运筹学1
注意：本练习题中，所有关于线性规划问题最优解判断的题目，求极小值问题，检验数都≤0时取得最优解；求极大值问题，检验数都≥0时取得最优解，因为求解检验数是用Zj-Cj求得，与我们上课时检验数用Cj-Zj求得正好相反，所以判断是也是相反的。原理一样，做题时注意判断。
一、单项选择题
1、运筹学的主要内容包括：(D)
A.线性规划
B.非线性规划
C.存贮论
D.以上都是
2、下面是运筹学的实践案例的是：(D)
A.丁谓修宫
B.田忌赛马
C.二战间，英国雷达站与防空系统的协调配合
D.以上都是
3、规划论的内容不包括：(D)
A.线性规划
B.非线性规划
C.动态规划
D.网络分析
4、关于运筹学的原意，下列说法不正确的是：B
A．作业研究B．运作管理C．作战研究D．操作研究
5、运筹学模型：B
A．在任何条件下均有效 B.只有符合模型的简化条件时才有效C．可以解答管理部门提出的任何问题D．是定性决策的主要工具
6、最早运用运筹学理论的是：A
A.二次世界大战期间，英国军事部门将运筹学运用到军事战略部署
B.美国最早将运筹学运用到农业和人口规
划问题上C.二次世界大战后，英国政府将运筹学运用到政府制定计划 D.50年代，运筹学运用到研究人口，能源，粮食，第三世界经济发展等问题上
7、下列哪些不是运筹学的研究范围：D
A.库存控制
B.动态规划
C.排队论
D.系统设计
8、对运筹学模型的下列说法，正确的是：B
A．在任何条件下均有效 B．只有符合模型的简化条件时才有效 C．可以解答管理部门提出的任何问题D．是定性决策的主要工具
9、企业产品生产的资源消耗与可获利润如下表。A
该问题的线性规划数学模型中，决策变量有（）个：
A.二
B.四
C.六
D.三
10、图解法通常用于求解有（）个变量的线性规划问题。B
A.1
B.2
C.4
D.5
11、以下不属于运筹学求解目标的是：D
A．最优解 B．次优解 C．满意解 D．劣解
12、线性规划问题的最优解（）为可行解。A
A．一定 B．不一定 C．一定不 D．无法判断
13、将线性规划问题转化为标准形式时，下列说法不正确的是：D
Ａ.如为求z的最小值，需转化为求-z的最大值Ｂ.如约束条件为≤，则要增加一个松驰变量Ｃ.如约束条件为≥，则要减去一个剩余变量Ｄ.如约束条件为＝，则要增加一个人工变量
14、关于图解法，下列结论最正确的是：D
A.线性规划的可行域为凸集。
B.线性规划的最优解一定可在凸集的一个顶点达到Ｃ.若线性规划的
可行域有界，则一定有最优解Ｄ.以上都正确
16、求解线性规划的单纯形表法中所用到的变换有：C
A.两行互换
B.两列互换
C.将某一行乘上一个不为0的系数D都正确
17、矩阵的初等行变换不包括的形式有：D
A. 将某一行乘上一个不等于零的系数
B.将任意两行互换
C. 将某一行乘上一个不等于零的系数再加到另
一行上去D.将某一行加上一个相同的常数
18、线性规划的标准形有如下特征：C
A.决策变量不为零
B.决策变量无符号限制
C. 决策变量全为非负
D. 以上都不对
19、线性规划需满足的条件是：C
A.目标函数为线性
B.约束条件为线性
C.目标函数与约束条件均为线性
D.都不对
20、关于标准线性规划的特征，哪一项不正确：C
A.决策变量全≥0
B.约束条件全为线性等式
C.约束条件右端常数无约束
D.目标函数值求最大
21、线性规划的数学模型的组成部分不包括：D
A.决策变量
B.决策目标函数
C.约束条件
D.计算方法
22、如果在线性规划标准型的每一个约束方程中各选一个变量，它在该方程中的系数为1，在其它方程中系数为零，这个变量称为：A
A.基变量
B.决策变量
C.非基变量
D.基本可行解
23、关于单纯形法的说法不正确的是：B
Ａ.只要人工变量取值大于零，目标函数就不可能实现最优Ｂ.增加人工变量后目标函数表达式不变
Ｃ.所有线性规划问题化为标准形后都含有单位矩阵。Ｄ.检验数中含M时，如果M的系数为负，则检验数为负。
24、关于线性规划的最优解判定，说法不正确的是：(C)
Ａ.如果是求最小化值，则所有检验数都小于等于零的基可行解是最优解。Ｂ.如果是求最大化值，则所有检验数都大于等于零的基可行解是最优解。Ｃ.求最大化值时，如果所有检验数都小于等于零，则有唯一最优解。
Ｄ.如果运算到某步时，存在某个变量的检验数大于零，且该变量所对应约束方程中的系数列向量均小于等于零，则存在无界解。
25、关于求最小化值的单纯形算法，下列说法不正确的是：(C)
Ａ.通常选取最大正检验数对应的变量作为换入变量。Ｂ.通常按最小比值原则确定离基变量。
Ｃ.若线性规划问题的可行域有界，则该问题最多有有限个数的最优解。
Ｄ.单纯形法的迭代计算过程是从一基个可行解转换到目标函数更小的另一个基可行解。
27、关于线性规划的进基变量的选择，说法完全正确的是：C
Ａ.检验数最小的应该是进基Ｂ.检验数最大的应该是进基Ｃ.单位变化量使目标函数改变最大的变量应该进基Ｄ.目标函数中系数最大的变量应该进基
29、单纯形法解LP问题时，不正确的说法有：C
Ａ.将进基变量所在列转化为与离基变量所有列一样Ｂ.转化时可将主元行除以主元素
Ｃ.转化时可将主元列除以主元素Ｄ.转化时不可将其中两行互换位置
30、矩阵的初等列变换不包括的形式有：D
A. 将某一列乘上一个不等于零的系数
B.将任意两列互换
C. 将某一行乘上一个不等于零的系数再加到另一行上去
D.将某一列加上一个相同的常数
31、关于LP 的基的说法不正确的是：B Ａ.基是约束方程系数矩阵中的一个子矩阵
Ｂ.基解中非零值的个数大于等于约束方程数 Ｃ.基中的每一个列向量称为基向量
Ｄ.与基向量对应的变量称为基变量
32、线性规划的标准形用矩阵来描述，正确的是：D
A ．
min ,..,0AX b
z CX s t X b =?=?
≥? B ．
max ,..,0AX b
z CX s t X b =?=?
≥?
C ．
max ,..,0AX b
z CX s t X b ≤?=?
≥? D ．A 与B 均可 33、线性整数规划简称:B A .IC B .ILP
C .AIL
D .MIP
34、线性规划中，( )不正确。B
A .有可行解必有可行基解
B .有可行解必有最优解
C .若存在最优解，则最优基解的个数不超过2
D .可行域无界时也可能得到最优解
37、线性规划问题中只满足约束条件的解称为 ( )。C A .基本解
B .最优解
C .可行解
D .基本可行解
38、线性规划模型作为最简单的数学模型，它的特点是 :D A .变量个数少
B .约束条件少
C .目标函数的表达式短
D .约束条件和目标函数都是线性的
39、对于线性规划问题，下列说法正确的是:D
A.线性规划问题可能没有可行解 B .在图解法上，线性规划问题的可行解区域都是“凸”区域
C.线性规划问题如果有最优解，则最优解可以在可行解区域的顶点上到达
D.上述说法都正确 40、下面哪些不是线性规划问题的标准形式所具备的:C
A.所有的变量必须是非负的 B .所有的约束条件（变量的非负约束除外）必须是等式
C.添加新变量时，可以不考虑变量的正负性
D.求目标函数的最小值
41、在用单纯形法求解线性规划问题时，下列说法错误的是:D
A.如果在单纯形表中，所有检验数都非正，则对应的基本可行解就是最优解
B.如果在单纯形表中，某一检验数大于零，而且对应变量所在列中没有正数，则线性规划问题没有最优解
C.利用单纯形表进行迭代，我们一定可以求出线性规划问题的最优解或是判断线性规划问题无最优解
D.如果在单纯形表中，某一检验数大于零，则线性规划问题没有最优解
42、线性规划具有唯一最优解是指：B A ．最优表中存在常数项为零 B ．最优表中非基变量检验数全部非零 C ．最优表中存在非基变量的检验数
为零 D ．可行解集合有界 43、设线性规划的约束条件为：B
???
??≥=++=++0
,,422341
421321x x x x x x x x
则基本可行解为:B
A ．(3, 4, 0, 0)
B ． (0, 0, 3, 4)
C ．(2, 0, 1, 0)
D ． (3, 0, 4, 0)
44
12121212min 34,4,22,0,Z x x x x x x x x =++≥+≤≥、则:A
A ．无可行解
B ．有唯一最优解
C ．有多重最优解
D ．有无界解
46、下例错误的说法是：C A ．标准型的目标函数是求最大值 B ．标准型的目标函数是求最小值 C ．标准型的常数项非正
D ．标
准型的变量一定要非负
48、线性规划最优解不唯一是指：D
A ．可行解集合无界
B ．存在某个检验数λk>0且),,1(0m i a ik =≤
C ．可行解集合是空集
D ． 最优表中存在非基变量的检验数为零 51、有3个产地4个销地的平衡运输问题模型具有特征：D
A ． 有7个变量
B ．有12个约束
C ． 有6约束
D ． 有6个基变量
52、线性规划可行域的顶点一定是：A
A ．基本可行解
B ．非基本解
C ．非可行解
D ．最优解 53、X 是线性规划的基本可行解则有：C
A.X 中的基变量非零，非基变量为零 B ．X 不一定满足约束条件 C ．X 中的基变量非负，非基变量为零 D ． X 是最优解 54、线性规划的约束条件为
1231241
425
226,,0
x x x x x x x x ++=??
++=??≥? ，则基本可行解为：C
A ．(0, 2, 3, 2))
B ．(3, 0, －1, 0)
C ．(0, 0, 5, 6)
D ．(2, 0, 1, 2)
57、极大化线性规划,单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取（ ）变量,则在下一个解中至少有一个
变量的值为负。A
A.换出变量
B.换入变量
C.非基变量
D.基变量
59、用单纯形法求解线性规划时,引入人工变量的目的是:B
A.标准化
B.确定初始基本可行解
C.确定初始可行解
D.简化计算 60、线性规划问题的可行解_____是基本可行解. C A.一定 B.一定不 C.不一定 D.无法判断 61、线性规划问题的最优解_____是可行解。A A.一定 B.一定不
C.不一定
D.无法判断
62、单纯形法所求线性规划的最优解_____是可行域的顶点. B A.一定 B.一定不 C.不一定 D.无法判断
63、线性规划求解中，用最小比值原则确定换出变量，目的是保证解的可行性.该说法：A A.正确 B.错误 C.不一定 D.无法判断
64、线性规划模型中，决策变量_____是非负的. C A.一定 B.一定不 C.不一定 D.无法判断
65、可行解是满足约束条件和非负条件的决策变量的一组取值。该说法： A
A.正确
B.错误
C.不一定
D.无法判断
66、线性规划的图解法中，目标函数值的递增方向与_____有关。D A.约束条件 B.可行域的范围 C.决策变量的非负性 D.价值系数的正负 67、线性规划的可行域_____是凸集. C A.不一定 B.一定不 C.一定 D.无法判断 68、基本可行解是满足非负条件的基本解.该说法： A
A.正确
B.错误
C.不一定
D.无法判断
70、在求minS的线性规划问题中，则( )不正确。B
A．最优解只能在可行基解中才有B．最优解只能在基解中才有C．基变量的检验数只能为零D．有可行解必有最优解
71、用图解法求解下列问题：max S=2x-3y，其最优解为:C
s.t. -x+2y<=2
x+2y<=6
x-y<=3
x+3y>=3
x,y>=0
A．(2，2) B．(4，1) C．(3，0) D．(2，5)
72、有关线性规划，( )是错误的。B
A．当最优解多于一个时，最优解必有无穷多个B．当有可行解时必有最优解
C．当有最优解时必有在可行集顶点达到的最优解D．当有可行解时必有可行基解
73、线性规划中，( )不正确。B
A．有可行解必有可行基解 B．有可行解必有最优解 C．若存在最优解，则最优基解的个数不超过2 D．可行域无界时也可能得到最优解
74、一般在应用线性规划建立模型时要经过四个步骤：B
（1）明确问题，确定目标，列出约束因素；（2）收集资料，确定模型；（3）模型求解与检验；（4）优化后分析。以上四步的正确顺序是：
A．（1）（2）（3）（4） B．（2）（1）（3）（4）C．（1）（2）（4）（3） D．（2）（1）（4）（3）
75、关于线性规划模型的可行解区，叙述正确的为:C
A.可行解区必有界
B.可行解区必然包括原点
C.可行解区必是凸的
D.可行解区内必有无穷多个点
77、当线性规划问题的一个基解满足( )时称之为一个可行基解.C
A. 大于 0
B. 小于 0
C. 非负
D. 非正
78、用单纯形法求解线性规划问题时引入的松弛变量在目标函数中的系数为：A
A.0
B.很大的正数
C.很大的负数
D.1
79、单纯形法所求线性规划的最优解_____是基本最优解. A
A．一定是B．不一定C．一定不D．不
80、用单纯形法求解线性规划时，不论是极大化或是极小化问题，均用最小比值原则确定出基变量，该说法：. A
A．正确 B．不正确C．可能正确D．以上都不对
81、关于凸集的下列说法正确的是：D
A. 在空间上必将是一个凸几何体
B. 集合中任意两点连线上的一切点仍然在该集合中
C.如果是平面，则表现为凸多边形
D.以上都正确
82、下列图形所包含的区域不是凸集的是：C
A.圆形
B.三角形
C.圆环
D.正方形
83、下列图形所包含的区域不是凸集的是：C
A.椭圆形
B.三角形
C.弯月形
D.长方形
84、下列关于线性规划的解的情况的说法不正确的是：D
A.. 最优解必定可在凸集的某一个顶点上达到
B. 最优解也可能在凸集的某一条边界上达到
C. 线性规划的可行域若有界，则一定有最优解。
D. 线性规划的可行域若无界，则一定无最优解。
85、下列函数属于线性函数的是：B A.Z=3XY B. Z=3X+2Y C. Z=5X/Y D. Z=SINX
86、技术系数是指：A
A.约束条件中的系数
B.目标函数中的系数
C.约束条件右端项
D.以上均不正确
87、线性规划中，“ max”是指：A
A.最大化
B.最小化
C.都可以
D.以上均不正确
88、线性规划中，“ min”是指：B
A.最大化
B.最小化
C.都可以
D.以上均不正确
89、线性规划中，“s.t.”是指：B
A.目标函数
B.约束条件
C.右端项
D.非负条件
90、无界解是指：B
A.可行域无界
B.目标函数值无界
C.两者均无界
D.以上均不正确
91、线性规划中，( )不正确。B
A.有可行解必有可行基解
B.有可行解必有最优解
C.若存在最优解，则最优基解的个数不超过2
D.可行域无界时也可能得到最优解
92、关于线性规划问题，叙述正确的为：D
A.其可行解一定存在
B.其最优解一定存在
C.其可行解必是最优解
D.其最优解若存在，在可行解中必有最优解
93、在求最大值的线性规划问题中，松弛变量在目标函数中的系数为：A
A．0 B．极大的正数C．绝对值极大的负数D．极大的负数
94、单纯形法作为一种常用解法，不适合于求解的规划是：D
A．多变量模型 B.两变量模型C.最大化模型D.非线性规划
95、线性规划的图解法适用于：B
A．只含有一个变量的线性规划问题 B.只含有2～3个变量的线性规划问题 C.含有多个变量的线性规划问题D.任何情况
96、单纯形法求解时，若求得的基础解满足非负要求，则该基础解为：D
A．可行解 B.最优解 C.特解 D.可行基解
97在线性规划中，设约束方程的个数为m,变量个数为n，m＜n时，可以把变量分为基变量和非基变量两部分，基变量的个数为m个，非基变量的个数为：C
A．m个 B.n个 C.n-m个 D.0个
99、对基本可行解x当所有变量的检验数都小于等于零时，存在某个非基变量k
x
，它的
k
ζ=
，则该问题:B
A.无解
B.有无穷多个解
C.有唯一解
D.无界
100、单纯形法迭代过程中，出基变量的检验数:B
A.大于零
B.等于零
C.
{}
min0
k j j
ζζζ
=>
D.
{}
max0
k j j
ζζζ
=>
101、两阶段法的辅助问题的最优值g>0时，原问题:A
A.无解
B.有唯一解
C.无界
D.有无穷多个解
102、大M法求解时，若
ζ≤
，人工变量没有全部出基，则原问题:C
A.无可行解
B.有无穷多个最优解
C.不一定无可行解
D.有有限个最优解
103、关于解集的性质的下列说法正确的是：C
A.可行解≥基本解≥基本可行解
B.基本解≥可行解≥基本可行解
C.可行解 基本解=基本可行解
D.可行解 基本解=最优解
105关于求最小化值的单纯形算法，下列说法不正确的是：C
Ａ.通常选取最大正检验数对应的变量作为换入变量。Ｂ.通常按最小比值原则确定离基变量Ｃ.若线性规划问题的可行域有界，则该问题最多有有限个数的最优解。Ｄ.单纯形法的迭代计算过程是从一个基可行解转换到目标函数更小的另一个基可行解。
106、关于线性规划的进基变量的选择，说法完全正确的是：C
A.检验数最小的应该是进基
B.检验数最大的应该是进基
C.单位变化量使目标函数改变最大的变量应该进基
D.目标函数中系数最大的变量应该进基
107单纯形法迭代中的主元素一定是正元素，该说法：A
A.正确
B.错误
C.、不一定
D.无法判断
109、企业产品生产的资源消耗与可获利润如下表。
该问题的线性规划数学模型中，约束条件有（）个。D
A.二
B.四
C.六
D.三
110、企业产品生产的资源消耗与可获利润如下表。
下列哪组解是该问题的可行解？B
A.(1,-2)
B.(0,0)
C.(200,10)
D.(100,1000)
111、根据对下列单纯形表，判断其解的情况？A
A.有唯一最优解
B.有无穷多最优解
C.有无界解
D.有两个最优解
112、根据对下列求最大化的线性规划问题的单纯形表，判断其目标函数的最优值为？
C
A.4
B.2
C.14
D.-14
113、对约束条件如下的线性规划问题，其初始基可行解为：B
123
14
25
28
416(112)
412
01,2,,5
j
x x x
x x
x x
x j
++=
++=-
+=
≥=
A.(1,1,3,5,7)
B.(0,0,8,16,12)
C.(0,0,0,0,0)
D.不存在
114、用闭回路法调整调运方案时，下列做法正确的是:A
A.奇点处加调整量
B. 偶点处加调整量
C. 奇点减调整量
D. 都不对
115、用闭回路法调整调运方案时，下列做法正确的是:A
A.奇点处加调整量，偶点处减调整量
B.奇点处减调整量，偶点处加调整量
C.奇点偶点同时加或减一个调整量
D.都不对
116、对m个产地，n个销地的平衡运输问题，其基变量的个数为：D
A.m-n
B.m+n
C.mn
D.m+n-1
119、标准指派问题(m人，m件事)的规划模型中，有（）个决策变量B
A.m
B.m*m
C.2m
D.都不对
120、关于指派问题的决策变量的取值，下列说法正确的是：B
A.不一定为整数
B.不是0就是1
C.只要非负就行
D.都不对
121、下列（）不是确定运输问题初始方案的方法。C
A.西北角法
B.沃格尔法
C.最小元素法
D.闭回路法
122、求解运输问题中，当供大于求时，可增加一个：B
A.虚拟产地
B.虚拟销地
C.都可
D.都不可
123、产销不平衡的运输问题中，当供大于求时，增加的虚拟销地相当于：B
A.亏空
B.原地库存
C.异地库存
D.都不对
124、运输问题中，如存在纯粹的转运点，则其产量与销量的关系是：C
A.产量大于销量
B.产量小于销量
C.产量等于销量
D.都不对
125、运输问题中，产地同时起转运作用时，在产销平衡表中，其产量为是：A
A.调运总量+原产量
B. 调运总量-原产量
C.调运总量
D.都不对
126、确定运输问题的初始调运方案的方法是：A
A.沃格尔法
B.单纯形法
C.匈牙利法
D.闭回路法
128、一般来说，用沃格尔法与最小元素法求解初始调运方案时，目标函数的值：B
A.一样优
B.前者的优
C.后者的优
D.不好说
129、运输问题的方案的确定最常用的方法是：A A.最小元素法 B.闭合回路法
C.表上作业法
D.以上都不是
130、运输问题的数学模型中包含（）个约束条件B
A.m*n
B.m+n
C.m+n-1
D.m*n-1 131、人数大于事数的指派问题中，应该采取的措施是：B A.虚拟人
B.虚拟事
C.都可以
D.不需要
133、用EXCEL 求解线性规划问题时，可变单元格是：B A.目标函数
B.决策变量
C.约束方程
D.都不是 135、关于运输问题的说法不正确的是：C A.它可用线性规划的单纯形表求解 B.它可用表上作业法求解 C.它的约束方程数等于基变量的数目 D.它
一定有最优解
136、关于运输问题的说法不正确的是：A
A.运输问题一定有唯一最优解
B.如果供给与需求量均为整数，则运输问题的最优解也为整数
C.当所有非基变量的检验数均大于等于零时，求最小化的运输问题有最优解
D.运输问题是特殊的线性规划 137、根据位势法，运输问题中非基变量的检验数为：B A ．
ij i j
c u v +- B ．
ij
j i c v u -+ C ．
ij i j
c u v -+
D ．以上都不对
138、平衡运输模型的约束方程的特点包括：D A ．约束左边所有的系数都是0或1 B ．运输问题约束方程左边的每一列中恰有两个系数是1，其他都是
0。
C ．有m+n-1个独立约束条件，该问题的基变量有m+n-1个。
D ．以上都正确
139、平衡运输问题一定存在：B A ．整数解
B ．最优解
C ．无穷多解
D ．以上都不对
140、在n 个产地、m 个销地的产销平衡运输问题中，( )是错误的。D A .运输问题是线性规划问题
B .基变量的个数是数字格的个数
C .空格有mn-n-m+1个
D .每
一格在运输图中均有一闭合回路
141、若运输问题在总供应量大于总需要量时，做法是：C A .必须用线性规划单纯形法求最优解 B .不存在可行解
C .虚设一个需求点
D .虚设一个供应
点
143、典型的运输问题的平衡是指：C A .每个需求方物资的需要量一样 B .每个供应方物资的供应量一样
C .总的需求量与总的供应量一样
D .需求方和供应方个数一样
144、在求解运输问题的过程中可运用到下列哪些方法：D A 西北角法 B 位势法
C 闭回路法
D 以上都是
145、有6 个产地4个销地的平衡运输问题模型具有特征:B A ．有10个变量24个约束 B ．有24个变量10个约束 C ．有24个变量24约束
D ．有9个基变量10个非基变量
146、m+n －1个变量构成一组基变量的充要条件是：B A ．m+n －1个变量恰好构成一个闭回路 B ．m+n －1个变量不包含任何闭回路
C ．m+n －1个变量中部分
变量构成一个闭回路
D ．m+n －1个变量对应的系数列向量线性相关
147、有m 个产地n 个销地的平衡运输问题模型具有特征:A A ．有mn 个变量m+n 个约束 B ．有m+n 个变量mn 个约束
C ．有mn 个变量m+n －1约束
D ．有m+n －1
个基变量，mn －m －n －1个非基变量
148、用增加虚设产地或虚设销地的方法可将产销不平衡的运输问题化为产销平衡的运输问题处理，该方
法：A
A.正确
B.错误
C.不一定
D.无法判断 149、若运输问题中总供应量大于总需要量，则： C A.必须用线性规划单纯形法求最优解 B ． 不存在可行解 C ．虚设一个需求点
D ．虚设一个供应点
150、在n 个产地、m 个销地的产销平衡运输问题中，( )是错误的。D
A ．运输问题是线性规划问题
B ．基变量的个数是数字格的个数
C ．空格有mn-n-m+1个
D ．对每一
变量格均需画出一闭合回路
152、以下各项中不属于运输问题的求解程序的是：B A ．分析实际问题，绘制运输表 B ．用单纯形法求得初始运输方案 C ．计算空格的检验数 D ．根据检验数
判断是否已得最优解
154、为建立运输问题的改进方案，在调整路线中调整量应为：A A.奇数格的最小运量 B.奇数格的最大运量
C.偶数格的最小运量
D. 偶数格的最大运量
155、考虑某运输问题,设其总需求量为Q,总供应量为G,且Q A.使诸供应点的供应总量减少G-Q B.使诸需求点的需求总量增加G-Q C.虚设一个需求量为G-Q 的需求点,且任一供应点到该虚设需求点的单位运费为充分大 D.虚设一个需求量为G-Q 的需求点,且任一供应点到该虚设需求点的单位运费为0 156、在解运输问题时,若已求得各个空格的改进路线和检验数，则选择调整格的原则是：C A.在所有空格中,挑选值最小的正检验数所在的空格作为调整格 B.在所有空格中,挑选绝对值最小的正 检验数所在的空格作为调整格 C.在所有空格中,挑选为正值且最大的检验数所在的空格作为调整格 D.在 所有空格中,挑选绝对值最小的负检验数所在的空格作为调整格 157、典型运输问题的决策变量下标通常为：B A.一位 B.二位 C.三位 D.以上都不对 159、当某供给地与某需求地之间不允许运输时，它对应的运价为：B A.零 B.无穷大 C.随便取 D.以上都不对 160、当运输问题是求利润最大化时，采取的措施是:B A.仍用最小元素法求初始调运方案 B.应用最大元素法求初始调运方案 C.不可西北角法求初始调运 方案 D.检验数都大于零时得到最优解 161、根据下表所示的的运输问题，其中Ai-Bj 格子中的数字表示cij 。问：其产销是否平衡？B A.平衡 B.不平衡 C.不清楚 D.以上都不对 162、根据下表所示的的运输问题，其中Ai-Bj 格子中的数字表示cij 。 回答：根据最小元素法求初始调运方案时，优先选择哪个格对应的供销业务？C A.第一行第一列的格 B. 第二行第二列的格 C. 第三行第三列的格 D. 第一行第二列的格163、 如果用表上作业法来求解，则该表格：B A.增加一行 B.增加一列 C.不需增加行或列 D.以上都不对 165、下表为一运输问题的某一调运方案，试回答如下问题。 它是不是一个可行的调运方案？A A.是 B.不是 C.不确定 D.以上均不正确 167、下表为一运输问题的某一调运方案，试回答如下问题。 该方案是否为一可行基本解？A A.是 B.不是 C.不确定 D.无法判断 ，则x14的检验数为：B A.8 B. 7 C. 4 D.5 200、网络计划发源于：D A．德国B．法国C．日本D．美国 201、关键路径法源于:B A.惠普公司 B.杜邦公司 C.IBM公司 D.美国海军武器局 202、关于网络计划技术的说法不正确的是：B A．它需要分清哪项工作先作，哪项工作后做B．它不是一种统筹方法C．它的目的是缩短工期或降低成本D．它需要找出关键工作 203、关键路线问题的关键工序是指:D A .最先开始的工序 B .最后结束的工序 C .最重要的工序 D .需要时间最长的工序 204、任一容量网络中，从起点到终点的最大流的流量等于分离起点和终点的任一割集的容量.B A.正确 B.错误 C.不一定 D.无法判断 205、最小树是网络中总权数最小的支撑树，因此它既是支撑子图，又是无圈的连通图.A A.正确 B.错误 C.不一定 D.无法判断 206、用网络分析方法求最短路问题的D氏标号法使用条件是什么? D A.无回路有向网络 B.无负回路 C.任意网络 D.所有权非负 207、在图论中，( )不正确。C A.若树T有n个点，则其边数为n-1 B．树中若多出一边，必出现圈 C．树中点与点可以不连通D．树中若除去一边，必不连通 208、以下叙述中，不正确的是：C A．树的点数为线数加1 B．树的任意两点间只有一条路C．树图的点数可等于线数 D．任何树都是连通图 209一个含有圈的5个点的连通图的线数：B A.至少为4 B.至少为5 C.等于5 D.至多为5 210、某配电站要向由其供电的五个小区铺设电缆，此时应采用的方法是：B A.最短路线法 B.最小树法 C.最大流量法 D.表上作业法 211、一个居民住宅区的道路构成图是：C A.树 B.不连通图 C.连通图 D.有向图 212、甲乙两城市之间存在一公路网络，为了判断在两小时内能否有8000辆车从甲城到乙城，应借助：D A.树的生成法B．求最小树法 C.求最短路法D．求最大流法 213、求解最大流的标记化方法中，标号过程的目的是：C A.增加流量 B.构造四通八达的路 C.寻找增广链 D.给出标号 214、连通图是指：D A.用来表示物理实休或实物的图 B.由一些点和边构成的图 C.任何两点间都有边相连的图 D.任何两点间至少存在一条链的图。 215、以下说法不正确的是：C A．两点间至少有一条链相连的图，称为连通图。B．任何一图中，顶点次数的总和等于边数的两倍。C．任何图中，奇点有奇数个。 D．图G中有生成树的充要条件：图G为连通图。 217、连通且不含圈的无向图，称为：C A.道路 B.连通图 C.树 D.链 218、在图G中，以一点为始点，以另一点为终点的点边交替序列叫做：D A.环 B.圈 C.网络 D.链 219若某图中所有边均没有方向，则称该图为：B A.有向图 B.无向图 C.混合图 D.欧拉图 220、关于顶点的次，说法不正确的是：C A．某顶点的次是指以该点为端点的边数 B．次为1的点为悬挂点 C．顶点次数等于边数 D．次为奇数的点为奇点 222、初等圈的条件不包括：C A．起始点是一个 B．无重复点 C．无奇点 D．无重复边 223、.效率矩阵中，独立零元素的（）个数等于覆盖所有零元素的（）直线数。B A.最多，最多 B.最多，最少 C.最少，最多 D.最少，最少 224、树的性质不包括下列哪个：B A．树中无圈，但每加一边可得唯一圈 B．点数等于边数C．树连通，但任舍一边就不连通 D．树中任意两点间有唯一链相连 225、可行流满足的条件不包括：C A．网络中每条边上的流量在0与最大容量之间 B．中间点流入与流出量相等C．任何点流量不可为零 D．发点流出量等于收点流入量 226连通图是指：D A.用来表示物理实休或实物的图 B.由一些点和边构成的图 C.任何两点间都有边相连的图 D.任何两点间至少存在一条链的图。 227、树的性质不包括下列哪个：D A.无圈 B.连通 C.任意两点有唯一链 D.有回路存在 228、下列对简单图的定义叙述正确的是：C A.不含环的图称为简单图 B.不含多重边的图为简单图 C.不含环和多重边的图称为简单图 D.含环和多重边的图称为简单图 229、下列方法中（）是求解最短路问题的解法。B A．表上作业法B．DIJKSTRA法C．单纯形法D．破圈法 230、关于图的生成树，下列说法不正确的是：C A.它又称为图的支撑树 B.图有生成树的充要条件是该图为连通图。 C.图的生成树是唯一的。 D.顶点数为n 的图的生成树有n-1条边。 231、关于DIJKSTRA法的说法不正确的是：C A.它是一种标号法 B.它的标号有P标号与T标号 C.它可求解任意两点间的最短路 D.它只适合于全部权为非负的情况 233、关于树图的说法不正确的是：C A.树图中增加任何一条边，它将出现一个圈。 B.树图中边数比点数少一。 C.树图中去掉任何一条边，则它可仍然连通。 D.树图中无圈。 234、关于可增广链的性质，正确的是：A A.前向边中的流量应小于该边的最大容量 B.后向边中的流量应大于等于0 C.后向边中的流量应小于该边的最大容量 D.都有可能 235、容量网络的条件包括：D A.网络中有一个始点和一个终点 B.流过网络的流量都具有一定方向 C.每边（弧）都赋予了一个容量，表示容许通过该弧的最大流量 D.以上都是 236、对箭线式网络图而言,叙述正确的是：A A.从始点出发,经过连续相接的活动,直到终点的一条连线称为线路 B.从始点出发,经过连续相接的活动,到某个结点终止的连线称为线路 C.从某个结点出发,经过若干个连续相接活动,直到终点的一条连线称为线路 D.任意两个始点之间,由若干个连续相接活动组成的连线称为线路 237、在箭线式网络图中,叙述不正确的是：A A.网络图中任何一个结点都表示前一活动的结束和后一活动的开始 B.活动的总时差越大,则表明该活动在整个网络中的机动时间也越大 C.活动的最早开始时间等于该活动箭尾事项的最早开始时间 D.结点时差等于0的结点称为关键结点238、下列选项中结果一定为0的是：A A.虚活动的作业时间 B.活动的总时差减去专用时差 C.活动的局部时差减去专用时差 D.结点时差 239、已知某一活动i→j开始的最早时间ESi,j=3，该活动的作业时间为5，则结点j的最迟时间LFj为：C A.3 B.8 C.不确定 D.2 240、虚活动：B A.占用时间，但不消耗资源 B.不占用时间,也不消耗资源 C.不占用时间，但消耗资源 D.既消耗资源，也消耗时间 241、.下述选项中结果一般不为0的是：D A．关键结点的结点时差 B．关键线路的线路时差C．始点的最早开始时间 D．活动的专用时差 242、时间优化就是在人力.材料.设备.资金等资源基本上有保证的条件下，寻求最短的工程周期。下列方法中不能正确缩短工程周期的是：D A．搞技术革新.缩短活动，特别是关键活动的作业时间B．尽量采用标准件.通用件等 C．组织平行作业D．改多班制为一班制 243、编制网络图的基本原则包括：D A.从左到右网络图 B.不不允许出现循环回路 C.两相邻节点间不允许有多条箭线直接相连 D.以上都对244、关于双代号网络，说法不正确的是：C A．它用一个箭线表示一项活动B．它以事件编号表示一个活动的名称 C．它的箭尾表示活动结束D．它使用两个号码来表示某项活动 245、关于工作的时间参数，下列说法正确的是：D A.工作的最早开始时间是它的箭尾事件的最早时间 B.工作的最早完成时间是它的最早开始时间加上本工作作业时间 C.工作的最迟开始时间是它的箭头事件的最迟时间减去本工作作业时间 D.以上都正确 246、关于关键路线，下列说法不正确的是：D A.与总工期时间相等的线路是关键线路 B.线路时差最小的线路又称为次关键线路 C.网络计划的精华是控制关键线路 D.关键线路一定只有一条 二、多项选择题 1、运筹学的主要研究方向包括：ABCD A．规划论B．图论C．存储论D．排队论 2、运筹学的主要研究方向包括：ABC A．规划论B．网络分析C．对策论D．概率论 3、运筹学的特点有（）。ABC A.不受行业、部门的限制 B.有很强的实践性 C.运筹学以整体最优为目标 D.规律不变 4、运筹学有以下研究方法：ACD A.构造数学模型，寻求一个与决策者的目标有关的解 B.盈亏平衡法 C.探索求解的结构并导出系统的求解过程 D.从可行方案中寻求系统的最优解 5、线性规划可以解决的典型问题有：ABCD A.生产计划问题 B.混合配料问题 C.下料问题 D.运输问题 6、运筹学的特点包括：ABCD A.引进数学方法 B.系统性 C.着重实际应用 D.跨学科性 7、线性规划问题的解的情况有：ABCD A.有惟一最优解，并且一定是可行域上的一个顶点。 B.有无数多个最优解，并且最优解一定是可行域上的一 条边 C.有可行解，但是没有最优解，并且可行域上的点使目标函数趋向无穷大。 D.没有可行解，不存在可行域，当然无最优解。 8、分析单纯形法原理时，最重要的两个表达式是什么? AD A.用非基变量表示基变量的表达式 B.目标函数表达式 C.约束条件表达式 D.用非基变量表示目标函数的表达式 9、线性规划的可行域为无界区域时,求解结果有哪几种可能? BCD A.无可行解 B.有无穷多个最优解 C.有唯一最优解 D.无最优解 10、线性规划的标准型有特点：BD A.右端项非零； B.目标求最大； C.有等式或不等式约束； D.变量均非负 11、下面命题不正确的是：AC A.线性规划一定有最优解； B.基本可行解一定是基本解； C.线性规划一定有可行解； D.线性规划的最优值至多有一个 12、下面是凸集的有：ABD A.三角形的内部 B.圆的内部 C.圆环内部 D.长方体内部 14、EXCEL中规划求解参数有：ABCD A.目标单元格 B.最大、最小值选项 C.可变单元格 D.约束 15、EXCEL中规划求解对话框中的选项中，通常需要选择的是：AB A.采用线性模型 B.假定非负 C.搜索 D.导数 17、n个变量m个约束的线性规划问题(n>m)，若其秩为m，关于其基的说法正确的是：ABD A.它是约束方程组系数矩阵中的一个方阵 B.它的行列式的值不为零 C.它的秩等于n D.它 最多有 m n C 个 18、假设下表为EXCEL中的一部分，要算数组 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5.4 1.2 , 2.3 5.1 的乘积，下列说法正确的是：ABC A.可用A1*B1+A2* B2 B.可用SUMPRODUCT(A1:A2,B1:B2) C. 可用$A$1*$B$1+$A$2*$B$2 D. 以上均不对 22、大M法中解的不同情况的下列说法中，正确的是：ABD A. 如果构造的新问题（P’）的最优解中有正的人工变量，则原问题(P)无可行解。 B. 如果构造的新问题（P’）的最优解中所有人工变量都离基，则得到原问题(P)的最优解。 C. 如果构造的新问题（P’）有无界解，则其原问题(P)也一定有无界解 D. 如果构造的新问题（P’）的最优解中有人工变量为基变量，但其值为零，则得到原问题(P)的最优解。 23、线性规划的两阶段法的下列说法，正确的是：ACD A.若辅助问题最优值大于零，则原问题无可行解 B.若辅助问题最优值为零，则原问题的最优值也为零 C. 若辅助问题最优值为零，且人工变量为非基变量，则从其最优表中删除人工变量所在列，然后继续求解 D. 若辅助问题最优值为零，且有人工变量为基变量，则需将其变出基，然后删除，再继续求解 24、对约束条件如下的线性规划问题，其初始可行基对应的基变量为：ACD 123 14 25 28 416(112) 412 01,2,,5 j x x x x x x x x j ++= ++=- += ≥= A.x5 B. x2 C. x3 D. x4 25、运输问题基本可行解满足的条件包括：ABC A.它保证有调运量的格子个数（基变量个数）等于m+n-1。 B.产生基本解的变量对应的单元格不包含回路，且应占表中的m+n-1格； C.一个基在表中所占的m+n-1个格子应包括表的每一行和每一列。 D.调运量都大于零 26、对于一个至少有4个不同单元格的有序序列，如果（）那么该序列就称为回路。ABC A.任何两个相邻单元格都在同一行或列 B.没有任何三个相邻单元格在同一行或列 C.第一个单元格和最后一个单元格在同一行或列。 D.任何两相邻格间均有直线相连 27、比较最小元素法、西北角法和沃格尔法三种方法，下列说法正确的是：ABC A．沃格尔法给出的解的目标函数值通常最小B．最小元素法给出的方案一般不是最好的 C．西北角法解的目标函数值通常最大。D．沃格尔法得出的是最优解 28、运输问题的基本可行解有特点（）。BD A.产销平衡 B.不含闭回路 C.有m+n个位势 D.有m＋n－1个基变量 29、确定运输问题初始方案可采用的方法有：ACD A.最小元素法 B.闭回路法 C.位势法 D.西北角法 31、求解运输问题的步骤包括：BCD A. 写出其线性规划模型 B. 求出初始调运方案 C.方案调整 D. 求检验数 32、关于运输问题的产销矩阵表，下列说法正确的是：ABD A.它的最下一行表示需求量 B.它的最右一列表示供给量 C.中间的格子中只有运量 D.运量一般在格子右下角 33、调整运输方案时需用到闭回路，关于它的说法正确的是：BCD A.其中至少有一个格子为非基变量格 B.它只由水平和垂直的直线组成 C.它是封闭的折线 D.对某个非基变量格来说，它是唯一的 34、在闭回路调整过程中，当奇数格中有两个或两个以上是相等的最小运量时：CD A.没法继续求解 B.这几个奇数格变量全部出基 C.只有一个出基 D.其余同为最小运量的奇数格里运量为零 35、若运输表是一个m行n列的表格，则：ABD A.每一行对应于一个供应地 B.每一列对应于一个需求地 C.运输表共有m+n个格子 D.每个格子对应于从一个供应地出发到一个需求地的运输路线。 36、对纯粹转运站，下列说法正确的是：AC A.它的供给量等于需求量 B.它的供给量可等于也可小于或大于需求量 C.它的净供给为零 D.它不能在产销矩阵表的行中 37、运输问题中，闭回路的特点包括：ABCD A. 闭回路均为一封闭折线，它的每一条边，或为水平的，或为垂直的； B. 闭回路的每一条边（水平的或垂直的）均有且仅有两个闭回路的顶点（变量格） C. 第一个单元格和最后一个单元格在同一行或列 D.闭回响中没有任何三个相邻单元格在同一行或列 38、在m个产地n个销地的运输问题中，基本可行解满足的条件包括：ACD A. 满足所有约束条件 B. 基变量个数等于m+n C. 产生基本解的变量对应的单元格不包含回路 D. 产生 基本解的变量格包括表的每一行和每一列。 44、求最小树的方法有：BC Ａ.标号法 B.破圈法 C.避圈法 D.逆序求解法 45、网络最大流问题求解结果中，哪些结果不一定唯一？AC A.最大流 B.最大流量 C.最小割Ｄ. 最小割容量 46、网络最大流问题求解结果中，哪些结果是唯一的? BD Ａ.最大流 B.最大流量 C.最小割 D.最小割容量 47、在容量网络上满足什么条件的图上的流称为可行流? AC Ａ.中间点平衡条件 B.非饱和 C.容量限制 D.非零 48、求解网络最大流的标号法中,所寻找的增广链中的弧一定满足什么条件? AC A.正向非饱和 B.正向零流 C.反向非零流 D.反向非饱和 49、最小树一定是：ABCD A.无圈图 B.支撑子图 C.连通图 D.生成子图 50、树图中次为1的点的个数不可能是：ACD A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 51、关于有向容量网络G=(N,A,C)，下列说法正确的是：BC A.该网络中任何一个点的流入量均等于流出量 B.一个可行流是最大流，当且仅当不存在关于它的从出发点到终点的增广路 C.其最大流量等于最小割的容量 D.它的最大流一定是最小费用流 三、判断题(共206小题） 1、1957年，我国从“夫运筹帷之中，决胜于千里之外”这句话中摘取运筹两字，将Operations Research译作运筹学。A 2、运筹学的英文名字是Operations management。B 3、我国第一个运筹学研究小组于1976年在中科院力学所成立。B 4、运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及生产经营活动A 5、运筹学的目的在于针对所研究的系统求得一个合理应用人才，物力和财力的最佳方案。A 6、运筹学最早是应用在生产管理方面。B 7、线性规划的标准形式要求每个变量都为非负。A 8、满足线性规划所有约束条件的各变量的一组值称为线性规划问题的可行解。A 9、线性规划所有可行解的集合构成可行域。A 10、使线性规划的目标函数达到最优值的可行解称为线性规划的最优解。A 11、基解都是可行的。B 12、基解的个数一定有n m C个。B 13、线性规划是指该问题的目标函数是决策变量的线性函数，但对约束条件没要求。B 14、规划问题的数学模型由三个要素组成：变量、目标函数和约束条件。A 15、线性规划的标准形式不要求约束条件的右端常数项为非负。B 16、为构造初始可行基，当约束条件为等式时，经常需增加人工变量。A 17、转化为标准形时，引入的松驰变量在目标函数中的系数为0。A 18、转化为标准形时，引入的剩余变量在目标函数中的系数为0。A 19、转化为标准形时，引入的人工变量在目标函数中的系数为0。B 20、对线性规划问题一般都可通过图解法求解。B 21、求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解、无穷多最优解、无界解、无可行解。A 22、若线性规划问题的可行域存在，则其可行域是一个凹集。B 23、线性规划问题的最优解如果存在，则它一定可以在可行域的某个顶点取得。A 24、在标准形式的线性规划问题中，令所有非基变量为零，求解约束方程组，得出基变量的值，基变量与非基变量的值一起称为线性规划的基解。A 25、满足非负约束条件基解称为基可行解。A 26、当线性规划的所有约束条件均为≤号时，其松驰变量的系数矩阵为单位矩阵。A 27、目标函数求最小时，所有非基变量的检验数≤0时，最优解在现有顶点取得。A(若检验数是Cj-Zj求得，就是所有非基变量的检验数≥0时，最优解在现有顶点取得。两种计算检验数的方式不同，判断结果是相反的，两种都可以。有很多题目类似，注意判断) 28、求目标函数极大值时，如存在某个非基变量的检验数＞0，而它对应的列向量中各系数值均＜0，则表明该问题无可行解。B 29、只要人工变量的取值大于0，目标函数就不可能实现最优。A 30、两阶段法中，当第一阶段的求解结果出现所有非基变量的检验数≤0，而基变量中仍含有不为零的人工变量，则原问题无可行解。A 31、单纯形法计算的实质是用矩阵的初等行变换求解约束方程组，但求出的是基可行解。A 32、基本解中，非基变量的值一定为零。A 33、线性规划的可行域为凸集，即集合中任意两点连线上的一切点仍然在该集合中。这样的凸集表现为一个凸多边形，在空间上必将是一个凸几何体。A 34、线性规划的最优解在凸集的某一个顶点上达到（存在凸集的某一条边界上达到的可能性）。A 35、线性规划的可行域若有界，则一定有最优解。A 36、求最小化的线性规划中，如果单纯形表中所有的检验数都为正，则对应的基本可行解就是最优解B 37、如果求极大值的线性规划单纯形表中，某一检验数大于0，而且对应变量所在列中没有正数，则问题无最优解。B 38、在线性规划的模型中全部变量要求是整数B 39、基本解对应的基是可行基。B 40、若线性规划无最优解则其可行域无界。B 42、凡基本解一定是可行解.B 43、线性规划的最优解一定是基本解。B 44、可行解集非空时,则在极点上至少有一点达到最优值。B 45、线性规划问题的最优解一定是在可行域的顶点达到。A 47、线性规划的可行解集是凸集。A 48、如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。A 49、线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。A 50、线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。B 51、如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。B 52、大M法中的M是一个很大的正数。A 57、单纯形法中，如果选择了一个非基变量成为进基变量时，一定可以找到一个离开的基变量。B 58、单纯形法中，如果选择了进基变量时，无法找到一个离开的基变量，则计算终止。A 59、单纯形法中，如果选择了进基变量时，通过比值测试发现有2个基变量均可离开，则计算终止。B 60、单纯形法中，如果选择了进基变量时，通过比值测试发现有2个基变量均可离开，则有一基变量将退化为零。A 61、如果一个线性规划问题无可行解，那么它必无最优解。A 62、线性规划模型中减少一个约束条件，可行域的范围一般将缩小。B 63、线性规划的决策变量是指问题中需要确定的未知量，可由决策者决定和控制。A 64、线性规划中，目标函数是决策变量的线性函数，只能是求最大化。B 65、线性规划中，决策变量取值时会受到各种条件的限制，通常表示为含决策变量的线性等式或不等式。A 66、利用线性规划的图解法求解时，需先将该问题转化为标准型。B 67、利用线性规划的图解法求解时，需建立极坐标系。B 68、利用线性规划的图解法求解时，目标函数图示为一条直线。A 69、线性规划一定有最优解。B 70、线性规划问题的基是指一组变量。B 71、若线性规划的约束方程组为m*n 阶系数矩阵，n>m ，其秩为m ，则基为m 阶满秩子矩阵。A 72、对应于基本可行解的基为可行基。A 73、基本解中，基变量的值一定不为零。B 74、运输问题不是线性规划问题。B 75、运输问题不可用单纯形法求解。B 76运输问题通常用表上作业法求解。A 77、平衡的运输成本最小化问题不可能有无界解。A 78、运输问题的m+n 个约束条件都是线性独立的。B 79、运输问题有m+n-1个基变量。A 80、运输问题的解中非零变量的个数不能大于m+n-1个。A 81、最小元素法的基本思想是优先考虑单位运价最小（或运距最短）的供销业务。A 82、运输问题的解的最优性检验可用闭回路法。A 83、运输表中，每一个空格总可以和一些填有数字的格用水平线或垂直线连在一闭合回路上。A 84、闭回路都是一个简单的矩形，不可以是由水平和垂直线组成的其它更复杂的封闭多边形。B 85、当迭代到运输问题的最优解时，如果有某个非基变量的检验数等于零，则说明该运输问题有无穷最优解。A 86、产量大于销量时，可虚拟一产地。B 87、产销平衡问题是说产地与销地的数量相等。B 88、求解运输问题时，表上作业法一般比单纯形法简单方便。A 89、表上作业法求解运输问题的基本步骤是确定初始调运方案，最优性检验，方案调整。A 90、当产地i 也起中转作用时，在产销平衡表中，它的产量应改为∑+i i a a 。A 91、运输问题是一种特殊的线性规划问题，其解也有四种情况：唯一最优解、无穷多最优解、无界解，无可行解。B 92、运输问题约束方程中独立方程的个数少于m+n 个。A 93、当所有产地产量和销地均为整数时，运输总问题的最优解也为整数解。A 94、按最小元素法给出的初始基可行解，从每一空格出发可找到而且仅能找到惟一的闭回路。A 95、整数规划的最优解是先求相应的线性规划的最优解然后取整得到B 96、运输问题运价表中某一行元素分别乘以一个常数,则最优解不变。B 97、运输问题模型是一种特殊的线性规划模型，所以运输问题也可以用单纯形法求解。A 98、在运输问题中，只要给出一组非全部为零的值 ，且满足约束等式，就可以作为一个基本可行解。B 99、用位势法计算检验数时，可先从某一行（或列）开始，给出第一个位势的值，这个先给出的位势值必须是正的。B 100、用位势法计算检验数时，每一行（或列）的位势的值是唯一的，所以每一个空格的检验数是唯一的。B 101、有些生产和库存计划问题可转化为运输问题。A 102、产销不平衡的运输问题也可以用表上作业法来求解。A 103、表上作业法是求解运输问题的一种简单方法。A 104、当运输问题的目标是求最大化时，应用最大元素法来求初始解。A 105、假想销地的销量实际上没有运输，故单位运价一般为零。A 106、假想产地的产量实际上没有运输，故单位运价一般为零。A 107、产销平衡表中的运价中如果有M ，它的意思是不允许运输。A 108、运输问题的检验数不可以用位势法来求。B 109、对有m 个产地n 个销地的平衡的运输问题，如果用位势法求检验数，则对应的u 有n 个。B 110、对有m 个产地n 个销地的平衡的运输问题，如果用位势法求检验数，则对应的v 有m 个。B 111、当所有产地的产量和销地的销量都是整数时，运输问题的基可行解也是整数。A 112、按最小元素法给出的解为初始基本可行解。A 113、闭回路中允许一行有三个顶点（格）。B 114、闭回路中拐弯的地方全部为拐90度。A 115、运输问题中算检验数时，从某个非基变量格出发找到的闭回路可以含奇数个格子。B 116、调整运输方案时，如果把非基变量格标为1，则调整量为奇数格中运量最小运量。B 117、调整运输方案时，如果把非基变量格标为0，则调整量为奇数格中运量最小运量。A 118、调整完运输方案时，需再次计算检验数。A 119、求解运输成本最小的问题时，如果检验数全部为负，则最优解已经找到。A 120、在运输问题中，只要给出一组含m+n-1个非零值的解，就可以作为一个基本可行解。B 121、用于描述决策变化的量称为决策变量。A 133、策略就是决策。B 145、运筹学中的图需不需计较点的相对位置，也不计较线的形状与长短。A 146、环与圈是一样的。B 147、图中的点（或顶点）都是端点。B 148、两个点离得近就是它们是相邻的。B 149、无环也无多重边的图称为简单图。A 150、与一个点相关联的边的条数为点的次（或度）。A 151、连通图中无孤立点。A 152、若图的任何两个点之间都至少有一条链，则称该图是连通的。A 153、完全图与连通图一样。B 154、若图G1的点集与边集均为另一图G2的子集，则称G1是G2的子图。A 155、连通图中，若存在一回路，过每边至少一次，则称这条回路为欧拉回路。B 156、连通图中，若存在一道路，过每边一次且仅一次，则称这条回路为欧拉道路。A 157、无向连通图都是欧拉图。B 158、无向连通图有二个以上奇点时，它有欧拉道路。B 159、无向连通图的边集可划分为若干初等回路时，该图为欧拉图。A 160、中国邮路问题与欧拉问题是一样的。B 161、中国邮路问题可描述为：给定一个连通图，每边有非负权，要求一条回路过每边至少一次，且满足总权最小。A 162中国邮路问题的最优解中任意两点间的多重边可以是三重边。B 163、Dijkstra 法只可求有向图中的最短有向路。B 164、Dijkstra 法可求出连通图中任意两点间的最短路。B 165、Dijkstra 法无法解决连通图中有负权的最短路问题。A 166、P 标号为永久性标号，T 标号为试探性标号。A 167、树图都是连通图。A 168、生成子图都是生成树。B 169、可用避圈法求解连通图的生成树或最小生成树。A 170、中国邮路问题可用奇偶点图上作业法求解。A 171、哥尼斯堡七桥难题存在欧拉回路。B 172、瑞士数学家欧拉解决哥尼斯堡七桥难题的论文是有记载的第一篇图论论文。A 173Dijkstra 法的基本思想是若序列｛v1,v2…vn -1,vn ｝是v1从到vn 的最短路，则序列｛v1,v2…vn -1｝必为从v1到vn-1的最短路。A 175、哥尼斯堡七桥问题是欧拉首先解决的。A 176、一般把不带箭头的线叫边，带箭头的线叫弧。A 177、如果一个图是由点和边组成的，那么它是无向图。A 178、如果一个图是由点和弧组成的，那么它是有向图。A 179、以点v 为端点的边的个数称为点v 的度或次。A 180、在一个图G=(V,E)中，全部点的度之和等于边数。B 181度为零的点也是偶点。B 182、任意一个图中，奇点的个数为偶数。A 183、一个无环无重复边的图称为初等图。B 184、一条至少包括一条弧，且始点与终点重合时，称它是回路。A 185、如果一条链中的点都是不同的，那么称它为简单链。B 186、如果一条链中的边都是不同的，那么称它为初等链。B 187、如果一条圈中的点都是不同的，那么称它为初等圈。A 188、如果一条圈中的边都是不同的，那么称它为简单圈。A 189、FORD 算法可求解带负权的最短路问题。A 190、带容量的有向图称为网络，记为D=(V,A,C).A 191、对有向网络来说，一般认为，始点的总流出量和收点的总流入量不相等。B 192、对有向网络来说，一般认为，每一个中间点的流入量与流出量相等。A 193、对有向网络来说，每条弧上的流量不能超过它的容量。A 194、对有向网络来说，每条弧上的流量不能等于零。B 195、对任意一个网络来说，可行流并不总是存在。B 196、饱和弧是指该弧上的流量等于其容量。A 197、非饱和弧是指该弧上的流量小于其容量。A 198、前身弧是指其弧的方向与连接始点与终点的链的方向一致。A 199、网络中一个可行流是最大流的充分必要条件是：不存在关于该可行流的增广链。A 200、一个网络D 中，最大流的流量等于分开始点与终点的最小截集的截量。A 201、一个网络D 中，任何一个可行流的流量小于等于分开始点与终点的任何一个截集的截量。A 202、若向量组A ：4321,,,αααα线性无关，则B ：321,,ααα也线性无关。A 203、若向量组A ：4321,,,αααα线性相关，则B ：321,,ααα也必线性相关。B 204、向量组s ααα ,,,21 线性相关，则至少含有一个零向量。B 205、设T=(N,E)是3||≥N 的一个图，如果T 的任两点间都有唯一的链相连，则T 是一棵树。A 206、G 有支撑树当且仅当G 是连通的。A 第1次作业 一、填空题（本大题共30分，共 10 小题，每小题 3 分） 1. 图解法的基本理论是: ______ 2. 最短路是在一网络中，求给定 ______ 到 ______ 的一条路长最短的路 3. 最小树是 ______ 最小的树（无圈连通图）。 4. 匈牙利算法适用于 ______ 。 5. 若标准线性规划问题有可行解，则必有 ______ 。 6. 模型在 ______ 确定过程中须注意选择真正起作用的因素，筛去那些对模型目标无显著影响的因素。对选定的因素；应注意它们是 ______ 还是 ______ 的，能否 ______ 等。 7. ______ 从第一段开始计算逐段向后递推，计算后一段要用到 ______ 的求优结果，而 ______ 的结果就是全过程的最优策略，即寻优的方向与多阶段决策过程实际进行的方向相同。 8. 运筹学的分析步骤一般包括: ______ ； ______ ； ______ ； ______ 。 9. 整数规划模型是在其松弛问题基础上附加了 ______ 得整数约束条件，因此，整数规划得解题是 ______ 的后续部分。 10. 模型规范要求模型的建立须在 ______ 、 ______ 、 ______ 下进行，相应的环境、范围与要求必然地要对模型起限制作用。此外，要素本身变化有一定限度，要素的相互影响作用也只能在 ______ 内保持有效。 二、简答题（本大题共40分，共 8 小题，每小题 5 分） 1. 简述路的基本概念。 2. 图解法适用范围？ 3. 运输问题的求解方法？ 4. 多阶段决策过程最优化对决策者的要求 5. 整数规划与其松弛问题之间在可行域及其解方面有什么对应关系? 6. 线性规划问题可行域的概念？ 7. 图解法基本思想及步骤？ 8. 影子价格具有的特点。 三、综合分析题（本大题共30分，共 2 小题，每小题 15 分） 1. 按对变量的不同要求，还可将整数规划分为下述几种类型： ______ ______ ______ 2. 某物流中心拟选择一条从A地到F地的运输线路，可供选择路线及各点间的距离如下图；试问：应如何选择路线使总距离最短（单位运输成本为一常数，同时也是使总成本最小）？ 2011年春季学期运筹学第一次作业 一、单项选择题（本大题共100分，共 50 小题，每小题 2 分） 1. 整数规划要靠( )为之提供其松弛问题的最优解。 A. 0-1规划 B. 动态规划 C. 动态规划 D. 线性规划 2. 运筹学的应用另一方面是由于电子计算机的发展，保证其( )能快速准确得到结果 A. 建模 B. 计算 C. 分析 D. 反馈 3. 隐枚举法是省去若干目标函数不占优势的( )的一种检验过程。 A. 基本可行解 B. 最优解 C. 基本解 D. 可行解 4. 对偶问题与原问题研究出自( )目的。 A. 不同 B. 相似 C. 相反 D. 同一 5. 敏感性分析假定( )不变，分析参数的波动对最优解有什么影响。 A. 可行基 B. 基本基 C. 非可行基 D. 最优基 6. 从系统工程或管理信息预测决辅助系统的角度来看，管理科学与( )就其功能而言是等同或近似的。 A. 统计学 B. 计算机辅助科学 C. 运筹学 D. 人工智能科学 7. 闭回路的特点不包括( )。 A. 每个顶点都是直角 B. 每行或每列有且仅有两个顶点 C. 每个顶点的连线都是水平的或是垂直的 D. 起点终点可以不同 8. 运输问题分布m*n矩阵表的横向约束为( )。 A. 供给约束 B. 需求约束 C. 以上两者都有可能 D. 超额约束 9. 动态规划综合了( )和“最优化原理”。 A. 一次决策方法 B. 二次决策方法 C. 系统决策方法 D. 分级决策方法 10. 线性规划问题不包括( )。 A. 资源优化配置 B. 复杂系统结构性调整 C. 混沌系统分析 D. 宏、微观经济系统优化 11. 当资源价格小于影子价格时，应该( )该资源。 A. 买入 B. 卖出 C. 保持现状 D. 借贷出 12. 破圈法直至图中( )时终止。 A. 只有2个圈 B. 最多1个圈 C. 没有圈 D. 只有1个圈 13. 分枝定界法将原可行解区域分解成( )。 A. 2个搜索子域 B. 3个搜索子域 C. 2个及以上的搜索子域 D. 3个及以上的搜索子域 14. 一个无环、但允许多重边的图称为( )。 A. 简单图 B. 复杂图 C. 复图 D. 多重图 15. 运筹学把( )当成一个有机整体看待。 A. 决策变量 B. 目标函数 C. 研究对象 D. 研究环境 16. 两点之间不带箭头的联线称为( ) A. 边 B. 弧 C. 链 D. 路 17. 线性规划标准形式的目标函数为( )。 A. 极大化类型 B. 极小化类型 北京交通大学远程与继续教育学院 2010-2011学年第一学期网络教育期末试卷 年级 2010级专业层次专升本成绩 运筹学课程（ A卷） 一、判断题(在下列各题中，你认为题中描述的内容为正确者，在题尾括号内写“√”，错误者写“×”。每小题3分，共15分) 1.× 2.√ (3)√ (4)× (5)√ 二、填空题（每个空2分，共20分）： 1．定量决策混合性决策 2．特尔斐法专家小组法。 3．箭线式结点式 4．固定可变 5．检验修正 三、选择题（每小题3分，共15分)： 1.D 2.D 3.A 4.B 5.D 四、简答题（每小题10分，共20分）： 1.简述线性规划问题的特征。 线性规划问题可归结为在变量满足线性约束条件下，求使线性目标函数值最大或最小的问题。它们具有共同的特征。 （1）每个问题都可用一组决策变量(x1,x2,…x n)表示某一方案，其具体的值就代表一个具体方案。通常可根据决策变量所代表的事物特点，可对变量的取值加以约束，如非负约束。 （2）存在一组线性等式或不等式的约束条件。 （3）都有一个用决策变量的线性函数作为决策目标（即目标函数），按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。 2.什么是链？什么是简单链？什么是初等链？ 在无向图G=(V,E)，称一个点和边交替的序列{v i1,e i1,v i2,e i2,…v it-1,v it}为连接v i1和v it的一条链。简记为{v i1,v i2,…v it}。其中e ik=(v ik,v ik+1),k=1,2,…t-1。 点边序列中只有重复的点而无重复边者称为简单链。 点边序列中没有重复的点和重复边者称为初等链。 五、解：（1）因存在初始可行基()456,,T x x x ，故可令1x ,2x ,3x 全为0,则可得初始可行解为(0,0,0,5,2,6)T ，Z ＝5。初始单纯行表为： c j 2 -1 1 1 0 0 b C B X B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 1 x 4 x 5 x 6 -1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 2 1 1 0 0 1 5 2 6 j 3 -2 0 0 0 0 z =0 (2)非基变量2x ,3x 仍然取零，1x 由0变为1,即1x ＝1, 2x ＝0,3x =0,代入约束条件得一个可行解X=(1,0,0,6,1,4)T 。其目标函数值为Z ＝8 因此，随着1x 增加1个单位目标函数值的净增量为△Z ＝8-5=3. （3）因为决策变量全非负所以由约束条件①知1x 增加可以引起2x ,3x ,4x 增加，即条件①对1x 无约束；由约束条件②知1x 增加可引起2x ,5x 减少，由非负约束知1x 最大增量为2；同理可得约束条件③的1x 最大增量为3，综合得1x 的最大增量为2。 （4）1x ＝2，非基变量2x =0,3x ＝0,代入约束条件得基可行解X=(2,0,0,7,2,2)T ，目标函数值为Z ＝11。 六、解：（1）订货成本＝（13400－10760）/22＋280＋8×2.5＝420（元） （2）储存成本＝4＋28.5＋20＝52.50（元） （3） （4） （5）再订货点R ＝L×D＋B ＝6×10000/（50×6）＋100＝300（套） （6） 计算每年与储备存货相关的总成本＝与批量相关的成本＋购置成本＋固定订货成本＋固定储存成本＋保险储备的变动储存成本 第1次作业 一、单项选择题（本大题共40分，共 20 小题，每小题 2 分） 1. 0-1规划求解方法没有( )。 A. 枚举法 B. 隐枚举法 C. 单纯形法 D. 避圈法 2. 隐枚举法是省去若干目标函数不占优势的( )的一种检验过程。 A. 基本可行解 B. 最优解 C. 基本解 D. 可行解 3. 敏感性分析假定( )不变，分析参数的波动对最优解有什么影响。 A. 可行基 B. 基本基 C. 非可行基 D. 最优基 4. 运输问题分布m*n矩阵表的横向约束为( )。 A. 供给约束 B. 需求约束 C. 以上两者都有可能 D. 超额约束 5. 运筹学有针对性地表述研究对象的( )。 A. 数学结构 B. 客观运动规律 C. 基本特征 D. 基本要素 6. 当资源价格小于影子价格时，应该( )该资源。 A. 买入 B. 卖出 C. 保持现状 D. 借贷出 7. 对偶问题与原问题研究的是( )对象。 A. 2种 B. 不同的 C. 1种 D. 相似的 8. 运输问题的求解方法不包括( )。 A. 单纯形法 B. 表上作业法 C. 破圈法 D. 计算机方法 9. 分枝定界法将原可行解区域分解成( )。 A. 2个搜索子域 B. 3个搜索子域 C. 2个及以上的搜索子域 D. 3个及以上的搜索子域 10. 关于分配问题，叙述错误的是( )。 A. 一人只能做一件任务 B. 任务数>0 C. 资源数>1 D. 总消耗或总收益要达到极值 11. 按决策变量要求，整数规划包括( )。 A. 纯整数规划和网络规划 B. 混整数规划和动态规划 C. 0-1规划和线性规划 D. 分派问题和0-1规划 12. 图解法适用于求解( )决策变量的像性规划问题。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无要求 13. 动态规划首先对一个( )的复杂动态问题进行分级处理。 A. 单阶段 B. 两阶段 C. 多阶段 D. 随机阶段 14. 运筹学的现代化工具是( )。 A. 模型理论 B. 求解算法 C. 电子计算机 D. 智能方法 15. 分阶段隐枚举法从上个阶段的始发点寻找( )。 A. 任意点 B. 最近点 C. 紧邻点 D. 较远点 16. 最短路径描述不正确的是( )。 A. 由各个连线长度组成 B. 可能不止一条 C. 由网络最短路决策产生 D. 只是最短路径问题的可行解 17. 线性规划要使目标函数达到( )。 A. 特定值 B. 特定区间 C. 极值 D. 无限 2011年5月 目录 摘要 (3) 一、引言 (3) 二、运筹学概述 (4) 三、运筹学的发展 (4) 四、运筹学的理论体系 (5) （1）规划论 (5) （2）决策论 (6) （3）运输问题 (6) （4）存储论 (6) （5）图论 (7) (6) 排队论 (7) （7）博弈论 (7) 五、运筹学的应用所涉及的领域 (8) （1）市场销售 (8) （2）生产计划 (8) （3）库存管理 (8) （4）运输问题 (9) （5）财政和会计 (9) （6）人事管理 (9) （7）城市管理 (9) 六、运筹学国内外应用现状 (9) 七、结论 (11) 八、结语 (11) 参考文献 (11) 浅析管理运筹学在实际生活中的应用 摘要：随着经济的快速发展和社会的进步，社会各行各业之间的竞争日益激烈，尤其表现为对资源的争夺。因此，在有限的资源下获得最大的利益是每个竞争者所考虑的问题，这也是经济学和运筹学所着重解决的问题。运筹学就是以数学为主要手段、着重研究最优化问题解法的学科。作为一门实用性很强的学科，运筹学可以用来很好的解决生活中的许多问题。运筹学有着广泛的应用，对现代化建设有重要作用。正因为如此，运筹学在企业决策领域中有着广泛的应用。众所周知，运筹学研究的根本目的在于对资源进行最优化配置，用数学的理论与方法指导社会管理，提高生产效率，创造经济效益。而企业投资的根本目的也是在资源的优化配置和有限资源的有效使用的基础上，达到既定目标，实现企业利润最大化。然而，随着市场竞争的日趋激烈，决策是否有效对于企业生存发展的影响愈来愈大。正确的决策可以使企业获利并促进企业的发展，而错误的或者无效的决策只能使企业无利可获甚至亏损，阻碍企业的发展。而运筹学、经济学、博弈论等决策性的科学可以引导投资者选择最佳投资组合策略，为决策者在投资决策过程中提供一些有价值的思路。用来解决人们用纯数学方法或者现实实验无法解决的问题，对企业正确决策的形成有着积极地促进作用。 关键词：管理运筹学；决策；应用；博弈论；理论体系；效益 一、引言 人们无论从事任何工作，不管采取什么行动，都希望所制订的工作或行动方案，是一切可行方案中的最优方案，以期获得满意的结果，诸如此类的问题，通常称为最优化问题。运筹学就是以数学为主要手段、着重研究最优化问题解法的学科。求解最优化问题的关键，一是建立粗细适宜的数学模型，把实际问题化 作业一： （1） Minf(X)=x 12+x 22+8 x 12-x 2≤0 -x 1- x 22+2=0 x 1, x 2≥0 解：该非线性规划转化为标准型为： Minf(X)=x 12+x 22+8 g 1(X)= x 2- x 12≥0 g 2(X)= -x 1- x 22+2≥0 g 3(X)= x 1+x 22-2≥0 g 4(X)= x 1≥0 g 5(X)= x 2≥0 f(X)， g 1 2 0 ∣H ∣= = =4>0 0 2 -2 0 ∣g 1∣= = =0≥0 0 0 0 0 ∣g 2∣= = =0 x 2 2 x 1x 2 x 1x 2 x 12 2f(X) 2 f(X) 2f(X) 2f(X) x 22 x 1x 2 x 1x 2 x 12 2g 1(X) 2g 1(X) 2 g 1(X) 2 g 1(X) x 22 x 1x 2 x 1x 2 x 12 2 g 2(X) 2g 2(X) 2g 2(X) 2g 2(X) 0-2 设数（0<<1），令C(x)=x2，指定任意两点a和b，则 C(a+(1-)b)= 2a2+(1-)2b2+2(1-)ab (1) C(a)+(1-)C(b)= a2+(1-)b2 (2) 于是C(a+(1-)b)- (C(a)+(1-)C(b))=a2(2-)-b2(1-)+2(1-)ab =(2-)(a-b)2≤0 所以C(a+(1-)b)≤C(a)+(1-)C(b) 故C(x)=x2为凸函数，从而g3(X)=x1+x22-2为凸函数。 从而可知f(X)为严格凸函数，约束条件g3(X)为凸函数，所以该非线性规划不是凸规划。 （2）Minf(X)=2x12+x22+x32-x1x2 x12+x22≤4 5 x1+ x3=10 x1, x2, x3≥0 解：该非线性规划转化为标准型为： Minf(X)=2x12+x22+x32-x1x2 g1(X)=4- x12-x22≥0 g2(X)= 5 x1+ x3-10=0 g3(X)= x1≥0 g4(X)=X2≥0 （勤奋、求是、创新、奉献） 2007～2008学年第二学期末考查试卷 学院_________________ 班级__________ 姓名__________ 学 号___________ 三、已知线性规划问题（10分） Max Z =1X+2X -1X+2X+3X≤2 -21X+2X-3X≤1 1 X，2X，3X≥0 试用对偶理论证明上述线性规划问题有无界解。 证明：所给问题的对偶问题为 Min W=21Y+2Y -1Y-22Y≥1 1 Y+2Y≥1 1 Y-2Y≥0 -1Y-22Y≥1 显然约束条件中-1Y-22Y≥1不成立，即此对偶问题无可行解，因此所给问题无最优解，它只可以是无界解或者无可行解。然而X=（0，0，0）显然是它的可行解，因此它必定有无界解。 四、已知线性规划问题（15分） max f =2x 1－x 2 +x 3 s.t. x 1+x 2 +x 3≤6 x 1+2x 2≤10 x 1≥0，x2≥0，x3≥0 的最优单纯形表如下 ?? ，（2分） 则 ，将 代替最优表中的 ， （4分） 由此可知：最优解产生了变化，且最优解为T X )0,0,3,0,4(*=。（2分） （1） 写出运输问题的数学模型； （2） 用最小元素法找出初始基本可行解； （3） 求出初始基本可行解的检验数，找出闭回路，确定调整量； （4分） 205 55005201500*=?? ?? ? ??=f X （3分） 从而得最优指派： 最少的耗时数z=4+4+9+11=28。 八、已知网络如下图，每条有向边上数组为（cij ，fij ）（15分） . (1)向x 为何值时，网路上流为可行流？（2）求网络的最大流、最大流量。（3）证明（2）中得到的结论。(题中k=考生学号最后一位.0号写成10) （1） - +=22f f .41=+∴x 3=∴x （3分） （2）网路上增流链Ⅰ：（令k=1） t s v v v v )2,4()0,1()3,6(31； 调整量θ＝1，调整后， t s v v v v )3,4()1,1()4,6(31（2分） 网络上增流链Ⅱ： t s v v v v v )3,4()3,5()1,1()4,6(321； 调整量θ＝1。调整后， 乙 丙 丁 俄 日 英 德 练习一 1、 某厂接到生产A 、B 两种产品的合同,产品A 需200件,产品B 需300件。这两种产品的生产都经过毛坯制造与机械加工两个工艺阶段。在毛坯制造阶段,产品A 每件需要2小时,产品B 每件需要4小时。机械加工阶段又分粗加工与精加工两道工序,每件产品A 需粗加工4小时,精加工10小时;每件产品B 需粗加工7小时,精加工12小时。若毛坯生产阶段能力为1700小时,粗加工设备拥有能力为1000小时,精加工设备拥有能力为3000小时。又加工费用在毛坯、粗加工、精加工时分别为每小时3元、3元、2元。此外在粗加工阶段允许设备可进行500小时的加班生产,但加班生产时间内每小时增加额外成本4、5元。试根据以上资料,为该厂制订一个成本最低的生产计划。 解:设正常生产A,B 产品数12,x x ,加班生产A,B 产品数34,x x 13241324341324min 3(22444477)7.5(47)2(10101212) z x x x x x x x x x x x x x x =+++++++++++++.s t 132412121 2 12200300241700471000 10123000 475000i x x x x x x x x x x x x x +≥?? +≥??+≤? +≤??+≤?+≤?? ≥?且为整数，i=1,2,3,4 2、 对某厂I ,Ⅱ,Ⅲ三种产品下一年各季度的合同预订数如下表所示。 时为15000小时,生产I 、Ⅱ、Ⅲ产品每件分别需时2、4、3小时。因更换工艺装备,产品I 在2季度无法生产。规定当产品不能按期交货时,产品I ,Ⅱ每件每迟交一个季度赔偿20元,产品Ⅲ赔偿10元;又生产出来产品不在本季度交货的,每件每季度的库存费用为5元。问:该厂应如何安排生产,使总的赔偿加库存的费用为最小(要求建立数学模型,不需求解)。 解:设x ij 为第j 季度产品i 的产量,s ij 为第j 季度末产品i 的库存量,d ij 为第j 季度产品i 的需求量。 运筹学知识体系概述 于玉琪 中科院上海药物研究所 摘要：运筹学是包含多种学科的综合性学科，是最早形成的一门软科学。它把 科学的方法、技术和工具应用到包括一个系统管理在内的各种问题上，以便为那些掌管系统的人们提供最佳的解决问题的办法。本文首先对运筹学做了简单介绍，并回顾了运筹学的产生和历史，同时介绍了运筹学研究对象、定义和特点，重点介绍了运筹学的各个分支及主要解决方法，深入探讨了各个分支的应用领域和具体解决问题。 关键词：运筹学；分支；解决方法 1运筹学简介 运筹学是包含多种学科的综合性学科，是最早形成的一门软科学。它把科学 的方法、技术和工具应用到包括一个系统管理在内的各种问题上，以便为那些掌 管系统的人们提供最佳的解决问题的办法。它用科学的方法研究与某一系统的最 优管理有关的问题。它能帮助决策人解决那些可以用定量方法和有关理论来处理 的问题。 现在普遍认为，运筹学是近代应用数学的一个分支，主要是将生产、管理等 事件中出现的一些带有普遍性的运筹问题加以提炼，然后利用数学方法进行解 决。前者提供模型，后者提供理论和方法。 运筹学主要研究经济活动和军事活动中能用数量来表达的有关策划、管理方 面的问题。当然，随着客观实际的发展，运筹学的许多内容不但研究经济和军事 活动，有些已经深入到日常生活当中去了。运筹学可以根据问题的要求，通过数 学上的分析、运算，得出各种各样的结果，最后提出综合性的合理安排，以达到 最好的效果。 虽然不大可能存在能处理及其广泛对象的运筹学，但是在运筹学的发展过程 中还是形成了某些抽象模型，并能应用解决较广泛的实际问题。 随着科学技术和生产的发展，运筹学已渗入很多领域里，发挥了越来越重要 的作用。运筹学本身也在不断发展，现在已经是一个包括好几个分支的数学部门 了。比如：数学规划（又包含线性规划、非线性规划、整数规划、组合规划等）、 图论、网络流、决策分析、排队论、可靠性数学理论、库存论、对策论、搜索论、 模拟等。 运筹学有广阔的应用领域,它已渗透到诸如服务、库存、搜索、人口、对抗、 控制、时间表、资源分配、厂址定位、能源、设计、生产、可靠性、设备维修和 2015-2016学年第二学期 运筹学实验报告 实验设计题目：生产计划问题 小组成员：刘阳春130800194 乔瑞娜130800197 梅蕊杰130800196 班级： 2013级数学与应用数学二班专业：数学与应用数学 运筹学实验教学大纲 一、本课程的目的与任务 运筹学是数学与应用数学、物流管理、工程管理等专业的专业基础课程。为提高学生应用运筹学方法与计算机软件的独立工作能力，运筹学实验教学本着“突出建模、结合软件、加强应用”的指导思想，以学生自己动手为主，利用《运筹学》课程所学过的基础理论和基本方法，对一些实际题目进行建模，再运用计算机软件进行求解，对解进行检验和评价，写出课程设计报告，从而巩固学生的理论知识和提高学生运用知识的能力。 二、本课程实验内容及具体要求 1. 对学生能力培养的要求： （1）掌握各种运筹学模型的共性和特性，掌握不同运筹学模型的求解步骤和计算方法，在实践中正确地运用运筹学理论和方法解决实际问题； （2）掌握运筹学软件的求解方法，同时培养学生一定的科研能力和严谨的科学态度。 2. 实验教学的具体要求： （1）熟悉软件 结合教师演示和实验指导书，熟悉用运筹学软件解决运筹学问题的方法。 （2）选题建模 学生选取指导教师提供需要解决的众多实际问题中相应问题，进行分析建模。在建模的基础上，要求学生编写或选取适当的运筹学软件工具求解。结合具体题目，对软件求解结果进行分析解释。 （3）提交报告 根据要求编写实验报告。 三、实验项目的设置及学时安排 本课程实验要求学生从提供的实际问题中抽取相应的题目，通过具体的计算机语言编写程序，求解问题，然后利用熟悉常用的运筹学软件，如WINQSB、LINGO等，对问题进行验证。本课程设计分三个阶段：熟悉软件、选题建模、提交报告。具体进度安排如下： 运筹学A卷) 一、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,答案选错或未选者,该题不得分。每小题1分,共10分) 1.线性规划具有唯一最优解就是指 A.最优表中存在常数项为零 B.最优表中非基变量检验数全部非零 C.最优表中存在非基变量的检验数为零 D.可行解集合有界 2.设线性规划的约束条件为 则基本可行解为 A.(0, 0, 4, 3) B.(3, 4, 0, 0) C.(2, 0, 1, 0) D.(3, 0, 4, 0) 3.则 A.无可行解 B.有唯一最优解medn C.有多重最优解 D.有无界解 4.互为对偶的两个线性规划, 对任意可行解X 与Y,存在关系 A.Z > W B.Z = W C.Z≥W D.Z≤W 5.有6 个产地4个销地的平衡运输问题模型具有特征 A.有10个变量24个约束 B.有24个变量10个约束 C.有24个变量9个约束 D.有9个基变量10个非基变量 6、下例错误的说法就是 A.标准型的目标函数就是求最大值 B.标准型的目标函数就是求最小值 C.标准型的常数项非正 D.标准型的变量一定要非负 7、m+n－1个变量构成一组基变量的充要条件就是 A.m+n－1个变量恰好构成一个闭回路 B.m+n－1个变量不包含任何闭回路 C.m+n－1个变量中部分变量构成一个闭回路 D.m+n－1个变量对应的系数列向量线性相关 8.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系 A.原问题无可行解,对偶问题也无可行解 B.对偶问题有可行解,原问题可能无可行解 C.若最优解存在,则最优解相同 D.一个问题无可行解,则另一个问题具有无界解 9、有m个产地n个销地的平衡运输问题模型具有特征 A.有mn个变量m+n个约束…m+n-1个基变量 B.有m+n个变量mn个约束 C.有mn个变量m+n－1约束 D.有m+n－1个基变量,mn－m－n－1个非基变量 10.要求不超过第一目标值、恰好完成第二目标值,目标函数就是 练习一 1. 某厂接到生产A 、B 两种产品的合同，产品A 需200件，产品B 需300件。这两种产品的生产都经过毛坯制造与机械加工两个工艺阶段。在毛坯制造阶段，产品A 每件需要2小时，产品B 每件需要4小时。机械加工阶段又分粗加工和精加工两道工序，每件产品A 需粗加工4小时，精加工10小时；每件产品B 需粗加工7小时，精加工12小时。若毛坯生产阶段能力为1700小时，粗加工设备拥有能力为1000小时，精加工设备拥有能力为3000小时。又加工费用在毛坯、粗加工、精加工时分别为每小时3元、3元、2元。此外在粗加工阶段允许设备可进行500小时的加班生产，但加班生产时间内每小时增加额外成本4.5元。试根据以上资料，为该厂制订一个成本最低的生产计划。 解：设正常生产A,B 产品数12,x x ，加班生产A,B 产品数34,x x 13241324341324min 3(22444477)7.5(47)2(10101212)z x x x x x x x x x x x x x x =+++++++++++++.s t 132412121 2 12200300241700471000 10123000 475000i x x x x x x x x x x x x x +≥?? +≥??+≤? +≤??+≤?+≤?? ≥?且为整数，i=1,2,3,4 2. 对某厂I ，Ⅱ，Ⅲ三种产品下一年各季度的合同预订数如下表所示。 工时为15000小时，生产I 、Ⅱ、Ⅲ产品每件分别需时2、4、3小时。因更换工艺装备，产品I 在2季度无法生产。规定当产品不能按期交货时，产品I ，Ⅱ每件每迟交一个季度赔偿20元，产品Ⅲ赔偿10元；又生产出来产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费用为5元。问：该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存的费用为最小(要求建立数学模型，不需求解)。 解：设x ij 为第j 季度产品i 的产量，s ij 为第j 季度末产品i 的库存量，d ij 为第j 季度产品 实验报告 课程名称运筹学 实验项目名称运筹学常用软件的使用 班级与班级代码 实验室名称（或课室） 专业物流管理 任课教师 学号： 姓名： 实验日期：2012年9月27日、2012年12月6日 实验报告成绩 实验目的 （1）学会安装并使用Lingo软件 （2）利用Lingo求解各种规划问题 实验设备 计算机 Lingo软件 实验步骤 （1）打开已经安装Lingo软件的计算机，进入Lingo （2）建立数学模型和Lingo语言 （3）输入完Lingo语言后运行得出求解结果 LINGO是用来求解线性和非线性优化问题的简易工具。LINGO内置了一种建立最优化模型的语言，可以简便地表达大规模问题，利用LINGO高效的求解器可快速求解并分析结果。 当在windows下开始运行LINGO系统时，会得到类似下面的一个窗口： 外层是主框架窗口，包含了所有菜单命令和工具条，其它所有的窗口将被包含在主窗口之下。在主窗口内的标题为LINGO Model – LINGO1的窗口是LINGO的默认模型窗口，建立的模型都都要在该窗口内编码实现。下面是以线性规划问题与运输问题为例进行试验的具体步骤 一求解线性题目 1.1数学模型 max z=3x1+4x2 -x1+2x2 ≤ 8 x1+2x2 ≤ 12 2x1+ x2 ≤ 16 x1, x2 ≥ 0 打开Lingo； 输入 MAX = 3*X1+4*X2; -X1+2*X2<=8; X1+2*X2<=12; 2*X1+X2<=16; end 实验结果如下：Rows= 4 Vars= 2 No. integer vars0.6666667= 0 ( all are linear) Nonzeros= 11 Constraint nonz= 6( 3 are +- 1) Density=0.917 Smallest and largest elements in abs value= 1.00000 16.0000 No. < : 3 No. =: 0 No. > : 0, Obj=MAX, GUBs <= 1 Single cols= 0 Optimal solution found at step: 0 Objective value: 30.66667 Variable Value Reduced Cost X1 6.666667 0.0000000 X2 2.666667 0.0000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 30.66667 1.000000 2 9.33333 3 0.0000000 3 0.0000000 1.666667 4 0.00000032 0.666668 二求解运输问题 使用LINGO软件计算6个发点8个收点的最小费用运输问题。产销单位运 价如下表。 销地 B1B2B3B4B5B6B7B8产量产地 A1 6 2 6 7 4 2 5 9 60 A2 4 9 5 3 8 5 8 2 55 A3 5 2 1 9 7 4 3 3 51 A4 7 6 7 3 9 2 7 1 43 A5 2 3 9 5 7 2 6 5 41 运筹学作业（第二章） 工商管理1班段振楠 1、习题2.8（第53页） a、确定的活动和资源（如表一所示） b、需要作出的决策：确定最佳投资比例，使得收益最大化。 决策的限制：6000美元的资金和600小时的时间 决策的全面绩效测度：600小时内最大的收益 c、定量表达式：总利润=投资A公司的利润*对A公司的投资比例+投资B公司的利润 *对B公司的投资比例 约束条件：对A公司投资+对B公司投资≤6000美元 对A公司投资时间+对B公司投资时间≤600小时 d、建立电子表格模型（如下图所示） 如图所示：表格中橙色为目标单元格，黄色为可变单元格，蓝色为数据单元格。 e、因为这个模型满足许多线性规划模型的特征： 1、需要做出许多活动水平的决策，因此可变单元格被用来显示这些水平。 2、这些活动的水平能够满足许多的约束条件的任何值 3、每个约束条件对活动水平的决策进行了限制 4、活动水平的决策是以进入目标单元格的一个完全绩效侧度为基准 5、每个输出单元格的Excel等式可表达为一个SUMPRODUCT函数。 f、建立代数模型如下：假设P为总利润，W为投资A公司的比例，D为投资B公司的比例。 目标函数为P=4500W+4500D 约束条件为5000W+4000D≤6000 400W+500D≤600 W≥0，D≥0 求得最优解为投资A公司资金、时间的三分之二，投资B公司资金、时间的三分之二，得最大总利润为6000美元。 h、图解法解答如下： 2、习题2.45（第59页） 由电子表格可知当食品构成为面包2片、花生黄油1汤匙、果酱1汤匙、牛奶0.31杯、果酸蔓果汁0.69杯时成本最小，为58.84美元 b、建立代数模型如下：(设P为总成本，A、B、C、D、E、F分别为面包、花生奶油、果酱、苹果、牛奶、果酸蔓果汁的用量) 依题意我们可知 目标函数为P=6A+5B+8C+35D+20E+40F 约束条件为A≥2, B≥1, C≥1, D≥0, E+F≥1 15A+80B+60E≤0.3*（80A+100B+70C+90D+120E+110F） 80A+100B+70C+90D+120E+110F≤500 80A+100B+70C+90D+120E+110F≥300 4C+6D+2E+80F≥60 4A+3C+10D+F≥10 3、习题3.4 （第88页） a、要实现的目标是最后的现金余额最大，需要六年的现金流量，选择对项目A、B、C的投资比例，同时保证每年的资金余额大于等于100万。 b 若完全参加A 第一年的期末余额为 1000-400-0.5*1000+600=700万 第二年的期末余额为 700-600-0.5*350+600=350万 c、草拟的电子表格模型草图如下： 运 筹 学 考 卷 1 / 51 / 5 考试时间: 第十六周 题号一二三四五六七八九十总分 评卷得分 ： 名 一、单项选择题。下列每题给出的四个答案中只有一个是正确的，将表示正确 姓 答案的字母写这答题纸上。（10 分, 每小题2 分） 1、使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当所有的检验数j 0 ，在 线 基变量中仍含有非零的人工变量，表明该线性规划问题（） A. 有唯一的最优解； B. 有无穷多个最优解； C. 无可行解； D. 为无界解 2、对偶单纯形法解最大化线性规划问题时，每次迭代要求单纯形表中（）： 号 A．b 列元素不小于零B．检验数都大于零 学 C．检验数都不小于零D．检验数都不大于零 3、在产销平衡运输问题中，设产地为m 个，销地为n 个，那么基可行解中非 零变量的个数（） 订 A. 不能大于(m+n-1)； B. 不能小于(m+n-1)； C. 等于(m+n-1)； D. 不确定。 4、如果要使目标规划实际实现值不超过目标值。则相应的偏离变量应满足（） A. d 0 B. d 0 C. d 0 D. d 0,d 0 5、下列说法正确的为（） ： 业 A．如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解 专 B．如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解 装 C．在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或极小，原 问题可行解的目标函数值都一定不超过其对偶问题可行解的目标函数 D．如果线性规划问题原问题有无界解，那么其对偶问题必定无可行解 ： 院 学 2 / 52 / 5 二、判断下列说法是否正确。正确的在括号内打“√”，错误的打“×”。（18 分，每 小题2 分） 1、如线性规划问题存在最优解，则最优解一定对应可行域边界上的一个点。（） 2、单纯形法计算中，如不按最小比列原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一 个基变量的值为负。（） 3、任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题。（） 4、若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其最偶问题也一定具有无穷多最优解。 （）5、运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求解结果也可能出现下列四种情况之 一：有惟一最优解，有无穷多最优解，无界解，无可行解。（） 6、如果运输问题的单位运价表的某一行（或某一列）元素再乘上那个一个常数k ， 最有调运方案将不会发生变化。（） 7、目标规划模型中，应同时包含绝对约束与目标约束。（） 8、线性规划问题是目标规划问题的一种特殊形式。（） 9、指派问题效率矩阵的每个元素都乘上同一常数k，将不影响最优指派方案。（） 三、解答题。（72 分） max z 3x 3x 1 2 1、（20分）用单纯形法求解 x x 1 2 x x 1 2 4 2 ；并对以下情况作灵敏度分析：（1）求 6x 2 x 18 1 2 x 0, x 0 1 2 5 c 的变化范围；（2）若右边常数向量变为2 b ，分析最优解的变化。 2 20 2、（15 分）已知线性规划问题： max z x 2x 3x 4x 1 2 3 4 s. t. x 2x 2x 3x 20 1 2 3 4 2x x 3x 2x 20 1 2 3 4 x x x x , , , 0 1 2 3 4 其对偶问题最优解为y1 1.2, y2 0.2 ，试根据对偶理论来求出原问题的最优解。 第2次作业 一、单项选择题（本大题共100分，共 40 小题，每小题 2.5 分） 1. 如果一个图由点以及边组成，称之为( )。 A. 链图 B. 连通图 C. 无向图 D. 有向图 2. 称次为( )的点为孤立点。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 都不对 3. 求解线性规划问题，就是求( )可行解中的最优解问题。 A. 2个 B. 3个 C. 有限个 D. 无限个 4. 运筹学的应用另一方面是由于电子计算机的发展，保证其( )能快速准确得到结果 A. 建模 B. 计算 C. 分析 D. 反馈 5. 基可行解对应的基，称为( )。 A. 最优基 B. 可行基 C. 最优可行基 D. 极值基 6. 原问题的决策变量个数等于对偶问题的( )。 A. 决策变量个数 B. 不等式约束个数 C. 等式约束个数 D. 约束条件个数 7. 分派问题的决策变量( )。 A. 均为整数 B. 均为非负整数 C. 部分为非负整数 D. 为0和1 8. 如果一个图由点以及弧组成，称之为( )。 A. 链图 B. 连通图 C. 无向图 D. 有向图 9. 隐枚举法是省去若干目标函数不占优势的( )的一种检验过程。 A. 基本可行解 B. 最优解 C. 基本解 D. 可行解 10. 分枝定界法不会增加( )的个数。 A. 决策变量 B. 约束条件 C. >=0的决策变量 D. <=0的决策变量 11. 对偶问题与原问题研究出自( )目的。 A. 不同 B. 相似 C. 相反 D. 同一 12. 分派问题求解方法没有( )。 A. 枚举法 B. 匈牙利算法 C. 单纯形法 D. 避圈法 13. 资源价格大于影子价格时，应该( )该资源。 A. 买入 B. 卖出 C. 保持现状 D. 借贷出 14. 混整数规划的决策变量( )。 A. 均为整数 B. 均为非负整数 C. 部分为非负整数 D. 为0和1 15. 敏感性分析假定( )不变，分析参数的波动对最优解有什么影响。 A. 可行基 B. 基本基 C. 非可行基 D. 最优基 16. 运筹学有明确的目标要求和为实现目标所具备的各种( ) A. 资源要素 B. 必需条件 C. 求解算法 D. 实现工具 17. 从系统工程或管理信息预测决辅助系统的角度来看，管理科学与( )就其功能而言是等同或近似的。 A. 统计学 B. 计算机辅助科学 C. 运筹学 D. 人工智能科学 18. 线性规划要求决策变量个数为( )。 A. >=0 《运筹学》实验指导书 课程代码：0900030 课程名称：运筹学/Operational Research 开课院实验室：管理学院实验中心 适用专业：工商管理、工程管理、管理信息、工业工程、工程造价等专业 教学用书：《运筹学》（《运筹学》编写组编写，清华大学出版社出版） 第一部分实验课简介 一、实验的地位、作用和目的及学生能力标准 运筹学是一门应用科学，在教学过程中通过案例分析与研究并与现代计算机技术相结合，力求实现理论与实践相结合，优化理论与经济管理专业理论相结合。实验，是《运筹学》课程中重要的实践环节。通过实验，可弥补课堂理论教学中的不足，增加学生的感性知识；要使学生能掌握系统的管理科学中的整体优化和定量分析的方法，熟练运用运筹学程序，对实际问题和研究对象进行系统模拟。 二、试验内容 应用Lindo6.1版运筹学软件包，解决实际问题。 三、实验方式与基本要求 1、实验方式：综合性实验 预习要求：复习编程方法及线性规划、整数规划的算法，对实际问题和研究对象，构造数学模型，确定优化技术方法，设计出原始数据表格。 实验设备：台式电脑 实验要求：按实验任务要求调试程序，程序执行结果应正确。 实验分组：1人/组 2、基本要求 （1）在实验室进行实验前，学生熟悉实验软件Lindo程序、操作方法等； （2）将程序调好后，将程序结果记录，并由实验教师检查后签字； （3）将数据及有关的参数等记录在已经设计好的原始数据表格中； （4）在一周内完成实验报告。 四、考核方式与实验报告要求 学生进入实验室后签到，实验结束后，指导教师逐个检查并提问，根据学生操作、实验结果、回答问题情况及实验纪律及作风等方面给出学生成绩，再综合实验报告情况给出最后的成绩。报告格式如附录。 第一次实验要求：建模并求解（excel规划求解） 1、合理下料问题． 现要做100套钢架，每套由长2.8米、2.2米和1.8米的元钢各一根组成，已知原材料长6.0米，问应如何下料，可以使原材料最省？如果每套钢架由2.8米的元钢1根、2.2米的元钢2根、1.8米的元钢3根，则如何修改数学模型？ 2、配料问题． 某工厂要用三种原材料甲、乙、丙混合调配出三种不同规格的产品A、B、C．已知产品的规格要求、产品单价、每天能供应的原材料数量及原材料单价（分别见表1和表2），问该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？ 表1 表2 3、连续投资问题． 某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知： 项目A，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115%； 项目B，第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125%，但规定最大投资额不超过4万元； 项目C，第二年初需要投资，到第五年末能回收本利140%，但规定最大投资额不超过3万元； 项目D，五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%． 该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到第五年末拥有的资金的本利总额为最大？ 4、购买汽车问题． 某汽车公司有资金600 000元，打算用来购买A、B、C三种汽车．已知汽车A每辆为10 000元，汽车B每辆为20 000元，汽车C每辆为23 000元．又汽车A每辆每班需一名司机，可完成2 100吨·千米；汽车B每辆每班需两名司机，可完成3 600吨·千米；汽车C每辆每班需两名司机，可完成3 780吨·千米．每辆汽车每天最多安排三班，每个司机每天最多安排一班．限制购买汽车不超过30辆，司机不超过145人．问：每种汽车应购买多少辆，可使每天的吨·千米总数最大？ 5、人员安排问题． 某医院根据日常工作统计，每昼夜24小时中至少需要如下表所示数量的护士，护士们分别在各时段开始时上班，并连续工作8小时，向应如何安排各个时段开始上班工作的人数，才能使护士的总人数最少？运筹学 ( 第1次 )
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