数列3 等比数列
考点1:等比数列的定义、中项等
1. 等比数列的定义:
()()*1
2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且,q 称为公比 2. 通项公式: ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q
-===??≠?≠, 首项:1a ;公比:q 推广:n m n m a a q -=, 从而得n m n m a q a -=
或n q =3. 等比中项
(1)如果,,a A b 成等比数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2A ab =
或A =注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比
中项互为相反数)
(2)数列{}n a 是等比数列?211n n n a a a -+=?
基本方法:
等比数列{a n }中,a n =a 1q n -1,S n =a 1-q n
1-q
中有五个量,可以知三求二;
例1.
已知2,a ,b ,c,4成等比数列,则实数b 等于( )
A .2 2
B .-2 2
C .± 2
D .8
例2.
若等比数列{a n }各项都是正数,a 1=3,a 1+a 2+a 3=21,则a 3+a 4+a 5的值=( )
A .21
B .42
C .63
D .84
例3.
若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ,则公比为( )
A .2
B .4
C .8
D .16
考点:等比数列的判定和证明
1.等比数列的判定方法
(1)用定义:对任意的n,都有11(0)n n n n n a a qa q q a a ++==≠或
为常数,?{}n a 为等比数列
(2) 等比中项:211n n n a a a +-=(11n n a a +-≠0)?{}n a 为等比数列
(3) 通项公式:()0n n a A B A B =??≠?{}n a 为等比数列
(4) 前n 项和公式:()'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-?=-或为常数?{}n a 为
等比数列
2. 等比数列的证明方法 依据定义:若()()*1
2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=?{}n a 为等比数列
例1.
成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.
(1)求数列{b n }的通项公式;
(2)数列{b n }的前n 项和为S n ,求证:数列????
??S n +54是等比数列.
例2.
等比数列{a n }的前n 项和记为S n ,已知a 1=1,a n +1=n +2n ·S n (n ∈N *).证明:数列{S n n }是
等比数列;
例3.
已知数列{a n }、{b n }是各项均为正数的等比数列,记c n =b n a n
(n ∈N *). 数列{c n }是否为等比数列?证明你的结论;
考点:等比数列的最值
(1) 当1q ≠时 ①等比数列通项公式()1110n n n n a a a q
q A B A B q
-===??≠是关于n 的带有系数的类指数函数,底数为公比q ②前n 项和()
111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A q q q q
--==-=-?=-----,系数和常数项是互为相反数的类指数函数,底数为公比q
(2) 对任何m,n ∈*N ,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t ∈*N ),则n m s t a a a a ?=?.特别的,当n+m=2k 时,得2n m k a a a ?=
注:12132n n n a a a a a a --?=?=???
(4) 列{}n a ,{}n b 为等比数列,则数列{}n
k a ,{}n k a ?,{}k n a ,{}n n k a b ??{}n n a b (k 为非零常数) 均为等比数列.
(5) 数列{}n a 为等比数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++???)仍为等比数列
(6) 如果{}n a 是各项均为正数的等比数列,则数列{log }a n a 是等差数列
(7) 若{}n a 为等比数列,则数列n S ,2n n S S -,32,n n S S -???,成等比数列
(8) 若{}n a 为等比数列,则数列12n a a a ??????, 122n n n a a a ++??????, 21223n n n a a a ++???????成等比数列
(9) ①当1q >时, ②当1q <0<时,
110{}0{}{n n a a a a ><,则为递增数列,则为递减数列, 110{}0{}{n n a a a a ><,则为递减数列,则为递增数列
③当q=1时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列);
④当q<0时,该数列为摆动数列.
(10)在等比数列{}n a 中, 当项数为2n (n ∈*N )时,1S S q
=奇偶,. (11)若{}n a 是公比为q 的等比数列,则n n m n m S S q S +=+?
例1.
在等比数列{a n }中,如果公比q <1,那么等比数列{a n }是( ).
A .递增数列
B .递减数列
C .常数列
D .无法确定数列的增减性
例2.
已知等比数列前n 项的和为2,其后2n 项的和为12,求再后面3n 项的和.
例3.
等比数列{a n }的首项为a 1=2010,公比q =-12.
(1)设b n 表示数列{a n }的前n 项的积,求b n 的表达式;
(2)在(1)的条件下,当n 为何值时,数列{b n }有最大项?