专题11 隐圆问题-冲刺2019年高考数学压轴题微切口突破(解析版)
专题11 隐圆问题
直线与圆是高中数学的C 级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现．但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题
类型一 利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆
典例1 如果圆22(2)(3)4x a y a -+--=上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是
________
【答案】6
05
a -<<
【解析】到原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知圆相交求解
2121-<<+∴6
05
a -<<
类型二 由圆周角的性质确定隐形圆
典例 2 已知圆22:5,,O x y A B +=为圆O 上的两个动点，且2,AB M =为弦AB 的中点，
O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的取值范围为
__________．
【答案】()(),20,-∞-?+∞
∴点M 在以O 为圆心，半径为2的圆上．
设CD 的中点为N ，则 ∵当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，
∴以O 为圆心，半径为21的圆外离．
整理得()2
11a +>， 解得2a <-或0a >．
∴实数a 的取值范围为()(),20,-∞-?+∞．
类型三 两定点A 、B ，动点P 满足
(0,1)PA
PB
λλλ=>≠确定隐形圆（阿波罗尼斯圆） 典例3 一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8 海里的A 处，发现在其北偏东30°方向
相距4 海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3 倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．
（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数
据： sin17 5.7446?
≈
≈ ）
（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．
【答案】（1）略（2）能 【解析】：（1）略 （2）如图乙，
以A 为原点，正北方向所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系xOy ．则(2,B ，设缉私艇在P (x ，y )处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私船相遇，则
3PA
PB
=
3=
,22
9944x y ?
??-+= ? ???
因为圆心94?
?到领海边界线l ：x = 3.8的距离为1.55，大于圆半径32
所以缉私艇能在领海内截住走私船．
1．已知ABC ?中，
ABC ?所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ?面积的最大值为__________．
，以BC 所在直线为x 轴、其中垂线OA 所在直线为y 轴建立直角坐标系（如图所示），
，由2
2
2
33PB PC PA +==，得2
22((3
{ (1
x x y
y y x +++=+=，
即ABC ?面积的最大值为
2．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆22
4x y +=上两点， 点A(1,1)，且AB ⊥AC ，则线段BC 的
长的取值范围为_______
【答案】 【解析】
设BC 的中点为M (x,y)，
,
因为22222OB OM BM OM AM =+=+，
所以2222
4(1)(1)x y x y =++-+-，
化简得22
113222x y ?
???-+-= ? ??
???，
所以点M 的轨迹是以11,22??
???为半径的圆，所以AM 的取值范围是??
，
所以BC 的取值范围是．
3．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆和两点()(),2,,2A a a B a a ---，且
1a >，
若圆C 上存在两个不同的点则实数a 的取值范围为__________．
【解析】原问题等价于以,A B 为圆心的圆与圆C 有两个交点，
AB 中点坐标为()0,0，以,A B 为圆心的圆的半径且圆C 的圆心为，半径为21R =，
两圆的圆心距为：
结合1a >可得关于实数a 的不等式组：
求解关于实数a 的不等式组可得实数a 的取值范围为4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （1-，0），B （1，0）均在圆C ： ()()
22
234x y r -+-=外，
且圆C 上存在唯一一点P 满足AP BP ⊥，则半径r 的值为____． 【答案】4
【解析】根据题意,点A(?1,0),B(1,0)，若点P 满足AP BP ⊥， 则点P 在以AB 为直径的圆上，
设AB 的中点为M,则M 的坐标为 (0,0)， |AB|=2， 则圆M 的方程为221x y +=，
若圆C 上存在唯一一点P 满足AP BP ⊥
，则圆C 与圆M 只有一个交点，即两圆外切， 则有r=4.
5．已知等边ABC ?的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足等式?PA PB λ=的点
P 有两个，则实数λ的取值范围是_____． 【解析】以AB 中点为坐标原点，AB
所在直线为x 轴建立直角坐标系，则
： 由?PA PB λ=得221x y λ-+= ，
6.已知圆O ：x 2
＋y 2
＝1，圆M ：(x －a)2
＋(y －a ＋4)2
＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为____________．
【答案】???
?
??2－
22，2＋22 【解析】设P(x ，y)，sin ∠OPA ＝sin30°＝1x 2
＋y
2
，则x 2＋y 2＝4 ①.又P 在圆M 上，则(x －a)2＋(y －a ＋4)
2
＝1 ②.由①②得1≤a 2＋（a －4）2
≤3，所以
4－22≤a ≤4＋2
2
. 7.在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C ：x 2
＋y 2
－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，若点
A 恰为线段O
B 的中点，则圆心
C 到直线l 的距离为____________．
【答案】36
4
【解析】∵ 圆C 1：x 2
＋y 2
－6x ＋5＝0，整理，得其标准方程为(x －3)2
＋y 2
＝4，∴ 圆C 1的圆心坐标为(3，0)；设直线l 的方程为y ＝kx ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立(x －3)2
＋y 2
＝4，y ＝kx ，消去y 可得(1＋k 2
)x 2
－6x ＋5＝0，由题知x 1＝12x 2, y 1＝12y 2，由韦达定理化简可得k 2
＝35，即k ＝±155，直线l 的方程为y ＝±155x ，由点到直线的
距离公式知，所求的距离为
36
4
. 8.在平面直角坐标系xOy 中，过点P(－2，0)的直线与圆x 2
＋y 2
＝1相切于点T ，与圆(x －a)2
＋(y －3)2
＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a 的值为____________．
【答案】4
【解析】圆x 2
＋y 2
＝1半径为1，PO ＝2，则直线PT 的倾斜角为30°，则直线方程为x －3y ＋2＝0，PT ＝3，RS ＝3，圆(x －a)2
＋(y －3)2
＝3的半径为3，则圆(x －a)2
＋(y －3)2
＝3的圆心(a ，3)到直线PT 的距离为3
2
，由点到直线距离公式得|a －1|＝3，则正数a ＝4. 9.在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a)2＋(y ＋a －3)2
＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为__________． 【答案】3
【解析】根据题意，圆M 与以N 为圆心的圆的位置关系是内切或内含．则d MN ≤d ON －1，即1≤d ON －1.所以d ON ≥2恒成立．因为N 在圆M 上运动，所以d ON 的最小值为d OM －1，即d OM －1≥2，所以a 2
＋（3－a ）2
≥3，解得a ≥3，所以a 的最小值为3.
10.已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →
＝λ(λ为常数)，且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则
实数λ的最大值是__________．
【答案】－3
4
【解析】建立平面直角坐标系，B(0，0)，A(2，0)，设C(x ，y)，则CA →·CB →＝x(x －2)＋y 2＝λ，则(x －1)2＋y 2
＝λ＋1，得（x －1）2＋y 2＝λ＋1，点C 的轨迹是以(1，0)为圆心λ＋1为半径的圆且与x 2＋y 2
＝14外离或相
切．所以λ＋1≤12，λ的最大值为－3
4
.
11.在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2
＋y 2
＝r 2
(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足OC →＝54OA →＋34
OB →
，则r 的值为________．
【答案】10
【解析】OC →2＝????54
OA →＋34OB →2
＝2516OA →2＋2·54OA →·34OB →＋916OB →2，即r 2
＝2516r 2＋158r 2cos ∠AOB ＋916r 2，整理化简得cos ∠
AOB ＝－35，过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则cos ∠AOB ＝2cos 2∠AOD －1＝－35，得cos 2
∠AOD ＝15.又圆心到直线的
距离为OD ＝2
2
＝2，所以cos 2
∠AOD ＝15＝OD 2
r 2＝2r 2，所以r 2
＝10，r ＝10.
12.已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2
＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点．若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 横坐标的取值范围是__________．
【答案】[1，5]
【解析】圆M ：(x －1)2
＋(y －1)2
＝4上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，说明点A(x ，y)到M (1，1)的距离小于等于4，即(x －1)2
＋(y －1)2
≤16，而y ＝6－x ，得x 2
－6x ＋5≤0，即1≤x ≤5.点A 横坐标的取值范围为[1，5]． 13.已知点A(0，2)为圆M ：x 2
＋y 2
－2ax －2ay ＝0(a ＞0)外一点，圆M 上存在点T 使得∠MAT ＝45°，则实数a 的取值范围是________________．
【答案】3－1≤a ＜1
【解析】点A(0，2)在圆M ：x 2
＋y 2
－2ax －2ay ＝0(a ＞0)外，得4－4a ＞0，则a ＜1.圆M 上存在点T 使得∠MAT ＝45°，则
AM 2
≤r ＝2a ，即AM ≤2a ，(a －2)2
＋a 2
≤4a 2
(a ＞0)，解得3－1≤a.综上，实数a 的取值范围是3－1
≤a ＜1.
14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 1，圆O 2均与x 轴相切且圆心O 1，O 2与原点O 共线，O 1，O 2两点的横坐标之积为6，设圆O 1与圆O 2相交于P ，Q 两点，直线l ：2x －y －8＝0，则点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为____________．
【答案】85
5
－ 6
【解析】设圆O 1的方程为(x －a)2
＋(y －ka)2
＝k 2a 2
①，圆O 2的方程为????x －6a 2＋???
?y －6k a 2
＝36k
2
a 2 ②，②－①，得
2ax －12a x ＋2aky －12a ky ＋36a 2－a 2＝0，即2x ＋2y －a －6a ＝0.设P(x 0，y 0)，则(x 0－a)2＋(y 0－ka)2＝k 2a 2，即x 20＋y 2
0＝
2ax 0＋2ay 0－a 2，又2x 0＋2y 0－a －6a ＝0，可得2ax 0＋2ay 0－a 2＝6，故x 20＋y 2
0＝6，即点P 的轨迹是以原点为圆心，
半径为6的圆，则点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为
85
5
－ 6. 15.已知直线l 过点P(1，2)且与圆C ：x 2
＋y 2
＝2相交于A ，B 两点，△ABC 的面积为1，则直线l 的方程为________________．
【答案】x －1＝0，3x －4y ＋5＝0
【解析】由S △ABC ＝1
2×2×sin ∠ACB ＝1，sin ∠ACB ＝1，∠ACB ＝90°，则点C(0，0)到直线l 的距离为1，设直线
l 的方程为y －2＝k(x －1)，利用距离公式可得k ＝3
4
，此时直线l 的方程为3x －4y ＋5＝0，当k 不存在时，x －1
＝0满足题意．
16.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2
＋(y －1)2
＝5，A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过A 作圆C 的弦AB ，记线段AB 的中点为M.若OA ＝OM ，则直线AB 的斜率为________．
【答案】2
【解析】设点B(x 0，y 0)，则M ??
??
x 0－22
，y 02，圆x 2＋(y －1)2＝5与x 轴负半轴的交点A(－2，0)，OA ＝OM ＝2＝????x 0－222
＋????y 022
，即????x 0－222
＋???
?y 022
＝4.又 x 2
0＋(y 0－1)2＝5，两式相减得y 0＝2x 0＋4.而A(－2，0)也满足y 0＝
2x 0＋4，即直线AB 的方程为y 0＝2x 0＋4，则直线AB 的斜率为2.
17.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x ＋1)2
＋(y －6)2
＝25，圆C 2：(x －17)2
＋(y －30)2
＝r 2
.若圆C 2上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆C 1依次交于点A 、B ，满足PA ＝2AB ，则半径r 的取值范围是______________．
【答案】[5，55]
【解析】在圆C 2上任取一点P ，过点P 可作一条射线与圆C 1依次交于点A 、B ，当AB 过圆心时，此时PA 在该点处最小，AB 在该点情况下最大，此时在P 点情况下PA
PB
最小，当P ，A ，B 三点共线时，如图1，2，PA 为所有位置最小，且
PA AB 是所有位置中最小，所以只要满足PA
AB
≤2，即满足题意， 错误! 5≤r ≤55.
18.直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2
＋(y －1)2
＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A 、B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为________．
【答案】????
??－34，＋∞ 【解析】以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则C 点到直线l 的距离小于1，即d ＝|k ＋2|
k 2
＋1
≤1，解得k ≤－3
4
.
19平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a)2
＋(y －a ＋2)2
＝1，点A(0，2)，若圆C 上存在点M ，满足MA 2
＋MO 2
＝10，则实数a 的取值范围是________．
【答案】[0，3]
【解析】设M(x ，y)，由MA 2
＋MO 2
＝10，A(0，2)，得x 2
＋(y －1)2
＝4，而(x －a)2
＋(y －a ＋2)2
＝1，它们有公共点，则1≤a 2
＋(a －3)2
≤9，解得实数a 的取值范围是[0，3]．
20.平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2
＋y 2
＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60°，则圆M 的方程为______________．
【答案】(x －1)2＋y 2
＝1
【解析】∵ 当P 在圆C 上运动时∠APB 恒为60°，∴ 圆M 与圆C 一定是同心圆，∴ 可设圆M 的方程为(x －1)
2
＋y 2＝r 2
.当点P 坐标是(3，0)时，设直线AB 与x 轴的交点为H ，则MH ＋HP ＝2，MH ＝12r ，AB ＝2×32r ，所以12r
＋2×
32r ×32
＝2，解得r ＝1，所以所求圆M 的方程为(x －1)2＋y 2
＝1.
高中数学应用题汇总
高中数学应用题汇总 1.两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065. （1）将y表示成x的函数； （11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。 解（1）如图,由题意知AC⊥BC,, 其中当时，y=0.065,所以k=9 所以y表示成x的函数为 （2）令得所以即当时,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数 有最小值 （注：该题可用基本不等式求最小值。）
2.某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数k (1≤k≤3)。 （1）求该企业正常生产一年的利润F(x)与出厂价x的函数关系式；（2）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润. （1）依题意，F(x)＝(x－3)(11－x)2－k(11－x)2＝(x－3－k)(11－x)2，x∈[7,10]. （2）因为F′(x)＝(11－x)2－2(x－3－k)(11－x)＝(11－x)(11－x －2x＋6＋2k) ＝(x－11)[3x－(17＋2k)]. 由F′(x)＝0，得x＝11(舍去)或x＝.(6分) 因为1≤k≤3，所以≤≤. ①当≤≤7，即1≤k≤2时，F′(x)在[7,10]上恒为负，则F(x)在[7,10]上为减函数，所以[F(x)]max＝F(7)＝16(4－k).(9分) ②当7<≤，即2 2019年高考数学模拟试题含答案 一、选择题 1．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A ．24 B ．16 C ．8 D ．12 2．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ． 12 B ． 13 C ． 16 D ． 112 3．已知在ABC 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ） A ．14 - B ． 14 C ．23 - D ． 23 4．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+ D ．0.3 4.4y x =-+ 5．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张 卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ． 12 B ． 13 C ． 23 D ． 34 6．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ?N 中元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ． 54 钱 B ． 43 钱 C ． 32 钱 D ． 53 钱 8．若,αβ是一组基底,向量γ=x α+y β (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量α在基底p =(1,-1), q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则α在另一组基底m =(-1,1), n =(1,2)下的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(0,-2) C ．(-2,0) D ．(0,2) 9．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ：sin B 的值是（ ） A ． 53 B ． 35 C ． 37 D ． 57 10．已知,m n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若m α，m n ⊥，则n α⊥； 数学归纳法 每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释; 积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁? 结合起来看效果更好 体会绝妙解题思路 建立强大数学模型 感受数学思想魅力 品味学习数学快乐 数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法. ●难点磁场 (★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+… +n(n+1)2= 12)1 ( n n (an2+bn+c). ●案例探究 ［例1］试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：a n+c n＞2b n. 命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目. 错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况. 技巧与方法：本题中使用到结论：(a k －c k )(a －c )＞0恒成立(a 、b 、c 为正数)，从而a k +1+c k +1＞a k ·c +c k ·a . 证明：(1)设a 、b 、c 为等比数列，a =q b ,c =bq (q ＞0且q ≠1) ∴a n +c n =n n q b +b n q n =b n (n q 1+q n )＞2b n (2)设a 、b 、c 为等差数列，则2b =a +c 猜想2n n c a +＞(2 c a +)n (n ≥2且n ∈N *) 下面用数学归纳法证明： ①当n =2时，由2(a 2 +c 2 )＞(a +c )2 ，∴222)2 (2c a c a +>+ ②设n =k 时成立，即,)2 (2k k k c a c a +>+ 则当n =k +1时， 4 1 211=+++k k c a (a k +1+c k +1+a k +1+c k +1) ＞41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k ·a )=41 (a k +c k )(a +c ) ＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2 c a +)k +1 ［例2］在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，a n ,S n ,S n －2 1 成等比数列. (1)求a 2,a 3,a 4，并推出a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列{a n }所有项的和. 命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识. 知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明. 错解分析：(2)中，S k =－ 3 21 -k 应舍去，这一点往往容易被忽视. 技巧与方法：求通项可证明{ n S 1}是以{11S }为首项，2 1 为公差的等差数列， 2019年常德市数学高考模拟试卷及答案 一、选择题 1．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A ．24 B ．16 C ．8 D ．12 2．如图，点是抛物线 的焦点，点,分别在抛物线和圆 的实 线部分上运动，且 总是平行于轴，则 周长的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ． 3．将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( ) A ．40 B ．60 C ．80 D ．100 4．函数()1 ln 1y x x = -+的图象大致为( ) A ． B ． C ． D ． 5．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60?，那么3a b -等于（ ） A 7B 10 C 13 D ．4 6．若θ是ABC ?的一个内角，且1 sin θcos θ8 ，则sin cos θθ-的值为（ ） A ．3 B 3C ．5- D 5 7．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3 x π = 对称的函数是（ ） A ．2sin 23y x π?? =+ ?? ? B ．2sin 26y x π?? =- ?? ? C ．2sin 23x y π?? =+ ??? D ．2sin 23y x π? ?=- ?? ? 8．已知函数()3sin 2cos 2[0,]2 f x x x m π =+-在上有两个零点，则m 的取值范围是 A ．（1,2） B ．[1,2） C ．（1,2] D ．[l,2] 9．5 22x x ??+ ?? ?的展开式中4x 的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 10．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4 π α+的值等于（ ） A ． 1318 B ． 3 22 C ． 1322 D ． 318 11．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 12．设双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线2 1y x =+相切，则该双曲 线的离心率等于（ ） A ．3 B ．2 C ．6 D ．5 二、填空题 13．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()2 21y ax a x =+++相切,则 a= ． 14．如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120?，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB ＝BC ＝2，则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为_____． 15．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________． 16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）． 应用题题型归纳 在备考中,需要重点关注以下几方面问题: 1、掌握常见函数如二次函数、三次函数、有理分式函数(尤其二次分式函数 、无理函数等最值的求法,用导数求函数最值要引起重视; 2、加强阅读理解能力的培养,对图形的辨认、识别、分析寻找等量关系式的训练要加强; 3、对于由图标(尤其表格)给出的函数应用题的训练要重视; 4、应用题的背景图形可能由平面多边形、空间多面体转为由平面曲线,如圆,抛物线等围成的图形;空间旋转体等的面积、体积的最值问题 5、熟悉应用题的解题过程:读题、建模、求解、评价、作答、 一、利润问题 1、某种商品原来每件售价为25元,年销售8万件. (1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新与 营销策略改革,并提高定价到．x 元.公司拟投入21(600)6 x -万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入15 x 万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入．．．与总投入．．． 之与？并求出此时商品的每件定价. 2某小商品2012年的价格为8元/件,年销量为a 件,现经销商计划在2013年将该商品的价格降至5、5元/件到7、5元/件之间,经调查,顾客的期望价格为4元/件,经测算,该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格与顾客期望价格的差成反比,比例系数为k ,该商品的成本价格为3元/件。 (1)写出该商品价格下降后,经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式。 (2)设2k a =,当实际价格最低定为多少时,仍然可以保证经销商2013年的收益比2012年至少增长20%？ 3、近年来,某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年 的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为0、5、 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能与电能互补供电的模式、 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费C (与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位:平方米)之间的 函数关系就是 ()(0,20100k C x x k x = ≥+)、 记F 为该村安装这种太阳能供 电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之与、 (1)试解释(0)C 的实际意义, 并建立F 关于x 的函数关系式; (2)当x 为多少平方米时, F 取得最小值?最小值就是多少万元? 4、某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交(13)a a ≤≤元的管理费,预计当每件商品的售价为(79)x x ≤≤元时,一年的销售量为2(10)x -万件. (Ｉ)求该连锁分店一年的利润L (万元)与每件商品的售价x 的函数关系式()L x ; F D C B A 2019年高考数学模拟试题（理科） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。 一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1．已知集合}032{2>--=x x x A ，}4,3,2{=B ，则B A C R ?)(= A ．}3,2{ B ．}4,3,2{ C ．}2{ D ．φ 2．已知i 是虚数单位，i z += 31 ，则z z ?= A ．5 B ．10 C ． 10 1 D ． 5 1 3．执行如图所示的程序框图，若输入的点为(1,1)P ，则输出的n 值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 （第3题） （第4题） 4．如图，ABCD 是边长为8的正方形，若1 3 DE EC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ?= A ．10 B ．12 C ．16 D ．20 5．若实数y x ,满足?? ???≥≤-≤+012y x y y x ，则y x z 82?=的最大值是 A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 6.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为 A ．3228516++ B ．32532+ C ．32216+ D ．32216516++ 7. 5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是 A ． 101 B ．51 C ．103 D ．5 4 8．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，且11-=a ，11++?=n n n S S a ，则5a = A ． 301 B ．031- C ．021 D ．20 1 - 9. 函数()1ln 1x f x x -=+的大致图像为 10. 底面为矩形的四棱锥ABCD P -的体积为8，若⊥PA 平面ABCD ,且3=PA ，则四棱锥 ABCD P -的外接球体积最小值是 函数、不等式型 1、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3 a y x x = +--，其中3 高考文科数学模拟试题精编(一) (考试用时：120分钟 试卷满分：150分) 注意事项： 1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．设全集Q ＝{x |2x 2－5x ?0，x ∈N}，且P ?Q ，则满足条件的集合P 的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 2．若复数z ＝m (m －1)＋(m －1)i 是纯虚数，其中m 是实数，则1 z ＝( ) A ．i B ．－i C ．2i D ．－2i 3．已知等差数列{a n }的公差为5，前n 项和为S n ，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 6＝( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．95 4．小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是( ) A.34 B.23 C.12 D.1 3 5．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图的是( ) 6．已知p ：a ＝±1，q ：函数f (x )＝ln(x ＋a 2＋x 2)为奇函数，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝－2x ，则f (1)＋f (4)等于( ) A.3 2 B ．－3 2 C ．－1 D ．1 8．我们可以用随机数法估计π的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)．若输出的结果为781，则由此可估计π的近似值为( ) A ．3.119 B ．3.124 如何由递推公式求通项公式 高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一，是一类考查思维能力的题型，要求考生进行严格的逻辑推理。找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊，从特殊到一般；化归转换思想，通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，达到化陌生为熟悉的目的。 下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供参考。 类型一：1()n n a a f n +-= 或 1 () n n a g n a += 分析：利用迭加或迭乘方法。即：112211()()+()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+-+…… 或1 21 121n n n n n a a a a a a a a ---=…… 例1.(1) 已知数列{}n a 满足11211 ,2n n a a a n n +==++，求数列{}n a 的通项公式。 （2）已知数列{}n a 满足1(1)1,2n n n a a s += =，求数列{}n a 的通项公式。 解：（1）由题知：121 1 1 1 (1)1n n a a n n n n n n +-===-+++ 112211()())n n n n n a a a a a +(a -a a ---∴=-+-++…… 1111111 ()()()121122 n n n n =-+-++-+---…… 312n = - （2）2(1)n n s n a =+Q 112(2)n n s na n --∴=≥ 两式相减得：12(1)(2)n n n a n a na n -=+-≥ 即：1(2) 1n n a n n a n -=≥- 12 1 121 n n n n n a a a a a a a a ---∴=??…… 121 121n n n n -=??--…… 2019年高考数学模拟试题(含答案) 一、选择题 1．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ． 12 B ． 13 C ． 23 D ． 34 2．若圆与圆22 2:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ） A ．21 B ．19 C ．9 D ．-11 3．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．14 4．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ） A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1 5． ()()3 1i 2i i --+=（ ） A ．3i + B ．3i -- C ．3i -+ D ．3i - 6．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 7．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为P (X ),则P (X =4)的值为 A ．1220 B ．2755 C ． 2125 D ． 27 220 8．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他 十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32 B ．0.2 C ．40 D ．0.25 9．设双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线2 1y x =+相切，则该双曲 线的离心率等于（ ） A ．3 B ．2 C ．6 D ．5 10．在[0,2]π内，不等式3 sin 2 x <-的解集是（ ） A ．(0)π， B ．4,33 ππ?? ??? C ．45,33ππ?? ??? D ．5,23ππ?? ??? 11．将函数()sin 2y x ?=+的图象沿轴向左平移8 π 个单位后，得到一个偶函数的图象，则?的一个可能取值为( ) A ． B ． C ．0 D ．4 π- 12． sin 47sin17cos30 cos17- A ．3 B ．12 - C ． 12 D 3二、填空题 13．若双曲线22 221x y a b -=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程 是___________. 14．曲线2 1 y x x =+ 在点（1，2）处的切线方程为______________． 15．在ABC 中，60A =?，1b =3sin sin sin a b c A B C ________． 16．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos 2 x π的值介于1[0,]2 的概率为 ． 17．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1 ()tan 2 g x x = 的图象交于,,A B C 三点，则ABC ?的面积为__________． 18．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖D 的仰角为45?，乙同学在B 地测得树尖D 的仰角为30，量得10AB AC m ==，树根部为C （,,A B C 在同一水平面上），则 ACB =∠______________. 19．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________． 20．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥 高考数学典型题归纳 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，M ＝{1，4}，N ＝{2，3}，则集合等于 A ．{2，3} B ．{2，3，5，6} C ．{1，4} D ．{1，4，5，6} 2．设复数满足，则z 的共轭复数z = A ． B ． C ． D ． 3. “x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．抛物线()2 40y ax a = ≠的焦点坐标是 A. ()0,a B. (),0a C. 10,16a ? ? ??? D. 1,016 a ?? ??? 5. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，236n n S S +-=，则n = A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这个几何体的体积是 A. 4 3 3cm B. 833cm C.33cm D.4 3cm 7. 已知实数满足约束条件11y x x y y ≤?? +≤??≥-? ，则的 最大为 A . B. C. D. 8. 若执行如图所示的程序框图，则输出的值是 ,x y 2z x y =+3323 2 -3-k ()N M 2019年高考考前冲刺模拟试卷 绝密 ★ 启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 文 科 数 学（一） 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。 2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。 3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合1 {|24}4 x A x =≤≤ ，{|B x y ==，则A B =（ ） A ．}2{ B ．}0{ C ．[2,2]- D ．[0,2] 2．若复数z 满足(1)12z i i +=+，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知圆2 2 :1O x y +=，直线:0l x y m ++=，若圆O 上总存在到直线l 的距离为1的点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(,[22,)-∞-+∞ B ．[- C ．(,1][1,)-∞-+∞ D ．[1,1]- 4．《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作，在《算经》中有一题：某女子善于织布，一天比一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，30天共织布390尺， 则该女子织布每天增加（ ） A ． 7 4 尺 B ． 29 16尺 C ． 15 8尺 D ． 31 16尺 5．已知直线x y =与双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 无公共点，则双曲线离心率的取值范围 为（ ） A ．)+∞ B ．(1 C ．(-∞ D ．]3,2[ 6．某兴趣小组合作制作了一个手工制品，并将其绘制成如图所示的三视图，其中侧视图中的圆的 半径为3，则制作该手工表面积为（ ） A ．π5 B ．π01 C ．π512+ D ．2412π+ 7．在ABC ?中，2=?ABC S ，5AB =，1AC =，则BC =（ ） A ．52 B ．32 C ．32或34 D ．52或24 8．从某中学抽取100名学生进行阅读调查，发现每年读短篇文章量都在50篇至350篇之间，频率 分布直方图如图所示，则对这100名学生的阅读量判断正确的为（ ） A ．a 的值为0.004 B ．平均数约为200 C ．中位数大约为183.3 D ．众数约为350 9．已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且12||||PF PF λ=， 若λ的最小值为 2 1 ，则椭圆的离心率为（ ） A ． 21 B ． 2 2 C ． 3 1 D ． 3 5 10．已知） ，（2 0π α∈，则21tan tan 2tan α αα-+取得最小值时α的值为（ ） 此 卷只 装 订不 密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 2019年高考数学模拟试题及答案 一、选择题 1．若圆与圆22 2:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ） A ．21 B ．19 C ．9 D ．-11 2．若满足 sin cos cos A B C a b c ==，则ABC ?为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30的直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．有一个内角为30的等腰三角形 3．在“近似替代”中，函数()f x 在区间1[,]i i x x +上的近似值（ ） A ．只能是左端点的函数值()i f x B ．只能是右端点的函数值1()i f x + C ．可以是该区间内的任一函数值()(i i f ξξ∈1[,]i i x x +） D ．以上答案均正确 4．在△ABC 中，P 是BC 边中点，角、、A B C 的对边分别是 ，若 0cAC aPA bPB ++=，则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形但不是等边三角形. 5．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2 π )的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( ) 第3讲应用问题中的“瓶颈题” 数学应用问题是高考中常见题型之一,是能否锁定128分的重要突破口.常见的应用题有:(1) 函数与不等式模型;(2) 函数与导数模型;(3) 三角函数模型;(4) 数列模型.解决实际问题的一般步骤:(1) 阅读题目,理解题意;(2) 设置变量,建立函数关系;(3) 应用函数知识或数学方法解决问题;(4) 检验,作答.解应用题的一般思路可表示如下: 分类解密———专题突破 函数与不等式模型的应用题 例1 某工厂有工人214名,现要生产1500件产品,每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成,每个工人加工5个A型零件与加工3个B型零件所需的时间相同.现将工人分成两组,分别加工一种零件,同时开始加工.设加工A型零件的工人有x人,在单位时间里每一个工人加工A型零件5k件,加工完A型零件所需时间为g(x),加工完B型零件所需时间为h(x). (1) 比较g(x)与h(x)的大小,并写出完成总任务的时间f(x)的解析式; (2) 应怎样分组,才能使完成任务用时最少? 练习如图,已知矩形油画的长为a,宽为b.在该矩形油画的四边镶金箔,四个角(图中斜线区域)装饰矩形木雕,制成一幅矩形壁画.设壁画左右两边金箔的宽为x,上下两边金箔的宽为y,壁画的总面积为S. (1) 用x,y,a,b表示S; (2) 若S为定值,为节约金箔用量,应使四个矩形木雕的总面积最大,求四个矩形 木雕总面积的最大值及对应的x,y 的值. (练习) 函数与导数模型的应用题 例1 某建筑公司要在一块如图所示的矩形地面上进行开发建设,阴影部分 为一公共设施,不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f(x)=1-ax 2(a>0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M,N,交曲线于点P,设P(t,f(t)). (1) 将△OMN(O 为坐标原点)的面积S 表示成t 的函数S(t); (2) 若在t=1 2处,S(t)取得最小值,求此时a 的值及S(t)的最小值. (例1) 练习 在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30m 的水底进行 作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为v(米/单位时间),单位时间内用氧量为cv 2(c 为正常数);②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4; ③返回水面时,平均速度为2v (米/单位时间),单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在 此次考古活动中,总用氧量为y. (1) 求出y 关于v 的函数解析式; 1 高考数学-应用题 应用题类型： 1.代数型（1）函数型（2）不等式型（3）数列型（4）概率统计型 2.几何型（1）三角型（2）解析几何型（3）立体几何型 １. 某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元． （1）问第几年开始获利? （2）若干年后，有两种处理方案： 方案一：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船 方案二：总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案合算． 解析. （1）由题意知，每年的费用以12为首项，4为公差的等差数列． 设纯收入与年数n 的关系为f （n ），则 ++-=1612[50)(n n f …9840298)]48(2-+-=-++n n n ． 由题知获利即为f （n ）＞0，由0984022>-+-n n ，得-10511051+< 2 ２. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式； （Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ?=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时） 解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然 ()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得???=+=+60200200b a b a ，解得??? ????=-=320031b a 故函数()x v 的表达式为()x v =()?? ???≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()?????≤≤-<≤.20020,2003 1,200,60x x x x x 当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=?； 当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312 =??????-+≤-=x x x x x f ， 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立． 所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值 3 10000． 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 2019年高考数学模拟试题(附答案) 一、选择题 1．函数ln || ()x x f x e = 的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．设函数()()21,0 4,0 x log x x f x x ?-<=?≥?，则()()233f f log -+=（ ） A ．9 B ．11 C ．13 D ．15 3．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ） A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1 4．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B)P 等于（ ） A ． 4 9 B ． 29 C ． 12 D ． 13 5．若设a 、b 为实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是（ ） A ．6 B ．8 C ．26 D ．426．在二项式4 2n x x 的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ） A ． 1 6 B ． 14 C ． 512 D ． 13 7．若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ） A ．sin(+ )2π α B ．s(+ )2 co π α C ．sin()πα+ D ．s()co πα+ 8．若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是（ ） A ．158 B ．162 C ．182 D ．324 10．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 11．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=， ()()1AQ AC λλ=-∈R ，若3 2 BQ CP ?=-，则λ=（ ） A ． 12 B ． 12 2 ± C ． 110 2 ± D ． 32 2 ± 12．在ABC ?中，60A =?，45B =?，32BC =AC =（ ） A 3B 3 C ．23D ．43二、填空题 13．若双曲线22 221x y a b -=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程 是___________. 14．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是 15．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23 π 的扇形，则此圆锥的高为________cm . 16．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________． 2019高考数学第二轮复习指南：多做典型题 善归纳总结 2019年高考数学第二轮复习计划，在本阶段复习中，以高考数学大纲和高考考试要求为依据，切实做好复习、补漏、重点强化工作，优化组合各方面信息，力求为高考作好全面系统地、充分的准备，争取在高考中取得好成绩。 一、制定复习目标 (一)研究考纲，把准方向 为更好地把握高考复习的方向，考生应该明确考试要求和命题要求，熟知考试重点和范围，以及高考数学试题的结构和特点。以课本为依托，以考纲为依据，对于支撑学科知识体系的重点内容，复习时要花大力气，突出以能力立意，注重考查数学思想，促进数学理性思维能力发展的命题指导思想。 (二)重视课本，强调基础 近几年高考数学试题坚持新题不难，难题不怪的命题方向。强调对通性通法的考查，并且一些高考试题能在课本中找到“原型”。尽管剩下的复习时间不多，但仍要注意回归课本，只有透彻理解课本例题，习题所涵盖的数学知识和解题方法，才能以不变应万变。例如，高二数学(下)中有这样一道例题：求椭圆中斜率为平行弦的中点的轨迹方程。此题所涉及的知识点、方法在2019年春季高考、2019年秋季高考、 2019年秋季高考的压轴题中多次出现。加强基础知识的考查，特别是对重点知识的重点考查；重视数学知识的多元联系，基础和能力并重，知识与能力并举，在知识的“交汇点”上命题；重视对知识的迁移，低起点、高定位、严要求，循序渐进。 有些题目规定了两个实数之间的一种关系，叫做“接近”，以递进式设问，逐步增加难度，又以考生熟悉的二元均值不等式及三角函数为素材，给考生亲近之感。将绝对值不等式、均值不等式、三角函数的主要性质等恰如其分地涵盖。注重对资料的积累和对各种题型、方法的归纳，以及可能引起失分原因的总结。同时结合复习内容，引导学生自己对复习过程进行计划、调控、反思和评价，提高自主学习的能力。 (三)突破难点，关注热点 在全面系统掌握课本知识的基础上，第二轮复习应该做到重点突出。需要强调的是猜题、押题是不可行的，但分析、琢磨、强化、变通重点却是完全必要的。考生除了要留心历年考卷变化的内容外，更要关注不变的内容，因为不变的内容才是精髓，在考试中处于核心、主干地位，应该将其列为复习的重点，强调对主干的考察是保证考试公平的基本措施和手段。同时，还应关注科研、生产、生活中与数学相关的热点问题，并能够用所学的知识进行简单的分析、归纳，这对提高活学活用知识的能力就大有裨益。2019年高考数学模拟试题含答案
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