全国高中数学联赛模拟试题1

全国高中数学联赛模拟试题 1

第一试

一．填空题

1.等差数列前n 项和记为n S ，若411313=S ，131341=S ，则=1354S __

2.定义“幂平均三角形”为：如果△ABC 的三边a,b,c 满足等式：)(,)2

(1Z n c a b n n

n ∈+=则称△ABC 为“n 次幂平均三角形”如果△ABC 为“n 次幂平均三角形”，则角B 的最大值是_____

3.已知f （x)=b a x a b x -+--+3)4(22是偶函数，则f(x)函数图像与与y 轴交点的纵坐标的最大值是______

4.四面体A-BCD 中，AB 与CD 成60度夹角，且AB+CD=4，E 为AC 中点，F 为BD 中点，则EF 长度的最小值为_______

5.已知椭圆13

42

2=+y x 的左右焦点分别为21,F F ,过椭圆的右焦点作一直线l 交椭圆于点P,Q ，则三角形PQ F 1内切圆面积的最大值是______

6.设m n =+++++100199131211 ，除的余数为被是既约分数，则其中5n m

n ______ 7.)(A Φ表示集合A 所有元素之和，若对?n ≤1500,+∈N n ,存在

{}),,(,,2121Z a a a a a a a S i n n ∈<

设，（n>1)，则使S 为完全平方数的最小n 为______

二．解答题 9.222c 111,3,0,,++≥++

=++>b a ca

bc ab c b a b b a 求证：且已知

10.,,),)0221002l l y x P p px y C 作两条互相垂直的直线（上一点（：过抛物线>=的轨迹方程求，垂足为作两点。过分别于抛物线交于H H AB PH P B A ,,⊥

的最大值

求时，满足当二次函数c b a )

0,10(,)()(.112++><<≤≤++=t k t x f k x c bx ax x f

第二试

一．已知D是锐角△ABC外接圆ω的弧BAC中点，I是△ABC的内心，内切圆⊙I切BC于E，

AI//

DE交圆ω于另一点F，圆I切AB，AC分别于S,T。P是AF于ST交点。求证PE

二．)20122,1,0(2012 k C k 中偶数的个数求

三．

，使得上述不等式成立

且，都不等于，元有理数组证明：存在无穷多组三求证：，满足都不等于设实数11,,),,()2(1)1()1()1()1(1

1,,2

2

2222=≥-+-+-=xyz z y x z y x z z y y x x xyz z y x

四．圆上给定24个点，每两个点组成一个点对（一个点只能在一个点对中），把每个点对中的两个点连接起来。问：

使形成的12条线段不相交的方法有多少种？