学校: 临清一中 学科:数学 编写人:秦雪峰 审稿人:张林
3.2立体几何中的向量方法
教学目标:
1. 掌握好向量的相关知识:概念、基本运算、建系方法、坐标求法(不定点的坐标)、平行与垂直、法向量求法
2. 掌握向量作为工具解决立几问题的方法
3. 向量解题后建议多思考传统的方法,不仅可以锻炼思维能力,还可以深刻认识空间几何的本质
重点难点:向量作为工具解决立几问题的方法
教学过程:
相关知识与能力:
一.空间距离的计算
1. 空间两点间的距离:设A 、B 是空间两点,则A 、B 两点间的距离d=|AB |
2.两条异面直线间的距离:设a 、b 是两条异面直线,n 是a 、
b 的公共法向量(即b n a n ⊥⊥且),点A ∈a,B
∈b
则异面直线a 、b 间的距离 d = 即n AB 在方向上的射影长为异面直线a 、b 间的距离。
3.点(或线)到平面的距离:
1)设,.,外一点是平面点的法向量是平面ααo P
P
是平面α内任一点,则P O
d = 2)直线与平面(或平面与平面)的距离转化为点到平面的距离。
二.空间角度的计算
1. 两条异面直线所成的角:设l 1与l 2两条异面直线,n ∥l 1 , m ∥l 2,则l 1与l 2所成的角
α=<,>或α=л -<,> (0<α≤2
π) 所示图)
见第一3.cos sin ==βθ
cos (0<α≤2 π) 2. 斜线P 0P 与平面α所成的角θ)20(π θ<< 3.二面角:设相交平面α与β的法向量分别为m n ,,则α与β所成的角的大小为 典例分析: 例1.在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 分别是BD D D ,1的中点,G 在棱CD 上,且CD CG 4 1=,H 为C 1G 的中点,应用空间向量方法求解下列问题。 (1)求证:EF ⊥B 1C ; (2)求EF 与C 1G 所成的角的余弦; (3)求FH 的长。 解:以D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -,则E (0,0,2 1) F ( 0,21,21)C (0,1,0)B 1(1,1,1)C 1(0,1,1),G (0,4 3,0) ∵ )1,0,1(),21,21,21(1--=-=B ∴ 0210211=++-=?B 则B 1⊥即C B EF 1⊥ α B C D β A (2))1,41,0(1-=C ∴ 4171)41(0222=+-+= 由(18 30)21(4321021231)21()21(1222=?-+?+?=??=++=C 故EF 与G C 1所成角的余弦值为17 51 (3)∵ H 为C 1G 1的中点 ∴ H (0, 21,87),又F (0,21,21) ∴ 8 41)021()2187()210(222=-+-+-= 即841=FH 例2.如图,在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中,E 是DC 的中点,取如图所示的空间直角坐标系。 (1)写出A 、B 1、E 、D 1的坐标; (2)求AB 1与D 1E 所成的角的余弦值。 解:(1)A (2,2,0)B 1(2,0,2),E (0,1,0),D 1(0,2,2) (2)∵ )2,1,0(),2,2,0(11=-=ED AB ∴ 22=2420,511=+-=?=ED AB