高中数学学习必备的初中知识技能(2.因式分解)
第二讲 因式分解
一、公式法(立方和、立方差公式)
因式分解与整式乘法是互为逆变形，把整式乘法公式反过来写，就得到：
3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++
这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．
运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解． 【例1】分解因式：
(1) 3
4
381a b b -
(2) 76
a a
b -
解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．
(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-
22222
2
2
2
()()()()()()()()
a a
b a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+
二、分组分解法
从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．
1．分组后能提取公因式
【例2】把2105ax ay by bx -+-分解因式．
解：21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=--
说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．
2．分组后能直接运用公式
【例3】把2
2
x y ax ay -++分解因式．
分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x y +；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a 后，另一个因式也是x y +.
解：2
2
()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+
三、十字相乘法
1．2
()x p q x pq +++型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：
(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．
22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++
因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++,运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【例4】把下列各式因式分解：
(1) 2
76x x -+
(2) 2
1336x x ++
解：(1) 6(1)(6),(1)(6)7=-?--+-=- 2 76[(1)][(6)](1)(6)
x x x x x x ∴-+=+-+-=--．
(2) 3649,4913=?+=
2 1336(4)(9)
x x x x ∴++=++ 说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同． 【例5】把下列各式因式分解：
(1) 226x xy y +-
(2) 222()8()12x x x x +-++
分析：(1) 把226x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是26y -，一次项系数是
y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数．
(2) 由换元思想，只要把2
x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次
三项式2
812a a -+．
解：(1) 2
2
2
2
66(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+- (2) 2
2
2
2
2
()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-
(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-
2．一般二次三项式2
ax bx c ++型的因式分解
大家知道，2
112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2
121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212
,,,a a c c 写成
1
122
a c a c ?，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2
ax bx c ++的一次项
系数b ，那么2
ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 【例6】把下列各式因式分解：
(1) 2
1252x x --
(2) 22568x xy y +-
解：(1) 2
1252(32)(41)x x x x --=-+
324
1-?
(2) 22
568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-
1 254y y -?
说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．
四、其它因式分解的方法
1．配方法
【例7】分解因式2
616x x +-
解：2
2
2
2
2
2
616233316(3)5x x x x x +-=+??+--=+-
(35)(35)(8)(2)x x x x =+++-=+-
说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．
2．拆、添项法
【例8】分解因式3
2
34x x -+
分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．
解： 3
2
3
2
34(1)(33)x x x x -+=+-- 22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+--
22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-
说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将2
3x -拆成22
4x y -，将多项式分成
两组32()x x +和2
44x -+．
一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；
(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； (3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解； (4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
第二讲 习题 A 组
1．把下列各式分解因式： (1) 34xy x +
(2) 33n n x x y +- (3) 2323()a m n a b +-
(4) 2232(2)y x x y -+
2．把下列各式分解因式： (1) 2
32x x -+
(2) 2
3736x x ++
(3)2
1126x x +-
(4) 2
627x x --
(5) 22
45m mn n --
(6) 2()11()28a b a b -+-+
B 组
1．把下列各式分解因式：
(1) 2222
()()ab c d cd a b -+-
(2) 22
484x mx mn n -+-
(3) 4
64x + (4) 32
113121x x x -+-
(5) 3223
428x xy x y y --+
2．已知2
,23
a b ab +==，求代数式22222a b a b ab ++的值．
3．已知0a b c ++=，求证：3223
0a a c b c abc b ++-+=．