复合函数定义域、分段函数、映射

学之导教育中心教案

学生: 赖亦聪授课时间: 课时: 2 年级: 高一教师：廖

课题复合函数定义域、分段函数、映射

教学构架

一、知识回顾二、错题再现三、知识新授四、小结与预习

教案内容

一、知识回顾

1、函数表示方法

2、值域求解的常见方法

二、错题再现

本次内容掌握情况

总结教师签字学生签字

三、知识新授

（一）复合函数的定义域问题

例.已知()x f y =定义域为[]2,1，求(1)()12+x f 的定义域;(2)求??? ??+=412x f y +??? ?

?-412x f 定义域

练习：1、已知()12+x f 的定义域为，（1）求()x f y =的定义域；（2）求()12-x f 的定义域

2、若函数()

22-x f 的定义域为[]3,1，则函数()23+x f 的定义域为

3、若函数()x f y =的定义域为[]1,1-，则函数()12-x f 的定义域为

（二）、分段函数

例4. 已知函数()()()()??

???+=-=0,1,0,0,02 x x x t x x f 其中0 t ，

（1） 求()[]{}πf f f 的值；（2）若()5=x f ，求x 的值

练习：1.已知函数()()[)??

???∝+∈∝-∈=,0,0,,12x x x x x f ，求()1+x f

2、（1）已知()?????=+=0) x ( 00)(x π)0(1 x x x f ，求()[]{}1-f f f . （2）设()?????+≤--=,1,11,1,212 x x x x x f 求??

??????? ??21f f

3、已知动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D,再回到A ，设x 表示P 点的行程，y 表示PA 的长度，求y 关于x 的函数关系式

3. 画出下列函数的图像

（1）Z x x y ∈-=,1；（2）30,3422≤≤--=x x x y ；（3）1-=x y ；（4）()()

?????≥=1101x x x x y

4. 设函数()()()

()()

???????≥--+-≤+=1,11

11,221,12x x x x x x x f ，已知()1 a f ，求a 的取值范围

（三）映射

例5. (1)下列对应不是A 到B 的映射是( )

A.A ＝｛x ｜x ≥0｝，｛y ｜y ≥0｝，f:x →y ＝x 2

B.A ＝｛x ｜x ＞0或x ＜0｝，B ＝｛１｝，f:x →y ＝x 0

C.A ＝｛2,3｝,B ＝｛4,9｝，f:x →y(y 是x 的整数倍)

D.A ＝Ｒ，B ＝R ，f:x →y ＝2x (以上x ∈A ，y ∈B)

(2)若(x,y)在映射f 下的象是(x-y,x+y)，则在f 的作用下象 (1，-3)的原象是( )

A.(4，-1)

B.(-1，-2)

C.(-1，-1)

D.(4，-2)

练习

1.设A是坐标平面上所有点所组成的集合，如果由A到它自身的一一映射f，(x,y)→(y-1，x+2)，那么象(3，-4)的原象是( )

A.(-5，5)

B.(4，-6)

C.(2，-2)

D.(-6，4)

2.(1)从集合A＝｛1，2｝到B＝｛a,b｝的映射f个数为，一一映射个数为 .

(2)已知映射f:(x,y)→（x-y,x+y），则(-2，10)的原象是 .

(3)从集合A＝｛1,2,3｝到B＝｛a,b,c｝的一一映射f的个数为 .

3. 下图表示的是从集合X到集合Y的对应，其中能构成映射的是( )

4.在映射f:A→B中，下列说法中不正确的说法为( )

①集合B中的任一元素，在集合A中至少有一个元素与它相对应；

②集合B中至少存在一元素在集合A中无原象；

③集合B中可能有元素在集合A中无原象；

④集合B中可能有元素在集合A中的原象不至一个.

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④

第一讲 函数的定义域和解析式

函数的定义域和解析式 一． 知识点 1常见函数的定义域：①分母不为零；②被开偶次方的数大于等于零；③0x 中x 不等于0 ④log a x 中0,1a a >≠，0x >；⑤x a 中0,1a a >≠⑥tan x 中,2x k k Z ππ≠+ ∈ 2.抽象函数的定义域：①定义域是指自变量x 的范围；②()f 中，()内的取值范围相同。 3.同一函数的判断：两个函数有相同的定义域和解析式。 二． 常考题 1． 函数()lg 43 x y x -=-的定义域是___________ 2． 已知函数()3f x +的定义域是[]4,5-，则函数()23f x -的定义域是___________ 3． 设()2lg 2x f x x +=-，则22x f f x ????+ ? ????? 的 定义域是___________ 4． 已知函数()2lg 2194y mx m x m ??=++++??的定义域是R,则m 的取值范围是 ___________。 5． .若函数()253 x f x x -=-的值域为[)4,+∞，()f x 的定义域是. _________。 6． 已知函数()21f x x =-，()2,01,0x x g x x ?≥=?-

人教新课标版数学高一人教A必修1学案 .2分段函数及映射

第2课时 分段函数及映射 [学习目标] 1.掌握简单的分段函数，并能简单应用.2.了解映射概念及它与函数的联系． [知识链接] 1．函数的定义：设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . 2．作函数的图象通常分三步，即列表、描点、连线． [预习导引] 1．分段函数 在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 2．映射的概念 映射的定义：设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 要点一 分段函数求值 例1 已知函数f (x )＝???? ? x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2＜x ＜2， 2x －1，x ≥2. (1)求f (－5)，f (－3)，f [f (－5 2)]的值； (2)若f (a )＝3，求实数a 的值． 解 (1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)， －5 2∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4， f (－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－2 3.

∵f ????－52＝－52＋1＝－32，而－2<－3 2 <2， ∴f [f (－52)]＝f ????－32＝????－322＋2×????－32＝94－3＝－3 4. (2)当a ≤－2时，a ＋1＝3， 即a ＝2＞－2，不合题意，舍去． 当－2＜a ＜2时，a 2＋2a ＝3，即a 2＋2a －3＝0. 所以(a －1)(a ＋3)＝0，得a ＝1，或a ＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3?(－2,2)，∴a ＝1符合题意． 当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意． 综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1，或a ＝2. 规律方法 1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值． 2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． 跟踪演练1 已知函数f (x )＝????? 1x ＋1，x <1， x －1，x >1，则f (2)等于( ) A ．0 B.1 3 C ．1 D ．2 答案 C 解析 f (2)＝ 2－1＝1. 要点二 分段函数的图象及应用 例2 已知f (x )＝? ???? x 2 (－1≤x ≤1)， 1 (x ＞1或x ＜－1)， (1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域． 解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示． (2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .

求函数的定义域和值域的方法

解：求函数的定义域的常用方法 函数的定义域是高考的必考内容，高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的，具有隐蔽性，所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。 一，已知函数解析式求函数的定义域 如果只给出函数解析式（不注明定义域），其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围（称为自然定义域），这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是：（1）分式的分母不为零，（2）偶次根式的被开方数为非负数，（3）零次幂的底数不为零，（4）对数的真数大于零，（5）指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1，（6）三角函数中的正切函数y=tanx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠2 k π π+ ， k ∈z ｝和余切函数y=cotx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠k π，k ∈z ｝等。 例题一 求下列函数的定义域： （1） y=2）0+㏒（x —2）x 2 （2） 解：（1）欲使函数有意义，须满足 2≠0 x —1≥0 x —2＞0 解得：x ＞2 且 x ≠3 ，x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为（2，3）∪（3，5）∪（5，+∞） x ≠0 （2） 由已知须满足 tanx ﹥0 解得： k π ﹤x ﹤2 k π π+ （k ∈z ） x ≠2 k π π+ -4﹤x ﹤4 16—x 2 ﹥0 ∴ 函数的定义域为（-π，2 π - ）∪（0， 2 π ）∪（π，4） 二，复合函数求定义域 求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域，依次求，直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。 例题二（1）已知函数f （x ）的定义域为〔-2，2〕，求函数y=f （x 2-1）的定义域。 （2）已知函数y=f （2x+4）的定义域为〔0，1〕，求函数f （x ）的定义域。 （3）已知函数f （x ）的定义域为〔-1，2〕，求函数y=f （x+1）—f （x 2-1）的定义域。 （4）已知函数y=f （tan2x ）的定义域为〔0， 8 π 〕，求函数f （x ）的定义域。 分析：（1）是已知f （x ）的定义域，求f 〔g （x ）〕的定义域。其解法是：已知f

函数的定义域及函数的解析式解读

函数的定义域及函数的解析式 因为函数是现实世界对应关系的抽象或者说是对应关系的数学模型，它重要而且基本，不仅是数学研究的重要对象，也是数学中常用的一种数学思想，所以全面正确深刻理解函数概念则是我们教学的关键.其中函数的定义域是研究函数及应用函数解决问题的基础，即处理函数问题必须树立“定义域优先”这种数学意识.熟练准确地写出函数表达式是对函数概念理 解充分体现.下面，针对函数的定义域及函数解析式做进一步探讨. 一、函数的定义域 ［例1］求下列函数的定义域 (1)ｙ＝－22 1x ＋１ (2)ｙ＝4 22--x x (3)x x y +=1 (4)ｙ＝241+-+-x x (5)ｙ＝3 142-+-x x (6)ｙ＝)13(1 13-+--x x x (7)ｙ＝ x 1 11 11++ (8)ｙ＝3-ax （ａ为常数） 分析：当函数是用解析法给出，并且没有指出定义域，则使函数解析式有意义的自变量的全体所组成的集合就是函数的定义域. 解：(1)ｘ∈R (2)要使函数有意义，必须使ｘ２－４≠０得原函数定义域为｛ｘ｜ｘ≠２且ｘ≠－２｝ (3)要使函数有意义，必须使ｘ＋｜ｘ｜≠０得原函数定义域为｛ｘ｜ｘ＞０｝ (4)要使函数有意义，必须使? ??≥-≥-0401x x 得原函数的定义域为｛ｘ｜１≤ｘ≤4｝

(5)要使函数有意义，必须使?????≠-≥-0 3042x x 得原函数定义域为｛ｘ｜－２≤ｘ≤２｝ (6)要使函数有意义，必须使???≠-≠-0 1301x x 得原函数的定义域为｛ｘ｜ｘ≠31且ｘ≠１｝ (7)要使函数有意义，必须使??????? ????????≥++≠++≠+≠01111011110110x x x x 得 原函数的定义域为｛ｘ｜ｘ＜－１或ｘ＞０或－ 2 1＜ｘ＜０} (8)要使函数有意义，必须使ａｘ－３≥０得当ａ＞0时，原函数定义域为 ｛ｘ｜ｘ≥a 3｝ 当ａ＜0时，原函数定义域为｛ｘ｜ｘ≤a 3｝ 当ａ＝０时，ａｘ－３≥０的解集为?，故原函数定义域为? 评述：(1)求函数定义域就是求使函数解析式有意义的自变量取值的集合，一般可通过解不等式或不等式组完成. (2)对于含参数的函数定义域常常受参数变化范围的制约，受制约时应对参数进行分类讨论.例1中的(8)小题含有参数ａ，须对它分类讨论. ［例2］(1)已知函数ｆ（ｘ）的定义域为(0，1)，求ｆ（ｘ２）的定义域. (2)已知函数ｆ（２ｘ＋１）的定义域为(0，1)，求ｆ（ｘ）的定义域. (3)已知函数ｆ（ｘ＋１）的定义域为［－２，３］，求ｆ（２ｘ２－２）的定义域. 分析：(1)求函数定义域就是求自变量ｘ的取值范围，求ｆ（ｘ２）的定义域就是求ｘ的范围，而不是求ｘ２的范围，这里ｘ与ｘ２的地位相同，所满足的条件一样. (2)应由0＜ｘ＜1确定出２ｘ＋１的范围，即为函数ｆ（ｘ）的定义域. (3)应由－２≤ｘ≤３确定出ｘ＋１的范围，求出函数ｆ（ｘ）的定义域进而再求 ｆ（2ｘ２－２）的定义域.它是(1)与(2)的综合应用. 解：(1)∵ｆ（ｘ）的定义域为(0，1) ∴要使ｆ（ｘ２）有意义，须使0＜ｘ２ｘ＜０或０＜ｘ

分段函数及映射

对应学生用书P 102 基础达标 一、选择题 1．已知函数f (x )＝????? 1x ＋1，x <1， x －1，x >1，则f (2)等于( ) A ．0 B.13 C ．1 D ．2 解析：f (2)＝2－1＝1. 答案：C 2．函数f (x )＝x ＋|x | x 的图象是( ) 解析：f (x )＝? ???? x ＋1，x >0， x －1，x <0， 画出f (x )的图象可知选C. 答案：C 3．已知a 、b 为实数，集合M ＝{b a ，1}，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．±1 解析：∵f ：x →x ，∴M ＝N . ∴????? a ＝1， b a ＝0，解得a ＝1，b ＝0.∴a ＋b ＝1. 答案：C 4．已知映射f ：A →B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素都是集合A 中某个元素在映射f 下对应的元素，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a |，

则集合B 中的元素的个数是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 解析：∵|±3|＝3，|±2|＝2，|±1|＝1，|4|＝4， ∴B ＝{1,2,3,4}． 答案：A 5．函数f (x )＝???? ? 2x ，0≤x ≤1，2，12，则f (－4)＝________，又f (x 0)＝8，则x 0＝________. 解析：f (－4)＝(－4)2＋2＝18；令x 2＋2＝8，解得x ＝±6，∵x ≤2，∴x ＝－6；令2x ＝8，解得x ＝4.综上可知x 0＝－6或4. 答案：18 4或－ 6 8．设f (x )＝????? 3x ＋1，x ≥0，x 2，x <0，g (x )＝? ???? 2－x 2，x ≤1， 2，x >1，则f [g (π)]＝________，g [f (2)]＝ ________. 解析：f [g (π)]＝f (2)＝3×2＋1＝7，g [f (2)]＝g (7)＝2. 答案：7 2 9．若定义运算a ⊙b ＝? ??? ? b ，a ≥b ，a ，a

函数定义域几种类型及其求法

函数定义域几种类型及其求法 河北省承德县一中 黄淑华 一、已知函数解析式型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1、求函数8315 22-+--=x x x y 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足?????≠-+≥--0 8301522x x x 即???-≠≠-<>11535x x x x 且或 解得1135-≠-<>x x x 且或 即函数的定义域为{}1135-≠-<>x x x x 且或。 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况。 （一）已知)(x f 的定义域，求[])(x g f 的定义域。 其解法是：已知)(x f 的定义域是],[b a 求[])(x g f 的定义域是解b x g a ≤≤)(，即为所求的定义域。 例2、已知)(x f 的定义域为]2,2[-，求)1(2-x f 的定义域。 解：22≤≤-x ，2122≤-≤-∴x ，解得33≤≤- x 即函数)1(2-x f 的定义域为{}33≤≤-x x （二）已知[])(x g f 的定义域，求)(x f 的定义域。 其解法是：已知[])(x g f 的定义域是],[b a 求)(x f 的定义域的方法是：b x a ≤≤，求)(x g 的值域，即所求)(x f 的定义域。 例3、已知)12(+x f 的定义域为]2,1[，求)(x f 的定义域。 解：21≤≤x ，422≤≤∴x ，5123≤+≤∴x 。 即函数)(x f 的定义域是{}53|≤≤x x 。

高中数学-函数的解析式和定义域

6 函数的解析式和定义域 一、基础训练 1．函数的定义域是． 2．已知函数的定义域为，则的定义域为． 3．在一定范围内，某种产品的购买量吨与单价元之间满足一次函数关系．如果购买1000吨，每吨800元；购买2000吨，每吨700元．那么客户购买400吨，单价应该是元． 4．已知，则． 5．若函数的定义域为，则实数的取值范围是． 6．若函数，那么． 7．（2011江西卷）若函数，则函数的定义域是． 8．若函数的定义域为实数集，则实数的取值范围是．二、例题精讲 例1．求下列函数的定义域． （1）；（2）； （3）． 例2．已知函数的定义域为，求下列函数的定义域． （1）；（2）． 例3．（1）设二次函数的最大值为13，且，求的解析式；（2）已知，求的解析式和定义域． 例4．已知函数，其中．

（1）求函数的定义域； （2）若对任意，恒有，求的取值范围． 三、巩固练习 1．已知，则． 2．函数的定义域是． 3．若（），则， ． 4．设函数的定义域为，函数的定义域为，若，则实数的取值范围是． 四、要点回顾 1．函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域．求函数表达式的主要方法有：待定系数法、换元 法等．如果一直函数解析类型，可以用待定系数法．已知复合函数的表达式时，可用换元法，这时要注意“元”的取值范围． 2．函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围． （1）定义域经常作为基本条件（或工具）出现在高考题中，通过函数性质或函数应用来考察，具有隐蔽性，所以在解决函数问题时，必须树立起“定义域优先”的观点． （2）确定定义域的原则是： 1当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合． 2当函数用图像给出时，函数的定义域是指图像在轴上投影所覆盖的实数的集合． 3当函数用解析式给出时，函数的定义域就是指使解析式有意义的自变量取值的集合． 4当函数用实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定． 函数的解析式和定义域作业

求函数的定义域及解析式

高一数学必修1 编号:SX--01--06 《求函数的定义域及解析式专题》导学案 撰稿:张娜 审核: 涂珎 时间:2010.9.5 姓名: 班级: 组别: 组名:____________ 【学习目标】 1、熟练掌握求具体函数和抽象函数的定义域的一般方法； 2、熟练运用换元法、待定系数法、解方程组等方法求函数的解析式. 【重点难点】 重点：求函数的定义域及解析式 难点：求函数的定义域及解析式 【知识链接】 函数的三要素：定义域、解析式、值域 【学习过程】 知识点一：求具体函数的解析式 例1求下列函数的定义域： （1）x y 213- =； （2）x x y ---= 11； （3）30 +=x x y ； （4）11+?-=x x y . 点拨：求具体函数的定义域，其实质是求使解析式各部分有意义的未知数的取值范围. 知识点二 求抽象函数的定义域 抽象函数是没有明确给出具体解析式的函数，求抽象函数的定义域问题主要有四种题型： 题型一：已知的定义域的定义域，求 ))(()(x g f x f 解法：若b x g a x g f b x a x f ≤≤≤≤)())(()(中，则的定义域为，从中解得x 的取值范围即

为))((x g f 的定义域 例2、已知函数的定义域求的定义域为)5(],5,1[)(--x f x f . 题型二：已知的定义域的定义域，求)())((x f x g f 解法：若)()(,))((x g u x g n x m n x m x g f =≤≤≤≤的范围，设确定则由的定义域为， 则的定义域的范围即为是同一函数，所以与又)()()()(),())((x f x g x f u f u f x g f = 例3、已知函数的定义域，求函数的定义域是)(]3,0[)1(x f x f -. 题型三：已知的定义域的定义域，求))(())((x h f x g f 解法：先由的的定义域求得的定义域，再由定义域求得))(()()())((x h f x f x f x g f 定义域 例4、若函数的定义域求的定义域为)1(],2,2 1[)1(--+x f x f . 题型四：求运算型的抽象函数（由有限个抽象函数经四则运算得到的函数）的定义域 解法：先求出各个函数的定义域，再求交集 例5、若的定义域，求的定义域为 )()()(]5,3[)(x f x f x x f +-=-?.

高中数学-函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

1求函数定义域类型几方法(word版)

函数定义域的类型及求法 一、已知解析式型（所有同学一定要会的） 二、含参问题（很重要） 三、抽象函数（复合函数）的定义域 1已知()f x 的定义域，求[]()f g x 的定义域 其解法是：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[] ()f g x 的定义域．

例1 已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 分析：该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围． 解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033?????? ，． 2、已知[]()f g x 的定义域，求()f x 的定义域 其解法是：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域． 例2 已知函数2(22)f x x -+的定义域为[] 03，，求函数()f x 的定义域． 分析：令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=， 由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域． 解：由03x ≤≤，得21225x x -+≤≤． 令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤． 故()f x 的定义域为[]15，． 3，已知[]()f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域 其解法是：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的取值范围即为()h x 的取值范围，由()h x 的取值范围即可求出 [()]f h x 的定义域x 的取值范围。 例2 已知函数(1)f x +的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 分析：令1,35u x t x =+=-，则(1)(),(35)()f x f u f x f t +=-=， (),()f u f t 表示的是同一函数，故u 的取值范围与t 相同。 解：()f x 的定义域为[]15-，，即15x ∴-≤≤016x ∴+≤≤。 056x ∴-≤3≤

求函数的定义域与值域的常用方法完整版

求函数的定义域与值域 的常用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

求函数的定义域与值域的常用方法 引入： 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值? 一、求函数的解析式 （一）解析式的表达形式 （解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。） 1、一般式 （是大部分函数的表达形式） 例：一次函数：b kx y +=)0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ， []=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f （二）解析式的求法 （根据已知条件求函数的解析式，常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值（式）法、方程法等。） 1. 配凑法 例1.已知 ：23)1(2+-=+x x x f ，求f(x)； 解：因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 例2、已知：221)1(x x x x f +=+，求)(x f 。 解： 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制。 2.换元法 例1.已知：x x x f 2)1(+=+，求f(x); 解：令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则 则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 所以)1(1)(2≥-=x x x f 例2、已知：11)11(2-=+x x f ，求)(x f 。

高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题

1、分段函数已知???>-≤+=) 0(2)0(1)(2x x x x x f 则 （1）若=)(x f 10，则x= ；（2）)(x f 的值域为 _____. 2、画出下列函数的图象（请使用直尺） (1) Z x x y ∈-=,22且 2≤x (2) x x y -=2 3、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ， 试写出线段AP 的长度y 与P 点的行路程x 之间的函数关系式。 4、根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式 观察法(1)221)1(x x x x f +=+ 方程组法x x f x f 3)1(2)()2(=+ D P C P A P B

换元法（3）13)2(2++=-x x x f 待定系数法 （4）已知()x f 是一次函数，且满足()()1721213+=--+x x f x f ,求()x f 。 （复合函数的解析式）---代入法 （5）已知1)(2-=x x f ，1)(+=x x g ，求)]([x g f ]和)]([x f g 的解析式。 5、抽象函数的定义域的求解 1、若函数)(x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(-x f 的定义域为 。 2、若函数)1(2-x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(+x f 的定义域为 。 练习：1、若x x x f 2)1(+=+,求)(x f 。 2、函数)(x f 满足条件10)()(+-=x xf x f ，求)(x f 的解析式。 3、已知)(x f 是二次函数，且满足()10=f ,()()x x f x f 21=-+，求()x f 的表达式。 4、若()32+=x x f ，)()2(x f x g =+，求函数)(x g 的解析式 5、已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ；

函数的解析式以及定义域的求法讲义

函数的解析式以及定义域的求法 一：学生情况及其分析：上海高一学生，不等式学完了，国庆没有上课，这节课给她巩固求解析式的方法，思维灵活，自己动手能力挺好，所以有些例题有留给她一定的思考空间。 二：教学目的： 1.学习函数的表示方法中的解析式的求法， 2.会求解简单函数以及复合函数的定义域 三：教学设计： 1，教学回顾：函数的概念是什么？函数的三要素是什么？函数的表示方法有哪些？ 2，教学过程： 一、解析式的求解 （一）换元法： 已知f （g(x)）,求f(x)的解析式，一般的可用换元法，具体为：令t=g(x),再求出f(t)可得f （x ）的解析式。换元后要确定新元t 的取值范围。 例1．若x x x f -=1)1(,求)(x f . 分析：怎么能由)1(x f 的解析式得到)(x f 的解析式，他们的联系是什么？ 练习1．已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 练习2.已知) 123f x =+，求()f x 的表达式。 思考：已知2 21)1 (x x x x f +=+，求()f x 的表达式。 分析：题型好像和上面一样，是不是能用同样的方法做出来？ （二）配凑法： 把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式，再把g(x)用x 代替。 一般的利用完全平方公式 例2．若x x x f 2)1(+=+,求)(x f . 分析：观察怎么才能得到f(x)？ 练习1．已知) 123f x =+，求()f x 的表达式。

（三）待定系数法： 已知函数模型（如：一次函数，二次函数，指数函数等）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数 例3. 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 分析：对于一次函数的解析式，我们是不是很熟悉，那能不能先设出他的一般形式呢？ 练习1．已知f (x )是二次函数，且满足f (x +1)+f (x －1)=2x 2－4x ，求f (x )． 练习2.已知一次函数()f x ，()()1223f x f x x -+=+，求函数()f x 的解析式。 （四）解方程组法: 求抽象函数的解析式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，利用消元法求f （x ）的解析式 例4． 设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 分析：我们用1/x 去代替x 试试看有什么惊人的效果！ 练习1.若x x x f x f +=-+1)1()(,求)(x f . （五）特殊值法; 一般的，已知一个关于x,y 的抽象函数，利用特殊值去掉一个未知数y ，得出关于x 的解析式。 例5：已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立， 求)(x f 分析：题干中信息太少？就用你能看得见的条件呗，那令谁等于0呢？ 练习1.函数f(x)对一切实数x,y 均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立，且f(1)=0.求f(x)的解析式。 练习2.已知(0)1,()()(21),f f a b f a b a b =-=--+求()f x 。 （六）代入法： 求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例6.已知：函数)(2 x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 分析：两点关于某点对称时有什么特征？

高中函数定义域和值域的求法总结(十一种)

高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ? ??>-≥②①0x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而 3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项

高一数学 函数的解析式、定义域和值域

函数的解析式、定义域和值域 一、知识梳理 1．函数的概念 设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作 )(x f y =，A x ∈． 函数的本质含义是定义域内任一x 值，必须有且仅有惟一的y 值与之对应． 函数的定义域与值域：函数的定义中，自变量x 取值的范围叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合 {}A x x f y y ∈=),(叫做这个函数的值域． 确定一个函数的两个要素：定义域，对应法则． 函数好比数的加工厂，定义域是加工范围，值域是产品系列，f 是加工手段． 2．函数的表示法：列表法，图象法，解析法． 图象法和解析法是考查的重点． 3．映射的概念 设A ，B 是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中有一个且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射． 这时，称y 是x 在映射f 作用下的象，记作)(x f ，于是y ＝)(x f ，x 称作 y 的原象． 映射f 也可记为 B A f →: )(x f x → 其中A 叫做映射f 的定义域，由所有象)(x f 构成的集合叫做映射f 的值域． 二、方法归纳 求函数的解析式的一般方法：配凑法、换元法、待定系数法、特殊值法等等． 求函数的定义域的一般原则：分母不为零，偶次根下的式子不负，零的零次幂没意义，零和负数无对数，等等． 求函数的值域的常见方法：直接法、配方法、换元法、判别式法、数形结合法、反函数法、单调性法等等． 判断某“对应法则”是否为A→B 的映射，主要表现为“一对一”及“多对一”的两种特殊对应；应特别注意：①A 中任一元素在B 中应有象，且象唯一；②B 中可以有空闲元素，即B 中可以有元素没有原象． 三、典型例题精讲

函数的定义域值域及解析式

函数的定义域值域及解 析式 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-

函数的定义域、值域及解析式【教学目标】 1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。 3.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域 【教学重难点】函数定义域、值域以及解析式的求法。 【教学内容】 1.定义 高中函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A →B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．如：f(x)=x2 f(x)=2x+2等 （1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； （2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 函数解析式定义域值域 一次函数y=ax+b(a≠0) 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 反比例函数 (k为常数， k≠0） 注意：

1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 例. 判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？ （1）f ( x ) = (x -1) 0；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x ； g ( x ) = （√x ）2 （3）f ( x ) = x 2；g ( x ) = (x + 1) 2 （4）f ( x )=x 2-2x+2, g ( x )=t 2-2t+2 3．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间；“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”。 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <． 练习、请用区间表示 （1）{|12}x x <<=____________， {|01}x x ≤≤=____________， {|10}x x -≤<=____________， {|23}x x <≤=____________， （2）{|}x x a ≥=____________， {|}x x a >=____________，

分段函数及映射

分段函数及映射

第2课时分段函数及映射 [学习目标] 1.掌握简单的分段函数，并能简单应用.2.了解映射概念及它与函数的联系. 知识点一分段函数 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数. 思考分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？分段函数的定义域和值域分别是什么？ 答分段函数是一个函数，而不是几个，各段定义域的并集即为分段函数的定义域，各段值域的并集即为分段函数的值域. 知识点二映射 映射的定义：设A、B是两个___的集合，如果

按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的_______元素x ，在集合B 中都有_______的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射. 思考 函数与映射有何区别与联系？ 题型一 分段函数求值 例1 已知函数f (x )＝????? x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2＜x ＜2，2x －1，x ≥2. (1)求f (－5)，f (－3)，f [f (－52 )]的值； (2)若f (a )＝3，求实数a 的值. 跟踪训练1 (1)若f (x )＝??? x 2，x ≥0，－x ，x <0，则f [f (－2)]等于( )

A.2 B.3 C.4 D.5 (2)已知函数f (x )＝??? 3x ＋1，x ≤1，－x ，x >1，若f (x )＝2，则x ＝________. 题型二 分段函数的图象及应用 例2 已知f (x )＝??? x 2， －1≤x ≤1，1， x ＞1或x ＜－1， (1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域. 跟踪训练2 作出y ＝????? －7，x ∈(－∞，－2]，2x －3，x ∈(－2，5]，7，x ∈(5，＋∞) 的图象，并求y 的值域.

(完整版)1求函数定义域类型几方法(word版)

函数定义域的类型及求法 、已知解析式型(所有同学一定要会的) 即给出函数的解析式的定义域求袪，苴解袪是由解析式有意义列出关于自变量的不等 式或不等式组■解此不等式(或组)即得原函数的定义域° Jx 1 - 2x - 1^ 例求函数p 二 _ 的定文域. I - 15 >0 f Y > 5或丫 < -3 解*要使函数有意5C 则必须满足］ ' - 即J ”工+引―8工0 ［工疋5且工工―11 解得r > §或斗< 且里工一11 即口数的定义域为{工r > 5或藍丈-3且工上-11 } o 二、含参问题(很重要) 例乳已知函数$ = J 沁亍一6沁一澈十8的定义境为E 求实数战的取值范围° 分析；函数的定文域为R ，表明他：-6林亠用十S 乙0 ,使一切工E R 都成立，由厂 项的系數是刖，所以应分刪=0或旳黑0进行讨论d 解.讨论. ① 当也二0时，函数的定义域为R ; ② 当用=0时，mx ■ - 6)KX + M ? -F X > 0杲二次不等式，其对一切实数X 都成立的充 综上可知；0 ￡ m 玉1 ° 三、抽象函数(复合函数)的定义域 1已知f(x)的定义域，求f g(x)的定义域 其解法是：若f (x)的定义域为a < x < b ，则在f g(x)中，a < g(x) < b ，从中解得x 的取值范 要条件是.

围即为f g(x)的定义域. 例1 已知函数f(x)的定义域为1,，求f(3x 5)的定义域. 分析：该函数是由u 3x 5和f(u)构成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量，由于f(x)与f (u)是同一个函数，因此这里是已知 1 < u < 5，即K 3x 5 < 5，求x的取值范围. 4 10 解：Q f(x)的定义域为1,， 1 < 3x 5 < 5，4< x < 10. 3 3 故函数f(3x 5)的定义域为-,10. 3 3 2、已知f g(x)的定义域，求f (x)的定义域 其解法是：若f g(x)的定义域为m < x< n，则由m< x < n确定的g(x)的范围即为f (x)的定义域. 2 例2已知函数f(x 2x 2)的定义域为0,3，求函数f(x)的定义域. 分析：令u x2 2x 2，则f(x2 2x 2) f(u)， 由于f(u)与f(x)是同一函数，因此u的取值范围即为f(x)的定义域. 解：由0 < x < 3，得 1 < x2 2x 2 < 5 . 令u x2 2x 2，贝y f (x2 2x 2) f (u)，1< u < 5 . 故f (x)的定义域为1，. 3，已知f g(x)的定义域，求f[h(x)]的定义域 其解法是：若f g(x)的定义域为m < x < n，则由m < x < n确定的g(x)的取值范围即为h(x) 的取值范围，由h(x)的取值范围即可求出f[h(x)]的定义域x的取值范围。 例2 已知函数f(x 1)的定义域为1，，求f(3x 5)的定义域. 分析：令u x 1,t 3x 5，则f(x 1) f(u), f(3x 5) f(t)， f (u), f (t)表示的是同一函数，故u的取值范围与t相同。 解：Q f(x)的定义域为1，，即K x < 5 0 < x 1 < 6。