高中数学专题训练(七)——轨迹问题

高中数学专题训练——轨迹问题

1. 已知平面//α平面β，直线l α?，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为2

9的点的轨迹是（ ）

A. 一个圆

B. 两条平行直线

C. 四个点

D. 两个点

2 在四棱锥ABCD P -中，⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPB APD ∠=∠，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ） A. 圆

B. 不完整的圆

C. 抛物线

D. 抛物线的一部分

3. 如图,定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α?C 是α

内异于A 和B 的动点。且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ）

A. 一条线段，但要去掉两个点

B. 一个圆，但要去掉两个点

C. 一个椭圆，但要去掉两个点

D. 半圆，但要去掉两个点

4. 如图3，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面1BC 内一动点，若P 到直线BC 与直线11D C 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ） A. 直线

B. 圆

C. 双曲线

D. 抛物线

图3

5. 已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ） A. 抛物线

B. 双曲线

C. 椭圆

D. 直线

6. 已知异面直线a,b 成?60角，公垂线段MN 的长等于2，线段AB 两个端点A 、B 分别在a,b 上移动，且线段AB 长等于4，求线段AB 中点的轨迹方程。

7. 已知圆E 的方程为 (x -1)2 + y 2 = 1, 四边形PABQ 为该圆的内接梯形，底AB 为圆的直径且在x 轴上，以A 、B 为焦点的椭圆C 过P 、Q 两点．

(1) 若直线QP 与椭圆C 的右准线相交于点M ，求点M 的轨迹； (2) 当梯形PABQ 周长最大时，求椭圆C 的方程．

8. 已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，其中F1又是抛物线y2 = 4 x的一个焦点，且点A(-1, 2)，B(3, 2)在双曲线上．

(1)求点F2的轨迹;

(2)是否存在直线y = x+m与点F2的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m的值，若不存在，说明理由．

9. 已知常数a > 0，c = (0, a)，i = (1, 0)，经过原点O，以c +λi为方向向量的直线与经过定点A(0 , a)，以i -2λc为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R，试问：是否存在两个定点E , F，使得| PE| + | PF | 为定值，若存在，求出E, F的坐标，若不存在，说明理由．

10.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点(20)

M，，AB 边所在直线的方程为360

x y

--=点(11)

T-，在AD边所在

直线上．

（I）求AD边所在直线的方程；

（II）求矩形ABCD外接圆的方程；

（III）若动圆P过点(20)

N-，，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．

D

T

N O

A

B

C

M

x y

11. 如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.

（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.

x

y

O

A B

P

F

l

12. 已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），

Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=?TF TF PT （Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x

a

c

a P F +

=||1； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；

（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2

的正切值；若不存在，请说明理由.

13. 过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.求△AOB 的重心G 的轨迹C 的方程.

14. 已知圆22:1C x y +=和点(2,0)Q ，动点M 到圆C 的切线长与||MQ 的比等于常数(0)λλ>，求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？

15. 如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PN PM 2=．试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．

16. 已知椭圆C：x y

22

169

1

+=和点P（1，2），直线l经过点P并与椭圆C交于A、

B两点，求当l倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程。

17. 已知棱长为3的正方体ABCD A B C D

-

1111

中，长为2的线段MN的一个端点

在DD

1

上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，求MN中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积。

18. （经典问题，值得一做，很能训练学生的思维能力）

三峡工程需修建一个土石基坑，基坑成矩形ABCD，按规定，

挖出的土方必须沿道路PA或PB送到P点处。已知

m

AB

m

BC

m

PB

m

PA160

,

60

,

150

,

100=

=

=

=，能否在池中确

定一条界线，使得位于界线一侧的点沿道路PA送土方较近，

而另一侧的点沿道路PB送土方较近？如果能，请说明这条界

线是什么曲线，并求出轨迹方程。

19. 设点A和B为抛物线y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线

20. 某检验员通常用一个直径为2 cm和一个直径为1 cm的标准圆柱，检测一个直径为3 cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？

答案：

1. 如图1，设点P 在平面β内的射影是O ，则OP 是α、β的公垂线，OP=4。在β内到点P 的距离等于5的点到O 的距离等于3，可知所求点的轨迹是β内在以O 为圆心，3为半径的圆上。又在β内到直线l 的距离等于2

9的点的集合是两条平行直线m 、n ，它们到点O 的距离都等于32

17

4)2

9

(22<=

-，所以直线m 、n 与这个圆均相交，共有四个交点。因此所求点的轨迹是四个点，故选C 。

2. 因为⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，所以AD//BC ，且?=∠=∠90CBP DAP 。 又8BC ,4AD ,CPB APD ==∠=∠， 可得CPB tan PB

CB

PA AD APD tan ∠===∠， 即得

2AD

CB

PA PB == 在平面PAB 内，以AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A （-3，0）、B （3，0）。设点P （x,y ），则有

2y

)3x (y )3x (|

PA ||

PB |2

2

22=+++-=，

整理得09x 10y x 22=+++

由于点P 不在直线AB 上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B 。

3. 因为PC AC ⊥，且PC 在α内的射影为BC ，所以BC AC ⊥，即?=∠90ACB 。所以点C 的轨迹是以AB 为直径的圆且去掉A 、B 两点，故选B 。

4. 因为P 到11D C 的距离即为P 到1C 的距离，所以在面1BC 内，P 到定点1C 的距离与P 到定直线BC 的距离相等。由圆锥曲线的定义知动点P 的轨迹为抛物线，故选D 。

5. 以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴，建立平面直角坐标系。设P （x,y ），作AD PE ⊥于E 、11D A PF ⊥于F ，连结EF ，易知

1x |EF ||PE ||PF |2222+=+=

又作CD PN ⊥于N ，则|1y ||PN |-=。 依题意|PN ||PF |=， 即|1y |1x 2-=+， 化简得0y 2y x 22=+-

故动点P 的轨迹为双曲线，选B 。

6. 如图，易知线段AB 的中点P 在公垂线段MN 的中垂面α上，直线'a 、'b 为平面α内过MN 的中点O 分别平行于a 、b 的直线，'a 'AA ⊥于'A ，'b 'BB ⊥于'B ，则P 'B 'A AB =?，且P 也为'B 'A 的中点。

由已知MN=2，AB=4，易知,2AP ,1'AA ==得32'B 'A =。

则问题转化为求长等于32的线段'B 'A 的两个端点'A 、'B 分别在'a 、'b 上移动时其中点P 的轨迹。现以'OB 'A ∠的角平分线为x 轴，O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系。

设)y ,x (P ，n |'OB |,m |'OA |==， 则)n 2

1,n 23('B ),m 21,m 23(

'A -

)n m (4

1

y ),n m (43x -=+=

222)32()n m (4

1

)n m (43=++- 消去m 、n ，得线段AB 的中点P 的轨迹为椭圆，其方程为1y 9

x 22

=+。

7. 解 (1) 设椭圆C ：b 2(x -1)2 + a 2y 2 = a 2 b 2 (a >b >0)，由题意知 2c = 2, 故 c = 1,

如图9-9，从而可得 右准线的方程 x = a 2 +1, …………………………………………………………… ①

设 M(x, y)，P(x 0, y 0)，连PB ，则有 | PA| 2 + |PB| 2 = |AB| 2,

∴ ( | PA| + | PB| )2- 2| PA|·|PB| = 4，由此可得 (2a)2- 2·2 | y P | = 4，即 y P = ±(a 2-1)，………………②

于是，由①②得 y =±(x - 2)．

又∵ 点P(x 0, y 0)是圆E 上的点，且不与AB 重合，

∴ 0 < |y 0| < 1，故有 0 < a 2- 1< 1 , 即 1 < a 2 < 2…………………………………………………………… ③

由①③得 2 < x < 3，∴ 点M 的轨迹是两条线段，其方程为 y =±(x -2) (2 < x < 3)．

(2) 设∠ABQ =θ，∵点Q 在P 点左侧，∴θ∈(45o , 90o )，

又|AB| = 2, 于是，由图9-9可得 | PA| = |BQ| = 2cos θ, |PQ| = |AB|-2|BQ|cos θ= 2- 4cos 2θ,

∴ 周长 L= (2-4cos 2θ) + 4cos θ+ 25)2

1(cos 42+--=θ．

当?==60 2

1cos θθ

即，时，周长L 取最大值5．

此时 |BQ| = 1, |AQ| =3

，2a = |BQ| +|AQ| =1+

3

,

∴2

32)2

31(2

2+=

+

=a ,

2

3

12

2

=

-=a b ，

故 所求椭圆的方程为 12

32

32)1(22=+

+-y x ．

8. 解 (1) 由题意知F 1(1, 0)，设F 2(x , y)，则 | |AF 1|-|AF 2| | = | |BF 1|-|BF 2| | = 2a > 0．……………………………①

∵ A(-1, 2)，B(3, 2) 在已知双曲线上，且 |AF 1| = | BF 1| =22．于是 (ⅰ) 当 | AF 1|-|AF 2| = |BF 1|-|BF 2|时，有 |AF 2| = |BF 2| , 再代入①得： F 2的轨迹为直线 x = 1除去两个点F 1(1, 0), D(1, 4)．

(ⅱ) ∵ 当 | AF 1|-|AF 2| = - ( |BF 1|-|BF 2| ) 时，有 | AF 2| + |BF 2| = |AF 1| + |BF 1| =24> 4 = |AB| ,

∴ 点F 2的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆Q ，且除去F 1(1, 0)，D(1, 4)两点，

图9-9

y

x

A

P Q B O

故所求的轨迹方程为 l ：x = 1与

Q ：14

)2(8)1(2

2=-+-y x ( y ≠0，y ≠

4 )．

(2) 设存在直线L ：y = x+ m 满足条件．(ⅰ) 若L 过点F 1或点D ，

∵ F 1、D 两点既在直线l ：x = 1上，又在椭圆Q 上，但不在F 2的轨迹上， ∴ L 与F 2的轨迹只有一个公共点，不合题意．

(ⅱ) )若L 不过点F 1和D 两点，(m ≠-1, m ≠3)，则L 与l 必有一个公共点E ，且E 点不在椭圆Q 上，

∴ 要使L 与F 2的轨迹有且只有两个公共点，则L 必与Q 有且只有一个公共点．

由

?

??

??=-+-+=,14)2(8

)1(,2

2y x m x y 得 3x 2 - (10 - 4m) x +2m 2- 8m +1= 0,

从而，有 △= (10 - 4m) 2- 12(2m 2- 8m+1) = - 8 ( m 2-2m -11) , 当△= 0时，有3

21±=m ．即存在符合条件的直线 y = x+3

2

1±．

9. 解 ∵ c +λi = (λ, a)，i - 2λc = (1, - 2λa) ,

由向量平行关系得 OP 与AP 的方程分别为λy = ax ，y - a = - 2λax ．…………………………………… ①

由此消去参数λ

，得 点P(x ,y)满足方程为

1)2

()

2(8

1222

=-

+a a y x , …………………………………………… ②

∵ a > 0 , 从而，有(1) 当2

2=a 时，方程②表示的是圆，不存在符合题意的

两个定点 E ，F ；

(2) 当0<2

2<

a 时，方程②表示的是椭圆，故存在符合题意的两个定点，即

为椭圆的两个焦点：)2

,2121(),2,2121

(22a a F a a E ---；

(3) 当2

2

>

a 时，方程②表示的是椭圆，故存在合乎题意的两个定点，即为

椭圆的两个焦点：) )2

1

(21,0(,))21(2

1,0(22---+a a F a a E ．

10. 解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，

所以直线AD 的斜率为3-． 又因为点(11)

T -，在直线AD 上， 所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+即320x y ++=．

（II ）由36032=0x y x y --=??++?，

解得点A 的坐标为(02)-，，

因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ，． 所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心． 又22(20)(02)22AM =-++=．

从而矩形ABCD 外接圆的方程为22(2)8x y -+=．

（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切， 所以22PM PN =+， 即22PM PN -=．

故点P 的轨迹是以M N ，为焦点，实轴长为22的双曲线的左支． 因为实半轴长2a =，半焦距2c =．所以虚半轴长222b c a =-=．

从而动圆P 的圆心的轨迹方程为22

1(2)22

x y x -

=-≤．

11. 解：（1）设切点A 、B 坐标分别为2

201110(,)(,)(()x x x x x x ≠和，

∴切线AP 的方程为：;022

00=--x y x x

切线BP 的方程为：;02211=--x y x x

解得P 点的坐标为：101

,2

x x y x x x P P =+= 所以△APB 的重心G 的坐标为 P P

G x x x x x =++=3

10

， 22

2201010101014(),3333

P p

P G x y y y y x x x x x x x x y -+++++-====

所以2

43G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：

).24(3

1

,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即

（2）方法1：因为2

201000111111(,),(

,),(,).4244x x FA x x FP x x FB x x +=-=-=- 由于P 点在抛物线外，则.0||≠FP

∴201001001222

00111()()2444cos ,||||||1||()4

x x x x x x x x FP FA AFP FP FA FP FP x x +?+--+

?∠===+-

同理有201101101222

11111()()2444cos ,||||||1||()4

x x x x x x x x FP FB BFP FP FB FP FP x x +?+--+

?∠===+-

∴∠AFP=∠PFB.

方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为

)0,2

(1

x ，则P 点到直

线

AF 的距离为：

,4141

:;2||1

2111x x x y BF x d -=-=

的方程而直线

即.041

)41(1121=+--x y x x x

所以P 点到直线BF 的距离为：22111

111222221

11||

11|()|()||42442121()()44

x x x x x x d x x x -++=

==+-+ 所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.

②当001≠x x 时，直线AF 的方程：2

02000

01

1114(0),()0,4044

x y x x x x y x x -

-=---+=-即 直线BF 的方程：212111111114(0),()0,4044

x y x x x x y x x --=---+=-即 所以P 点到直线AF 的距离为：

2

2201010010001122220

00111|()()||)()

||42424121()44

x x x x x x x x x x x d x x x +---++-==

=+-+ 同理可得到P 点到直线BF 的距离2

|

|012x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=

∠PFB.

12. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x

由P ),(y x 在椭圆上，得

.

)()()(||22222

2

2

2

1x a c

a x a

b b

c x y c x P F +=-++=++=

由0,>+-≥+

-≥a c x a

c

a a x 知，所以 .||1x a c a P F +=

证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r P F r P F == 则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++= 由.||,4,211222121x a

c a r P F cx r r a r r +

===-=+得 证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x a

c

a

由椭圆第二定义得a

c c

a x P F =+

||||21，即.||||||2

1x a

c a c a x a c P F +=+=

由0,>+-≥+

-≥a c x a c a a x 知，所以.||1x a

c a P F +=

（Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x

当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=?TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a Q F OT ==

||2

1

||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+

解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=?TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点.

设点Q 的坐标为（y x '',），则???

???

?'=+'=.

2,2y y c x x 因此???='-='.2,2y y c x x ① 由a Q F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ②

将①代入②，可得.222a y x =+

综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+

（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是

?????=?=+.||22

1,

2

022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20c b y = 所以，当c

b a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；

当c

b a 2

<时，不存在满足条件的点M

当c

b a 2

≥时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=，

由2222

022021b c a y c x MF MF =-=+-=?，

212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠?=?，

22121sin ||||2

1

b MF F MF MF S =∠?=

，得.2tan 21=∠MF F 解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是

?????=?=+.||22

1,2

022020b y c a y x 由④得.||20c b y = 上式代入③得.0))((22242

20≥+-=-=c b a c b a c

b a x

于是，当c

b a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当c

b a 2

<时，不存在满足条件的点M

当c b a 2

≥时，记c

x y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,，

由,2||21a F F <知?<∠9021MF F ，所以.2|1|tan 2

12121=+-=∠k k k k MF F

13. 解：抛物线的焦点坐标为（1，0），当直线l 不垂直于x 轴时，设方程为y =k （x －1），代入y 2=4x ，

得k 2x 2－x （2k 2+4）+k 2=0. 设l 方程与抛物线相交于两点， ∴k ≠0.设点A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），

③ ④

③

④

根据韦达定理，有x 1+x 2=2

2)2(2k k +，从而y 1+y 2=k （x 1+x 2

－2）=k 4

. 设△AOB 的重心为G （x ，y ）， x =

3

021x x ++=32+234

k ， y =3021y y ++=k

34

，

∴y 2=34x －9

8

.当l 垂直于x 轴时，A 、B 的坐标分别为（1，2）和（1，－2），

△AOB 的重心G （32，0），也适合y 2=34x －9

8

，

因此所求轨迹C 的方程为y 2=34x －9

8

.

14. 解：设点(,)M x y ，点M 到圆C 的切线的切点为P ，则 ||||M P M Q

λ= 2222 ||||||1MP MO OP x y =-=+- 22||(2)MQ x y =-+ ∴ 2222 1(2)x y x y λ+-=-+ 整理，得：

222222(1)(1)4(14)0x y x λλλλ-+--++=

∴ 动点M 的轨迹方程为222222(1)(1)4(14)0x y x λλλλ-+--++= 当1λ=时，它表示直线450x -=

当1λ≠时，它的方程为2222

222213()1(1)x y λλλλ+-+=--，表示以222(,0)1λλ-为圆

心，2

2

13|1|λλ+-为半径的圆。

15. 解：以21O O 的中点O 为原点，21O O 所在的 直线为x 轴，建立平面直角坐标系， 则)0,2(),0,2(21O O -

由已知PN PM 2=可得：222PN PM =

因为两圆的半径均为1，所以)1(212221-=-PO PO

设),(y x P ，则]1)2[(21)2(222-+-=-+y x x ，即33)6(22=+-y x

则 消去k ，得x =32+34（43y ）2，

P

O 1

O

2

N

M

所以所求轨迹方程为：33)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）

16. 解：设弦中点为M （x ，y ），交点为A x y B x y ()()1122，、，。当M 与P 不重合时，A 、B 、M 、P 四点共线。

∴()()()()y y x x x y 212112--=-- ①

由x y x y 12122222

1691169

1+=+=，，两式相减得 ()()()()

x x x x y y y y 12121212169

0-++-+=

又x x x y y y 121222+=+=， ∴

21629

1212x x x y y y ()()

-=-

- ② 由①②可得：032916922=--+y x y x ③

当点M 与点P 重合时，点M 坐标为（1，2），适合方程③。 ∴弦中点的轨迹方程为：032916922=--+y x y x

17. 由于M 、N 都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”，结合动点P 的几何性质，连结DP ，因为MN=2，所以PD=1，因此点P 的轨迹是一个以D 为球心，1为半径的球面在正方体内的部分，所以点P 的轨迹与正方体的表面所围

成的几何体的体积为球的体积的1

8

，即1843163??=ππ。

18. 解：如图所示，以AB 所在直线为x 轴，以AB 中点为原点建立直角坐标系。 若这样界线存在，如图设点M 为此曲线上任一点，则由题义得：

BM PB AM PA +=+，即

100150-=-=-PA PB MB MA 50=

M 点∴的轨迹为以A 、B 为焦点的双曲线的右支（在矩形ABCD 内部的一段）。

方程为：15775

6252

2=-y x ()25≥x （在矩形ABCD 内部的一段）。

19. 解法一 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y ) (x ≠0) 直线AB 的方程为x =my +a

由OM ⊥AB ，得m =－y

x

由y 2=4px 及x =my +a ，消去x ,得y 2－4p my －

4pa =0

所以y 1y 2=－4pa , x 1x 2=22

122

()(4)y y a p = 所以，由OA ⊥OB ，得x 1x 2 =－y 1y 2 所以244a pa a p =?=

故x =my +4p ,用m =－

y

x

代入，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0) 故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点

解法二 设OA 的方程为y kx =，代入y 2=4px 得222(,)p p

A k k

则OB 的方程为1

y x k =-，代入y 2=4px 得2(2,2)B pk pk -

∴AB 的方程为2

(2)1k

y x p k =

--，过定点(2,0)N p ， 由OM ⊥AB ，得M 在以ON 为直径的圆上（O 点除外）

故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点

解法三 设M (x ,y ) (x ≠0)，OA 的方程为y kx =，

代入y 2=4px 得222(

,)p p A k k

则OB 的方程为1

y x k

=-，代入y 2=4px 得2(2,2)B pk pk -

由OM ⊥AB ，得

M 既在以OA 为直径的圆 222220p p

x y x y k k

+--

=……①上， 又在以OB 为直径的圆 222220x y pk x pky +-+=……②上（O 点除外），

①2k ?+②得 x 2+y 2－4px =0(x ≠0)

故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点

N

A

M B

o

y

x

(完整版)轨迹方程的五种求法例题

动点轨迹方程的求法 一、直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时． 例1已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：，动点M 到圆C 的切线长与的比等于常数（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 【解析】：设M （x ，y ），直线MN 切圆C 于N ，则有 ，即 ， ．整理得，这就是动点 M 的轨迹方程．若，方程化为，它表示过点和x 轴垂直的一条直线；若λ≠1，方程化为，它表示以为圆心，为半径的圆． 二、代入法 若动点M （x ，y ）依赖已知曲线上的动点N 而运动，则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M 的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况． 例2 已知抛物线，定点A （3，1），B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP :PA =1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线． 【解析】：设，由题设，P 分线段AB 的比，∴ 解得.又点B 在抛物线上，其坐标适合抛物线方程，∴ 整理得点P 的轨迹方程为其轨迹为抛物线． 三、定义法 若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现． 例3 若动圆与圆外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是 12 2 =+y x MQ ()0>λλλ=MQ MN λ=-MQ ON MO 2 2λ=+--+2 222)2(1y x y x 0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x 1=λ45= x )0,4 5 (2 222 222)1(3112-+=+-λλλλy x ）－（)0,12(2 2-λλ1 3122-+λλ12 +=x y ),(),,(11y x B y x P 2== PB AP λ.2121,212311++=++= y y x x 2 1 23,232311-=-=y y x x 12+=x y .1)2 3 23()2123( 2+-=-x y ),3 1 (32)31(2-=-x y 4)2(2 2 =++y x

高中数学求轨迹方程的六种常用技法

求轨迹方程的六种常用技法 轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。 1．直接法 根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。 例1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ，且它们的斜率之积是 4 9 ，求点M 的轨迹方程。 解：以AB 所在直线为x 轴，AB 垂直平分线为y 轴建立坐标系，则(3,0),(3,0)A B -， 设点M 的坐标为(,)x y ，则直线AM 的斜率(3)3 AM y k x x = ≠-+，直线BM 的斜率(3)3AM y k x x = ≠- 由已知有4 (3)339 y y x x x ?=≠±+- 化简，整理得点M 的轨迹方程为22 1(3)94 x y x -=≠± 练习： 1．平面内动点P 到点(10,0)F 的距离与到直线4x =的距离之比为2，则点P 的轨迹方程是 。 2．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2 2 24x y +=交于A 、B 两点，P 是l 上满足 1PA PB ?=的点，求点P 的轨迹方程。 3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线 的平面内的轨迹是 （ ） A ．直线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 2．定义法 通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。 例2．若(8,0),(8,0)B C -为ABC ?的两顶点，AC 和AB 两边上的中线长之和是30，

全国名校高中考数学专题训练平面向量(解答题)

全国名校高考数学专题训练05平面向量（解答题） 1、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)关于实数 x 的不等式 22211 |(1)|(1)3(1)2(31)022 x a a x a x a -+≤--+++≤与的解集依次为A 与B ，求使 A B ?的a 的取值范围。 解：由2211 |(1)|(1)22 x a a - +≤-得 222111 (1)(1)(1)222 a x a a --≤-+≤- }{ 2|21A x a x a ∴=≤≤+ 由23(1)2(31)0x a x a -+++≤得 [](2)(31)0x x a --+≤ 当312a +≥即1 3a ≥ 时得}{|231B x x a =≤≤+ 当32a a +<即1 3a <时得}{|312B x a x =+≤≤ 综上解述：当1 3 a ≥时若A B ≤则 2 22131 a a a ≤??+≤+? 解得13a ≤≤ 当1 3 a < 时若A B ?则 231212a a a +≤≤+≤ 解得1a =- a 的范围是{|13a a ≤≤或}1a =- 2、(江苏省启东中学高三综合测试四)某公司一年需要一种计算机元件8000个，每天需同样多的元件用于组装整机，该元件每年分n 次进货，每次购买元件的数量均为x ，购一次货需手续费500元．已购进而未使用的元件要付库存费，假设平均库存量为 x 2 1 件，每个元件的库存费为每年2元，如果不计其他费用，请你帮公司计算，每年进货几次花费最小？ 解：设购进8000个元件的总费用为S ，一年总库存费用为E ，手续费为H ． 则n x 8000= ，n E 8000 212??=，n H 500= 所以S=E+H=x x 8000 500212?+?

高中数学求轨迹方程的六种常用技法汇总

------------------------------------------------------------精品文档-------------------------------------------------------- 求轨迹方程的六种常用技法 轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。 1．直接法 根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。 4MM6AB?BMAM,相交于，直线．已知线段，求点，且它们的斜率之积是例19的轨迹方程。x ABAB(3,0)B(A?3,0),y，所在直线为垂直平分线为解：以轴，轴建立坐标系，则 y(k?x??3)BMMAM)y(x,的斜，直线，则直线设点的坐标为的斜率AM x?3y(x?3)k?率AM3?x4yy3)???(x?由已知有9?x3x?322yx??1(x??3)M的轨迹方程为化简，整理得点94练习： Px?4P(10,0)F的轨迹方．1平面内动点，到点则点的距离之比为的距离与到直线2程 是。 22x ABPll4??2yx上满足交于．设动直线两点，垂直于、轴，且与椭圆是2PA?PB?1P的轨迹方程。的点，求点 3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（） A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线 2．定义法 通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。 AB30ABCAC?(8,0)B(C?8,0),，2例．若的两顶点，和为两边上的中线长之和是?ABC。 _______________的重心轨迹方程是则． AB30ABCAC?)(x,yG可得，则由两边上的中线长之和是的重心为和解：设 2?30??CG?20BGG(8,0)8,0),CB(?B,C的轨迹为以，而点为定点，所以点3为焦点的椭圆。 228?20,c?2a?c?a6?a?10,b可得所以由22yx??1(y?0)?ABC的重心轨迹方程是故 10036练习： 22?|x?y?(y?1)x2(?1)2|?表示的曲线是（ 4）．方程 A．椭圆B．双曲线C．线段D．抛物线 3．点差法 圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点A(x,y),B(x,y)x?x，的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得221211x?x2x?x?xyy?yy?AB),yP(x，

2021-2022年高中数学《平面动点的轨迹》说课稿 新人教A版必修1

2021-2022年高中数学《平面动点的轨迹》说课稿新人教A版必修1 一、教学目标 （一）知识与技能 １、进一步熟练掌握求动点轨迹方程的基本方法。 ２、体会数学实验的直观性、有效性，提高几何画板的操作能力。 （二）过程与方法 １、培养学生观察能力、抽象概括能力及创新能力。 ２、体会感性到理性、形象到抽象的思维过程。 ３、强化类比、联想的方法，领会方程、数形结合等思想。 （三）情感态度价值观 １、感受动点轨迹的动态美、和谐美、对称美 ２、树立竞争意识与合作精神，感受合作交流带来的成功感，树立自信心，激发提出问题和解决问题的勇气 二、教学重点与难点 教学重点：运用类比、联想的方法探究不同条件下的轨迹 教学难点：图形、文字、符号三种语言之间的过渡 三、、教学方法和手段 【教学方法】观察发现、启发引导、合作探究相结合的教学方法。启发引导学生积极思考并对学生的思维进行调控，帮助学生优化思维过程，在此基础上，提供给学生交流的机会，帮助学生对自己的思维进行组织和澄清，并能清楚地、准确地表达自己的数学思维。 【教学手段】利用网络教室，四人一机，多媒体教学手段。通过上述教学手段，一方面：再现知识产生的过程，通过多媒体动态演示，突破学生在旧知和新知形成过程中的障碍（静态到动态）；另一方面：节省了时间，提高了课堂教学的效率，激发了学生学习的兴趣。 【教学模式】重点中学实施素质教育的课堂模式“创设情境、激发情感、主动发现、主动发展”。 四、教学过程 ?1、创设情景，引入课题 生活中我们四处可见轨迹曲线的影子 【演示】这是美丽的城市夜景图 【演示】许多人认为天体运行的轨迹都是圆锥曲线， 研究表明，天体数目越多，轨迹种类也越多 【演示】建筑中也有许多美丽的轨迹曲线 设计意图：让学生感受数学就在我们身边，感受轨迹 曲线的动态美、和谐美、对称美，激发学习兴趣。 ?2、激发情感，引导探索

高考数学难点之轨迹方程的求法

高考数学难点之轨迹方程的求法 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点. ●难点磁场 (★★★★)已知A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线. ●案例探究 ［例1］如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目. 知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB 中点的轨迹方程. 错解分析：欲求Q 的轨迹方程，应先求R 的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题. 技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程. 解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |. 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2) 又|AR |=|PR |=22)4(y x +- 所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0 因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2 ,241+= +y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得 2 4 4)2()24( 22+? -++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程. ［例2］设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招) 命题意图：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目. 知识依托：直线与抛物线的位置关系. 错解分析：当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时，注意对“x 1=x 2”的讨论.

高中数学圆锥曲线轨迹问题题型分析

有关圆锥曲线轨迹问题 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为 122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数 )0(>λλ，求动点M 的轨迹。 【解析】设MN 切圆C 于N ，则2 2 2 ON MO MN -=。设),(y x M ,则 2222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(22222=++-+-λλλx y x （1） 当1=λ时，方程为4 5 = x ，表示一条直线。 （2） 当1≠λ时，方程化为2 222 222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 ◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点） ，使得PM =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 1(20)O -，，2(20)O ，.

2020中考数学专题训练试题(含答案)

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2020中考数学专题训练试题（含答案） 目录 实数专题训练 (5) 实数专题训练答案 (9) 代数式、整式及因式分解专题训练 (11) 代数式、整式及因式分解专题训练答案 (15) 分式和二次根式专题训练 (16)

分式和二次根式专题训练答案 (21) 一次方程及方程组专题训练 (22) 一次方程及方程组专题训练答案 (27) 一元二次方程及分式方程专题训练 (28) 一元二次方程及分式方程专题训练答案 (33) 一元一次不等式及不等式组专题训练 (34) 一元一次不等式及不等式组专题训练答案 (38) 一次函数及反比例函数专题训练 (39) 一次函数及反比例函数专题训练答案 (45) 二次函数及其应用专题训练 (46) 二次函数及其应用专题训练答案 (53) 立体图形的认识及角、相交线与平行线专题训练 (55) 立体图形的认识及角、相交线与平行线专题训练答案 (62) 三角形专题训练 (64) 三角形专题训练答案 (71) 多边形及四边形专题训练 (72) 多边形及四边形专题训练答案 (78) 圆及尺规作图专题训练 (79)

圆及尺规作图专题训练答案 (85) 轴对称专题训练 (87) 轴对称专题训练答案 (94) 平移与旋转专题训练 (95) 平移与旋转专题训练答案 (104) 相似图形专题训练 (106) 相似图形专题训练答案 (113) 图形与坐标专题训练 (114) 图形与坐标专题训练答案 (123) 图形与证明专题训练 (125) 图形与证明专题训练答案 (131) 概率专题训练 (132) 概率专题训练答案 (140) 统计专题训练 (141) 统计专题训练答案 (148)

高中数学动点轨迹问题专题讲解

动点轨迹问题专题讲解 一．专题内容： 求动点(, )P x y 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标, x y 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有： （1）等量关系法．．．．．：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉． （2）定义法．．．：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程． （3）转移代入法．．．．．：如果所求轨迹上的点(, )P x y 是随另一个在已知曲线C ：(, )0F x y =上的动点00(, )M x y 的变化而变化，且00, x y 能用, x y 表示，即0(, )x f x y =，0(, )y g x y =，则将00, x y 代入已知曲线(, )0F x y =，化简后即为所求的轨迹方程． （4）参数法．．．：选取适当的参数（如直线斜率k 等），分别求出动点坐标, x y 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可． （5）交轨法．．．：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）．

注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！ 二．相关试题训练 （一）选择、填空题 1．（ ）已知1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ?的周长为36，则MNP ?的顶点P 的轨迹方程是 （A ）22125169x y + =（0x ≠） （B ）22 1144169 x y +=（0x ≠） （C ） 22116925x y +=（0y ≠） （D ）22 1169144 x y +=（0y ≠） 3．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ； 4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线22 1169 x y -=上运动，则12F F P ?的重心G 的轨迹方程是 ； 5．已知圆C ： 22(16x y +=内一点)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平

高考动点轨迹方程的常用求法(含练习题及答案)

轨迹方程的经典求法 一、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程． 例2：在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有 2 39263 BM CM +=?=． M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆， 其中1213c a ==， ．5b =∴． ∴所求ABC △的重心的轨迹方程为 22 1(0)16925 x y y +=≠． 二、直接法：直接根据等量关系式建立方程. 例1：已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PA PB x = ·，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 解析：由题知(2)PA x y =--- ，，(3)PB x y =-- ，，由2P AP B x = ·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+， P ∴点轨迹为抛物线．故选D ． 三、代入法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题. 例3：已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程． 解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++? =????=?? ，，00323x x y y =+??=?， ①∴． ② 又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，2 00y x =∴． ③ 将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是24 34(0)3 y x x y =++≠． 四、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决. 例5：已知A ，B ，D 三点不在一条直线上，且(20)A -， ，(20)B ，，2AD = ，1()2 AE AB AD =+ ． （1）求E 点轨迹方程； （2）过A 作直线交以A B ，为焦点的椭圆于M N ，两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为4 5 ，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆方程． 解：（1）设()E x y ，，由1()2 AE AB AD =+ 知E 为BD 中点，易知(222)D x y -， ． 又2AD = ，则22(222)(2)4x y -++=． 即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠； （2）设1122()()M x y N x y ，，，，中点00()x y ，． 由题意设椭圆方程为22 2214 x y a a +=-，直线MN 方程为(2)y k x =+．

高中数学会考专题集锦——函数的概念与性质专题训练

一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分 答案 1、映射f ：X →Y 是定义域到值域的函数，则下面四个结论中正确的是 A 、Y 中的元素不一定有原象 B 、X 中不同的元素在Y 中有不同的象 C 、Y 可以是空集 D 、以上结论都不对 2、下列各组函数中，表示同一函数的是 A 、 B 、 C 、 D 、 3、函数的定义域是 A 、( ,+) B 、[1,+ ） C 、[0,+ ] D 、(1,+) 4、若函数的图象过点(0，1), 则的反函数的图象必过点 A 、（4，—1） B 、（—4，1） C 、（1，—4） D 、（1，4） 5、函数的图像有可能是 A B C D 6、函数的单调递减区间是 A 、 B 、 C 、 D 、 7、函数f(x)是偶函数，则下列各点中必在y=f(x)图象上的是 A 、 B 、 C 、 D 、 8、如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是 A 、增函数且最小值是－5 B 、增函数且最大值是－5 C 、减函数且最大值是－5 D 、减函数且最小值是－5 x y O x y O x y O x y O

9、偶函数在区间[0，4]上单调递减，则有 A 、 B 、 C 、 D 、 10、若函数满足，且，则的值为 A 、 B 、 C 、 D 、 11、已知函数为奇函数，且当时，则当时，的解析式 A 、 B 、 C 、 D 、 12、某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程。在下图中纵轴 表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图象中较符合该学生走法的是 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13、设f(x)=5－g(x)，且g(x)为奇函数，已知f （－5）=－5,则f(5)的值为 。 14、函数（x ≤1）反函数为 。 15、设，若，则 。 16、对于定义在R 上的函数f(x)，若实数满足f()=，则称是函数f(x)的一个不动点.若函数f(x)=没 有不动点，则实数a 的取值范围是 。 三、解答题：（本大题共4小题，共36分） 17、试判断函数在[，+∞）上的单调性． 18、函数在（－1，1）上是减函数，且为奇函数，满足，试求的范围． t t O t t O t t O t t O A 、 B 、 C 、 D 、

动点的轨迹问题

动点的轨迹问题 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法： 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。 2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。 3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x ’，y ’)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x ’,y ’表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。 4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。 5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。 6.转移法：如果动点P 随着另一动点Q 的运动而运动，且Q 点在某一已知曲线上运动，那么只需将Q 点的坐标来表示，并代入已知曲线方程，便可得到P 点的轨迹方程。 7.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。 8.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。 9.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为),(),,(2211y x B y x A 并代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。 此部分内容主要考查圆锥曲线，圆锥曲线的定义是根本，它是相应标准方程和几何性质的“源”。对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略。 二、注意事项： 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。

中考数学知识点专题复习系列训练题及解析(珍藏版)：23概率与统计真题汇编与预赛典型例题

全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编 专题23概率与统计真题汇编与预赛典型例题 1．【2019年全国联赛】在1，2，3…，10中随机选出一个数a，在-1，-2，-3.…，-10中随机选出一个数b，则a2+b被3整除的概率为. 2．【2018年全国联赛】将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为a，b，c，d，e，f，则abc+def是偶数的概率为. 3．【2016年全国联赛】袋子A中装有两张10元纸币和三张1元纸币，袋子B中装有四张5元纸币和三张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币．则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为________. 4．【2015年全国联赛】在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为______. 5．【2014年全国联赛】设A、B、C、D为空间四个不共面的点，以的概率在每对点之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则点A与B可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为_ ______. 6．【2013年全国联赛】从1，2，…，20中任取五个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率是______. 7．【2012年全国联赛】某情报站有四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第一周使用种密码.那么，第七周也使用种密码的概率是______（用最简分数表示）. 8．【2010年全国联赛】两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则，由另一人投掷.则先投掷人的获胜概率是________. 9．【2009年全国联赛】某车站每天早上8：00~9：00、9：00~10：00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律见表1．一旅客8：20到站．则他候车时间的数学期望为______（精确到分）． 表1 到站时刻8：10~9：108：30~9：308：50~9：50 概率

高中数学常见题型解法归纳 - 轨迹方程的求法

高中数学常见题型解法归纳 - 轨迹方程的求法 【知识要点】 一、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义 在直角坐标系中，如果曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（纯粹性）；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上（完备性）.那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 二、求简单的曲线方程的一般步骤：建设限代化 （1）建立直角坐标系：利用垂直性和对称性建立适当的坐标系； （2）设点：用有序实数对表示曲线上任意一点的坐标（不要把其它的点的坐标设成）； （3）列出动点满足的限制条件：用坐标表示条件,列出方程； （4）代点坐标到方程； （5）化简：化方程为最简形式； （6）检验：检验某些特殊点是否满足题意，把不满足的点排除，把满足的点补充上来.（可以省略） 三、求轨迹方程的四种主要方法：轨迹四法待代直参 （1）待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程. （2）代入法：如果点的运动是由于点的运动引起的，可以先用点的坐标表示点 的坐标，然后代入点满足的方程，即得动点的轨迹方程. （3）直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程. （4）参数法：动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设 参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参. 四、轨迹和轨迹方程 轨迹和轨迹方程是两个不同的概念，轨迹表示的曲线的简单特征的描述，而求轨迹方程

只求那个方程即可，不需描述曲线的特征. 【方法讲评】 【例1】线段与互相垂直平分于点，，，动点满足 ，求动点的轨迹方程． 【解析】 【点评】（1）这种题目由于已知中没有直角坐标系，所以首先要根据垂直性和对称性建立直角坐标系，由于建立坐标系的方法有多种，所以求出的轨迹方程有多种，但是都是对的；（2）这道题是直接用坐标化简已知中的得到的轨迹方程，运用的是直接法. 【例2】已知圆：，由动点向圆引两条切线、，

高中数学-空间图形的轨迹问题

空间图形的轨迹问题 1 判断轨迹的类型问题 这类问题常常要借助于圆锥曲线的定义来判断，常见的轨迹类型有：线段、圆、圆锥曲线、球面等。在考查学生的空间想象能力的同时，又融合了曲线的轨迹问题。 例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（D）。 A. 线段 B. 一段椭圆弧 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 简析本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义。因为B1C1 面AB1，所以PB1就是P到直线B1C1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选D。 引申1 在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为2：1，则动点P所在曲线的形状为（B）。 A. 线段 B. 一段椭圆弧 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 引申2 在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为1：2，则动点P所在曲线的形状为（C）。 A. 线段 B. 一段椭圆弧 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点P在其对角面BB1D1D内运动，若EP总与直线AC成等角，则点P的轨迹有可能是（A）。 A. 圆或圆的一部分 B. 抛物线或其一部分 C. 双曲线或其一部分 D. 椭圆或其一部分 简析由条件易知：AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP与直线AC成等角，得到EP与平面BB1D1D所成的角都相等，故点P的轨迹有可能是圆或圆的一部分。 例3已知正方体的棱长为a，定点M在棱AB上（但不在端点A，B上），点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线的距 离与点P到点M的距离的平方差为a2，则点P的轨迹所在曲线为（A）。 A. 抛物线 B. 双曲线 C. 直线 D. 圆 简析在正方体中，过P作PF AD，过F作FE A1D1，垂足分别为F、E，连结PE。则PE2=a2+PF2，又PE2-PM2=a2，所以PM2=PF2，从而PM＝PF，故点P到直线AD与到点M的距离相等，故点P的轨迹是以M为焦点，AD为准线的抛物线。 点评正方体是空间图形中既简单、熟悉、又重要的几何体，具有丰富的内涵，在

(推荐)高中数学会考专题集锦-函数的概念与性质专题训练

函数的概念与性质专题训练 一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分 答案 1、映射f ：X →Y 是定义域到值域的函数，则下面四个结论中正确的是 A 、Y 中的元素不一定有原象 B 、X 中不同的元素在Y 中有不同的象 C 、Y 可以是空集 D 、以上结论都不对 2、下列各组函数中，表示同一函数的是 A 、||2x y x y ==与 B 、2 lg lg 2x y x y ==与 C 、23) 3)(2(+=--+= x y x x x y 与 D 、10 ==y x y 与 3、函数1+=x y 的定义域是 A 、( ,+) B 、[1,+ ） C 、[0,+] D 、(1,+) 4、若函数y f x =()的图象过点(0，1), 则y f x =+()4的反函数的图象必过点 A 、（4，—1） B 、（—4，1） C 、（1，—4） D 、（1，4） 5、函数)10(≠>+=+=a a b ax y b a y x 且与函数的图像有可能是 A B C D 6、函数241x y --=的单调递减区间是 A 、 ?? ? ? ?∞-2 1, B 、 ?? ????+∞,21 C 、 ?? ? ???- 0,21 D 、 ?? ????2 1,0 7、函数f(x)()R x ∈是偶函数，则下列各点中必在y=f(x)图象上的是 A 、())(,a f a - B 、())(,a f a -- C 、())(,a f a --- D 、())(,a f a -- 8、如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是 x y O x y O x y O x y O

高中数学 求动点轨迹小专题4-消参法【教师版】

求动点轨迹系列小专题4：消参法 消参法：顾名思义，通过消去参数，得到动点()y x P ,的轨迹方程。本课时，敢于突破自己，在各式各样的情境下，多参数情况下，也能够找到消参的路径。 其实消参法学习过后，上课时的相关点法的本质也是消参法，消参的路径就是运用主动点的方程进行消参，相关点法实际上是以特殊的消参身份独立出来。 例1：平面直角坐标系中，O 为坐标原点，己知两点()()60,26A B -， ，若点C 满足OC OA OB αβ=+ ，其中21αβ+=.则点C 的轨迹方程为____________. 【答案】65180 x y +-=【解析】 【分析】 设点C 的坐标为(),x y ，由题意可得()(),62,6x y αββ=-，所以6186x y y αβ?=+????=?? ，又由21αβ+=可得出点C 的轨迹方程. 【详解】 设点C 的坐标为(),x y ，由题意可得()(),62,6x y αββ=-，所以626x y αββ=-??=?，所以6186x y y αβ?=+????=?? ,又21αβ+=，所以216186 x y y ???+ += ???，即65180x y +-=，故填：65180x y +-=. 变式1：在直角坐标系xOy 中，过点(1,0)-的直线与抛物线2:8C y x =相交于A ，B 两点，弦AB 的中点P 的轨迹记为W ，求W 的方程； 【分析】

先设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，根据21122 288y x y x ?=?=?，以及题意，得到121021284y y x x y y y -==+-，再由1201201 y y y x x x -=-+，两式联立，即可得出结果；【解析】 设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，由题意可得：21122 288y x y x ?=?=?，则()2212128y y x x -=-，从而121212 8y y x x y y =-+-，因为点P 为弦AB 的中点，所以1202y y y +=，即 121021284y y x x y y y -==+-，又直线AB 过点(1,0)-，所以1201201 y y y x x x -=-+，则000 41y x y =+，即()20041y x =+，而()00,P x y 必在抛物线2:8C y x =的内部，从而()2 000418y x x =+<，即01x >.故W 的方程为24(1)(1)y x x =+>. 变式2：过抛物线24y x =的焦点F 作直线与抛物线交于,A B 两点，当此直线绕焦点F 旋转时，弦AB 中点的轨迹方程为__________. 【答案】22(1) y x =-【解析】 由题意知抛物线焦点为(1,0)， 当直线的斜率存在时，设为k ，则焦点弦方程为(1)y k x =-，代入抛物线方程24y x =得2222(24)0k x k x k -++=， 由题意知斜率不等于0，

高中数学轨迹求法

一、直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时 1．三角形ABC 中， ，且，则三角形ABC 面积最大值为__________. 2、 动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2| || |=PB PA ），求动点P 的轨迹方程？ 3、一动点到y 轴距离比到点()2,0的距离小2，则此动点的轨迹方程为 .1. 4．已知()1,0A -， ()2,0B ，动点(),M x y 满足 1 2 MA MB = .设动点M 的轨迹为C . （1）求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹C 是什么图形； （2）求动点M 与定点B 连线的斜率的最小值； 5、已知曲线C 是动点M 到两个定点()0,0O 、()3,0A 距离之比为1 2 的点的轨迹. （1）求曲线C 的方程； （2）求过点()1,3N 且与曲线C 相切的直线方程. 6．一条线段的长等于10，两端点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，M 在线段AB 上且 4AM MB =u u u u r u u u r ，则点M 的轨迹方程是（ ） A ．221664x y += B ．22 1664x y += C ．22168x y += D ．22 168x y += B 7．已知坐标平面上一点M （x ，y ）与两个定点M 1（26，1），M 2（2，1），且 =5． （Ⅰ）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； （Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C ，过点M （﹣2，3）的直线l 被C 所截得的线段的长为8，求直线l 的方程． 1、【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则： ，设点A 的坐标为 ，由题意有： ， 整理可得： ,结合三角形 的性质可得点C 的轨迹方程为以 为圆 心， 为半径的圆出去其与x 轴的交点，据此可得三角形ABC 面积的最大值为

2017级中考数学专题训练—求阴影面积

2017级中考数学专题训练—求阴影面积 一．选择题（共17小题） 1．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC=，则图中阴影部分的面积是（） A．B．C．D．+ 2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则阴影部分图形的面积为（） A．4πB．2πC．πD． 3．如图所示，在半径为2cm的⊙O中，点C、点D是的三等分点，点E是直径AB的延长线上一点，连结CE、DE，则图中阴影部分的面积是（） A．B．C．﹣D．+ 4．在矩形ABCD中，AB=，BC=2，以A为圆心，AD为半径画弧交线段BC于E，连接DE，则阴影部分的面积为（） A．﹣B．﹣C．π﹣D．π﹣ 5．如图，在⊙O中，直径AB=2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C=45°，则图中阴影部分的面积为（）

A．B．2 C．πD．1 6．如图所示，在半径为2cm的⊙O中，点C、点D是弧AB的三等分点，点E是直径AB的延长线上一点，连结CE、DE，则图中阴影部分的面积是（） A．B．C．D．+ 7．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=45°，以AB为直径作半圆O，AB=8，则阴影部分面积为（） A．24﹣4πB．16﹣4πC．24﹣2πD．16﹣2π 8．如图，AB为半圆O的直径，点C在AB的延长线上，CD与半圆O相切于点D，且AB=2CD=8，则图中阴影部分的面积为（） A．B．32﹣8πC．4﹣πD．8﹣2π 9．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（） A．3πB．6πC．5πD．4π 10．如图，在边长为2的正方形内部，以各边为直径画四个半圆，则图中阴影部分的面积是（）