数能被8或125整除。那么这个数就能被8或25整除。 4、一个数的末三位数与末三位以前的数字组成的数的差分别能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除。另外，一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（差（7×11×13=1001。）等于0比较常见）能被11整除，这个数就能被11整除。（很常用，请牢记。） 5、如果两个数都能被同一个数整除，那么这两个数的和或差也能被这个数整除。即如果ca，c︱b，则c︱（a+b）或c︱（a-b）。 6、如果一个数能被另一个数整除，那么这个数的整倍数也一定能被另一个数整除。即如果c︱a，b是整数，则c︱ab。 7、如果一个数能被第二个数整除，第二个数又能被第三个数整除，那么，第一个数也能被第三个数整除。即如果a︱b，b︱c，则a︱c。 8、如果一个数能同时被另外两个数整除，而且这两个数互质，那么这一个数一寂能被另外两个数的积整除。即如果a︱c，b︱c，且a、b互质，则ab︱c。三、经典例题例1、七位数83□534□能被88整除，两个□中所填数字之和是。解：答：。例2、在358后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除，符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少？解：

整除的性质和特征

整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题。理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子的数感。一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b，除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a），记作b/a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。整除属于除尽的一种特殊情况。二、整除的五条基本性质：（1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除；（2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除；（3）如果a能被b整除，b能被c整除，则积a也能被c整除；（4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立；（5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基本性质，可以推导出某些特殊数的整除特征，为解决整除问题带来方便。（1）如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征。 ①若一个整数的个位数字是2的倍数（0、2、4、6或8）或5的倍数（0、5），则这个数能被2或5整除； ②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数，则这个数能被4或25整除； ③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数，则这个数能被8或125整除。【推理过程】： 2、5都是10的因数，根据整除的基本性质（2），可知所有整十数都能被10、2、5整除。任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和，如果一个数的个位数字也能被2或5整除，根据整除的基本性质（1），则这个数能被2或5整除。又因为4、25都是100的因数，8、125都是1000的因数，根据整除的基本性质（2），可知任意整百数都能被4、25整除，任意整千数都能被8、125整除。同时，任意一个多位数都可以看作一个整百数和它末两位数的和或一个整千数和它的末三位数的和，根据整除的基本性质（1），可以推导出上面第②条、第③条整除特征。

被20以内整除数的特征

被0—20以内数整除的数性质（1）1与0的特性： 1是任何整数的约数,即对于任何整数a,总有1|a. 0是任何非零整数的倍数,a≠0,a为整数,则a|0. （2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8,则这个数能被2整除. （3）若一个整数的数字和能被3整除,则这个整数能被3整除. (4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除,则这个数能被4整除. （5）若一个整数的末位是0或5,则这个数能被5整除. （6）若一个整数能同时被2和3整除,则这个数能被6整除. （7）若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除.如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断294是否是7的倍数的过程如下：29-4×2=21,所以294是7 的倍数；又例如判断3983是否是7的倍数的过程如下：398－3×2＝392 ,39－2×2＝35,所以3983是7的倍数,以此类推. （8）若一个整数的未尾三位数能被8整除,则这个数能被8整除. （9）若一个整数的数字和能被9整除,则这个整数能被9整除. （10）若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除. （11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除.例如,判断649是否是11的倍数的过程如下：

因为奇数位之和6+9=15,15减去4等于11，所以649是11的倍数. （12）若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除. （13）若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果差是13的倍数,则原数能被13整除.如果差太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断585是否是13的倍数的过程如下：58+5×4=78,7+8×4=39,所以585是13的倍数;又例如判断8476是否是13的倍数的过程如下：847+6是否是13的倍数的过程如下：4=871,87+1×4=91,9+1×4=13,所以585是13的倍数. （14）若一个整数同时被2和7整除,则这个数能被14整除.例如,判断6328是否是14的倍数的过程如下：首先6328能被2整除，其次判断它被7整除特征，632-8×2=616,61-6×2=49，因此6328是7的倍数，即6328是14的倍数. （15）若一个整数同时被3和5整除,则这个数能被15整除.判断方法与被6、14整除类似，与下文的18,20一样. （16）若一个整数末尾四位数能被16整除，则这个数能被16整除. （17）若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除.如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断7701是否是17的倍数的过程如下：770-1×5=765,76-5×5=51,所以7701是17的倍数. （18）若一个整数同时能被2和9整除,则这个数能被18整除.

1.3 整除及其性质

§ 1.3 整除及其性质一、数的整除性在带余除法算式a=bq+r(0≤r<|b|)中，r=0的情况非常重要。定义 1 设a,b是两个整数，其中b≠0，若存在一个整数q，使q满足a=bq，则称b整除a（或a被b整除）.这时我们也称b为a的约数，a为b的倍数，记作b|a.若不存在这样的整数q，则称a不能被b整除（或b不能整除a），记作b不整除a. 性质一（传递性）若c|b，b|a，则c|a. 性质二（可加性）若c|a，c|b，则c|(a±b).（请读者自己写出证明过程）性质三（可乘性）若b|a，d|c，则bd|ac. 性质四若b能整除a，则|b|能整除|a|.（请读者自己写出证明过程）二、整除的奇偶性不能定义 2 能被2整除的整数叫做偶数；不能被2整除的整数叫做奇数. 性质五偶数±偶数=偶数；偶数±奇数=奇数；奇数±奇数=偶数. 推论: 若干个偶数之和为偶数；正偶数个奇数之和为偶数；正奇数个奇数之和为奇数.

性质六奇数×奇数=奇数；整数×偶数=偶数. 推论若干个奇数之积为奇数；若干个偶数之积为偶数. 性质七设a为整，n为正整数，则a n与a奇偶性相同. 例一求证：7│abcabc（a≠0）. 证明：因为abcabc=abc×1000+abc=abc×1001，所以 1001│abcabc.又因为7│1001，于是7│abcabc. 例2 求证：37│（333777+777333）. 证明：因为37×3=111，所以 333777=（111×3）777=（37×9）777=37×（37776×9777），那么：37│333777.同理可证：37│777333，所以 37│（333777+777333）. 例3 若n>1,(n-1)│（n+11)，求n. 解：因为（n+11)=(n-1)+12，且(n-1)│（n+11)，所以(n-1)│12.又因为n>1，所以n=2, 3, 4，5,7,13. 例4求证： ⑴若一个数的末尾数字能被2整除，则这个数能被2整除； ⑵若一个数的末尾两位数字能被4整除，则这个数能被,4整除. 证明：⑴设a=10b+c(b是整数，c∈{0,1,2，…，9}）.因为 2│10，故2│10b（为什么？）；又因为2│c，所以2│a. ⑵设a=100b+cd(b是整数，c,d∈{0,1,2，…，9}). 因为4│100，故4│100b；又因为4│cd，所以4│a. 例5设9｜62ab42711｜62ab427，求62ab427

数的整除性讲解(一)(通用)

第4讲数的整除性（一）我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。这就证明了（4）。类似地可以证明（5）。（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。

数的整除特性练习题

数的整除专题训练知识梳理：性质1.如果一个自然数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个自然数就能被4（或25）整除，否则这个数就不能被4（或25）整除。性质2.如果一个自然数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个自然数就能被8（或125）整除，否则这个数就不能被8（或125）整除。性质3.如果一个数的各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数就能被9整除，否则这个数就不能被9整除。性质4.如果一个自然数的奇数位上数字和与偶数位上数字和的差能被11整除，那么这个数便能被11整除，否则这个数便不能被11整除。性质5.如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差能被11（7、13）整除，那么这个数就能被11（7、13）整除，否则这个数就不能被11（7、13）整除。例题精讲： 1. 三年级共有75名学生参加春游，交的总钱数为一个五位数“2□7□5”元，求每位学生最多可能交多少元解：先求出满足条件的最大五位数。75=25 ×3，则这个五位数是25和3的倍数。因为是25的倍数，所以十位为7或2，设千位为x，如十位为7，则使2+x+7+7+5=21+x为3的倍数的x最大为9，得此五位数为29775；如十位为2，则使2+x+7+2+5=16+x为3的倍数的x最大为8，得此五位数为28725。所以，满足题意的最大五位数为29775。 29775÷75=397(元)，即每位学生最多可能交397元。

2. 小勤想在电脑上恢复已经删除掉的72个文件，可是他只记得这些文件的总大小是“*679.*KB”，“*”表示小勤忘掉的第一个和最后一个数字(两个数字可能不同)，你能帮他算出这两个数字吗解：“*679. *”能被72除尽，则“*679*”应是72的倍数。72=8 ×9，先考虑8，末三位数字79*应满足被8整除，所以十分位数字是2；考虑9，已知数字之和是6+7+9+2=24，所以原数的千位上应是3，即这两个数字分别是3和2。 3. 有三个连续的四位数，它们的和也是四位数，并且是3333的倍数，求中间那个数可能的最小取值。解：设中间的数为a，则另外两个数是(a-1)和(a+1)，所以要a+(a+1)+(a-1)=3a是3333的倍数，那么a是1111的倍数，又3a<10000，所以a≤3333，所以a可取1111、2222、3333。所以。取可能的最小的值为1111。 4. 一个整数的末三位数字组成的数与其末三位以前的数字组成的数之间的差是7的倍数时，这个整数可以被7整除吗请证明你的判断。解：设末三位数字组成的数为m，末三位以前数字组成的数为n，则m-n=7d(d 为整数),即n=m-7d，原数为m+1000n=m+1000 ×(m-7d)=1001m-7000d，1001=13 ×11 ×7，7000d=7 ×1000d，所以原数是7的倍数。 5. 小明有一些数字卡片，现在要从这些卡片中挑出2、4、5、7、8这几张，任选4张，能组成可以被75整除的没有重复数字的四位数，它能组成几种呢解：75=3 ×5 ×5，要被75整除，必可被3整除，所以有4、5、7、8，2、4、7、8和2、4、5、7三种选法；又要被25整除，所以未两位为25或75，所以排除2、4、7、8的选法。则4、5、7、8的选法有2种组合，2、4、5、7的选法有4种组合，所以共可

(初中数学)数的整除性精选题练习及答案

（初中数学）数的整除性精选题练习及答案阅读与思考设a，b是整数，b≠0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称b整除a，记作b|a，又称b为a的约数，而a称为b的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：1．数的整除性常见特征： ①若整数a的个位数是偶数，则2|a； ②若整数a的个位数是0或5，则5|a； ③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)； ④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)； ⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)； ⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a． 2．整除的基本性质设a，b，c都是整数，有： ①若a|b，b|c，则a|c； ②若c|a，c|b，则c|(a±b)； ③若b|a，c|a，则[b，c]|a； ④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a； ⑤若a|bc，且a与c互质，则a|b．特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c．例题与求解【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除． (“五羊杯”竞赛试题) 解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．【例2】已知a，b是正整数(a＞b)，对于以下两个结论： ①在a＋b，ab，a－b这三个数中必有2的倍数； ②在a＋b，ab，a－b这三个数中必有3的倍数．其中( ) A．只有①正确B．只有②正确 C．①，②都正确D．①，②都不正确(江苏省竞赛试题)解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明． ab能被198整除，求a，b的值．(江苏省竞赛试题) 【例3】已知整数13456 ab能被9，11整除，运用整除的相关特性建立a，b的等式，解题思想：198=2×9×11，整数13456 求出a，b的值．【例4】已知a，b，c都是整数，当代数式7a＋2b＋3c的值能被13整除时，那么代数式5a＋7b－22c的值是否一定能被13整除，为什么？

数的整除特性

2013国家公务员考试行测数学运算冲刺：数的整除特性在国家公务员考试中，数学运算题目通常是给出一段表达数量关系的文字，考生需要做的就是找到题干中各个数字之间的联系，然后运用基本的运算法则，计算出结果。中公教育专家发现，国家公务员考试中，数学运算题干中的数字之间都有着千丝万缕的联系，最基础的体现就是两个数之间的整除关系。在考试中，如果能够顺利的发现数字之间存在整除关系，那么我们就可以利用数字的整除特性，快速、简单地得到答案。一、整除判定在解题过程中，如果经过分析、判断后，你已经确定题目的正确答案能被某个数整除，那么在进行具体计算之前，只需要对四个选项逐个进行判定，哪个选项能被这个特殊数字整除，即可得到结果。在行测考试中，被2、３、５、8、９整除的判定较为常见，考生需要熟练掌握并灵活应用。被2、3、4、5、8、9整除的判断依据（1）被2整除的判断依据：个位数字能被2整除的数能被2整除。（2）被３整除的判断依据：各位数字和是３倍数的数可被３整除。（3）被4整除的判断依据：末两位可被4整除的数能被4整除。（4）被５整除的判断依据：个位是０、５的数可被５整除。（5）被８整除的判断依据：末三位可被８整除的数能被８整除。（6）被９整除的判断依据：各位数字和是９倍数的数可被９整除。【例题1】为了打开保险箱，首先要输入密码，密码由7个数字组成，它们不是2就是3，在密码中的数字2比3多，而且密码能被3和4整除，试求出这个密码？ A.2323232 B.2222232 C.2222332 D.2322222 中公解析：此题答案为B。此题的题干中明确说明，要求密码能够同时被3和4整除。考虑被3、4整除的判断依据。能被4整除的数字，其后两位数字能够被4整除。所以四个选项中，首先排除D项。能被3整除的数，要求各位数字和是3的整倍数，剩余三个选项中，A项所有数字和为17，B项所有数字和为15，C项所有数字和为16，符合条件的只有B项。因此密码为2222232。【例题2】某单位有工作人员４８人，其中女性占总人数的３７．５％，后来又调来女性若干人，这时女性人数恰好是总人数的４０％，问调来几名女性？Ａ．１人Ｂ．２人Ｃ．３人Ｄ．４人

能被4或25整除的数的特征

能被4或25整除的数的特征如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75 由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．又如： 832＝8×100＋32 由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．能被8或125整除的数的特征如果一个数的末三位数能被8或125整除，那么，这个数就一定能被8或125整除．例如： 9864＝9×1000+864 72375＝72×1000+375 由于8与125相乘的积是1000，1000能被8或125整除，那么，1000的倍数也必然能被8或125整除．因此，如果一个数末三位数能被8或125整除，这个数就一定能被8或125整除． 9864的末三位数是864，864能被8整除，9864就一定能被8整除．72375的末三位数是375，375能被125整除，72375就一定能被125整除。能被7整除的数的特征一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除．例如：判断6692能不能被7整除．竖式为：

这种方法叫“割减法”．此法还可简化为：从一个数减去7的10倍、20倍、30倍、……到余下一个100以内的数为止，如果余数能被7整除，那么，这个数就能被7整除．能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除．例如：判断491678能不能被11整除． —→奇位数字的和9＋6＋8=23 —→偶位数位的和4＋1＋7=12 23－12=11 因此，491678能被11整除．这种方法叫“奇偶位差法”．除上述方法外，还可以用割减法进行判断．即：从一个数里减去11的10倍、20倍、30倍……到余下一个100以内的数为止．如果余数能被11整除，那么，原来这个数就一定能被11整除．又如：判断583能不能被11整除．用583减去11的50倍（583－11×50=33）余数是33， 33能被11整除，583也一定能被11整除。能被13整除的数的特征一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被13整除，那么，这个多位数就一定能被13整除．例如：判断383357能不能被13整除．这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除．这个方法也同样适用于判断一个数能不能被7或11整除．如：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．仍以原数为例，末三位数字与前两数字的差是396，396不能被7整除，因此，283697就一定不能被7整除．

第26讲整数整除的概念和性质

第二十六讲整数整除的概念和性质对于整数和不为零的整数b，总存在整数m，n使得a＝bm+n(0≤n

数的整除性规律

数的整除性规律【能被2或5整除的数的特征】一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5 整除【能被3或9整除的数的特征】一个数，当且仅当它的各个数位上的数字之和能被3 和9整除时，这个数便能被3或9整除。例如，1248621各位上的数字之和是1+2+4+8+6+2+1=24 3|24，则3|1248621。又如，372681各位上的数字之和是3+7+2+6+8+1=27 9|27，则9|372681。【能被4或25整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末两位数能被4或25整除时，这个数便能被4或25整除。例如， 173824的末两位数为24，4|24，则4|173824。 43586775的末两位数为75，25|75，则25|43586775。【能被8或125整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字为0，或者末三位数能被8或125整除时，这个数便能被8或125整除。例如， 32178000的末三位数字为0，则这个数能被8整除，也能够被125整除。 3569824的末三位数为824，8|824，则8|3569824。 214813750的末三位数为750，125|750，则125|214813750。【能被7、11、13整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的数，与末三位以前的数字所表示的数的差(大减小的差)能被7、11、13整除时，这个数就能被7、11、13整除。

例如，75523的末三位数为523，末三位以前的数字所表示的数是75，523-75=448，448÷7=64，即7|448，则7|75523。又如，1095874的末三位数为874，末三位以前的数字所表示的数是1095，1095-874=221，221÷13=17，即13|221，则13|1095874。再如，868967的末三位数为967，末三位以前的数字所表示的数是868，967-868=99，99÷11=9，即11|99，则11|868967。此外，能被11整除的数的特征，还可以这样叙述：一个数，当且仅当它的奇数位上数字之和，与偶数位上数字之和的差(大减小)能被11整除时，则这个数便能被11整除。例如，4239235的奇数位上的数字之和为4+3+2+5=14，偶数位上数字之和为2+9+3=14，二者之差为14-14=0，0÷11=0，即11|0，则11|4239235。

被3整除的特征

整除的特征（1）1与0的特性： 1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a. 0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0. （2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。 (4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。（14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。（15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。（16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。（17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。（18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除

常见数的整除特征

数的整除特征被2整除一个数的个位数字如果是0, 2 , 4, 6, 8中的一个，那么这个数就能被2整除。被3整除一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被 3整除。被4或25整除如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被 4或25整除。例如：123475 末尾两位是75能被25整除，则123475也能被25整除。被4整除的同理。被5整除一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被 5整除。被7整除末位法：一个数舍去末位数字，剩下的数减去舍去数字的2倍【用差重复此步骤】，如果结果是7的倍数【包括0】，那么，这个数就能被7整除。例如：判断13139是否7的倍数的过程如下：1313-9 X 2 = 1295，在结果1295中重复舍去末位，129 — 5 X 2= 119,所以13139 是7的倍数。首位法：在首位或前几位，减去7的倍数。例如，判断 13139能不能被 7整除， 13139-7000=6139，只要6139能被7整除即可。对 6139可在首位继续减去7的倍数，6139-5600=539 , 539-490=49, 49 当然被 7 整除，所以 13139 能被 7 整除。被8整除如果一个数的末三位数能被8或125整除，那么，这个数就一定能被8或125整除?例如：888能被8整除，则129888就能被8整除。875能被125整除，100011875就一定能被125 整除。被9整除一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被 9整除。被11整除把一个数由右向左数，如果奇数位【个、百、万位。。。】上的数字和与偶数【十、千、十万位。。。】位上的数字和的差是11的倍数【包括0】，则这个数能被11整除。被13整除把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。可重复此过程。例如： 1284335。128433+5*4=12845,1284+4*5=1304 , 130+4*4=146,14+4*6=39。末三位法【适合7、11、13】一个数舍掉末三位【百、十、个位，等于除以1000取整】后与舍掉的末三位之差，如果能被7/11/13整除，则这个数能被 711/13整除。例如判断280679能否被7整除。末三位数字

被一些数整除的数的特征是什么

被一些数整除的数的特征是什么（1）1与0的特性： 1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a. 0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0. （2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3 整除。 (4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－32＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－92＝595 ， 59－52＝49，所以6139是7的倍数，余类推。（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9 整除。（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。（14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。（15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为