当前位置：文档库 › 矩阵理论作业4-1：线性变换(圆-椭圆)

矩阵理论作业4-1：线性变换(圆-椭圆)

单位圆在线性变换下得到的图形及论证

摘要

在平面2R 上线性变换y Ax =，（2

,x y R ∈，22A R ?∈）且det()0A ≠，即A 可逆。给定一个单位圆2

121x x +=，求其在此线性变换下的图形并论证其结果，并用matlab 编程实现其图形的转换。结果表明变换后的图形为椭圆，且推出了变换后的椭圆长半轴a 、短半轴b 和长轴与水平坐标轴的夹角θ与矩阵A 的关系。

关键字：单位圆线性变换椭圆

引言

矩阵的线性变换可以进行图形的改变，那么不同的矩阵会造成什么样改变，变换后的图形各参量与变换矩阵有怎样的关系呢？

本文结合线性代数中有关矩阵的运算等知识

[2]

，在推导和论证

[1][3]

结果的基础上，应用

matlab 工具进行编程实现[3]，并给出几个具体

的算例验证结论，做出变换前后的图形并求出相关参数值。

问题概述

在平面2R 上线性变换y Ax =，2

,x y R ∈，22

A R

?∈，det()0A ≠（即A 可逆）。给定一个

单位圆2

1x x +=，求其在线性变换y Ax =下的图形，并论证其结果，以及用matlab 编程实现其图形的转换。

如下图1，是在matlab 中编写将单位圆线性变换的程序，再给出一个二阶随机矩阵A 得到的线性变换结果。

图1

显而易见，变换后的图形是一个椭圆，而且椭圆中心与单位圆的圆心重合。那么变换后的椭

圆长半轴a 、短半轴b 和长轴与水平坐标轴的夹

角θ与矩阵A 的关系是什么呢，下面将进行论证。

变换结果的论证

单位圆为2

121x x +=，即变换前的坐标为

12x x x ??= ???，线性变换矩阵11122122a a A a a ??

= ???

，则

111212122211112212112222 ==a

a x y Ax a a x a x a x y a x a x y ????== ???

????

+???? ? ?+????

(1)

即变换后的坐标为1111122y a x a x =+，

2211222y a x a x =+。联立方程组，将1x 和2x 用1

y 和2y 表示出来，得

122221

112211122

211112

212211122

a y a y x a a a a a y a y x a a a a -=

--=- (2)

然后将以上表达式带入单位圆的方程，得

1222212111121221112212211122+=1a y a y a y a y a a a a a a a a ????-- ? ?--????

(3) 关于12,y y 展开整理，得

222212************

222

12112

12211122(+)2()(+)()0

a a y a a a a y y a a y a a a a -++--= (4)

由此可以看出，12,y y 满足椭圆的一般方程

2210Ax Bxy Cy Dx Ey +++++= (5)

其中x 相当于1y ，y 相当于2y ，系数

,,,,A B C D E 分别为

2221222

12211122211112222122111222212112

12211122(+)

()2()

()(+)

()0

a a A a a a a a a a a B a a a a a a C a a a a D E =--+=

-=--== (6)

所以，经过以上推导可以证明单位圆在线性变换作用下得到的图形为椭圆。

下面来求变换后得到椭圆的长短半轴以及长轴与水平轴夹角（图2）。

图2

由斜椭圆的相关公式可知，椭圆几何中心

()()()()

/242/4c c X BE CD AD B Y BD AE AD B

=--=-- (7)

因为0D E ==，所以00c c X Y ==，，中心坐标确实如图所示在原点处。

长短半轴分别为

22221 c c c c AX CY BX Y a ++-=

(8)

22221 AX CY BX Y b ++-=

(9)

长轴与水平轴夹角

122B arctan A C

θ=

-- (10) 分别将已知的值带入公式（8）、（9）和（10），即可得到变换后的椭圆长半轴a 、短半轴b 和长轴与水平轴夹角θ（弧度值）。

算例分析

在matlab 里给出几组转换矩阵A ，画出转换后的椭圆并求出长半轴a 、短半轴b 和长轴与

水平轴夹角θ。

例如2114A ??= ???

，得到如图3所示的绿色

椭圆。计算其相关参数为

4.4142 1.5858 1.1781a b θ===，，

θ由弧度变为角度为67.5000 。

图3

将对角线改为负数，如=[-2 2;1 -3]

2213A -??

= ?-??

，得到如图4所示椭圆。计算其

线性变换与矩阵地关系

线性变换与矩阵的关系学院：数学与计算机科学学院班级：2011级数学与应用数学：学号：

线性变换与矩阵的关系（西北民族大学数学与应用数学专业， 730124）指导教师一、线性变换定义1 设有两个非空集合V,U，若对于V中任一元素α，按照一定规则总有U中一个确定的元素β和它对应，则这个对应规则被称为从集合V到集合U的变换（或映射），记作β=T(α)或β=T α,( α∈V)。设α∈V，T(α)= β,则说变换T把元素α变为β，β称为α在变换T下的象，α称为β在变换T下的源，V称为变换T的源集，象的全体所构成的集合称为象集，记作T(V)。即 T(V)={ β=T(α)|α∈V}, 显然T(V) ?U 注：变换的概念实际上是函数概念的推广。定义2 设V n,U m分别是实数域R上的n维和m维线性空间，T是一个从V n到U m得变换，如果变换满足（1）任给α1 ，α2∈V n，有T(α1+α2)=T(α1)+T(α2); （2）任给α∈V n，k∈R，都有 T(kα)=kT(α)。那么，就称T为从V n到U m的线性变换。说明：

○1线性变换就是保持线性组合的对应的变换。 ○2一般用黑体大写字母T,A,B,…代表现象变换，T(α)或Tα代表元 α在变换下的象。 ○3若U m=V n，则T是一个从线性空间V n到其自身的线性变换，称为线性空 V n中的线性变换。下面主要讨论线性空间V n中的线性变换。二、线性变换的性质设T是V n中的线性变换，则 (1)T(0)=0,T(-α)=-T(α); (2)若β=k1α1+k2α2+…+k mαm,则Tβ=k1Tα1+k2Tα2+…+k m Tα m; (3)若α1，…αm线性相关，则Tα1…Tαm亦线性相关；注：讨论对线性无关的情形不一定成立。 (4)线性变换T的象集T(V n)是一个线性空间V n的子空间。记S T={α|α∈V n,T α=0}称为线性变换T的核，S T是V n的子空间。设V和W是数域F上的向量空间，而σ：V→W是一个线性映射。那么 (i)σ是满射Im(σ)=W; (ii)σ是单射Ker(σ)={0}

线性变换和矩阵.

§3 线性变换和矩阵一、线性变换关于基的矩阵设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21 V 的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系. 空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21 线性表出，即有关系式 n n x x x εεεξ+++= 2211 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系： A ξ=A （n n x x x εεε+++ 2211） =1x A (1ε)+2x A (2ε)+…+n x A (n ε) (2) 上式表明，如果知道了基n εεε,,,21 的像，那么线性空间中任意一个向量ξ 的像也就知道了，或者说 1. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，如果线性变换?与?在这组基上的作用相同，即 A i ε= B i ε， ,,,2,1n i = 那么A = B . 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是 2. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21 一定有一个线性变换?使 A i ε=i α .,,2,1n i = 定理1 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21 是V 中任意n 个向量.存在唯一的线性变换?使

A i ε=i α .,,2,1n i = 定义2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出： ???????+++=+++=+++=. ,,22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε 用矩阵表示就是 A （n εεε,,,21 ）=（A (1ε)，A ?(2ε)，…， A (n ε)） =A n ),,,(21εεε (5) 其中 ?????? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221 11211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵. 例 1 设m εεε,,,21 是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它扩充为V 的一组基n εεε,,,21 .指定线性变换A 如下 ???+====. ,,1,0,,,2,1,n m i A m i A i i i εεε 如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明 A 2=A 投影A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是

高等代数与解析几何第七章(1-3习题)线性变换与相似矩阵答案

第七章线性变换与相似矩阵习题 7.1 习题 7.1.1 判别下列变换是否线性变换？（1）设是线性空间中的一个固定向量，（Ⅰ），，解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。（Ⅱ），；解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。（2）在中，（Ⅰ），解：不是的线性变换。因对于，有，，所以。（Ⅱ）；解：是的线性变换。设，其中，，则有，

。（3）在（Ⅰ）解：是中，，的线性变换：设，则，，。（Ⅱ）解：是，其中的线性变换：设是中的固定数；，则，，。（4）把复数域看作复数域上的线性空间，共轭复数；解：不是线性变换。因为取，时，有，即。，其中是的，（5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。解：是的线性变换。对，，有，。习题7.1.2 在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向

旋转 900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。证明（表示恒等变换），，；并说明是否成立。证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可知：，，，；；，，，，即，故。因为因为，，所以，，所以。。因为，，所以。习题 7.1.3 在中，，，证明。证明：在中任取一多项式，有。所以。习题 7.1.4 设，是上的线性变换。若，证明。证明：用数学归纳法证明。当时，有

命题成立。假设等式对成立，即。下面证明等式对也成立。因有，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。习题 7.1.5 证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且。证明：（进而（2）因1）设，都是都是的逆变换，则有，。即的逆变换唯一。上的可逆线性变换，则有。，同理有由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得。习题7.1.6 设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。证明，，，线性无关。证明：设，依次用可得，得，而，故即得；同理有：；依次类推可得，即得，得，，进而得。

线性变换的矩阵表示式

§5 线性变换的矩阵表示式上节例10中，关系式 ()T x Ax = ()n x R ∈ 简单明了地表示出n R 中的一个线性变换. 我们自然希望n R 中任何一个线性变换都能用这样的关系式来表示. 为此，考虑到n n Ae Ae ==αα,,11 （n e e ,,1 为单位坐标向量），即 ()n i Ae i i ,,2,1 ==α，可见如果线性变换T 有关系式()Ax x T =，那么矩阵A 应以()i e T 为列向量. 反之，如果一贯个线性变换T 使()()n i e T i i ,,2,1 ==α，那么T 必有关系式 ()11122(), ,() n n n T x T e e x T x e x e x e ==++ +???? 1122()()() n n x T e x T e x T e =++ + ()11(),,()(,,)n n T e T e x x Ax αα=== 总之，n R 中任何线性变换T ，都能用关系式 ()()n R x Ax x T ∈=表示，其中1((),,())n A T e T e =. 把上面的讨论推广到一般的线性空间，我们有定义7 设T 是线性空间n V 中的线性变换，在n V 中取定一个基 n αα,,1 ，如果这个基在变换T 下的象（用这个基线性表示）为 11112121212122221122(),(),(), n n n n n n n nn n T a a a T a a a T a a a αααααααααααα=++ +??=+++???? =++ +? 记()()()()n n T T T αααα,,,,11 = ，上式可表示为

第七章线性变换.

第七章线性变换计划课时：24 学时.（P 307—334） §7.1 线性变换的定义及性质（ 2 学时）教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质本节内容可分为下面的两个问题讲授. 一. 线性变换的定义（P307）注意：向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换，反之不然。二. 线性变换的性质定理7.1.1 （P309）定理7.1.2 （P309）推论7.1.3 （P310）注意： 1.定理7.1.2 给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。 2. 两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论7.1.3 （P310）告诉我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。作业：习题七P330 1 ，2， 3. §7.2 线性变换的运算（ 4 学时）教学目的及要求：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件教学重点、难点：线性变换的运算及线性变换可逆的条件本节内容分为下面四个问题讲授：一. 加法运算定义 1 （P310）注意：+ 是V的线性变换. 二. 数乘运算定义 2 （P311）显然k 也是V的一个线性变换. 定理7.2.1 L（V）对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间. 三. 乘法运算（1）. 乘法运算定义 3 （P311-312）

注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可能是零变换. (2). 线性变换的方幂四. 可逆线性变换定义 4 ( P313) 线性变换可逆的充要条件例 2 ( P314) 线性变换的多项式的概念( 阅读内容). 作业：P330 习题七4， 5. §7.3 线性变换的矩阵( 6 学时) 教学目的及要求：理解线性变换关于一个基的矩阵的定义，掌握与( ) 关于同一个基的坐标之间的关系、线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系、同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的理论，掌握L(V)与M(F)的同构理论。教学重点、难点： 1. 线性变换关于一个基的矩阵的定义。 2. L(V)与M(F)的同构理论，线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系。本节内容分为下面四个问题讲授：一.线性变换关于基的矩阵定义 ( P316) 。注意：取定n维向量空间V的一个基之后，对于V的每一个线性变换，有唯一确定的n阶矩阵与它对应. 例 1 ( P316 ) 注意：一个线性变换在不同基下的矩阵通常是不同的. 例 2 ( P317) 例 3 ( P317) 二.与( )关于同一个基的坐标之间的关系. 定理7.3.1 例 4 ( P318 ) 三? L(V)与M(F)的同构定理7.3.2 (P320) 定理7.3.3 (P320) 注意：1.定理732 ( P320)的证明是本章的难点，在证明之前应复习证明所用到的知识点。 2. 由于L(V) 同构于M n ( F ) ，所以就把研究一个很复杂的向量空间L(V) 的问题转化成研究一个很直观具体的向量空间M n(F) 的问题。同构是高等代数课程的一个基本概念。 3. 定理7.3.3 不仅给出了在有限维向量空间判定一个线性变换可逆的方法，而且给出了求逆变换的方法。四. 同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系定理7.3.4 （P321）. 作业：P331 习题七6，9，12，17.

#第七章线性变换(小结)

第七章线性变换(小结) 本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换和矩阵的一一对应关系. 线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是分析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是和之相适应的矩阵理论和方法)在分析几何、微分方程等许多其它使用学科,都有极为广泛的使用. 本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换和矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算 1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换和逆变换; 线性变换的值域和核，秩和零度; 线性变换的和和差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式. 2. 基本结论 (1) 线性变换保持零向量、线性组合和线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组 (2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换. (3) 线性变换的基本运算规律(略). (4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法和数量乘法作成一个线性空间. (5) 线性空间V 的线性变换A 的象Im(A )= A V 和核ker A = A -1(0) (a) A 的象Im(A )= A V 和核ker A = A -1(0)是V 的(A -)子空间. (b)若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基 n ααα,...,,21, Im(A )= A V =L(A α1, A α2,… ,A αn )={ A α|α∈V }. ker A = A -1(0)= { α∈V | A α=0}. (c)A 的秩(dim Im(A ))+A 的零度(dim ker A )=n . (d)A 是双射?A 是单射? Ker(A )={0}?A 是满射.

线性变换及其矩阵

第三讲线性变换及其矩阵一、线性变换及其运算定义：设V 是数域K 上的线性空间，T 是V 到自身的一个映射，使得对于V 中的任意元素x 均存在唯一的 y ∈V 与之对应，则称T 为V 的一个变换或算子，记为 y x T =)( 称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。若变化T 还满足 )()()(y T x T y x T +=+ )()(x kT kx T = K k V y x ∈∈?,, 称T 为线性变换。 [例1] 二维实向量空间12 2i R R ξξξ?? ??=∈???????? ，将其绕原点反时针方向旋转θ 角的操作即 ??? ? ?????? ??-=???? ??2121cos sin sin cos ξξθθ θθ ηη就是一个线性变换。 [例2] 次数不超过 n 的全体实多项式n P 构成实数域上的一个 1n +维的线性空间，其基可选为 {}2 1,,,,n x x x ，微分算子d D dx = 是n P 上的一个线性变换。 [例3] 取定矩阵n n K C B A ?∈,,，定义n n K ?的变换C XB AX X T ++= )( n n K X ?∈,是否是线性变换 2. 性质（1）线性变换把零元素仍变为零元素（2）负元素的象为原来元素的象的负元素（3）线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的。但（4）如果线性变换是一个单射，则把线性无关的元素组变为线性无关的元素组 3. 线性变换的运算（1）恒等变换e T ：,e x V T x x ?∈= （2）零变换0T ：0,0x V T x ?∈= （3）变换的相等：1T 、2T 是V 的两个线性变换，x V ?∈，均有12T x T x =，则称1T ＝2T （4）线性变换的和1T +2T ：x V ?∈，1212()T T x T x Tx +=+ （5）线性变换的数乘kT ：x V ?∈，()()kT x k Tx = 负变换：()()T x Tx -=-

高等代数与解析几何第七章(1-3习题) 线性变换与相似矩阵答案

第七章线性变换与相似矩阵习题7.1 习题7.1.1判别下列变换是否线性变换？（1）设是线性空间中的一个固定向量，（Ⅰ），，解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。（Ⅱ），；解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。（2）在中，（Ⅰ），解：不是的线性变换。因对于，有，，所以。（Ⅱ）；解：是的线性变换。设，其中，，则有，

。（3）在中，（Ⅰ），解：是的线性变换：设，则，，。（Ⅱ），其中是中的固定数；解：是的线性变换：设，则，，。（4）把复数域看作复数域上的线性空间，，其中是的共轭复数；解：不是线性变换。因为取，时，有，，即。（5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。解：是的线性变换。对，，有，。习题7.1.2在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向

旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。证明（表示恒等变换），，；并说明是否成立。证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可知：，，；，，；，，，即，故。因为，，所以。因为，，所以。因为，，所以。习题7.1.3在中，，，证明。证明：在中任取一多项式，有。所以。习题7.1.4设，是上的线性变换。若，证明。证明：用数学归纳法证明。当时，有

命题成立。假设等式对成立，即。下面证明等式对也成立。因有，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。习题7.1.5证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且。证明：（1）设都是的逆变换，则有，。进而。即的逆变换唯一。（2）因，都是上的可逆线性变换，则有，同理有由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得。习题7.1.6设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。证明，，，线性无关。证明：设，依次用可得，得，而，故；同理有：，得，即得；依次类推可得，即得，进而得。

线性变换和矩阵

§3 线性变换和矩阵一、线性变换在某组基下对应的矩阵设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21ΛV 的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系. 空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21Λ线性表出，即有关系式 n n x x x εεεξ+++=Λ2211 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标. 由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系： A ξ=A （n n x x x εεε+++Λ2211） =1x A(1ε)+2x A(2ε)+…+n x A (n ε) (2) 上式表明，如果知道了基n εεε,,,21Λ的像，那么线性空间中任意一个向量ξ的像也就知道了，或者说 1. 设n εεε,,,21Λ是线性空间V 的一组基，如果线性变换A 与?在这组基上的作用相同，即 A i ε= B i ε， ,,,2,1n i Λ= 那么A= B. 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是 2. 设n εεε,,,21Λ是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21Λ一定有一个线性变换 A , 使 A i ε=i α .,,2,1n i Λ=

定理1 设n εεε,,,21Λ是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21Λ是V 中任意n 个向量. 存在唯一的线性变换A 使 A i ε=i α .,,2,1n i Λ= 定义2 设n εεε,,,21Λ是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换. 基向量的像可以被基线性表出： ???????+++=+++=+++=. ,,22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεεΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 用矩阵表示就是 A （n εεε,,,21Λ）=（A(1ε)，A(2ε)，…， A(n ε)） =A n ),,,(21εεεΛ (5) 其中 ?????? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ2122221 11211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21Λ下的矩阵. 例1 设m εεε,,,21Λ是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它扩充为 V 的一组基n εεε,,,21Λ.指定线性变换A 如下 ???+====.,,1,0,,,2,1,n m i A m i A i i i ΛΛεεε 如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明 A 2=A 投影A 在基n εεε,,,21Λ下的矩阵是 ]练习：7, 8, 9

7.3线性变换的矩阵

§3 线性变换的矩阵设V 是数域P 上n 维线性空间，12,,,n εεε是V 的一组基，现在我们来建立线性变换与矩阵的关系。空间V 中任一向量ξ可以被基12,, ,n εεε表示出，即有关系式 1122n n x x x ξεεε=++ +，（1）其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标。由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的象A ξ与基的象12,,,n A A A εεε之间也必然有相同的关系： )(2211n n x x x A A εεεξ+++= )()()(2211n n A x A x A x εεε+++= （2）上式表明，如果我们知道了基12,,,n εεε的象，那么线性空间中任意一个向量ξ的象也就知道了，或者说 1．设12,,,n εεε是线性空间V 的一组基。如果线性变换A 与B 在这组基上的作用相同，即 n i B A i i ,,2,1, ==εε，那么A =B 。证明 A 与B 相等的意义是它们对每个向量的作用相同。因此，我们就是要证明对任一向量ξ，等式A B ξξ=成立。而由（2）及假设，即得 ξεεεεεεξB B x B x B x A x A x A x A n n n n =+++=+++= 22112211 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定。下面我们进一步指出，基向量的象完全可以是任意的，也就是说， 2．设12,,,n εεε是线性空间V 的一组基。对于任意一组向量12,,,n ααα一定有一个线性变换A 使 ,1,2, ,i i A i n εα== （3）证明我们来作出所要的线性变换。设 ∑==n i i i x 1εξ 是线性空间V 的任意一个向量，我们定义V 的变换A 为 1 n i i i A x ξα ==∑ （4）下面来证明变换A 是线性的。在V 中任取两个向量， ∑∑====n i i i n i i i c b 1 1 ,εγεβ。于是 ∑=+=+n i i i i c b 1 )(ελβ， P k kb k n i i i ∈=∑=,1εβ。按所定义的A 的表达式（4），有

(整理)05 第五节线性变换的矩阵表示.

第五节线性变换的矩阵表示分布图示 ★ 线性变换的矩阵表示式 ★ 线性变换在给定基下的矩阵 ★ 线性变换与其矩阵的关系 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 线性变换在不同基下的矩阵 ★ 例4 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-5 内容要点一、线性变换在给定基下的矩阵定义1 设T 是线性空间n V 中的线性变换，在n V 中取定一个基,,,,21n ααα 如果这个基在变换T 下的象为 ???????+++=??????????+++=+++=, )(,)(,)(22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a T a a a T a a a T αααααααααααα 记 )),(,),(),((),,,(2121n n T T T T αααααα = 则上式可表示为 A T n n ),,,(),,,(2121αααααα =，其中A =??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a 21 2222111211, 那末，则称A 为线性变换T 在基n ααα,,,21 下的矩阵. 显然，矩阵A 由基的象)(,),(),(21n T T T ααα 唯一确定. 二、线性变换与其矩阵的关系设A 是线性变换T 在基n ααα,,21 ，下的矩阵，即基n ααα,,,21 在变换T 下的象为 ),,,(21n T ααα =A n ),,,(21ααα , 结论在n V 中取定一个基后，由线性变换T 可唯一地确定一个矩阵A ，由一个矩阵A 也可唯一地确定一个线性变换T . 故在给定基的条件下，线性变换与矩阵是一一对应的. 三、线性变换在不同基下的矩阵已知同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些矩阵之间有什么关系呢？定理1 设线性空间n V 中取定两个基n ααα,,,21 ；n βββ ,,21，由基n ααα,,,21 到基n βββ ,,21的过渡矩阵为P ，n V 中的线性变换T 在这两个基下的矩阵依次为A 和B ，则 AP P B 1-=. 定理表明：B 与A 相似，且两个矩阵之间的过渡矩阵P 就是相似变换矩阵. 定义2 线性变换T 的象空间)(n V T 的维数，称为线性变换T 的秩. 结论 (ⅰ) 若A 是T 的矩阵，则T 的秩就是)(A r . (ⅱ) 若T 的秩为r ，则T 的核r S 的维数为r n -. 例题选讲

03线性变换及其矩阵(精)

第三讲线性变换及其矩阵一、线性变换及其运算定义：设V 是数域K 上的线性空间，T 是V 到自身的一个映射，使得对于V 中的任意元素x 均存在唯一的 y ∈V 与之对应，则称T 为V 的一个变换或算子，记为 Tx ＝y 称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。若变化T 还满足 T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty) ?x,y ∈V , k,l ∈K 称T 为线性变换。 [例1] 二维实向量空间12 2i R R ξξξ?? ??=∈???????? ，将其绕原点旋转θ 角的操作就是一个线性变换。 [证明] 12x ξξ??=???? 12y Tx ηη?? ==???? 112212cos sin sin cos ηξθξθ ηξθξθ =+?? =-+? 1122cos sin sin cos ηξθθηξθθ??????=??????-? ????? 2 R ∈ 可见该操作T 为变换，下面证明其为线性变换 12x x x ???=???? 12z z z ?? =????2R ∈，k ，l R ∈ 11112222=kx lz kx lz kx lz kx lz kx lz +?????? ++=?????? +?????? 1122cos sin ()sin cos kx lz T kx lz kx lz θ θθθ+?? ??+=??? ?+-???? 1122cos sin cos sin sin cos sin cos x z k l x z θ θθθθ θθ θ???? ????=+????????--? ??????? ()()k Tx l Tz =+ ∴ T 是线性变换。 [例2] 次数不超过 n 的全体实多项式n P 构成实数域上的一个 1n +维的线性空间，其基可选为

04 线性变换及其矩阵

第四讲线性变换及其矩阵一、线性变换及其运算 1，定义：T 是到自身的一个映射，满足()n V F x ?∈V 中的任意元，均存在唯一的 y ∈V 与之对应，则称T 为V 的一个变换，记为 Tx ＝y 称y 为x 在变换T 下的象，x 为y 的原象。若变化T 还满足线性性：T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty) x,y ∈V , k,l F ?∈称T 为线性变换。 [例1] 二维实向量空间12 2i R R ξξξ?????????=∈????????????? ，将其绕原点旋转角的操作就是一个线性变换。 θ[证明] 12 2,x R x ξξ?????∈=????12y Tx ηη????==???? 112212cos sin sin cos ηξθξθηξθξ?=+????=?+??θ 1122cos sin sin cos ηξθθηξθθ???? ??????? ?=????????????? 2R ∈ 可见T 为变换，下面证明其为线性变换. [例2] 次数不超过-1的全体实多项式[x]构成实数域上的一个n 维的线性空间，微分算子n n P d dx D =是[x]上的一个线性变换。 n P [证明] Remark: [x]上的积分变换n P 0 (())()x J p x p s ds =∫ 不是[x]上的线性变换，为 C[0,1]上的线性变换。 n P [例3])上对任意固定α为线性变换0=时称零变 (n V F ,()F T λα∈=λ。换； λ

1λ=时称恒等变换。 [例4] 上定义，选定，为上线性变换。 n F (),n n A T X AX A F ×=∈A T n F 2. 性质（1）线性变换把零元素仍变为零元素（T(0)=T(0x)=0(Tx)=0）（2）负元素的象为原来元素的象的负元素（T (-x )=(-1)(Tx )=-(Tx )）（3）线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组 [证明] Remark: 线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的。 3, 线性变换相关的空间 ★象空间 {}|(),..()n V F s t T βαβα=?∈=()R T ()N T dimR(T)为线性变换T 的秩 ★零空间 {}|()0T αα== dimN(T)为线性变换T 的零度。 [例] 求线性变换的象空间和零空间。 A T 4. 线性变换的运算（1）恒等变换e T ：,e x V T x x ?∈= （2）零变换0T ：0 ,0x V T x ?∈=（3）变换的相等：1T 、2T 是V 的两个线性变换，x V ?∈，均有，则称1T ＝2T . 12T x T x =（4）线性变换的和1T +2T ：x V ?∈，2() 121T T x T x Tx +=+（5）线性变换的数乘kT ：x V ?∈，()() kT x k Tx =负变换：() (T x Tx ?=?)