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高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解

第一章函数、极限、连续

第1节函数

★基本内容学习

一基本概念和性质

1函数的定义

设有两个变量x和y，变量x的变域为D，如果对于D中的每一个x值，按照一定的法则，变量y有一个确定的值与之对应，则称变量y为变量x的函数，记作：。

2函数概念的两要素

①定义域：自变量x的变化范围②对应关系：给定x值,求y值的方法。3函数的三种表示方法

①显式：形如的称作显式，它最直观，也是初等函数一般采用的形式。

②隐式：有时有些关系用显式无法完全表达，这时要用到隐式，形如

x2y2

，如椭圆函数。ab

③参数式：形如平抛运动的轨迹方程称作参数式。参数式将两个

变量的问题转化为一个变量的问题，从而使很多难以处理的问题简化。4函数的四个基本性质

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①奇偶性：设函数在对称区间X上有定义，如果对于恒有

(或，则称为偶函数(或奇函数)。注：偶函数

图形关于y轴对称，奇函数的图形关于坐标原点对称。

②有界性：设函数在区间X上有定义,如果使得对一切恒有：

则称在区间X上有界；若不存在这样的，则称在区间X上无界.注：函数有无界是相对于某个区间而言的。

③周期性：设函数在区间X上有定义,若存在一个与x无关的正数T，使对任一，恒有则称是以T为周期的周期函数，把满足上式的最小正数T称为函数的周期。

④单调性：设函数在区间X上有定义，如果对恒有：

或则称在区间X上是单调增加(或单调减少)的；如果对于恒有：或则称在区间X上是严格单调增加(或严格单调减少)的。5其它函数定义

①复合函数：设函数的定义域为Df，而函数的定义域是

值域为，若，则称函数为x的复合函数，它的定义域是{x∣且。这里表示空集。

②反函数：设函数的值域为Zf，如果对于Zf中任一y值，从关系式

中可确定唯一的一个x值，则称变量x为变量y的函数，记为：

，2

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其中称为函数的反函数，习惯上的反函数记为：。

6初等函数

①常值函数C(C为常数)，

②幂函数，定义域由确定，但不论如何，在(0,且

x④对数函数且

⑤三角函数如；；

；等

⑥反三角函数；；；

以上六类函数称基本初等函数。

由基本初等函数经有限次加、减、乘、除、复合而成的函数称初等函数。7分段函数

一个函数在其定义域当

当

②取整函数[x]表示不超过x的最大整数；当，其中n为整数。

当x为有理数时③狄利克莱(Dirichlet)函数当x为无理数时

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④绝对值函数

★基本题型训练

一典型例题

1判断函数的等价性

例1.1下列各题中，函数f(x)与g(x)是否相同？为什么？

；；解：(1)不相同，因为lgx2的定义域是，而2 glx的定义域是。

(2)不相同，因为两者对应法则不同，当时，。

(3)相同，因为两者定义域、对应法则均相同。

(4)不相同，因为两者定义域不同。

2求函数的定义域

例1.2设的定义域为则f(x)的定义域为多少？

解：函数的)定义域是指x的变化范围，即令则。故对函数f(x)而言，t的变化范围为，由函数表达式的“变量无关性”，知：f(x)的定义域为。

常见错误：。主要是对定义域所指的变量取值范围理解不深，误认为，由此得到。

3判断函数奇偶性

例1.4下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数？ 4

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(2)

解：(1)因为sinx为奇函数，x2为偶函数，所以为奇函数。

故f(x)为奇函数

4判断函数的周期性

例 1.5下列哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期。

解是周期函数，周期为；

是周期函数，周期是2 5判断函数单调性

例1.6设f(x)在上有定义，且对任意x，有

证明在上单调增加。

证明：设所以，而

所以所以

即F(x)在上单调增加。6求反函数例1.7

求函数

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解：令

。所以，

，所以，

所以反函数即为所求。

7复合函数求法

例 1.8设则f[g(x)]等于多少？

解：当时，，所以当时有；

当时，所以时有故，

。

注：求复合函数一般用三种方法：分析法，代入法，图示法。本题用的是分析法，下面分别介绍这三种方法。

(1)分析法：是抓住最外层函数定义域的各区间段，结合中间变量的表达式及中间变量的定义域进行分析，从而得出复合函数的方法，该法适用于初等函数与分段函数或分段函数之间的复合。

(2) 代入法：将一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代，这种构成复合函数的方法，称之为代入法，该法适用于初等函数或抽象函数的复合，这种方法在求复合函数时一般最先想到。

(3) 图示法：借助于图形的直观性达到将函数复合的一种方法，适用于分段函数，尤其是两个均为分段函数的复合。关于图示法解题的一般步骤如下：

①先画出中间变量函数的图形；

②把的分界点在xou平面上画出(这是若干条平行于x轴的直线)；③写出u在不同区间段上x所对应的变化区间；

④将③所得结果代入中，便得的表达式及相应x 的变6

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化区间。关于这种方法我们会在后面的练习或者能力拓展中用到。

二能力拓展

例1设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有

(A)F(x)是偶函数是奇函数。

(B)F(x)是奇函数是偶函数。

(D)F(x)

[A]

解法一：任一原函数可表示为，且当F(x)0x是单调函数是单调函数。

为偶函数时，

有，于是，即，也即，

可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则为偶函数，0x

从而为偶函数，可见选(A)。0x

1解法二：令f(x)=1，则取F(x)=x+1，排除(B)、(C)；令f(x)=x，则取F(x)=x2，2

排除(D)；故应选(A)。

例2设则f{f[f(x)]}等于。

解：由f[f(x)]＝1得，f{f[f(x)]}＝1，故应选

高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解★函数理论框架图

第2节极限与连续性

★基本一个正整数当时，

8 恒有

高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解。若xn存在极限，称{xn}收敛，否则称{xn}发散。

定义一个整数X，当时，有

正数，当时，有定义 2.3

2数列、函数极限的基本性质与相关定理定理2.1(极限的不等式性质) ，若，设nlim则，当时，若时，；

，

则。

，则。定理2.2(极限的唯一性) 设

定理 2.3(收敛数列的有界性)设xn收敛，则xn有界（即常数

）。

，若则，定理 2.4(极限的不等式性质) 设

当时；若，则。

或则存在一个，当[推论](极限的保号性) 若

时，或。

，则。定理2.5(极限的唯一性)设

定理2.6(夹逼准则) 设在x0的领域内，恒有，且

，则limf。

定理2.7(单调有界准则) 单调有界数列必有极限。3函数连续性定义

定义2.1设函数在x0的某领域内有定义，给x在x0处以增量，相应9

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地得到函数增量。若极限，则称

在处连续。

定义2.2设函数满足条件：在x0的某领域若在x0处出现以下三种情形之一：

不存在；。在x0处无定义；(2)xlim(3)xlim则称x0为

的间断点。

间断点x0的分类：第Ⅰ类间断点均存在。其中若

，称为可去间断点。若

称为跳跃间

断点。

第Ⅱ类间断点：至少有一个不存在。若

之中有一个为，则称为无穷间断点。

5闭区间上连续函数的性质

(1)(连续函数的有界性)设函数在上连续，则在上有

界，即常数，对任意的，恒有 f

M。

(2) (最值定理)设函数在上连续，则在上至少取得最大值与最小值各一次，即使得：

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(3) (介值定理)若函数在上连续，是介于与f或最大值M与最小值m)之间的任一实数，则在上至少一个，使得

。

(4) (零点定理或根的存在性定理)设函数在上连续，且

，则在内至少一个，使得

5无穷小及其阶

(1)无穷小与无穷大的定义

定义2.5在某一过程中以零为极限的变量称为无穷小（量）。

一个，当时，恒有。时，恒有。，当

定义2.6在自变量的某一变化过程中，若函数的绝对值无穷增大，则称函数为无穷大量。

一个，当时，恒有

时，恒有一个，当

(2)无穷小与无穷大、无穷小与极限的关系

其中；

为无穷小，则为无穷大在同一极限过程中，。

为无穷大，则1为无穷小

(3)无穷小阶的概念

定义2.7设在同一极限过程中，、为无穷小且存在极限

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。

①若，则称是比高阶的无穷小，记为

②若，则称是比低阶的无穷小。

，则称与是同阶无穷小。③若lim

④若，则称与是等价无穷小，记为

。⑤若，则称为的k阶无穷小。等价无穷小的重要性质

，①若且存在，则

该结论表明：在求极限过程中等价无穷小因子可以替换。

②)

(5)确定无穷小阶的方法

①利用洛必达法则确定使得，则时，f(x)

是的k阶无穷小。

洛必达法则：法则Ⅰ(

型)设函数满足条件：；

在x0的领域内可导(在x0处可除外)且

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；存在(或。则

法则型)设函数满足条

件：；一0

个，当时，可导，且；lim

存在(或。则

法则Ⅱ型) 设函数满足条件：；

在x0的领域

若则。n!n

因此f(x)是的n阶无穷小(后面章节还会讲到)。

③利用无穷小的运算性质如若时，分别是的n阶与则是的阶无穷小，当时，是m 阶无穷小，

的n阶无穷小。

★本章需要记忆知识

1重点概念、性质

函数的定义、函数连续的定义、间断点及其类型、夹逼准则、单调有界准13

高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解则等。

2重点公式

或；

常用极限：

特例

★基本题型训练

1求复合函数

例设，求。

解：由题设

分以下情况讨论。

(1)当时，

或，即

或，

即

(2)当时，

或，即

或，

即

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综上所述，

利用函数概念求函数表达式

例已知，求f(x)。解：令，则。于是

从而。ix

注：设，其中是已知函数，则有两类问题：一是已知f求；二是已知求f。

①若f是已知，并存在反函数，则。②若已知，并存在反函数，令，则，从而，即。因此，这两类问题都是求反函数问题。3求未定型函数极限

例求下列极限

①

③

解：①原式

④

②

高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解②原式

③原式

④原式

(

)

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4求变限积分不等式的极限

02x0

＝

例求极限lim解：原式=lim

edt

2t2

018x2

4e4x

018x2

etdt

注：在验证条件

时，要用到以下结论:若f(x)连续，又

也可为，则

。

5由极限确定函数中的参数例确定a,b,c的值，使解：当

原式

故原式

故c=

存在，并求该1

时，由

可得

同理可得

的值，使极限例试确定常数极限值.

高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解解：原式

由

可得

，即

存在

则原式

同理由

所以原式

6利用函数收敛准则求极限例1 (利用夹逼准则

)

_ 可得

，即

解：

且

又

由夹逼原则可得原式

例2 (利用单调有界准则)

若序列

的项满足：为正的常数)，且，(这里

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。

试证有极限，并求出它。

解：由

今用数学归纳法

证

又。这只须注意到

高等数学下册典型例题精选集合.doc

最新高等数学下册典型例题精选集合第八章多元函数及其微分法最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿的定义域是从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护与z? = / 1 定义域的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1)

法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂，T() 丿解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0<

而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂〉?T O 〉?T O兀十〉于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿法2利用无穷小与有界函数的乘积是无穷小的性质。因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以

高等数学求极限的常用方法附例题和详解

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f

高等数学知识点总结 (1)

高等数学（下）知识点主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数 1、二次曲面 1）椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2）椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5）椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6）抛物柱面： ay x =2 （二）平面及其方程 1、点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：（三）空间直线及其方程 1、一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=-

高数典型例题解析

第一章函数及其图形例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（）解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设

解：在令t=cosx-1，得又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有。 5：例 f(2)没有定义。注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有。因此，所给函数是有界的，即应选择B。例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定

高数知识点总结

高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -? ? ? ? ?-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+- =?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin

高中数学典型例题详解和练习- 求分段函数的导数

求分段函数的导数例求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当 0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2，可以按各种求导法同求它的导数．解：当0=x 时，01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时， x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='．指出函数的复合关系例指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常

见的基本函数，逐步确定复合过程．解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ； 4．.1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果．求函数的导数例求下列函数的导数． 1．43)12(x x x y +-=；2．2 211x y -= ； 3．)3 2(sin 2π +=x y ；4．21x x y +=。分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．

大学全册高等数学知识点(全)

大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→

高数下典型习题及参考答案

第八章典型习题一、填空题、选择题 1、y x z += 1的定义域为； 2、1 1lim 0-+→→xy xy y x ； 3、设xy z 3=， x z ??= ； 4、 z z x ?==?设则 5、由方程z y x e xyz e =++确定了函数()y x z z ,=，求dz 。 6、函数()y x f z ,=在点()00,y x 处()00,y x f x ，()00,y x f y 存在，则()y x f ,在该点（） A 、连续 B 、不连续 C 、不一定连续 D 、可微二、解答题 1、求曲面632222=++z y x 在点P （1，1，1）的切平面方程和法线方程。 2、2,y z f x y f x ? ?= ?? ?已知　，其中为可微函数，y z x z ????,求。 3、设()y x z z ,=是由方程 y z z x ln =确定，求x z ??，y z ??。 4、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱，问长、宽、高如何选取，才能使铁箱的容积为最大。第九章、第十章典型习题一、填空题、选择题 1、将二重积分()dxdy y x f D ??,化为二次积分，其中积分区域D 是由0,,42≥==x x y y 所围成，下列各式中正确的是（）A 、()dy y x f dx x ??2 04 ,2 B 、()dy y x f dx ??4 4 , C 、()dx y x f dy y ??0 40 , D 、()dx y x f dy y ? ?0 40 , 2、设Ω是由1,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的区域，则=???Ω xyzdxdydz 3、旋转抛物面2 2 2y x z +=在20≤≤z 那部分的曲面面积S=（）

专升本高等数学知识点汇总

专升本高等数学知识点汇总常用知识点：一、常见函数的定义域总结如下：（1） c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域：x ∈R （2）x k y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0 （4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0 二、函数的性质 1、函数的单调性当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、函数的奇偶性定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。三、基本初等函数 1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数

定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T ， },2 )12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π ， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。极限一、求极限的方法 1、代入法代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法（1）利用极限的四则运算法则求极限。（2）利用等价无穷小量代换求极限。（3）利用两个重要极限求极限。（4）利用罗比达法则就极限。

关于高等数学方法与典型例题归纳

关于高等数学方法与典型例题归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五曲天尧编写一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；

(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→

高等数学(下)知识点总结

主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数 1、二次曲面 1）椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2）椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5）椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6）抛物柱面： ay x =2 （二）平面及其方程 1、点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三）空间直线及其方程

高等数学试题库

高等数学试题库第二章导数和微分一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数

考研高等数学知识点总结

高等数学知识点总结导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π

高数知识点总结(上册)

高数知识点总结（上册）函数：绝对值得性质： (1)|a+b|≤|a|+|b| (2)|a-b|≥|a|-|b| (3)|ab|=|a||b| (4)|b a |=)0(||||≠b b a 函数的表示方法：（1）表格法（2）图示法（3）公式法（解析法）函数的几种性质：（1）函数的有界性（2）函数的单调性（3）函数的奇偶性（4）函数的周期性反函数：定理：如果函数)(x f y =在区间[a,b]上是单调的，则它的反函数)(1 x f y -=存在，且是单值、单调的。基本初等函数：（1）幂函数（2）指数函数（3）对数函数（4）三角函数（5）反三角函数复合函数的应用极限与连续性：数列的极限：定义：设 {}n x 是一个数列，a 是一个定数。如果对于任意给定的正数ε（不管它多么小），总存在正整数N ，使得对于n>N 的一切n x ，不等式 ε <-a x n 都成立，则称数a 是数列 {}n x 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记做a x n n =∞ →lim ，或 a x n →（∞→n ）收敛数列的有界性：定理：如果数列 {}n x 收敛，则数列{}n x 一定有界推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界（3）有界命题不一定收敛函数的极限：定义及几何定义函数极限的性质：（1）同号性定理：如果A x f x x =→)(lim 0 ，而且A>0(或A<0),则必存在0x 的某一邻域，当x 在该邻域内（点0 x 可除外），有0)(>x f （或0)(

高等数学典型习题及参考答案

第八章典型习题一、填空题、选择题 1、点)3,1,4(M -到y 轴的距离就是 2、平行于向量}1,2,1{a -=? 的单位向量为 3、().0431,2,0垂直的直线为且与平面过点=--+-z y x 4、.xoz y z y x :面上的投影柱面方程是在曲线?? ?==++Γ2 10222 5、()==-=+=+=-δ λ δλ则平行与设直线,z y x :l z y x : l 1111212121 ()23A ()12B ()32C ()21 D 6、已知k 2j i 2a ????+-=,k 5j 4i 3b ? ???-+=,则与b a 3??-平行的单位向量为 ( ) (A )}11,7,3{(B )}11,7,3{- (C )}11,7,3{1291-± (D )}11,7,3{179 1-± 7、曲线???==++2 z 9 z y x 222在xoy 平面上投影曲线的方程为( ) (A )???==+2z 5y x 22 (B )???==++0z 9z y x 222(C )???==+0 z 5y x 22 (D )5y x 22=+ 8、设平面的一般式方程为0A =+++D Cz By x ,当0==D A 时,该平面必( ) (A)平行于y 轴 (B) 垂直于z 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 通过x 轴 9 、设空间三直线的方程分别为 251214: 1+=+=+z y x L ,67313:2+=+=z y x L ,4 1312:3-=+=z y x L 则必有 ( ) (A) 31//L L (B) 21L L ⊥ (C) 32L L ⊥ (D) 21//L L 10、设平面的一般式方程为0=+++D Cz By Ax ,当0==B A 时,该平面必 ( ) (A) 垂直于x 轴 (B) 垂直于y 轴 (C) 垂直于xoy 面 (D) 平行于xoy 面 11、方程05 z 3y 3x 2 22=-+所表示的曲面就是( ) (A )椭圆抛物面 (B )椭球面 (C )旋转曲面 (D )单叶双曲面二、解答题

关于高等数学经典方法与典型例题归纳

(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22 +- ++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2+++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。【解】22 21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =?? ? ??-++∞ →x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限【说明】 (1)常见等价无穷小有：

高等数学典型例题与应用实例

例利用二重积分的性质，估计积分 2 222(2)d D x y x y σ+-?? 的值，其中D 为半圆形区域2 2 4,0x y y +≤≥．解我们先求函数2 2 2 2 (,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值．由2 2 220,420,x y f x xy f y x y '?=-=??'=-=??解得D 内驻点为(2,1)±，(2,1)2f ±=．在边界1:0L y =(22)x -≤≤上，2 ()(,0)g x f x x ==在1L 上(,)f x y 的最大值为4，最小值为0．在边界22 2:4L x y +=(0)y ≥上， 242()(,4)58(22)h x f x x x x x =-=-+-≤≤ 由3 ()4100h x x x '=-=得驻点123550,,22 x x x ==- =，(0)(0,2)8h f ==． 5537 ()(,)2224 h f ± =±=．综上，(,)f x y 在D 上的最大值为8，最小值为0．又D 的面积为2π，所以由二重积分的估值性质知 222202(2)d 82D x y x y πσπ?≤+-≤???，即 22220(2)d 16D x y x y σπ≤+-≤??．例设D 为xoy 平面上以(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的三角形区域， 1D 为D 在第一象限的部分，则 (cos sin )( )D xy x y dxdy +=??．（A ）1 2 cos sin D x y dxdy ?? （B ）1 2D xy dxdy ?? （C ）1 4 (cos sin )D xy x y dxdy +?? （D ）0

(超级总结吐血推荐)考研数学二经典知识点题型技巧总结(高数线代)综合网上及个人线代心得

高等数学(数二> 一.重点知识标记高等数学科目大纲章节知识点题型重要度等级高等数学第一章函数、极限、连续 1 .等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式求函数的极限★★★★★ 2 .函数连续的概念、函数间断点的类型 3 .判断函数连续性与间断点的类型★★★ 第二章一元函数微分学 1 .导数的定义、可导与连续之间的关系按定义求一点处的导数，可导与连续的关系★★★★ 2 .函数的单调性、函数的极值讨论函数的单调性、极值★★★★ 3.闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理微分中值定理及其应用★★★★★ 第三章一元函数积分学 1 .积分上限的函数及其导数变限积分求导问题★★★★★ 2 .有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分计算被积函数为有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的不定积分和定积分★★ 第四章多元函数微分学 1 .隐函数、偏导数、的存在性以及它们之间的因果关系 2 .函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的讨论与它们之间的因果关系★★ 3 .多元复合函数、隐函数的求导法求偏导数，全微分★★★★★ 第五章多元函数积分学 1. 二重积分的概念、性质及计算 2.二重积分的计算及应用★★ 第六章常微分方程 1.一阶线性微分方程、齐次方程， 2.微分方程的简单应用，用微分方程解决一些应用问题★★★★ 一、函数、极限、连续部分：

极限的运算法则、极限存在的准则(单调有界准则和夹逼准则>、未定式的极限、主要的等价无穷小、函数间断点的判断以及分类，还有闭区间上连续函数的性质(尤其是介值定理>，这些知识点在历年真题中出现的概率比较高，属于重点内容，但是很基础，不是难点，因此这部分内容一定不要丢分。二、微分学部分：主要是一元函数微分学和多元函数微分学，其中一元函数微分学是基础亦是重点。一元函数微分学，主要掌握连续性、可导性、可微性三者的关系，另外要掌握各种函数求导的方法，尤其是复合函数、隐函数求导。微分中值定理也是重点掌握的内容，这一部分可以出各种各样构造辅助函数的证明，包括等式和不等式的证明，这种类型题目的技巧性比较强，应多加练习。函数的凹凸性、拐点及渐近线，也是一个重点内容，在近几年考研中常出现。多元函数微分学，掌握连续性、偏导性、可微性三者之间的关系，重点掌握各种函数求偏导的方法。多元函数的应用也是重点，主要是条件极值和最值问题。三、积分学部分：一元函数积分学一个重点是不定积分与定积分的计算。在计算过程中，会用到不定积分/定积分的基本性质、换元积分法、分部积分法。其中，换元积分法是重点，会涉及到三角函数换元、倒代换，如何准确地进行换元从而得到最终答案，却是需要下一番工夫的。定积分的应用同样是重点，常考的是面积、体积的求解，多练掌握解题技巧。对于定积分在物理上的应用(数二有要求>，如功、引力、压力、质心、形心等，近几年考试基本都没有涉及，考生只要记住求解公式即可。多元函数积分学的一个重点是二重积分的计算，其中要用到二重积分的性质，以及直角坐标与极坐标的相互转化。这部分内容，每年都会考到，考生要引起重视，需要明白的是，二重积分并不是难点。四、微分方程：这里有两个重点：一阶线性微分方程。二阶常系数齐次/非齐次线性微分方程。线性第一章行列式 1.行列式的运算 2.计算抽象矩阵的行列式★★★ 第二章矩阵 1. 矩阵的运算 2. 求矩阵高次幂等★★★ 3. 矩阵的初等变换、初等矩阵与初等变换有关的命题★★★★★ 第三章向量 1. 向量组的线性相关及无关的有关性质及判别法 2. 向量组的线性相关性★★★★★ 3. 线性组合与线性表示判定向量能否由向量组线性表示★★★★

高等数学高数知识点总结

高数重点总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -?? ? ??-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+-=?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin