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中考冲刺数学专题06 综合型问题(含答案)

中考冲刺数学专题6——综合型问题

【备考点睛】

综合型问题是在相对新颖的数学情境中综合运用数学思想、方法、知识以解决问题，涉及的主要知识点有代数中的方程、函数、不等式，几何中的全等三角形、相似三角形、解直角三角形、四边形和圆；涉及的主要思想方法有转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想等；要求学生具有融会贯通迁移整合知识的能力、分析转化与归纳探索的能力、在新情境下解决新问题的创新能力．

学生做好以下两项工作，解决综合型问题的水平将有较大提高：①全面掌握初中数学的基础知识、方法、技能，熟练掌握重点、热点知识及重要的数学思想、方法，注重归纳整理形成整体，防止知识出现断链。②适度进行综合性训练并善于总结解题体会，对知识形成发散、迁移及应用能力，提高解题技能，体会数学思想与方法的运用，形成解题策略，如运用转化思想解决几何证明问题，运用方程思想解决几何计算问题，借助几何直观去分析、推理等．

【经典例题】

类型一、以几何图形为背景的综合题

例题1 （2010四川攀枝花）如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=23,点P是边BC上的动点（点P不与点B、C重合），过点P作直线PQ∥BD,交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点。设CP=x, △PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y。

（1）求∠CPQ的度数。

（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的边AB上？

（3）当点R在矩形ABCD外部时，求y与x的函数关系式。并求此时函数值y的取值范围。

解答：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD,AD=BC 又AB=6,AD=23,∠C=90°

∴CD=6,BC=23 ∴tan ∠CBD ＝CB CD =3 ∴∠CBD=60°

∵PQ ∥BD ∴∠CPQ=∠CBD=60°

（2）如题图（1）由轴对称的性质可知△RPQ ≌△CPQ

∴∠RPQ=∠CPQ,RP=CP.由（1）知∠RPQ=∠CPQ=60° ∴∠RPB=60°,∴RP=2BP ∵CP=x ∴RP=x ,PB=23-x.

∴在△RPB 中，有2（23-x ）= x ∴x=3

（3）当R 点在矩形ABCD 的外部时（如题图），3

34﹤x ﹤23

在Rt △PBF 中，由（2）知PF=2BP=2（23-x ） ∴RP

∴ER=RF-PF=3x-43

在Rt △ERF 中 ∵∠EFR=∠PFB=30° ∴ER=RF·tan30°=3x-4

∴Ｓ△ERF =21ER×FR=21(3x-4)( 3x-43)=

233x 2-12x+83

又Ｓ△PQR =Ｓ△CPQ =

x×3x=

23x

∵y=Ｓ△PQR -Ｓ△ERF ∴当334﹤x ﹤23时，函数的解析式为y=2

-（

-12x+83）

=-3

+12x-83 （3

4﹤x ﹤23）

∵y=-3

+12x-83 =-3(x-23)2

+43

∴当334﹤x ﹤23时，y 随x 的增大而增大

∴函数值y 的取值范围是3

38﹤y ﹤43

例题2 （2010 山东东营）如图，在锐角三角形ABC 中，12 BC ，△ABC 的面积为48，D ，E 分别是边AB ，AC 上的两个动点（D 不与A ，B 重合），且保持DE ∥BC ，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG .

（1）当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，求正方形DEFG 的边长；

（2）设DE = x ，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，写出x 的取值范围，并求出y 的最大值.

解答：（1）当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，如图（1），过点A 作BC 边上的高AM ，交DE 于N ，垂足为M .

∵S △ABC =48，BC =12，∴AM =8. ∵DE ∥BC ，△ADE ∽△ABC ,

∴AM

BC DE =，而AN=AM －MN=AM －DE ，∴8

812DE

DE -=

. 解之得8.4=DE .

∴当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，正方形DEFG 的边长为4.8. （2）分两种情况：

①当正方形DEFG 在△ABC 的内部时，如图（2），△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为正方形DEFG 的面积， ∵DE =x ，∴2

x y =，此时x 的范围是x <0≤4.8 ②当正方形DEFG 的一部分在△ABC 的外部时，如图（2），设DG 与BC 交于点Q ，EF 与BC 交于点P ， △ABC 的高AM 交DE 于N ，

∵DE =x ，DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ,分

即

AM AN

BC DE =

，而AN =AM －MN =AM －EP , ∴8812EP x -=，解得x EP 3

28-=. 所以)328(x x y -=, 即x x y 83

+-=.

由题意，x >4.8，x <12,所以128.4<

A D E F

M B

D E

P Q

E C

???

??<<+-=)128.4(83

222

x x x x y

当x <0≤4.8时，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04 当128.4<

=，所以当6)

2(28=-?-=x 时，

△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为24)

2(480)32

(42

=-?-?-?.

因为24>23.04，

所以△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为24.

例题3 （2010 浙江义乌）如图1，已知∠ABC =90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连结QE 并延长交射线BC 于点F .

（1）如图2，当BP =BA 时，∠EBF = °，猜想∠QFC = °；

（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明；（3）已知线段AB =32，设BP =x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式．

解答：（1）=∠EBF 30° QFC ∠= 60

不妨设BP

, 如图1所示 ∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP ∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP ∴∠BAP=∠EAQ

在△ABP 和△AEQ 中 AB=AE ，∠BAP=∠EAQ ， AP=AQ

(0< x ≤4.8) 图1

F P 图2

E Q

F C

图1

F P

∴△ABP ≌△AEQ ∴∠AEQ=∠ABP=90°

∴∠BEF 180180906030AEQ AEB =?-∠-∠=?-?-?=? ∴QFC ∠=EBF BEF ∠+∠=3030?+?=60°

(3)在图1中，过点F 作FG ⊥BE 于点G

∵△ABE 是等边三角形 ∴BE=AB=32，由（1）得=∠EBF 30°

在Rt △BGF 中，2BE BG =

= ∴BF=2cos30BG

∴EF =2 ∵△ABP ≌△AEQ ∴QE=BP=x ∴QF =QE ＋EF 2x =+

过点Q 作QH ⊥BC ，垂足为H

在Rt △QHF 中，sin 602)y QH QF x ==?=+ （x ＞0）

即y 关于x 的函数关系式是：2

y x =

+例题4 （2010 重庆）已知：如图（1），在直角坐标系xOy 中，边长为2的等边△OAB 的

顶点B 在第一象限，顶点A 在x 轴的正半轴上. 另一等腰△OCA 的顶点C 在第四象限，

OC AC =， 120=∠C ．现有两动点P ，Q 分别从A ，O 两点同时出发，点Q 以每秒

1个单位的速度沿OC 向点C 运动，点P 以每秒3个单位的速度沿A O B →→运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．

（1）求在运动过程中形成的△OPQ 的面积S 与运动的时间t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；

（2）在等边△OAB 的边上（点A 除外）存在点D ，使得△OCD 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标；

（3）如图(2)，现有

60=∠MCN ，其两边分别与OB ， AB 交于点M ，N ，连接MN ．将MCN ∠绕着点C 旋转（< 0旋转角 60<）

，使得M ，N 始终在边OB 和边AB 上．试判断在这一过程中，△BMN 的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

解答：（1）过点C 作CD OA ⊥于点D ．（如图①）

∵OC AC =，120ACO ∠=?， ∴30AOC OAC ∠=∠=?．

∵OC AC =，CD OA ⊥， ∴1OD DA ==．

在Rt ODC ?

中，1cos cos30OD OC AOC ===

∠? （ⅰ）当2

t <<

时，OQ t =,3AP t =,23OP OA AP t =-=-；过点Q 作QE OA ⊥于点E ．（如图①）

在Rt OEQ ?中，∵30AOC ∠=?，∴122

t QE OQ ==，

∴21131

(23)22242

OPQ

t S OP EQ t t t ?=?=-?=-+．即231

S t t =-+ ．

（ⅱ）当

23t <≤

（如图②） OQ t =，32OP t =-．

∵60BOA ∠=?，30AOC ∠=?，∴90POQ ∠=?．

∴2113

(32)222

OPQ S OQ OP t t t t ?=?=?-=-．

即23

S t t =-．

故当203t <<时，23142S t t =-+

，当23t <≤232

S t

=-（2）,1)D 或,0)或2(,0)3

或4(,3．

（3）BMN ?的周长不发生变化．

延长BA 至点F ，使AF OM =，连结CF ．（如图③） ∵90,MOC FAC OC AC ∠=∠=?=， ∴MOC ?≌FAC ?．

∴MC CF =，MCO FCA ∠=∠．

∴FCN FCA NCA MCO NCA ∠=∠+∠=∠+∠60OCA MCN =∠-∠= ． ∴FCN MCN ∠=∠．

又∵,MC CF CN CN ==．

∴MCN ?≌FCN ?．∴MN NF =．

∴BM MN BN BM NF BN ++=++AF BA OM BO ++-=BA BO =+4=． ∴BMN ?的周长不变，其周长为4．

类型二、以函数图像为背景的综合题

例题5 （2010甘肃兰州）如图1，已知矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD=2，AB=3；抛物线c bx x y ++-=2

经过坐标原点O 和x 轴上另一点E （4,0）

（1）当x 取何值时，该抛物线的最大值是多少？

（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度从点A 出发向B 匀速移动.设它们运动的时间为t 秒（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）.

① 当114

t =

时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由；

② 以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N 点的坐标；若无可能，请说明理由．

图1 图2

解答：（1）因抛物线c bx x y ++-=2

经过坐标原点O （0,0）和点E （4,0）

故可得c=0,b=4

所以抛物线的解析式为x x y 42

+-=

由

x x y 42+-=()2

24y x =--+ 得当x =2时，该抛物线的最大值是4.

（2）① 点P 不在直线ME 上. 已知M 点的坐标为(2,4)，E 点的坐标为(4,0)，设直线ME 的关系式为y=kx +b .

于是得???=+=+4204b k b k ，解得???=-=82b k 所以直线ME 的关系式为y=-2x +8. 由已知条件易得，当114t =

时，OA=AP=114，1111(,)

∵ P 点的坐标不满足直线ME 的关系式y=-2x +8. [来源:https://www.wendangku.net/doc/c75741606.html,] ∴ 当114

t =

时，点P 不在直线ME 上.

②以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积可能为5 ∵ 点A 在x 轴的非负半轴上，且N 在抛物线上， ∴ OA=AP=t .

∴ 点P ，N 的坐标分别为(t ,t )、(t ,-t 2+4t )

∴ AN=-t 2+4t (0≤t ≤3) ,

∴ AN -AP=(-t 2+4 t )- t=-t 2+3 t=t (3-t )≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t

（ⅰ）当PN=0，即t=0或t =3时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是三角形，此三角

形的高为AD ，∴ S=

12DC ·AD=12

×3×2=3.

（ⅱ）当PN ≠0时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是四边形

∵ PN ∥CD ，AD ⊥CD ， ∴ S=

12 (CD+PN )·AD=12

[3+(-t 2+3 t )]×2=-t 2+3 t +3

当-t 2+3 t +3=5时，解得t=1、2

而1、2都在0≤t ≤3范围内，故以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为5 综上所述，当t=1、2时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形面积为5，当t=1时，此时N 点的坐标（1,3）当t=2时，此时N 点的坐标（2,4）

说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.

例题6 （2010山东济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴

于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ?的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ?的最大面积. 解答：

（1）设抛物线为2

(4)1y a x =--. ∵抛物线经过点A （0，3）， ∴2

3(04)1a =-- .∴1

a =

. ∴抛物线为2211

(4)12344

y x x x =

--=-+. (2) 答：l 与⊙C 相交. 证明：当

(4)104

x --=时，12x =，26x =. ∴B 为（2，0），C 为（6，0）.

∴AB ==设⊙C 与BD 相切于点E ，连接CE ，则90BEC AOB ∠=?=∠. ∵90ABD ∠=?，∴90CBE ABO ∠=?-∠.

又∵90BAO ABO ∠=?-∠，∴BAO CBE ∠=∠.∴AOB ?∽BEC ?. ∴

CE BC

OB AB =

∴2CE =.

∴2CE =>. ∵抛物线的对称轴l 为4x =，∴C 点到l 的距离为2. ∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交.

(3) 解：如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q .

可求出AC 的解析式为1

y x =-+.分设P 点的坐标为（m ，

21234m m -+）

，则Q 点的坐标为（m ，1

m -+）. ∴221113

3(23)2442

PQ m m m m m =-

+--+=-+. ∵22113327

()6(3)24244

PAC PAQ PCQ S S S m m m ???=+=

?-+?=--+,

∴当3m =时，PAC ?的面积最大为274

. 此时，P 点的坐标为（3，3

）. 例题7 （2010 四川成都）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2

y ax bx c =++与x 轴交于A B 、两点

（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(30)-，，若将经过A C 、两点的直线y kx b =+沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线

2x =-．

（1）求直线AC 及抛物线的函数表达式；

（2）如果P 是线段AC 上一点，设ABP ?、BPC ?的面积分别为ABP S ?、BPC S ?，且

:2:3ABP BPC S S ??=，求点P 的坐标；

（3）设⊙Q 的半径为l ，圆心Q 在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙Q 与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q 的半径为r ，圆心Q 在抛物线上运动，则当r 取何值时，⊙Q 与两坐轴同时相切？解答：（1）∵y kx b =+沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点， ∴3b =，(0 3)C ，。

将A (30)-，代入3y kx =+，得330k -+=。解得1k =。 ∴直线AC 的函数表达式为3y x =+。 ∵抛物线的对称轴是直线2x =-

∴930

223

a b c b

c -+=???

-=-??=??解得143a b c =??=??=?

∴抛物线的函数表达式为2

43y x x =++。（2）如图，过点B 作BD ⊥AC 于点D 。

∵:2:3ABP BPC S S ??=，

∴1

1():()2:322

AP BD PC BD ????= ∴:2:3AP PC =。过点P 作PE ⊥x 轴于点E ， ∵PE ∥CO ，∴△APE ∽△ACO ，

∴

PE AP CO

， ∴2655

PE OC == ∴

635

x =+，解得95-

∴点P 的坐标为96()55

-，

（3）（Ⅰ）假设⊙Q 在运动过程中，存在Q 与坐标轴相切的情况。设点Q 的坐标为00()x y ，。

① 当⊙Q 与y 轴相切时，有01x =，即01x =±。

当01x =-时，得2

0(1)4(1)30y =-+?-+=，∴1(1 0)Q -，当01x =时，得2

014138y =+?+=，∴2(1 8)Q ，

② 当⊙Q 与x 轴相切时，有01y =，即01y =±

当01y =-时，得200143x x -=++，即2

00440x x ++=，解得02x =-，∴3(2 1)Q --，

当01y =时，得200143x x =++，即2

00420x x ++=，解得02x =-，

∴4(2Q --，5(2Q -+。综上所述，存在符合条件的⊙Q ，其圆心Q 的坐标分别为1(1 0)Q -，，2(1 8)Q ，，3(2 1)Q --，，

4(2Q --，5(2Q -+。

（Ⅱ）设点Q 的坐标为00()x y ，。

当⊙Q 与两坐标轴同时相切时，有00y x =±。

由00y x =，得2

00043x x x ++=，即2

00330x x ++=， ∵△=2

34130-??=-< ∴此方程无解。

由00y x =-，得2

00043x x x ++=-，即2

00530x x ++=，

解得0x =

∴当⊙Q 的半径0r x ==

=Q 与两坐标轴同时相切。

例题8 （2010湖南常德）如图, 已知抛物线2

y x bx c =

++与x 轴交于A (－4，

0) 和B (1，0)两点，与y 轴交于C 点．（1）求此抛物线的解析式；

（2）设E 是线段AB 上的动点，作EF //AC 交BC 于F ，连接CE ，当△CEF 的面积是△BEF

面积的2倍时，求E 点的坐标;

（3）若P 为抛物线上A 、C 两点间的一个动点，过P 作y 轴的平行线，交AC 于Q ，当P

点运动到什么位置时，线段PQ 的值最大，并求此时P 点的坐标．解答：（1）由二次函数2

y x bx c =

++与x 轴交于(4,0)A -、(1,0)B 两点可得： 2

21(4)402

1102

b c b c ?--+=?????++=??，．解得：

322b c ?

=???=-?，

．

故所求二次函数的解析式为213

222

y x x =

+-．（2）∵S △CEF =2 S △BEF , ∴1,2BF CF =1.3

BF BC =

∵EF //AC , ∴B ,EF BAC BFE BCA ∠=∠∠=∠ ,

∴△BEF ～△BAC ,

∴

1,3BE BF BA BC ==得5

BE =

故E 点的坐标为(23

-,0).

（3）解法一：由抛物线与y 轴的交点为C ，则C 点的坐标为（0，－2）．若设直线AC

的解析式为y kx b =+，则有20,04b k b -=+??=-+?．解得：1,

22k b ?

=-???=-?．

故直线AC 的解析式为1

y x =-－．

若设P 点的坐标为213,222a a a ??

+- ???

，又Q 点是过点P 所作y 轴的平行线与直线

AC 的交点，则Q 点的坐标为（1

,2)2

a a --．则有：

2131[(2)](2)222PQ a a a =-+----＝21

a a --

＝()2

1222

a -

++ 即当2a =-时，线段PQ 取大值，此时P 点的坐标为（－2，－3）

解法二：延长PQ 交x 轴于D 点，则PD AB ⊥．要使线段PQ 最长，则只须△APC 的面积取大值时即可.

设P 点坐标为（),00y x ，则有:

ACO DPCO S APC ADP S S S =+- 梯形＝111

()222

AD PD PD OC OD OA OC ?++?-? ＝()()00000111

2242222

x y y y x --+-+?--??

＝0024y x ---

＝20001322422x x x ??

-+--- ???

＝2

004x

x -- ＝－()2

024x ++

即02x =-时，△APC 的面积取大值，此时线段PQ 最长，则P 点坐标为（－2，－3）

【技巧提炼】

解数学综合题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想

纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。

2、以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想

直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形。因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。 3、利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想

分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。 4、综合多个知识点，运用等价转换思想

任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题，转换的思路更要得到充分的应用。

【体验中考】

1．（2010 福建德化）已知：如图，点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上的一个动点(A 、C 除外)，作AB PE ⊥于点E ，作BC PF ⊥于点F ，设正方形ABCD 的边长为x ，矩形

PEBF 的周长为y ，在下列图象中，大致表示y 与x 之间的函数关系的是（）.

2．（2010 四川南充）如图，直线l 1∥l 2，⊙O 与l 1和l 2分别相切于点A 和点B ．点M 和点N 分别是l 1和l 2上的动点，MN 沿l 1和l 2平移．⊙O 的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误．．的是（）．（A

）MN =

（B ）若MN 与⊙O

相切，则AM =（C ）若∠MON ＝90°，则MN 与⊙O 相切（D ）l 1和l 2的距离为2

3．（2010湖北鄂州）如图所示，四边形OABC 为正方形，边长为6，点A 、C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，点Ｄ在OA 上，且Ｄ点的坐标为（2，0），P 是OB 上的一个动点，试求PD +P A 和的最小值是（）

A ．102

B ．10

C ．4

D ．6

4．（2010湖北宜昌）如图,在圆心角为90°的扇形MNK 中，动点P 从点M 出发，沿MN →⌒NK

→KM 运动，最后回到点M 的位置。设点P 运动的路程为x ，P 与M 两点之间的距离为y ，

其图象可能是（）。

5．（2010湖南怀化）图9是二次函数k m x y ++=2

)(的图象，其顶点坐标为M(1,-4). （1）求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ??=4

,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.

6．（2010湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，A （-1，0），B （0，2），一动点P 沿过B 点且垂直于AB 的射线BM 运动，P 点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM 与x 轴交与点C ．

（1）求点C 的坐标．

（2）求过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式．

（3）若P 点开始运动时，Q 点也同时从C 出发，以P 点相同的速度沿x 轴负方向向点A

运

动，t 秒后，以P 、Q 、C 为顶点的三角形为等腰三角形．（点P 到点C 时停止运动，点Q 也同时停止运动）求t 的值．

（4）在（2）（3）的条件下，当CQ =CP 时，求直线OP 与抛物线的交点坐标．

7．（2010湖北荆州）如图，直角梯形OABC 的直角顶点O 是坐标原点，边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ∥BC ，D 是BC 上一点，BD=

OA=2，AB=3，∠OAB=45°，E 、F 分别是线段OA 、AB 上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．（1）直接写出．．．．D 点的坐标；

（2）设OE=x ，AF=y ，试确定y 与x 之间的函数关系；

（3）当△AEF 是等腰三角形时，将△AEF 沿EF 折叠，得到△EF A '，求△EF A '与五边形OEFBC 重叠部分的面积．

8．（2010湖北省咸宁）如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90DAB ∠=?，24AD DC ==，

6AB =．动点M 以每秒1个单位长的速度，从点A 沿线段AB 向点B 运动；同时点P 以相

同的速度，从点C 沿折线C -D -A 向点A 运动．当点M 到达点B 时，两点同时停止运动．过点M 作直线l ∥AD ，与线段CD 的交点为E ，与折线A -C -B 的交点为Q ．点M 运动的时间为t （秒）．全品中考网

（1）当0.5t =时，求线段QM 的长；

（2）当0＜t ＜2时，如果以C 、P 、Q 为顶点的三角形为直角三角形，求t 的值；（3）当t ＞2时，连接PQ 交线段AC 于点R ．请探究CQ

是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．

9．（2010江苏扬州）在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB 上，过点E 作直线与△ABC 的直角边相交于点F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为

（备用图1）

（备用图2）

Q A B

l M

y ．

（1）求线段AD 的长；

（2）若EF ⊥AB ，当点E 在线段AB 上移动时，①求y 与x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）②当x 取何值时，y 有最大值？并求其最大值；

（3）若F 在直角边AC 上（点F 与A 、C 两点均不重合），点E 在斜边AB 上移动，试问：是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，求出x 的值；若不存在直线EF ，请说明理由．

参考答案

1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】B

5．【答案】(1) 因为M(1,-4) 是二次函数k m x y ++=2

)(的顶点坐标，

所以324)1(2

--=--=x x x y 令,0322

=--x x 解之得3,121=-=x x . ∴A ，B 两点的坐标分别为A （-1，0），B （3,0） (2) 在二次函数的图象上存在点P ，使MAB PAB S S ??=4

设),,(y x p 则y y AB S PAB 22

=?=?，又842

=-?=?AB S MAB , ∴.5,84

2±=?=

y y 即 ∵二次函数的最小值为-4，∴5=y . 当5=y 时，4,2=-=x x 或. 故P 点坐标为（-2，5）或（4，5）

（3）如图1，当直线)1(<+=b b x y 经过A 点时，可得.1=b 当直线)1(<+=b b x y 经过B 点时，可得.3-=b 由图可知符合题意的b 的取值范围为13<<-b

6．【答案】

（1）点C 的坐标是（4，0）；

（2）设过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c （a ≠0），将点A 、B 、C 三点的坐标代入得：

020164a b c c a b c =-+??=??=++?解得12322

a b c ?

=-??

=???

，∴抛物线的解析式是：y = 12-x 2+32x +2．（3）设P 、Q 的运动时间为t 秒，则BP =t ，CQ =t ．以P 、Q 、C 为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论．

①若CQ =PC ，如图所示，则PC = CQ =BP =t ．∴有2t =BC

②若PQ =QC ，如图所示，过点Q 作DQ ⊥BC 交CB 于点D ，则有CD =PD ．由△ABC ∽△QDC ，可得出PD =CD

，∴5t =，解得t

=4011

- ③若PQ =PC ，如图所示，过点P 作PE ⊥AC 交AC 于点E ，则EC =QE

5PC ，∴12

（t ），解得t

（4）当CQ =PC 时，由（3）知t

P 的坐标是（2，1），∴直线OP 的解析式是：y =

12x ，因而有12x =12

-x 2+3

2x +2，即x 2-2x -4=0，解得x

OP 与抛物线的交点坐标为（

）和（

）．

7．【答案】（1）D 点的坐标是)22

,223(. （2）连结OD,如图（1），

由结论（1）知：D 在∠COA 的平分线上，则

∠DOE=∠COD=45°,又在梯形DOAB 中，∠BAO=45°,∴OD=AB=3 由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°,又∠2=∠DEA-45° ∴∠1=∠2, ∴△ODE ∽△AEF ∴

AF OE =

，即：x y x -=243 ∴y 与x 的解析式为：

x x y 3

4312+-=（3）当△AEF 为等腰三角形时，存在EF=AF 或EF=AE 或AF=AE 共

3种情况.

① 当EF=AF 时，如图（2）.

∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°,

∴△AEF 为等腰直角三角形.D 在A’E 上（A’E ⊥OA ）, B 在A’F 上（A’F ⊥EF ）

∴△A’EF 与五边形OEFBC 重叠的面积为四边形EFBD 的面积.

∵22

22324=-

=-=-=CD OA OE OA AE ∴2

2222545sin 0

=?=

?=AE AF

)25(21AF EF 21S 2AEF =

?=?=

? ∴4

223)2252(21DE AE)(BD 21AEDB =

?+?=?+=

梯形S ∴8

825-421S -S S AEF AEDB BDEF ===?梯形四边形（也可用BD A'EF A'S -S S ??=阴影）

②当EF=AE 时，如图（3），

此时△A’EF 与五边形OEFBC 重叠部分面积为△A’EF 面积. ∠DEF=∠EFA=45°， DE ∥AB ，又DB ∥EA ∴四边形DEAB 是平行四边形 ∴AE=DB=2 ∴EF AE 2

S S AEF EF A'?=

=?? 1)2(2

S 2EF A /=?=

? ③当AF=AE 时，如图（4），四边形AEA’F 为菱形且△A’EF 在五边形OEFBC 内. ∴此时△A’EF 与五边形OEFBC 重叠部分面积为△A’EF 面积.

由（2）知△ODE ∽△AEF,则OD=OE=3 ∴AE=AF=OA-OE=324- 过F 作FH ⊥AE 于H,则

()

342232445sin -=?

-=??=AF FH

中考数学专题训练---圆的综合的综合题分类含答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E．（1）求证：AC∥OD；（2）如果DE⊥BC，求AC的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）2π．【解析】试题分析：（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；（2）BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度．试题解析：（1）证明：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵CD平分∠ACO， ∴∠OCD=∠ACD，∴∠ACD=∠ODC，∴AC∥OD；（2）∵BC切⊙O于点C，∴BC⊥OC．∵DE⊥BC，∴OC∥DE．∵AC∥OD，∴四边形ADOC 是平行四边形．∵OC=OD，∴平行四边形ADOC是菱形，∴OC=AC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴弧AC的长度=606 180 π? =2π．点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 2．不用圆规、三角板，只用没有刻度的直尺，用连线的方法在图1、2中分别过圆外一点A作出直径BC所在射线的垂线．

【答案】画图见解析. 【解析】【分析】根据直角所对的圆周角是直角，构造直角三角形，利用直角三角形性质可画出垂线；或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线. 【详解】解：画图如下：【点睛】本题考核知识点：作垂线.解题关键点：结合圆的性质和直角三角形性质求出垂线. 3．已知：如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD的长为半径的⊙O与AD，BD分别交于点E、点F，且∠ABE=∠DBC．（1）判断直线BE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若sin∠ABE= 3 3 ，CD=2，求⊙O的半径．【答案】（1）直线BE与⊙O相切，证明见解析；（2）⊙O的半径为3 ．【解析】分析：（1）连接OE，根据矩形的性质，可证∠BEO=90°，即可得出直线BE与⊙O相切；（2）连接EF，先根据已知条件得出BD的值，再在△BEO中，利用勾股定理推知BE的长，设出⊙O的半径为r，利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值．详解：（1）直线BE与⊙O相切．理由如下：连接OE，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC． ∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE．又∵∠ABE=∠DBC，∴∠ABE=∠OED， ∵矩形ABDC，∠A=90°，∴∠ABE+∠AEB=90°， ∴∠OED+∠AEB=90°，∴∠BEO=90°，∴直线BE与⊙O相切；

2020年中考数学专题复习1新情境应用问题

中考数学专题复习1:新情境应用问题 Ⅰ、综合问题精讲：以现实生活问题为背景的应用问题，是中考的热点，这类问题取材新颖，立意巧妙，有利于对考生应用能力、阅读理解能力。问题转化能力的考查，让考生在变化的情境中解题，既没有现成的模式可套用，也不可能靠知识的简单重复来实现，更多的是需要思考和分析，新情境应用问题有以下特点：（1）提供的背景材料新，提出的问题新；（2）注重考查阅读理解能力，许多中考试题中涉及的数学知识并不难，但是读懂和理解背景材料成了一道“关”；（3）注重考查问题的转化能力．解应用题的难点是能否将实际问题转化为数学问题，这也是应用能力的核心. Ⅱ、典型例题剖析【例1】（2005，宜宾）如图（8），在某海滨城市O 附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P处，并以20千米/ 时的速度向西偏北25°的PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/ 时速度不断扩张． (1)当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域

半径增大到千米；又台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到千米. (2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由(参考数据2 1.41 ≈，≈)． 3 1.73 解：(1)100；（2）(6010)t +； ⑶作OH PQ OH=（千米），设经⊥于点H，可算得1002141 过t小时时，台风中心从P移动到H，则 t=（小时），此时，受 ==52 PH t 201002 台风侵袭地区的圆的半径为：601052130.5 +? （千米）＜141（千米） ∴城市O不会受到侵袭。点拨：对于此类问题常常要构造直角三角形．利用三角函数知识来解决，也可借助于方程．【例2】如图2－1－5所示，人民海关缉私巡逻艇在东

中考数学综合专题训练【几何综合题】(几何)精品解析

中考数学综合专题训练【几何综合题】（几何）精品解析在中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形，将新题目与已有经验建立联系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方法，将题目归类整理；对于典型的题目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解。同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。一.考试说明要求图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。二.基本图形及辅助线解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。举例： 1、与相似及圆有关的基本图形

2020年最新中考数学基础冲刺训练(二)(含答案)

2020年数学中考基础冲刺训练（二）一．选择题（每题3分，满分36分） 1．下列各数中，相反数是的是（） A．﹣B．C．﹣2 D．2 2．港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，全长约55000米，把55000用科学记数法表示为（） A．55×103B．5.5×104C．5.5×105D．0.55×105 3．下列计算正确的是（） A．B．a+2a＝3a C．（2a）3＝2a3D．a6÷a3＝a2 4．下列各组线段中，能组成三角形的是（） A．2，4，6 B．2，3，6 C．2，5，6 D．2，2，6 5．如图，下列四种标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（）A．中国移动B．中国联通 C．中国网通D．中国电信 6．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（） A． B． C． D．

7．圆柱是由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周所得到的，那么下列四个选项绕直线旋转一周可以得到如图立体图形的是（） A．B．C．D． 8．下列说法正确的是（） A．概率很小的事件不可能发生 B．随机事件发生的概率为1 C．不可能事件发生的概率为0 D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次 9．设的小数部分为b，那么（4+b）b的值是（） A．1 B．是一个有理数 C．3 D．无法确定 10．如图，折线ABCDE描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的说法是（） A．汽车共行驶了120千米 B．汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为40千米/时 C．汽车在整个行驶过程中的平均速度为40千米/时 D．汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少 11．在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D，C两点到门槛AB的距离是1尺，两扇门的间隙CD为2寸，则门宽AB长是（）

中考数学综合专题训练【以圆为基础的几何综合题】精品专题解析

中考数学综合专题训练【以圆为基础的几何综合题】精品专题解析几何综合题一般以圆为基础，涉及相似三角形等有关知识；这类题虽较难，但有梯度，一般题目中由浅入深有1～3个问题，解答这种题一般用分析综合法．【典型例题精析】例1．如图，已知⊙O的两条弦AC、BD相交于点Q，OA⊥BD．（1）求证：AB2=AQ·AC：（2）若过点C作⊙O的切线交DB的延长线于点P，求证：PC=PQ． P 分析：要证A B2=AQ·AC，一般都证明△ABQ∽△ACB．∵有一个公共角∠QAB=∠BAC，?∴只需再证明一个角相等即可．可选定两个圆周角∠ABQ=∠ACB加以证明，以便转化，题目中有垂直于弦的直径，可知AB=AD，AD和AB所对的圆周角相等．（2）欲证PC=PQ， ∵是具有公共端点的两条线段， ∴可证∠PQC=∠PCQ（等角对等边）将两角转化，一般原地踏步是不可能证明出来的，没有那么轻松愉快的题目给你做，因为数学是思维的体操． ∠BQC=∠AQD=90°-∠1（充分利用直角三角形中互余关系） ∵∠PCA是弦切角，易发现应延长AO与⊙交于E，再连结EC，?利用弦切角定理得∠PCA=∠E，同时也得到直径上的圆周角∠ACE=90°， ∴∠PCA=∠E=90°-∠1．做几何证明题大家要有信心，拓展思维，不断转化，寻根问底，不断探索，?充分发挥题目中条件的总体作用，总能得到你想要的结论，同时也要做好一部分典型题，?这样有利于做题时发生迁移，联想．例2．如图，⊙O1与⊙O2外切于点C，连心线O1O2所在的直线分别交⊙O1，⊙O2于A、E，?过点A作⊙O2的切线AD交⊙O1于B，切点为D，过点E作⊙O2的切线与AD交于F，连结BC、CD、?DE．（1）如果AD：AC=2：1，求AC：CE的值；（2）在（1）的条件下，求sinA和tan∠DCE的值；（3）当AC：CE为何值时，△DEF为正三角形？

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纳雍县马摆小学2016-2017 学年度八年级（下）期末考试数学答题卡考号：姓名 ___________________ 班级 ___________________ 填正确填涂贴条形码处涂样例错误填涂注1、答题前考生务必将答题卡上的姓名、班级用黑色字迹的签字笔填写。意2、选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用黑色字迹的签字笔书写。事3、严格按照题号在相应区域内作答，超出答题区域书写无效。项4、要求书写工整，保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要破损。选择题（共 30 分） 1 A B C D 6 A B C D 2 A B C D 7 A B C D 3 A B C D 8 A B C D 4 A B C D 9 A B C D 5 A B C D 10 A B C D 二、填空题（共30 分） 11________________12 _______________ 13 _______________14 ________________ 15 _______________16 ________________ 17_______________18 ________________ 19_______________20 ________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定内区域的答案无效

请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定内区域的答案无效三、解答题（60 分） 21.（ 8 分）（ 1）（ 2） 22.（ 5 分） 23.（ 6 分）（1）（2）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定内区域的答案无效

中考数学冲刺练习专项试卷22篇汇总

中考数学冲刺练习专项试卷22篇汇总 2019中考数学冲刺复习专题试卷22篇汇总本专题是通过对2019年-2019年的中考试卷进行了仔细的研究，对相关重点题型汇总整理，为中考考生提供了一系列的复习专题训练。 2019中考数学冲刺复习专题试卷：解直角三角形 2019中考数学冲刺复习专题试卷：圆 2019中考数学冲刺复习专题试卷：多边形与平行四边形 2019中考数学冲刺复习专题试卷：梯形 2019中考数学冲刺复习专题试卷：特殊的四边形 2019中考数学冲刺复习专题试卷：等腰三角形与直角三角形 2019中考数学冲刺复习专题试卷：三角形 2019中考数学冲刺复习专题试卷：角相交线与平行线 2019中考数学冲刺复习专题试卷：一元一次不等式(组) 2019中考数学冲刺复习专题试卷：方程组 2019中考数学冲刺复习专题试卷：分式方程 2019中考数学冲刺复习专题试卷：整式方程 2019中考数学冲刺复习专题试卷：二次根式 2019中考数学冲刺复习专题试卷：分式 2019中考数学冲刺复习专题试卷：整式 2019中考数学冲刺复习专题试卷：代数式 2019中考数学冲刺复习专题试卷：实数 2019中考数学冲刺复习专题试卷：视图与投影 2019中考数学冲刺复习专题试卷：图形的相似 2019中考数学冲刺复习专题试卷：图形的轴对称平移与旋转 2019中考数学冲刺复习专题试卷：函数及其图象课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底〝记死〞的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一那么名言警句即可。可以写在后黑板的〝积累专栏〞上每日一

中考数学总复习教学案 3.5 函数的综合运用

3-6 函数的综合运用知识考点：会综合运用函数、方程、几何等知识解决与函数有关的综合题以及函数应用问题。精典例题：【例1】如图，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图像交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于D 点，OB ＝10，tan ∠DOB ＝ 3 1 。（1）求反比例函数的解析式；（2）设点A 的横坐标为m ，△ABO 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式；并写出自变量m 的取值范围。（3）当△OCD 的面积等于2 S 时，试判断过A 、B 两点的抛物线在x 轴上截得的线段长能否等于3？如果能，求出此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由。解析：（1）x y 3 = （2）A （m ，m 3），直线AB ：m m x m y -+=31 D （3-m ，0） )31(321m m S S S ADO BDO +?-=+=?? 易得：30<

中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案

中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（）（A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 41，那么这个圆柱的侧面积是（）（A ）100π平方厘米（B ）200π平方厘米（C ）500π平方厘米（D ）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为（）（A ）2 25寸（B ）13寸（C ）25寸（D ）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（）（A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘米，那么此圆锥的底面半径的长等于（）（A ）2厘米（B ）22厘米（C ）4厘米（D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘米和17厘米，则这两圆的圆心距为（）（A ）7厘米（B ）16厘米（C ）21厘米（D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（）

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最新课件 1、答题前考生务必将答题卡上的学校、年级、班级、姓名用黑色字迹的签字笔填写，并正确填涂右侧考号。 2、选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须用黑色字迹的签字笔书写。 3、严格按照题号在相应区域内作答，超出答题区域书写无效、在草稿纸和试卷上答题无效。 4、要求书写工整，保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要破损。缺考考生，由监考员填写准考证，并用黑色字迹的书写笔填写右侧缺考标记：考生禁填 2012第一学期九年级期中考试数学答题卡姓名________________ 班级________________ 注意事项填涂样例正确填涂错误填涂第I 卷（共30分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定内区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定内区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定内区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定内区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定内区域的答案无效第II 卷（共90分） A B C D 1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 5 A B C D 6 A B C D 7 A B C D 8 A B C D 9 A B C D 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、填空题（共24分） 11_______________ 12_______________ 13______________ 14______________ 15________________ 16________ _____ 17______________ 18 ________________ 三、解答题（66分） 19. (本题满分10分)（1）解方程：0)2()2(2 =-+-x x x （2）计算：322 1 6 82+- 20. (本题满分8分) 已知：关于x 的方程2210x kx +-= ⑴求证：方程有两个不相等的实数根； ⑵若方程的一个根是－1，求另一个根及k 值． 21(本题满分6分)（1）（2） 22本题满分8分

中考数学专题训练--函数综合题

中考数学专题训练函数综合题专题 1. 如图，一次函数y kx b y 4 与反比例函数x 的图像交于 A 、B 两点，其中y 点A的横坐标为1，又一次函数y （1）求一次函数的解析式；（2）求点 B 的坐标. kx b 的图像与x 轴交于点C3,0 . A C O x B 2. 已知一次函数y=（1-2x）m+x+3 图像不经过第四象限，且函数值y 随自变量x 的减小而减小。（1）求m 的取值范围；（2）又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是 4.5 ，求这个一次函数的解析式。 y 2 1 -1 O -1 1 2 x 图 2 3. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，已知点 A 的坐标为（2，2），点B、C 在x 轴上，BC=8，AB=AC ，直线 y 1 / 22 D A

° AC 与 y 轴相交于点 D ．（ 1）求点 C 、D 的坐标；（ 2）求图象经过 B 、D 、 A 三点的二次函数解析式及它的顶点坐标． 4. 如图四，已知二次函数 y ax 2 2ax 3 的图像与 x 轴交于点 A ，点 B ，与 y 轴交于点 C ，其顶点为 D ，直线 DC 的函数关系式为 y kx b ，又 tan OBC 1． y （ 1）求二次函数的解析式和直线 DC 的函数关系式； D （ 2）求 △ ABC 的面积． C （图四） A O B x 5. 已知在直角坐标系中，点 A 的坐标是（ -3， 1），将线段 OA 绕着点 O 顺时针旋转 90 得到 OB. y 2 / 22 A

(1)求点B 的坐标；(2) 求过A、B、O 三点的抛物线的解析式；(3)设点B 关于抛物线的对称轴的对称点为C，求△ABC 的面积。 y 6．如图，双曲线0）、与y 轴交于点5 x 在第一象限的一支上有一点 B. C（1，5），过点C 的直线y kx b( k 0) 与x 轴交于点A（a， (1) 求点A 的横坐标 a 与k 之间的函数关系式； (2) 当该直线与双曲线在第一象限的另一交点 D 的横坐标是9 时，求△COD 的面积. y B C D O A x 第 6 题 3 / 22

(完整)初中数学答题卡模板

贴条形码区第Ⅰ卷选择题（30分）（请使用2B 铅笔填涂）第Ⅱ卷非选择题（90分）（请使用0.5mm 黑色字迹的签字笔书写）二、填空题（每小题3分，共12分） 13 14 15 16 三、解答题 (共72分) 17、（8分）（1）（2） 18（6分） 19（8分） 20（10分） 21（10分）考号注意事项 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内 2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。填涂样例恩施市双河中学考试答题卡九年级数学请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效缺考标记：考生禁填！由监考负责人用黑色字迹的签字笔填涂。请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效正确填涂错误填涂学校姓名

23. （10分）24. （10分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效

中考初三数学冲刺拔高专题训练(含答案)

中考数学冲刺拔高专题训练目录专题提升(一) 数形结合与实数的运算 (1) 专题提升(二) 代数式的化简与求值 (5) 专题提升(三) 数式规律型问题 (9) 专题提升(四) 整式方程(组)的应用 (14) 专题提升(五) 一次函数的图象与性质的应用错误！未定义书签。专题提升(六) 一次函数与反比例函数的综合 (29) 专题提升(七) 二次函数的图象和性质的综合运用 (37) 专题提升(八) 二次函数在实际生活中的应用 (43) 专题提升(九) 以全等为背景的计算与证明 (49) 专题提升(十) 以等腰或直角三角形为背景的计算与证明 (53) 专题提升(十一) 以平行四边形为背景的计算与证明 (61) 专题提升(十二) 与圆的切线有关的计算与证明 (69) 专题提升(十三) 以圆为背景的相似三角形的计算与 (74) 专题提升(十四) 利用解直角三角形测量物体高度或宽度 (81) 专题提升(十五) 巧用旋转进行证明与计算 (87) 专题提升(十六) 统计与概率的综合运用 (93)

专题提升(一)数形结合与实数的运算类型之一数轴与实数【经典母题】如图Z1－1，通过画边长为1的正方形的边长，就能准确地把2和－2表示在数轴上．图Z1－1 【思想方法】(1)在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们说实数和数轴上的点一一对应； (2)数形结合是重要的数学思想，利用它可以比较直观地解决问题．利用数轴进行实数的大小比较，求数轴上的点表示的实数，是中考的热点考题．【中考变形】 1．[2017·北市区一模]如图Z1－2，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是－1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是(C) 图Z1－2 A.5＋1 B. 5 C.5－1 D．1－ 5 【解析】∵AD长为2，CD长为1，∴AC＝22＋12＝5，∵A点表示－1，∴E 点表示的数为5－1. 2．[2016·娄底]已知点M，N，P，Q在数轴上的位置如图Z1－3，则其中对应的数的绝对值最大的点是(D) 图Z1－3 A．M B．N C．P D．Q 3．[2016·天津]实数a，b在数轴上的对应点的位置如图Z1－4所示，把－a，－b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是(C) 图Z1－4 A．－a＜0＜－b B．0＜－a＜－b

中考数学综合题专题复习【相似】专题解析

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣ x﹣1交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得解得 ∴抛物线解析式为：y= x2?x?1 ∴抛物线对称轴为直线x=- ＝1 （2）解：存在使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小 ∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P 点．设过点C′、O直线解析式为：y=kx

∴k=- ∴y=- x 则P点坐标为（1，- ）（3）解：当△AOC∽△MNC时，如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E ∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90° ∴∠CDN=∠CAO 由相似，∠CAO=∠CMN ∴∠CDN=∠CMN ∵MN⊥AC ∴M、D关于AN对称，则N为DM中点设点N坐标为（a，- a-1）由△EDN∽△OAC ∴ED=2a ∴点D坐标为（0，- a?1） ∵N为DM中点 ∴点M坐标为（2a，a?1）把M代入y= x2?x?1，解得 a=4 则N点坐标为（4，-3）当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM ∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N

初中数学答题卡模板(填图卡)

1、答题前考生务必将答题卡上的学校、年级、班级、姓名用黑色字迹的签字笔填写，并正确填涂右侧考号。 2、选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须用黑色字迹的签字笔书写。 3、严格按照题号在相应区域内作答，超出答题区域书写无效、在草稿纸和试卷上答题无效。 4、要求书写工整，保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要破损。缺考考生，由监考员填写准考证，并用黑色字迹的书写笔填写右侧缺考标记：考生禁填 2012第一学期九年级期中考试数学答题卡姓名________________ 班级________________ 注意事项填涂样例正确填涂错误填涂第I 卷（共30分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定内区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定内区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定内区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定内区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定内区域的答案无效第II 卷（共90分） A B C D 1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 5 A B C D 6 A B C D 7 A B C D 8 A B C D 9 A B C D 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、填空题（共24分） 11_______________ 12_______________ 13______________ 14______________ 15________________ 16________ _____ 17______________ 18 ________________ 三、解答题（66分） 19. (本题满分10分)（1）解方程：0)2()2(2 =-+-x x x （2）计算：322 1 6 82+- 20. (本题满分8分) 已知：关于x 的方程2210x kx +-= ⑴求证：方程有两个不相等的实数根； ⑵若方程的一个根是－1，求另一个根及k 值． 21(本题满分6分)（1）（2） 22本题满分8分

初中中考数学冲刺总复习

1 初中中考数学冲刺总复习专题训练目录专题提升(一) 数形结合与实数的运算 (1) 专题提升(二) 代数式的化简与求值 (8) 专题提升(三) 数式规律型问题 (12) 专题提升(四) 整式方程(组)的应用 (21) 专题提升(五) 一次函数的图象与性质的应用 (30) 专题提升(六) 一次函数与反比例函数的综合 (40) 专题提升(七) 二次函数的图象和性质的综合运用 (53) 专题提升(八) 二次函数在实际生活中的应用 (62) 专题提升(九) 以全等为背景的计算与证明 (68) 专题提升(十) 以等腰或直角三角形为背景的计算与证明 (76) 专题提升(十一) 以平行四边形为背景的计算与证明 (87) 专题提升(十二) 与圆的切线有关的计算与证明 (97) 专题提升(十三) 以圆为背景的相似三角形的计算与 (107) 专题提升(十四) 利用解直角三角形测量物体高度或宽度 (121) 专题提升(十五) 巧用旋转进行证明与计算 (130) 专题提升(十六) 统计与概率的综合运用 (139)

中考数学易错题综合专题一附答案详解

易错题数学组卷一．选择题（共3小题） 1．下列各式计算正确的是（） A．2x3﹣x3=﹣2x6B．（2x2）4=8x8C．x2?x3=x6D．（﹣x）6÷（﹣x）2=x4 2．（2008?临沂）若不等式组的解集为x＜0，则a的取值范围为（）A．a＞0 B．a=0 C．a＞4 D．a=4 3．（2008?临沂）如图，已知正三角形ABC的边长为1，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且A E=BF=CG，设△E FG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数的图象大致是（） A．B．C．D．二．解答题（共4小题） 4．（2012?鸡西）顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个9×9的正方形网格中有一个格点△ABC．设网格中小正方形的边长为1个单位长度．（1）在网格中画出△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1；（2）在网格中画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2；（3）在（1）中△ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域的面积． 5．如图，在△ABC中∠BAC=90°，AB=AC=2，圆A的半径1，点O在BC边上运动（与点B，C不重合），设BO=x，△AOC的面积是y．

（1）求y关于x的函数关系式及自变量的取值范围；（2）以点O为圆心，BO为半径作圆O，求当⊙O与⊙A相切时，△AOC的面积． 6．（2009?黄石）正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中，A在x轴正半轴上，D在y轴的负半轴上，AB交y轴正半轴于E，BC交x轴负半轴于F，OE=1，OD=4，抛物线y=ax2+bx ﹣4过A、D、F三点．（1）求抛物线的解析式；（2）Q是抛物线上D、F间的一点，过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M，交BC所在直线于N，若S四边形AFQM=S△FQN，则判断四边形AFQM的形状；（3）在射线DB上是否存在动点P，在射线CB上是否存在动点H，使得AP⊥PH且AP=PH？若存在，请给予严格证明；若不存在，请说明理由． 7．（2007?重庆）下图是我市去年夏季连续60天日最高气温统计图的一部分．根据上图提供的信息，回答下列问题：（1）若日最高气温为40℃及其以上的天数是最高气温为30℃～35℃的天数日的两倍，那么日最高气温为30℃～35℃的天数有_________天，日最高气温为40℃及其以上的天数有_________天；

中考数学冲刺复习技巧综合训练心理和智力

中考数学冲刺复习技巧综合训练心理和智力距离中考只剩下最后一个月了，怎样调整好自己的温习形状和心态作最后的冲刺？这是广阔教员、初三先生和家长关心的效果。我们知道数学中考温习有三个阶段，第一阶段是温习基础知识，掌握基本技艺和基本方法，树立知识网络，做到透彻了解，结实掌握；第二阶段是专题温习阶段，在温习中归结、总结罕见的解题方法和规律，体会数学思想方法，把〝三基〞推向高潮，在整个温习中起〝画龙点晴〞的作用，做到举一反三，熟练运用，到达开拓思绪，开展思想，提高剖析效果和处置效果的才干。表如今能灵敏运用一些重要的数学思想方法如数形结合、分类讨论、函数思想、方程思想、运动变换思想、化归思想、建模思想等来处置代数、几何的综分解绩；掌握以二次函数和一元二次方程为基本框架，以三角形、四边形和圆为基本图形的综合题的解题规律。有目的地培育将较综合的标题分解为较复杂的几个小标题的才干，做到小题大作、数形结合、化动为静、各个击破。如今我们进入了中考温习的第三阶段，这一阶段是心思和智力的综合训练阶段，是整个中考温习的升华阶段，是不可缺少的最后一环。掌握应试技巧 1、审题和解题的关系：克制对审题注重不够，匆匆一看急

于下笔的不严谨的做法，要吃透标题的条件与要求，更要开掘标题中隐含条件，到达启示解题思绪。只要耐烦细心肠审题，准确地掌握标题中的和量〔如〝至少〞〝a＞0〞，自变量的取值范围等等〕才干从中获取尽能够多的信息，才干迅速找准解题方向。 2．〝会做〞与〝得分〞的关系：要将你的解题思绪转化为得分点，主要靠准确、完整的推理和准确、严密的计算，要克制卷面上少量出现的〝会而不对〞〝对而不全〞的状况。只要注重解题进程的严密推理和准确计算〝会做〞的题才干〝得分〞。 3．快与准的关系：在目前题量大，时间紧的状况下，〝准〞字那么尤为重要。只要〝准〞才干得分，只要〝准〞才可不用思索再花时间反省，而〝快〞是往常训练的结果，不是考场上所能处置的效果，一味求快，只会落得错误百出。适外地慢一点，准一点，可多得一点分；相反，快一点，错一片，花了时间还得不到分。 4．难题与容易题的关系：做中考试题要按先易后难，先简后繁的顺序作答，要合理布置时间，不要在某个卡住的题上打〝耐久战〞，这样会形成既消耗时间又拿不到分，会做的标题又被耽误了的严重结果。把会做的标题先做完，再去攻不会做的题，这样既能得分，又能发生心思上的成成效果，安静上去再做难题也能够就迎刃而解了。

中考数学综合题专题复习【圆】专题解析

中考数学综合题专题复习【圆】专题解析一．教学内容: １．圆的内容包括:圆的有关概念和基本性质,直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆。 2. 主要定理: (1)垂径定理及其推论。 (２）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。 (3)圆周角定理、弦切角定理及其推论。（4)圆内接四边形的性质定理及其推论。（5）切线的性质及判定。（6)切线长定理。 (7)相交弦、切割线、割线定理。 (8)两圆连心线的性质，两圆的公切线性质。 (9）圆周长、弧长；圆、扇形，弓形面积。（10）圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。 (11)正n边形的有关计算。二. 中考聚焦: 圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表：圆的知识在中考中所占的比例大,题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题,中考的压轴题都综合了圆的知识。三. 知识框图：圆圆的有关性质直线和圆的位置关系圆和圆的位置关系正多边形和圆 ? ? ? ? ? ? ?

圆的有关性质圆的定义点和圆的位置关系（这是重点）不在同一直线上的三点确定一个圆圆的有关性质轴对称性—垂径定理（这是重点）旋转不变性圆心角、弧、弦、弦心距间的关系圆心角定理圆周角定理（这是重点）圆内接四边形（这是重点） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 直线和圆的位置关系相离相交相切切线的性质（这是重点）切线的判定（这是重点）弦切角（这是重点）和圆有关的比例线段（这是重点难点） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圆和圆的位置关系外离内含相交相切内切（这是重点）外切（这是重点）两圆的公切线 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 正多边形和圆正多边形和圆正多边形定义正多边形和圆正多边形的判定及性质正多边形的有关计算（这是重点）圆的有关计算圆周长、弧长（这是重点）圆、扇形、弓形面积（这是重点）圆柱、圆锥侧面展开图（这是重点） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【典型例题】【例1】. 爆破时,导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点１２０m以外的安全区域。这个导火索的长度为１8cm,那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全? 分析:爆破时的安全区域是以爆破点为圆心,以1２０m为半径的圆的外部，如图所示:

中考数学压轴题专题旋转的经典综合题及答案

一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．平面上，Rt △ABC 与直径为CE 的半圆O 如图1摆放，∠B ＝90°，AC ＝2CE ＝m ，BC ＝n ，半圆O 交BC 边于点D ，将半圆O 绕点C 按逆时针方向旋转，点D 随半圆O 旋转且∠ECD 始终等于∠ACB ，旋转角记为α（0°≤α≤180°）（1）当α＝0°时，连接DE ，则∠CDE ＝ °，CD ＝；（2）试判断：旋转过程中 BD AE 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）若m ＝10，n ＝8，当α＝∠ACB 时，求线段BD 的长；（4）若m ＝6，n ＝2，当半圆O 旋转至与△ABC 的边相切时，直接写出线段BD 的长．【答案】（1）90°，2n ；（2）无变化；（3125；（4）BD=102114．【解析】试题分析：（1）①根据直径的性质，由DE ∥AB 得CD CE CB CA =即可解决问题．②求出BD 、AE 即可解决问题．（2）只要证明△ACE ∽△BCD 即可．（3）求出AB 、AE ，利用△ACE ∽△BCD 即可解决问题．（4）分类讨论：①如图5中，当α=90°时，半圆与AC 相切，②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，分别求出BD 即可．试题解析：（1）解：①如图1中，当α=0时，连接DE ，则∠CDE =90°．∵∠CDE =∠B =90°，∴DE ∥AB ，∴CE CD AC CB ==12．∵BC =n ，∴CD =1 2 n ．故答案为90°， 1 2 n ． ②如图2中，当α=180°时，BD =BC +CD = 32n ，AE =AC +CE =32m ，∴BD AE =n m ．故答案为n m ．（2）如图3中，∵∠ACB =∠DCE ，∴∠ACE =∠BCD ．∵ CD BC n CE AC m ==，