线性系统的齐次性

实验四 线性电路叠加性和齐次性的研究

一、实验目的

1. 验证叠加定理；

2. 了解叠加定理的应用场合；

3. 理解线性电路的叠加性和齐次性。

二、 原理说明

叠加原理指出：在有几个电源共同作用下的线性电路中，通过每一个元件的电流或其两端的电压，可以看出是由每一个电源单独作用时在该元件上所产生的电流或电压的代数和。具体方法是：一个电源单独作用时，其它的电源必须去掉（电压源短路，电流源开路）；再求电流或电压的代数和时，当电源单独作用时电流或电压的参考方向与共同作用时的参考方向一致时，符号取正，否则取负。在图4—1中：

'"111I I I =- '"222I I I =-- '"333I I I =-

'"U U U =+

(a) (b) (c) 图4—1

叠加原理反映了线性电路的叠加，线性电路的齐次性是指当激励信号（如电源作用）增加或减小K 倍时，电路的响应（即在电路其它各电阻上所产生

的电流和电压值）也将增加或减小K倍。叠加性和齐次性都只适用于求解线性电路中的电流电压。对于非线性电路，叠加性和齐次性都不适用。

三、实验设备

1．流数字电压表、直流数字毫安表（根据型号的不同，EEL—Ι型为单独的MEL—06组件，其余型号含在主控制屏上）

4．恒压源（EEL—Ι、Ц、Ш、Ⅳ均含在主控制屏上，根据用户的要求，可能有两种配置（1）+6v(+5v),+12v,0~30v可调或（2）双路0~30v可调。）5．EEL—30组件（含实验电路）或EEL—53组件

四、实验内容

实验电路如图4—2所示，图中：R

1=R

2

=R

3

=510Ω, R

2

=1KΩ, R

5

=330Ω,电源U

S1

用恒压源中的+12V输出端，U

S2

用0~30V可调电压输出端，并将输出电压调到+6V

（以直流数字电压表读数为准），将开关S

3投向R

5

侧。

1．U

S1电源单独作用( 将开关S

1

投向U

S1

侧，开关S

2

投向短路侧)，参考图4—1

（b），画出电路图，表明各电流、电压的参考方向。用直流数字毫安表接电流插头测量各支路电流：将电流插头的红接线端插入数字毫安表的红（正）接线端，电流插头的黑接线端插入数字毫安表的黑（负）接线端，测量各支路电流，按规定：在结点A，电流表的读数为“+”，表示电流流出结点，读书为“—”，表示电流流入结点，然后根据电路中的电流参考方向，确定各支路电流的正、负号，并将数据记入表4—1中。

用直流数字电压表测量各电阻元件两端电压：电压表的红（正）接线端应插入被测电阻元件电压参考方向的正端，电压表的黑（负）接线端插入电阻元件的另一端（电阻元件的电压参考方向与电流的参考方向一致），测量各电阻元件两

端电压，数据记入表4—1中.

表4—1 实验数据一

2

．U S2电源单独作用（将开关S 1投向短路侧，开关S 2投向U S2侧），参考图4—1（c ）,画出电路图，标明各电流、电压的参考方向。重复步骤1的测量并将数据记录记入表格4—1中。

3．U S2共同作用时（开关S 1和S 2分别投向U S1和U S2侧），各电流、电压的参考方向见图4—2。完成上述电流、电压的测量并将数据记入表格4—1中。 4. 将U S2的数值调至+12V ，重复第2步的测量，并将数据记录在表4—1中。 5. 将开关S 3投向二极管VD 侧，即电阻R 5换成一只二极管1N4007，重复步骤1~4的测量过程，并将数据记入表4—2中。 表4—2 实验数据二

五、实验注意事项

1. 用电流插头测量各支路电流时，应注意仪表的极性，即数据表格中“+、—”

号的纪录；

2. 注意仪表量程的及时更换；

3. 电源单独作用时，去掉另一个电压源，只能在实验板上用开关K1和K2操作

而不能直接将电源短路

六、预习与思考题

1.叠加原理中U

S1，U

S2

分别单独作用，在实验应如何操作？可否将要去掉的

电源（U

S1和U

S2

）直接短接？

2.实验电路中，若有一个电阻元件改为二极管，试问叠加性与齐次性还成立

吗？为什么？

七、实验报告要求

1．据表4—1实验数据一，通过各支路电流和各电阻两端的电压，验证线性电路的叠加性与齐次性；

2．电阻元件所消耗的功率能否用叠加原理计算得出？使用上述实验数据计算、说明；

3．据表4—1实验数据一，当U

S1= U

S2

=12V时，用叠加原理计算各支路电流和

各电阻元件两端电压；

4．据表4—2实验数据二，说明叠加性与齐次性是否适用于该实验电路；

回答思考题。

实验六 连续时间系统的零极点分析

实验六 连续时间系统的零极点分析 实验目的： 1、学会用Matlab 求解系统函数的零极点； 2、学会用Matlab 分析系统函数的极点分布与系统稳定性的关系。 实验原理： 1、系统零极点绘制 系统函数H(s)通常是一个有理分式，其分子和分母均为多项式。利用Matlab 中的roots 函数，可以求出分子和分母多项式的根，即可计算出H(s)的零极点。 例如：多项式542)(24+++=s s s s N 的根可以由下列语句求出： N ＝[1 0 2 4 5]；r=roots(N)； 求出零极点后以零极点的实部和虚部作图，即可得出零极点的分布图。例如：执行zs=roots(b)；ps=roots(a)；（b ，a 分别为分子分母多项式系数向量），再执行plot(real(zs),imag(zs),’o’,real(ps),imag(ps),’x’,’markersize’,12);就能够画出系统的零极点分布图。 绘制系统零极点的分布图再Matlab 中还有一种更加简便的方法，即利用函数pzmap ，调用形式为： pzmap(sys) 它表示画出由sys 所描述的系统的零极点分布图。利用sys ＝tf(b,a)来构建系统模型，这在实验2中已经介绍过，b,a 分别为系统函数H(s)的分子分母多项式系数向量。 2、 系统函数的零极点与系统的稳定性 根据信号与线性系统中的知识我们知道：当系统函数的极点全部位于s 平面的左平面时，系统是稳定的。在绘制好系统零极点分布图后，就可以根据这个知识点判断系统的稳定性。 注意：在绘制系统零极点分布图时，可以适当变换坐标的显示范围，来达到增强零极点分布图可读性的效果。 实验内容： 一、用两种方法绘制如下系统函数的零极点分布图，并且判断系统是否稳定。

非齐次线性微分方程通解的证明

非齐次线性微分方程通解的证明 问题重述 如果 是区间上的连续函数， 是 区间上齐次线性微分方程 （5.21） 的基本解组，那么，非齐次线性微分方程 (5.28) 的满足初值条件 的解由下面公式给出 （5.29） 这里 是的朗斯基行列式， 是在 中的第k 行代以 后得到的行列式，而且（5.28）的任一解u(t)都具有形式 ，（5.30） 这里 是适当选取的常数。 公式（5.29）称为（5.28）的常数变易公式。 我们指出，这时方程（5.28）的通解可以表示为 证明 考虑n 阶线性微分方程的初值问题 12(),(),...,(),() n a t a t a t f t a t b ≤≤12x (),x (),...,x (), n t t t a t b ≤≤()(n-11()+...+()x=0 n n x a t x a t +）()(n-11()+...+()x=() n n x a t x a t f t +）(1)0000()0()=0()=0,[,] n a b t t t t ???-'=∈，，...,0 n 12k 1 12[x (),x (),...,x ()] ()=x (){ }()[x (),x (),...,x ()]t k n k t n W s s s t t f s ds W s s s ?=∑?12[x (),x (),...,x ()] k n W s s s 12x (),x (),...,x () n s s s 12[x (),x (),...,x ()] k n W s s s 12[x (),x (),...,x ()] n W s s s (0,0,...,0,1)T 1122()()()...()() n n u t c x t c x t c x t t ?=++++12,,...,n c c c 1122()()...()() n n x c x t c x t c x t t ?=++++

线性递推数列的特征方程

具有形如21n n n x ax bx ++=+ ①的递推公式的数列{}n x 叫做 线性递推数列 将①式两边同时加上1 n yx +-，即： 2111n n n n n x yx ax bx yx ++++-=+- 整理得： 211()()n n n n b x yx a y x x y a +++-=--- 令1n n n F x yx +=-为等比数列，则其公比q a y =-且满足b y y a =- 即满足：2y ay b =+ ② 设②式具有两个不相等的实数根r ，s ，则： 1n n n Y x rx +=- ③ 1n n n Z x sx +=- ④ 分别是公比为a r -，a s -的等比数列，并得： 121()()n n Y x rx a r -=-- 1 21()()n n Z x sx a s -=-- 且由③、④可得： ()n n n Y Z s r x -=- 又由韦达定理可得： r s a += rs b =- 于是有：

1121211121211121221 2122121()()()() () () n n n n n n n n n n n n n Y Z x rx a r x sx a s x s r s r x rx x x rx x sx s r s b r b C sx a r a s s r s r x rx x sx s r s b s b r r r C s ------------= =----= -------= -+---++++-== ⑤ 由以上推导可知，线性递推数列的通项公式⑤只与数列的第一、二项和方程 2y ay b =+的两根有关。也就是说，只需知道1x ，2x 和方程2y ay b =+的两根r ，s ，即可得出线性递推数列的通项公式。可见方程2y ay b =+包含了线性递推数列的重要信息，故将之称为线性递推数列的特征方程。 例：（斐波拉契数列）已知数列{}n x 满足： 121x x ==且21 (1,)n n n x x x n n N +++=+≥∈.求数列{}n x 的通项公式。 解：该数列属于线性递推数列，其特征方程为：21x x =+ 解之得：152r + =，152s - = 故可设数列的通项公式为 12151522n n n x C C ????+-=+ ? ? ? ????? 又1121515122x C C ????+-=+= ? ? ? ?????，222121515122x C C ????+-=+= ? ? ? ????? 解得：155C =，255C =-.故所求通项公式为： 51515522n n n x ?? ????+-??=- ? ? ? ????????? .

几个特殊的数列

几个重要的特殊数列 基础知识 1．斐波那契数列 莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即： 假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？ 这就是非常著名的斐波那契数列问题。其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共 有对，于是有。 现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。 特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为 （），其特征方程为，其根为特征根。 （1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为 （），其中A、B由初始值确定； （2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为 （），其中A、B由初始值确定。（这个问题的证明

我们将在后面的讲解中给出） 因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其 特征根为： ，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得 所以。 这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。斐波那契数列有许多生要 有趣的性质，如： 它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明） （1）斐波那契数列的前项和； （2）； （3）（）； （4）（）； （5）（）；

连续时间系统的模拟

实验三 连续时间系统的模拟 一、 实验目的 学习根据给定的连续系统的传输函数，用基本运算单元组成模拟装置。 二、 实验原理 1． 线性系统的模拟 系统的模拟就是用基本运算单元组成的模拟装置来模拟实际的系统。这些实际的系统可以是电的或非电的物理量系统，也可以是社会、经济和军事等非物理量系统。模拟装置可以与实际系统的内容完全不同，但是两者之间的微分方程完全相同，输入输出关系即传输函数也完全相同。模拟装置的激励和响应是电物理量，而实际系统的激励和响应不一定是电物理量，但它们之间的关系是一一对应的。所以，可以通过对模拟装置的研究来分析实际系统，最终达到在一定条件下确定最佳参数的目的。对于那些用数学手段较难处理的高阶系统来说，系统模拟就更为有效。 2． 传输函数的模拟 若已知实际系统的传输函数为： 10111()()()n n n n n n a s a s a Y s H s F s s b s b --+++==+++ （1） 分子、分母同乘以n s -得： 11011111() ()()()1() n n n n a a s a s P s Y s H s F s b s b s Q s ------+++=== +++ （2） 式中1()P s -和1()Q s -分别代表分子、分母的s 负幂次方多项式。因此： 111 ()()()() Y s P s F s Q s --=? （3） 令：11 ()() X F s Q s -= （4） 则111()()n n F s XQ s X b s X b s X ---==++ + （5） 1 1()n n X F s b s X b s X --??=-+ +?? (6) 1101()()n n Y s P s X a X a s X a s X ---==+++ (7) 根据式（6）可以画出如图1所示的模拟框图。在该图的基础上考虑式（7）就可以画出如图2所示系统模拟框图。在连接模拟电路时，1s -用积分器，1b -、2b -、3b -及0a 、1a 、2a 均用标量乘法器，负号可用倒相器，求和用加法器。值得注意的问题是，积分运算单元有积分 时间常数τ，即积分运算单元的实际传递函数为1/s τ-，所示标量乘法器的标量12,, ,n b b b ---应分别乘以12,, ,n τττ。同理，01,, ,n a a a 应分别乘以012,,, ,n ττττ。此外， 本实验采用的积分器是反相积分器，即传递函数为1/s τ--，所以01,,,n a a a 还应分别乘以

常见线性递推数列通项的求法

常见线性递推数列通项的求法 对于由递推式所确定的数列通项公式问题，往往将递推关系式变形转化为我们熟知的等差数列或等比数列，从而使问题简单明了。这类问题是高考数列命题的热点题型，下面介绍常见线性递推数列求通项的基本求法。 一、一阶递推数列 1、q pa a n n +=+1型 形如q pa a n n +=+1（q p 且1≠为不等于0的常数）的数列，可令)(1x a p x a n n +=++ 即x p pa a n n )1(1-+=+与q pa a n n +=+1比较得1-=p q x ，从而构造一个以1 1-+p q a 为首项以p 为公比的等比数列? ????? -+1p q a n 例1．在数列{a n }中，,13,111-?==+n n a a a 求n a . 解：在131-?=+n n a a 的两边同加待定数λ，得n n n a a a (3131?=+-?=++λλ+（λ－1）/3），令,3)1(-=λλ得).21(321.211-?=-∴-=+n n a a λ数列{}2 1-n a 是公比为3的等比数列, ∴a n 21-=).13(21,32 111+=∴?--n n n a 2、 ()n g a c a n n +?=+1型 (1)1=c 时：解题思路：利用累差迭加法，将)1(1-=--n g a a n n ，--1n a 2-n a =)2(-n g ，…，-2a 1a =)1(g ,各式相加，正负抵消，即得n a . 例2．在数列{}n a 中，01=a 且121-+=+n a a n n ，求通项n a . 解：依题意得，01=a ，()32112,,3,112312-=--=-=-=--n n a a a a a a n n Λ，把以上各式相加，得 【评注】由递推关系得，若()n g 是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列；若n n a a -+1非常数，而是关于n 的一个解析式，可以肯定数列n a 不是等差数列，将递推式中的n 分别用 2,3,4,,2,1Λ--n n 代入得1-n 个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得n a ，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。 （2）1≠c 时： 例3．在数列{}n a 中，,3,1211n a a a n n +==+求通项n a . 解：作新数列}{n b ，使),(2C Bn An a b n n ++-=即),(2C Bn An b a n n +++=（A ，B ，C 为待定 常数）。由213n a a n n +=+可得：C n B n A b n ++++++)1()1(21=,)(322n C Bn An b n ++++ 所以，B A C n A B n A b b n n --+-+++=+2)22()12(321，设2A+1=0，2B-2A=0，2C-A-B=0，可

基于matlab信号与线性系统分析实验四——线性连续时间系统的分析

第一题： 1. num=[1,0]; den=[1,32,60]; p=roots(den); z=roots(num); plot(real(p),imag(p),'*');hold on; plot(real(z),imag(z),'o');grid on 稳定 -30-25-20-15-10-50 2. num=[1,0]; den=[1,32,60]; T=0:0.1:3; y1=impulse(num,den,T); y2=step(num,den,T); U=sin(T); y3=lsim(num,den,U,T); subplot(1,1,1);plot(T,y1);title('脉冲响应');grid on;

-2-1.5-1-0.500.51 1.52 2.53 第二题： 1. num=[1,0]; den=[1,32,60]; T=0:0.1:3; y1=impulse(num,den,T); y2=step(num,den,T); U=sin(T); y3=lsim(num,den,U,T); subplot(1,1,1);plot(T,y1);title('脉冲响应');grid on;

00.51 1.52 2.53-0.20 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 2. num=[1,0]; den=[1,-1,-6]; T=0:0.1:3; y1=impulse(num,den,T); y2=step(num,den,T); U=sin(T); y3=lsim(num,den,U,T); subplot(1,1,1);plot(T,y1);title('脉冲响应');grid on;

高阶线性微分方程常用解法介绍

高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根

高阶齐次线性递归数列特征方程的由来

高阶齐次线性递归数列特征方程的由来泡芙面膜 一、问题提出 高阶齐次线性递归数列是一种十分重要的数列，它不仅在高考中占有一席之地，在各类数学竞赛中也是常客，大多是将高阶齐次线性递归数列与特征方程联系起来，利用特征根法求得其通项公式，但是特征方程是如何“从天而降”，递归数列如何与特征方程联系起来是许多读者困惑的问题.教学，不仅要知其然更要知其所以然，才能深刻理解知识的“来龙去脉”，才能称得上掌握知识.本文就针对高阶齐次线性递归数列，还原其特征方程的由来过程. 先来回顾文[1]中二阶线性递归数列: x?=p?x?+p?x?? 采用分配降阶得:x?=(α+β)x?-αβx?? 比较?式与?式，得p?=α+β，p?=-αβ，由韦达定理可知:α，β是方程x?-p?x-p?=0的根，此方程就称为二阶齐次线性递归数列?的特征方程. 把这种分配的思想运用到三阶、四阶，甚至阶齐次线性递归数列中，即可得到相应的特征方程. 二、预备知识 先介绍一元次方程根与系数的关系[2]. 设n次多项式f(x)=x?+a?x?+…a?x+a?的n个根为α?，α?，…α?，那么f(x)就可以分解成:f(x)=(x-α?)(x-α?)…(x-α?) 即:x?+α?x?+…+α?x+α?=(x-α?)(x-α?)…(x-α?) 将上式右端展开、整理，并比较等式两边同次项系数得 α?+α?+…+α?=-

α?α?α?+α?α?+…+α?α?=α?α?α?α?+α?α?α?+…+α?α?α?=-α?……α?α?…α?=(-1)?α? 这就是n次多项式的根与系数的关系定理，也称为韦达定理. 三、高阶齐次线性递归数列特征方程的由来 要说明特征方程的由来，只需说明根与系数具有上述关系，从而构造高阶齐次线性递归数列的特征方程. 用数学归纳法推导高阶齐次线性递归数列 x?=p?x?+p?x?+…+p?x?(r?3)的特征方程. 当r=3时x?p?x?+p?x?+p?x?? x?-αx?=β(x?-αx?)+γ(x?-αx?)? 比较?式、?式得 α+β=p?γ-αβ=p?γα=-p?? 令A?=x?-αx?，则A?=x?-αx?，那么?式就变形为A?=βA?+γA?. 由二阶齐次线性递归数列可知: b?+b?=βb?b?=-γ? 将?式代入?式得: α+b?+b?=p?αb?+αb?+b?b?=-p?αb?b?=p? 表明α，b?，b?是特征方程x?-p?x?-p?x-p?=0的根. 现假设当r=m-1时，x?=p?x?+p?x?+…+p?x?的特征方程根与系数的关系满足: b?+b?+…+b?=p??b?b?=- p??b?b?b?=p?b?b?…b?=(-1)?p? 其中b?，b?，…，b?是m-1阶特征方程的根. 那么，当r=m时，有x?=p?x?+p?x?+…+p?x?? 利用分配降阶的思想，将?式变形为:

二阶常系数齐次线性微分方程求解方法

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数 非齐次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为

函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111 =++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数y 1e (i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e (i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 2 2ie x sin x )(21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为 y e x (C 1cos x C 2sin x )

二阶线性递推数列的通项公式的求法(1)

二阶线性递推数列的通项公式的求法 课程背景：二阶线性递推数列的通项公式的求法是高考中数列的一个高频考点，由于其递推数列的特殊性和复杂性，很多学生感到无从下手，是学生高考中较大的一个失分点，其实本题来源于课本习题，本课就这个问题以课本习题为载体来深入的探讨和研究一下二阶线性递推数列的通项公式的求法 课程内容： 真题再现： 1.（2015广东文19）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，* n ∈N ．已知11a =，232 a =，354 a = ， 且当2n …时，211458n n n n S S S S ++-+=+． （1）求4a 的值； （2）求证：11 2n n a a +? ? - ???? 为等比数列； （3）求数列{}n a 的通项公式． 2.在数列{}n a 中，11,a =21a =，11n n n a a a +-=+（2n ≥），求数列{}n a 的通项公式 问题呈现：第一题中的第三问是难点，当2n …时，211458n n n n S S S S ++-+=+，易得 211 14()4()()n n n n n n S S S S S S +++--= ---，即2114 n n n a a a ++=-，实际上就是已知2114 n n n a a a ++=- ，求{}n a 的 通项公式。第2题更是典型的已知11n n n a a a +-=+（2n ≥）， 求数列{}n a 的通项公式 这两题的共同特点是：已知数列* 1221,,(,0),n n n a a a b a p a q a n N p q ++===+∈≠求{}n a 的通项公式，即 二阶线性递推数列的通项公式的求法。这是学生的一个难点，同时也是高考重点考查的知识，很多学生感到很繁琐，无从下手。实质，此类题型来源于我们的课本习题 课本例题呈现： 例13 已知数列{}n a ，212132,2,5--+===n n n a a a a a （3n ≥），求数列的通项公式。（人教版高中数学必修5第二章数列复习参考题B 组第6题） 解法 1：（归纳猜想）由已知可得：11, a =23452,19,44,145, a a a a ====猜想 1 1 * 1[7313 (1)]()4 n n n a n N --= ? +?-∈(用数学归纳法证明略) 解法2：（构造法） 将2132--+=n n n a a a 变形，]23)[2(3)2(21211------+-=+-=-n n n n n n a a a a a a λ λλλ 若,23λ λ-= -即1-=λ或者3,则{}1n n a a λ+-是一个等比数列,公比为2-λ.1-=λ时， 1{}n n a a ++是一个首项为7,公比为3的数列, 1 173n n n a a --+=?① 3λ=时，1{3}n n a a +-是一个首项为-13,公比为1-的等比数列 1 1313(1) n n n a a -+-=-?-② 由①②两式消去1n a +得：1 1 * 1[73 13(1) ]()4n n n a n N --= ?+?-∈

连续时间系统的时域分析

第二章 连续时间系统的时域分析 §2-1 引 言 线性连续时间系统的时域分析，就是一个建立和求解线性微分方程的过程。 一、建立数学模型 主要应用《电路分析》课程中建立在KCL 和KVL 基础上的各种方法。 线性时不变系统的微分方程的一般形式可以为： )()(...)()()()(...)()(0111101111t e b t e dt d b t e dt d b t e dt d b t r a t r dt d a t r dt d a t r dt d m m m m m m n n n n n ++++=++++------ 二、求解（时域解） 1、时域法 将响应分为通解和特解两部分： 1） 通解：通过方程左边部分对应的特征方程所得 到的特征频率，解得的系统的自然响应（或自由响应）； 2） 特解：由激励项得到系统的受迫响应；

3）代入初始条件，确定通解和特解中的待定系数。 经典解法在激励信号形式简单时求解比较简单，但是激励信号形式比较复杂时求解就不容易，这时候很难确定特解的形式。 2、卷积法（或近代时域法，算子法） 这种方法将响应分为两个部分，分别求解： 1）零输入响应：系统在没有输入激励的情况下，仅仅由系统的初始状态引起的响应 r )(t ； zi 2）零状态响应: 状态为零（没有初始储能）的条件下，仅仅由输入信号引起的响应 r )(t 。 zs ●系统的零输入响应可以用经典法求解，在其中 只有自然响应部分； ●系统的零状态响应也可以用经典法求解，但是 用卷积积分法更加方便。借助于计算机数值计算，可以求出任意信号激励下的响应（数值解）。 ●卷积法要求激励信号是一个有始信号，否则无

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明教学提纲

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明 来源：文都教育 在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。 一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析 通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02=++q p λλ的特征根为 12,λλ，则 1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C e C e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112x x y C e C xe λλ=+； 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+； 证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++= 212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=， 令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dx λλλ'-=? =?=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得 221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----??=+=+?? (1)

齐次微分方程

1 第二讲一阶微分方程 【教学内容】 齐次微分方程、一阶线性微分方程 【教学目的】 理解齐次微分方程的概念，掌握齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法。 【教学重点与难点】 齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法 【教学过程】 、齐次微分方程: 形如 凹f （-）的微分方程；叫做齐次微分方程 dx x u ■y 原方程便化为可分离变量的微分方程来求解。 x 此方程是可分离变量的微分方程。按可分离变量微分方程的解法，求出方程的通解，再将变量 为y ，所得函 数就是原方程的通解。 x 解：方程可化为 1 C)2 X 2(乂) x 分离变量，则有 u 1 u 2 两边积分，得 例1、 求微分方程（x )dx 2xydy ，满足初始条件y x 1 0的特解。 它是齐次方程。令u ，代入整理后，有 du dx 2xu 对它进行求解时，只要作变换 于是有 dy y ux,亠 u dx du dx du x 一 dx f(u) u x pl ，从而原方程可化为 u x —— f （u ）， dx u 还原 dy dx 2 x_ 2xy du 2x dx

(2)ln(1 u 2) (2)ln x (1 )ln c cx(1 u 2) 1 将u y 代入上式，于是所求方程的通解为 x x 2 二、一阶线性微分方程 形如 的方程称为一阶线性微分方程，其中 P （x ）、Qx ）都是连续函数。 当Qx ） = 0时，方程 y P (x)y 0 称为一阶线性齐次微分方程; 当Qx ）工0，方程称为一阶线性非齐次微分方程。 1. 一阶线性齐次微分方程的解法 将方程 P(x)y 0 分离变量得 两边积分得 方程的通解为 求微分方程 y 2xy 0的通解。 c(x 2 y 2 ) x 2 把初始条件y 0代入上式，求出c 1，故所求方程的特解为 y P (x)y Q(x) dy P(x)dx In y P(x)dx InC Ce P （x ）dx （C 为任意常数） 解法1 （分离变量法）

二阶非齐次线性微分方程的解法.

目 录 待定系数法 常数变异法 幂级数法 特征根法 升阶法 降阶法 关键词：微分方程，特解，通解， 二阶齐次线性微分方程 常系数微分方程 待定系数法 解决常系数齐次线性微分方程[]21220, (1) d x dx L x a a x dt dt ≡++= 12,. a a 这里是常数 特征方程212()0F a a λλλ=++= (1.1) (1)特征根是单根的情形 设 12,,,n λλλ 是特征方程的 (1.1)的2个彼此不相等的根，则相应的方程 (1)有如 下2个解： 12,t t e e λλ (1.2) 如果(1,2)i i λ=均为实数，则 (1.2)是方程 (1)的2个线性无关的实值解，而方程 (1)的通解可表示为 1212t t x c e c e λλ=+ 如果方程有复根，则因方程的系数是实系数，复根将成对共轭出现。设 i λαβ=+是一特征根，则i λαβ=-也是特征根，因而与这对共轭复根对应，方程 (1)有两个复值解 (i)t (cos t sin ),t e e i t αβαββ+=+

(i)t (cos t sin ).t e e i t αβαββ-=- 它们的实部和虚部也是方程的解。这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根 i λαβ=±，我们可求得方程 (1)的两个实值解 cos ,sin .t t e t e t ααββ （2）特征根有重跟的情形 若10λ=特征方程的 k 重零根，对应于方程 (1)的k 个线性无关的解21 1,t,t ,k t - 。 若这个 k 重零根10, λ≠设特征根为12,,,,m λλλ 其重数为 1212,,,k (k 2)m m k k k k ++= 。方程 (1)的解为 11112222111,t ,t ;,t ,t ;;,t ,t ;m m m m t t k t t t k t t t k t e e e e e e e e e λλλλλλλλλ--- 对于特征方程有复重根的情况，譬如假设i λαβ=+是k 重特征根，则i λαβ=- 也是k 重特征根，可以得到方程 (1)的2k 个实值解 2121cos ,cos ,cos ,,cos ,sin ,sin ,sin ,,sin .t t t k t t t t k t e t te t t e t t e t e t te t t e t t e t ααααααααββββββββ-- 例1 求方程 220d x x dt -=的通解。 解 特征方程 210λ-=的根为121,1λλ==-有两个实根，均是单根，故方程的通 解为 12,t t x c e c e -=+ 这里12,c c 是任意常数。 例2 求解方程 220d x x dt +=的通解。 解 特征方程 210λ+=的根为12,i i λλ==-有两个复根， 均是单根，故方程的通解 为 12sin cos ,x c t c t =+

一阶常系数线性齐次微分方程组的求解

一阶常系数线性齐次微分方程组的求解 【模型准备】一只虫子在平面直角坐标系内爬行. 开始时位于点P 0(1, 0)处. 如果知道虫子在点P (x , y )处沿x 轴正向的速率为4x - 5y , 沿y 轴正向的速率为2x - 3y . 如何确定虫子爬行的轨迹的参数方程? 图31 虫子爬行的轨迹 【模型假设】设t 时刻虫子所处位置的坐标为(x (t ), y (t )). 【模型构成】由已知条件和上述假设可知 d 45,d d 23,d x x y t y x y t ?=-????=-??而且(x (0), y (0)) = (1, 0). 现要由此得出虫子爬行的轨迹的参数方程. 【模型求解】令A =4523-?? ?-?? , 则|λE -A | =4523λλ--+= (λ+1)(λ-2). 可见A 的特征值为λ1 = -1, λ2 = 2. (-E -A )x = 0的一个基础解系为: ξ1 = (1, 1)T ; (2E -A )x = 0的一个基础解系为: ξ2 = (5, 2)T . 令P = (ξ1, ξ2), 则P -1AP =1002-?? ??? . 记X =x y ?? ???, Y =u v ?? ??? , 并且作线性变换X = PY , 则Y = P -1X , d d t Y = P -1d d t X = P -1AX = P -1APY =1002-?? ??? Y , 即 d d d d u t v t ?? ???=1002-?? ???u v ?? ??? , 故u = c 1e -t , v = c 2e 2t , 即Y =122t t c e c e -?? ??? . 因而 12c c ?? ??? = Y |t =0 = P -1X |t =0 =2/35/31/31/3-?? ?-??10?? ???=2/31/3-?? ???. 于是 x y O 1 何去何从?

连续时间系统的时分析

实验三 连续时间系统的时域分析 一 实验目的： 1、熟悉和掌握常用的用于信号与系统时域分析的MATLAB 函数； 2、掌握如何利用Matlab 软件求解一个线性时不变连续时间系统的零状态 响 应、冲激响应和阶跃响应。 二 实验原理： 在信号与线性系统中，LTI(线性时不变)连续时间系统以常系数微分方程描述，系统的零状态响应可以通过求解初始状态为零的微分方程得到。在Matlab 中，控制系统工具箱提供了一个用于求解零初始条件微分方程数值解的函数lsim ，其调用形式为： ),,(t f sys lsim y = 式中，t 表示计算系统响应的抽样点向量，f 是系统输入信号向量（即激励），sys 是LTI 系统模型，用来表示微分方程。在求解微分方程时，微分方程的LTI 系统模型sys 要借助Matlab 中的tf 函数来获得，其调用形式为： ),(a b tf sys = 式中，b 和a 分别为微分方程右端和左端各项的系数向量。例如对于三阶微分方程： )()()()()()()()(01230123t f b t f b t f b t f b t y a t y a t y a t y a +'+''+'''=+'+''+''' 可以用以下命令： b=[b3,b2,b1,b0]; a=[a3,a2,a1,a0]; sys=tf(b, a); 来获得LTI 模型。 系统的LTI 模型建立后，就可以求出系统的冲激响应和阶跃响应。在连续时 间LTI 中，冲击响应和阶跃响应是系统特性的描述。输入为单位冲击函数)(t δ所引起的零状态响应称为单位冲击响应，简称冲击响应，用)(t h 表示；输入为单位阶跃函数)(t ε所引起的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用)(t u 表示。求解系统的冲激响应的函数是impulse ，求解系统的阶跃响应可以利用函数

一阶线性非齐次微分方程

一阶线性非齐次微分方程一、线性方程 方程 dy dx P x y Q x += ()() 1 叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。 如果 Q x()≡0，则方程称为齐次的； 如果 Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。 a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程 dy dx P x y += ()0 2 的通解问题。 分离变量得dy y P x dx =-() 两边积分得ln()ln y P x dx c =-+ ? 或 y c e P x dx =?-?() 其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。 将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换 y u e P x dx =?-?() 两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()() ?=-? 两边求导得dy dx u e uP x e P x dx P x dx ='- -?-? ()() () 代入方程1得

'=-?u e Q x P x dx ()() ， '=?u Q x e P x dx ()() u c Q x e dx P x dx =+??()() 于是得到非齐次线性方程1的通解 []y e c Q x e dx P x dx P x dx =?+-???()()() 将它写成两项之和 y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =?+?--????()()()() 【例1】求方程 dy dx y x x -+=+21 132() 的通解。 解：] 23)1([1212dx e x c e y dx x dx x ??++??=+-+-- ] 23)1([22)1(ln )1(ln dx e x c e x x +-+??++?= =+?++-?()[()]x c x dx 1121 2 =+?++()[()]x c x 12121 2 由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。

一阶齐次线性微分方程组解的一个结论-2019年精选文档

一阶齐次线性微分方程组解的一个结论 1 预备知识 在实际问题中,我们将会看到稍微复杂的物理系统(例如两个或两个以上回路电流变化规律,几个互相作用的质点的运动等等)的数学模型会导出多于一个微分方程的方程组。通过某些简化的假设,在相当广泛的问题里,这种方程组可以化为一阶线性微分方程组。本文主要给出了一个一阶齐线性微分方程组解的伏朗斯基行列式的结论。为讨论问题的方便,引入以下定义。 定义1 对于线性微分方程组 (1) 其中A(t)是区间a≤x≤b上的已知n×n连续矩阵,它的元素为aij(t),i,j=1,2,…,n。f (t)是区间a≤x≤b上的已知n 维连续列向量。如果f (t)≠0,则方程组(1)称为非齐线性的;如果f (t)=0,则方程组的形式为 (2) (2)称为齐线性的。 本文主要讨论齐线性微分方程组(2)的问题。 定义2 设有n个定义在区间a≤x≤b上的向量函数 由这n个向量函数构成的行列式 称为这些向量函数的伏朗斯基行列式。 定理 1

2 一阶齐线性微分方程组(2)解的伏朗斯基行列式的结论 定理2 考虑一阶齐线性微分方程组(2),其中A(t)是区间 a≤x≤b上的已知n×n连续矩阵,它的元素为 aij(t),i,j=1,2,…,n。 a.如果x1(t),x2(t),…xn(t)是方程组(2)的任意n个解,那么他们的伏朗斯基行列式W[x1(t),x2(t),…xn(t)]≡W(t)满足下面的一阶线性微分方程 W′=[a11(t)+a22(t)+…+ann(t)]W (6) b.解上面的一阶线性微分方程,有下式 成立。 证明 a.设 因为根据定理1 而由已知x1(t),x2(t),…xn(t)是方程组(2)的任意n个解,故 所以(8)式等于 根据行列式的性质 即满足(6)式。 b.将上面的一阶线性微分方程(6)变量分离 积分求解得 结论b.得证 3 总结 本文结合微分方程和矩阵代数的有关理论,给出的一阶齐线