专题4 平面向量(1)

专题4 平面向量（1）

一、课前练习：

1.（ 05重庆）已知A （3，1），B （6，1），C （4，3），D 为线段BC 的中点，则向量AC 与DA 的夹角

为

（ ）

A ．

5

4arccos 2

-π

B ．5

4arccos

C ．)5

4arccos(-

D ．－)5

4arccos(-

2.

3.例

求

例（(2(O

四、课后练习：

1. 条件甲：“四边形A B C D 是平行四边形”是条件乙：“AB DC =

”成立的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分又不必要条件

2. 已知平面上直线l 的方向向量)5

3

,54(-

=e

，

点O (0,0)和A (1,-2)在l 上的射影分别是O 1和A 1，则11A O ＝λe

，其中λ＝（ ） A ．

511 B ．－5

11 C ．2 D ．－2 3. 下列条件中，不能确定三点A 、B 、P 共线的是 （ ）

A ．2020sin 33cos 33MP MA M

B =+ B ．2020

sec 33tan 33MP MA MB =-

4. 5.

6.(-

（.

，

且点B 的纵坐标大于零．（1）求向量AB 的坐标; （2）求圆x 2

－6x +y 2

+2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程;（3）是否存在实数a ，使抛物线y ＝ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由;若存在，求a 的取值范围．

11.

1. A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°

2.（05浙江）已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e

|，则（ ）

A ．a ⊥e

B ．a ⊥(a －e )

C ．e ⊥(a －e )

D ．(a ＋e )⊥(a －e )

3.（04

浙江）已知平面上三点A 、B 、C 满足3,4,5,AB BC C A ===

则AB BC BC CA CA AB

?+?+? 的值等于 .

二、例题选讲： 例1. 已知向量].2

,

0[),2

sin

,2(cos

),2

3sin

,23(cos

π

∈-==x x x b x x a 且 （1）求.||b a b a +?及（2）若||2)(b a b a x f +-?=λ的最小值为λ求,2

3-的值.

例2.（05上海卷）在直角坐标平面中，已知点()()()()n n n P P P P 2,,,2,3,2,2,2,133221 ，其中n 是正整

数，对平面上任一点0A ，记1A 为0A 关于点1P 的对称点，2A 为1A 关于点2P 的对称点，．．．，n A 为1-n A 关于点n P 的对称点。（Ⅰ）求向量20A A 的坐标；（Ⅱ）当点0A 在曲线C 上移动时，点2A 的轨迹是函数)(x f y =的图象，其中)(x f 是以3为周期的周期函数，且当(]3,0∈x 时，x x f lg )(=。求以曲线C 为图象的函数在(]4,1上的解析式；

（Ⅲ）对任意偶数n ，用n 表示向量n A A 0的坐标。

（备）例3.（04福建）设函数f(x)= a ·b ，其中向量a =(2cos x ，1)，b

=(cos x ，

3sin2x )，x ∈R.

（Ⅰ）若f(x)=1－3且x ∈[－3π，3π

]，求x ；（Ⅱ）若函数y=2sin2x 的图象按向量c =(m ，n)(|m|<2

π

)平

移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m 、n 的值.

1.

2.

3.1. 2.）2

（3.①()()0a b c c a b ?-?= ②b a b a -<- ③()()b a c a c b ?-?不与c 垂直 ④()()2

2

492323b a

b a b a -=-?+ 中，是真命题的有

（A ） ①②

（B ） ②③ （C ） ③④ （D ） ②④

4.（04全国1）已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|=

（A ）7

（B ）10 （C ）13 （D ）4

5.若向量 a 与b 的夹角为60

，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-

,则向量a 的模为（ ）

A ． 2

B ． 4

C ． 6

D ． 12

6.（04全国4）向量a 、b 满足（a －b ）·（2a+b ）=－4，且|a |=2，|b |=4，则a 与b 夹角的 余弦值等于

7. 8.9O

求

11．椭圆的两焦点分别为)1,0(1-F 、)1,0(2F ，直线4=y 是椭圆的一条准线． （1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且1||||21≥=-m PF PF 2121PF PF ?的最大值和最

小值．

例

||

m

n

→

→

+=

===

由已知||,5

m n →→

+=

得7cos().4

25

π

θ+

=

又2

cos()2cos (

)1,4

2

8

π

θ

π

θ+

=+

-

所以216cos (

).28

25θ

π

+

= 5942,,cos(

)0.cos(

).8

2

8

8

2

8

2

8

5

πθ

π

πθ

π

θ

π

πθπ<<∴

<

+

<

∴+

<∴+

=-

解法二：2

2

2

2

||()2.m n m n m m n n →

→

→

→

→→

→

→+=+=++

2

2

22

||||2.2[cos sin )sin co s m n m n θθθθ

→

→

→→

=++=+++

的

理得

,061212)13(2

222

=-+++k

x k x k

,1

3612,1

3122

2212

2

21+-=

?+-

=+∴k

k x x k

k x x

,1

3)1(621

36124)1

312(14)(1||2

2

2

22

2

2

2

212

212

++=

+-?

-+-

+=

-++=k

k k

k k

k k

x x x x k

MN

点O 到直线MN 的距离2

1|2|k

k d +=

,cot 63

4MON ON OM ∠=

?

即 ,0sin cos 63

4cos ||||≠∠∠=∠?MON

MON MON ON OM

,

6

3

4||.63

2,63

4sin ||||=

?∴=

∴=

∠?∴?d MN S MON ON OM OMN 即

).13(641||642

2

+=

+k k

k 整理

得

2

k

线

m 当,0

∴=e 解得

(t ,cot 63

4MON ON OM ∠=

? 即 ,0sin cos 6

3

4cos ||||≠∠∠=

∠?MON

MON MON ON OM

.63

2,63

4sin ||||=

∴=

∠?∴?OMN S MON ON OM

=

-?=

+=???||||2

121y y OE S S S OEN OEM OMN .)

3(24242

2

2

++t t ∴

2

2

2

)

3(2424++t t =

63

2，整理得.

32

4

t t

=

解得,3±=t 或.0=t 故直线m 的方程为,3

3233+

=

x y 或,3

3233-

-

=x y 或.2-=x 经检验上

述直线方程为.0≠?ON OM

所以所求直线方程为,3

323

3+=x y 或,3

323

3--=x y 或.2-=x

例

∵ y －010. 解：（1）设},{v u AB =，则由,0

|

|2||????

?=?=OA AB OA AB 即,0

34100

22????

?=-=+v u v u 得,86???==v u 或.8

6??

?-=-=v u

因为},

3,4{-+=+=v u AB OA OB

所以 v －3>0，得 v ＝8，故

}.

8,6{=AB

（2）由},

5,10{=OB

得B （10，5），于是直线OB 方程：.2

1

x y =由条件可知圆的标准方程为：（x －3）2＋（y

＋1）2

＝10，得圆心（3，－1），半径为.10设圆心（3，－1）关于直线OB 的对称点为（x ，y ），则

,23

102

1223

??????

?-=-+=-?-+x y y x 得,3

1??

?==y x 故所求圆的方程为（x －1）

2

＋（y －3）2＝10．

（3）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）为抛物线上关于直线OB 对称的两点，则

,

)

||[0,

]cos 0

||2cos .

2

a b x a b x π+==

=∈∴≥+=

则

（2）22()cos 22cos 2(cos )12[0,

]0cos 1.2

f x x x x x x π

λλλ=-=---∈≤≤,由，所以

当λ<0时，当且仅当cos x =0时，f (x )取最小值－1，与已知矛盾．

当0≤λ≤1时，当且仅当cos x =λ时，f (x )取最小值－1－2λ2，由已知得：－1－2λ2=－23，解得：

λ=

2

1．当λ>1时，当且仅当cos x =1时，f (x )取得最小值1－4λ，由已知得：1

,8

5,2

341>=

-

=-λλλ与矛盾．综上所述：λ=2

1为所求.

例2.解：（1）设点),(0y x A ，A 0关于点P 1的对称点A 1的坐标为),4,2(1y x A --

A 1（此当x （=例)=

－2

3

3

2

6

6

6

3

4

（Ⅱ）函数y=2sin2x 的图象按向量c=(m ，n)平移后得到函数y=2sin2(x －m)+n 的图象，即函数y=f(x)的图象.

由（Ⅰ）得 f(x)=2sin2(x +

12

π

)+1.∵|m|<

2

π

，∴m=-

12

π

，n=1.

三、课堂练习：1.C 2.B 3. 4

四、课后练习：1.B 2.C 3.D 4.C 5.C 6.2

1-

7. 13 . 8.)5

3

,5

4(-

9. （11，6）；

10.本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分

析和解决问题的能力。

解法1：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.23)(2t x x x f ++-='则

12

22

??

121212||||cos PF PF PF PF F PF ?=?∠

222

21

21212121212||||||818||||().44

2||||||||PF PF F F PF PF m PF PF m m PF PF PF PF +-?+=??

==+?-

由平面几何知识得 1212||||||||PF PF F F -≤

，即2m ≤，所以[1,2]m ∈．

令8()f x x x

=+

，设12,[1,2]x x ∈且12x x >，则121212

8()()()(1)0f x f x x x x x -=--

<，

所以函数()f x 在[1,2]上是单调递减的，从而当1m =时，原式取得最大值94

，当2m =时原式取得最小

值32

．

高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳

平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误： （1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 （5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 （6）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （7）若ma mb =，则a b =。

高三第二轮复习平面向量复习专题

数学思维与训练 高中（三） ------------向量复习专题 向量思想方法和平面向量问题是新考试大纲考查的重要部分，是新高考的热点问题。题型多为选择或填空题，向量作为中学数学中的一个重要工具在三角、函数、解几、立几等问题解决中处处闪光。最近几年的考试中向量均出现在解析几何题中，在解析几何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的运算性质、考查向量几何意义的应用，并直接与距离问题、角度问题、轨迹问题等相联系。 附Ⅰ、平面向量知识结构表 1． 考查平面向量的基本概念和运算律 此类题经常出现在选择题与填空题中，主要考查平面向量的有关概念与性质，要求考生深刻理解平面向量的相关概念，能熟练进行向量的各种运算，熟悉常用公式及结论，理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。 1．(北京卷) | a |=1，| b |=2，c = a + b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 2．(江西卷·理6文6) 已知向量 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 3．(重庆卷·理4)已知A （3，1），B （6，1），C （4，3），D 为线段BC 的中点，则向 量与 的夹角为 （ C ） A ． B ． C ． D ．－ 4．(浙江卷)已知向量≠，||＝1，对任意t ∈R ，恒有| －t |≥| －|，则 （ ） 向量 向量的概念 向量的运算 向量的运用 向量的加、减法 实数与向量的积 向量的数量积 两个向量平行的充要条件两个向量垂直的充要条件 定比分点公式 平移公式 在物理学中的应用 在几何中的应用

平面向量四心问题最全

近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如.下面就平面向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述： 一、重心问题 三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重 心”就在中线上. 例1 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上 不共线的三个点，动点P 满足： ，则P的轨迹一定通过△ABC 的（ ） Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心 解析：如图1，以AB，AC为邻边构造平行四边形ABCD，E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则，因为， 所以，上式可化为，E在直线AP上，因为AE为的中线，所以选 C. 点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合. 二、垂心问题 三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上. 例2 P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（）.

A．外心 B．内心 C．重 心 D．垂心 解析:由. 即. 则， 所以P为的垂心. 故选D. 点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合. 三、内心问题 三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上. 例3 已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足 ，则动点P一定过△ABC的〔〕. A、重心 B、垂心 C、外 心 D、内心 解析：如图2所示，因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.

高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典)

一,向量重要结论 （1）、向量的数量积定义：||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=， 22||a a a a ?== （2）、向量夹角公式：a 与b 的夹角为θ，则cos |||| a b a b θ?= （3）、向量共线的充要条件：b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈，使b a λ=。 （4）、两向量平行的充要条件：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -= （5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y += （6）、向量不等式：||||||a b a b +≥+，||||||a b a b ≥? （7）、向量的坐标运算：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a b ?=1212x x y y + （8）、向量的投影：︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 （9）、向量：既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等 向量：长度相等且方向相同的向量。 （10）、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝ 0 ?｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的， 且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） （11）、单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜ 0a ｜＝1 （12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ，要会求出直线的斜率； （2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; （3）给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点; （4）给出()+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; （5）给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,O C O A O B αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6） 给出λλ++=1OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即λ= （7） 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知 AMB ∠是锐角。 （ 8）给出=??λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+，等于已知ABCD 是菱形;

2021年高中数学-平面向量专题

第一部分：平面向量的概念及线性运算 欧阳光明（2021.03.07） 一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量；向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 减法求a与b的相反向量－b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|＝|λ||a|. (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向； 当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ ＝0时，λa＝0. λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线

段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 三．基础自测 1．化简OP →－QP →＋MS →－MQ → 的结果等于________． 2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量； ④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______． 3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b.若点D 满足BD →＝2DC →，则AD → ＝________(用b 、c 表示)． 4．如图，向量a －b 等于() A ．－4e1－2e2 B ．－2e1－4e2 C ．e1－3e2 D ．3e1－e2 5．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是 () A ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D 四．题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中正确的序号是________． 变式训练1 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由． (1)若向量a 与b 同向，且|a|＝|b|，则a>b ； (2)若|a|＝|b|，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且a 与b 方向相同，则a ＝b ； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作?OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13 CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中，AD →＝23 AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →＝a ，AC → ＝b ，用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1，e2是两个不共线向量，已知AB →＝2e1－8e2，CB →＝e1＋3e2，CD → ＝2e1－e2. (1)求证：A 、B 、D 三点共线； (2)若BF → ＝3e1－ke2，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．

平面向量专题

平面向量专题

向量专题 ☆零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的， 与任意向量平行 ☆单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0 a 为单位 向量?｜0 a ｜＝1 ☆平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量平 行向量也称为共线向量 ☆向量加法AB BC +=AC 向量加法有“三角形法则”与“平 行四边形法则”：AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首 尾相连”． ☆实数与向量的积： ①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长 度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ?=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时， λa 的方向与a 的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意 的 ☆两个向量共线定理： 向量b 与非零向量a 共线?有且只有一个实数λ，使得b =a λ ☆平面向量的基本定理： 如果2 1 ,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这

一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数2 1 ,λλ使： 2211e e a λλ+=，其中不共线的向量2 1 ,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 ☆平面向量的坐标运算： (1) 若()()1 1 2 2 ,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±±，12 12 a b x x y y ?=?+? (2) 若()()2 2 1 1 ,,,y x B y x A ，则() 2 121,AB x x y y =-- (3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy) (4) 若()()1 1 2 2 ,,,a x y b x y ==，则12 21//0 a b x y x y ?-= (5) 若()()1 1 2 2 ,,,a x y b x y ==，则a b ⊥，0 212 1 =?+?y y x x ☆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质 ☆两个向量的数量积： 已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a · b =︱a ︱·︱b ︱cos θ 叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定00a ?= ☆向量的投影：︱b ︱cos θ=|| a b a ?∈R ，称为向量 b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 ☆数量积的几何意义： a · b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积 ☆向量的模与平方的关系：2 2 ||a a a a ?== ☆乘法公式成立： ()()2 2 22 a b a b a b a b +?-=-=-；

平面向量(沪教版)

专题：平面向量的概念 知识梳理 1．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.例如：力，速度。 2．表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量 的方向.用小写字母a ，b …或用AB ，BC ，…表示. 注意：我们用有向线段表示向量，而不能认为向量就是一个有向线段. 3．模：向量的长度叫向量的模，记作a 或AB .向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. 4．零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0 ；零向量的方向不确定. 注意：0和0 是不同，0是一个数字，0 代表一个向量，不要弄混. 5．单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.a a a =0 注意：单位向量不是只有一个，有无数多个，如果把它们的起始点重合，终止点刚好可以构成一个单位圆。 6．共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. 注意：由于向量可以进行任意的平移，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向 量平行向量和共线向量是一个意思，对于两个非零向量b a ,，若存在非零常数λ使b a λ=是b a ∥的充 要条件. 7．相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 练习：★判断下列命题的真假 1、平行向量的方向一定相同的. ( × ) 解：有可能方向相反. 2、与零向量相等的向量必定是零向量. ( √ ) 3、零向量与任意的向量方向都相同。 ( √ ) 4、向量就是一条有向的线段。 ( × ) 5、若m n =，n k =，则m k =. ( √ ) 6、若,b a =，则.0=-b a (× ) 解：注意区分0和零向量.

高一数学必修4平面向量练习题及答案(完整版)

平面向量练习题 一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21-a +23b B 、21a 23-b C 、23a 2 1-b D 、2 3-a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与共线的单位向量是 （ ） A 、)10 10 ,10103(- = B 、)10 10 ,10103()1010,10103(-- =或 C 、)2,6(-= D 、)2,6()2,6(或-= 3、已知k 3),2,3(),2,1(-+-==垂直时k 值为 （ ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量=(2，1)， =(1，7)， =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA ?的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1(-==分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ） A 、 －1 ，2 B 、 －2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos α,sin β)，b =(cos α ,sin β )，则a 与b 一定满足 （ ） A 、a 与b 的夹角等于α－β B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i θθsin 3cos 3+=，i -=∈),2 ,0(π θ。若用 来表示与的夹角，则 等于 （ ） A 、θ B 、 θπ +2 C 、 θπ -2 D 、θπ- 8、设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是 （ ） A 、2 B 、3 C 、23 D 、 二、填空题 9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使BP AP ?取得最小值的点P 的坐标

(完整word版)高中数学-平面向量专题.doc

第一部分：平面向量的概念及线性运算 一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量；向量的大小叫做向量 平面向量是自由向量的(或称) 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作 0 单位向量长度等于的非零向量 a 的单位向量为± a 向量|a| 平行向量方向或的非零向量 0 与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则 (或几何 运算律意义 ) 加法求两个向量和的运算 求 a 与 b 的相反向量－ b 减法的和的运算叫做 a 与 b 的差 (1)交换律： a＋ b＝ b＋ a. (2)结合律： (a＋ b)＋ c＝ a＋ (b＋c)． a－ b＝ a＋ (－ b) 法则 求实数λ与向量 a 的积的(1)|λa|＝ |λ||a|. ；λ(μa)＝λμa； 数乘 (2)当λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向 运算当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向；当λ (λ＋μ)a＝λa＋μa； ＝0 时，λa＝ 0. λ(a＋ b)＝λa＋λb. 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得 b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说， 即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线 (或重合 )的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．

山东省高考数学一轮基础复习：专题12 平面向量

山东省高考数学一轮基础复习：专题 12 平面向量
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)
1. （2 分） (2016 高一下·黑龙江期中) 已知△ABC 中，D 是 BC 边的中点，过点 D 的直线分别交直线 AB、AC 于点 E、F，若 =λ ， =μ ，其中 λ＞0，μ＞0，则 λμ 的最小值是（ ）
A.1
B.
C.
D.
2. （2 分） (2019 高一下·湖州月考) 与向量
方向相反的单位向量是（ ）
A.
B.
C.
D.
或
3. （2 分） 如图所示，M，N 是函数
上运动，当△MPN 面积最大时
， 则 ω＝
（ω＞0）图像与 x 轴的交点，点 P 在 M，N 之间的图像 （）
第 1 页 共 18 页

A.
B.
C.
D.8
4. （2 分） (2018 高一下·集宁期末) 如图所示，点 ， ， 是圆 上的三点，线段
交于圈内一点 ，若
，
，则 （ ）
与线段
A. B. C. D. 5. （2 分） 如图，△ABC 中，∠C =90°，且 AC＝BC＝4，点 M 满足
，则
＝（ ）
A.2
第 2 页 共 18 页

B.3 C.4 D.6 6. （2 分） (2017 高二上·驻马店期末) 若 0＜x＜1，则 A.2 B . 1+2 C . 2+2 D . 3+2
的最小值为（ ）
7. （2 分） (2018 高二上·鄂尔多斯月考) 双曲线
的面积为 ，则
等于（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
的两个焦点为
，点 P 在双曲线上，
8. （2 分） 已知 D 为
的边 BC 的中点，
所在平面内有一点 P，满足，
设
则 的值为
（）
A.1
B. C.2
D.
第 3 页 共 18 页

平面向量四心问题(最全)

平面向量四心问题 近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如.下面就平面向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述： 一、重心问题 三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重 心”就在中线上. 例1 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不 共线的三个点，动点P 满足：， 则P的轨迹一定通过△ABC 的（） Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心 解析：如图1，以AB，AC为邻边构造平行四边形ABCD，E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则，因为， 所以，上式可化为，E在直线AP上，因为AE为的中线，所以选C. 点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合. 二、垂心问题 三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上.

例2 P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（　）. A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析:由. 即. 则， 所以P为的垂心. 故选D. 点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合. 三、内心问题 三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上. 例3 已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足 ，则动点P一定过△ABC的〔〕. A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

高中数学必修4知识点总结：第二章 平面向量

高中数学必修４知识点总结 第二章平面向量 １６、向量:既有大小，又有方向得量、数量:只有大小,没有方向得量、 有向线段得三要素:起点、方向、长度、零向量：长度为得向量、 单位向量:长度等于个单位得向量、 平行向量（共线向量):方向相同或相反得非零向量、零向量与任一向量平行、 相等向量:长度相等且方向相同得向量、 1７、向量加法运算： ⑴三角形法则得特点:首尾相连、 ⑵平行四边形法则得特点：共起点、 ⑶三角形不等式:、 ⑷运算性质：①交换律:; ②结合律:;③、 ⑸坐标运算:设,，则、 １８、向量减法运算： ⑴三角形法则得特点:共起点,连终点，方向指向被减向量、 ⑵坐标运算:设,,则、 设、两点得坐标分别为,,则、 19、向量数乘运算: ⑴实数与向量得积就就是一个向量得运算叫做向量得数乘,记作、 ①; ②当时,得方向与得方向相同;当时,得方向与得方向相反;当时，、 ⑵运算律：①;②；③、 ⑶坐标运算:设,则、 ２0、向量共线定理:向量与共线，当且仅当有唯一一个实数,使、 设,，其中，则当且仅当时,向量、共线、 21、平面向量基本定理:如果、就就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任意向量,有且只有一对实数、,使、(不共线得向量、作为这一平面内所有向量得一组基底) 22、分点坐标公式:设点就就是线段上得一点,、得坐标分别就就是,,当时,点得坐标就就是、(当 23、平面向量得数量积: ⑴、零向量与任一向量得数量积为、 ⑵性质:设与都就就是非零向量,则①、②当与同向时，;当与反向时,；或、③、 ⑶运算律：①;②;③、 ⑷坐标运算:设两个非零向量,，则、 若，则,或、设,，则、 设、都就就是非零向量,,,就就是与得夹角，则、 第三章三角恒等变换 24、两角与与差得正弦、余弦与正切公式: ⑴;⑵; ⑶;⑷； ⑸（); ⑹()、 25、二倍角得正弦、余弦与正切公式:

高二数学会考专题辅导练习 专题十二平面向量的坐标运算

专题十二 平面向量的坐标运算 （一）知识梳理： 1、平面向量的基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么，对于平面内的任一向量，_______________一对实数21,λλ，使得=_____________。 其中21,e e 叫做这一平面内所有向量的一组．． _______。 2、平面向量的坐标运算： （1）平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量j i ,作为基底，则对平面内任一向量a ，由平面向量的基本定理得，___________ 一对实数x 、y ，使得a =_____________，我们把(___，___)叫做向量a 的坐标，记 作___________。显然，______i =，______=，______=。 （2）平面向量的坐标运算： ①向量坐标的加减、数乘运算： 设),(),,(2211y x b y x a ==则=±(_______，_______),λ=(____，____). ②向量坐标与向量起点、终点的关系： 若O （0，0），A （x ，y ），则=（___，___）.知，从原点．．出发．． 的向量，向量 的坐标等于_____________。 若),(),,(2211y x B y x A ==，则=(_______，______).知，一个向量的坐标 等于____________________________。 (3)向量平行的坐标表示：设),(),,(2211y x b y x a ==，则?// _______________ 3、线段的中点坐标公式：设),(),,(2211y x B y x A ==，C 是线段AB 的中点， 则点C=（_______，________） （二）例题讲解： 考点1：平面向量的基本定理 例1（a 级）、已知12,e e 是两个不共线的向量，则下列几组向量中，可以作为基底的是（ ） A.113,2e b e a -== B. 0a =，1b e = C.121212,2a e e b e e =-=-+ D. 2121,e e e e +=-= 易错笔记： 例2（a 级）、实数x,y 满足3(10)(47)2xa y b y a xb +-=++，求x,y 的值. 易错笔记： 考点2：平面向量的坐标运算 例3（a 级）、若向量(1,1)a =,(1,1)b =-,(1,2)c =-,则c 等于 ( ) A 、1322a b -+ B 、1322a b - C 、3122a b - D 、3122 a b -+

平面向量四心问题(全)

平面向量四心问题(全)

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如.下面就平面向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述： 一、重心问题 三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重 心”就在中线上. 例1 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上 不共线的三个点，动点P 满足： ，则P的轨迹一定通过△ABC 的（ ） Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心 解析：如图1，以AB，AC为邻边构造平行四边形ABCD，E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则，因为， 所以，上式可化为，E在直线AP上，因为AE为的中线，所以选 C. 点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合. 二、垂心问题 三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上. 例2 P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC 的（）.

A．外心 B．内心 C．重 心 D．垂心 解析:由. 即. 则， 所以P为的垂心. 故选D. 点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合. 三、内心问题 三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上. 例3 已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足 ，则动点P一定过△ABC的〔〕. A、重心 B、垂心 C、外 心 D、内心 解析：如图2所示，因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质 知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.

三年高考(-)高考数学试题分项版解析-专题12-平面向量-理(含解析)

专题12 平面向量 考纲解读明方向 掌握平行四边形法则与三角形法则．3．向量共线的条件要结合向量数乘的意义去理解,并能灵活应用.４.向量的概念与运算是必考内容.5.本节在高考中主要考查平面向量的线性运算及其几何意义,分值约为5分, 分析解读１.理解平面向量基本定理的实质,理解基底的概念，会用给定的基底表示向量．2.掌握求向量坐标的方法,掌握平面向量的坐标运算.3.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线、解三角形等有关问题.4．用坐标表示的平面向量共线的条件是高考考查的重点,分值约为5分，属中低档题.

量积的应用几何问题； ②会用向量方法解决简单的力学问题 与其他一些实际问题2016山东,8; 2015重庆,6；2014重庆,４ 分析解读１．理解数量积的定义、几何意义及其应用．2.掌握向量数量积的性质及运算律；掌握求向量长度的方法.３.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题． 20１8年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知ａ，b,e是平面向量，e是单位向量.若非零向量ａ与e的夹角为，向量b满足ｂ2?４ｅ·b+３=0，则|a?b|的最小值是 Ａ. ?1 B. ＋1 Ｃ. 2 D. 2? 【答案】Ａ 【解析】分析:先确定向量所表示的点的轨迹,一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值． 详解：设,则由得， 由得因此的最小值为圆心到直线

的距离减去半径1,为选A． 点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法． 2.【２01８年理数天津卷】如图，在平面四边形ＡBＣD中，,,，. 若点E为边ＣD上的动点，则的最小值为 A. B． C. Ｄ. 【答案】A 【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系,然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示,最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则,，,, 点在上,则，设,则：,即,据此可得：,且：，，由数量积的坐标运算法则可 得:,整理可得：， 结合二次函数的性质可知,当时,取得最小值.本题选择A选项.

(完整版)19平面向量四心问题(最全).doc

1已知 O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足： ，则 P 的轨迹一定通过△ ABC 的（） Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心 2 P 是△ ABC所在平面上一点，若，则P是△ ABC的（）. A．外心B．内心C．重心D．垂心 3已知 P 是△ ABC所在平面内的一动点，且点P 满足 ，则动点P 一定过△ ABC的〔〕. A、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心 4 已知 O是△ ABC内的一点，若，则O是△ ABC的〔〕. A．重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心5.O 是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P 满足 AB AC ) ，0,，则动点P 的轨迹一定通过△ABC的（）OP OA( AB AC （ A）外心（B）内心 （ C）重心（D）垂心 6. O为△ ABC所在平面内一点，如果OA OB OB OC OC OA ，则O必为△ABC的（） （ A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心 7.已知 O 为三角形 ABC 所在平面内一点，且满足 22222 2 OA BC OB CA OC AB ，则点O是三角形ABC的（） （ A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心 8. 设O是平面上一定点，A、 B、C 是平面上不共线的三点，

动点 P 满足OP OA ( AB AC ) ，0, ，则动点 P 的轨迹一定通 AB cos B AC cosC 过△ ABC的 （） （ A）外心（ B）内心（ C）重心（ D）垂心 uuur uuur uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur 9.已知向量 OP1, OP2 , OP3满足条件OP1 OP2 OP3 0 ， | OP1 | | OP2 | | OP3 | 1 ，△ PP P 的形状是 1 2 3 10.ABC 的外接圆的圆心为 O ，两条边上的高的交点为 H ，uuur uuur uuur uuur OH m(OA OB OC ) ，则实数m = ． 11 在△ ABC内求一点 P ，使AP 2 BP2 CP 2最小． → →→→ → →→ 12（. + AC 且 AB ·AC = 1 , 则△ ABC 06 陕西）已知非零向量 AB 与AC 满足 ( AB )·BC =0 →→→→ 2 |AB | |AC | |AB | |AC | 为( ) A ．三边均不相等的三角形B．直角三角形 C．等腰非等边三角形D．等边三角形 已知三个顶点、、，若 2 ，则ABC 为 13. ABC A B CABAB AC AB CB BC CA （） A ．等腰三角形B．等腰直角三角形 C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形 14．ABC的外接圆的圆心为O，若OH OA OB OC ，则H是ABC 的（）15．已知ABC 三个顶点 A、 B、 C 及平面内一点P ，满足PA PB PC 0 ，若实数满足： AB AC AP ，则的值为（） A ． 2 3 D． 6 B ．C． 3 2 16．若ABC 的外接圆的圆心为O，半径为1，OA OB OC 0，则 OA OB ( ) A ．1 B． 0 C．1 D． 1 2 2 A ．外心 B ．内心C．重心 D ．垂心

专题七：平面向量常考题型的解题技巧

平面向量专题讲解 向量是数学中的重要概念，以向量为工具可以把几何问题（平面、空间）转化为简单的向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实现形与数的结合. 题型一：考查与向量概念有关的问题 ⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“a ＞b ”错了，而|a |＞|b |才有意义. ⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（力和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量. ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件. ⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（,）,其中x 、y 满足 +2x 2y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）. ⑸零向量0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段. 题型二：与向量运算有关的问题 ⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量（对应坐标相加）. ①当两个向量和不共线时，+的方向与、都不相同，且|+|＜||＋|b |； ②当两个向量和共线且同向时，+、、的方向都相同，且=+||||||+； ③当向量和反向时，若||＞||，+与 方向相同 ， 且|+|=||-||；

若|a |＜|b |时,b a +与b 方向相同，且|a ＋b |=|b |-|a |. ⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算. ⑶围成一周首尾相接的向量（有向线段表示）的和为零向量. 如，+AB +BC 0=CA ,（在△ABC 中） +++=.(□ABCD 中) ⑷判定两向量共线的注意事项 如果两个非零向量，，使=λb （λ∈R ），那么∥； 反之，如∥，且≠0，那么=λ. 这里在“反之”中，没有指出是非零向量，其原因为=0时，与λ的方向规定为平行. ⑸数量积的8个重要性质 ①两向量的夹角为0≤θ≤π.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数. ②设、都是非零向量，是单位向量，θ是与的夹角，则 ③?⊥)1|.(cos ||==?=?e a θ0=?（∵θ=90°，)0cos =θ ④在实数运算中ab =0a ?=0或b=0.而在向量运算中b a ?=0a ?=0或b =0是错误的，故0=a 或0=b 是b a ?=0的充分而不必要条件. ⑤当a 与b 同向时b a ?=||||b a ?(θ=0,cos θ=1); 当a 与b 反向时，b a ?=-||||b a ?(θ=π,cos θ=-1)，即a ∥b 的另一个充要条件是||||b a ?=?. 特殊情况有2=?=2 |a .

平面向量题型三三角形“四心”与向量结合

题型三 三角形“四心”与向量结合 (一)平面向量与三角形内心 1、O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 +=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ?的（ ） （A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 2、已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：0a PA b PB c PC ?+?+?=，则P 是三角形的（ ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 3、在三角形ABC 中，动点P 满足：CP AB CB CA ?-=22 2 ，则P 点轨迹一定通过△ABC 的： （ ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 (二)平面向量与三角形垂心 “垂心定理” H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ?=?=??点H 是△ABC 的垂心. 证明：由⊥?=??=-???=?00)(, 同理AB HC ⊥，⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略）） 4、已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的动点，且动点P 满足： 0PA PC PA PB PB PC ?+?+?=，则P 点为三角形的 （ ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 5、点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足?=?=?，则 点O 是ABC ?的 （ ） （A ）三个内角的角平分线的交点 （B ）三条边的垂直平分线的交点 （C ）三条中线的交点 （D ）三条高的交点 6、在同一个平面上有ABC ?及一点Ｏ满足关系式： 2 O A ＋2 BC ＝2 OB ＋2 CA ＝ 2 OC ＋2 AB ，则Ｏ为ABC ?的 （ ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 (三)平面向量与三角形重心 “重心定理” G 是△ABC 所在平面内一点，++=0?点G 是△ABC 的重心. 证明 图中GE GC GB =+

等和线解决的平面向量专题

1、【2014宁波二模理17】已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数．．．．x 、y ，使得AO xAB y AC =+，且21x y +=，则cos ∠BAC=． 解答：取AC 中点D ，则有2AO xAB y AC xAB y AD =+=+，而21x y +=，得点B,O,D 三点共线，已知点O 是△ABC 的外心，可得BD AC ⊥，故有BC=AB=3， AC=4，求得2 cos 3 BAC ∠=. 2、【2014杭州二模文8理6】设O △ABC 的外心（三角形外接圆的圆心）.若 3 1 31+= ，则BAC ∠的度数为（） A.30°B.45°C.60°D.90° 解答：取AC 中点D ，则有12 33 AO AB AD = +，得点B,O,D 三点共线，已知点O 是△ABC 的外心，可得BD AC ⊥，即有AO=BO=2DO ，故可求得60BAC ∠=?. 3、【2009浙江理样卷6】已知AOB ?，点P 在直线AB 上，且满足 ()2OP tPA tOB t R =+∈，则 PA PB =（）A.13B.1 2C.2D.3 解答：由已知212t OP OA tOB t = ++，点P 在直线AB 上，得2112t t t +=+，解得1t =-或12t =.当1t =-时，可得11 22OA OP OB =+，此时A 为PB 中点，PA PB =12；当12t =时， 可得11 22OP OA OB =+，此时P 为AB 中点， PA PB =1. 4、【2014浙江省六校联考理17】已知O 为ABC ?的外心，2AB a =，2 (0)AC a a = >，120BAC ∠=，若AO xAB yAC =+(x ,y 为实数)，则x y +的最小值为_____． 解答：如图，设AO BC E =，EO m =，AO R =，则易知 () 11R R AO AE x AB y AC R m R m = =+--，其中111x y +=，,2R m R ?? ∈???? ，故由已知可得R x y R m += -，所求取值范围是[)2,+∞. 5、【2013学年第一学期末宁波理17】已知O 为ABC ?的外心， 120,2,4=∠==BAC AC AB 。若21λλ+=，则=+21λλ__________. 解法1：如图，设AO BC E =，EO m =，AO R =，AF BC ⊥于F 点，OG BC ⊥于