高三寒假作业

高三数学寒假作业1

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1. 已知: (){},0A x y x y =

+=,(){},2B x y x y =-=,则A B ?=_________.

2.设复数z 满足()(1)1z i i i ++=-,(i 是虚数单位),则复数的模z = . 3. (){}(){},6,0,0,,4,0,20U x y x y x y A x y x y x y =

+<>>=<>->已知

若向区域U 上随机投掷一点P ,则点P 落入区域A 的概率为 4.已知数列{}n a 对于任意*.N q p ∈有p q p q a a a ++=,若12

5

a =,则100a = . 5.函数2

3cos 3sin sin()2

y x x x π

=-+

的最小正周期T = . 6.已知函数()35x f x x =+-的零点[]0,x a b ∈,且1b a -=,a ,b N *

∈,则a b += . 7.根据如图所示的程序语句,可知输出的结果T 为 .

8.已知函数()ln 2(1)(0)f x x xf x '=+>,其中()f x '是()f x 的

导函数,则在点P (1,(1))f 处的切线方程为 。 9.已知关于x 的一元二次不等式022

>++b x ax 的解集

为}1|{a x x -≠,则227

a b a b

++-(其中b a >)的最小值

为 .

10. 已知正四棱锥S ABCD -中,1SA =,则该棱锥体积的最大值为 .

11.ABC ?外接圆的半径为1,圆心为O ,且

20OA AB AC ++=,||||AB OA =,则CA CB ?= .

12.已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>,两焦点为21,F F ,过2F 作x 轴的垂线交双曲线于

B A ,两点,且1ABF ?内切圆的半径为a ,则此双曲线的离心率为________

13. 等腰ABC ?的周长为23,则ABC ?腰AB 上的中线CD 的长的最小值 . 14. 已知数列{}n a 的通项公式为1

,n a n

=若*2,,(N ,2)n n n k a a a k k ++∈>成等差数列,则k 的取值集合是_________________ . 二.解答题

15.设ABC ?的内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、,且1cos 2

b C a

c =-. (Ⅰ)求角B 的大小;(Ⅱ)若1b =,求ABC ?的周长l 的取值范围.

第7题图

T =0 I =2

While I <500 T =T +I I =I+2 Wend Print T

高三寒假作业

A

16.如图,四边形ABCD 为矩形,AD ⊥平面

ABE,2,AE EB BC === F 为CE 上的点,且BF ⊥平面

A C E ,.BD

AC G =

(1)求证:AE ⊥平面BCE ;(2)求证://AE 平面BFD ; (3)求四面体BCDF 的体积

17. 已知某公司生产品牌服装的年固定成本是10万元,每生产千件,须另投入2.7万元,设该公司年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为R (x )万元,

且2

210.8(010)30()1081000(10)3x x R x x x

x ?-<≤??=??->?? (Ⅰ)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式;(Ⅱ)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大?

(注:年利润=年销售收入-年总成本)

18. 设函数()()2

ln 1f x x b x =++.

(Ⅰ)若 1x =时,函数()f x 取最小值,求实数b 的值;

(Ⅱ)若函数()f x 在定义域上是单调函数,求实数b 的取值范围; (Ⅲ)若1b =-,证明对任意正整数n ,不等式3

331

1......31211)1(n <k f n

k ++++∑=都成立

高三数学寒假作业2

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.

1.为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺,要从编号依次为01到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验,现将50袋奶粉按编号顺序平均分成5组,用每组选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号,若第4组抽出的号码为36,则第1组中用抽签的方法确定的号码是 .

2.若复数1z mi =-(i 为虚数单位,m ∈R ),若2

2z i =-,则复数的虚部为 .

若函数())(0)f x x =ω+?ω>的图象的相邻两条对称轴的距离是π,则ω的值

为 .

高三寒假作业

3.若双曲线焦点为

,0),渐近线方程为2

x

y =±,则此双曲线的标准方程为 .

高三寒假作业

4.已知向量a → = (sin 55°,sin 35°),b → = (sin 25°,sin 65°),则向量 a → 与 b →

的夹角为 . 5已知a ,b ,c 是锐角△ABC 中∠A ,∠B ,∠C 的对边,若a = 3,b = 4,△ABC 的面积为33,则c = .

6.作为对数运算法则:lg()lg lg (0,0)a b a b a b +=+>>是不正确的.但对一些特殊值是成立的,例如:lg(22)lg 2lg 2+=+. 则对于所有使lg()lg lg a b a b +=+(0a >,

0b >)成立的,a b 应满足函数()a f b =表达式为 .

7.两游客坐火车旅游,希望座位连在一起,且有一个靠窗,已知火车上的座位的排法如图,则下列座位号码中符合要求的有 .

①48,49 ②54,55 ③62,63 ④75,76 ⑤84,85 ⑥96,97

高三寒假作业

8已知关于x 的不等式 x + 1

x + a < 2的解集为P ,若1?P ,则实数a 的取值范围为 . 9.已知集合(){}2

2,|2009x y x

y Ω=

+≤,若点),(y x P 、点

),(y x P '''满足x x '≤且y y '≥,则称点P 优于P '. 如果集合Ω中的点Q 满足:不存在Ω

中的其它点优于Q ,则所有这样的点Q 构成的集合为 .

10.若实数x 、y 满足1

1

4422x

y

x y +++=+,则22x y

S =+的取值范围是 . 11.已知集合P ={ x | x = 2n ,n ∈N },Q ={ x | x = 2n ,n ∈N },将集合P ∪Q 中的所有元素从小

到大依次排列,构成一个数列{a n },则数列{a n }的前20项之和S 20 = . 12.已知抛物线()y g x =经过点(0,0)O 、(,0)A m 与点(1,1)P m m ++,其中0>>n m ,

a b <,设函数)()()(x g n x x f -=在a x =和b x =处取到极值,则n m b a ,,,的大小

关系为 .

二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答应写出必要的文字说明步骤. 15.(本小题共14分)已知在等边三角形ABC 中,点P 为线段AB 上一点,且

(01)AP AB =≤≤λλ.

(Ⅰ)若等边三角形边长为6,且1

3

=

λ

高三寒假作业

; (Ⅱ)若CP AB PA PB ?≥?,求实数λ的取值范围.

16.(本小题共14分)

如图所示,在直三棱柱111C B A ABC -中,1AB BB =,

1AC ⊥平面D BD A ,1为AC 的中点. (Ⅰ)求证://1C B 平面BD A 1; (Ⅱ)求证:⊥11C B 平面11A ABB ;

(Ⅲ)设E 是1CC 上一点,试确定E 的位置使平面 ⊥BD A 1平面BDE ,并说明理由.

17.(本小题共14分)椭圆C :122

22=+b

y a x )0(>>b a 的一个焦点)0,2(1-F ,D 为椭圆

上一点且 DF 1的中点在y 轴上,D 点的纵坐标为3.

(Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)若M 为直线8=x 上一点,A 为椭圆C 的左顶点,连结AM 交椭圆于点P ,求AP

PM

的取值范围;

(Ⅲ)设圆Q :2

2

()1(4)x t y t -+=>与椭圆C 有且只有一个公共点,过椭圆C 上一点B 作圆Q 的切线BS 、BT ,切点为,S T ,求BS BT ?的最大值.

18.(本小题共16分)已知函数2

1()ln (4)2

f x x x a x =++-在(1,)+∞上是增函数.(Ⅰ)求实数a 的取值范围;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设2

()||,[0,ln 3]2

x

a g x e a x =-+∈,求函数)(x g 的最小值.

19(本小题共16分)已知数列{}n a ,{}n b 满足12a =,121n n n a a a +=+,1n n b a =-数列

{}n b 的前n 项和为n S ,2n n n

T S S =-. (Ⅰ)求证:数列1n b ??

????为等差数列,并求通项n b ; (Ⅱ)求证:1n n T T +>; (Ⅲ)求证:当2n ≥时,2711

12

n n S +≥.

A 1

B 1

C 1

A

B C

D

高三数学寒假作业3

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.

1. 集合{}0,2A =,{}

2

1,B a =,若{}0,1,2,4A B ?=,则实数a 的值为 .

2已知角α的终边经过点,且3

tan 5

α=-

,则x 的值为 . 3经过点()2,1-,且与直线50x y +-=垂直的直线方程是

.4.若复数12,1z a i z i =-=+(i 为虚数单位),且12z z ? 为纯虚数,则实数a 的值为 .

5.已知实数x y 、满足约束条件0

02x y x y ≥??

≥??+≤?

则24z x y =+6.设等差数列{}n a 的公差0d ≠,14a d =,若k a 是1a 与2k a 的等比中项,则k 的值为 .

7.根据如图所示的算法流程,可知输出的结果i 为 . 8.设,,a b c 是单位向量,且a b c +=,则a c 的值为 .

9.若不等式23

22x x x ax ++-≥对()0,4x ∈恒成立,则实数a 的取值范围是 .

10.设M 是由满足下列性质的函数()f x 构成的集合:在定义域内存在0x ,使得

()()()0011f x f x f +=+成立.已知下列函数:①()1f x x

=

;②()2x

f x =;③()(

)2

l g 2f

x x =+;④()c os f x x π=,其中属于集合M 的函数是 (写出所有满

足要求的函数的序号).

二、解答题(本大题共6小题,共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 11. 已知()sin ,1a α=,()cos ,2b α=,0,

4πα??

∈ ???. (Ⅰ)若a ∥b ,求tan α的值;(Ⅱ)若a b 178=,求sin 24πα?

?+ ??

?的值.

高三寒假作业

12. 如图,在四棱锥E ABCD -中,四边形ABCD 为平行四边形,BE BC =,AE BE ⊥, M 为CE 上一点,且BM ⊥平面ACE . (Ⅰ)求证:AE BC ⊥;

(Ⅱ)如果点N 为线段AB 的中点,求证:MN ∥平面ADE .

13.已知椭圆C :()22

22

10x y a b a b

+=>>的离心率为12,12F F 、分别为椭圆C 的左、右焦点,若椭圆C 的焦距为2. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)设M 为椭圆上任意一点,以M 为圆心,1MF 为半径作圆M ,当圆M 与当圆M 与直线l 4x = 有公共点时,求△12MF F 面积的最大值.

15. 设函数()()2303x f x x x +=

>,数列{}n a 满足()*1111,,2n n a a f n N n a -??==∈≥ ???

且. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;

(Ⅱ)设()1

1223344511n n n n T a a a a a a a a a a -+=-+-+???+-,若2

n T t n

≥对*

n N ∈恒成立,

求实数t 的取值范围;

16. 已知函数()()3

2

3,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()

1,1f 处的切线方程为20y +=. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式;

(Ⅱ)若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤,求实数c 的最小值;

(Ⅲ)若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线,求实数m 的取值范围.

N

A

B

C

D

E

M

高三数学寒假作业4

一、填空题:本大题共12小题,每小题5分,共计60分.

1.已知i 是虚数单位, 复数4

11i z i i +=+-的共轭复数z 在复平面

高三寒假作业

内对应点落在第 象限.

2.

已知集合{|{|12}M x y N x x ===+≤,且M 、

高三寒假作业

都是全集I 的子集,则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为 ;

3.设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和,且20101-=a ,22008

20102008

2010=-S S ,则2a = ;

4.已知向量,m n 的夹角为

6

π,且||3m =,||2n =,在?ABC 中,,3AB m n AC m n =+=-,D 为BC 边的中点,则||AD = ;

5.设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>,的离心率为21=e ,右焦点为)0,(c F ,方程的两个实根

分别为1x 和2x ,则点),(21x x P 与圆O ;22

2=+y x 的位置关系是________.

6. 函数3()f x x ax =+在(1,2)处的切线方程为 .

7.设,αβ为互不重合的平面,,m n 是互不重合的直线,给出下列四个命题:

①//,,//m n n m αα?若则 ②,,//////m n m n ααββαβ??若,,则 ③//,,//m n m n αβαβ??若,则 ④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥?=?⊥⊥则; 其中正确命题的序号为 .

8.已知抛物线2

2(0)y px p =>与双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>有相同的焦点F ,点A

是两曲线的一个交点,且AF x ⊥轴,若l 为双曲线的一条斜率大于0的渐近线,则l 的斜

率的取值范围是 .

9.某学生在上学路上要经过3个路口,假设在各路口遇到红灯或绿灯是等可能的,遇到红灯时停留的时间都是2min .则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min 的概率为 .

10.如图,有一壁画,最高点A 处离地面4m,最低点B 处离地面

2.2m,若从离地高6.1m 的C 处观赏它,则当视角θ最大时,

C 处离开墙壁 m.

高三寒假作业

11.定义:关于x 的两个不等式()0

为()b a ,和??? ??a b 11,,则称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式022cos 342<+-θx x 与不等式012sin 422<++θx x 为对偶

不等式,且,2πθπ??∈ ???,则=θ . 12.已知函数bx ax x x f -+=

23

3

1)((R b a ∈,),若)(x f y =在区间[]2,1-上是单调减函数,则b a +的最小值为 . 二、解答题:

高三寒假作业

13.已知函数()2sin()(0,)2

2

f x x π

π

ω?ω?=+>-<<

的图

像如图所示,直线37,88

x x ππ

=

=

是其两条对称轴。

(Ⅰ)求函数()f x 的解析式并写出函数的单调增区间; (Ⅱ)若6

()5

f α=

,且388ππα<<,求()8f πα+的值。

高三寒假作业

14.如图,棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为菱形,平面AA 1C 1C ⊥平面ABC (Ⅰ)证明:BD ⊥AA 1;(Ⅱ)证明:平面AB 1C//平面DA 1C 1

(Ⅲ)在直线CC 1上是否存在点P ,使BP//平面DA 1C 1?若存在,

求出点P 的位置;若不存在,说明理由.

15.设定义在R 上的函数32()f x ax bx cx =++,当2x =-时,()f x 取得极大值3

高三寒假作业

高三寒假作业

,并且函数'()y f x =的图象关于y 轴对称. (Ⅰ)求()f x 的表达式;

(Ⅱ)若曲线C 对应的解析式为114

()()223

g x f x x =

++,

求曲线过点(2,4)P 的切线方程.

16.为赢得2010年上海世博会的制高点,某公司最近进行了世博特许产品的市场分析,调查显示,该产品每件成本9元,售价为30元,每天能卖出432件,该公司可以根据情况可变化价格x (3054x -≤≤)元出售产品;若降低价格,则销售量增加,且每天多卖出的产品件数与商品单价的降低值||x 的平方成正比,已知商品单价降低2元时,每天多卖出24件;若提高价格,则销售减少,减少的件数与提高价格x 成正比,每提价1元则每天少卖8件,且仅在提价销售时每件产品被世博管委会加收1元的管理费. (Ⅰ)试将每天的销售利润y 表示为价格变化值x 的函数; (Ⅱ)试问如何定价才能使产品销售利润最大?

17.已知椭圆()222210x y a b a b

+=>>和圆O :222

x y b +=,过椭圆上一点P 引圆O 的两

条切线,切点分别为,A B . (Ⅰ)(ⅰ)若圆O 过椭圆的两个焦点,求椭圆的离心率

e ; (ⅱ)若椭圆上存在点P ,使得90APB ∠=,求椭圆离心率e 的取值范围; (Ⅱ)设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ,N ,求证:222

2

a b ON

OM

+

为定值.

A

高三数学寒假作业1(参考答案)

一.填空题

1. (){}1,1- 2. 2 3. 2

9 4. .405. π 6. 3 7. 62250 8. 1

0x y ++= 9. 6 10 .

高三寒假作业

高三寒假作业

11. 3 12. 13. 1 14 . {}5,6,8,12.

二.解答题 15 解:(Ⅰ)方法一:在ABC ?中,有sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+ 由正弦定理得:cos cos a b C c B =+ 又1

cos ,2

b C a

c =- 1

c o s 02

c B c ∴?-

=,即1cos 2B =, 又B 为ABC ?的内角,3B π∴=

方法二:由1cos ,2b C a c =-得1

sin cos sin sin sin cos cos sin 2

B C A A B C B C +==+

即:11

sin cos sin ,sin 0,cos 22

C B C C B =≠∴=

3B

π∴=

(Ⅱ)由正弦定理得:sin sin ,sin sin b A

b C a A

c C

B B =

=== ]1sin )1sin sin()l a b c A C A A B ∴=++=++=+++12sin()6A π

高三寒假作业

高三寒假作业

=++

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高三寒假作业

25,0,,,33666B A A πππππ??

??=∴∈∴+∈ ? ???

?? 1s i n (),1

62A π??∴+∈ ??? 于是(]12sin()2,36

l A π

=++∈ 故ABC ?的周长l 的取值

围(]2,3

高三寒假作业

16. 证明:(Ⅰ)∵AD ⊥平面ABE ,//AD BC ,

∴BC ⊥平面ABE ,∴AE BC ⊥. 又 ∵BF ⊥平面ACE , ∴BF AE ⊥,

∵BC BF B =,∴AE BCE ⊥平面

(Ⅱ)连结 GF ,∵BF ⊥平面ACE , ∴BF CE ⊥

∵ BE BC =, ∴F 为EC 的中点;∵ 矩形ABCD 中, G 为AC 中点,∴ //GF AE . ∵ AE BFD GF BFD ??面,面, ∴//AE 平面BFD .

(Ⅲ)21111112222222323

F BCD E BCD E BAD D ABE V V V V ----=

===????= 17解:(Ⅰ)当1030

1.8)7.210()(,1003

--=+-=≤

x x xR W x 7.231000

98)7.210()(,10--=+-=>时

???

????>--≤<--=∴)10(7.23100098)100(10301.83x x x x x x W

(Ⅱ)①当9,010

1.8,1002

==-='≤又当时当时

当6.3810930

1

91.8,93max =-?-?==W x 时

②当x >10时

387.231000

298)7.231000(987.23100098=?-≤+-=--

=x x x x x x W 当且仅当38,9100

,7.231000===W x x x 时即时

由①②知,当x =9千件时,W 取最大值38.6万元.

18. 解:(Ⅰ)由101x x +>?>-,∴()f x 的定义域为(1,)-+∞,

因为对(1,)x ∈-+∞都有()(1)f x f ≥,∴(1)f 是函数()f x 的最小值,故有'(1)0f =

,02

2,12)(/=+∴++

=b

x b x x f 解得4b =-. 经检验,列表(略),合题意; (Ⅱ)∵,1

2212)(2/

+++=++

=x b x x x b x x f 又函数()f x 在定义域上是单调函数, ∴'()0f x ≥或'()0f x ≤在(1,)-+∞上恒成立.若'()0f x ≥,

2/

22()01

x x b

f x x ++=≥+∵ 10x +>,∴2220x x b ++≥ ≥0在(1,)-+∞ 上恒成立,

即 211

2()22

b x ≥-++恒成立,由此得12b ≥;

若'()0f x ≤, 即2/

22()01

x x b f x x ++=

≤+∵ 10x +>, ∴2

220x x b ++≤ 在(1,)-+∞ 上恒成立,即 2(22)b x x ≤-+恒成立, ;

因为2

(22)x x -+在(1,)-+∞上没有最小值,∴不存在实数b 使'()0f x ≤恒成立.

综上所述,实数b 的取值范围是??

????+∞,21

. (Ⅲ)当1b =- 时,函数2

()ln(1)f x x x =-+,令函数

323()()ln(1)h x f x x x x x =-=--+,∴当[)+∞∈,0x 时,'()0h x <,所以函数()h x 在[)+∞∈,0x 上是单调递减.又(0)0h =,∴当()+∞∈,0x 时,恒有()(0)0h x h <=,即x 2 –

ln(x+1) <x 3恒成立.故当()+∞∈,0x 时,有f(x) <x 3..∵()1,0,,k N k

+∈∴∈+∞取,1

k x =则有

311(),f k k < ∴3331

1

......31211)1(n <k f n k ++++∑=,故结论成立。

高三数学寒假作业2(参考答案)

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.

1. 06 2. 1- 3. 1 4. 2

214

x y -= 5. 30? 6. 13 7. .(1)1

b

a b b =

>- 8.②⑤⑥ 9. [1,0]- 10(){}22,|2009,00且x y x y x y +=≤≥ 11. 24S <≤ 12. 343 13 b n a m <<<

二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答应写出必要的文字说明步骤.

15、解:(Ⅰ)当13=λ时,1

3

AP AB =,

2222221

()262622282

CP CA AP CA CA AP AP =+=+?+=-???+=.

∴||27CP =

(Ⅱ)设等边三角形的边长为a ,则

221

()()2

CP AB CA AP AB CA AB AB a a ?=+?=+λ?=-+λ,

222

()()PA PB PA AB AP AB AB AB a a ?=?-=λ?-λ=-λ+λ即

2222212a a a a -+λ≥-λ+λ,∴21202λ-λ+≤

≤λ≤

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高三寒假作业

又00≤λ≤

,∴212

≤λ≤.

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16. 解:(Ⅰ)证明:连接1AB 与B A 1相交于M ,则M 为B A 1的中点,连结MD ,又D 为AC 的中点,∴1//B C MD ,又?C B 1平面BD A 1,

∴1//B C 平面BD A 1.…………4分

(Ⅱ)∵1AB B B =,?四边形11A ABB 为正方形, 又∵

1111111111

11111111111

AC A BD AC A B A B AB C A B B C ABB A AB A B B C AB C AC AB A ⊥?⊥?

?⊥?

??⊥?⊥??????=?平面平面正方形平面,

又在直棱柱111C B A ABC -中,1111A BB B C ⊥平面

111

1111111111

111

11111,AB B C A B C BB B C B C ABB A BB AB B BB BB AB ABB A ?

?

⊥??

?⊥?⊥???=?

???

⊥平面平面平面,…………8分

(Ⅲ)当点E 为C C 1的中点时,平面⊥BD A 1平面BDE ,

D 、

E 分别为AC 、C C 1的中点,∴1//DE AC ,1AC 平面BD A 1,

∴DE ⊥平面BD A 1,又?DE 平面BDE ,∴平面⊥BD A 1平面BDE .…………14分

A 1

B 1

C 1

B C

D

17、解:(Ⅰ)由题意得,2=c ,2

3b a

=得,216a =,212b =, ∴所求椭圆方程为

112

162

2=+y x .………………………………………………………4分 (Ⅱ)设P 点横坐标为0x ,则14

12

48000-+=+-=x x x AP PM ,

∵440≤<-x ,∴2

1

141248000≥-+=+-=x x x AP PM .

∴AP PM 的取值范围是??

????+∞,21 ………………………………………………………9分

(Ⅲ)由题意得,5t =,即圆心Q 为(5,0),

设BQ x =,则||||cos BS BT BS BT SBT ?=?∠

2||||(12sin )BS BT SBQ =?-∠221(1)[12()]x x =--222

3x x

=+-,

∵19BQ <≤,即19x <≤,∴2

181x <≤,

易得函数2

y x x

=+

上单调递减,在上单调递增,

高三寒假作业

高三寒假作业

∴2

81x =时,max 6320()81

BS BT ?=. …………………………………14分

19.解:(Ⅰ)1

()4f x x a x

'=++-,

∵()f x 在[1,)+∞上是增函数,∴()0f x '≥在[1,)+∞上恒成立.

∴14()a x x ≥-+恒成立,∵1

2x x +≥,当且仅当1x =时取等号,

∴1

4()2x x

-+<,∴2a ≥. ……………………………………6分

(Ⅱ)设x

t e =,则2()||2

a h t t a =-+,∵0ln 3x ≤≤,∴13t ≤≤.

当23a ≤≤时,2

2

,12

(),3

2

a t a t a h t a t a a t ?-++≤时,2()2a h t t a =-++,∴()h t 的最小值为2

(3)32

a h a =-+.

综上所述,当23a ≤≤时,()g x 的最小值为2

2a ,

当3a >时,()g x 的最小值为2

32

a a -+ .…16分

20、解:(Ⅰ)由1n n b a =-,得1n n a b =+,代入121n n n a a a +=+,

得12(1)1(1)(1)n n n b b b ++=+++,∴110n n n n b b b b +++-=,从而有

111

1n n

b b +-=,

∵111211b a =-=-=, ∴1n b ??

??

??是首项为1,公差为1的等差数列,∴1n

n b =,即1

n b n

=

.……………5分 (Ⅱ)∵1112S n n =+++,∴2111

122n n n

T S S n n n =-=+++++, 111111

2322122

n T n n n n n +=+++++++++,

1111111

021********

n n T T n n n n n n +-=+->+-=++++++,

∴1n n T T +>. ………………………………10分

(Ⅲ)∵2n ≥,∴11221122222n n n n n S S S S S S S S ---=-+-+???+-+

=1221122n n T T T T S --++???+++.

由(2)知12222n n T T T --≥≥???≥,∵11217,1,212

T S T ===, ∴12211222n

n n S T T T T S --=++???+++

()2111n T T S ≥-++()71

11122n =

-++71112

n +=. ……16分

高三数学寒假作业3

一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)

1.2± 2.10 3.30x y --= 4.1- 5.8 6.3

7.7 8.

1

2

9.(

,-∞ 10.②④

高三寒假作业

二、解答题(本大题共6小题,共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 11.解:(Ⅰ)因为a ∥b ,所以2sin cos αα=.则1

tan 2

α=. (Ⅱ)因为a

b 17

8=

,所以17sin cos 28αα+=,即1sin24α=.因为0,4πα??∈ ???

高三寒假作业

,所以20,2πα??

∈ ?

??,

cos 2α=

sin 2224πααα

?

高三寒假作业

高三寒假作业

?+= ???

所以

高三寒假作业

124248

=

+=

高三寒假作业

高三寒假作业

高三寒假作业

高三寒假作业

高三寒假作业

12.

证明:(Ⅰ)因为BM ⊥平面ACE ,AE ?平面ACE , 所以BM AE ⊥.因为AE BE ⊥,且BE BM B ?=,

BE BM ?、平面EBC ,

所以AE ⊥平面EBC .因为BC ?平面EBC ,所以AE BC ⊥

. (Ⅱ)取DE 中点H ,连结MH AH 、.

因为BM ⊥平面ACE ,EC ?平面ACE ,所以BM ⊥EC .

因为BE BC =,所以M 为CE 的中点.所以MH 为△EDC 的中位线.所以MH ∥1

2

DC ,

且MH =1

2DC .因为四边形ABCD 为平行四边形,所以DC ∥AB ,且DC =AB .

故MH ∥12AB ,且MH =1

2

AB .

因为N 为AB 中点,所以MH ∥AN ,且MH =AN .

所以四边形ANMH 为平行四边形,所以MN ∥AH .因为MN ?平面ADE ,AH ?平面ADE ,所以MN ∥平面ADE . 13.解:(Ⅰ)因为22c =,且

1

2

c a =,所以1,2c a ==. 所以2

3b =.所以椭圆C 的方程为22

143

x y +=. (Ⅱ)设点M 的坐标为()00,x y ,则2200

143

x y +=. 由于圆M 与l 由公共点,所以M 到l 的距离04x -小于或等于圆的半径R .

因为()2

2221001R MF x y ==++,所以()()2

2

200041x x y -≤++,即2

0010150y x +-≥ .

又因为22

00

314x y ??=- ???

,所以2

0033101504x x -+-≥.解得0423x ≤≤.当04

3x =时,0y =

(

)

12

max

122MF F S =?=

高三寒假作业

高三寒假作业

高三寒假作业

. 14.解:(Ⅰ)因为()*1111

1

23

12,,2133n n n n n a a f a n N n a a ----?

+??===+∈≥ ????且,所以12

3n n a a --= N

A

B

C

D

E M

因为11a =,所以数列{}n a 是以1为首项,公差为23的等差数列.所以213

n n a +=4分 (Ⅱ) ①当2,*n m m N =∈时,

()

21

2122334452211m n m m m T T a a a a a a a a a a -+==-+-+???+-

()()()213435

2

2

12

1

m

m m

a a a a a a a a a -+=-+-+???+-

()242

4

3m a a a =-

+++()2

2241812329

m a a m m m +=-??=-+()21269n n =-+.②当21,*n m m N =-∈时,

()

21

2122211m n m m m m T T T a a --+==--()()2211

8121616399

m m m m =-

++++ ()()22

1184326799m m n n =++=++.所以()()2

2126,912679

n n n n T n n n ?-+??=??++??为偶数,,为奇数

要使2n T tn ≥对*

n N ∈恒成立,只要使()221

26,(9

n n tn n -+≥为偶数)恒成立. 只要使162,9t n n ?

?-+

≥ ???对为偶数恒成立,故实数t 的取值范围为59?

?-∞- ??

?, 16.解:(Ⅰ)()2

323f x ax bx '=+-.根据题意,得()()12,10,

f f =-???'=??即32,

3230,a b a b +-=-??+-=?解得

10

a b =??=?所以()33f x x x =-. (Ⅱ)令()0f x '=,即2

330x -=.得1x =±.

高三寒假作业

因为()12f -=,()12f =-,

所以当[]2,2x ∈-时,()max 2f x =,()min 2f x =-.则对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x ,都有()()()()12max min 4f x f x f x f x -≤-=,所以4c ≥. 所以c 的最小值为4.

(Ⅲ)因为点()()2,2M m m ≠不在曲线()y f x =上,所以可设切点为()00,x y .

则3

0003y x x =-.

因为()20033f x x '=-,所以切线的斜率为2033x -.则20

33x -=3

00032

x x m

x ---即

32002660x x m -++=.因为过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线, 所以方程32002660x x m -++=有三个不同的实数解.所以函数()32

266g x x x m

=-++有三个不同的零点.则()2

612g x x x '=-.令()0g x '=,则0x =或2x =.

高三寒假作业

则()()00

22

g g >???

??-+

高三数学寒假作业4

一、填空题:

高三寒假作业

1、四

2、{|3z z -<≤

3、2008-

4、1 5 . 点P 在圆O 内 6 42y x =- 7. . 08、④ 9、)+∞ 10 2.1 11、56

π

12、23

高三寒假作业

二、解答题: 13、解:(Ⅰ)由题意,

732882

T πππ

=-=,∴T π=, 又0ω>,故2ω=,∴()2sin(2)f x x ?=+, ……………………2分 由33()2sin()284

f ππ

?=+=,解得2()4k k Z π?π=-∈,

又2

2

π

π

?-

<<

,∴4

π

?=-

,∴()2sin(2)4

f x x π

=-

。 ………………5分

由222()2

4

2

k x k k Z π

π

π

ππ-

≤-

≤+

∈知,3()8

8

k x k k Z π

π

ππ-

≤≤+

∈ ∴函数()f x 的单调增区间为3[,]()88k k k Z π

π

ππ-

+

∈。 ………………7分

(Ⅱ)解:依题意得:62sin(2)45πα-=,即3

sin(2)45

πα-=, ………………8分

38

πα<<

, ∴0242

ππα<-<,

∴4cos(2)45

π

α-

==,()2sin[(2)]844f πππαα+=-+

高三寒假作业

高三寒假作业

∵34sin[(2)]sin(2)cos cos(2)sin ()44444425510

π

πππππααα-

+=-+-=+=

高三寒假作业

高三寒假作业

∴(

)4

5

f π

α+=

高三寒假作业

高三寒假作业

。 14、证明:(Ⅰ)连BD ,∵ 面ABCD 为菱形,∴BD ⊥AC 由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD , 则BD ⊥平面AA 1C 1C 故:BD ⊥AA 1 (Ⅱ)连AB 1,B 1C ,由棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的性质知 AB 1//DC 1,AD//B 1C ,AB 1∩B 1C=B 1,A 1D ∩DC 1=D 由面面平行的判定定理知:平面AB 1C//平面DA 1C 1 (Ⅲ)存在这样的点P 因为A 1B 1∥AB ∥DC ,∴四边形A 1B 1CD 为平行四边形. ∴A 1D//B 1C 在C 1C 的延长线上取点P ,使C 1C=CP ,连接

BP ,因B 1B ∥CC 1,∴BB 1∥CP ,∴四边形BB 1CP 为平行四边形则BP//B 1C ,∴BP//A 1D ∴BP//平面DA 1C 1 15、解:(Ⅰ)∵2'()32f x ax bx c =++为偶函数,

∴'()'()f x f x -=对一切x R ∈恒成立,0b = (2分)

∴3()f x ax cx =+ 又

当2x =时,()f x

取得极大值3

高三寒假作业

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高三寒假作业

高三寒假作业

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高三寒假作业

(24233'(022

f a c f a c ?-=--=????=+=?? ∴解得

231a b ?=??

?=-?,∴3

2()3

f x x x =

高三寒假作业

- 2'()21f x x =-(6分)

311414()()22333

g x f x x x =

++=+,设切点为

00(,)

x y ,则

0320014,'()|33x x y x k g x x ==+==切线方程为:3200014

()()33

y x x x x -+=-,(8分)

代入点(2,4)P 化简得:3200340x x -+=,解得01,2x =-,(10分)

所以切线方程为:20x y -+=和440x y --=.(12分)

16、解:(1)当降价||x 元时,则多卖产品2kx ,由已知得:2x =时2

24,6kx k =?=, 所以232()(309)(4326)6(21721512)f x x x x x x =+-+=+++ (3分)

当提价x 时,2()(3010)(4328)82728640f x x x x x =+--=-++, (2分)

所以322

6(21721512)(300)()(054)82728640

x x x x f x x x x ?+++-?=?<-++??≤≤≤ (6分) (Ⅱ)当降价销售时,32()6(21721512)f x x x x =+++,

2'()18(1424)18(12)(2)0f x x x x x =++=++=1212,2x x ?=-=-,

高三寒假作业

即(f

∴max ()11664f x =, 当提价销售时,2()82728640f x x x =-++

22

8(34)86408[(17)]109521095211664x x x =--+=--+<≤ (11分)

所以当定价18元时,销售额最大. (12分)

17、

解:(Ⅰ)(ⅰ)∵圆O 过椭圆的焦点,圆O :222x y b +=,

高三寒假作业

∴b c =,∴2222b a c c =-=,∴22

2a c =,

∴2

高三寒假作业

e = ( 3分 ) (ⅱ)由90APB ∠=及圆的性质,

可得OP =,∴222

2,OP b a =≤

高三寒假作业

∴22

2a c ≤∴212e ≥

,12

高三寒假作业

e ≤<. (8分) (Ⅱ)设

()()()

00112

2,,,,,P x y A x y B x y ,则011011

y y x

x x y -=--整理得

22010111x x y y x y +=+

22211x y b +=, ∴PA 方程为:211x x y y b +=,PB 方程为:222x x y y b +=.

PA 、PB 都过点()00,P x y ,∴21010x x y y b +=且22020x x y y b +=

直线AB 方程为 200x x y y b +=.

令0x =,得20b ON y y ==,令0y =,得2

b OM x x ==,

2222

22222002

2

4

42a y b x a b a b a b b b

ON OM ++

===, ∴

222

2

a b ON

OM

+

为定值,定值是2

2a b

. (16分)

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