论文初稿函数的极值和最值及其应用 结课论文

华北水利水电学院

函数的极值和最值及其应用

课程名称：高等数学（2）

专业班级：测控技术与仪器（89）班

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2012年5月27日

摘要:本文将通过函数极值和函数最值的相关理论、区别、联系及极值最值的求解方法，系统

的阐述函数极值最值，这一重要而且基础的函数性质，并让大家意识到部分极值最值问题是与实际问题有着密不可分的关系。然后运用给出的函数极值和最值知识，解决生活实际中的应用问题。

关键词：极值；最值；应用。 1.引言

函数的极值和最值不仅是函重要的基础性质,在实际经济活动中也有着重要的应用,对于不同类型的问题，我们应有一个系统而简便的方法，巧妙地运用进而达到熟练地掌握这些方法。而恰恰这些方法的终极解决，都归结于对函数极值和最值的求解。下面，就让我们系统的归纳和展示，函数极值和最值的相关问题及在生活实际中的各种应用！

2.函数极值的相关理论

2.1函数极值的定义

设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有()()0f x f x <，则()0f x 是函数()f x 的一个极大值。如果附近所有的点，都有()()0f x f x >，则()0f x 是函数()f x 的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。

费马定理：可导的极值点一定是稳定点极值点一定是稳定点或不可导点。数学函数的一种稳定值,即一个极大值或一个极小值，极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得。

若函数f 在点0x 处可导，且0x 为f 的极值点，则()00f x '=.这就是说可导函数在点取极值的必要条件是()00f x '=.

2.2极值的充分条件

定理1（极值的第一充分条件）

设f 在点0x 连续，在某邻域()00;U x δ内可导.

(1）若当()00,x x x δ∈-时()00f x '≤，当()00,x x x δ∈+时， 则f 在点0x 取得极小值. （2）若当()00,x x x δ∈-时()00f x '≥，当()00,x x x δ∈+时， 则f 在点0x 取得极大值. 定理2（极值的第二充分条件）

设f 在0x 的某邻域()00;U x δ内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且()()000,0f x f x '''=≠. （1）若()00f x ''<，则f 在0x 取得极大值. （2）若()00f x ''>，则f 在0x 取得极小值. 定理3（极值的第三充分条件）

设f 在0x 的某个邻域内,存在直到1n -阶导函数，在0x 处n 阶可导，且,则

(

)

()()()()0001,2,,1,0k n f x k n f x ==-≠ .

（1）当n 为偶数时，f 在0x 取得极值，且当()()00n f x <时取极大值，()()00n

f x >时取极小值;

（2）当n 为奇数时，f 在0x 处不取极值.

2.3函数极值的求解方法

2.3.1降元法

求多元函数极值的基本方法之一就是选择两个变量作为主元，而消去其他变量，化为二元函数求解。

例：已知2x y +=，求函数z =

解：由题设得2y x =-

z =

=

()2

280x -++≥

22x ∴--≤≤-+

即函数的定义域为：22?---+?

当2x =-时，max z =

当2x =-+min 0z = 2.3.2转化法

在函数极值法不易直接求解的情况下，应注意观察题型结构，分析题设特点，把复杂的问题转化为熟知的、易解的问题，通过其他途径求解。

+. 解：设

y =

+

令1255,5z x i z x i =-+=+

则：1212510y z z z z i =+≥+=+=

min y ∴= 2.3.3换元法

换元法是把问题进行转化的一种常用方法。 例：已知2221x y +=，求34z x y =-的极值.

解：2

2

2

2

21,112

y x y x +=∴+=

令)

()cos ,/202x y θθθπ==

<≤

则()3cos z θθθ?=-=+

（其中tan 3

?=

） ()cos 1θ?+≤

min max z z z ∴≤==

2.3.4判别式法

若所给函数式（可加约束条件）如能转化为以某个变量为主元的二次方程，则可用判别式

法求函数的极值。

例：已知,x y 满足22260x xy y -+-+=，求z x y =+的最小值. 解：由z x y =+得y z x =-代人约束条件并以x 为主元整理得：

()

224460x zx z -+-+=

()

22,161660x R z z ∈∴?=--+≥

解得: z ≥ （1）

当且仅当x =

=时（1）式取等号。

由,x y 的对称性知当x y ==时，

min z =其实，函数极值的解题方法不少,如不等式法、三角法、参数法,极坐标法、区间法等都有一定的技巧性.解题时应认真分析,审查题目的特征、结构、挖掘隐含条件,抓住特征,发挥联想,运用灵活多变的替代、转化,有时还需要反其常规,逆向思维,以退为进选择合理的解题方法,逐步提高解题技能,才能做到准确简捷地解题。

3.函数最值的相关理论

3.1函数最值的定义

3.1.1函数最值

设函数()f x 在X 区间上有定义，如果存在一点0x X ∈，使得()0f x 不小于其他所有的

()f x ，亦即

()()0,f x f x x X ≥∈ ， 则称()0f x 是在X 上的最大值，又可记为

()(){}0max f x f x = ；

同样使得()0f x 不大于其他所有的()f x ，亦即

()(),o f x f x x X ≤∈ ， 则称()0f x 是在X 上的最小值，又可记为

()(){}0min f x f x = .

3.2函数最值的求解方法

3.2.1导数法

闭区间上可导函数的最值来源于区间端点的函数值和函数在这个区间上的极值，而极值又来源于()0f x '=的根处的函数值。所以建议求可导函数在闭区间[a ，b]上的最值可分以下步骤进行：

1.求函数的导数

2.求函数在[a ，b]内令()0f x '=的x 的值（称之为“驻点” ）

3.判断驻点左右两侧()f x '的正负，以此判断函数曲线的走向（()0f x '>为上升，()0f x '<为下降），左边上升、右边下降的驻点处的函数值为极大值，反之为极小值。

4.如果函数驻点较多，分段讨论，并可以列表、画图表达

5.求最大值，将所有极大值和函数定义域区间端点的函数值一起比较，取最大的，则为最大值。最小值亦然。

例： 求函数()4225f x x x =-+在闭区间[-2，2]上的最大值和最小值。 解：先求导数得：()344f x x x '=-， 令()0f x '=即，3440x x -= 解得1231,0,1x x x =-==

计算得：()()()14,05,14,f f f -=== ()()213,213f f -==

比较得max min 13,4f f == 3.2.2几何法

例如：已知920750x y -+=，求函数

z =

+

解：本题的几何意义是在直线920750x y -+=上求一点Q ，使得Q 到点()()4,0,

4,0-的距离之和为最小。如图：

设：点12,P P 坐标为()()4,0,4,0-，直线l 的方程为920750x y -+=。由几何光学原理知当

点光源从1P 射出后，经镜面l 反射到点2P 。这时1

22PQ P Q MP += 就是所求的最小值。

设点2P 关于光线l 的对称点为()11,M x y ，于是

min 1

22Z PQ P Q MP =+= ，由 1

1120,49

4915*220

24y x y x ?=-??+?-?=+??

解得11202120

,3737x y =-

=

min

2

10

z MP ∴=== 其实，对于函数最值的求解，我们可以依据极值的求解。通过最值的定义与最值和极值的关系来求解最值。

4.极值的应用

4.1极值理论拯救生命

发生在1953年2月的海水倒灌灾难夺去了1800人的生命，毁坏了4.7万间居民住宅。此后，荷兰政府迫切需要修筑能保护该国数百年的新海防大堤。而后，1600万荷兰居民得到了极值理论公式的保护。由于荷兰一半以上的国土位于海平面之下，因此该国筑起一条条海堤加以防范。这些海堤根据极值理论的数学原理设计，用来对付大自然可能发起的最恶劣挑战。科学家们分析了该国有关此类极端事件的历史数据，得出了新建堤防5米高的标准。这时极值理论被用来确定，在不远的将来，再次发生灾难的机会微乎其微。

4.2极值理论在其他行业中的应用

例如保险业：保险公司需要对洪水、风暴和飓风等极端事件的发生机率进行评估，因而成为最早的受惠者之一。若高估了风险，保险费高得不切实际，可能吓走顾客；如果低估了风险，一旦事件发生，保险公司又会蒙受损失。根据极值理论，保险公司就可以制定更适当的保费水平，这对自己和客户都有利。

5.最值的应用

解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数。把实际问题翻译为数学语言,找出问题的关键,根据题中所给条件之间的相互关系,把问题化为常规问题。通过把主要关系近似化,形式化,抛开实际意义,抽象出一个数学模型,选择合适的数学方法求解。

5.1最大利润与最小成本问题

利润最大化与成本最小化是每一个生产企业孜孜以求的最高目标。要实现这一最高目标，首先要合理确定产品的产量，除了要考虑市场的需求外，还要考虑到产品的市场价格因素，这就需要研究成本、收益、利润与产量之间的依赖变化关系。

5.2税收额最大问题

问题归结为求解使税收收益最大的税率（税率收益是税率与实际的市场销售量的乘积）。假

设某地区经长时间征税试验，政府能够确定某产品市场的消费量与有关税率之间的关系是

t =（1）

其中t 表示产品的税率，x 表示市场消费的数量。由于税率等于t ，所以政府的收益R 就应等于税率和市场消费数量的积，即

()

12

2

273R xt x x

==- （2）

其中R 和t 被假设为非负值，R 的定义域为03x ≤≤，由于0x =和3x =时，R 都等于零，所以R 在0与3之间达到极大值。对（2）式求导数有

()

()()()11

22

22

2

122

1276273273602

273x R x

x x x x --'=-+--==-

解得驻点 2.12x ==， 将它代人（2）式，即收益7.79R =，

再将 2.12x ==代人（1）式，求得税率 3.67%t =。 所以当税率为3.67%时，政府可获得最大收益7.79.

5.3最大期望问题

对策论使用的最基本、最重要的概念是期望值。

例如：一堆产品有六个等级，其数量各为1

6

。各级品售出一件的盈利见下表1，试问该堆

产品每件平均销售盈利是多少？因为各级品出现的可能性相同，所以各级品出现的概率均为1

6

,

因此作表1 如下： 各级产品销售的期望值

1111*2*3*666

E =+++

（元）

这就说明，这堆有六个等级的产品每件平均销售盈利是3.5元。

5.4最优计划安排，最佳混合生产问题

在经济活动中，经常要考虑两个问题。一是确定了一项任务，研究怎样精打细算，使用最少的人力、物力去完成；二是已有一定数量的人力、物力，研究怎样合理安排，使他们发挥最大限度的作用，从而完成最多的任务。

综上所述，提高生产和工作效率，使企业获得最佳产出的经济效益，达到收入最大、成本最低或收益最高等，这无疑是企业决策者和管理人员们十分关心的问题。可见，函数最值的应用是如此之广，用处是如此之大！

6.结论

通过对函数极值和最值及其应用的学习，我们知道了极值和最值在函数值的计算上的重要性，及其函数极值和最值二者之间的区别和联系。我们可以通过极值的求解，深入到最值的求解方法，并且广泛推广，使得我们在对函数极值和最值的把握中能够更加得当，使极值和最值理论在生活中得到更充分的利用。而且通过本文更是证明了数学是人类生产生活必不可少的工具，它使我们的生活变得更快捷，更准确。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系，《数学分析》，上册，高等教育出版社

[2]姜启源,谢金星,叶俊编.《数学模型》 ,第三版,高等教育出版社

[3]盛豫编.《概率论与数理统计》,第四版,浙江大学

[4]朱石焕，连颖颖 .《数学分析选讲》，国防工业出版社