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2019版高考数学一轮复习第7章立体几何7.2空间几何体的表面积与体积课后作业理

2019版高考数学一轮复习第7章立体几何7.2空间几何体的表面积与体积课后作业理
2019版高考数学一轮复习第7章立体几何7.2空间几何体的表面积与体积课后作业理

7.2 空间几何体的表面积与体积

[基础送分提速狂刷练]

一、选择题

1.(2017·东北五校联考)如左图所示,在三棱锥D-ABC中,已知AC=BC=CD=2,CD ⊥平面ABC,∠ACB=90°.若其正视图、俯视图如右图所示,则其侧视图的面积为( )

A. 6 B.2

C. 3

D. 2

答案 D

解析由几何体的结构特征和正视图、俯视图,得该几何体的侧视图是一个直角三角形,其中一直角边为CD,其长度为2,另一直角边为底面三角形ABC的边AB上的中线,其长度

为2,则其侧视图的面积为S=1

2

×2×2=2,故选D.

2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.16+8πB.8+8π

C.16+16πD.8+16π

答案 A

解析由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成(如图所示),其中长方体的长、宽、高分别为4,2,2,圆柱的底面半径为2,高为4.所以该几何体的体积V=4×2×2+

1

2

π×22×4=16+8π.故选A.

3.(2018·合肥质检)一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周),则该几何体的表面积为( )

A.72+6πB.72+4π

C.48+6πD.48+4π

答案 A

解析由三视图知,该几何体由一个正方体的3

4

部分与一个圆柱的

1

4

部分组合而成(如图

所示),其表面积为16×2+(16-4+π)×2+4×(2+2+π)=72+6π.故选A.

4.三棱锥P -ABC 的四个顶点都在体积为500π

3的球的表面上,底面ABC 所在的小圆面

积为16π,则该三棱锥的高的最大值为( )

A .4

B .6

C .8

D .10

答案 C

解析 依题意,设题中球的球心为O 、半径为R ,△ABC 的外接圆半径为r ,则4πR 3

3=500π

3,

解得R =5,由πr 2

=16π,解得r =4,又球心O 到平面ABC 的距离为R 2

-r 2

=3,因此三棱锥P -ABC 的高的最大值为5+3=8.选C.

5.(2017·广东广州一模)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P -ABC 为鳖臑,

PA ⊥平面ABC ,PA =AB =2,AC =4,三棱锥P -ABC 的四个顶点都在球O 的球面上,则球O

的表面积为( )

A .8π

B .12π

C .20π

D .24π

答案 C

解析 如图,因为四个面都是直角三角形,所以PC 的中点到每一个顶点的距离都相等,即PC 的中点为球心O ,易得2R =PC =20,所以R =202,球O 的表面积为4πR 2

=20π.选C.

6.(2016·山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )

A.13+2π

3 B.13+2π3 C.13+2π6 D .1+

6

答案 C

解析 由三视图可知四棱锥为正四棱锥,底面正方形的边长为1,四棱锥的高为1,球的直径为正四棱锥底面正方形的外接圆的直径,所以球的直径2R =2,则R =

2

2

,所以半球的体积为23πR 3=2π6,又正四棱锥的体积为13×12

×1=13,所以该几何体的体积为13+2π6

.

故选C.

7.(2018·河南郑州质检)某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则xy 的最大值为( )

A .32

B .327

C .64

D .647

答案 C

解析 由三视图知三棱锥如图所示,底面ABC 是直角三角形,AB ⊥BC ,PA ⊥平面ABC ,

BC =27,PA 2+y 2=102,(27)2+PA 2=x 2,因此xy =x 102-[x 2-

7

2

]=

x 128-x 2

x 2+

-x

2

2

=64,当且仅当x 2=128-x 2

,即x =8时取等号,因此xy

的最大值是64.选C.

8.(2018·福建质检)空间四边形ABCD 的四个顶点都在同一球面上,E ,F 分别是AB ,

CD 的中点,且EF ⊥AB ,EF ⊥CD .若AB =8,CD =EF =4,则该球的半径等于( )

A.65216

B.6528

C.

652

D.65

答案 C

解析 如图,连接BF ,AF ,DE ,CE ,因为AE =BE ,EF ⊥AB ,所以AF =BF .同理可得EC =ED .又空间四边形ABCD 的四个顶点都在同一球面上,所以球心O 必在EF 上,连接OA ,OC .设该球的半径为R ,OE =x ,则R 2

=AE 2

+OE 2

=16+x 2

①,R 2

=CF 2

+OF 2

=4+(4-x )2

②,由①②解得R =

65

2

.故选C. ( ) A.823

B.5116

C.

4624

D .2 6

答案 A

解析 由题意可知,由棱长2、3、3、4、5、5构成的四面体有如下三种情况:

左图中,由于32

+42

=52

,即图中AD ⊥平面BCD ,

∴V 1=13×12×232-12

×4=823

中间图,由于此情况的底面与上相同,但AC 不与底垂直,故高小于4,于是得V 2<V 1; 右图中,高小于2,底面积1

2×5×

32

-? ??

??522=

5114. ∴V 3<13×5114×2=5116<823.

∴最大体积为823

.故选A.

A.92+32 B .3+3或92+32

C .2+ 3 D.92+3

2

或2+ 3 答案 B

解析 设正方体的棱长为a ,依题意得,4π3×33a 3

8=3π

2,解得a =1.由三视图可知,

该几何体的直观图有以下两种可能,图1对应的几何体的表面积为92+3

2,图2对应的几何

体的表面积为3+ 3.故选B.

二、填空题

11.(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为________.

答案

9π2

解析 设正方体的棱长为a ,则6a 2

=18,∴a = 3. 设球的半径为R ,则由题意知2R =a 2

+a 2

+a 2

=3, ∴R =32.故球的体积V =43πR 3=4π3×? ????323=9π2

.

12.(2016·四川高考)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是________.

答案

3

3

解析 由题意及正视图可知三棱锥的底面等腰三角形的底长为23,三棱锥的高为1,

则三棱锥的底面积为12

×22

3

2

×23=3,

∴该三棱锥的体积为13×3×1=3

3

.

13.(2017·江苏高考)如图,在圆柱O 1O 2内有一个球O ,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O 1O 2的体积为V 1,球O 的体积为V 2,则V 1V 2

的值是________.

答案 3

2

解析 设球O 的半径为R ,

∵球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切, ∴圆柱O 1O 2的高为2R ,圆柱O 1O 2的底面半径为R .

∴V 1V 2=πR 2·2R 43

πR

3=32

. 14.(2018·太原模拟)已知三棱锥A -BCD 中,AB =AC =BC =2,BD =CD =2,点E 是

BC 的中点,点A 在平面BCD 内的射影恰好为DE 的中点,则该三棱锥外接球的表面积为

________.

答案

60π

11

解析

如图,作出三棱锥A -BCD 的外接球,设球的半径为r ,球心O 到底面BCD 的距离为d ,

DE 的中点为F ,连接AF ,过球心O 作AF 的垂线OH ,垂足为H ,连接OA ,OD ,OE ,AE .因为BD =2,CD =2,BC =2,所以BD ⊥CD ,则OE ⊥平面BCD ,OE ∥AF ,所以HF =OE =d .所以

在Rt △BCD 中,DE =1,EF =1

2

.

又AB =AC =BC =2,所以AE =3,所以在Rt △AFE 中,AF =

112

,所以r 2=d 2

+1=? ????112-d 2+14

,解得r 2=1511,所以三棱锥A -BCD 的外接球的表面积S =4πr 2

60π11. 三、解答题

15.(2017·梅州一模)如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG 所截后得到的,其中∠BAE =∠GAD =45°,AB =2AD =2,∠BAD =60°.

(1)求此多面体的全面积;

(2)求此多面体的体积. 解

(1)在△BAD 中,∵AB =2AD =2,∠BAD =60°, ∴由余弦定理可得BD =3, 则AB 2

=AD 2

+BD 2

, ∴AD ⊥BD .

由已知可得,AG ∥EF ,AE ∥GF , ∴四边形AEFG 为平行四边形,

GD =AD =1,∴EF =AG = 2. EB =AB =2,∴GF =AE =2 2.

过G 作GH ∥DC 交CF 于H ,得FH =2,∴FC =3.

过G 作GM ∥DB 交BE 于M ,得GM =DB =3,ME =1,∴GE =2. cos ∠GAE =8+2-42×22×2=34

,∴sin ∠GAE =7

4.

S ?AEFG =2×1

2×2×22×

7

4

=7. 该几何体的全面积S =7+2×12×1×3+12×1×1+12×2×2+12×(1+3)×2+1

2×(2

+3)×1=7+3+9.

(2)V 多面体的体积=V A -BEGD +V G -BCD +V G -BCFE =13S BEGD ·AD +13S △BCD ·DG +1

3

S 四边形BCFE ·BD =13·12(DG +BE )·BD ·AD +13·12BC ·CD ·sin60°·DG +13·1

2(BE +CF )·BC ·BD =332

.

(1)试画出它的直观图; (2)求它的表面积和体积. 解 (1)直观图如图所示:

(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个三棱柱,且该几何体的体积是以A 1A ,

A 1D 1,A 1

B 1为棱的长方体的体积的34

在直角梯形AA 1B 1B 中,作BE ⊥A 1B 1于E ,则四边形AA 1EB 是正方形,∴AA 1=BE =1, 在Rt △BEB 1中,BE =1,EB 1=1, ∴BB 1=2, ∴几何体的表面积

S =S 正方形ABCD +S 矩形A 1B 1C 1D 1+2S 梯形AA 1B 1B +S 矩形BB 1C 1C +S 正方形AA 1D 1D

=1+2×1+2×1

2×(1+2)×1+1×2+1

=7+2(m 2

).

∴几何体的体积V =34×1×2×1=32(m 3

),

∴该几何体的表面积为(7+2) m 2

,体积为32 m 3.

空间几何体的表面积和体积公式汇总表

空间几何体的表面积和 体积公式汇总表 Company Document number:WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

空间几何体的表面积和体积公式汇总表 1.多面体的面积和体积公式 2.旋转体的面积和体积公式 3.(1)圆柱的侧面展开图是一个 ,设底面半径为r ,母线长为l ,那么圆柱的底面积 =底S ,侧面积=侧S ,表面积S = 。 (3)圆锥的侧面展开图是一个 ,设圆锥的底面半径为r ,母线长为l ,那么它的底面积 =底S ,侧面积=侧S ,表面积S = 。 (4)圆台的侧面展开图是一个 ,设上、下底面圆半径分别为r '、r ,母线长为l ,那么上底面面积=上底S ,下底面面积=下底S 那么表面=S 。 4、正四面体的结论:设正四面体的棱长为a ,则这个正四面体的 (1)全面积:S 全2a ; (2)体积:3a ; (3)对棱中点连线段的长:a ; (4)对棱互相垂直。 (5)外接球半径:R= a ; (6)内切球半径; r= a 5、正方体与球的特殊位置结论; 空间几何体练习题 1.已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为1V 和2V ,则 1V :2V 是( ) A. 1:3 B. 1:1 C. 2:1 D. 3:1 2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是( ) A. ππ221+ B. ππ421+ C. ππ21+ D. π π241+ 3.一个圆锥的展开图如图所示,其中扇形的圆心角为0120,已知 底面圆的半径为1,求该圆锥的体积。 4. 已知棱长为a ,各面均为等边三角形的四面体ABC S -,求它的表面积。

立体几何表面积和体积习题(一)

立体几何周考(一) 一、选择题 1 .(2013年高考重庆卷(文))某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为() A.180B.200C.220D.240 2 .(2013年高考课标Ⅱ卷(文))一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是 ,画该四面体三视图中的正视图时,以平面为投影面,则得到正视图可以为()

A . B . C . D . 3 .(2013年高考课标Ⅰ卷(文))某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为 ( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 4 .(2013年高考四川卷(文))一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是( ) A .棱柱 B .棱台 C .圆柱 D .圆台 5 .(2013年高考浙江卷(文))已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 ( ) A .108cm 3 B .100 cm 3 C .92cm 3 D .84cm 3 6 .(2013年高考北京卷(文))如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,P 为对角线1BD 的三等分点, 则P 到各顶点的距离的不同取值有 ( )

A .3个 B .4个 C .5个 D .6个 7 .(2013年高考广东卷(文))某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是( ) A .16 B .13 C .23 D .1 8 .(2013年高考湖南(文))已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图的矩形,则该正方体的正视图的面积等于( ) A B .1 C D 9.(2013年高考山东卷(文))一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是( ) 图 2

空间几何体的表面积和体积公式汇总表

空间几何体的表面积和体积公式汇总表 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-

空间几何体的表面积和体积公式汇总表 1.多面体的面积和体积公式 2.旋转体的面积和体积公式 3.(1)圆柱的侧面展开图是一个 ,设底面半径为r ,母线长为l ,那么圆柱的底面积 =底S ,侧面积=侧S ,表面积S = 。 (3)圆锥的侧面展开图是一个 ,设圆锥的底面半径为r ,母线长为l ,那么它的底面积 =底S ,侧面积=侧S ,表面积S = 。 (4)圆台的侧面展开图是一个 ,设上、下底面圆半径分别为r '、r ,母线长为l ,那么上底面面积=上底S ,下底面面积=下底S 那么表面=S 。 4、正四面体的结论:设正四面体的棱长为a ,则这个正四面体的 (1)全面积:S 全2a ; (2)体积:V=312a ; (3)对棱中点连线段的长:d= 2 a ; (4)对棱互相垂直。 (5)外接球半径:R= a ; (6)内切球半径; r= a 5、正方体与球的特殊位置结论; 空间几何体练习题 1.已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为1V 和2V ,则1V :2V 是( ) A. 1:3 B. 1:1 C. 2:1 D. 3:1 2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是( ) A. ππ221+ B. ππ421+ C. ππ21+ D. π π241+ 3.一个圆锥的展开图如图所示,其中扇形的圆心角为0120,已知 底面圆的半径为1,求该圆锥的体积。 4. 已知棱长为a ,各面均为等边三角形的四面体ABC S -,求它的表面积。 5.圆柱的侧面展开图是长、宽分别为6π和π4的矩形,求圆柱的体积。 6.若圆台的上下底面半径分别为1和3,它的侧面积是两底面面积和的2倍,则圆台的母线长是( ) A. 2 B. C. 5 D. 10 7.圆柱的侧面展开图是长为12cm ,宽8cm 的矩形,则这个圆柱的体积为( )

空间几何体的表面积和体积

空间几何体的表面积和体积 [基础要点] 1.圆柱的表面积公式: 2.圆锥的表面积公式: 3.圆台的表面积公式: 4.圆锥的体积公式: 5.棱锥的体积公式: 6.圆台的体积公式: 7.球的表面积公式: 8.球的体积公式: 题型一、柱体的体积、表面积公式 例1、直平行六面体的底面为菱形,过不相邻两条侧棱的截面面积为12,Q Q ,求它的侧面积 变式:如图是一个平面截长方体得剩余部分,已知4,3,AB BC ==5,8AE BF ==, 12C G =,求几何体的体积 题型二、锥体、球体的体积和表面积公式 例2、正四面体棱长为a ,求其外接球和内切球的表面积 变式:一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球,在圆锥内又有一个内切球,求: (1)圆锥的侧面积 (2)圆锥的内切球的体积 题型三、台体的表面积与体积公式 例3、如图,已知正三棱台111A B C ABC -的两底面边长分别为2和8,侧棱长等于6,求三棱台的体积V D1 O1C1 D C B1 B A1 A O H

变式:用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面,要求铁桶的上底半径是24㎝,下底半径为16㎝,母线长为48㎝,则矩形铁皮的长边长是多少? 题型四、实际问题与几何体面积、体积的结合 例4、如图示,一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成,球的半径为R ,正四棱台的上、下底面边长分别是2.5R 和3R ,斜高为0.6R , (1)求这个容器盖子的表面积(用R 表示,焊接处对面积的影响忽略不计) (2)若R=2㎝,为盖子涂色时所用的涂料每0.4kg 可以涂1㎡,计算为100个这样的盖子涂色约需要多少千克。(精确到0.1kg ) 变式:某人买了一罐容积为V 升、高为a 米的直三棱柱型罐装进口液体车油,由于不小心摔落地上,结果有两处破损并发生渗漏,它们的位置分别在两条棱上且距底高度分别为,b c 的地方(单位:米),为了减少罐内液油的损失,该人采用罐口朝上,倾斜灌口的方式拿回家,试问罐内液油最理想的估计能剩多少? [自测训练] 1、已知正四面体ABCD 的表面积为S ,其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ,设四面体EFGH 的表面积为T ,则T S 等于( ) A 、 19 B 、49 C 、 14 D 、 13 2、圆柱的轴截面是边长为5㎝的正方形ABCD ,从A 到C 圆柱侧面上的最短距离为( ) A 、10㎝ B 、 2 542 π+㎝ C 、52㎝ D 、2 51π+㎝ 3、棱锥的高为16㎝,底面积为2 512cm ,平行于底面的截面积为2 50cm ,则截面与底面的距离为( ) A 、5㎝ B 、10㎝ C 、11㎝ D 、25㎝

空间几何体的表面积和体积公式大全

空间几何体的表面积与体积公式大全 一、 全(表)面积(含侧面积) 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2、 锥体 ① 棱锥:h c S ‘ 底棱锥侧21= ② 圆锥:l c S 底圆锥侧2 1 = 3 、 台体 ① 棱台:h c c S )(2 1 ‘下底上底棱台侧+= ② 圆台:l c c S )(2 1 下底上底棱台侧+= 4、 球体 ① 球:r S 24π=球 ② 球冠:略 ③ 球缺:略 二、 体积 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2 、 锥体 ① 棱锥 ② 圆锥

3、 ① 棱台 ② 圆台 4、 球体 ① 球: r V 33 4 π=球 ② 球冠:略 ③ 球缺:略 说明:棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h ' 计算;而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l 计算。 三、 拓展提高 1、 祖暅原理:(祖暅:祖冲之的儿子) 夹在两个平行平面间的两个几何体,如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等,那么这两个几何体的体积相等。 最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、 阿基米德原理:(圆柱容球) 圆柱容球原理:在一个高和底面直径都是r 2 的圆柱形容器内装一个最大的 球体,则该球体的全面积等于圆柱的侧面积,体积等于圆柱体积的3 2 。

分析:圆柱体积:r r h S V r 3 222)(ππ=?==圆柱 圆柱侧面积:r h c S r r 2 42)2(ππ=?==圆柱侧 因此:球体体积:r r V 333 4 23 2ππ=?=球 球体表面积:r S 24π=球 通过上述分析,我们可以得到一个很重要的关系(如图) + = 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、 台体体积公式 公式: )(3 1 S S S S h V 下下 上 上台++= 证明:如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。 延长两侧棱相交于一点P 。 设台体上底面积为S 上,下底面积为S 下高为h 。 易知:PDC ?∽PAB ?,设h PE 1=, 则h h PF +=1 由相似三角形的性质得: PF PE AB CD =

空间几何体表面积与体积公式大全

空间几何体的表面积与体积公式大全 一、全(表)面积(含侧面积) 1、柱体 ①棱柱 ②圆柱 2、锥体 ①棱锥: ②圆锥: 3、台体 ①棱台: ②圆台: 4、球体 ①球: ②球冠:略 ③球缺:略 二、体积 1、柱体 ①棱柱 ②圆柱 2、锥体 ①棱锥 ②圆锥

3、台体 ①棱台 ②圆台 4、球体 ①球: ②球冠:略 ③球缺:略 说明:棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高计算;而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线计算。 三、拓展提高 1、祖暅原理:(祖暅:祖冲之的儿子) 夹在两个平行平面间的两个几何体,如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等,那么这两个几何体的体积相等。 最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、阿基米德原理:(圆柱容球) 圆柱容球原理:在一个高和底面直径都是的圆柱形容器内装一个最大的球体,则该球体的全面积等于圆柱的侧面积,体积等于圆柱体积的。

分析:圆柱体积: 圆柱侧面积: 因此:球体体积: 球体表面积: 通过上述分析,我们可以得到一个很重要的关系(如图) += 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、台体体积公式 公式: 证明:如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形。 延长两侧棱相交于一点。 设台体上底面积为,下底面积为 高为。 易知:∽,设, 则 由相似三角形的性质得:

即:(相似比等于面积比的算术平方根) 整理得: 又因为台体的体积=大锥体体积—小锥体体积 ∴ 代入:得: 即: ∴ 4、球体体积公式推导 分析:将半球平行分成相同高度的若干层(),越大,每一层越近似于圆柱,时,每一层都可以看作是一个圆柱。这些圆柱的高为,则:每个圆柱的体积= 半球的体积等于这些圆柱的体积之和。 ……

空间几何体的表面积和体积讲解及经典例题

空间几何体的表面积和体积 一.课标要求: 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)。 二.命题走向 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题,也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题,也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想,会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题,会等体积转化求解问题,会把立体问题转化为平面问题求解,会运用“割补法”等求解。 由于本讲公式多反映在考题上,预测2009年高考有以下特色: (1)用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式; (2)考题可能为:与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题;与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题; 三.要点精讲 1.多面体的面积和体积公式 长。 2.旋转体的面积和体积公式 12

下底面半径,R 表示半径。 四.典例解析 题型1:柱体的体积和表面积 例1.一个长方体全面积是20cm 2 ,所有棱长的和是24cm ,求长方体的对角线长. 解:设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得:? ??=++=++24)(420 )(2z y x zx yz xy )2()1( 由(2)2 得:x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2yz+2xz=36(3) 由(3)-(1)得x 2+y 2+z 2 =16 即l 2 =16 所以l =4(cm)。 点评:涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、切)与面积、体积之间的关系。 例2.如图1所示,在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB=5,AD=4,AA 1=3,AB ⊥AD ,∠A 1AB=∠A 1AD= 3 π。 (1)求证:顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上; (2)求这个平行六面体的体积。 图1 图2 解析:(1)如图2,连结A 1O ,则A 1O ⊥底面ABCD 。作OM ⊥AB 交AB 于M ,作ON ⊥AD 交AD 于N ,连结A 1M ,A 1N 。由三垂线定得得A 1M ⊥AB ,A 1N ⊥AD 。∵∠A 1AM=∠A 1AN , ∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA,∴A 1M=A 1N , 从而OM=ON 。 ∴点O 在∠BAD 的平分线上。 (2)∵AM=AA 1cos 3 π =3×21=23 ∴AO=4 cos πAM =223 。 又在Rt △AOA 1中,A 1O 2 =AA 12 – AO 2 =9- 29=2 9,

空间几何体的表面积和体积公式汇总表

空间几何体的表面积和体积公式汇总表 1.多面体的面积和体积公式 2.旋转体的面积和体积公式 1、圆柱体: 表面积:2πRr+2πRh 体积:πR2h (R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高) 2、圆锥体: 表面积:πR2+πR[(h2+R2)的平方根]

体积:πR2h/3 (r为圆锥体低圆半径,h为其高, 3、正方体 a-边长,S=6a2 ,V=a3 4、长方体 a-长,b-宽,c-高S=2(ab+ac+bc) V=abc 5、棱柱 S-底面积h-高V=Sh 6、棱锥 S-底面积h-高V=Sh/3 7、棱台 S1和S2-上、下底面积h-高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3 8、拟柱体 S1-上底面积,S2-下底面积,S0-中截面积 h-高,V=h(S1+S2+4S0)/6 9、圆柱 r-底半径,h-高,C—底面周长 S底—底面积,S侧—侧面积,S表—表面积C=2πr S底=πr2,S侧=Ch ,S表=Ch+2S底,V=S底h=πr2h 10、空心圆柱 R-外圆半径,r-圆半径h-高V=πh(R^2-r^2) 11、直圆锥 r-底半径h-高V=πr^2h/3

12、圆台 r-上底半径,R-下底半径,h-高V=πh(R2+Rr+r2)/3 13、球 r-半径d-直径V=4/3πr^3=πd^3/6 14、球缺 h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6 = πh2(3r-h)/3 15、球台 r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/6 16、圆环体 R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/4 17、桶状体 D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高 V=πh(2D2+d2)/12 ,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心) V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15 (母线是抛物线形) 1.直线在平面的判定 (1)利用公理1:一直线上不重合的两点在平面,则这条直线在平面. (2)若两个平面互相垂直,则经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面,即若α⊥β,A∈α,AB⊥β,则ABα. (3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线,都在过此点而垂直于已知直线的平面,即若A∈a,a⊥b,A∈α,b⊥α,则aα. (4)过平面外一点和该平面平行的直线,都在过此点而与该平面平行的平面,即若Pα,P∈β,β∥α,P∈a,a∥α,则aβ.

8.空间几何体的表面积和体积练习题

一、选择题(每小题5分,共计60分。请把选择答案填在答题卡上。) 1.以三棱锥各面重心为顶点,得到一个新三棱锥,它的表面积是原三棱锥表面积的 A.31 B.41 C.91 D.161 2.正六棱锥底面边长为a ,体积为323a ,则侧棱与底面所成的角等于 A. 6π B.4π C.3 π D.125π 3.有棱长为6的正四面体S-ABC ,C B A ''',,分别在棱SA ,SB ,SC 上,且S A '=2,S B '=3,S C '=4,则截面C B A '''将此正四面体分成的两部分体积之比为 A.91 B.81 C.41 D.31 4.长方体的全面积是11,十二条棱长的和是24,则它的一条对角线长是 A .32. B. 14 C. 5 D.6 5.圆锥的全面积是侧面积的2倍,侧面展开图的圆心角为α,则角α的取值范围是 A .(]??90,0 B (]??270,180 C (]??180,90 D Φ 6. 正四棱台的上、下底面边长分别是方程01892=+-x x 的两根,其侧面积等于两底面积的和,则其斜高与高分别为 A .25与2 B.2与2 3 C.5与 4 D.2与3 7.已知正四面体A-BCD 的表面积为S ,其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ,设四面体E-FGH 的表面积为T ,则S T 等于 A .91 B.94 C. 41 D.31 8. 三个两两垂直的平面,它们的三条交线交于一点O ,点P 到三个平面的距离比为1∶2∶3,PO=214,则P 到这三个平面的距离分别是 A .1,2,3 B .2,4,6 C .1,4,6 D .3,6,9 9.把直径分别为cm cm cm 10,8,6的三个铁球熔成一个大铁球,这个大铁球的半径是 A .cm 3 B.cm 6 C. cm 8 D.cm 12 9. 如图,在多面体ABCDEF 中,已知ABCD 是边长为1的正方 形,且BCF ADE ??、均为正三角形,EF ∥AB ,EF=2,则该 多面体的体积为 A.3/2 B.33 C.34 D.23 10.如图,在四面体ABCD 中,截面AEF 经过四面体的 内切球(与四个面都相切的球)球心O ,且与BC ,DC 分别交于E 、F ,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥A -BEFD 与三棱锥A -EFC 的 表面积分别是21S S 、,则必有 A.S 1S 2 C. S 1=S 2 D.21S 与S 的大小关系不能确定 D B A O E F

空间几何体表面积和体积练习题

空间几何体的表面积和体积练习题 题1 一个圆锥与一个球的体积相等,圆锥的底面半径是球的半径的3倍,则圆锥的高与底面半径之比为( ) A.49 B.94 C.427 D.274 题2 正四棱锥P —ABCD 的五个顶点在同一个球面上,若该正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为6,则此球的体积为________. 题3 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .2π+2 3 B .4π+2 3 C .2π+233 D .4π+233 题4 如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2.动点E ,F 在棱A 1B 1上,点Q 是棱CD 的中点,动点P 在棱AD 上.若EF =1,DP =x ,A 1E =y (x ,y 大于零),则三棱锥P -EFQ 的体积.( ) A .与x ,y 都有关 B .与x ,y 都无关 C .与x 有关,与y 无关 D .与y 有关,与x 无关 题5 直角梯形的一个底角为45°,下底长为上底长的32 ,这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积是(5+2)π,求这个旋转体的体积. 题6 设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( ) A .πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D .5πa 2 题7 在球心同侧有相距9 cm 的两个平行截面,它们的面积分别为49π cm 2和400π cm 2,求球的表面积. 题8 正四棱台的高为12cm ,两底面的边长分别为2cm 和12cm .(Ⅰ)求正四棱台的全面积;(Ⅱ)求正四棱台的体积. 题9 如图,已知几何体的三视图(单位:cm).(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);(2)求这个几何体的表面积及体积. 题10 如图,在长方体ABCD A B C D ''''-中,用截面截下一个棱锥C A DD ''-,求棱锥C A DD ''-的体积与剩余部分的体积之比. 题11 已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所

立体几何 空间几何体的表面积与体积

第2讲空间几何体的表面积与体积 考点 考查柱、锥、台、球的体积和表面积,由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合,难度有所增大. 【复习指导】 本讲复习时,熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式,运用这些公式解决一些简单的问题. 基础梳理 1.柱、锥、台和球的侧面积和体积 2. (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和. (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形;它们的表面积等于侧面积与底面面积之和.

两种方法 (1)解与球有关的组合体问题的方法,一种是切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面进行解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图. (2)等积法:等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高,特别是在求三角形的高和三棱锥的高.这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高,而通过直接计算得到高的数值. 双基自测 1.(人教A版教材习题改编)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是( ). A.4πS B.2πS C.πS D.23 3 πS 解析设圆柱底面圆的半径为r,高为h,则r=S π , 又h=2πr=2πS,∴S圆柱侧=(2πS)2=4πS. 答案 A 2.(2012·东北三校联考)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( ). A.3πa2 B.6πa2 C.12πa2 D.24πa2 解析由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,则长方体的体对角线长为2a2+a2+a2=6a.又长方体外接球的直径2R等于长方体的体对角线,∴2R=6a.∴S球=4πR2=6πa2. 答案 B

空间几何体的表面积和体积(一)

空间几何体的表面积与体积 柱体、锥体、台体的表面积与体积 [新知初探] 1.柱体、锥体、台体的表面积公式 2.柱体、锥体、台体的体积公式 柱体的体积公式V=Sh(S为底面面积,h为高); 锥体的体积公式V= 1 3Sh(S为底面面积,h为高); 台体的体积公式V= 1 3(S′+S′S+S)h. [点睛](1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系:

[小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)锥体的体积等于底面面积与高之积( ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差( ) 答案:(1)× (2)√ 2.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥,底面边长为a 时,该三棱锥的表面积是( ) A.3+34a 2 B.34a 2 C.3+32 a 2 D.6+34 a 2 解析:选A ∵侧面都是等腰直角三角形,故侧棱长等于2 2 a ,∴S 表 = 34a 2+3×12 × ??? ?22a 2=3+34a 2. 3.若圆锥的底面半径为3,母线长为5,则圆锥的体积是________. 解析:由已知圆锥的高h =4, 所以V 圆锥=1 3π×32×4=12π. 答案:12π 柱、锥、台的表面积 [典例] 现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,求该 直四棱柱的侧面积. [解] 如图,设底面对角线AC =a ,BD =b ,交点为O ,对角线A 1C =15,B 1D =9, ∴a 2+52=152,b 2+52=92, ∴a 2=200,b 2=56. ∵该直四棱柱的底面是菱形, ∴AB 2= ????AC 22+????BD 22=a 2+b 2 4=200+564 =64,∴AB =8. ∴直四棱柱的侧面积S =4×8×5=160. (1)求几何体的表面积问题,通常将所给几何体分成基本几何体,再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差,从而获得几何体的表面积,另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积.

立体几何图形的表面积和体积

立体几何图形的表面积和体积 学习要求 1. 认识长方体和正方体。 2. 会求长方体和正方体的表面积: (1) 长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 (2) 正方体的表面积=棱长×棱长×6 3. 会求长方体和正方体的体积: (1) 长方体的体积=长×宽×高,用字母表示:V=a.b.h 。 (2) 正方体的体积=棱长×棱长×棱长,用字母表示:V=a.a.a=a 3 (3) 长方体和正方体的体积计算方法可以统一起来,即长方体(或正方体)的体积=底面积×高,用字母表示为:V=Sh 。 4. 认识常用的体积单位:立方厘米、立方分米和立方米,知道体积单位间的进率和换算。 ×1000 ×1000 立方米 立方分米 立方厘米 ÷1000 ÷1000 5. 认识常用的容积单位:升(L )和毫升(mL ),1L=1000mL ,1L=1dm 3,1mL=1cm 3。 讲练互动 例1 看图求表面积。 (1) (2) 4cm 3cm 3cm 6cm 6cm 分析:(1)(2)分别是由两个长方体、两个正方体组成的图形,可以先算出两个长方体、正方体的表面积,再减去重叠在一起的两个表面,也可以按面的个数直接计算。 解:(1) (6×4+6×5+5×4)×2×2-5×4×2=256(cm 2)或 5×6×4+5×4×2+6×4×4=256(cm 2) (2) 3×3×6×2-3×3×2=90(cm 2)或 3×3×10=90(cm 2) 即时练习1 看图求表面积 (1) (2) 5cm

例2 一根长方体木料,长4米,横截面的面积是0.08平方米。这根木料的体积是多少? 分析:这根木料的体积可以用公式“长方体的体积=底面积×高”求出,这里的横截面积就是底面积。 解:0.08×4=0.32(立方米) 答:这根木料的体积是0.32立方米。 即时练习2一个正方体,其中一个表面的面积为36cm2,这个正方体的体积是多少? 例3已知一个长方体蓄水池的容积为12000m3,池底为正方形,其面积为400m2,这个蓄水池的高是多少米? 分析:根据长方体体积的计算公式:V=Sh,其中S=400m2,可知h=V÷S=12000÷400。 解:12000÷400=30(米) 答:这个蓄水池的高是30米。 即时练习3一个正方体的棱长为30分米,它的表面积为多少平方米?体积为多少立方米?基础过关训练 一、填空。 1.长方体有()个面,()条棱,()个顶点。在一个长方体中,相对的面(),相对的棱()。 2.正方体是由6个完全相同的()围成的立体图形。它有()条棱,它们的长度();有()个顶点。 3.长方体、立方体六个面的面积之和叫做它们的();物体所占空间的大小,叫做物体的()。 4.1.25升=()毫升 3.8立方分米=()毫升4.5立方米=()立方分米750立方厘米=()立方分米 5400立方厘米=()毫升=()升 3.85升=()立方分米=()立方厘米 5.一个正方体的棱长是5厘米,它的表面积是()平方厘米,体积是()立方厘米。 6.一个长方体的体积是120立方厘米,长8厘米,宽5厘米,高()厘米。 二、选择题。 (1)把一根长方体木料锯成4段,共增加了()的面积。 A. 3个面 B. 4个面 C. 6个面 D. 8个面 (2)你见过火柴盒吗?一个火柴盒的体积约为15()。 A. 立方米 B. 立方分米 C. 立方厘米 D. 立方毫米 (3)把3个棱长为2厘米的立方体,粘合成长方体,这个长方体的表面积比原来三个立方体的表面积之和减少()。 A. 4 B. 6 C.8 D. 16 (4)大正方体的表面积是小正方体的4倍,那么大正方体的棱长是小正方体的棱长的()倍。 A. 2 B. 4 C.6 D. 8

空间几何体的表面积与体积 示范教案

1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 整体设计 教学分析 本节一开始的“思考”从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手,分析展开图与其表面积的关系,目的有两个:其一,复习表面积的概念,即表面积是各个面的面积的和;其二,介绍求几何体表面积的方法,把它们展成平面图形,利用平面图形求面积的方法,求立体图形的表面积. 接着,教科书安排了一个“探究”,要求学生类比正方体、长方体的表面积,讨论棱柱、棱锥、棱台的表面积问题,并通过例1进一步加深学生的认识.教学中可以引导学生讨论得出:棱柱的展开图是由平行四边形组成的平面图形,棱锥的展开图是由三角形组成的平面图形,棱台的展形图是由梯形组成的平面图形.这样,求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形和梯形的面积问题. 教科书通过“思考”提出“如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征,求它们的表面积?”的问题.教学中可引导学生回忆圆柱、圆锥的形成过程及其几何特征,在此基础上得出圆柱的侧面可以展开成为一个矩形,圆锥的侧面可以展开成为一个扇形的结论,随后的有关圆台表面积问题的“探究”,也可以按照这样的思路进行教学.值得注意的是,圆柱、圆锥、圆台都有统一的表面积公式,得出这些公式的关键是要分析清楚它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系,教学中应当引导学生认真分析,在分别学习了圆柱、圆锥、圆台的表面积公式后,可以引导学生用运动、变化的观点分析它们之间的关系.由于圆柱可看成上下两底面全等的圆台;圆锥可看成上底面半径为零的圆台,因此圆柱、圆锥就可以看成圆台的特例.这样,圆柱、圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的表面积公式之下. 关于体积的教学.我们知道,几何体占有空间部分的大小,叫做几何体的体积.这里的“大小”没有比较大小的含义,而是要用具体的“数”来定量的表示几何体占据了多大的空间,因此就产生了度量体积的问题.度量体积时应知道:①完全相同的几何体,它的体积相等;②一个几何体的体积等于它的各部分体积的和.体积相等的两个几何体叫做等积体.相同的两个几何体一定是等积体,但两个等积体不一定相同.体积公式的推导是建立在等体积概念之上的. 柱体和锥体的体积计算,是经常要解决的问题.虽然有关公式学生已有所了解,但进一步了解这些公式的推导,有助于学生理解和掌握这些公式,为此,教科书安排了一个“探究”,要求学生思考一下棱锥与等底等高的棱柱体积之间的关系.教学中,可以引导学生类比圆柱与圆锥之间的体积关系来得出结论. 与讨论表面积公式之间的关系类似,教科书在得出柱体、锥体、台体的体积公式后,安排了一个“思考”,目的是引导学生思考这些公式之间的关系,建立它们之间的联系.实际上,这几个公式之间的关系,是由柱体、锥体和台体之间的关系决定的.这样,在台体的体积公式中,令S′=S,得柱体的体积公式;令S′=0,得锥体的体积公式. 值得注意的是在教学过程中,要重视发挥思考和探究等栏目的作用,培养学生的类比思维能力,引导学生发现这些公式之间的关系,建立它们的联系.本节的重点应放在公式的应用上,防止出现:教师在公式推导过程中“纠缠不止”,要留出“空白”,让学生自己去思考和解决问题.如果有条件,可以借助于信息技术来展示几何体的展开图.对于空间想象能力较差的学生,可以通过制作实物模型,经过操作确认来增强空间想象能力. 三维目标 1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式(不要求记忆),提高学生的空间想象能力和几何直观能力,培养学生的应用意识,增加学生学习数学的兴趣.

空间几何体的表面积和体积

空间几何体的表面积和体积 矗教学目标) 能够熟练运用柱、锥、台、球的表面积和体积公式计算一些组合体的表面积和体积; 用联系、类比的方法解决一些有关空间几体的实际问题? ㈱?知识梳理〕 一、展开图定义 一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形,这个平面图形叫做该 多面体的平面展开图. 二、特殊几何体的定义 1. 直棱柱:__________的棱柱叫做直棱柱. 2. 正棱柱:__________的直棱柱叫做正棱柱. 3. 正棱锥:底面是,并且顶点在底面的 _______ 是底面的中心的棱锥叫正棱锥. 正棱锥的性质: (1)正棱锥的侧棱相等; (2)侧面是全等的等腰三角形; (3)侧棱、高、底面构成直角三角形. 4. 正棱台:正棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分角正棱台. 正棱台的性质: (1) 正棱棱台的侧棱长相等 (2) 侧面是全等的等腰三角形; (3) 高,侧棱,上、下底面的边心距构成直角梯形. 三、侧面积与表面积公式 1. 正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积公式 ⑴设直棱柱高为h,底面多边形的周长为 c,则直棱柱侧面积计算公式:S直棱柱侧= ch,即 直棱柱的侧面积等于它的_______ 和—的乘积. (2)设正n棱锥的底面边长为 a,底面周长为c,斜高为h',则正n棱锥的侧面积的计算公 式: 和乘积的一半. (3)设正n棱台下底面边长为 a、周长为c,上底面边长为a'、周长为c',斜高为h',则正 n棱台的侧面积公式: (4) 棱柱、棱锥、棱台的表面积 (或全面积)等于底面积与侧面积的和,即 S表= ____________ +

空间几何体的表面积与体积公式大全

空间几何体的表面积与体积公式大全 一、 全(表)面积(含侧面积) 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2、 锥体 ① 棱锥:h c S ‘ 底棱锥侧21= ② 圆锥:l c S 底圆锥侧2 1 = 3、 台体 ① 棱台:h c c S )(21 ‘下底上底棱台侧+= ② 圆台:l c c S )(2 1 下底上底棱台侧+= 4、 球体 ① 球:r S 24π=球 ② 球冠:略 ③ 球缺:略 二、 体积 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2、 锥体 ① 棱锥

② 圆锥 3、 ① 棱台 ② 圆台 4、 ① 球:r V 33 4 π=球 ② 球冠:略 ③ 球缺:略 说明:棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h '计算;而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l 计算。 三、 拓展提高 1、 祖暅原理:(祖暅:祖冲之的儿子) 夹在两个平行平面间的两个几何体,如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等,那么这两个几何体的体积相等。 最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、 阿基米德原理:(圆柱容球) 圆柱容球原理:在一个高和底面直径都是r 2的圆柱形容器内装一个最大的球体,则该球体的全面积等于圆柱的侧面积,体积等于圆柱体积的3 2 。

分析:圆柱体积:r r h S V r 3 222)(ππ=?==圆柱 圆柱侧面积:r h c S r r 2 42)2(ππ=?==圆柱侧 因此:球体体积:r r V 333 423 2ππ=?=球 球体表面积:r S 24π=球 通过上述分析,我们可以得到一个很重要的关系(如图) = 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、 台体体积公式 公式: )(3 1 S S S S h V 下下 上 上台++= 证明:如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。 延长两侧棱相交于一点P 。 设台体上底面积为S 上,下底面积为S 下高为h 。 易知:PDC ?∽PAB ?,设h PE 1=, 则h h PF +=1

高一数学空间几何体的表面积和体积知识点及题型例题

空间几何体的表面积和体积例题解析 一.课标要求了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆,理解为主)。二.命题走向----用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式; 三.要点精讲 1.多面体的面积和体积公式 表中S表示面积,c′、c分别表示上、下底面周长,h表斜高,h′表示斜高,l表示侧棱长。2.旋转体的面积和体积公式 表中l、h分别表示母线、高,r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r1、r2分别表示圆台上、下底面半径,R表示半径。 四.典例解析 题型1:柱体的体积和表面积

例1.一个长方体全面积是20cm 2,所有棱长的和是24cm ,求长方体的对角线长. 解:设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得:? ??=++=++24)(420 )(2z y x zx yz xy )2()1( 由(2)2得:x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36(3) 由(3)-(1)得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16所以l =4(cm)。 点评:涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、体积之间的关系。 例2.如图1所示,在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB=5,AD=4,AA 1=3,AB ⊥AD ,∠A 1AB=∠A 1AD= 3 π 。 (1)求证:顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上; (2)求这个平行六面体的体积。 图1 图2 解析:(1)如图2,连结A 1O ,则A 1O ⊥底面ABCD 。作OM ⊥AB 交AB 于M ,作ON ⊥AD 交AD 于N ,连结A 1M ,A 1N 。由三垂线定得得A 1M ⊥AB ,A 1N ⊥AD 。∵∠A 1AM=∠A 1AN , ∴Rt△A 1NA≌Rt△A 1MA,∴A 1M=A 1N ,从而OM=ON 。∴点O 在∠BAD 的平分线上。

空间几何体的表面积与体积考点与题型归纳

空间几何体的表面积与体积考点与题型归纳 一、基础知识 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 ①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和,而表面积是侧面积与所有底面面积之和. ②圆台、圆柱、圆锥的转化 当圆台的上底面半径与下底面半径相等时,得到圆柱;当圆台的上底面半径为零时,得到圆锥,由此可得: 2.空间几何体的表面积与体积公式 二、常用结论

几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a ,球的半径为R , ①若球为正方体的外接球,则2R =3a ; ②若球为正方体的内切球,则2R =a ; ③若球与正方体的各棱相切,则2R =2a . (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ,b ,c ,外接球的半径为R ,则2R =a 2+b 2+c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 考点一 空间几何体的表面积 [典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1,O 2,过直线O 1O 2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( ) A .122π B .12π C .82π D .10π (2)(2019·沈阳质检)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是( ) A .4+4 2 B .42+2 C .8+4 2 D.83 [解析] (1)设圆柱的轴截面的边长为x , 则x 2=8,得x =22, ∴S 圆柱表=2S 底+S 侧=2×π×(2)2+2π×2×22

=12π.故选B. (2)由三视图可知该几何体是一个四棱锥,记为四棱锥P -ABCD ,如图所示,其中P A ⊥底面ABCD ,四边形ABCD 是正方形,且P A =2,AB =2,PB =22,所以该四棱锥的侧面积S 是四个直角三角形的面积和,即S =2×??? ?12×2×2+1 2×2×22=4+42,故选A. [答案] (1)B (2)A [题组训练] 1.(2019·武汉部分学校调研)一个几何体的三视图如图所示,则它的表面积为( ) A .28 B .24+25 C .20+4 5 D .20+25 解析:选B 如图,三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱ABIE -DCMH ,则该几何体的表面积S =(2×2)×5+????1 2×1×2×2+2×1+2×5=24+2 5 .故选B. 2.(2018·郑州第二次质量预测)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( )

必修空间几何体表面积体积知识点

必修21.3空间几何体的表面积、体积 例1已知棱长为a ,各面均为等边三角形的四面体S —ABC (图6),求它的表面积. 图6 分析:由于四面体S —ABC 的四个面是全等的等边三角形,所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍. 解:先求△SBC 的面积,过点S 作SD ⊥BC ,交BC 于点D. 因为BC=a,SD=a a a BD SB 2 3)2(2222=-=-, 所以S △SBC =2 1BC·SD=2432321a a a =?. 因此,四面体S —ABC 的表面积S=4× 2234 3a a =. 变式训练 1.已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等.若圆柱的底面半径为r ,圆柱侧面积为S ,求圆锥的侧面积. 解:设圆锥的母线长为l ,因为圆柱的侧面积为S ,圆柱的底面半径为r ,即S 圆柱侧=S ,根据圆柱的侧面积公式可得:圆柱的母线(高)长为r S π2,由题意得圆锥的高为r S π2,又圆锥的底面半径为r ,根据勾股定理,圆锥的母线长l=22)2(r S r π+,根据圆锥的侧面积公式得: S 圆锥侧=πrl=π·r·24)2(2 4222 S r r S r +=+ππ. 2.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段,那么圆锥被分成的三部分的体积的比是() A.1∶2∶3 B.1∶7∶19 C.3∶4∶5 D.1∶9∶27 分析:因为圆锥的高被分成的三部分相等,所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1∶2∶3,于是自上而下三个圆锥的体积之比为(h r 23π )∶[2)2(3r π ·2h ]∶[2)3(3r π ·3h ] =1∶8∶27,所以圆锥被分成的三部分的体积之比为1∶(8-1)∶(27-8)=1∶7∶19. 答案:B 3.三棱锥V —ABC 的中截面是△A 1B 1C 1,则三棱锥V —A 1B 1C 1与三棱锥A —A 1BC 的体积之比是() A.1∶2 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶8

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