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1函数与极限(1-58)

·1·

第一章函数与极限

第一节函数

§1.1 函数内容网络图

区间

定义域不等式定义集合对应法则表格法

表达方法图象法

初等函数解析法非初等函数单调性

函数的特性奇偶性

函数周期性有界性反函数重要的函数存在性定理复合函数

符号函数：??

??>=<-=.

0,1,0,

0,0,1sgn x x x x

几个具体重要的函数取整函数：()][x x f =，其中[x ]表示不超过x 的最大整数.

狄里克雷函数：()??

?=.

0,,1为无理数

为有理数x x x D

§1.2 内容提要与释疑解难

一、函数的概念

·2·

定义:设A 、B 是两个非空实数集，如果存在一个对应法则f ，使得对A 中任何一个实数x ，在B 中都有唯一确定的实数y 与x 对应，则称对应法则f 是A 上的函数，记为 B A f y

x f →-::或

y 称为x 对应的函数值，记为 ()A x x f y ∈=,.

其中x 叫做自变量，y 又叫因变量，A 称为函数f 的定义域，记为D （f ），

{}A x x f A f ∈=?

)()(, 称为函数的值域，记为R （f ），在平面坐标系Oxy 下，集合

{}D x x f y y x ∈=),(),(称为函数y=f(x)的图形。函数是微积分中最重要最基本的一个概念，因

为微积分是以函数为研究对象，运用无穷小及无穷大过程分析处理问题的一门数学学科。

1、由确定函数的因素是定义域、对应法则及值域，而值域被定义域和对应法则完全确定，故确定函数的两要素为定义域和对应法则。从而在判断两个函数是否为同一函数时，只要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同，至于自变量、因变量用什么字母，函数用什么记号都是无关紧要的。

2、函数与函数表达式的区别：函数表达式指的是解析式子，是表示函数的主要形式，而函数除了用表达式来表示，还可以用表格法、图象法等形式来表示，不要把函数与函数表达式等同起来。

二、反函数

定义设y =f (x )，D x ∈，若对R (f )中每一个y ，都有唯一确定且满足y=f (x )的D x ∈与之对应，则按此对应法则就能得到一个定义在R （f ）上的函数，称这个函数为f 的反函数，记作 ()()()f R y y f

x D f R f

∈=→

--,:1

或.

由于习惯上用x 表示自变量，y 表示因变量，所以常把上述函数改写成()()f R x x f

y ∈=-,1

1、由函数、反函数的定义可知，反函数的定义域是原来函数的值域，值域是原来函数的定义域。

2、函数y=f(x)与x=f -1(y)的图象相同，这因为满足y=f(x)点（x,y ）的集合与满足x=f -1(y)点(x,y)的集合完全相同，而函数y=f(x)与y=f -1(x)图象关于直线y=x 对称。

3、若y=f(x)的反函数是x=f -1(y)，则[]

()[].,

)(1

x f f

x y f

f y --==

4、定理1（反函数存在定理）严格增（减）的函数必有严格增（减）的反函数。

三、复合函数

定义设()()D x x u E u u f y ∈=∈=,,,?，若()φ?≠?R f D )(，则y 通过u 构成x 的函数，称为由y=f(u)与()x u ?=复合而成的函数，简称为复合函数，记作))((x f y ?=。

复合函数的定义域为{}E x D x x ∈∈)(?且，其中x 称为自变量，y 称为因变量，u 称为中间变量，()x ?称为内函数，f(u)称为外函数。

1、在实际判断两个函数()x u u f y ?==),(能否构成复合函数，只要看())(x f y ?=的定义域

·3·

是否为非空集，若不为空集，则能构成复合函数，否则不能复合函数。

2、在求复合函数时，只要指出谁是内函数，谁是外函数，例如y=f(x), y=g(x),若y=f(x)作为外函数，y=g(x)作为内函数。则复合函数())(x g f y =，若()x g y =作为外函数，()x f y =作为内函数，则复合函数为y=g(f(x))。

3、我们要学会分析复合函数的复合结构，既要会把几个函数复合成一个复合函数，又要会把一个复合函数分拆成几个函数的复合。

四初等函数

常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数。大家一定要记住基本初等函数的定义域，值域，会画它们的图象，并且要知道这些函数在哪些区间递增，在哪些区间递减，是否经过原点？与坐标轴的交点是什么？以后我们常常要用到。

由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合运算所得到的函数统称为初等函数。不是初等函数称为非初等函数。

一般来说，分段函数不是初等函数，但有些分段函数可能是初等函数，例如

()??

?>≤-=0

,0,x x x x x f 2x x ==，是由2

,x u u y ==

复合而成。

五具有某些特性的函数

1．奇（偶）函数

定义设D 是关于原点对称的数集，y=f(x)为定义在D 上的函数，若对每一个

()D x D

x ∈-∈也有这时，都有()()()()()x f x f x f x f =--=-，则称y=f(x)为D 上的奇（偶）

函数。

（1）定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要条件。

（2）若f(x)为奇函数，则f(0)=0，事实上，由定义知f(-0)=-f(0)，有f(0)=-f(0)，得f(0)=0. 2．周期函数

定义设y=f(x)为定义在D 上的函数，若存在某个非零常数T ，使得对一切D x ∈，都有 f(x+T)=f(x)，则称y=f(x)为周期函数，T 称为y=f(x)的一个周期。

显然，若T 是f(x)的周期，则()Z k kT ∈也是f （x ）的周期，若周期函数f(x)的所有正周期中存在最小正周期，则称这个最小正周期为f(x)的基本周期，一般地，函数的周期是指的是基本周期。必须指出的是不是所有的周期函数都有最小正周期，例如f(x)=c （c 为常数），因为对任意的实常数T ，都有f(x+T)=f(x)=c 。所以f(x)=c 是周期函数，但在实数里没有最小正常数，所以，周期函数f(x)=c 没有最小正周期。

如果f(x)为周期函数，且周期为T ，任给D x ∈，有f(x)=f(x+kT)，知()Z k D kT x ∈∈+。所以D 是无穷区间，即无穷区间是周期函数的必要条件。 3．单调函数

定义设y=f(x)为定义在D 上的函数，若对D 中任意两个数x 1,x 2且x 1

x f x f x f x f ≥≤，

·4·

则称y=f(x)为D 上的递增（递减）函数，特别地，若总成立严格不等式 ()()()()()2

x f x f x f x f ><，

则称y=f(x)为D 上严格递增（递减）函数。

递增和递减函数统称为单调函数，严格递增和严格递减函数统称为严格单调函数。 4．分段函数

如果一个函数在其定义域内，对应于不同的x 范围有着不同的表达形式，则称该函数为分段函数。

注意分段函数不是由几个函数组成的，而是一个函数，我们经常构造分段函数来举反例，常见的分段函数有符号函数、狄里克雷函数、取整函数。 5．有界函数与无界函数

定义设y=f(x)为定义在D 上的函数，若存在常数N ≤M ，使对每一个D x ∈，都有 ()M x f N ≤≤

则称f(x)为D 上的有界函数，此时，称N 为f(x)在D 上的一个下界，称M 为f(x)在D 上的一个上界。

由定义可知上、下界有无数个，我们也可写成如下的等价定义，使用更加方便。

定义设y=f(x)为定义在D 上的函数，若存在常数M>0，使得对每一个D x ∈，都有

()M x f ≤

则f(x)为D 上的有界函数。

几何意义，若f(x)为D 上的有界函数，则f(x)的图象完全落在直线y=-M 与y=M 之间。注意：直线y=-M ，y=M 不一定与曲线相切。有界函数定义的反面是

定义设y=f(x)为定义在D 上的函数，若对每一个正常数M （无论M 多么大），都存在D x ∈0，使()M x f >0

，则称f(x)为D 上的无界函数。

6．函数的延拓与分解

有时我们需要由已知函数产生新的函数来解决实际问题，这里我们从函数的特性出发，开拓由已知产生新的函数的方法。

设()[]a x x f y ,0,∈=，我考虑区间[-a ,a ]上的函数F(x)，它是偶函数，且在[0,a ]上，使F(x)=f(x)，则应有()()[]()

[)??

?-∈-∈=.

0,,,0,a x x f a x x f x F

称F （x ）是f(x)的偶延拓

同样可给出f(x)的奇延拓，即函数F （x ）在[-a ,a ]上的奇函数，且在（0,a ）上，F （x ）=f(x)，

则应有()()()()()??

??-∈--=∈=0,,0,0,0,a x x f x a x x f x F 这样，研究f(x)只要，研究F （x ）就可以了。

·5·

同样，对于函数y=f(x),()b a x ,∈，可以构造一个以（b-a ）为周期的周期函数F （x ），在（a ,b ）上，F （x ）=f(x)，则有()()()

()[]()()()??

?∈-+--∈--∈=z

n na b n a n nb x a b n x f b a x x f x F ,1,1,,,

这就是函数f(x)的周期延招，研究f(x)只要研究F （x ）就可以了。

此外，定义在区间（-a ,a ）上的任何一个函数f(x)都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和事实上()()()

()()

2x f x f x f x f x f -++

--=

设()()()

()()()

x f x f x f x f x f x f -+=

--=

由奇偶函数的定义知，f 1(x)是奇函数。 f 2(x)是偶函数，且()()()x f x f x f 2

+=.

我们还可以证明f 1(x)，f 2(x)是唯一存在，如果()()()x g x g x f 2

+=,

其中g 1(x)是奇函数，g 2(x)是偶函数，于是

()()()x g x g x f 21+=,()()()()()x g x g x g x g x f 2121+-=-+-=-,

解得()()()

()x f x f x f x g 112

=--=，()()()

()x f x f x f x g 222

=-+=

§1.3解题基本方法与技巧

一、求函数定义域的方法

1．若函数是一个抽象的数学表达式子，则其定义域应是使这式子有意义的一切实数组成的集合，且在

（1）分式的分母不能为零；（2）偶次根号下应大于或等于零；

（3）对数式的真数应大于零且底数大于零不为1；（4）arc sin ()x ?或arc ()x ?cos ，其()1≤x ?；（5）()x ?tan ，其()()().,,cot ;,2

z k k x k x z k k x k ∈+<<∈+

<<-

ππ?π?ππ?ππ其

（6）若函数的表达式由几项组成，则它的定义域是各项定义域的交集；（7）分段函数的定义域是各段定义域的并集。

2.若函数涉及到实际问题，定义域是除了使数学式子有意义还应当确保实际有意义自变量取值全体组成的集合。

3.对于抽象函数的定义域问题，要依据函数定义及题设条件。例1 求下列函数的定义域：

（1）3

3x x y -=

；（2）x

x y +=12arcsin

解（1）要使函数式子有意义，就必须满足033

≥-x x 。

化简有 ()(

)

033≤+

x x x ,

·6·

即 ()(

)

033≤-

x x x .

解之，得定义域为(][]

3,03,?-∞-∈x 。

（2）要使函数式子有意义，就必须满足

112≤+x

x ，即1121≤+≤

-x

x ，

化简有11221≤+-≤-x

，1123-≤+-

≤-x ，

不等式各边除以（-2）有，2

111

23≥+≥

，

各边取倒数得，

213

2≤+≤x 。解之，得函数的定义域为13

1≤≤-

x 。

例2 不清设()2

11-+

x x x f ，求f(x)的定义域。

解要使函数式子有意义，必须满足

?????

≠-≠-+0

202

11x x 即 ???≠≠21

x x 故所给函数的定义域为{}2,1:≠≠∈x x R x x 且。

注意：如果把2

11-+

x x 化简为()1

2--x x x ，那么函数的定义域为1≠x 的一切实数，因此，求函

数的定义变形式时需特别小心，避免出错。例3 已知()()[]x x f e x f x

-==1,2

?且()0≥x ?，求()x ?并写出它的定义域。

解由()[]x e

x -=12

?，得()()x x -=

1ln ?，

由()01ln ≥-x ，得11≥-x ，即x ≤0，所以 ()()0,1ln ≤-=

x x x ?。

例4 设f (x )的定义域为[0，1]，试求f (x +a )+f (x -a )的定义域（a >0）。

解要使f (x +a )+f (x -a )有意义，必须满足

?≤-≤≤+≤,

10,10a x a x 得 ???+≤≤-≤≤-.

1a x a a x a 当2

10≤

1. 由定义域x 的范围，利用不等式求出f (x )的范围；

2. 若y =f (x )有反函数x =f --1(y )，求出反函数的定义域就是函数的值域；

3. 利用一元二次方程的判别式求函数的值域。例5 求下列函数值域：

1,1t x t x -==-则，于是454521112

y 。故函数x x y -+=1的值域是???

∞-45,。

（2）由3

1++=

x x y ，得(x+3)y=x+1，解之，1

y y x 的定义域是1≠y ，故函数值域是()()+∞?∞-,11,。

当y-1=0，即y=1时，x=0；当时即1,01≠≠-y y ，

()()01422

≥--+=?y y ，即()140≠≤≤y y 。故函数的值域为[0，4]。

三、判断两函数是否为同一函数的方法

例6 判断下列各组函数是否为同一函数：（1）（i ）()π≤≤=x x y 0sin ；（ii ）(),0cos 12

解（1）由y=sinx 的定义域是[0，π]，t s 2

cos

1-=的定义域是[0，π]。知两函数定义域相

t t t S 知两函数对应法则相同，故（i ）（ii ）

为同一函数。（2）由1

--=

x x y 的定义域是1±≠x 的全体实数，1

1+=

x y 的定义域是1-≠x 的全体实数，

·8·

知两函数定义域不同，尽管当1±≠x 时，1

--=x x x y ，知两函数对应法则相同，但（i ）（ii ）

不是同一个函数。

四、求反函数方法

步骤：1. 从y=f(x)中解出x=f --1(y) ;2.改写成y=f --1(x),则y=f -—

y x x x x x x y -=+--++-=

???>≤≤<=,16,log ,161,,

1,2y y y y y y x 则反函数为 ???

??>≤≤<=.16,log ,161,,1,2x x x x x x y

五、求复合函数的方法。

1．代入法

某一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代，这种构成复合函数的方法，称之为代入法，该法适用于初等函数的复合，关健搞清谁是内函数，谁是外函数。

2．分析法

根据外函数定义的各区间段，结合中间变量的表达式及中间变量的定义域进行分析，从而得出复合函数的方法，该方法用于初等函数与分段函数或分段函数与分段函数的复合。

x f x f x f f x f f f x f 2

当n=1时，结论已成立，假设n=k 时，()2

例9 设()()[]x f f x x x f 求????

?>≤=,

1,0,

1,1。

解当()()[]()11,1,1===≤f x f f x f x 时，

当()()[]()10,0,1===>f x f f x f x 时。

故 f (f (x ))=1。

例10 设()()()()x f x x x x x x x x e x f x

<-≥<-=≥x x x x x x 有即?

（2）当()1≥x ?时或()01,1,0,12,0<≤-???-≥<≥+=

-≤≥≥-=≥x x x x x x x 有或即?得

x x x e x x x e x f x x ?

六、判断奇偶函数的方法

偶函数f(x)的图象关于y 轴对称；奇函数f(x)的图象关于原点对称。

奇偶函数的运算性质

1. 奇函数的代数和仍为奇函数，偶函数的代数和仍为偶函数。

2. 偶数个奇（偶）函数之积为偶函数；奇数个奇函数的积为奇函数。

3. 一奇一偶的乘积为奇函数

4. 两个奇函数复合仍为奇函数，一奇一偶复合为偶函数，两个偶函数复合仍为偶函数。

判断方法 1．用定义

2．.若f(x)+f(-x)=0，则f(x)为奇函数，这种方法适合用定义比较困难的题目。例11 判断下列函数的奇偶性：（1）()()

()()()()x f x x x x x f =-+

x x f x f -+--++-=-+11ln

11ln

,01ln 1111ln

11ln 11ln ==-+?+-=-+++-=x

x x x

x x

x 知f (x )为奇函数。（3）由()2

（1）若T 为f(x) 的周期，则f(a x+b)的周期为

()0≠a a

（2）若f (x )的周期为T 1，g (x )的周期为T 2，则c 1f (x )+c 2g (x )的周期为T 1，T 2的最小公倍数。 2．周期函数的判断方法。（1）用定义。

（2）用周期函数的运算性质。

常见函数的周期：sinx,cosx,其周期T=2π；,cos ,sin ,cot ,tan x x x x 其周期T=π。例12 求下列函数周期（1）

()3

tan

32tan

2x x x f -=；（2）()x x x f 4

cos

sin

+=；（3）()[]x x x f -=。

（2）由()()x x x x x f 2

cos sin

2cos

sin -+== ()x x 4c o s 14

（3）设()Z n r r n x ∈<≤+=，10，T 为任意整数,由

()()[][]()[]()

x f r n r n r n T r T n r T n r T n r T n f T x f =+-+=++-++=++-++=++=+知任意整数均为其周期，则最小周期T=1。

例13 若函数()()+∞<<∞-x x f 的图形关于两条直线x=a 和x=b 对称（b>a ），则f(x)为周期函数。

证由条件函数的对称性知

()()x a f x a f -=+，（1） ()()x b f x b f -=+，（2）

故函数在a ,b 中点(a +b)/2处的值等于点a 2

从而猜想如果f(x)为周期函数，则周期应为 ()a b a b a a b b -=??

事实上()[]()[]a b x b f a b x f 22--+=-+()[]()x a f a b x b f -=-+-=22 ()[]()[]()x f x a a f x a a f =--=-+= 所以f(x)是以2(b-a )为周期的周期函数。

八、单调函数的判断方法

1．用定义。

2．利用单调函数的性质。

（1）两个递减（增）函数的复合是递增函数，一个递增、一个递减函数的复合是递减函数。例14 设()()x x ψ?,及f(x)为递增函数证明：若

()()()x x f x ψ?≤≤ （1）则 ()[]()()()[]x x f f x ψψ??≤≤ （2）证设x 0为三个函数公共域内的任一点，则 ()()()000x x f x ψ?≤≤ 由（1）以及函数f (x )的递增性知()[]()[]00x f f x f ≤?，()[]()[]00x f x ???≤；从而 ()[]()[]0

x f f x ≤??

同理可证 ()[]()[]00x x f f ψψ≤。由x 0的任意性知，于是（2）式成立。

九、函数有界性的判断

判断函数是否有界，经常用定义。例15 判断下列函数是否有界：（1）()2

解（1）由f (x )的定义域是R 。当()2

∈x f R x 时，所以f (x )为有界函数。

110M M M M x f >+=+=+=

由无界函数的定义知f(x)在（0，1）上无界。

→→→∞→)(lim )(lim )(lim )(lim 00x f x f A x f A x f x x x x x x 函数极限定义

四则运算保号性不等式有界性唯一性性质,,,,-- 夹逼定理

无穷大与无穷小无穷小的阶——高阶、同阶、等价。

函数连续定义——0lim )()(lim 0

=?=→?→y x f x f x x x 或

,,0,0,:)(lim X x X A A x f x >>?>?=+∞

→εε<-A x f )(。

2. :)(lim A x f x =-∞

→把1中“X x >”换成“X x -<”。

闭区间上连续函数的性质初等函数在其定义域内的闭区间上连续

→把1中“X x >”换成“X x >”。

定理?=∞

→A x f x )(lim A x f x =+∞

→)(lim 且.)(lim A x f x =-∞

→

4．:)(lim 0

A x f x x =→设)(x f 在0x 的某空心邻域内()00

x U 有定义，若存在一个常数A ，

时当δδε<-<>?>?00,0,0x x ，都有ε<-A x f )(。

5．:)(lim 0

A x f x x =-

→ 设)(x f 在0x 的某左半邻域)(00

x U -内有定义，若存在一个常数A ，

0,0,00<-<->?>?x x δδε当时，都有ε<-A x f )(。

此时也可用记号)0(0-x f 或)(0-

x f 表示左极限值

A ，因此可写成

=--=→→-)(lim )0()(lim 0

0x f x f x f x x x x 或)(0-

x f

6. :)(lim 0

A x f x x =+

→设)(x f 在0x 的某右半邻域)(00

x f x f x f x f x x x x 或。

定理 ()()A x f A x f x x x x =?=-

该定理是求分界点两侧表达式不同的分段函数在该分界点极限是否存在的方法，而如果在0x 的左右极限存在且相等，则在该点的极限存在，否则不存在。

7．δδ<-<>?>?∞=→00,0,0:)(lim 0

x x M x f x x 当时，都有M x f >)(。此时称0x x →时，

)(x f 是无穷大量。

而+∞=→)(lim 0

x f x x ，只要把公式中“M x f >)(”改成“M x f >)(”，-∞=→)(lim 0

x f x x ，只

要把上式中“M x f >)(”改成“M x f -<)(”。

8.∞=∞

→)(lim x f x 0,0:>?>?X M 。当X x >时，都有M x f >)(。

读者同理可给出)()()(lim ∞-+∞∞=∞-+∞∞

→或或x f x 定义。

注：A x f x x =→)(lim 0

（常数）与∞=→)(lim 0

x f x x 的区别，前者是表明函数极限存在，后者指函数

极限不存在，但还是有个趋于无穷大的趋势。因此，给它一个记号，但还是属于极限不存在之列，

·15·

以后，我们说函数极限存在，指的是函数极限值是个常数。

9．0)(lim 0

=→x f x x 。称)(x f 当0x x →是无穷小量。这里的0x 可以是常数，也可以是

∞-∞∞+或,。

定理 )()()()(l i m 0

x A x f A x f x x α+=?=→常数。

其中0)(lim 0

=→x x x α。

10．若),(,0,00

δδx x U x M ∈>?>?当时，都有M x f ≤)(，称0)(x x x f →当时是有界量。

二、无穷小量阶的比较，无穷小量与无穷大量关系

设0)(lim ,0)(lim 0

==→→x g x f x x x x ，

（这里0x 可以是常数，也可以是-∞+∞∞,,，以后我们不指出都是指的这个意思）（1）若0)

()(lim

=→x g x f x x ，称)(x f 当0x x →时是)(x g 的高阶无穷小量，记作

).))((()(0x x x g x f →= 。（2）若,0)()

()(lim

≠=→常数c x g x f x x ，称0)(x x x f →当时是)(x g 的同价无穷小量。

（3）若1)

()(lim

=→x g x f x x ，称0)(x x x f →当时是)(x g 的等价无穷小量，记作

()()()0~x x x g x f →，此时（2）式也可记作()()()0~x x x cg x f →。

x x ，称0)(x x x f →当时是0x x -的k 阶无穷小

量。

由等价无穷量在求极限过程中起到非常重要的作用，因此，引入

若1)

()(lim

=→x g x f x x 。记作))((~)(0x x x g x f →，

如果)(),(x g x f 均是无穷小量，称为等价无穷小量；如果)(),(x g x f 均是无穷大量，称为等价无穷大量；如果)(),(x g x f 既不是无穷小也不是无穷大，我们称为等价量。

·16·

例如 0)()(l i m 0

≠=→常数A x f x x ，则)(~)(0x x A x f →。

注：A 不能为零，若A=0，)(x f 不可能和0等价。无穷小量的性质：

1．若,)(,),(),(021时当x x x x x m →ααα 均为无穷小量，则（i ）[].0)()()(lim 22110

=+++→x c x c x c m m x x ααα

其中m c c c ,,21均为常数。

（ii ）0)()()(lim 210

=→x x x m x x ααα 。

2．若0)(x x x f →当时是有界量，时是无穷小量当0)(x x x →α，则0)()(lim 0

=→x x f x x α。

无穷大量的性质：

1．有限个无穷大量之积仍是无穷大量。 2．有界量与无穷大量之和仍是无穷大量。无穷小量与无穷大量之间的关系：若0)

(1lim

,)(lim 0

=∞=→→x f x f x x x x 则；

若则时当且,0)(),(,0,0)(lim 00

≠∈>?=→x f x U x x f x x δδ∞=→)

x x x f x f x f x x ==→在称处连续。

用δε-语言可写为

定义设0)(x x f 在的某邻域)(0x U 内有定义，若δδε<->?>?0,0,0x x 当时，都有

ε<-)()(0x f x f ，称处在0)(x x x f =连续。

用函数值增量y ?形式可写为

定义若0l i m 0

=?→?y x ，称)(x f 在0x x =处连续。

若)()(lim 00

x f x f x x =-

→,称0)(x x x f =在处左连续。

定理0)(x x f 在处连续?0)(x x f 在处既是左连续又是右连续。如果

0)(x x x f =在处不连续，称0x x =为)(x f 的间断点。

间断点的分类：

（1）若的可去间断

是称处不连续在但常数)(,)(),()(lim 000

x f x x x x x f A x f x x ===→点。

若0x x =为函数)(x f 的可去间断点，只须补充定义或改变使处的函数值

在,)(0x x x f =函数

在该点连续。但须注意，这时函数与)(x f 已经不是同一个函数但仅在0x x =处不同，在其它点相同。我们正是利用这一性质去构造一个新的函数)(x F ，使)(x F 在某闭区间上处处连续，因而有某种性质。当0x x ≠时，也具有这种性质。而0x x ≠时，)()(x f x F =，所以)(x f 在0x x ≠的范围内也具有这种性质，从而达到了我们的目的。

在知处没定义在,0)(,0)(==x x f x x f ?????=≠=.

0,1,

0,sin )(x x x x

x F

则()x F 在0=x 处连续，但()x F 与()x f 定义域不同，

虽然处完全相同

但在不是同一函数与0,)()(≠x x f x F ，又如)(x f ?????=≠=.0,0,

在0)(=x x f 。设?????=≠=.0,

0,sin )(x x x x x F

则)(x F 在0=x 处连续，虽然)(x F 与)(x f 定义域相同，但在0=x 处，两个函数值不同，知

)(x F 与)(x f 不是同一函数，但仅在0=x 不同，其余点函数值处处相同。

（2）若),0()(lim ).0()(lim 000

+=-=+

→→x f x f x f x f x x x x 但)0()0(00+≠-x f x f ，称0x x =为

)(x f 的跳跃间断点，称)()0()0(00x f x f x f 为--+的跳跃度。

（1）（2）两种类型的特点是左右极限都存在，我们统称为第一类间断点。（3）若0x 处，左、右极限至少有一个不存在，我们称的第二类间断点

为)(0x f x x =。

·18·

若∞=→)(lim 0

x f x x ，我们也称0x x =为)(x f 的无穷型间断点，属于第二类间断点。

它们具有与数列极限相类似的一些性质，我们以)(lim 0

x f x x →为例，其它类型极限的相应性质的叙述只

要作适当修改就可以了。

性质1（唯一性）若极限)(lim 0

x f x x →存在，则它只有一个极限。

性质2（局部有界性）若极限)(lim 0

x f x x →存在，则存在0x 的某空心邻域)(00

x f x x →存在，只能得出)(x f 在0x 的某邻域内有界，得不出)(x f 在其定义域内有界。

性质 3 若B A B x g A x f x x x x <==→→且,)(lim ,)(lim 0

，则存在0x 的某空心邻域),(000

δx U ，使

),(000

δx U x ∈时，都有)()(x g x f <。

性质4（局部保号性）若)0(0)(lim 0

<>=→或A x f x x ，则对任何常数)0(0<<<<ηηA A 或，

存在0x 的某空心邻域)(00

x U ，使得对一切)(00

x U x ∈，都有 )0)((0)(<<>>ηηx f x f 或成立。

性质5（不等式）若B x g A x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0

，且存在0x 的某空心邻域),(000

δx U ，使

得对一切),(000

δx U x ∈，都有B A x g x f ≤≤则,)()(。

性质 6 （复合函数的极限）若A u f u x u u x x ==→→)(lim ,)(lim 0

0?，且存在0x 的某空心邻域

),(00

δ'x U ，当),(00

δ'∈x U x 时，0)(u x ≠? ，则A u f x f u u x x ==→→)(lim )]([lim 0

?。

性质6是求极限的一个重要方法——变量替换法，即

A u f u x x f u u u x x x x x ==→→→→)(lim )())((lim 0

)(,???且令。

性质7（函数极限的四则运算）若)

(lim )(lim 0

x g x f x x x x →→与均存在，则函数

时极限均存在且

在为常数0))((),()(),()(x x c x cf x g x f x g x f →?±

·19·

（1）[])(lim )(lim )()(lim 0

x g x f x g x f x x x x x x →→→±=±；（2）[])(lim )(lim )()(lim 0

x g x f x g x f x x x x x x →→→?=?；

（3）)(lim )(lim 0

x f C x cf x x x x →→=；又若()()

x g x f x g x f x x x x x x →→→=

???????>∞=<=++++++++----m

性质8（归结原则或海涅（Heine ）定理）)(lim 0

x f x x →存在的充要条件是：

())(lim ,,2,1,lim 00n n n n n x f n x x x x ∞

B A B x f A x f n n n

n ≠=''='∞

→∞

→,)(lim ,)(lim 或存在{})(lim ,lim ,0n n n n n x f x x x ∞

→∞

→=不存在，则)(lim 00

x f x n →不存在。

此定理是判断函数极限不存在的一个重要方法。

五、函数连续的性质

若函数0)(x x x f =在点处连续，即)()(lim 00

x f x f x x =→，利用极限的性质1-5可得到函数在

0x x =连续的局部有界性，局部保号性，不等式等，只要把)()(000

1（连续函数的四则运算）若0)(),(x x x g x f =在点处连续，则

处也连续

在为常数00)0)(()

()())((),()(),()(x x x g x g x f c x cf x g x f x g x f =≠±。

性质 2 若)()(,)(000x u u f y x x u ??===在处连续在处连续，则0))((x x x f y ==在?处

·20·

也连续且))(lim ())(())((lim 0

0x f x f x f x x x x ???→→==

在满足性质2的条件下，极限符号与外函数f 可交换顺序，如果仅要可交换顺序，有推论若则

处连续在,)(,)(l i m 000

u u u f y u x x x ===→?))(lim ())((lim 0

x f x f x x x x ??→→=。

证设??

?=≠=,

,,),()(000x x u x x x x g ?则0)(x x x g =在处连续，又)()(0x g u u u f y o ===在

处连续，由性质2知))(lim ())((lim x g f x g f o

x x x x →→=。

由于所以有要求),()(,,00x x g x x x x ?=≠→))(lim ())((lim x f x f o

x x x x ??→→=。

在这里，我们巧妙地利用可去间断点的性质，构造一个连续函数，以满足所需的条件，上面的性质2及推论也是求函数极限的一个重要方法。

即极限符号与外函数f 交换顺序，把复杂函数极限转化为简单函数极限。定理初等函数在其定义域上连续。

六、闭区间上连续函数的性质

定理（最大值与最小值定理）若)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上一定能取到最大值与最小值，即存在[]m x f M x f b a x x ==∈)(,)(,,,2121，使得对一切[]b a x ,∈，都有

M x f m ≤≤)(。

推论1 若[]b a x f ,)(在闭区间

上连续，则[]b a x f ,)(在上有界。

定理（根的存在定理或零值点定理）若函数[]b a x f ,)(在闭区间上连续，

0)()(

至少存在一点0)(),,(=∈ξξf b a 使。

推论 1 若函数[]b a x f ,)(在闭区间

上连续，且

)(),(),()(b f a f c b f a f 为介于≠之间的任何

常数，则至少存在一点c f b a =∈)(),,(ξξ使。

推论2 若函数[]b a x f ,)(在闭区间

上连续，则[]M m f R ,)(=值域。

这几个定理非常重要，请大家要记住这些定理的条件与结论，并会运用这些定理去解决问题。

七、重要的函数极限与重要的等价量

利用初等函数的连续性及极限符号与外函数的可交换性及等价量替换，夹逼定理可得到下面的

函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)

第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y= ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域 () , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则() 2 f x的反函数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? = () 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+- ()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x = ()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且 ()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=- ∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x = .sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界， B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤ 故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即 n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界，但不收敛，选A 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小，则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设() 1 1 f x x = + ，则() f f x ?? ??的定义域为

第一章函数与极限复习提纲

第一章函数与极限复习提纲一、函数知识点：1、函数的定义域、性质的判断（有界性、奇偶性、单调性、周期性） 2、基本初等函数的表示形式 3、复合函数的分解必须会！！ 4、函数关系的建立如1、下列函数中属于偶函数的是（ D. ） A. x x y sin +=； B. x x y sin 2+=； C . x x y cos +=； D. x x y cos 2+=。 2、下列复合函数由哪些基本初等函数构成？（1）x x f 2ln )(= 解：u y ln =，x u 2= （2）x y 2cos = 解：2u y = ，x u cos = （3）5)13(+=x y 解：5u y =， 13+=x u （4）3 2 1-= x y 解：3 1u y =，12-=x u （5）x y 2cos ln = 解：u y ln =，v u cos =，x v 2= 3、旅客乘坐火车时，随身携带物品，不超过20公斤免费；超过20公斤部分，每公斤收费0.20元；超过50公斤部分再加收50%。试列出收费与物品重量的函数关系式。解 0, 0.2(20), 2050 0.3(50)6, 50 x y x x x x ≤≤?? =-<≤??-+>? 4、某公司生产某种产品，总成本为C 元，其中固定成本为200元，每多生产一单位产品，成本增加10元，又设该产品价格P 与需求量x 之间的关系为2 25x P -=,求x 为多少时公司总利润最大？解成本函数C （x ）=固定成本+可变成本所以x x C 10200)(+= 收入函数x x x x x p x R 2521 )225()(2+-=?- =?= 利润函数200152 1)10200(2521)()()(2 2-+-=+-+-=-=x x x x x x C x R x L 令015)('=+-=x x L 得15=x 因为驻点唯一，又根据01)("<-=x L 可知函数最大值存在，所以当15=x 时，() L x

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章函数与极限

第一章函数与极限教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数一、集合 1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为

数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题及解析

数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题及解析一、单项选择题（每小题4分，共24分） 3．若()0lim x x f x →=∞，()0 lim x x g x →=∞，则下列正确的是（） A ． ()()0lim x x f x g x →+=∞??? ? B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞??? ? C ． ()() 01lim 0x x f x g x →=+ D ． ()()0 lim 0x x kf x k →=∞≠ 解：()()000lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==?∞∞ ∴选D 6．当n →∞时， 1k n 与1k n 为等价无穷小，则k=（） A ．12 B ．1 C ．2 D ．-2 解：2 211sin lim lim 1,21 1n n k k n n k n n →∞→∞=== 选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 8．2112lim 11x x x →??-= ?--? ? 解：原式()()() 112lim 11x x x x →∞-∞+--+ 10 ．n = 解：原式n ≡有理化 11．1201arcsin lim sin x x x e x x -→??+= ??? 解：11220011sin 1,lim 0lim sin 0x x x x e e x x -→→≤=∴=又00arcsin lim lim 1x x x x x x →→== 故原式=1

12．若()220ln 1lim 0sin n x x x x →+= 且0sin lim 01cos n x x x →=-,则正整数n = 解：()222200ln 1lim lim sin n n x x x x x x x x →→+?= 20420,lim 02 n x n x n x →<>2,4,n n ∴>< 故3n = 三、计算题（每小题8分，共64分） 14．求0x → 解：原式有理化 16．求0ln cos 2lim ln cos3x x x → 解：原式[][]0ln 1cos 21lim ln 1cos31x x x →--+-变形注:原式02sin 2cos3lim cos 23sin 3x x x x x →∞?? ?∞??-?- 17．求02lim sin x x x e e x x x -→--- 解：原式0020lim 1cos x x x e e x -→+-- 19．求lim 111lim 11n n n n n e e n →∞--+→∞??-== ?+?? 解： (1) 拆项，111...1223(1) n n +++??+ 1111111...122311n n n ??????=-+-+-=- ? ? ???++????(2) 原式=lim 111lim 11n n n n n e e n →∞--+→∞??-== ?+??

数学分析习作-数列极限与函数极限的异同

云南大学数学分析习作课（1）读书报告题目：数列极限与函数极限的异同（定义，存在条件，性质，运算四方面的对比）学院：物理科学技术学院专业：数理基础科学姓名、学号：任课教师：时间： 2009-12-26 摘要极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认知数学世界解决数学问题的重要武器，是高等数学这个庞大的数学体系得以建立的基础和基石；极限在数学中处于基础的地位，它是解决微积分等一系列重要数学问题的前提和基础；极限是一种思维，在学习高数时最好理解透彻了，在线代中没什么用.但是概率中用的比较多，另外物理中许多都用到了极限的思维，它也能帮助更好的理解一些物理知识；

在高等数学中，极限是一个重要的概念，极限可分为数列极限与函数极限，下面是关于两种极限的简要联系与说明。关键词：数列极限与函数极限的定义，存在条件，性质，运算一数列极限与函数极限的定义 1、数列与函数： a、数列的定义：数列是指按自然数编了号的一串数：x1，x2，x3，…，x n，…. 通常记作{x n}，也可将其看作定义在自然数集N上的函数x n=N (， ), n n f∈故也称之为整标函数。 b、函数的定义：如果对某个范围X内的每一个实数x，可以按照确定的规律f，得到Y内唯一一个实数y和这个x对应，我们就称f是X上的函数，它在x的数值（称为函数值）是y，记为) f y=。 (x (x f，即) 称x是自变量，y是因变量，又称X是函数的定义域，当x遍取X内的所有实数时，在f的作用下有意义，并且相应的函数值) f的全体所组成的范围叫作 (x

函数f 的值域，要注意的是：值域不一定就是Y ，它当然不会比Y 大，但它可能比Y 小。 2、（一）数列极限的定义：对数列}{x n ，若存在常数A ，对N n N >?∈?>?,N ,0ε，有 ε<-A x n ，则称数列收敛且收敛于A ，并称数列}{x n 的极限为A ，记为x n n lim ∞ →=A. 例1.试用定义验证：01 lim =∞→n n . 证明：分析过程，欲使,1 01ε<=-n n 只需ε 1 >n 即可，故 εεε<->?+?? ? ???=?>?01:,11,0n N n N . 例2.试用定义验证：).11(lim <<-=∞ →q n 证明：分析过程.欲使[]ε <=-n n q q 0，只需q n lg lg ε > （注意0lg ??? ????????????????=?n q N n q N 对于比较复杂的表达式n n A x α=-，一般地，我们通过运算,适当放大，将n α变形简化到n β，既使得对于0>?ε由不等式εβ时，恒成立不等式εβn n n n n n n n n n n 1 95) 423(310 531423222 222. 故，

考点数列的极限函数的极限与连续性

温馨提示：此题库为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。考点42 数列的极限、函数的极限与连续性一、选择题 1、(2011·重庆高考理科·T3)已知x 2ax 1lim 2x 13x →∞-??+= ?-? ?,则=a ( ) (A) -6 (B) 2 (C) 3 (D)6 【思路点拨】对小括号内的表达式进行通分化简利用极限的相关性质求出a 的值. 【精讲精析】选D. x x 2x 16x (ax 1)(x 1)lim lim x 13x 3x(x 1)→∞→∞??-+--??+= ???--???? 22x ax (5a)x 1a lim 2,3x 3x 3→∞??+-+===??-?? 所以.6=a 2、（2011·四川高考理科·Ｔ11）已知定义在[0，+∞ )上的函数()f x 满足()f x =3(2)f x +，当[ 0,2)x ∈时，()f x =2 2x x -+，设()f x 在[22,2)n n -上的最大值为*([0,)n a n N ∈且{}n a 的前n 项和为S n ，则lim n n S →∞ =（）. （A ）3 （B ）52 (C) 2 （D ）32 【思路点拨】首先需要确定数列{}n a .先由1n =求出1a ，当2n =时，由()3(2)f x f x =+可推得 1()(2)3 f x f x = -，先求出(2)f x -的最大值，在求()f x 的最大值，即求得2a ， 3,4,...n =依次求解. 【精讲精析】选D ， [)[)[)22122,20,2,0,2()2(1)1n n n x f x x x x =-=∈=-+=--+时，时，， ()=(1)1f x f =最大值，1 1.a ∴= [)[)[)[)222,22,4,2,420,2n n n x x =-=∈-∈时，若，则， 2(2)22(2)f x x x -=--+-（）

g3.1030数列与函数的极限(1)

g3.1030数列与函数的极限（1）一、知识回顾 1、数列极限定义（1）定义：设{a n }是一个无穷数列，a 是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N ，使得只要正整数n>N ，就有|a n -a|<ε，那么就称数列{a n }以a 为极限，记作lim ∞→n a n =a 。对前任何有限项情况无关。 *（2）几何解释：设ε>0，我们把区间(a-ε，a+ε)叫做数轴上点a 的ε邻域；极限定义中的不等式|a n -a|<ε也可以写成a-ε0，则特别地 01 lim =∞→n n ③设q ∈(-1，1)，则lim ∞ →n q n =0；;1lim ,1==∞ →n n q q ,1-=q 或n n q q ∞ →>lim ,1不存在。

若无穷等比数列1,,,,11<-q aq aq a n 叫无穷递缩等比数列，其所有项的和（各项的和）为：q a s s n n -= =∞ →1lim 1 3、数列极限的运算法则如果lim ∞→n a n =A ，lim ∞→n b n =B ，那么(1)lim ∞→n (a n ±b n )=A ±B (2)lim ∞→n (a n ·b n )=A ·B (3)lim ∞ →n n n b a =B A (B ≠0) 极限不存在的情况是1、±∞=∞ →n n a lim ；2、极限值不唯一，跳跃，如1，-1，1，-1…. 注意：数列极限运算法则运用的前提: (1)参与运算的各个数列均有极限; (2)运用法则,只适用于有限个数列参与运算,当无限个数列参与运算时不能首先套用. 二.基本训练 1、n n n n 2312lim 22++∞→= ；22322 lim n n n n n →∞+++= 2、135(21) lim 2462n n n →∞+++???+-+++???+=_________________ 3．已知a 、b 、c 是实常数，且a cn c an b cn c bn c bn c an n n n ++=--=-+∞→∞→∞→2222lim ,3lim ,2lim 则的值是……… （） A . 121 B .61 C .2 3 D .6

第一章函数与极限的练习解答

一、P21：1；5 1.设），（），（∞+∞=55--A ，），【310-B =，写出 B A B A B A -=\,A B ，及)()\(\B A A B A A --=的表达式。解：),5()3,(+∞-∞= B A )5,10[-=B A ),5)10,(\+∞--∞=-=（ B A B A )5,10[)()\(\--=--=B A A B A A 5.下列各题中，函数)(x f 和）x g (是否相同？为什么？（1） x x g x x f lg 2)(,lg )(2== 解：不同。定义域不同，),0()0,(+∞-∞= f D ),0(+∞=g D 。（2） 2 )(,)(x x g x x f == 解：不同。对应法则不同，即：值域不同。),0[,+∞==g f R R R 。（3） 3 3 4 )(x x x f -=， 3 1)(-?=x x x g 解：相同。因为定义域和对应法（或值域）则相同。（4） x x x g x f 2 2tan sec )(,1)(-== 解：不同。定义域不同，R D f = },1,0,2 { ±=+ ≠=k k x x D g π π。二、P21：4（1）、（3）、（5）、（7）、（9）；6；7（2）； P22：10（1）、（4）、(5)；11（1）、（3）、（5）；15（1）、（3）；16. 4.求下列函数的自然定义域：

（1） 23+=x y ；解：32023-≥?≥+x x 。即：),3 2 [+∞-=D 。（3）211x x y --=；解：???≤≤-≠????≥-≠1 10 0102 x x x x 。即：]1,0()0,1[ -=D 。（5） x y sin =；解：0≥x 。即：),0[+∞=D （7）)3arcsin(-=x y ；解：42131≤≤?≤-≤-x x 。即：]4,2[=D 。（9）)1ln(+=x y 解：101->?>+x x 。即：),1(+∞-=D 6.设,3 ,3,0,sin )(ππ?≥

函数极限与数列极限的关系

使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项(N项). 对于正整数N 应该注意两点:其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的;其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可. 的N 2(性质收敛数列有如下性质: (1)极限唯一性; (2)若数列{an}收敛，则{an}为有界数列; (3)若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A; (4)保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0; (5)保序性，即若，且AN1时an

等式的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式，则常数A为函数f(x)在x?x0时的极限，记作上述定义的几何意义是:将极限定义中的四段话用几何语言表述为 1对:任意以两直线为边界的带形区域; 2总:总存在(以点x0位中心的)半径; 3当时:当点x位于以点x0位中心的δ空心邻域内时; 4有:相应的函数f(x)的图像位于这个带形区域之内. (2)自变量趋于无穷大时函数的极限:设函数f(x)在|x|大于某一正数时有定义，如果任给ε>0，总存在着正数Χ，使得对于适合不等式|x|>Χ的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，则称常数A为函数f(x)当x??时的极限，记作并称y=A为函数y=f(x)的图形的水平渐近线. 2(性质 (1)极限唯一性; (2)局部有界性若存在，则存在δ1>0，使得f(x)在去心邻域内是有界的，当x趋于无穷大时，亦成立; )局部保号性 (3 若，则存在δ1>0，使得时，f(x)>0，当x趋于无穷大时，亦成立; (4)局部保序性

1第一章函数与极限答案

第一章函数与极限第一节映射与函数 1.填空题: （1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 x y = 对称. （2 ）函数 2 1 ()1f x x = +-的定义域为__________________________；（3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(2+x f 的定义域是 {0} . （4）设b ax x f +=)(，则=-+= h x f h x f x ) ()()(? a . （5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ，=)]}([{x f f f x . （6）函数2 x x e e y --=的反函数为。（7 ）函数y =: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <1 2. 选择题: （1）下列正确的是：(B ，C ) A.2 lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数. B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数. C.?? ? ??<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y 是x 的奇函数. D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. . （2）)sin()(2 x x x f -=是( A ). A.有界函数； B. 周期函数； C. 奇函数； D. 偶函数. （3）设54)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 为( B ). A.1； B.–1； C.2； D.–2. （4）函数 2 1 arccos 1++-=x x y 的定义域是（）

数学实验-数列极限与函数极限

基础数列极限与函数极限一、实验目的从刘徽的割圆术、裴波那奇数列研究数列的收敛性并抽象出极限的定义；理解数列收敛的准则；理解函数极限与数列极限的关系。二、实验材料 1.1割圆术中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率π。刘徽先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。 “割之弥细，所失弥少。割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣。”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。以n S 表示单位圆的圆内接正123-?n 多边形面积，则其极限为圆周率π。用下列 Mathematica 程序可以从量和形两个角度考察数列{n S }的收敛情况： m=2;n=15;k=10; For[i=2,i<=n,i++, l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k]; (圆内接正123-?n 多边形边长) s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k]; (圆内接正123-?n 多边形面积) r[i_]:=Pi-s[i]; d[i_]:=s[i]-s[i-1]; Print[i," ",r[i]," ",l[i]," ",s[i]," ",d[i]] ] t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}] (数组) ListPlot[t] (散点图) 1.2裴波那奇数列和黄金分割由2110;1;0--+===n n n F F F F F 有著名的裴波那奇数列}{n F 。如果令n n n F F R 11--=，由n F 递推公式可得出 11111/11---+=+=+=n n n n n n n R F F F F F R ，]251251[511 1++???? ??--???? ??+=n n n F ； 2 15lim lim 1-==+∞→∞→n n n n n F F R 。用下列Mathematica 程序可以从量和形两个角度考察数列{n R }的收敛情况： n=14,k=10; For[i=3,i<=n,i++, t1=(Sqrt[5]+1)/2; t2=(1-Sqrt[5])/2; f[i_]:=N[(t1^(i+1)-t2^(i+1))/Sqrt[5],k]; (定义裴波那奇数列通项) rn=(5^(1/2)-1)/2-f[i-1]/f[i];Rn=f[i-1]/f[i];dn=f[i-1]/f[i]-f[i-2]/f[i-1]; Print[i," ",rn," ",Rn," ",dn]; ] t=Table[{i,f[i-1]/f[i]},{i,3,n}] ListPlot[t] 1.3收敛与发散的数列数列}{1∑=-n i p i 当1>p 时收敛，1≤p 时发散；数列}{sin n 发散。 1.4函数极限与数列极限的关系用Mathematica 程序

数学分析习作-数列极限及函数极限的异同

XX大学数学分析习作课（1）读书报告题目：数列极限与函数极限的异同（定义，存在条件，性质，运算四方面的对比）学院：物理科学技术学院专业：数理基础科学、学号：任课教师：时间：2009-12-26摘要极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认知数学世界解决数学问题的

重要武器，是高等数学这个庞大的数学体系得以建立的基础和基石；极限在数学中处于基础的地位，它是解决微积分等一系列重要数学问题的前提和基础；极限是一种思维，在学习高数时最好理解透彻了，在线代中没什么用.但是概率中用的比较多，另外物理中许多都用到了极限的思维，它也能帮助更好的理解一些物理知识；在高等数学中，极限是一个重要的概念，极限可分为数列极限与函数极限，下面是关于两种极限的简要联系与说明。关键词：数列极限与函数极限的定义，存在条件，性质，运算一数列极限与函数极限的定义 1、数列与函数：

a 、数列的定义：数列是指按自然数编了号的一串数：x 1，x 2，x 3，…，x n ，…. 通常记作{x n }，也可将其看作定义在自然数集N 上的函数x n =N n n f ∈),(，故也称之为整标函数。 b 、函数的定义：如果对某个围X 的每一个实数x ，可以按照确定的规律f ，得到Y 唯一一个实数y 和这个x 对应，我们就称f 是X 上的函数，它在x 的数值（称为函数值）是y ，记为)(x f ，即)(x f y =。称x 是自变量，y 是因变量，又称X 是函数的定义域，当x 遍取X 的所有实数时，在f 的作用下有意义，并且相应的函数值)(x f 的全体所组成的围叫作函数f 的值域，要注意的是：值域不一定就是Y ，它当然不会比Y 大，但它可能比Y 小。 2、（一）数列极限的定义：对数列}{x n ，若存在常数A ，对N n N >?∈?>?,N ,0ε，有 ε<-A x n ，则称数列收敛且收敛于A ，并称数列}{x n 的极限为A ，记为x n n lim ∞ →=A. 例1.试用定义验证：01 lim =∞→n n . 证明：分析过程，欲使,1 01ε<=-n n 只需ε 1 > n 即可，故 εεε<->?+?? ? ???=?>?01:,11,0n N n N . 例2.试用定义验证：).11(lim <<-=∞ →q n 证明：分析过程.欲使[]ε <=-n n q q 0，只需q n lg lg ε > （注意0lg ??? ????????????????=?n q N n q N 对于比较复杂的表达式n n A x α=-，一般地，我们通过运算,适当放大，将n α变形简化到n β，既使得对于0>?ε由不等式εβ时，恒成立不等式εβ

数列与函数极限

数列与函数极限单项选择题 1．若数列{}x n 在(,)a a ?+εε邻域内有无穷多个数列的点，则（）（其中ε为某一取定的正数。） A.数列{}x n 必有极限，但不一定等于a ； B.数列{}x n 极限存在且一定等于a ； C.数列{}x n 的极限不一定存在； D.数列{}x n 一定不存在极限； 2．设lim ()x x f x →0 存在，lim ()x x g x →0 不存在，则（） A.lim[()()]x x f x g x →0 及lim () () x x g x f x →0 一定都不存在； B.lim[()()]x x f x g x →0 及lim () () x x g x f x →0 一定都存在； C.lim[()()]x x f x g x →0 及lim () () x x g x f x →0 中恰有一个存在； D.lim[()()]x x f x g x →0 及lim () () x x g x f x →0 不一定都不存在。 3．lim sin sin x x x x →0 21 的值为（） A.1; B.∞ ; C.不存在； D.0 4．当x →0时，与sin x 2 等价的无穷小量是( ) A. ln()1+x ； B tan x ； C. 21(cos )?x ； D. e x ?1； 5．“0>?ε，最多只有有限个),(εε+??A A a n ”是“A a n n =∞ →lim ”的( )条件 A 充分但不必要； B 必要但不充分； C 充分必要； D 既非充分也非必要； 6．0>?ε，有无穷多个),(εε+?∈A A a n 是A a n n =∞ →lim 的( ) 条件 A 充分但不必要； B 必要但不充分； C 充分必要； D 既非充分也非必要； 7．设a a n n =∞ →lim ，则( ) }{)(n a A 收敛；a a B n n =∞ →lim )(；a a C n n ?=∞ →lim )(；}{)(n a D 不一定收敛；

高等数学(同济五版)第一章函数与极限知识点

第一章函数与极限一、对于函数概念要注意以下几点： (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性：对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。

考研数学高数公式：函数与极限解读

考研数学高数公式:函数与极限第一章:函数与极限第一节:函数函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。基础阶段: 1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系; 2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段: 1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示; 2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。冲刺阶段: 1.综合应用函数解决相关的问题; 2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。第二节:极限

极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果基础阶段 1.了解极限的概念及其主要的性质。 2.会计算一些简单的极限。 3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。强化阶段: 1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列极限和函数极限的概念(数三; ▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式; 3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数; 4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。冲刺阶段: 深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。

第一讲：数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题答案

第一讲：数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分） 3．若()0lim x x f x →=∞，()0 lim x x g x →=∞，则下列正确的是（） A ． ()()0lim x x f x g x →+=∞??? ? B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞??? ? C ． ()() 01lim 0x x f x g x →=+ D ． ()()0 lim 0x x kf x k →=∞≠ 解： ()()000lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==?∞∞ ∴选D 6．当n →∞时， 1k n 与1k n 为等价无穷小，则k=（） A ．12 B ．1 C ．2 D ．-2 解：2 211sin lim lim 1,21 1n n k k n n k n n →∞→∞=== 选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 8．2112lim 11x x x →??-= ?--? ? 解：原式()()()112lim 11x x x x →∞-∞+--+ 111lim 12 x x →==+ 10 ．n =

解：原式n ≡有理化 32n ==无穷大分裂法 11．1201arcsin lim sin x x x e x x -→??+= ?? ? 解：11220011sin 1,lim 0lim sin 0x x x x e e x x -→→≤=∴=又00arcsin lim lim 1x x x x x x →→== 故原式=1 12．若()220ln 1lim 0sin n x x x x →+= 且0sin lim 01cos n x x x →=-,则正整数n = 解： ()222200ln 1lim lim sin n n x x x x x x x x →→+?= 20420,lim 02 n x n x n x →<>2,4,n n ∴>< 故3n = 三、计算题（每小题8分，共64分） 14．求0 x → 解：原式有理化 0x →0tan (1cos )1lim (1cos )2 x x x x x →-=?- 0tan 111lim lim 222 x x x x x x →∞→=?==

(完整版)大一高数第一章函数、极限与连续

第一章函数、极限与连续由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节变量与函数一、变量及其变化范围的常用表示法在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????；满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<；满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤

关于数列极限和函数极限解法的解析

关于数列极限和函数极限解法的解析王雅丽摘要在数学分析中，极限的知识体系包括数列极限和函数极限。在求解数列极限的方法中，我们从极限的定义出发，根据极限的性质以及相关的定理法则，例如单调有界收敛来论证极限；另外，对于函数极限的求解，文中列出六种类型，根据函数数列的定义、性质得出相关的定理和法则，对于不同类型，采用不同的方法。上述方法对函数概念的理解和加强，以及对极限方法的掌握起很大的帮助作用。 ε-定义单调有界收敛无穷小量络必达法则关键词数列极限N

早在两千多年前，我们的祖先就已经能够算出正方形，圆形和柱形等几何图形的面积。公元前3世纪刘徽创立割圆术，就是用圆内接正多边形面积这一思想近似的计算圆周率，并指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以致不可割，则于圆和体而无所失矣”在数学分析中，极限是一个核心内容，同时它本身研究问题的工具。极限概念与求极限的运算贯穿了数学分析课程的始终，因此全面掌握极限的方法与技巧是学习数学分析的关键。 1 数列极限古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去。把每天截下部分的长度列出如下（单位为尺）：第一天截下12 ，第二天截下 2 12 ……第n 天截下 12 n ,……这样就得到一个数列{ 12 n } 。只有无穷数列才可能有极限,有限数列无极限.不难看出,数列{ 1 2 n } 的通项 12 n 随着n 的无限增大而无限地接近于0。“无限增大”和“无限地接近”是对极限做了定性的描述，无限地接近于0说明了当n 无限的增大时数列的第n 项 12 n 与0的距离 102 n -要多小有多小。下面把任意小量化：对于 12 ，如果要求 11102 2 2 n n -= < ，只需要1n >即可；对于 2 12 ，如果要求 2 1110222n n -= < ，只需要2n >即可；对于 31 2，如果要求 311102 2 2 n n -=<，只需要3n >即可；...由上可以看出能满足不等式的 n 不是唯一的，这就需要一个一般的任意小的正数来代替特殊的，如12 ， 2 12 ， 3 12 ... 为此就出现了任意小的正数ε。对于ε 如果要求 1102 2 n n ε-= <，只需要1 2log n ε >，即可；从数列1 2log N ε ??=???? 项以后的正整数都能满足不等式11022n n ε-=<，通过任意小的正整数

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