第14章静不定问题分析
14-1试判断图示各结构的静不定度。
题14-1图
解:(a)在平面受力时,一个封闭框具有三个多余内约束,此问题又具有一个多余外约束,故为四度静不定。
(b)若无中间铰,两边的刚架分开,二者均为静定刚架。安装此中间铰,使相连处在x、y两个方向的相对位移均受到约束,故为二度静不定。
(c)在平面受力时,一个封闭圆环有三个多余内约束,安装一个中间铰,减少一个约束,现安装两个中间铰,故为一度静不定。
(d)在平面受力时,一个封闭框有三个多余内约束,此框在左上角和右下角各有一个中间铰,减去两个约束,故为一度静不定。
14-2图示各刚架,弯曲刚度EI均为常数。试求支反力,并画弯矩图。
题14-2图
(a )解:方法1,常规解法 此为一度静不定问题。
解除B 处水平约束(见图14-2(a)之1),代以多余反力F Bx 。
图14-2(a)
由∑=0A M ,得
Bx By F l
M F -=
e
据图(1)与(2),列弯矩方程如下:
()1e
1x F l M x M Bx ??
? ??-=, ()l F x F x M Bx Bx -=22
()11x x M -=, ()l x x M -=22
将其代入
()()()()??+=
l l Bx x x M x M EI x x M x M EI Δ0
2220 1
11d 1d 1 并利用协调条件0=Bx Δ,可得
l
M F Bx 2e
=
(←) 依据平衡条件,进而可得
l M F By 2e =
(↑), l M F Ax 2e =(→), l
M
F Ay 2e =(↓)
方法2,利用反对称性求解
刚架受力如图(3)所示,由平衡方程∑=0A M ,可直接求得合支反力F ,其值为
l
M F 2e =
将其分解,所得结果与方法1所得解完全相同。
弯矩图如图(4)所示。 (b )解:此为一度静不定问题。 载荷状态及单位状态如图14-2(b)所示。
图14-2(b)
弯矩方程为
()11x F x M Bx =, ()2
222
x q l F x M Bx -
= ()11x x M =, ()l x M =2
将其代入
()()()()2220 1110 d 1d 1x x M x M EI
x x M x M EI Δl
l Bx ??+=
积分后,得
??
? ??-=634143ql l F EI ΔBx Bx
代入协调条件
0=Bx Δ
得
8
ql
F Bx =
弯矩图如图(3)所示。
14-3 图示圆弧形小曲率杆,弯曲刚度EI 为常数。试求支反力,对于题(b),并计算截面A
的水平位移。
题14-3图
(a )解:此为一度静不定问题。 由对称性可得
2
F
F F Cy By =
=(↑) 又由于对称性(θA =0),求Δ
Cx 的载荷状态及单位状态可示如图
14-3(a )。
图14-3(a)
弯矩方程为
()()???cos 12
sin --
=R F
R F M Cx ()??sin R M =
将其代入
()()???d 1π/2
R M M EI ΔCx ?=
积分后,得
??
? ??-=44π3F F EI R ΔCx Cx
代入协调条件
0=Cx Δ
得
π
F
F Cx =
(←) 进而求得
π
F
F Bx =
(→) (b )解:此为一度静不定问题。
求Ay Δ的载荷状态及单位状态可示如图14-3(b )。
图14-3(b)
弯矩方程为
()??sin e R F M M Ay -=
()??sin R M -=
将其代入
()()???d 1π/2
0 R M M EI
ΔAy ?=
积分后,得
??? ??-=e 24
π
M R F EI R ΔAy Ay
代入协调条件
0=Ay Δ
得
R
M F Ay π4e
=
(↑) 进而求得
0=Bx F , R M F By π4e =
(↓), e π
π
4M M B -=( ) 求Ax Δ的载荷状态及单位状态示如图(3)和(4)。 弯矩方程为
()??sin π
4e
e M M M -
= ()()??cos 1-=R M
将其代入
()()???d 1π/2
0 R M M EI
ΔAx ?=
积分后,得到
()EI
R M EI R
M ΔAx
2e 2
e 20658.0π24π2π-=--= (←)
14-4图a 所示圆弧形小曲率杆,轴线半径为R ,承受集度为q 的均布剪切载荷作用。设弯
曲刚度EI 为常数,试计算截面B 的水平位移。
问题2-2图
解:1. 解静不定
图示曲杆属于一度静不定。设将铰支座B 作为多余约束,则相当系统如图b 所示,变形协调条件为横截面B 的铅垂位移为零,即
0=By Δ
(a)
由图b 可以看出,作用在微段R d α上的切向微外力qR d α,在横截面?引起的弯矩为
[][]αα?α?αd )cos(1)cos(1d d 2--=--?=qR R qR M
所以,在切向载荷q 与多余未知力F By 作用下,截面?的弯矩为
[]????αα???
sin )sin (sin d )cos(1)(2 0
2R F qR R F qR M By By --=---=?
(b)
在图c 所示铅垂单位载荷作用下,截面?的弯矩则为
??sin )(R M -=
根据单位载荷法,得相当系统横截面B 的铅垂位移为 []?????d sin )sin ()sin ( 1π/2
2R R F qR R EI ΔBy By ?---=
由此得
[]π)π4(43
By By F qR EI
R Δ---= 代入式(a ),得补充方程为 0π)π4(=--By F qR
由此得
π
)
π4(-=
qR F By 2. 计算水平位移
多余未知力确定后,将其代入式(b ),得曲杆的弯矩方程为
??
?
??-=???sin π4)(2qR M
在图d 所示水平单位载荷作用下,截面?的弯矩则为
)cos 1()(??-=R M
于是,得截面B 的水平位移为
)
( 1π22π8πd sin π4)cos (11
24
π/2
2→??
? ??+--=??? ??
-?-=
?EI qR R qR R EI
ΔBx ????
14-5 图示桁架,各杆各截面的拉压刚度均为EA ,试求杆BC 的轴力。
题14-5图
解:此为一度静不定问题。
选杆BC 为多余杆,求切口处相对位移'/e e Δ的载荷状态及单位状态分别如图14-5(a )和(b )所示。
图14-5
求相对位移'/e e Δ的过程列于下表:
由此得
()EA
Fa
a F EA
l F F Δi i i i e e -+=
=∑=5
N N 5
1N '
/22 代入协调条件
0'/=e e Δ
得
F F F BC 2
2
25N N -=
=
14-6 图示小曲率圆环,承受载荷F 作用。设弯曲刚度EI 为常数,试求截面A 与C 的弯
矩以及截面A 与B 的相对线位移。
题14-6图
解:1.求A M 和C M
此为三度静不定问题。有双对称性可利用。 由对称条件可得(图14-6a )
2
N N F F F D C =
=
图14-6
由双对称性可知,
0=C θ, 0=A θ
据此可方便地求出M C 。求θC 的载荷状态及单位状态示如图(b )和(c )。
弯矩方程为
()()??cos 12
-+
=R F
M M C
()1=?M
将其代入
()()???θd 12
π0
R M M EI C ?=
积分后,代入协调条件
0=C θ
可得
FR M C π
22
π--
= 进而可求得
π
FR M A =
2.求?A/B
令原题图中的F =1,即为求?A/B 的单位状态。 依据图(a ),可以写出弯矩方程如下:
()()??cos 12π22π-+--
=R F
FR M ()()??cos 12
π22π-+--
=R
R M 将其代入
()()???d 42
π0
/R M M EI ΔB A ?=
积分后,得到
()EI
FR EI
FR ΔB
A 332/1488.0π
48π=-=(← →)
14-8图a 所示结构,杆BC 与DG 为刚性杆,杆1、杆2与杆3为弹性杆,结构承受铅垂
载荷F 作用。设弹性杆各截面的拉压刚度均为EA ,试求各杆的轴力与刚性杆BC 的转角。
题14-8图
解:1. 求解静不定
选F N1为多余力,相当系统如图b 所示。
设各杆轴力均为拉力,并以刚性杆BC 与DG 为研究对象,则由平衡方程
032 ,0N3N2N1=?+?+?=∑a F a F a F M B
0233 ,0N3N2N1=?-?-?-?=∑a F a F a F a F M G
得
N1N3N1N223 ,249F F F F F F +-=-=
单位载荷系统如图c 所示,由上式并令F =0与F N1=1,得相应内力为
1 ,2N3N2=-=F F
根据变形协调条件?m/m ’=0,并利用单位载荷法,得补充方程为
()0123 22491N1N1N1=???
? ??+-+-??? ??-+?F F
F F F
得
F F =N1
由此得
2
,4N3N2F
F F F -==
2. 角位移计算
施加单位力偶如图d 所示,并同样以刚性杆BC 与DG 为研究对象,则由平衡方程
0321 ,0N3N2=?-?-=∑a F a F M
B
02 ,0N3N2=?-?-=∑a F a F M
G
得
a
F a F 21
,41N3N2=
-
= 于是得杆BC 的转角为
EAa
Fl
EA l F F EA l F F BC 165N3N3N2N2-
=+=
θ ( ) 14-9 图示各刚架,弯曲刚度EI 均为常数,试画弯矩图。
题14-9图
(a )解:此为二度静不定问题。有对称性可利用。
如图14-9(a)所示,由于C 处有铰,所以0=C M ;又由于C 处在对称位置,故知其0S =F 。铰C 左右两边各受切向载荷F /2。相当系统(取左边一半)如图(1)所示,待求未知力仅有F N C 一个。
图14-9(a)
根据对称条件,截面C 的水平位移x ΔC 为零,即
0=Cx Δ
由此得到
F F C 8
3
N =(→)
弯矩图如图(2)所示,最大弯矩为
4
||max Fl M =
(b )解:此为三度静不定问题。有反对称性可利用。 在结构对称面C 处假想切开,由于反对称,故有
0N =C F , 0=C M
待求未知内力仅有F S C 一个。
求Cy Δ的载荷状态及单位状态如图14-9(b)所示。
图14-9(b)
弯矩方程为
()1S 1x F x M C =, ()2S 22
2x ql l F x M C
-= ()11x x M =, ()2
2l x M =
将其代入
()()+=
?11120 d 1x x M x M EI Δl Cy ()()2220 d 1x x M x M EI
l
? 积分后,得
EI
ql l F ΔC Cy 24374
3S -=
代入协调条件
0=Cy Δ
得
ql F C 7
3
S =(↑)
弯矩图如图(3)所示,最大弯矩为
7
2||2
max ql M =
14-10 图示各刚架,弯曲刚度EI 均为常数,试画刚架的弯矩图,并计算截面A 与B 沿
AB 连线方向的相对线位移。
题14-10图
提示:本题(a )~(d )均为三度静不定问题。其中,(a )、(b )均为双对称问题。对称面上0S =F ,F N 可由静力平衡条件求出,只剩下一个未知内力待求,依据协调条件(切口两边相对转角为零)即可求出。(c )、(d )均为双反对称问题,结构对称面上只有s F 待求,而且可由静力平衡条件求出。
由于问题比较简单,这里拟直接给出结果。 (a )
122max ql M =, EI
ql ΔB A 644
/=(← →)
(b )
8max
Fl M =, EI
Fl ΔB A 963/=(← →) (c )
2
max Fl
M =
, 0/=B A Δ
(d )
4
2
max ql M =, 0/=B A Δ
弯矩图见图14-10。
图14-10
14-12 图示小曲率圆环,承受载荷F 作用。设弯曲刚度EI 为常数,试计算支反力。
题14-12图
解:此为四度静不定问题。有双对称条件可以利用。 若圆环无左右刚壁约束,由题14-6之解可得
2
N N F
F F D C -
==(负号代表压力)
FR M M D C π22
π-=
=, π
FR M M B A -
== 由F 引起的CD
Δ '可根据图14-12(a )和(b )来算。
图14-12
弯矩方程为
()()??cos 12π22π---=
R F
FR M ()??sin R M -=
将其代入
()()???d 2 2
π0
/R M M EI D C ?='? 积分后,得
()EI
FR D C
π2π4 3
/-='?(← →)
设C 与D 处的水平反力为F x ,根据题14-6所得的Δ
A/B ,这里有
F x 引起的D C / ''?,
()EI
R
F Δx D C
3
2/π48π --
=''(→ ←) 代入协调条件
0///=+=D C D C D C Δ''Δ'Δ
最后得
F F x 8
ππ
282--=
(→ ←) B 处支反力为
F F By =(↑)
14-13 图示桁架,承受载荷F = 80kN 作用,各杆各截面的拉压刚度均为EA 。试求杆BC
的角位移。
题14-13图
(a )解:此为一度静不定问题。由图14-13a (1)可知,因为反对称,所以有
02N =F
又据图(2)可得
F F -=3N (压)
, F F 25N =
图14-13(a)
求BC θ的载荷状态及单位状态可简画如图(2)和(3)。计算过程归纳如下表:
于是得
EA
F
EA l F F i i i BC )21(N N +=
∑=
θ( ) (b )解:此为一度静不定问题。由图14-13b (1)可知,由于反对称,故有
02N =F
进而可得
,1N F F = F F -=3N (压)
图14-13(b)
求BC θ的载荷状态及单位状态如图(1)和(2)所示,杆2均视为被切断。计算过程归纳如下表:
于是得
EA
F
EA l F F i i i BC 3N N =∑=
θ( )
14-14 图示结构(均为小曲率圆杆),弯曲刚度EI 为常数。试计算截面A 与B 沿AB 连
线方向的相对线位移。
题14-14图
(a )解:此为一度静不定问题。有双对称条件可以利用。
取上半部分来分析,受力如图14-14(a )所示。此即为求?A/B 的载荷状态,将F 换成1,即为求?A/B 的单位状态。
图14-14(a)
取?如图(这样取计算较方便),弯矩方程为
()??? ??-=??sin 21
2FR M
()??? ??-=
??sin 2
1
2R M 将其代入
()()???d 46
π0
/R M M EI ΔB A ?=
积分后,得
()
EI
FR EI FR ΔB
A 3
3/0422.08833=-+=
π
(b )解:此为三度静不定问题。有反对称条件可以利用。
先求内力。取相当系统如图14-14(b)(1),另二内力均为零,图中未画。
图14-14(b)
求?A/A ’的载荷状态及单位状态示如图(1)和(2)。弯矩方程为
()()????sin sin S 2R F qR M A --=
()??sin R M -=
将其代入
()()???d 2π
0 '/R M M EI
ΔA A ?=
积分后,代入协调条件?A/A ’=0,可得
qR F A =S
求?A/B 的载荷状态及单位状态如图(1)和(3)所示。
由于()?M 左右异号,而()?M 左右同号,不难判断,二者相乘后的积分值必为零,即
0/=B A Δ
14-15
图a 所示桁架,承受载荷F 作用,同时,杆3的实际长度比设计长度稍短,误差
为δ。设各杆各截面的拉压刚度均为EA ,试用单位载荷法计算各杆的轴力。
题14-15图
解:设选相当系统如图b 所示,则变形协调条件为轴向相对位移?m /m ’为零,相应单位载荷系统如图c 所示。
第三讲超静定结构受力分析及特性 【内容提要】 超静定次数确定,力法、位移法基本体系,力法方程及其意义,等截面直杆刚度方程,位移法基本未知量确定,位移法基本方程及其意义,等截面直杆的转动刚度,力矩分配系数与传递系数,单结点的力矩分配,对称性利用,半结构法,超静定结构位移计算,超静定结构特性。 【重点、难点】 力法及力法方程,位移法及基本方程;力矩分配系数与传递系数,单结点的力矩分配,超静定结构位移计算。 一、超静定次数 把超静定结构变为静定结构所需要解除的约束数称为超静定次数(或多余约束数)。 1.撤去一个活动铰支座(即一根支杆),或切断一根链杆各相当于解除一个约束。 2.撤去一个固定铰支座(即两根支杆),或拆开一个单铰结点,各相当于解除两个约束。3.撤去一个固定支座,或切断一根受弯杆件各相当于解除三个约束。 4.将固定支座改为固定铰支座,或将受弯杆件切断改成铰接各相当于解除一个(承受弯矩的)约束。 5.边框周边安置一个单铰则其内部减少一个弯矩约束。 6.一个外形封闭和周边无铰的闭合框或刚架其内部具有三个多余约束,是三次超静定的。k个周边无铰的闭合框的超静定次数等于3k。 二、力法 (一)基本结构
力法是解算超静定结构最古老的方法之一。力法计算超静定结构是把超静定结构化为静定结构来计算,所以力法基本未知量的个数就是结构多余约束数。 以超静定结构在外因作用下多余约束(又称多余联系)上相应的多余力作为基本未知量,计算时将结构上的多余约束去掉,代之以多余力的作用,将这样所得的静定结构作为求解基本未知量的基本结构(或称为基本体系)。 (二)解题思路 根据基本结构在原有外力及多余力的共同作用下,在去掉多余约束处沿多余力方向的位移应与原结构相应的位移相同的条件,建立力法方程,解方程即可求得各多余力。 将多余力视为基本结构的荷载,则可作基本结构内力图,也就是原结构的内力图。原结构的位移计算亦可在基本结构上进行,这样更为方便。 【例题1】求图6-3-1(a)所示结构内力图。
第3章 静定结构的力分析习题解答 习题3.1 是非判断题 (1) 在使用力图特征绘制某受弯杆段的弯矩图时,必须先求出该杆段两端的端弯矩。( ) (2) 区段叠加法仅适用于弯矩图的绘制,不适用于剪力图的绘制。( ) (3) 多跨静定梁在附属部分受竖向荷载作用时,必会引起基本部分的力。( ) (4) 习题3.1(4)图所示多跨静定梁中,CDE 和EF 部分均为附属部分。( ) 习题3.1(4)图 (5) 三铰拱的水平推力不仅与三个铰的位置有关,还与拱轴线的形状有关。( ) (6) 所谓合理拱轴线,是指在任意荷载作用下都能使拱处于无弯矩状态的轴线。 ( ) (7) 改变荷载值的大小,三铰拱的合理拱轴线形状也将发生改变。 ( ) (8) 利用结点法求解桁架结构时,可从任意结点开始。 ( ) 【解】(1)正确; (2)错误; (3)正确; (4)正确;EF 为第二层次附属部分,CDE 为第一层次附属部分; (5)错误。从公式0 H /C F M f 可知,三铰拱的水平推力与拱轴线的形状无关; (6)错误。荷载发生改变时,合理拱轴线将发生变化; (7)错误。合理拱轴线与荷载大小无关; (8)错误。一般从仅包含两个未知轴力的结点开始。 习题3.2 填空 (1)习题3.2(1)图所示受荷的多跨静定梁,其定向联系C 所传递的弯矩M C 的大小为______;截面B 的弯矩大小为______,____侧受拉。 P 习题3.2(1)图 (2) 习题3.2(2)图所示风载作用下的悬臂刚架,其梁端弯矩M AB =______kN ·m ,____侧受拉;左柱B 截面弯矩M B =______kN ·m ,____侧受拉。 习题3.2(2)图 (3) 习题3.2(3)图所示三铰拱的水平推力F H 等于 。 习题3.2(3)图 (4) 习题3.2(4)图所示桁架中有 根零杆。
静定结构内力分析习题集锦(一) 徐 丰 武汉工程大学
第3章 静定结构的内力分析习题解答 习题3.1 是非判断题 (1) 在使用内力图特征绘制某受弯杆段的弯矩图时,必须先求出该杆段两端的端弯矩。( ) (2) 区段叠加法仅适用于弯矩图的绘制,不适用于剪力图的绘制。( ) (3) 多跨静定梁在附属部分受竖向荷载作用时,必会引起基本部分的内力。( ) (4) 习题3.1(4)图所示多跨静定梁中,CDE 和EF 部分均为附属部分。( ) 习题3.1(4)图 (5) 三铰拱的水平推力不仅与三个铰的位置有关,还与拱轴线的形状有关。( ) (6) 所谓合理拱轴线,是指在任意荷载作用下都能使拱处于无弯矩状态的轴线。 ( ) (7) 改变荷载值的大小,三铰拱的合理拱轴线形状也将发生改变。 ( ) (8) 利用结点法求解桁架结构时,可从任意结点开始。 ( ) 【解】(1)正确; (2)错误; (3)正确; (4)正确;EF 为第二层次附属部分,CDE 为第一层次附属部分; (5)错误。从公式0 H /C F M f 可知,三铰拱的水平推力与拱轴线的形状无关; (6)错误。荷载发生改变时,合理拱轴线将发生变化; (7)错误。合理拱轴线与荷载大小无关; (8)错误。一般从仅包含两个未知轴力的结点开始。 习题3.2 填空 (1)习题3.2(1)图所示受荷的多跨静定梁,其定向联系C 所传递的弯矩M C 的大小为______;截面B 的弯矩大小为______,____侧受拉。 P 习题3.2(1)图 (2) 习题3.2(2)图所示风载作用下的悬臂刚架,其梁端弯矩M AB =______kN·m ,____侧受拉;左柱B 截面弯矩M B =______kN·m ,____侧受拉。
第2章 静定结构内力计算 §2 – 1 基本概念 2-1-1 支座反力(联系力)计算方法 ●两刚片组成结构(单截面法) 满足两刚片规则的体系,两个刚片之间只有三个联系,可取出一个刚片作隔离体( 如图2-1c 或 如图2-1d ),联系力个数与独立平衡条件个数相等,利用平衡条件: 0x F =∑ 0y F =∑ 0M =∑ 即可计算出两个刚片之间的三个联系力。 ●三刚片组成结构(双截面法) 先求一个铰(或虚铰)的两个联系力。切断两个铰(或虚铰)得到一个隔离体,有两种情况的隔离体。 首先,切断A 、B 铰得到第一个隔离体(如图2-2c),求B 铰的联系力,对A 铰取矩列平衡方程。 0A M =∑ 然后,切断C 、B 铰得到第二个隔离 体(如图2-2d),求B 铰的联系力,对C 铰取矩列平衡方程。 0C M =∑ 将上述两个平衡方程联立,即可求出B 铰的联系力。 (d)隔离体 2 图2-1 二刚片隔离体示意图 Bx (c)隔离体 (b)三链杆情况 (a)一链杆一铰情况 图2-2 三刚片隔离体示意图 Ax (c)部分隔离体 (a)三刚片取1-1截面 (d)整体隔离体 (b)三刚片取2-2截面
4结构力学典型例题解析 ●基附型结构(先附后基) 所谓基本部分就是直接与地基构成几何不变体系的部分;而不能与地基直接构成几何不变体系的部分称为附属部分,这类型结构称为基附型结构。 由于基本部分除了具备和地基构成几何不变所需要的联系外,还与附属部分有联系,若先取基本部分作隔离体,未知力的个数将很多。而附属部分的联系就比较少,因此,先选取附属部分作为隔离体进行求解,最后求解基本部分。 对于基附结构求解顺序是:先附后基。 2-1-2 快速弯矩图方法 ●利用微分关系 (1)无外荷载的直杆段,剪力为常数,弯矩图为直线; (2)无外荷载的直杆段,若剪力为零,则弯矩图为常数; (3)铰(或自由端)附近无外力偶作用时,铰(或自由端)附近弯矩为零; 有外力偶作用时,铰(或自由端)附近弯矩等于外力偶; (4)直杆段上有荷载时,弯矩图的凸向与荷载方向一致; (5)直杆段上仅有集中力偶作用时,剪力不变,弯矩图有突变但斜率相同。 ●悬臂梁法作弯矩图 一端自由的直杆件,当将刚结点当作固定端时,如果得到悬臂梁,那么该杆件可以当作悬臂梁作弯矩图。将这种作弯矩图的方法称为悬臂梁法。 ●简支梁法(区段叠加法)作弯矩图 从结构中任意取出的一个直杆段,若直杆段两端的弯矩已知,将两端弯矩当作外荷载(力偶),可以将该直杆段及其上作用的荷载一起放到简支梁上,得到一个简支梁,该直杆段可以按照简支梁方法作弯矩图。将这种作弯矩图的方法称为简支梁法。 ●利用刚结点力矩平衡 取刚结点作隔离体,利用力矩平衡条件可得到如下结论: (1)当刚结点连接两个杆件,无外力偶作用时,两个杆端弯矩一定等值同侧。 (2)连接刚结点的杆件只有一个杆端弯矩未知时,利用力矩平衡条件可以求出。 ●几种结点的内力特点 (1)铰结点传递剪力但不传递弯矩; (2)与杆轴线一致的定向结点传递弯矩但不传递剪力; (3)与杆轴线垂直的定向结点传递弯矩但不传递轴力; (4)与杆轴线一致的链杆结点传递轴力,但不传递弯矩和剪力; (5)与杆轴线垂直的链杆结点传递剪力,但不传递弯矩和轴力。 2-1-3 桁架特殊内力的计算 ●桁架零杆判断 如图2-3所示的两种杆件轴力为零的情况(可利用平衡条件证明)。
超静定结构 超静定结构 静定结构是没有多余约束的结构,结构体系中任何一个约束去掉后,结构都失去稳定性,成为机构,因而也就不能够继续承担荷载。因此,静定结构是相对危险的,任意约束失效后都会导致整体结构的失效。为了保证结构的安全性,需要对于静定结构增加约束,成为有多余约束的结构——超静定结构。 超静定结构有多余约束,当其中某个约束失效后,所承担的作用由其他约束承担,整体结构仍处于稳定状态,可以继续承担荷载,但是,超静定结构在失去部分或全部多余约束后,内力会出现重新分布的现象,是否破坏要重新计算。 超静定结构的思路 对于超静定结构,静定结构的解题思路是难以解决的:静定结构中无论是外力还是内力,均依靠力系平衡方程或方程组实现,但超静定结构的多余约束导致有效方程数少于未知数的数量。 因此,超静定问题宜从以下方面思考: 首先,如果结构整体是平衡的,结构内部任意组成部分、点、段落也一定是平衡的; 其次,对于任意多余约束是可以去掉的,并以相应的约束力来替代的,替代之后的结构各个部分依然平衡切除替代点外没有任何变化; 第三,结构中任意相临的、距离为0 的两点间的相对位移与转角均为0; 第四,弹性结构体系中,各个构件受力后产生的变形是协调的。 基于上面的基本思路,对于超静定结构常用的方法是力法与位移法。 力法 力法是计算超静定结构的基本方法,是利用结构的变形协调来实现的。 力法的基本思路是: 弹性结构体系中,各个构件受力后产生的变形是协调的; 除去多余约束后,以约束力替代原约束,并与结构等效;
除去约束后的结构在其上的外力系[P]的作用下,会产生各种变形,其中在除去约束后的原约束点的位移是:[Δ ] 结构原有的约束力也会导致结构在约束点的相关变形:[x][δ],[x]:除去的多余的约束,[δ]:当多余约束为 1 时的各个约束点变形。 但是在原结构中,被除去的多余约束点由于约束的作用,其相应的位移为0,因此有: [x][δ] +[Δp] =0 如果设多余约束为n个,则力法线性方程组为: x1δ11 + x2δ12 + x3δ13+…… + x nδ1n +Δ1p = 0 x2δ21 + x2δ22 + x3δ23+…… + x nδ2n +Δ2p = 0 x3δ31 + x2δ32 + x3δ33+…… + x nδ3n +Δ3p = 0 …… …… …… …… …… …… …… …… …… x nδn1 + x2δn2 + x3δn3+…… + x nδnn +Δnp = 0 其中:x i:第i个多余约束所形成约束反力,是 未知数; δij:如果第j个多余约束位置上,作用有与该多余约束性质相同的单位力,所形成的位于第i 个约束反力位置上的变形量; x iδij:第j个多余约束所形成约束力,导致的位于第i个约束反力位置上的变形量; Δip:除去多余约束后,结构外荷载系产生的,位于第i 个约束反力位置上的变形量; 根据虚功原理,可以求得δij,且根据互等定理,δij = δji ;同样,根据虚功原理也可以求得Δip,因此方程组是可解的; 求解出x1,x2,x3…… x n后,可将其视为与外荷载系共同作用于除去多余约束的静定结构 的荷载,随即可以求解并绘制相应的静定结构的内力图,进而求出最大内力截面与最大应力的位 置与量值,进行相关校核。
第14章静不定问题分析 14-1试判断图示各结构的静不定度。 题14-1图 解:(a)在平面受力时,一个封闭框具有三个多余内约束,此问题又具有一个多余外约束,故为四度静不定。 (b)若无中间铰,两边的刚架分开,二者均为静定刚架。安装此中间铰,使相连处在x、y两个方向的相对位移均受到约束,故为二度静不定。 (c)在平面受力时,一个封闭圆环有三个多余内约束,安装一个中间铰,减少一个约束,现安装两个中间铰,故为一度静不定。 (d)在平面受力时,一个封闭框有三个多余内约束,此框在左上角和右下角各有一个中间铰,减去两个约束,故为一度静不定。 14-2图示各刚架,弯曲刚度EI均为常数。试求支反力,并画弯矩图。
题14-2图 (a )解:方法1,常规解法 此为一度静不定问题。 如图14-2(a)之(1)所示,解除B 处水平约束,代以多余反力F Bx 。 图14-2(a) 由∑=0A M ,得 Bx By F l M F -= e 据图(1)与(2),列弯矩方程如下: ()1e 1x F l M x M Bx ?? ? ??-=, ()l F x F x M Bx Bx -=22 ()11x x M -=, ()l x x M -=22 将其代入 ()()()()??+= l l Bx x x M x M EI x x M x M EI Δ0 2220 1 11d 1d 1 并利用协调条件0=Bx Δ,可得 l M F Bx 2e = (←) 依据平衡条件,进而可得 l M F By 2e = (↑), l M F Ax 2e =(→), l M F Ay 2e =(↓)
9-1 同济大学朱慈勉 结构力学 第9章超静定结构的实用计算方法与概 念分析习题答案 9-1 试说出何为杆端转动刚度、弯矩分配系数和传递系数,为什么弯矩分配法一般只能用于无结点线位移的梁和刚架计算。 9-2 试用弯矩分配法计算图示梁和刚架,作出M 图,并求刚结点B 的转角φB 。 解:设EI=6,则5.1,1==B C A B i i 53.05 .13145.1347 .05 .13141 4=?+??==?+??=B C B A μμ 结点 A B C 杆端 AB BA BC 分配系数 固端 0.47 0.53 绞支 固端弯矩 -60 60 -30 0 分配传递 -7.05 -14.1 -15.9 0 最后弯矩 -67.05 45.9 -45.9 ()()() 逆时针方向215.216005.6721609.4522131m KN EI EI m M m M i AB AB BA BA B ?-=?? ? ???+---= ? ? ? ???---=θ (b) 解:设EI=9,则 9m 9m 6m 3m 3m 2m 6m 2m
9-2 3 ,31,1====B E B D B C A B i i i i 12.01 41333331 316.01 41333331 436 .0141333333 3=?+?+?+??==?+?+?+??==?+?+?+??==B C B A B E B D μμμμ 结点 A B C 杆端 AB BA BC B D B E 分配系数 固端 0.16 0.12 0.36 0.36 绞支 固端弯矩 0 0 0 45 -90 0 分配传递 3.6 7.2 5.4 16.2 16.2 0 最后弯矩 3.6 7.2 5.4 61.2 -73.8 ()()()顺时针方向22.1606.32102.732131m KN EI EI m M m M i AB AB BA BA B ?=?? ? ???---= ? ? ? ???---=θ 9-3 试用弯矩分配法计算图示刚架,并作出M 图。 (a) 解:B为角位移节点 设EI=8,则1==B C A B i i ,5.0= =B C B A μμ 固端弯矩()m KN l b l Pab M B A ?=????=+= 488212 443222 2 m KN l M B C ?-=?+-=582621 892 结点力偶直接分配时不变号 结点 A B C 杆端 AB BA BC 分配系数 铰接 0.5 0.5 固端弯矩 48 -58 12 4m 4m 8m 2m
第3章 静定结构的力分析习题解答 习题3.1 是非判断题 (1) 在使用力图特征绘制某受弯杆段的弯矩图时,必须先求出该杆段两端的端弯矩。( ) (2) 区段叠加法仅适用于弯矩图的绘制,不适用于剪力图的绘制。( ) (3) 多跨静定梁在附属部分受竖向荷载作用时,必会引起基本部分的力。( ) (4) 习题3.1(4)图所示多跨静定梁中,CDE 和EF 部分均为附属部分。( ) 习题3.1(4)图 (5) 三铰拱的水平推力不仅与三个铰的位置有关,还与拱轴线的形状有关。( ) (6) 所谓合理拱轴线,是指在任意荷载作用下都能使拱处于无弯矩状态的轴线。 ( ) (7) 改变荷载值的大小,三铰拱的合理拱轴线形状也将发生改变。 ( ) (8) 利用结点法求解桁架结构时,可从任意结点开始。 ( ) 【解】(1)正确; (2)错误; (3)正确; (4)正确;EF 为第二层次附属部分,CDE 为第一层次附属部分; (5)错误。从公式0 H /C F M f 可知,三铰拱的水平推力与拱轴线的形状无关; (6)错误。荷载发生改变时,合理拱轴线将发生变化; (7)错误。合理拱轴线与荷载大小无关; (8)错误。一般从仅包含两个未知轴力的结点开始。 习题3.2 填空 (1)习题3.2(1)图所示受荷的多跨静定梁,其定向联系C 所传递的弯矩M C 的大小为______;截面B 的弯矩大小为______,____侧受拉。 P 习题3.2(1)图 (2) 习题3.2(2)图所示风载作用下的悬臂刚架,其梁端弯矩M AB =______kN·m ,____侧受拉;左柱B 截面弯矩M B =______kN·m ,____侧受拉。 习题3.2(2)图 (3) 习题3.2(3)图所示三铰拱的水平推力F H 等于 。 习题3.2(3)图 (4) 习题3.2(4)图所示桁架中有 根零杆。 习题3.2(4)图
超静定结构的分析与求解 姓名李海龙专业土木工程年级2008级 摘要:本篇文章简要分析了超静定结构的判定方法和解决好景顶结构的基本方法—力法、位移法、力矩分配法。通过自由度判定超静定结构的次数,是桥梁中解决高次超静定的基本方法。文章主要分析各种方法解决超静定问题的步骤和需要注意的一些方面。关键词:超静定结构的分析力法位移法力矩分配法 Abstract:this article briefly analyzes the super statically determinate structure determination methods and solve the basic methods of Hualien roof structure -- force method, displacement method, torque distribution method. Through the freedom of judge super statically determinate structure solved in times of high times bridge is the basic methods of super quiescent set. The paper mainly analyses various methods to solve problems super quiescent steps and set some of the aspects of the needs attention. Keywords:super statically determinate structure analysis Force method Displacement method Torque distribution method 1 超静定结构分析 1.1超静定结构的判定 1.1.1自由度判定具有多余约束的结构称为超静定结构。结构具有多余约束的个数,即为超静定次数。多余约束可以是外部或内部的也可二者兼有。因而就有外部超静定,内部超静和内外部超静定结构之分。要快速准确判定结构超静次数必须注意以下几点:1.无论是梁式结构、框架(刚架)结构还是桁架结构都可以首先利用计算自由度公式大概判定结构可能的几何组成形式:W=3m-(2n+r)公式中:W:结构体系计算自由度数。m:结构体系刚片数(除地基这一特殊刚片外)。n:结构体系刚片与刚片之间连接铰数(复铰应换算成单铰),r:结构体系与地基相连的链杆数。①
第五节静定结构的内力分析 静定结构按其受力特性,可以分为静定梁、静定刚架、三铰拱、静定析架和静定组合结构。 一、静定梁 1 .截面内力分量及正负号规定 平面杆件的任一截面上一般有三个内力分量:轴力N ,剪力Q 和弯矩M 。内力的正负号一般规定为: ( 1 )轴力以受拉为正; ( 2 )剪力以绕隔离体顺时针方向为正; ( 3 )弯矩一般不规定正负号(对水平梁通常以使梁的下侧受拉为正)。 内力图一般以杆轴为基线绘制。弯矩图规定画在杆件的受拉侧,无需标明正负号;剪力图和轴力图则可画在杆件的任一侧(对水平杆件通常将正的剪力和轴力绘于杆件上侧), 但需标明正负号。 2 .截面法 截面法是结构内力分析的基本方法。截面法计算结构内力的基本步骤为: ( l )将结构沿拟求内力的截面切开。 ( 2 )取截面任一侧的部分为隔离体,作出隔离体的受力图;受力图中的力包括两部分:外荷载和截断约束处的约束力(截面内力或支座反力),未知截面内力一般假设为正号方向。 ( 3 )利用静力平衡条件计算所求内力。对于平面结构,一般情况下隔离体上的各力组成一平面任意力系,故有三个独立的平衡方程(投影方程或力矩方程): 特殊情况下,例如截取的是一个铰节点,则各丸组成一平面汇交力系,故有两个独立的投影平衡方程: 【例3 -9 】计算简支斜梁(图 3 -32 )在均布荷载作用下1 / 3 跨处的内力
( l )求支座反力 将梁(图3 -32a )沿三根支座链杆处截开,取梁整体为隔离体,作出隔离体的受力图如图3 -32 ( b )所示。由整体平衡条件,可得: ( 2 )求截面内力 在 1 / 3 跨截面 C 处截开,取AC 部分为隔离体,作出受力图如图 3 -32 (c)所示。由隔离体AC 的平衡条件(x、y方向分别沿截面的轴向和切向),可得: 注:计算截面C 内力时,也可先求出截面上的水平和竖向分力Xc 、Yc ( Xc =0 ) ,再将其沿切向和轴向分解得到截面的剪力和轴力。 3.梁式直杆的内力图特征
第二章 静定结构内力计算 一、是非题(正确的打√,错误的打×) 1、图示体系是一个静定结构。( ) 2、某刚架的弯矩图如图所示,则由此可以判断出此刚架在E 处必作用了一个水平向右的集中荷载,其大小为10kN 。( ) 30 5 M 图(KN m ×?) 3、已知某简支直梁的M 图如图(a )所示,其中AB 段为二次抛物线,BC 段为水平线,且在B 处M 图数值无突变,则其剪力图如图(b )所示。( ) (a ) (b ) 4、图示三种结构中,ABC 杆的内力是相同的。( ) (a ) (b ) (c ) 5、图(a )是从某结构中取出的一段杆AB 的隔离体受力图,则图(b )为该段杆的弯矩图,这是可能的。( )
(a ) (b) 6、图示结构的M 图的形状是正确的。( ) 7、对图示结构中的BC 段杆作弯矩图时,叠加法是不适用的。( ) 8、在图示结构中,支座A 处的竖向反力0=RA F 。 ( ) 9、图示结构中CA BA M M =。 ( )
10、图示结构中0BA CA M M ==。 ( ) 题10图 题11图 11、图示结构中AB 杆的弯矩为零。( ) 12、图示三铰拱,轴线方程为(x l x l f y ?=2 4),受均布竖向荷载q 作用,则拱内任一截面的弯矩等于零。( ) 题12图 题13图 13、图示桁架,因对称结构受反对称荷载,故AB 杆的轴力为零。( ) 14 、不受外力作用的任何结构,内力一定为零。( ) 15、对于图中所示同一结构受两种不同荷载的情况,其对应的支座反力相等,且内力图也相同。( ) (a) (b) 16、比较图a 和b 所示同一结构受两种不同的荷载可知,除CD 段弯矩不同外,其余各部分弯矩完全相同。( )
第3章 静定结构的内力分析习题解答 习题3.1 是非判断题 (1) 在使用内力图特征绘制某受弯杆段的弯矩图时,必须先求出该杆段两端的端弯矩。( ) (2) 区段叠加法仅适用于弯矩图的绘制,不适用于剪力图的绘制。( ) (3) 多跨静定梁在附属部分受竖向荷载作用时,必会引起基本部分的内力。( ) (4) 习题3.1(4)图所示多跨静定梁中,CDE 和EF 部分均为附属部分。( ) 习题3.1(4)图 (5) 三铰拱的水平推力不仅与三个铰的位置有关,还与拱轴线的形状有关。( ) (6) 所谓合理拱轴线,是指在任意荷载作用下都能使拱处于无弯矩状态的轴线。 ( ) (7) 改变荷载值的大小,三铰拱的合理拱轴线形状也将发生改变。 ( ) (8) 利用结点法求解桁架结构时,可从任意结点开始。 ( ) 【解】(1)正确; (2)错误; (3)正确; (4)正确;EF 为第二层次附属部分,CDE 为第一层次附属部分; (5)错误。从公式0 H /C F M f 可知,三铰拱的水平推力与拱轴线的形状无关; (6)错误。荷载发生改变时,合理拱轴线将发生变化; (7)错误。合理拱轴线与荷载大小无关; (8)错误。一般从仅包含两个未知轴力的结点开始。 习题3.2 填空 (1)习题3.2(1)图所示受荷的多跨静定梁,其定向联系C 所传递的弯矩M C 的大小为______;截面B 的弯矩大小为______,____侧受拉。 P 习题3.2(1)图 (2) 习题3.2(2)图所示风载作用下的悬臂刚架,其梁端弯矩M AB =______kN·m ,____侧受拉;左柱B 截面弯矩M B =______kN·m ,____侧受拉。
1、静定与超静定结构的概念:无多余约束的几何不变体系是静定结 构 静定结构:由静力平衡方程可求出所有内力和约束力的体系 有多余约束的几何不变体系是超静定结构 超静定结构:由静力平衡方程不能求出所有内力和约束力的体系. 瞬变体系不能作为结构:瞬变体系的主要特性为: 1.可发生微量位移,但不能继续运动 2.在变形位置上会产生很大内力 3.在原位置上,一般外力不能平衡 4.在特定荷载下,可以平衡,会产生静不定力 5.可产生初内力. 常变体系是一种机构而不是结构 2、静定结构的内力分析方法 几何特性:无多余联系的几何不变体系 静力特征:仅由静力平衡条件可求全部反力内力 求解一般原则:从几何组成入手,选择合适的隔 离体,使得一个隔离体上未知力的个数不超过三个,如果力系为平面汇交力系,则不应超过两个。一般按照几何组成的相反顺序分析。 一、单跨梁的内力分析 弯矩、剪力、荷载集度之间的微分关系 1.无荷载分布段(q=0),Q图为水平线,M图为斜直线。 2.均布荷载段(q=常数),Q图为斜直线,M图为抛物线,且凸向与荷载指向相
同。 3.集中力作用处,Q图有突变,且突变量等于力值; M图有尖点,且指向与荷载相同。 4.集中力偶作用处,M图有突变,且突变量等于力偶值; Q图无变化。 内力计算的关键在于:正确区 分基本部分和附属部分. 熟练 掌握单跨梁的计算. 单体刚架(联合结构)的支座反 力(约束力)计算 方法:切断约束,取一个刚片为 隔离体,假定约束力的方向,由隔离体的平衡建立三个平衡方程。 四.刚架弯矩图的绘制做法:拆成单个杆,求出杆两端的弯矩,按与单跨梁相同的方法画弯矩图. 分段定点连线 六.由做出的剪力图作轴力图 做法: 逐个杆作轴力图,利用结点的平衡条件,由已知的杆端剪力和求杆端轴力,再由杆端轴力画轴力图.注意:轴力图画在杆件那一侧均可,必须注明符号和控制点竖标.
第3章静定结构的内力分析 3.1 静力平衡 对于静定结构,用静力平衡条件可以求出其全部反力和内力;接下去求解超静定结构也必须用到平衡。可以说掌握静力平衡问题是我们继续学习的关键。 3.1.1 利用静力平衡求解支座反力 有两种体系的平衡问题是我们必须掌握的,它们是带有附属部分体系和三铰刚架体系。 1. 带有附属部分体系 这种体系在几何组成上可以分为基本部分和附属部分。形象比喻这种体系就像大人背孩子,大人相当于基本部分,孩子相当于附属部分,孩子依托大人平衡,即附属部分依靠基本部分才能保持平衡。 判别此类体系应按定义来划分。 基本部分:在竖向荷载作用下能独立保持平衡的部分。 附属部分:在竖向荷载作用下不能独立保持平衡,需要依靠基本部分才能保持平衡的部分。 这类体系的解题思路是先附属后基本。即先取附属部分为研究对象,求出约束反力,然后将已求出的反力看作已知力,再取基本部分或整体为研究对象,求出剩余约束反力。从受力分析上看,作用在附属部分上的荷载要传给基本部分,而作用在基本部分上的荷载不传给附属部分。 2. 三铰刚架体系 这类体系在几何组成上分不出基本部分和附属部分。其典型或称标准形式为三个铰联结而成的刚架。形象比喻这种体系就像两个舞蹈演员各自金鸡独立,同时各自伸出一只手搭在一起以求稳定和平衡。刚架的每部分各自都不能独立平衡而互相依靠在一起才能保持平衡。 这类体系的解题思路是先整体,后分部。先整体即先取整体为研究对象,利用整体平衡的取矩方程先求出两支座的竖向反力,然后分部,所谓分部是指任取刚架的左半部或右半部为研究对象,利用该部分的平衡建立向左右两部分的联接铰中心取矩方程,从而解出支座处的水平反力。接下去求其他反力即可。 【例3.1】试求如图3.1所示刚架A、D、E处的支座约束反力。 解:CE部分为附属部分,ABD部分是基本部分,且ABD是三铰刚架类体系。有附属部分体系解题时应先附属后基本,对基本部分解题时因其为三铰刚架类体系,应先整体研究再分部研究。
第四节超静定结构的受力分析及特性 一、超静定结构的特征及超静定次数 超静定结构的几何特征是除了保证结构的几何不变性所必须的约束外,还存在多余约束。 超静定结构的静力特征是仅由静力平衡条件不能唯一地确定全部未知反力和内力。 结构的多余约束数或用静力平衡条件计算全部未知反力和内力时所缺少的方程数称为结构的超静定次数。 通常采用去除多余约束的方法来确定结构的超静定次数。即去除结构的全部多余约束,使之成为无多余约束的几何不变体系,这时所去除的约束数就是结构的超静定次数。 去除约束的方法有以下几种: (一)切断一根两端铰接的直杆(或支座链杆),相当于去除一个约束。 (二)切断一根两端刚接的杆件,相当于去除三个约束。 (三)切断——个单铰(或支座固定铰),相当于去除二个约束;切断一个复铰(连接n根杆件的铰),相当于去除2(n—1)个约束。 (四)将单刚结点改为单铰节点,相当于去除一个约束;将连接n个杆件的复刚节点改为复铰节点,相当于去除n—1个约束。 去除一个超静定结构多余约束的方法可能有几种,但不管采用哪种方法,所得超静定次数一定相同。 去除图4—1a所示超静定结构的多余约束的方法之一如图4—1b所示,去除六个多余约束后,就成为静定结构,故为超静定六次。再用其他去除多余约束的方案确定其超静定次数,结果是相同的。 (a)(b) 图4-1
二、力法的基本原理 (一)力法基本结构和基本体系 去除超静定结构的多余约束,代以相应的未知力X i (i=1、2、…、n),X i 称为多余未知力或基本未知力,其方向可以任意假定。去除多余约束后的结构称为力法基本结构。力法基本结构在各多余未知力、外荷载(有时还有温度变化、支座位移等)共同作用下的体系称为力法基本体系,它是用力法计算超静定结构的基础。 选取力法基本结构应注意下面两点: 1.基本结构一般为静定结构,即无多余约束的几何不变体系。有时当简单超静定结构的解为已知时,也可以将它作为复杂超静定结构的基本结构,以简化计算。 2.选取的基本结构应使力法典型方程中的系数和自由项的计算尽可能简便,并尽量使较多的副系数和自由项等于零。
第四节超静定结构得受力分析及特性 一、超静定结构得特征及超静定次数 超静定结构得几何特征就是除了保证结构得几何不变性所必须得约束外,还存在多余约束。 超静定结构得静力特征就是仅由静力平衡条件不能唯一地确定全部未知反力与内力。 结构得多余约束数或用静力平衡条件计算全部未知反力与内力时所缺少得方程数称为结构得超静定次数。 通常采用去除多余约束得方法来确定结构得超静定次数。即去除结构得全部多余约束,使之成为无多余约束得几何不变体系,这时所去除得约束数就就是结构得超静定次数。 去除约束得方法有以下几种: (一)切断一根两端铰接得直杆(或支座链杆),相当于去除一个约束。 (二)切断一根两端刚接得杆件,相当于去除三个约束。 (三)切断——个单铰(或支座固定铰),相当于去除二个约束;切断一个复铰(连接n根杆件得铰),相当于去除2(n—1)个约束。 (四)将单刚结点改为单铰节点,相当于去除一个约束;将连接n个杆件得复刚节点改为复铰节点,相当于去除n—1个约束。 去除一个超静定结构多余约束得方法可能有几种,但不管采用哪种方法,所得超静定次数一定相同。 去除图4—1a所示超静定结构得多余约束得方法之一如图4—1b所示,去除六个多余约束后,就成为静定结构,故为超静定六次。再用其她去除多余约束得方案确定其超静定次数,结果就是相同得。 (a)(b)
图4-1 二、力法得基本原理 (一)力法基本结构与基本体系 去除超静定结构得多余约束,代以相应得未知力X i (i=1、2、…、n),X i 称为多余未知力或基本未知力,其方向可以任意假定。去除多余约束后得结构称为力法基本结构。力法基本结构在各多余未知力、外荷载(有时还有温度变化、支座位移等)共同作用下得体系称为力法基本体系,它就是用力法计算超静定结构得基础。 选取力法基本结构应注意下面两点: 1.基本结构一般为静定结构,即无多余约束得几何不变体系。有时当简单超静定结构得解为已知时,也可以将它作为复杂超静定结构得基本结构,以简化计算。 2.选取得基本结构应使力法典型方程中得系数与自由项得计算尽可能简便,并尽量使较多得副系数与自由项等于零。
建筑力学问题简答(七)超静定结构内 力计算 194.什么是超静定结构?它和静定结构有何区别? 答:单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。 从几何组成的角度看,静定结构是没有多余约束的几何不变体系。若去掉其中任何一个约束,静定结构即成为几何可变体系。也就是说,静定结构的任何一个约束,对维持其几何不变性都是必要的,称为必要约束。对于超静定结构,若去掉其中一个甚至多个约束后,结构仍可能是几何不变的。 195.什么是超静定结构的超静定次数? 答:超静定结构多余约束的数目,或者多余约束力的数目,称为结构的超静定次数。 196.超静定结构的基本结构是否必须是静定结构? 答:超静定结构的基本结构必须是静定结构。 197.如何确定超静定结构的超静定次数? 答:确定结构超静定次数的方法是:去掉超静定结构的多余约束,使之变为静定结构,则去掉多余约束的个数,即为结构的超静定次数。 198.撤除多余约束的方法有哪几种? 答:撤除多余约束常用方法如下: (1)去掉一根支座链杆或切断一根链杆,等于去掉一个约束。 (2)去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰,等于去掉两个约束。 (3)去掉一个固定端支座或把刚性连接切开,等于去掉三个约束。 199.用力法计算超静定结构的基本思路是什么? 答:用力法计算超静定结构的基本思路是: 去掉超静定结构的多于约束,代之以多余未知力,形成静定的基本结构;取多余未知力作为基本未知量,通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程,利用这一变形条件求解多余约束力;将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加,即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。 200.什么是力法的基本结构和基本未知量? 答:力法的基本结构是:超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。 201.简述n 次超静定结构的力法方程,及求原结构的全部反力和內力的方法。 答:(1)n 次超静定结构的力法方程 对于n 次超静定结构,撤去n 个多余约束后可得到静定的基本结构,在去掉的n 个多余约束处代以相应的多余未知力。当原结构在去掉的多余约束处的位移为零时,相应地也就有n 个已知的位移谐调条件:Δi =0(i =1,2,…,n )。由此可以建立n 个关于求解多余未知力的方程: 00 22112222212111212111=?++++=?++++=?++++nP n nn n n P n n P n n X X X X X X X X X δδδδδδδδδ 式中: δii 称为主系数,表示当X i =1作用在基本结构上时,X i 作用点沿X i 方向的位移。由于δ
第七章超静定结构 §7.1 超静定结构特性 ●由于多余约束的存在产生的影响 1. 内力状态单由平衡条件不能惟一确定,必须同时考虑变形条件。 2. 具有较强的防护能力,抵抗突然破坏。 3. 内力分布范围广,分布较静定结构均匀,内力峰值也小。 4. 结构刚度和稳定性都有所提高。 ●各杆刚度改变对内力的影响 1. 荷载作用下内力分布与各杆刚度比值有关,与其绝对值无关。 2. 计算内力时,允许采用相对刚度。 3. 设计结构断面时,需要经过一个试算过程。 4. 可通过改变杆件刚度达到调整内力状态目的。 ●温度和沉陷等变形因素的影响 1. 在超静定结构中,支座移动、温度改变、材料收缩、制造误差等因素都可以引起内力,即在无荷载下产生自内力。 2. 由上述因素引起的自内力,一般与各杆刚度的绝对值成正比。不应盲目增大结构截面尺寸,以期提高结构抵抗能力。 3. 预应力结构是主动利用自内力调节超静定结构内力的典型范例。 §7.2 力法原理 ●计算超静定结构的最基本方法 超静定结构是具有多余联系(约束)的静定结构,其反力和内力(归根结底是内力)不能或不能全部根据静力平衡条件确定。力法计算超静定结构的过程一般是在去掉多余联系的静定基本结构上进行,并选取多余力(也称赘余力)为基本未知量(其个数等于原结构的超静定次数)。根据基本体系应与原结构变形相同的位移条件建立方程,求解多余力后,原结构就转化为在荷载和多余力共同作用下的静定基本结构的计算问题。这里,基本体系起了从超静定到静定、从静定再到超静定的过渡作用,即把未知的超静定问题转换成已知的静定问题来解决。 ●基本结构的选择(解题技巧) 1. 通常选取静定结构;也可根据需要采用比原结构超静定次数低的、内力已知的超静定结构;甚至可取几何可变(但能维持平衡)的特殊基本结构。 2. 根据结构特点灵活选取,使力法方程中尽可能多的副系数δij = 0。 3. 应选易于绘制弯矩图或使弯矩图限于局部、并且便于图乘计算的基本结构。 4. 对称取基本结构;或利用对称性取半结构;或求弹性中心;以减少未知力数目,并使力法方程解耦。 ●力法典型方程 典型方程可写成矩阵形式: δX+ Δ = C (4.2.1) 式中,δ为柔度系数矩阵(对称方阵);X为多余未知力列阵;Δ为自由项列阵(外因作用下的广义位移列阵);C为原结构多余联系处的已知位移(不一定为零)列阵。 ●力法的解题步骤 1. 确定基本未知量,合理选取基本结构。 2. 根据多余联系处的位移(变形)协调条件,建立力法方程。
六超静定结构內力计算 1.什么是超静定结构?它和静定结构有何区别? 答:单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。 从几何组成的角度看,静定结构是没有多余约束的几何不变体系。若去掉其中任何一个约束,静定结构即成为几何可变体系。也就是说,静定结构的任何一个约束,对维持其几何不变性都是必要的,称为必要约束。对于超静定结构,若去掉其中一个甚至多个约束后,结构仍可能是几何不变的。 2.什么是超静定结构的超静定次数? 答:超静定结构多余约束的数目,或者多余约束力的数目,称为结构的超静定次数。3.超静定结构的基本结构是否必须是静定结构? 答:超静定结构的基本结构必须是静定结构。 4.如何确定超静定结构的超静定次数? 答:确定结构超静定次数的方法是:去掉超静定结构的多余约束,使之变为静定结构,则去掉多余约束的个数,即为结构的超静定次数。 5.撤除多余约束的方法有哪几种? 答:撤除多余约束常用方法如下: (1)去掉一根支座链杆或切断一根链杆,等于去掉一个约束。 (2)去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰,等于去掉两个约束。 (3)去掉一个固定端支座或把刚性连接切开,等于去掉三个约束。 6.用力法计算超静定结构的基本思路是什么? 答:用力法计算超静定结构的基本思路是: 去掉超静定结构的多于约束,代之以多余未知力,形成静定的基本结构;取多余未知力作为基本未知量,通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程,利用这一变形条件求解
多余约束力;将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加,即为原超静定结构在荷载作 用下产生的内力。 7.什么是力法的基本结构和基本未知量? 答:力法的基本结构是:超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。 8.简述n次超静定结构的力法方程,及求原结构的全部反力和內力的方法。 答:(1)n次超静定结构的力法方程 对于n次超静定结构,撤去n个多余约束后可得到静定的基本结构,在去掉的n个多余约束处代以相应的多余未知力。当原结构在去掉的多余约束处的位移为零时,相应地也就有n个已知的位移谐调条件:Δi=0(i=1,2,…,n)。由此可以建立n个关于求解多余未知力的方程: (6-5) 式中: δii称为主系数,表示当Xi=1作用在基本结构上时,Xi作用点沿Xi方向的位移。由于δii是Xi=1引起的自身方向上的位移,故恒大于零。可由自身图乘得出。 δij称为副系数,表示当Xj=1作用在基本结构上时,Xi作用点沿Xi方向的位移。可正可负也可等于零。由位移计算公式: