2017步步高大一轮复习讲义数学4.4
1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念
如下表所示：
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一
致．( × )
(2)y ＝sin ????x －π4的图象是由y ＝sin ????x ＋π4的图象向右平移π
2
个单位得到的．( √ ) (3)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的．( √ )
(4)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( × )
(5)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T
2
.( √ )
1．y ＝2sin ????2x －π
4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，－π
4
B ．2，12π，－π
4
C ．2，1π，－π
8
D ．2，12π，－π
8
答案 A
2．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1
2个单位长度
B ．向右平行移动1
2个单位长度
C ．向左平行移动1个单位长度
D ．向右平行移动1个单位长度 答案 A
解析 y ＝sin2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin2(x ＋1
2)的图象，即函数y ＝sin(2x
＋1)的图象．
3．(2015·湖南)将函数f (x )＝sin2x 的图象向右平移φ????0＜φ＜π
2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π
3，则φ等于( )
A.5π12
B.π3
C.π4
D.π6
答案 D
解析 因为g (x )＝sin2(x －φ)＝sin(2x －2φ)，
所以|f (x 1)－g (x 2)|＝|sin2x 1－sin(2x 2－2φ)|＝2. 因为－1≤sin2x 1≤1，－1≤sin(2x 2－2φ)≤1，
所以sin2x 1和sin(2x 2－2φ)的值中，一个为1，另一个为－1，不妨取sin2x 1＝1，sin(2x 2－2φ)＝－1，则2x 1＝2k 1π＋π2，k 1∈Z,2x 2－2φ＝2k 2π－π
2，k 2∈Z,2x 1－2x 2＋2φ＝2(k 1－k 2)π＋π，(k 1
－k 2)∈Z ，
得|x 1－x 2|＝????(k 1－k 2)π＋π
2－φ. 因为0<φ<π2，所以0<π2－φ<π
2
，
故当k 1－k 2＝0时，|x 1－x 2|min ＝π2－φ＝π
3，
则φ＝π
6
，故选D.
4．(教材改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为__________________．
答案 y ＝10sin ????
π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14] 解析 从图中可以看出，从6～14时的是函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期， 所以A ＝1
2×(30－10)＝10，
b ＝1
2×(30＋10)＝20， 又12×2π
ω＝14－6， 所以ω＝π
8.
又π
8×10＋φ＝2π， 解得φ＝3π
4
，
所以y ＝10sin ????
π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]．
5．(2014·安徽)若将函数f (x )＝sin(2x ＋π4
)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，
则φ的最小正值是________． 答案
3π8
解析 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位得到g (x )＝sin[2(x －φ)＋π4]＝sin(2x ＋
π
4－2φ)，
又∵g (x )是偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π
2(k ∈Z )．
∴φ＝－k π2－π
8
(k ∈Z )．
当k ＝－1时，φ取得最小正值3π
8
.
题型一 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及变换
例1 已知函数y ＝2sin ????2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
(3)说明y ＝2sin ????2x ＋π
3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 解 (1)y ＝2sin ????2x ＋π
3的振幅A ＝2， 周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π
3
.
(2)令X ＝2x ＋π
3，则y ＝2sin ????2x ＋π3＝2sin X . 列表如下：
(3)方法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π
3个单位长度，得到y ＝sin ????x ＋π3的图象； 再把y ＝sin ????x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ?
???2x ＋π
3的图象； 最后把y ＝sin ????2x ＋π
3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ?
???2x ＋π
3的图象． 方法二 将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的1
2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x
的图象；
再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ????2????x ＋π6＝sin ????2x ＋π3的图象； 再将y ＝sin ????2x ＋π
3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y ＝2sin ?
???2x ＋π
3的图象． 思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3
2π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描
点后得出图象．
(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
(1)把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2
(纵坐标不变)，再将
图象向右平移π
3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为( )
A ．x ＝－π
2
B ．x ＝－π
4
C ．x ＝π
8
D ．x ＝π
4
(2)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π
3个单位长度后，所得的图象与原图
象重合，则ω的最小值等于( )
A.1
3
B ．3
C ．6
D ．9 答案 (1)A (2)C
解析 (1)将y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2(纵坐标不变)，得到函数y ＝
sin(2x ＋π6)；再将图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x －π
2)，故x
＝－π
2是其图象的一条对称轴方程．
(2)由题意可知，nT ＝π
3 (n ∈N *)，
∴n ·2πω＝π
3
(n ∈N *)，
∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.
题型二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式
例2 (1)将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)????－π2＜θ＜π
2的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ?
??
?
0，
32，则φ的值可以是( ) A.5π3 B.5π6 C.π2
D.π6
(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为__________．
答案 (1)B (2)f (x )＝2sin(2x ＋π
3)
解析 (1)∵P ?
??
?
0，
32在f (x )的图象上， ∴f (0)＝sin θ＝
32
. ∵θ∈????－π2，π2， ∴θ＝π3
，
∴f (x )＝sin ????2x ＋π3. ∴g (x )＝sin ????2(x －φ)＋π3. ∵g (0)＝
32
， ∴sin ????π3－2φ＝32. 验证φ＝5
6
π时，
sin ????π3－2φ＝sin ????π3－53π＝sin ????－43π＝3
2成立． (2)由题图可知A ＝2， T 4＝7π12－π3＝π4
， 所以T ＝π，故ω＝2， 因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 又????7
12π，－2为最小值点， ∴2×712π＋φ＝2k π＋3π
2，k ∈Z ，
∴φ＝2k π＋π
3，k ∈Z ，
又|φ|＜π， ∴φ＝π3
.
故f (x )＝2sin(2x ＋π
3
)．
思维升华 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法： (1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ， 则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m 2
.
(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2π
T .
(3)求φ，常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：
“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π
2
；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ
＝3π2
.
函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π
2
) 的部分图象如图所示，则φ＝
________.
答案 －π
3
解析 ∵T 2＝1112π－5
12π，
∴T ＝π.
又T ＝2π
ω(ω＞0)，
∴2π
ω＝π， ∴ω＝2.
由五点作图法可知当x ＝5
12π时，
ωx ＋φ＝π
2，
即2×512π＋φ＝π2，
∴φ＝－π3
.
题型三 三角函数图象性质的应用
命题点1 三角函数模型的应用
例3 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0??
?
?
32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐
标y 与时间t 的函数关系式为( )
A ．y ＝sin ????π30t ＋π6
B ．y ＝sin ????－π60t －π
6 C ．y ＝sin ????－π30t ＋π6 D ．y ＝sin ???
?－π30t －π3 答案 C
解析 由题意可得，函数的初相位是π
6，排除B 、D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，
即T ＝????2πω＝60，所以|ω|＝π30，即ω＝－π
30. 命题点2 方程根(函数零点问题)
例4 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0在????π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________． 答案 (－2，－1)
解析 方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0可转化为 m ＝1－2sin 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x ＝2sin ????2x ＋π6，x ∈????π
2，π. 设2x ＋π
6＝t ，则t ∈????76π，136π， ∴题目条件可转化为
m
2
＝sin t ，t ∈????76π，136π，有两个不同的实数根． ∴y ＝m
2
和y ＝sin t ，t ∈????76π，136π的图象有两个不同交点，如图：
由图象观察知，m 2的范围为(－1，－12)，
故m 的取值范围是(－2，－1)． 引申探究
例4中，“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________． 答案 [－2,1)
解析 由例4知，m
2的范围是????－1，12， ∴－2≤m <1，
∴m 的取值范围是[－2,1)． 命题点3 图象性质综合应用
例5 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π
2.
(1)求f ????π8的值；
(2)求函数y ＝f (x )＋f ????x ＋π
4的最大值及对应的x 的值． 解 (1)f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ) ＝2??
?
?32sin (ωx ＋φ)－12cos (ωx ＋φ) ＝2sin ????ωx ＋φ－π
6. 因为f (x )是偶函数， 则φ－π6＝π
2＋k π(k ∈Z )，
所以φ＝2π
3＋k π(k ∈Z )，
又因为0＜φ＜π，所以φ＝2π
3，
所以f (x )＝2sin ????ωx ＋π
2＝2cos ωx . 由题意得2πω＝2·π
2，
所以ω＝2. 故f (x )＝2cos2x . 因此f ????π8＝2cos π
4＝ 2. (2)y ＝2cos2x ＋2cos2????x ＋π
4 ＝2cos2x ＋2cos ????2x ＋π2 ＝2cos2x －2sin2x ＝22sin ????π
4－2x ＝－22sin ?
???2x －π4 令2x －π4＝2k π－π
2
(k ∈Z )，y 有最大值22，
所以当x ＝k π－π
8
(k ∈Z )时，y 有最大值2 2.
思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π
3
对称，它的周期
是π，则下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )的图象过点(0，3
2)；
②f (x )在[π12，2π
3]上是减函数；
③f (x )的一个对称中心是(5π
12
，0)；
④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象． 答案 ①③
解析 ∵周期为π，∴2π
ω＝π?ω＝2，
∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，f (2π3)＝3sin(4π
3＋φ)，
则sin(4π
3
＋φ)＝1或－1.
又φ∈(－π2，π2)，4π3＋φ∈(5π6，11
6π)，
∴4π3＋φ＝3π2?φ＝π
6， ∴f (x )＝3sin(2x ＋π6)．
①：令x ＝0?f (x )＝3
2，正确．
②：令2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋3π
2，k ∈Z
?k π＋π6 3，k ∈Z . 令k ＝0?π6 ， 即f (x )在(π6，2π3)上单调递减，而在(π12，π 6 )上单调递增，错误． ③：令x ＝5π 12?f (x )＝3sinπ＝0，正确． ④：应平移π 12个单位长度，错误． 4．三角函数图象与性质的综合问题 典例 (12分)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π 4)－sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期； (2)若将f (x )的图象向右平移π 6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上 的最大值和最小值． 思维点拨 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期； (2)将f (x )解析式中的x 换成x －π 6，得g (x )，然后利用整体思想求最值． 规范解答 解 (1)f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π 4)－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [3分] ＝2sin(x ＋π 3)，[5分] 于是T ＝2π 1 ＝2π.[6分] (2)由已知得g (x )＝f (x －π6)＝2sin(x ＋π 6)，[8分] ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈[π6，7π 6]， ∴sin(x ＋π6)∈[－1 2，1]，[10分] ∴g (x )＝2sin(x ＋π 6 )∈[－1,2]．[11分] 故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分] 解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤： 第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式； 第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2· (sin x · a a 2＋ b 2＋cos x ·b a 2＋ b 2 )； 第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研 究三角函数的性质； 第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题 规范． 温馨提醒 (1)在第(1)问的解法中，使用辅助角公式 a sin α＋ b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝b a )，或a sin α＋ b cos α＝a 2＋b 2cos(α－φ)(其中tan φ ＝a b )，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注． (2)求g (x )的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解． [方法与技巧] 1．五点法作图及图象变换问题 (1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向； (2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化． 2．由图象确定函数解析式 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点． 3．对称问题 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)． [失误与防范] 1．由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要把x 前面的系数提取出来． 2．复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化． 3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值可先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合图象得出y ＝A sin t 的值域． A 组 专项基础训练 (时间：35分钟) 1．函数y ＝cos ? ???2x －π 3的部分图象可能是( ) 答案 D 解析 ∵y ＝cos ????2x －π3，∴当2x －π 3 ＝0， 即x ＝π6时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x ＝π 6时取得最大值的只有D. 2．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π 8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的 一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4 C ．0 D ．－π4 答案 B 解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π 8个单位后得到函数y ＝sin2????x ＋φ2＋π8＝sin ????2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ的一个可能取值是π 4 . 3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x ) 的一个单调递增区间是( ) A ．[－7π12，5π 12] B ．[－7π12，－π12] C ．[－π12，7π12] D ．[－π12，5π 12] 答案 D 解析 由函数的图象可得14T ＝23π－5 12π， ∴T ＝π，则ω＝2. 又图象过点(512π，2)，∴2sin(2×5 12π＋φ)＝2， ∴φ＝－π 3＋2k π，k ∈Z ， ∵|φ|<π2 ， ∴取k ＝0，则φ＝－π3，即得f (x )＝2sin(2x －π 3 )， 其单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π 12 ]，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D. 4．已知曲线f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)相邻的两条对称轴之间的距离为π 2，且曲线关于点 (x 0,0)中心对称，若x 0∈????0，π 2，则x 0等于( ) A.π 12 B.π 6 C.π3 D.5π12 答案 C 解析 f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2????12sin ωx ＋3 2cos ωx ＝2sin ? ???ωx ＋π3. ∵曲线f (x )＝2sin ????ωx ＋π3相邻的两条对称轴之间的距离为π 2， ∴最小正周期T ＝π＝2π ω， ∴ω＝2， ∴f (x )＝2sin ????2x ＋π3. ∵曲线关于点(x 0,0)中心对称； ∴2x 0＋π 3＝k π(k ∈Z )， ∴x 0＝k π2－π 6(k ∈Z )， 又x 0∈????0，π2，∴x 0＝π3 . 5．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)????|φ|＜π2的图象向左平移π 6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在????0，π 2上的最小值为( ) A ．－32 B ．－12 C.1 2 D.32 答案 A 解析 由函数f (x )的图象向左平移π 6个单位得g (x )＝sin ????2x ＋φ＋π3的图象， 因为是奇函数，所以φ＋π 3＝k π，k ∈Z ， 又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π 3， 所以f (x )＝sin ? ???2x －π3. 又x ∈????0，π2，所以2x －π 3∈????－π3，2π3， 所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－ 3 2 . 6.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π 2) 的图象如右图所示，则当t ＝1 100 秒时，电流强度是________安． 答案 －5 解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1 100， ∴ω＝2π T ＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)． ∵图象过点????1300，10， ∴10sin(100π×1 300 ＋φ)＝10， ∴sin(π3＋φ)＝1，π3＋φ＝2k π＋π 2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又∵0<φ<π2，∴φ＝π6. ∴I ＝10sin ????100πt ＋π6， 当t ＝1 100 秒时，I ＝－5安． 7．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0且|φ|<π 2)在区间????π6，2π3上是单调递减函数，且函数从1减小到－1，则f ????π4＝________. 答案 3 2 解析 由题意可得，函数的周期为2×???? 2π3－π6＝π， 即2π ω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． 由sin ????2×π6＋φ＝1，|φ|<π2可得φ＝π6， ∴f (x )＝sin ????2x ＋π 6， ∴f ????π4＝sin ????π2＋π6＝cos π6＝32 . 8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2)在一个周期内的图象如图所示．若方程 f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为________． 答案 π3或43 π 解析 由图象可知y ＝m 和y ＝f (x )图象的两个交点关于直线x ＝π6或x ＝2 3π对称， ∴x 1＋x 2＝π3或4 3 π. 9．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2????x －π 6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间????－π3，π 4上的最大值和最小值． 解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos2x 2－1－cos ????2x －π 32 ＝12????12cos2x ＋3 2sin2x －12cos2x ＝ 34sin2x －14cos2x ＝1 2sin ? ???2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π 2 ＝π. (2)因为f (x )在区间????－π3，－π6上是减函数，在区间????－π6，π4上是增函数，且f ????－π3＝－14， f ????－π6＝－12，f ????π4＝3 4 ， 所以f (x )在区间????－π3，π4上的最大值为3 4， 最小值为－1 2. 10．设函数f (x )＝ 3 2 －3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π 4. (1)求ω的值； (2)求f (x )在区间????π，3π 2上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝3 2 －3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝3 2－3×1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝ 32cos2ωx －1 2 sin2ωx ＝－sin ? ???2ωx －π 3. 依题意知2π2ω＝4×π 4，ω>0，所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝－sin ????2x －π 3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π 3. 所以－ 3 2 ≤sin ????2x －π3≤1. 所以－1≤f (x )≤ 32 . 故f (x )在区间????π，3π2上的最大值和最小值分别为3 2 ，－1. B 组 专项能力提升 (时间：20分钟) 11．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π 4 ]上的最小值为－2，则ω的取值范围是( ) A ．(－∞，－9 2]∪[6，＋∞) B ．(－∞，－92]∪[3 2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[6，＋∞) D ．(－∞，－2]∪[3 2，＋∞) 答案 D 解析 当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π 4ω， 由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥3 2； 当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π 3ω， 由题意知π4ω≤－π 2 ，∴ω≤－2. 综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪[3 2 ，＋∞)． 12．(2014·天津)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π 3，则f (x )的最小正周期为( ) A.π2 B.2π 3 C ．π D ．2π 答案 C 解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π 6)(ω>0)． 由2sin(ωx ＋π6)＝1得sin(ωx ＋π6)＝1 2， ∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋5 6π(k ∈Z )． 令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝5 6π， ∴x 1＝0，x 2＝2π 3ω . 由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π 3，∴ω＝2. 故f (x )的最小正周期T ＝2π 2 ＝π. 13．已知函数f (x )＝cos ????3x ＋π3，其中x ∈????π6，m ，若f (x )的值域是????－1，－3 2，则m 的取值范围是______． 答案 ???? 2π9，5π18 解析 画出函数的图象． 由x ∈????π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π 3， 因为f ????π6＝cos 5π6＝－3 2， 且f ????2π9＝cosπ＝－1， 要使f (x )的值域是? ?? ? －1，－ 32， 所以π≤3m ＋π3≤76π，则2π9≤m ≤5π 18， 即m ∈???? 2π9，5π18. 14．已知f (x )＝sin ????ωx ＋π3 (ω>0)，f ????π6＝f ????π3，且f (x )在区间????π6，π 3上有最小值，无最大值，则ω＝________________________________________________________________________. 答案 14 3 解析 依题意，x ＝π6＋π32＝π 4时，y 有最小值， ∴sin ????π4ω＋π 3＝－1， ∴π4ω＋π3＝2k π＋3π 2 (k ∈Z )， ∴ω＝8k ＋14 3 (k ∈Z )， ∵f (x )在区间???? π6，π3上有最小值，无最大值， ∴π3－π4<πω，即ω<12，令k ＝0，得ω＝143 . 15．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2. (1)求f (x )的表达式； 考点一对质点、参考系和位移的理解 1．质点 (1)用来代替物体有质量的点叫做质点． (2)研究一个物体的运动时，如果物体的形状和大小对问题的影响可以忽略，就可以看做质点． (3)质点是一种理想化模型，实际并不存在． 2．参考系 (1)参考系可以是运动的物体，也可以是静止的物体，但被选为参考系的物体，我们都假定它是静止的． (2)比较两物体的运动情况时，必须选同一参考系． (3)选取不同的物体作为参考系，对同一物体运动的描述可能不同．通常以地球为参考系．3．位移 (1)定义：表示质点的位置变动，它是质点由初位置指向末位置的有向线段． (2)与路程的区别：位移是矢量，路程是标量．只有在单向直线运动中，位移的大小才等于路程． [思维深化] 判断下列说法是否正确． (1)只有质量和体积都很小的物体才能看成质点．(×) (2)平动的物体都可以看做质点，而转动的物体不能看做质点．(×) (3)参考系可以任意选取，但一般遵循描述运动方便的原则．(√) (4)当一个物体做竖直上抛运动返回原抛出点时，位移的大小等于上升高度的两倍．(×) 1．[对质点的理解]以下情景中，人或物体可以看成质点的是() A．研究一列火车通过长江大桥所需的时间 B．乒乓球比赛中，运动员发出的旋转球 C．研究航天员翟志刚在太空出舱挥动国旗的动作 D．用GPS确定打击海盗的“武汉”舰在大海中的位置 答案 D 解析长江大桥虽长，但火车长度与之相比不能忽略，不符合“物体的大小或形状对研究的问题没有影响，或者对研究问题可以忽略时，物体就可以看做质点”的条件，选项A错误；既然是“旋转球”，就是要研究球的旋转的，如果把它看成质点，则掩盖了其旋转的特点，故不能把它看做质点，选项B错误；研究航天员翟志刚在太空出舱挥动国旗的动作时，突出的是看清“挥动国旗的动作”，不能把翟志刚看成质点，选项C错误；用GPS确定“武汉”舰在大海中的位置时，突出它的“位置”，可以把“武汉”舰看成质点(船的大小与大海相比，其大小可以忽略)，故选项D正确． 2．[对参考系的理解](多选)从水平匀速飞行的直升机上向外自由释放一个物体，不计空气阻力，在物体下落过程中，下列说法正确的是() A．从直升机上看，物体做自由落体运动 B．从直升机上看，物体始终在直升机的后方 C．从地面上看，物体做平抛运动 D．从地面上看，物体做自由落体运动 答案AC 3．[对质点、参考系和位移的理解]在“金星凌日”的精彩天象中，观察到太阳表面上有颗小黑点缓慢走过，持续时间达六个半小时，那便是金星，这种天文现象称为“金星凌日”，如图1所示．下面说法正确的是() 图1 A．地球在金星与太阳之间 B．观测“金星凌日”时可将太阳看成质点 C．以太阳为参考系，金星绕太阳一周位移不为零 D．以太阳为参考系，可以认为金星是运动的 答案 D 解析金星通过太阳和地球之间时，我们才看到金星没有被太阳照亮的一面呈黑色，选项A 南京市中考数学模拟试卷1 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1.全面贯彻落实“大气十条”，抓好大气污染防治，是今年环保工作的重中之重．其中推进燃煤电厂脱硫改造15000 000千瓦是《政府工作报告》中确定的重点任务之一．将数据15 000 000用科学记数法表示为( ) A．15×106B． 1.5×107C．1.5×108D．0.15×108 2.﹣4的绝对值是（） A．B．C． 4 D．﹣4 3.下列计算结果正确的是（） A．（﹣2x2）3=﹣6x6 B．x2?x3=x6 C．6x4÷3x3=2x D．x2+x3=2x5 4.下列长度的各种线段，可以组成三角形的是（） A． 1，2，3 B． 1，5，5 C． 3，3，6 D． 3，5，1 5.如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为（） A．80°B．100°C．110°D．130° 6.下列数据是某班六位同学定点投篮（每人投10个）的情况，投进篮筐的个数为6，9，8， 4，0，3，这组数据的平均数、中位数和极差分别是( ) A．6，6，9 B．6，5，9 C．5，6，6 D．5，5，9 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7.的算术平方根为． 8.代数式有意义时，实数x的取值范围是__________． 9.分解因式：x2﹣y2﹣3x﹣3y=__________． 10.比较大小：25（填“＞，＜，=”）． 11.化简：﹣= 12.若一元二次方程x2+4x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可以是（写出一个即可）． 13.如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，∠COD=120°， 则图中阴影部分的面积等于_____________________. 14.如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2=______度． 15.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发， 沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t= 秒时，S1=2S2． 16.如图，在正方形网格中有一个边长为4的平行四边形ABCD （Ⅰ）平行四边形ABCD的面积是； （Ⅱ）请在如图所示的网格中，将其剪拼成一个有一边长为6的矩形，画出裁剪线（最多两条），并简述拼接方法． §2.9 函数的应用 2014高考会这样考 1.综合考查函数的性质；2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题；3.考查函数的最值． 复习备考要这样做 1.讨论函数的性质一定要先考虑定义域；2.充分搜集、应用题目信息，正确建立函数模型；3.注重函数与不等式、数列、导数等知识的综合． 1． 几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a 、b 为常数，a ≠0) 反比例函数模型 f (x )＝k x ＋b (k ，b 为常数且k ≠0) 二次函数模型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 指数函数模型 f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 幂函数模型 f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 函数 性质 y ＝a x (a >1) y ＝log a x (a >1) y ＝x n (n >0) 在(0，＋∞)上的 增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随x 的增大逐渐表现为 与y 轴平行 随x 的增大逐渐表现为 与x 轴平行 随n 值变化而各有不同 值的比较 存在一个x 0，当x >x 0时，有log a x (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建 立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下： [难点正本疑点清源] 1．要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． 2．解决函数应用问题重点解决以下问题 (1)阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关 系，数据的单位等等； (2)建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函 数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域； (3)求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值，计算函数的 特殊值等，注意发挥函数图像的作用； (4)回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来． 1．某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12∶00，其后t取正值，则下午3时的温度为________． 答案78℃ 解析T(3)＝33－3×3＋60＝78(℃)． 2．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又 知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－1 20 Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元． 答案 2 500 解析L(Q)＝40Q－1 20 Q2－10Q－2 000 选修4－5不等式选讲 1．两个实数大小关系的基本事实 a>b?________；a＝b?________；a 5．基本不等式 (1)定理：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)定理(基本不等式)：如果a ，b >0，那么a ＋b 2________ab ，当且仅当________时，等号成 立．也可以表述为：两个________的算术平均________________它们的几何平均． (3)利用基本不等式求最值 对两个正实数x ，y ， ①如果它们的和S 是定值，则当且仅当________时，它们的积P 取得最________值； ②如果它们的积P 是定值，则当且仅当________时，它们的和S 取得最________值． 6．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)定理 如果a ，b ，c 均为正数，那么a ＋b ＋c 3________3 abc ，当且仅当________时，等号 成立． 即三个正数的算术平均____________它们的几何平均． (2)基本不等式的推广 对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均__________它们的几何平均，即 a 1＋a 2＋…＋a n n ________n a 1a 2…a n ， 当且仅当________________时，等号成立． 7．柯西不等式 (1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2 n )≥(a 1b 1 ＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． 8．证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法 知道a >b ?a －b >0，a b ，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法 由a >b >0?a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明________即可，这 种方法称为求商比较法． 第2章第8讲 考点一 钠的性质及应用 题组一 钠与水的反应及拓展应用 1．答案 D 解析 钠与盐酸反应时钠先与H＋反应，离子方程式表示为2Na＋2H ＋===2Na＋＋H ↑，A错误；B错误；X烧杯中生成的溶质为NaOH，Y烧 2 杯中生成的溶质为NaCl，Z烧杯中生成NaOH，由于原溶质为NaOH，故Z烧杯中物质的量浓度最大，C错误；因向三个烧杯中加入钠的物质的量相同且钠全部反应完，故生成H2的量相同，D正确。 2．答案 ①④⑤⑦ 解析 2Na＋2H2O===2NaOH＋H2↑，①中Mg2＋＋2OH －===Mg(OH) ↓；④中反应消耗水，溶液温度升高，Ca(OH)2的溶解度 2 降低，析出Ca(OH)2产生沉淀；⑤中Ca2＋＋HCO＋OH－===CaCO3↓＋H2O；⑥中生成的Cu(OH)2是蓝色沉淀，不符合题意；⑦中水减 少，c(Na＋)增大，使NaCl(s)Na＋(aq)＋Cl－(aq)平衡向左移动。3．答案 c>a>b 钠与上述三种物质反应的实质都是钠与H＋间的置换反应，H＋浓度的大小决定了反应速率的快慢，由三种物质电离H＋的能力可知H＋浓度的大小顺序为c>a>b，因而反应速率为c>a>b 题组二 钠与水反应实验拓展 4．答案 (1)abd (2)b 解析 (1)钠投入饱和NaOH溶液中，发生的反应为2Na＋ 2H2O===2NaOH＋H2↑，其现象与钠在水中的反应现象相同；又因为原溶液是饱和的，反应消耗水，析出NaOH固体，则NaOH溶液浓度不变，但溶液体积减小，故Na＋数目减少。(2)Na和H2O反应产生H2的同时产生NaOH，NaOH可以和Al发生反应2Al＋2NaOH＋ 2017年广东省深圳市中考数学模拟试卷（二）及答案 1.9的平方根是（） A.±3 B.3 C.﹣3 D.81 2.支付宝与“快的打车”联合推出优惠，“快的打车”一夜之间红遍大江南北，据统计，2016年“快的打车”账户流水总金额达到147.3亿元，147.3亿用科学记数法表示为（） A.1.473×1010 B.14.73×1010 C.1.473×1011 D.1.473×1012 3.下列各图是一些常用图形的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 4.下列运算正确的是（） A.3ab﹣2ab＝1 B.x4?x2=x6 C.(x2)3=x5 D.3x2÷x=2x 5.如图，已知a∥b，∠1＝50°，则∠2＝（） A.40° B.50° C.120° D.130° 6.一家商店将某种商品按进货价提高100%后，又以6折优惠售出，售价为60元，则这种商品的进货价是（） A.120元 B.100元 C.72元 D.50元 7.由几个大小相同的正方形组成的几何图形如图，则它的左视图是（） (1) A. B. C. D. (a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是8.若ab＞0，则函数y＝ax+b与y=b x （） A. B. C. D. 9.已知不等式组{x ?a 选修4－4 坐标系与参数方程 1．极坐标系 (1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系． 设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________. 另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过??? ?b ，π 2且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程 ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆； ρ＝2r sin θ表示圆心在????r ，π 2，半径为|r |的圆； ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数? ???? x ＝f (t )， y ＝g (t ). 并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________． 4．一些常见曲线的参数方程 (1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数)． (2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为________________________(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数)． (4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数)． 1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π 4 )＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________． 3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线? ???? x ＝4t 2 ， y ＝4t (t 为参数)上，则PF ＝________. 4．直线? ???? x ＝－1＋t sin 40° ，y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________． 5．已知曲线C 的参数方程是? ???? x ＝3t ， y ＝2t 2 ＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________． 题型一 极坐标与直角坐标的互化 例1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π 3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； 第15讲基因的自由组合定律 [考纲要求] 1.基因的自由组合定律(Ⅱ)。2.孟德尔遗传实验的科学方法(Ⅱ)。 1．两对相对性状的杂交实验——发现问题 (1)实验过程 (2)结果及结论 结果结论 F1全为黄色圆粒说明黄色和圆粒为显性性状F2中圆粒∶皱粒＝3∶1 说明种子粒形的遗传遵循分离定律 F2中黄色∶绿色＝3∶1 说明种子粒色的遗传遵循分离定律 F2中出现两种亲本类型(黄色圆粒、绿色皱粒)和两 说明不同性状之间进行了自由组合种新类型(绿色圆粒、黄色皱粒) (3)问题提出 ①为什么会出现新的性状组合呢？②这与一对相对性状实验中F2的3∶1的数量比有联系吗？2．对自由组合现象的解释——提出假说 (1)理论解释(提出假设) ①两对相对性状分别由两对遗传因子控制。 ②F1产生配子时，每对遗传因子彼此分离，不同对的遗传因子可以自由组合。 ③F1产生的雌配子和雄配子各有4种，且数量比相等。 ④受精时，雌雄配子的结合是随机的。 (2)遗传图解(棋盘格式) 3．对自由组合现象的验证——演绎推理、验证假说 (1)演绎推理图解 (2)实施实验结果：实验结果与演绎结果相符，则假说成立。 黄色圆粒豌豆和绿色皱粒豌豆的测交实验结果如下： 表现型 项目 黄色圆粒黄色皱粒绿色圆粒绿色皱粒 实际子粒数F1作母本31 27 26 26 F1作父本24 22 25 26 不同性状的数量比 1 ∶ 1 ∶ 1 ∶ 1 4．自由组合定律 (1)实质与各种比例的关系 (2)细胞学基础 (3)研究对象：位于非同源染色体上的非等位基因。 (4)发生时间：减数第一次分裂后期。 (5)适用范围 5．自由组合定律的应用 (1)指导杂交育种：把优良性状结合在一起。 不同优良性状亲本――→杂交F 1――→自交F 2(选育符合要求个体)――→连续 自交 纯合子 (2)指导医学实践：为遗传病的预测和诊断提供理论依据。分析两种或两种以上遗传病的传递规律，推测基因型和表现型的比例及群体发病率。 6．孟德尔获得成功的原因 教材拾遗 (1)F 2中出现与亲本不同的性状类型，称为重组类型，重组类型是黄色皱粒和绿色圆粒，重组类型所占比例是3 8 。(P 9) (2)对于两对相对性状的遗传结果，如果对每一对性状单独进行分析，其性状的数量比都是3∶1，即每对性状的遗传都遵循了分离定律。两对相对性状的遗传结果可以表示为它们各自遗传结果的乘积，即9∶3∶3∶1来自(3∶1)2。(P 10) 第1讲 地球仪与地图 考点一 地球仪与经纬网 1．地球的形状和大小 由上图知：地球赤道半径略大于极半径，故其形状特点是：两极稍扁、赤道略鼓的椭球体。 2．地球仪 (1)地轴：地球仪上，地球绕转的轴，其倾斜方向不变——北端始终指向北极星。 (2)两极：地轴穿过地心，与地球表面相交的两点。 (3)经线和纬线的特点 ①经线特点????? 所有经线长度都相等，长约2万千米所有经线都相交于南、北极点 两条相对应的经线构成一个经线圈，将地球 平分为两个半球 ②纬线特点???? ? 纬线是大小不等的圆圈赤道是最大的纬线圈，越往两极，纬线圈越小 每条纬线与每条经线垂直相交 (4)经度和纬度 经度纬度 图示 划分从本初子午线向东、向西各分180°从赤道向南、向北各分90° 分布规律东经度的度数愈向东愈大，西经度 的度数愈向西愈大 北纬的度数愈向北愈大，南纬 的度数愈向南愈大 划分半球20°W～0°～160°E为东半球， 160°E～180°～20°W为西半球 以赤道为界，以北为北半球， 以南为南半球 特殊经纬度①本初子午线为东西经分界线。 ②180°经线大致与日界线重合 ①30°纬线是中、低纬度界 线；60°纬线是中、高纬度界 线。 ②回归线是热带、温带界线， 极圈是温带、寒带界线 经度和纬度的判断方法 (1)东西经的判断：顺地球自转方向数值逐渐增大的为东经，数值逐渐减小的为西经。 (2)南北纬的判断：数值自南向北逐渐增加的为北纬；数值自北向南逐渐增加的为南纬。 经过地球球心的一条直线与地表相交的两点互为对跖点。已知甲地(30°S,45°E)和乙地互为对跖点。读图，回答1～2题。 1．与乙地经纬度相同的是( ) A．① B．② 2017年中考数学冲刺模拟卷（1）一、单选题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1．-9的相反数是（） A. 1 9 B. 9 C. 1 9 D. -9 2．在如图的图案中可以看出由图案自身的部分经过平移而得到的是（） A. B. C. D. 3．随着行政区划调整，2017年我区计划新建续建主次干道项目25个，全年计划完成交通投资19.79亿元，其中19.79亿元用科学记数法可表示为（） A. 1.979×107元 B. 1.979×108元 C. 1.979×109元 D. 1.979×1010元 4．下列语句中错误的是() A. 数字0是单项式 B. 的系数是 C. 单项式xy的次数是2 D. 单项式﹣a的系数和次数都是1 5．不透明袋子中有2个红球、3个绿球，这些球除颜色外其它无差别．从袋子中随机取出1个球，则（） A．能够事先确定取出球的颜色B．取到红球的可能性更大 C．取到红球和取到绿球的可能性一样大D．取到绿球的可能性更大 6．下列计算中，正确的是（） A．a0=1 B．a﹣1=﹣a C．a3?a2=a5 D．2a2+3a3=5a5 7．已知a﹣b=3，则代数式a2﹣b2﹣6b的值为（） A．3 B．6 C．9 D．12 8．Rt△ABC中，AB=AC=2，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①（BE+CF）=BC；②S△AEF≤S△ABC；③S四边形AEDF=AD?EF； ④AD≥EF；⑤点A 到线段EF 的距离最大为1，其中正确结论的个数是（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9．分式3 3x x -+的值为零，则x = ____________． 10．因式分解：24xy x -=________． 11．如果点P （﹣2，b ）和点Q （a ，﹣3）关于x 轴对称，则a+b 的值是. 12．按照如图所示的操作步骤，若输入的值为2，则输出的值为__________. 13．初四二班的“精英小组”有男生4人，女生3人，若选出一人担任组长，则组长是男生的概率为__________． 14．已知关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋1＝0的两个实数根为1x 、2x ,则()()1211x x --的值为_________． 15．若关于x 的反比例函数1m y x -=的图象位于第二、四象限内，则m 的取值范围是____ 16．已知直角三角形的两条直角边长为3，4，那么斜边上的中线长是________． 17．一个圆锥的高为3，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是_________ 18．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，A 、B 、C 30）、（30）、（0，5），点D 在第一象限，且∠ADB ＝60o，则线段CD 的长的最小值为______. 三、解答题（本大题76分） 第十二章 推理证明、算法初步、复数 第1讲 归纳与类比一、选择题 1．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为 ( )． A ．76 B ．80 C ．86 D ．92解析 由|x |＋|y |＝1的不同整数解的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x |＋|y |＝n 的不同整数解的个数为4n ，故|x |＋|y |＝20的不同整数解的个数为80.故选B.答案 B 2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( )．A ．289 B ．1 024C ．1 225 D ．1 378解析 观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，…，a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。 、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。 实验基础知识 一、螺旋测微器的使用 1．构造：如图1所示，B为固定刻度，E为可动刻度． 图1 2．原理：测微螺杆F与固定刻度B之间的精密螺纹的螺距为0.5 mm，即旋钮D每旋转一周，F前进或后退0.5 mm，而可动刻度E上的刻度为50等份，每转动一小格，F前进或后退0.01 mm，即螺旋测微器的精确度为0.01 mm.读数时估读到毫米的千分位上，因此，螺旋测微器又叫千分尺． 3．读数：测量值(mm)＝固定刻度数(mm)(注意半毫米刻度线是否露出)＋可动刻度数(估读一位)×0.01(mm)． 如图2所示，固定刻度示数为2.0 mm，半毫米刻度线未露出，而从可动刻度上读的示数为15.0，最后的读数为：2.0 mm＋15.0×0.01 mm＝2.150 mm. 图2 二、游标卡尺 1．构造：主尺、游标尺(主尺和游标尺上各有一个内、外测量爪)、游标卡尺上还有一个深度尺．(如图3所示) 图3 2．用途：测量厚度、长度、深度、内径、外径． 3．原理：利用主尺的最小分度与游标尺的最小分度的差值制成． 不管游标尺上有多少个小等分刻度，它的刻度部分的总长度比主尺上的同样多的小等分刻度少1 mm.常见的游标卡尺的游标尺上小等分刻度有10个的、20个的、50个的，其规格见下表： 刻度格数(分度)刻度总长度每小格与1 mm的差值精确度(可精确到) 109 mm0.1 mm0.1 mm 2019 mm0.05 mm0.05 mm 5049 mm0.02 mm0.02 mm 4.读数：若用x表示从主尺上读出的整毫米数，K表示从游标尺上读出与主尺上某一刻度线对齐的游标的格数，则记录结果表示为(x＋K×精确度)mm. 三、常用电表的读数 对于电压表和电流表的读数问题，首先要弄清电表量程，即指针指到最大刻度时电表允许通过的最大电压或电流，然后根据表盘总的刻度数确定精确度，按照指针的实际位置进行读数即可． (1)0～3 V的电压表和0～3 A的电流表的读数方法相同，此量程下的精确度分别是0.1 V和0.1 A，看清楚指针的实际位置，读到小数点后面两位． (2)对于0～15 V量程的电压表，精确度是0.5 V，在读数时只要求读到小数点后面一位，即读到0.1 V. (3)对于0～0.6 A量程的电流表，精确度是0.02 A，在读数时只要求读到小数点后面两位，这时要求“半格估读”，即读到最小刻度的一半0.01 A. 教材文言文考点化复习 必修1 ——《烛之武退秦师》《荆轲刺秦王》《鸿门宴》 一、了解并掌握常见的古代文化知识 1．《左传》：我国第一部叙事详细的编年史著作，相传为春秋末年鲁国史官左丘明所作，为后世叙事散文树立了典范。“传”意为注释，《左传》即是给儒家经典《春秋》所作的注释。《左传》也称《左氏春秋》《春秋左氏传》，与《公羊传》《谷梁传》合称“春秋三传”。 2．晋侯．、秦伯．围郑 侯、伯：春秋时期公、侯、伯、子、男五等爵位中的两种。爵位、爵号，是古代皇帝对贵戚功臣的封赐。后代爵称和爵位制度往往因时而异。 3．敢以烦执事 ．． 执事：在古代有多种意思，①从事工作，主管其事；②有职守之人，即官员；③指供役使者，仆从；④对对方的敬称；⑤侍从。本文指对办事的官吏的敬称。 4．《战国策》：中国古代的一部历史学名著。它是一部国别体史书，又称《国策》。由西汉刘向所整理编写，共33卷，分为12策。《国语》是第一部国别体史书。 5．至易水 ．．上，既祖． 易水：也称易河，河流名，位于河北省易县境内，分南易水、中易水、北易水。因燕太子丹送荆轲刺秦于此作别，高渐离击筑，荆轲合着音乐高歌“风萧萧兮易水寒，壮士一去兮不复还！”而名扬天下。后人常用“易水”指代“荆轲”或“易水歌”。 祖：临行祭路神，引申为饯行和送别。 6．为变徵 ．．之声复为慷慨羽．声 变徵、羽：古时音乐七音中的两种声调。古时音乐分宫、商、角、徵、羽、变宫、变徵七音。变徵是徵音的变调，声调悲凉。 7．厚遗秦王宠臣中庶子 ．．．蒙嘉 中庶子：管理国君的车马之类的官。 8．乃朝服，设九宾 ．． 九宾：九宾之礼，是我国古代外交上最为隆重的礼节，有九个迎宾赞礼的官员司仪施礼，并 2017中考数学模拟卷及答案 2017中考数学模拟卷及答案 A级基础题 1.要使分式1x-1有意义，则x的取值范围应满足() A.x=1 B.x≠0 C.x≠1 D.x=0 2.(2013年贵州黔西南州)分式x2-1x+1的值为零，则x的值为() A.-1 B.0 C.±1 D.1 3.(2013年山东滨州)化简a3a，正确结果为() A.a B.a2 C.a-1 D.a-2 4.约分：56x3yz448x5y2z=________;x2-9x2-2x-3=________. 5.已知a-ba+b=15，则ab=__________. 6.当x=______时，分式x2-2x-3x-3的值为零. 7.(2013年广东汕头模拟)化简：1x-4+1x+4÷2x2-16. 8.(2012年浙江衢州)先化简x2x-1+11-x，再选取一个你喜欢的数代入求值. 9.先化简，再求值：m2-4m+4m2-1÷m-2m-1+2m-1，其中m=2. B级中等题 10.(2012年山东泰安)化简：2mm+2-mm-2÷mm2-4=________. 11.(2013年河北)若x+y=1，且x≠0，则x+2xy+y2x÷x+yx的 值为________. 12.(2013年贵州遵义)已知实数a满足a2+2a-15=0，求1a+1-a+2a2-1÷a+1a+2a2-2a+1的值. C级拔尖题 13.(2012年四川内江)已知三个数x，y，z满足xyx+y=-2，yzz+y=34，zxz+x=-34，则xyzxy+yz+zx的值为________. 14.先化简再求值：ab+ab2-1+b-1b2-2b+1，其中b-2+36a2+b2-12ab=0. 分式 1.C 2.D 3.B 4.7z36x2yx+3x+1 5.32 6.-1 7.解：原式=x+4+x-4x+4x-4?x+4x-42 =x+4+x-42=x. 8.解：原式=x2-1x-1=x+1，当x=2时，原式=3(除x=1外的任何实数都可以). 9.解：原式=m-22m+1m-1?m-1m-2+2m-1=m-2m+1+2m-1=m-2m-1+2m+1m+1m-1=m2-m+4m+1m-1，当m=2时，原式=4-2+43=2. 10.m-611.1 12.解：原式=1a+1-a+2a+1a-1?a-12a+1a+2=1a+1-a-1a+12=2a+12， ∵a2+2a-15=0，∴(a+1)2=16. ∴原式=216=18. §5.4复数 1．复数的有关概念 (1)定义：我们把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类： (3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (5)模：向量OZ → 的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义 复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ → ＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 3．复数的运算 (1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R . (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→ ，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→. 概念方法微思考 1．复数a＋b i的实部为a，虚部为b吗？ 提示不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部． 2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？ 提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × ) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (3)复平面中原点是实轴与虚轴的交点．( √ ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ ) 题组二 教材改编 2．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1 答案 A 解析 ∵z 为纯虚数，∴????? x 2－1＝0， x －1≠0， ∴x ＝－1. 3．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA → 对应的复数是( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4i D ．－3－4i 答案 D 解析 CA →＝CB →＋BA → ＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i. 4．若复数z 满足()3＋4i z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 等于( ) A ．－15－75 i B ．－15＋75 i 2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第3讲平面向量 的数量积 第3讲平面向量的数量积 一、选择题 1．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝() A.5 B.10 C．2 5 D．10 解析∵a⊥b，∴x－2＝0，∴x＝2.∴|a＋b|＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝4＋1＋1＋4＝10.故选B. 答案 B 2．设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于() A. 2 2 B. 1 2 C．0 D．－1 解析∵a⊥b，∴1×(－1)＋cos θ·2cos θ＝0，即2cos2θ－1＝0.又cos 2θ＝2cos2θ－1. 答案 C 3．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝ ()．A．4 B．3 C．2 D．0 解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0. 答案 D 4．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0.向量a，b的夹角为60°，且|b|＝|a|，则向量a与c的夹角为() A．60°B．30° C．120°D．150°解析由a＋b＋c＝0得c＝－a－b， ∴|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos 60°＝3|a|2， ∴|c|＝3|a|， 又a ·c ＝a ·(－a －b )＝－|a |2－a ·b ＝－|a |2－|a ||b |cos 60°＝－32|a |2. 设a 与c 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·c |a ||c |＝ －32|a |2 |a |·3|a |＝－32， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°. 答案 D 5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点的坐标是 ( )． A ．(－3,0) B ．(2,0) C ．(3,0) D ．(4,0) 解析 设P 点坐标为(x,0)， 则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)． AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)，故选C. 答案 C 6．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝α·ββ· β.若平面向量a ，b 满足 |a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈? ????0，π4，且a b 和b a 都在集合???? ??n 2| n ∈Z 中，则a b ＝ ( )． A.12 B ．1 C.3 2 D.52 解析 由定义αβ＝α·ββ2可得b a ＝a ·b a 2＝|a |·|b |cos θ|a |2＝|b |cos θ |a |，由|a |≥|b |>0，及物理步步高大一轮复习讲义第一章 第1讲
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