南工大概率论期末试卷(2005-2011已整理 就是这么叼)

南京工业大学 概率统计（江浦）课程考试试题

(2004/2005学年第二学期)

一.填空(18分)

1.(4分)设P (A )=0.35， P (A ∪B )=0.80，那么(1)若A 与B 互不相容，则P (B )= ；(2)若A 与B 相互独立，则P (B )= 。

2. (3分)已知5.0)0(=Φ(其中)(x Φ是标准正态分布函数)，ξ~N (1，4)，且

2

1

}{=

≥a P ξ，则a = 。 3．(4分)设随机变量ξ的概率密度为?????<<=其他

,04

0,81

)(x x x f

对ξ独立观察3次，记事件“ξ≤2”出现的次数为η，则=ηE ，=ηD 。

4.(3分)若随机变量ξ在(0，5)上服从均匀分布，则方程4t 2+4ξt +ξ+2=0有实根的概率是 。

5.(4分) 设总体),(~2σμN X ，X 是样本容量为n 的样本均值，则随机变量

∑=???

?

?

?-=n i i X X 12

σξ服从 分布，=ξD 。 二.选择(每题3分，计9分)

1．设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是 （A ）A 与B 不相容 （B ）A 与B 相容 （C ）P (AB )=P (A )P (B ) （D ）P (B A -)=P (A )

2．设随机变量ξ与η均服从正态分布ξ~N (μ，42)，η~N (μ，52)，而

}5{},4{21+≥=-≤=μημξP p P p ，则( )。

(A )对任何实数μ，都有p 1=p 2 (B )对任何实数μ，都有p 1

p 2 3．对于任意两个随机变量ξ和η，若ηξξηE E E ?=)(，则（ ）。

(A )ηξξηD D D ?=)( (B )ηξηξD D D +=+)( (C )ξ和η独立 (D )ξ和η不独立

三(12分)、在电源电压不超过200伏，在200～240伏和超过240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2。假设电源电压ξ服从正态分布N (200, 252)，试求(已知()788.08.0=Φ，其中)(x Φ是标准正态分布函数)：

（1）该电子元件损坏的概率α；

（2）该电子元件损坏时，电源电压在200～240伏的概率β。

四(15分)、设随机变量(ξ，η)的联合概率密度 ???<<=-其它,

00,),(y

x xe y x f y

(1)求ξ、η的边际概率密度并考察ξ与η独立性。 (2)求ηξζ+=的概率密度函数；(3)求ξηρ。

五(8分)、已知随机变量ξ只取－1，0，1，2四个值，相应的概率依次为

c 21，c 43，c

85

，c

167

，确定常数c ，并计算}0|1{≠<ξξP 和ξE 。

六（8分）某单位设置一电话总机，共有200架电话分机。设每个电话分机是否使用外线相互独立的，设每时刻每个分机有5%的概率要使用外线通话，问总机需要多少外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用？

(已知()90.0)282.1(,8413.0)0.1(,788.08.0=Φ=Φ=Φ，其中)(x Φ是标准正态分布函数)

七. (10分) 设总体X ～N (2

,σμ)，其中μ已知，而2σ未知，(x 1，x 2，…，x n )为来自总体的样本值。试求2σ的矩估计量和极大似然估计量。

八(8分)、某门课程考试成绩),(~2σμN X 。从其中任意抽出10份试卷的成绩为：

74，95，81，43，62，52，86，78，74，67

试求该课程平均成绩μ的置信区间。取置信度为95.01=-α。

(已知2281.2)10(,2622.2)9(,8125.1)10(,8331.1)9(025.0025.005.005.0====t t t t )

九(12分)、设某厂生产的灯泡寿命(单位：h )X 服从正态分布),(2σμN ，μ0=1000为μ 的

标准值，2σ为未知参数，随机抽取其中16只，测得样本均值x =946，样本方差s 2=1202。 试在显著性水平α=0.05下，考察下列问题：

(1)这批灯泡的寿命与1000是否有显著差异(即检验H 0：μ =1000，H 1：μ ≠1000)？

(2)这批灯泡是否合格(即检验0

H '：μ ≥1000，1H '：μ <1000)？

南京工业大学 概率统计（江浦）课程考试试题解答

一.填空（18分）

1、0.45； 9/13。 2. 1。

3．189/64； 189/4096。 4. 0.6。

5.)1(2

-n χ； )1(2-n 。

二.选择（9分）

1．(C )。 2(A )。 3．(D )。 三（12分）、 解：引进事件：A 1={电压不超过200V }，A 2={电压在200V ～240V }，A 3={电压超过240V }，B ={电子元件损坏}。 由于ξ~N (220, 252)，因此

?

??

???-≤-=≤=2522020025220}200{)(1ξξP P A P

212.0)8.0(1)8.0(=Φ-=-Φ= )25

220

200()25220240(

}240200{)(2-Φ--Φ=≤≤=ξP A P 576.0)8.0()8.0(=-Φ-Φ=

.212.0576.0212.01}240{)(3=--=>=ξP A P 由题设知 P (B |A 1)=0.1, P (B |A 2)=0.001, P (B |A 3)=0.2。

（1）由全概率公式

)|()()(3

1

i i i A B P A P B P ∑===α

0642.02.0212.0001.0576.01.0212.0=?+?+?=

（2）由贝叶斯公式

009.00642

.0001

.0576.0)()|()()|(222≈?==

=B P A B P A P B A P β

四（15分）、解： （1）??

???≤>===-∞

+-∞

+∞-??.0,00,),()(x x xe dy xe dy y x f x f x x y ξ

??

???≤>===--∞+∞-??.0,00,21),()(20y y e y dx xe dx y x f y f y y y

η 由于)()(),(y f x f y x f ηξ?≠，故ξ

与η不独立。

(2)dx x z x f z f ),()(-=

?

+∞

∞

-ζ

显然仅当x z x -<<0，即z x <<20时，上述积分不等于零，故

??

???≤>-+==-=----∞

+∞-??.0,00,)12

(),()(2/0)

(z z e z e dx xe dx x z x f z f z z z x z ζ （3）2)(0

=?==??+∞

-+∞∞-dx xe x dx x xf E x ξξ；

6)(0

222=?==?

?+∞-+∞

∞-dx xe x dx x f x E x ξξ；

2)(22=-=ξξξE E D 。

同理，3=ηE ，=ηD 3；

8),()(0

=?==?

?

?

?+∞

+∞

-+∞∞-+∞∞

-x

y dy xe xy dx dxdy y x xyf E ξη。

故 2328)(),(=?-=?-=ηξξηηξE E E Cov 。 于是，3

23

22),(=

?=

?=

η

ξηξρξηD D Cov

五（8分）、由于

c 21+c 43+c 85

+c

167=1，因此1637=c 。

32.0}

0{}

1{}0{}0,1{}0|1{=≠-==≠≠<=≠<ξξξξξξξP P P P P

37113716167285143021)1(=

???? ?

?

?+?+?+?-=ξE 六（8分）、以ξ表示同时使用外线的分机数，则ξ~B (200，0.05)。 设总机需设x 根

外线，则有{

}%90≥≤x P ξ， 即 90.095.005.020005.020095

.005.020005.0200≥?

??

??

????-≤

???-x P ξ

由中心极限定理，有

90.05.910≥?

??

? ??-Φx , 由题设所给数据得 282.15.910

≥-x 解得 95.13≥x 故总机需要14根外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。 七（10分）、解 矩估计

由于 2

2

2

)(EX EX DX -==σ，令 ∑===n i i X n A EX 1

222

1 即22

)(A EX DX =+，

又已知 μ=EX 。故 2

σ的矩估计量为 ∑∑==∧

-=-=-=n i i n i i X n X n A 1

2

122222)(11μμμσ。极大似然估计

μ已知时，似然函数为：?

?????--?=∑=-

n

i i

n

x L 122

2

2

2)(21exp )

2()(μσπσσ， 因此 ∑=--

-=n

i i

x

n L 1

22

2

2

)(21)2ln(2)(ln μσπσσ，

令 0)(21

12)(ln 1

2422

2=-+

-=∑=n

i i

x

n d L d μσσσσ。

解得2

σ的极大似然估计为：∑=∧

-=n

i i X n 1

22

)(1μσ。

八（8分）、解：由题设得到

x =2.71)679574(101=+++ ，51.245)(912101

2

=-=∑=i i x x s 。 又由置信度为1-α=1-0.05=0.95得临界值2622.2)9(025.0=t 。 故置信区间为

]41.82,99.59[]10

51

.2452622.22.71,1051.2452622

.22.71[=+-。

九（12分）、解：(1)待验假设H 0：μ =1000，H 1：μ ≠1000 由于题设方差2σ未知，故检验用统计量为 )1(~/2

0--=n t n

S X T μ 由α

=0.0513.2)15(025.02/==?t t α

又由946=x 、s 2=1202，可算得统计量观测值t 为

8.116

/1201000

946/2

2

-=-=

-=

n s x t μ

因13.2)15(8.1||025.0=<=t t ，故考虑接受H 0，从而认为这批灯泡的平均寿命与标准

值的差异不显著。

(2)待验假设为0H '：μ ≥1000，1H '：μ <1000。 因为2σ未知，故仍选用统计量 )1(~/2

0--=

n t n

S X T μ。

由α =0.0575.1)15()1(05.0==-?t n t α，而统计量观测值亦同(1)，即8.1-=t ，

因75.1)15(8.105.0-=-<-=t t ，故拒绝H 0，即可以认为这批灯泡不合格。

南京工业大学概率统计课程考试试题（A ）（江浦）

（2005/2006学年第二学期）

一、填空题（每空2分，计18分）：

1. 设B A ,为两个随机事件，已知31)(,21)(==B P A P ，32)(=?B A P ,则:

_______;)(＝AB P _______)(＝B A P -。

2. 设随机变量ξ的概率密度为???<<=.

,0,

10,2)(其它x x x f ， 以η表示对ξ的三次独立重

复观察中事件{ξ≤

2

1

}出现的次数，则_______)2(=＝ηP 。 3. 设连续型随机变量ξ与η相互独立,均服从同一分布，则_______)(=≤ηξP 。 4. 设随机变量ξ服从)2

1

,8(B （二项分布）, η服从区间[1,7]上的均匀分布，且ξ与

η独立，则)432(--ηξE ＝________；)432(--ηξD =_______。

5. 设总体X 服从),(2

σμN ，其中μ未知，2

σ已知，(X 1，X 2，X 3)是样本。作样本函

数如下：①321313234X X X +-；②∑=-n i i X n 1

2

)(1μ；③321323231X X X -+；

④

3213

1

3232X X X -+。这些函数中是统计量的有 ；是μ的无偏估计量的有 ；最有效的是 。

二、选择题（每题3分，计9分）：

1. 设B A ,为两个随机事件，若0)(=AB P ,

）

（A ）A 和B 两事件互不相容(互斥) （B ）AB 是不可能事件 （C ）AB 未必是不可能事件 （D ）0)(=A P 或0)(=B P 2. 设相互独立的随机变量ξ与η分别服从正态分布)

1,1()1,0(N N

和 ）

（A ）{

}2

10=≤+ηξP （B ）{}2

11=≤+ηξP （C ）{

}2

10=≤-ηξP （D ）{}2

11=≤-ηξP 3. 在假设检验中，H 0为原假设，备择假设H 1，则称( )为犯第一类错误。 (A ) H 0为真，接受H 0 (B ) H 0为假，拒绝H 0 (C ) H 0为真，拒绝H 0 (D ) H 0为假，接受H 0

三.（10分）一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉，每个车间的产量分别占总产量的25%、35%、40%，如果每个车间成品中的次品率分别为5%、4%、2%。 （1）从全厂产品中任意抽出一个螺钉，试问它是次品的概率是多少？

（2）从全厂产品中如果抽出的一个恰好是次品，试问这个次品是由甲车间生产的概率是多少？

四.（10分）设连续型随机变量ξ的分布函数为：1

100,1,0)(2

≥<≤

???=x x x Ax

x F 试求：(1)系数A ；(2)ξ落在区间(0.3，0.7)内的概率；(3)ξ的分布密度。

五. (9分)某车间有400台同型号的机器，每台的电功率为Q （瓦），设每台机器开动

时间为总工作时间的4

3

，且每台机器的开与停是独立的，为了以99.0的概率保证有足够的电力，问本车间至少要供应多大的电功率？（已知9901.033.2）＝（Φ，其中)(x Φ是标准正态分布函数）

六. (12分)设二维随机变量(ξ，η)有联合概率密度：

?

?

?

>≤≤=-other

y x e y x f y ,00,10 ,),(

(1) 求ξ、η的边际概率密度并考察ξ与η的独立性； (2) 求ηξζ＋＝的概率密度。

七.（10分）设总体X 的概率密度为=)(x f ?????≥-.,

0,

0,1其它x e x

θ

θ

其中0>θ是未知参数，21,X X ，…，n X 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机

样本。试分别求θ的矩估计量和极大似然估计量。

八.（10分）已知总体),(~2σμN X 。试分别在下列条件下求指定参数的置信区间：

(1)2

σ未知，n =21，2.13=x ，s 2=5，α=0.05。求μ的置信区间。

(2)μ未知，n =12，s 2

=1.356，α=0.02。求2σ的置信区间。

(已知086.2)20(025.0=t ，0796.2)21(025.0=t ，725.24)11(2

01.0=χ，053.3)11(299.0=χ，217.26)12(201.0=χ，571.3)12(299.0=χ)

九.（12分）为了了解某种添加剂对预制板的承载力有无提高作用。现用原方法（无添加剂）及新方法（有添加剂）各浇制10块预制板， 记 X ：无添加剂时预制板的承载力Y ：有添加剂时预制板的承载力；测得数据如下（单位：kg/cm 3

）

225.2,325.3,43.79,23.762

221===s s y x ＝

假定两种方法所得的预制板的承载力X 、Y 依次服从),(211σμN 及),(222σμN ，取显著性水平α=0.05。

(1)检验假设2

2

210:σσ=H ,22211:σσ≠H ； (2)若(1)0H 成立，再检验210

:μμ≥'H ，211:μμ<'H 。 (,03.4)9,9(025.0=F ,248.0)9,9(975.0=F 101.2)18(,734.1)18(025.005.0==t t )

南京工业大学概率统计课程考试试题（A ）（江浦）

2005 --2006 学年第 2 学期 使用班级 江浦04级

一、填空题（每空2分，计18分）

1、1/6 1/3

2、9/64

3、1/2

4、-8 35

5、(1)(3)(4) (1)(4) (4) 二、选择题（每题3分，计9分） 1、C 2、B 3、C 三、

解：B : 从全厂产品中任意抽出一个螺钉是次品

321,,A A A 分别表示抽出的一个螺钉是由甲、乙、丙车间生产的 则0345.0%2%40%4%35%5%25B)P(A P(B)3

1

i i

=?+?+?==

∑=

=)(1B A P 362.00345

.0%

5%25)()(1=?=B P B A P

四、

解：(1)由F (x )的连续性，有)1()01(F A F ==-，A =1；

(2)P {0.3<ξ<0.7}= F (0.7)－F (0.3) =0.72－0.32=0.4；

(3)?

??<<='=. ,010

,2)()(其它x x x F x f

五、

解：以ξ表示同时使用的机器数，则ξ~B (400，3/4)，

设本车间至少要供应x Q （瓦）的电功率，则有{}%99≥≤x P ξ，或

99.04/14/34004/34004

/14/34004/3400≥?????????-≤???-x P ξ。

由中心极限定理知，99.075300≥?

??

?

??-Φx ， 查表得，33.275300≥-x ，解得18.320≥x 。

即本车间至少要供应321 Q （瓦）的电功率才能以不低于99%的概率保证有足够的电力。 六、

解：（1）关于ξ的边际概率密度为

??

?≤≤==?∞+∞-其他,01

0,1),()(x dy y x f x f ξ 关于η的边际概率密度为

??

?≤>==-∞

+∞

-?0

,00

,),()(y y e dx y x f y f y η 显然有 )()(),(y f x f y x f ηξ＝ ，故ξ与η相互独立。

（2）????

???

>≤<≤==≤+=??????----≤+100

00

1,10,0,0),(}{)(x

z y

z x

z y z y x z dy e dx z dy e dx z dxdy y x f z P z F ηξζ

易得

??

?

??≤>-≤<-=--0,01),1(1

0,1)(z z e e z e z f z z ζ

七、解：

总体X 的数学期望EX =

?

∞

∞

-dx x xf )(=dx e x x

?∞

-

1

θθ

=θ。

令X ＝EX ，得未知参数θ的矩估计量为 X =^

θ。 设x 1，x 2，…，x n 是X 1，X 2，…，X n 相应于的样本值，则似然函数为

??

???>∑==-.,0;

0,)1(11其他i

x n x e L n

i i

θθ ,1ln ln 1∑=--=n i i x n L θθ,1ln 1

2∑=+-=n

i i x n d L d θθθ

令

0ln =θd L d ，解得θ的极大似然估计值为x x n n

i i ==∑=1

^1θ， 从而得θ的极大似然估计量为X =^

θ。 即θ的矩估计量和极大似然估计量均为

八、解：

(1)在2

σ未知时，μ的置信区间为))1((2/-±

n t n

s

x α。由于2.13=x ，s =5，

n =21，0860.2)20(025.0=t 。因此，μ的以95%为置信度的置信区间为

02.12.130860.221

52.13±=?±

。

即μ的置信度为95%的置信区间为(12.18，14.22)。

(2)在μ未知时，2

σ的置信度为1–α的置信区间为))

1()1(,)1()1((22/12

22/2-----n s n n s n ααχχ。

又，356.12=s ，725.24)11(201.0=χ，053.3)11

(2

99.0=χ，。所以，2σ的置信区间为)053

.3356.111,725.24356.111(??，即(0.603,4.86) ………10分 九、解：

因为)1,1(~212221--=n n F S S F 由样本观察值计算得49.1225

.2325

.32221===s s f

因为03.449.1248.0<<。故应接受0H ，即认为两种方法的方差无显著差异，可认

为

相

等

。

即

2

2

21σσ= ………5分 其次，在2

221σσ=的前提下，检验假设210

:μμ≥'H ，211:μμ<'H 。

因为)2(~11212

1-++-=

n n t n n S Y X T ω

由样本观察值计算得775.2=ωs ， 295.4112

1-=+-=

n n s y x t ω

因为－4.295<-1.734,所以应拒绝0

H '，即认为加进添加剂生产的预制板承载力有明显提高

………12分

南京工业大学概率统计课程考试试题（A 、闭）（江浦）

（2007/2008学年第二学期）

一、填空题（每空2分，计18分）

1.假设P (A )=0.4， P (A ∪B )=0.7，那么(1)若A 与B 互不相容，则P (B )= ______ ；(2)若A 与B 相互独立，则P (B )= ____ 。

2.将英文字母C,C,E,E,I,N,S 随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为____________。

3.设随机变量X 的概率密度为4

42

e 1

)(-+-=

x x

x f π

，则=2

EX

。

4.设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从参数为0.6的0-1分布，则{}Y X p =＝______。

5.某人有外观几乎相同的n 把钥匙，只有一把能打开门，随机地取出一把开门，记X 为直到把门打开时的开门次数，则平均开门次数为__________。

6.设随机变量X 服从)2

1

,8(B （二项分布）, Y 服从参数为3的泊松分布，且X 与Y 相互独立，则)32(--Y X E ＝__________；)32(--Y X D =__________。 7.设总体X ~),(2

σμN ， (X 1，X 2，…X n )是来自总体X 的样本，已知2

1

1

1

)

(∑-=+-?n i i i X X

c 是2

σ的无偏估计量，则=c 。

二、选择题（每题3分，计9分）

1.当事件A 和B 同时发生时，必然导致事件C 发生，则下列结论正确的是( )。 （A ）P (C )≥ P (A )+ P (B )1－ （B ）P (C )≤P (A )+ P (B )1－ （C ）P (C )=P (A ?B ) （D ）P (C )= P (AB )

2.设X 是一随机变量，C 为任意实数，E X 是X 的数学期望，则( )。 (A )E (X －C )2=E (X －E X )2 (B ) E (X －C )2≥E (X －E X )2

(C ) E (X －C )2

3.设总体X ~),(2σμN ， (X 1，X 2, X 3)是来自总体X 的样本,则下列估计总体X 的均值μ的估计量中最好的是( )。

（A ）321959131X X X ++ （B ）

32141

4141X X X ++ （C ）3216

13121X X X ++

（D ）32112

7

6141X X X +

+

三.（10分）已知一批产品中有90%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误

判为次品的概率为0.05, 一个次品被误判为合格品的概率为0.04,求：

(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；

(2)一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率。

四.（12分）设某顾客在银行窗口等待服务的时间X （单位：分钟）的密度函数为：

???

??≤>=-.0,

0,0,31)(3x x e x f x

若若

某顾客在窗口等待服务，若超过9分钟，他就离开。(1)求该顾客未等到服务而离开窗

口的概率；(2)若该顾客一个月内要去银行5次，以Y 表示他未等到服务而离开窗口的

次数，试求{}0=Y P ；(3)设，＝2X Y 求Y 的密度函数。

五. (11分)设X

和Y 是两个独立的随机变量，X 在)1,0(上服从均匀分布，Y 的概

率密度为：??

???≤>=-,

0,0,0,

e 2

1)(2y y y f y

Y

(1)求X 和Y 的联合概率密度；(2)求关于x 的二次方程为x 2+2X x +Y =0有实根的概率。

（已知()5.0)0(;8413

.01=Φ=Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数）

六（8分）计算机在进行加法运算时每个加数取整数（最为接近于它的整数），设

所有的取整误差是独立的，且它们都在)5.0,5.0(-上服从均匀分布。若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率为多少？

(已知()95.0)645.1(,90.034.1=Φ=Φ，其中)(x Φ是标准正态分布函数)

七.（10分）设总体X

的分布律为{} ,2,1,)1(1=?-==-x p p x X P x

其中0>p 是未知参数，21,X X ，…，n X 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本。试分别求p 的矩估计量和极大似然估计量。

八.（10分）已知总体),(~2σμN X 。试分别在下列条件下求指定参数的置信

区间：

(1)2

σ未知，n =21，2.13=x ，s 2=5，α=0.05。求μ的置信区间。

(2)μ未知，n =12，s 2

=1.356，α=0.02。求2σ的置信区间。

(已知086.2)20(025.0=t ，0796.2)21(025.0=t ，725.24)11

(201.0=χ，053.3)11(299.0=χ，217.26)12(201.0=χ，571

.3)12(2

99.0=χ)

九.（12分）在针织品漂白工艺中，为了了解温度对针织品的断裂强度的影响。现

在70℃及80℃两种温度下分别做10次试验， 记 ：

X ：70℃时针织品的断裂强度Y ：80℃时针织品的断裂强度；测得试验数据如下

225.2,325.3,43.79,23.762

221===s s y x ＝

假定两种温度下针织品的断裂强度X 、Y 依次服从),(211σμN 及),(222σμN ，取显著性水平α=0.05。

(1)检验假设2

2

210:σσ=H ,2

2211:σσ≠H ； (2)若(1)0H 成立，再检验210

:μμ≥'H ，211:μμ<'H 。 (,03.4)9,9(025.0=F ,248.0)9,9(975.0=F 101.2)18(,734.1)18(025.005.0==t t )

南京工业大学概率统计课程考试试题（A ）（江浦） 2007 --2008 学年第 2 学期 使用班级 江浦校区06级

一、填空题（每空2分，计18分）

1、0.3 0.5

2、！74

或0.000794 3、29 4、0.52 5、

21＋n 6、-5 14 7、)

1(21

-n 二、选择题（每题3分，计9分）

1、A

2、B

3、C

三、

解：

记:A 任意抽查一个产品，它被判为合格品；:B 任意抽查一个产品确实是合格品；则 (1)

859

.004.01.095.09.0)|()()|()()

()()(=?+?=+=+=B A P B P B A P B P B A P AB P A P

即任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率为0.859. (2)9953.0859

.095

.09.0)()()|(=?==

A P A

B P A B P

即一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率为0.9953.

四、解：(1) {}?∞

+--==>9

33

3

19e dx e P x

ξ. 即该顾客未等到服务而离开窗口的概率为3

-e (2)由题意知),5(~3

-e B η，

则{}5353030

5)1()1()(0----=-?==e e e C P η。 (3){

}{}

?????≤>=≤=≤=?-0,0

0,31)(032y y dx e y P y P y F y x

ξζζ 故ζ的密度函数为

??

???≤>==-0,00

,61)()(3y y e y y F dy d y f y

ζζ

五、解：(1)因ξ在(0，1)上服从均匀分布，故

???<<=其它0101)(x x f ξ，且 ???

??≤>=-0

021)(2

y y e

y f y

η。又ξ和η相互独立，所

以

?????><<==-其它0

0,1021)()(),(2y x e y f x f y x f y

ηξ (2)二次方程x 2+2ξx +η=0有实根，必须0442≥-ηξ，即所求概率积分区域为

}),{(2x y y x G ≤=，设}0,10),{(><<=y x y x D ，为f (x ,y )的非零区域，因而所求概率

为dxdy e dxdy y x f P D

G y

G

????

?-==

≥-2

2

21),(}044{ηξ

1445.0)]0()1([2121211)1(21

10

22

1

1

02

2

01

02

22

2

=Φ-Φ-=????

????--=-+=+-==????

?----

πππdx e e

dx e dy e dx x x x y

x 六、解：设每个加数的误差为i X (1500,2,1 =i ),由题设知i X 独立且都服从

)5.0,5.0(-上的均匀分布，所以

12

1

,0=

=i i DX EX 。 ………3分 记X ＝

∑=15000

i i

X ，由独立同分布的中心极限定理知

{}{}{}1515115115≤≤--=≤-=>X P X P X P

()1802

.034.12212515125125151=Φ-=??

????≤≤--=X P

误差总和的绝对值超过15的概率为0.1802。

七、解：总体X 的数学期望EX ={}p

p p x x X P x x x x 1)

1(1

1

1

=

?-?==?-∞

=∞

=∑∑ 由矩估计法知，X p =1

，从而得未知参数p 的矩估计量为 X

p 1^=。

设x 1，x 2，…，x n 是X 1，X 2，…，X n 相应于的样本值，则似然函数为 {}∑-?===

=-=∏n

i i n

x n

n

i i i

p p x X

P p L 1

)1()(1

),1ln()(ln )(ln 1p n x p n p L n

i i --+=∑=令,0)(11)(ln 1

∑==---+=n

i i n x p p n dp p L d

解得p 的极大似然估计值为x

p 1

^=，从而p 的极大似然估计量也为

X

p 1

^=。 ………10分

八、解：

(1)在2

σ未知时，

μ的置信区间为))1((2/-±n t n

s x α。由于2.13=x ，s =5，

n =21，0860.2)20(025.0=t 。因此，μ的以95%为置信度的置信区间为

02.12.130860.221

52.13±=?±

。

即μ的置信度为95%的置信区间为(12.18，14.22)。

(2)在μ未知时，2

σ的置信度为1–α的置信区间为))

1()1(,)1()1((22/12

22/2-----n s n n s n ααχχ。

又，356.12=s ，725.24)11(201.0=χ，053.3)11(299

.0=χ，。所以，2

σ的置信区间为)053

.3356

.111,725.24356.111(

??，即(0.603,4.86) ………10分

九、解：

因为)1,1(~212221--=n n F S S F 由样本观察值计算得49.1225

.2325

.32221===s s f

因为03.449.1248.0<<。故应接受0H ，即认为两种温度下的方差无显著差异，可

认

为

相

等

。

即

2

2

21σσ= ………5分 其次，在2

221σσ=的前提下，检验假设210

:μμ≥'H ，211:μμ<'H 。 因为)2(~1

1212

1-++-=

n n t n n S Y X T ω

由样本观察值计算得775.2=ωs ， 295.4112

1-=+-=

n n s y x t ω

因为－4.295<-1.734,拒绝0H '，即认为80℃时针织品的断裂强度较70℃有明显提高。

南京工业大学概率论与数理统计

（2008/2009学年第二学期）

一、填空题（每空2分，计20分）

1.设4.0)(=A P ,7.0)|(=A B P ,则(1)=)(AB P ______ (2)=-)(B A P

______。

2. 设随机变量)1,0(~N X ，)1,0(~N Y 且Y X ,独立，则~Y X + ，

~22Y X + 。

3. 设随机变量)1,0(~N X ，则=||X E ，=2

EX

。

4. 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从概率6.0=p 的0-1分布，则{}Y X P =＝

______。

5. 设随机变量)1.0,10(~B X （二项分布）, )3(~πY （泊松分布3=λ），且X 与Y 相互独立，则)32(+-Y X E ＝__________；)32(+-Y X D =__________。

6.设总体),(~2

σμN X ,),,,(21n X X X 是来自总体X 的样本，已知

∑=-?n

i i X X c 1

2)(是2σ的无偏估计量，则=c

二、选择题（每题2分，计10分）

1. 当事件A 和B 同时发生时，必然导致事件C 发生，则下列结论正确的是（ ） （A ）1)()()(-+≥B P A P C P （B ）1)()()(-+≤B P A P C P （C ）)()(B A P C P ?= （D ）)()(AB P C P =

2. 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为)10(<

4次射击恰好第2次命中目标的概率为（ ）

(A ) 2

)1(3p p - (B ) 2

)1(6p p - (C ) 2

2

)1(3p p - (D ) 2

2

)1(6p p -

3． 设Y X ,独立, Y X ,的概率密度分别为)(),(y f x f Y X , 则在y Y =的条件下,X 的条件概率密度)|(|y x f Y X 为（ ）

（A ）)()(y f x f Y X （B ）)(/)(y f x f Y X （C ） )(x f X （D ）)(y f Y 4. 下列结论正确的是（ ）。

（A ）若0)(=A P ，则Φ=A (不可能事件)（B ）若0=DX ，则C X =(常数)

（C ）若Y X ,不相关，则Y X ,独立 （D ）若Y X ,不相关，则DY DX Y X D +=+)(

5. 设)(~n t X ，则~2

X （ ）。 （A ）)1,(n F （B ）),1(n F （C ）)(2n χ

（D ）)1(2χ

三.(10分)有两个口袋，甲袋中有2个白球，1个黑球；乙袋中有1个白球，2

个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，（1）求取到白球的概率；（2）若发现从乙袋中取出的是白球，问从甲袋中取出放入乙袋的球，黑、白哪种颜色可能性大？

四.(8分)已知随机变量X 的概率密度为?????≤>+=0,

00

,1)(2x x x C x f ，（1）求常数C 的值；

（2）设X Y ln =，求Y 的密度函数。

五.(10分)设独立的随机变量X 、Y 的概率密度分别???<<=otherwise

x x f X ,01

0,1)(，

??

?>=-otherwise

y e y f y Y ,00

,)(，求Y X Z +=的概率密度。

六.(12分)随机变量),(Y X 的概率密度???≤≤≤≤=otherwise x

y x y x f ,00,10,2),(，求

XY Y X Cov DY DX EY EX ρ),,(,,,,。

七.(10分)某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7，假定各机床开关是独

立的，开动时每部要消耗电能15个单位。问电厂最少要供应这个车间多少电能，才能以95％的概率保证不致因供电不足而影响生产。(950.0)65.1(=Φ)

八.(10分)设总体),(~2σμN X ，其中μ已知，而2σ未知，（1）求2

σ的极大似然

估计；（2）证明此估计是2

σ的无偏估计。

九.(10分)为了了解某种添加剂对预制板的承载力有无提高作用。现用原方法（无添

加剂）及新方法（有添加剂）各浇制了10块预制板，其承载数据如下：

原方法：78.1，72.4，76.2，74.3，77.4，78.4，76.0，75.5，76.7，77.3； 新方法：79.1，81.0，77.3，79.1，80.0，79.1，79.1，77.3，80.2，82.1

设两种方法所得的预制板的承载力均服从正态分布。试问新方法能否提高预制板的承

载力（取05.0=α）。(23.76=x ,43.79=y ,325.321=s ,225.22

2=s ,

03.4)9,9(025.0=F ,734.1)18(05.0=t )

概率统计课程考试试题（A 、闭）

2008-2009学年第2学期《概率论与数理统计》试卷A 答案）

一、填空题（每空2分，共20分） 1. 0.28, 0.12 2.)2,0(N ，)2(2

χ 3.

π

2

，1 4.0.52 5.-2，12.9 6.

1

1-n 二、单项选择题（每题2分，共10分） 1.A 2. C 3．C 4．D 5. B

三、解. 设=A “从甲袋中取出的是白球”，=B “从甲袋中取出的是黑球”，=C “从乙袋中取到白球”。

概率论试题(含解析)

1、事件A B 、独立，且()0.8,()0.4P A B P A ?==，则P(AB) 2、设()f x 是连续型随机变量X 的概率密度函数 ()f x 非负。 3、随机变量),(~2σμN X ，则概率{1}P X μ≤+随着σ的变大而 （A ）变小； （B ）变大； （C ）不变； （D ）无法确定其变化趋势。 答：（ A ） 6、某人投篮，每次命中的概率为2 3 ，现独立投篮3次，则至少命中3次的概率为. 7、已知连续型随机变量X 的概率密度函数为(1)2,1()0, x Ae x f x --??≥=???其它，则常数A = . 8、二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(12)(13),0,0 (,)0,x y x y F x y --?-->>=?? 其它，则概率 P(Y>2)= . 9、已知随机变量X Y 、的方差分别为2,1DX DY ==，且协方差(,)0.6Cov X Y =，则D(X+Y)= 设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=,说明什么？ 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)p p <<，则此人第5次射击恰好第2次命中目标的概率为（ ）C 14P 2（1-p ）3 三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）。 一、已知男人中有8%是肝病患者，女人中有0.35%是肝病患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是肝病患者，问此人是男性的概率是多少？ 四、 11、玻璃杯成箱出售，每箱20只，设每箱含0,1,2只残品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1. 顾客购买时，售货员随意取一箱，而顾客随意查看四只，若无残品，则买下，否则，退回。现售货员随意取一箱玻璃杯，求顾客买下的概率。（结果保留3个有效数字） 解：设B 表示售货员随意取一箱玻璃杯，顾客买下；i A 表示取到的一箱中含有i 个残品， 0,1,2i =，则所求概率为 2 ()(|)()...............................................................................(5') 1918171618171615 0.810.10.1...........................(9')2019181720191817 0.9i i i P B P B A P A ==??????=?+? +???????≈∑43...................................................................................................(10')

(精选)2017概率论练习卷

概率论练习卷 一、选择题（每小题3分，共15分） 为两个互斥事件，且P (B )≠0，则下列关系中，不一定正确的是 ． A ． 0)|(=B A P B ．)()()(B P A P B A P +=+ C ．0)(=AB P D ．)(1)(B P A P -= 2．设随机变量X 服从泊松分布，且已知(1)(2),P X P X ===则(4)P X == ． A ．24 3e - B ．223e - C ．213e - D ．113 e - 3．设随机变量X 服从指数分布，则随机变量X 的分布函数 ． A ．是阶梯函数 B ．恰好有一个间断点 C ．是连续函数 D ．至少有两个间断点 4.若随机变量,X Y 不相关，则下列等式中不成立的是 ． A ．DY DX Y X D +=+)( B. 0),(=Y X Cov C. ()E XY EX EY =? D. ()D XY DX DY =? 5.设12(,,,)n X X X L 是来自总体),(2σμN 的样本，则下述结论成立的是 ． A ．2 ~(, )X N n σμ B ．2~(,)X N μσ C ~(1,1)X N D ．~(0,1)/X N n μ σ- 二、填空题（每小题3分，共15分） 4张，出现同花的概率为 ． 2.已知离散型随机变量 X 的分布律为{},0,1,22k t P X k k == =，则t = ．

3.已知连续型随机变量X 的概率密度函数为, 01,()2,12,0,.x x p x x x ≤≤?? =-<≤??? 其它 则 { 1.5}P X ≤= ． 4.设123,,X X X 相互独立且同服从参数 为λ= 的指数分布，令1231 ()3 Y X X X =++，则()D Y = ． 5.设随机变量X 服从区间[2,4]上的均匀分布，则应用切比雪夫不等式估计得 {|3|1}P X -≥≤ ． 三、计算题（1、2、5和6每题10分，3和4每题15分，共70分） 1、据市场调查显示，月人均收入低于1万元，1至3万元，以及高 0.1，0.2 和 0.7.假定今后五年内家庭月人均收入 X 服从正态分布 N (2, 0.82 ).试求： (1) 求今后五年内家庭有购置高级小轿车意向的概率； (2) 若已知某家庭在今后五年内有购置高级小轿车意向，求该家庭月人均收入在 1至3万元的概率.（注：Φ(1.25) =0.8944） 2、设随机变量X 的密度函数为?? ? ??≤<-≤≤-+=其他 ,010, 10 1, 1)(x x x x x p ，试求：(1) 随机变量X Y =的概率密度函数；(2) 对随机变量Y 观测三次，求三次观测中事件 }5.0{

哈工大概率论参考答案习题

习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1 {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生；

概率统计试题和答案

题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投

概率统计复习题

一、选择题 1、 设随机变量~[0,1]X U ，事件1130,24 4A X B X ????=≤≤ =≤≤????????，则（ ） （A ）A 与B 互不相容 （B ）B 包含A （C ）A 与B 对立 （D ）A 与B 相互独立 2、 已知A B ，为随机事件，0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A =充要条 件是（ ） （A ）(|)(|)P B A P B A = （B ）(|)(|)P A B P A B = （C ）(|)(|)P B A P A B = （D ）(|)(|)P A B P A B = 3、 设A B ，为随机事件，0()1P A <<，0()1P B <<，则A B ，相互独立的充要条件是 （ ） （A ）(|)(|)1P A B P A B += （B ）(|)(|)1P A B P A B += （C ）(|)(|)1P A B P A B += （D ）(|)(|)1P A B P A B += 4、 设A B ，为随机事件，()0P B >，则（ ） （A ）()()()P A B P A P B ≥+U （B ）()()()P A B P A P B -≥- （C ）()()()P AB P A P B ≥ （D ）()()()|P A B P A P B ≥ 5、 设X 是离散型随机变量，{}n P P x n =＝(n n 为自然数，2n ≥)，则下列n P 能成为X 的概率分布的是（ ） （A ）1 n P n = ()2n ≥ （B ）()11n P n n =- ()2n ≥ （C ）2 1 n P n = ()2n ≥ （D ）()11n P n n =+ ()2n ≥ 6、 假设随机变量X 的密度函数()f x 是偶函数，其分布函数是()F x ，则（ ） （A ）()F x 是偶函数 （B ）()F x 是奇函数 （C ）()()1F x F x +-= （D ）()()21F x F x --=

哈工大概率论与数理统计课后习题答案 一

·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i = ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B === 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生；

09-10-1-概率统计A--期末考试试卷答案

诚信应考 考出水平 考出风格 浙江大学城市学院 2009— 2010学年第 一学期期末考试试卷 《 概率统计A 》 开课单位： 计算分院 ；考试形式： 闭卷； 考试时间：2010年 1 月24日； 所需时间： 120 分钟 题序 一 二 三 总 分 得分 评卷人 一． 选择题 (本大题共__10__题，每题2分共__20 分) 1、已知()0.87.0)(,8.0)(===B A P B P A P ，，则下列结论正确的是（B ） )(A 事件B A 和互斥 )(B 事件B A 和相互独立 )(C )()()(B P A P B A P += )(D B A ? 2、设)(1x F 和)(2x F 分别为随机变量1X 和2X 的分布函数，为使)()()(21x bF x aF X F -=为某一随机变量的分布函数，在下列各组数值中应取（ A ） )(A 5/2,5/3-==b a )(B 3/2,3/2==b a )(C 2/3,2/-1==b a )(D 2/3,2/1-==b a 3、设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ,随着σ的增大，概率() σμ<-X P 满足 （ C ） )(A 单调增大 )(B 单调减少 )(C 保持不变 )(D 增减不定 4、设),(Y X 的联合概率密度函数为?? ???≤+=其他, 01 ,1),(2 2y x y x f π，则X 和Y 为 （ C ）的随机变量 )(A 独立且同分布 )(B 独立但不同分布 )(C 不独立但同分布 )(D 不独立 且不同分布 得分 年级：_____________ 专业：_____________________ 班级：_________________ 学号：_______________ 姓名：__________________ …………………………………………………………..装………………….订…………………..线… …………………………………………………… 年级：_____________ 专业：_____________________ 班级：_________________ 学号：_______________ 姓名________________ …………………………………………………………..装………………….订…………………..线………………………………………………………

重难点05 概率与统计(解析版)

重难点05 概率与统计 【命题趋势】统计与概率是高考文科中的一个重要的一环高考对概率与统计内容的考查一般以实际应用题出现,这既是这类问题的特点,也符合高考发展的方向.概率应用题侧重于古典概率,近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势,该题出现在解答题第二或第三题的位置，可见概率统计在高考中属于中档题.虽为中档题，但是实际生活背景在加强，阅读量大，所以快速阅读考题并准确理解题意是很重要的.对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合. 为了准确地把握2020年高考概率统计命题思想与趋势，在最后的复习中做到有的放矢，提高复习效率，纵观近五年的全国文科I卷，我们看到近几年每年一考,多出现在19题，分值12分；从难度上看：以中档题为主，重基础，考查的重点为统计图表的绘制与分析、数字特征的计算与分析、概率计算、线性回归分析，独立性检验等知识点，一般都会以实际问题为载体，代替传统建模题目.本专题我们把这些热点问题逐一说明，并提出备考指南，希望同学们在复习时抓住重点、事半功倍. 【热点预测以及解题技巧】 热点一：“统计”背景下的“概率”问题 这类问题一般将统计与概率相结合.以频率分布直方图或茎叶图为背景来考查概率知识，有时以表格为背景来考查概率知识，需要从统计图、表格获取信息、处理数据的能力，并根据得出的数据求概率. 热点二：样本分析并通过样本分析作决策 进行样本分析时从统计图表中获取数据，得出频率、平均数、方差，用样本频率估计概率、样本数字特征估计总体数字特征，有时需以此作出决策. 热点三：线性回归分析 根据最小二乘法得出回归直线方程，有时需适当换元转化为线性回归方程. 由于计算量很大，题目一般会给出的参考数据，但是注意数据设置的“障眼法”，这时就要认真领会题意，找出适用的参考数据加以计算. 热点四：独立性检验 寻找数据完成列联表，下面的解题步骤比较固定，按部就班完成即可.

南京工业大学概率论与数理统计试题及答案

南京工业大学 概率统计 试题（A ）卷（闭） 2004 -2005 学年第 二 学期 使用班级 江浦校区03级 所在院(系) 班 级 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得分 一.填空(18分) 1.(4分)设P (A )=0.35， P (A ∪B )=0.80，那么(1)若A 与B 互不相容，则P (B )= ；(2)若A 与B 相互独立，则P (B )= 。 2. (3分)已知5.0)0(=Φ(其中)(x Φ是标准正态分布函数)，ξ~N (1，4)，且 2 1}{= ≥a P ξ，则a = 。 3．(4分)设随机变量ξ的概率密度为?? ???<<=其他,04 0,81 )(x x x f 对ξ独立观察3次，记事件“ξ≤2”出现的次数为η，则=ηE ，=ηD 。 4.(3分)若随机变量ξ在(0，5)上服从均匀分布，则方程4t 2+4ξt +ξ+2=0有实根的概率是 。 5.(4分) 设总体),(~2σμN X ，X 是样本容量为n 的样本均值，则随机变量 ∑ =??? ? ??-= n i i X X 1 2 σξ服从 分布，=ξD 。 二.选择(每题3分，计9分) 1．设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是 （A ）A 与B 不相容 （B ）A 与B 相容 （C ）P (AB )=P (A )P (B ) （D ）P (B A -)=P (A ) 2．设随机变量ξ与η均服从正态分布ξ~N (μ，42)，η~N (μ，52)，而 }5{},4{21+≥=-≤=μημξP p P p ，则( )。 (A )对任何实数μ，都有p 1=p 2 (B )对任何实数μ，都有p 1

p 2 3．对于任意两个随机变量ξ和η，若ηξξηE E E ?=)(，则（ ）。 (A )ηξξηD D D ?=)( (B )ηξηξD D D +=+)( (C )ξ和η独立 (D )ξ和η不独立

概率论期末试卷

填空题（每小题4分，共32分）. 1．设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A B ) = _________. 2．设随机变量 X 在区间 [0, 10] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 6} = ______________. 2014-2015学年《概率论与数理统计》期末考试试卷 (B) 一、填空题（每小题4分，共32分）. 1．设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A B ) = _________. 2．设随机变量 X 在区间 [0, 10] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 6} = ______________. 3．设随机变量 X 的分布函数为,4 ,1 42 ,7.021 ,2.01 ,0 )(???? ?? ?≥<≤<≤--<=x x x x x F 则 X 的分布律为 ___________________________ . 4．若离散型随机变量 X 的分布律为 X 1 2 3 p k 0.5 0.3 a 则常数 a = _________; 又 Y = 2X + 3, 则 P {Y > 5} = _________ . 5．设随机变量 X 服从二项分布 b (100, 0.2), 则 E (X ) = ________, D (X ) = ___________. 6．设随机变量 X ~ N (0, 1), Y ~ N (1, 3), 且X 和 Y 相互独立, 则D (3X +2Y ) = _________.

大学概率论习题五详解(1)

正文： 概率论习题五详解 1、设X 为离散型的随机变量，且期望EX 、方差DX 均存在，证明对任意0>ε,都有 ()2 εεDX EX X P ≤ ≥- 证明 设()i i p x X P == ,...2,1=i 则 ()()∑≥ -==≥-ε εEX x i i x X P EX X P ()i EX x i p EX x i ∑≥ --≤εε2 2 ()i i i p EX x ∑ -≤2 2ε=2 εDX 2、设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，请利用切比 雪夫不等式证明： ()12 16≤ ≥-Y X P 。 证 ()0=-Y X E ()1,cov ==DXDY Y X ρ ()()325,cov 2=-=-+=-Y X DY DX Y X D ()()()()()12 1 6662= -≤≥---=≥-Y X D Y X E Y X P Y X P 3、一枚均匀硬币要抛多少次才能使正面出现的频率与0.5之间的偏差不小于0.04的概率不 超过0.01？ 解设n X 为 n 次抛硬币中正面出现次数，按题目要求，由切比雪夫不等式可得 01.004.05.05.004.05.02≤??≤??? ? ??≥-n n X P n 从而有 1562504.001.025 .02 =?≥n 即至少连抛15625次硬币，才能保证正面出现频率与0.5的偏差不小于0.04的概率不超过0.01。 4、每名学生的数学考试成绩X 是随机变量，已知80=EX ，25=DX ，（1）试用切比雪夫不等式估计该生成绩在70分到90分之间的概率范围；（2）多名学生参加数学考试，要使他们的平均分数在75分到85分之间的概率不低于90%，至少要有多少学生参加考试？ 解 (1)由切比雪夫不等式 () 2 1ε εDX EX X P - ≥<- ()0>ε 又 ()()()101090709070≤-≤-=-≤-≤-=≤≤EX X P EX EX X EX P X P =()75.0100 25 11080=-≥≤-X P 即该生的数学考试成绩在70分到90分之间的概率不低于75% (2)设有n 个学生参加考试(独立进行)，记第i 个学生的成绩为i X ()n i i ...2,=，则平均成绩

哈工大2015年概率统计试题及答案

2015年哈工大概率统计试题 一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分） 1．设()()0.7P A P B +=，且,A B 只发生一个的概率为0.5，则,A B 都发生的概率为 ________________ ． 2．设随机变量X 的概率密度为???<≥=0 ,00e )(-x x x f x X ，，则随机变量X Y e =的概率密度为 ()Y f y = ______________ _ _ ． 3．设随机变量, X Y 的相关系数为0.5，220,2EX EY EX EY ====，则 2()E X Y +=． 4．生产一个零件所需时间2(,)X N μσ ，观察25个零件的生产时间得 5.5x =秒，样本 标准差 1.73s =秒，则μ的置信度为0.95的置信区间为________________ __． 5．设随机变量, X Y 相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则 {max(,)1}P X Y ≤=______ ． 注：可选用的部分数值：0.050.0250.025(24) 1.7109, (24) 2.0639, (25) 2.0595,t t t === .95.0645.1975.096.1=Φ=Φ）（，）（ 二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分） 1．设()01,P B <<(|)(|)1P A B P A B +=，则 （A ）,A B 互不相容.（B ）,A B 互为对立事件. （C ）,A B 相互独立.（D ）,A B 不独立.【】 2．下列函数可作为随机变量的分布函数的是 （A ）()2 1,1F x x x =-∞<<+∞+．（B ）, 0() 1 0, 0 x x F x x x ?≥? =+??

概率论与数理统计期末试卷

概率论与数理统计 一、 单项选择题 1如果A ,B 为任意事件，下列命题正确的是 ( )。 A ：若A , B 互不相容，则A B ,也互不相容 B ：若A ,B 相互独立，则A B ,也 相互独立 C ：若A,B 不相容，则A,B 互相独立 D ： AB A B =? 2某人独射击时中靶率为2/3，若射击直到中靶为止，则射击次数为4的概率是( ) A:323?? ??? B: 32133??? ??? C: 31233??? ??? D: 3 13?? ??? 3设X 的密度为20()0x ke x f x -?>=??其它，则=k ( ) A:2 B:1/2 C: 4 D: 1/4 4. 设)1,3(~..-N X V R ，)1,2(~..N Y V R ，且X 和Y 相互独立，令72+-=Y X Z ， 则Z 服从（ ）分布。 A:)5,0(N B:)3,0(N C:)46,0(N D:)54,0(N 5，如果X,Y 为两个随机变量，满足0XY ρ=,下列命题中错误的是 ( )。 A ：X,Y 不相关 B ：X,Y 相互独立 C ：E(XY) =E(X)E(Y) D ：D(X-Y) =D(X)+D(Y) 二、填空题（本大题共有6个小题，每空2分，共20分） 4 A,B 为两个随机事件，若P(A)=0.4，P(B)=0.2，若A,B 互不相容，则P(A-B)= ,P(A B ?)= 5 一个袋中装有5个白球4个黑球。从中随机取2个（不放回），则取出的球依 次为白，黑两球的概率为 ，取出第二个为白球的概率为 ，如果已知第 二次取出的为白球，则第一次取出的为黑球的概率为 6某学生和朋友约定：在他参加的3门不同的考试中如果有一门过了95分就要 开香槟庆祝，已知他这3门功课过95分的概率分别为1/2,1/4,1/5,则他们开香 槟庆祝的概率为 7.若在高中生中，学生的平均身高为165厘米，方差为10，利用切比雪夫不等 式估计身高在160厘米~170厘米之间的概率至少为 8若X~N(1,4)，Y 的概率密度函数,0()0,y e y f y -?>=??其它 ，X,Y 互相独立，则 E(2X+Y-2XY+2)= ，D (2X+Y-2)=

概率论和数理统计考试试题和答案解析

一.填空题（每空题2分，共计60分） 1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3)B (p ,5.0)(,4.0)A (p ===A B P ，则=)B A (p 0.6 , =)B -A (p 0.1 ，)(B A P ?= 0.4 , =)B A (p 0.6。 2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。（1）从中不放回地任取2只，则第一次、 第二次取红色球的概率为： 1/3 。（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 9/25 。（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 21/55 。 3、设随机变量X 服从B （2，0.5）的二项分布，则{}=≥1X p 0.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从 B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ，方差D(X+Y)= 25 。 4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15．现从由甲厂、 乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。 （1）抽到次品的概率为： 0.12 。 （2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为： 0.5 ． 5、设二维随机向量),(Y X 的分布律如右，则=a 0.1, =)(X E 0.4， Y X 与的协方差为: - 0.2 ， 2Y X Z +=的分布律为: 6、若随机变量X ~)4 ,2(N 且8413.0)1(=Φ，9772.0)2(=Φ,则=<<-}42{X P 0.815 ， (~,12N Y X Y 则+= 5 ， 16 ）。 7、随机变量X 、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X 、Y 相互独立，则： =-)2(Y X E - 4 ，=-)2(Y X D 6 。 8、设2),(125===Y X Cov Y D X D ，）（，）（，则=+）（Y X D 30 9、设261,,X X 是总体)16,8(N 的容量为26的样本，X 为样本均值，2S 为样本方差。则：~X N （8 ， 8/13 ）， ~16252 S )25(2χ， ~5 2/8s X - )25(t 。

南京工业大学2016-概率论试卷(a)

南京工业大学概率论 试题A 卷（闭） 2016 - 2017 学年第1学期 使用班级 江浦2015级本科生 所在学院 班级 学号 姓名 注意：本试题中可能用到的数据：(1)0.8413,(2.5)0.9938Φ=Φ=. 一、填空题（每空2分，共18分，请将正确答案填在题后的括号内） 1. 已知()0.7,()0.3,P A P A B =-= 则()P AB = . 2. 已知随机变量~(),X E λ，则{P X >= . 3. 已知随机变量~(),X πλ 已知{1}2{2},P X P X === 则λ= ， {3}P X == 4. 若10 1~11 142 4X -?? ? ??? , 已知2,Y X = 则Y = . 5. 从1, 2, 3, …, 10共10个数字中任取3个数, 其中最大数为8的概率为 . 6. 22(,)~(,;,;0),X Y N μσμσ 则2()E X Y = . 7. 已 知 ~[0,3], X U ~[0,3], Y U 且,X Y 独立，, 则 {max(,)1}P X Y ≤= . 二、选择题（每题3分，共12分，请将正确答案填在题后的括号内） 1. 对任意两个事件A 与 B , 下列结论正确的是 ( ). (A) ()0,P AB = 则;AB =? (B) 若()1,;P A B A B ?=?=Ω则

(C) ()()();P AB P A P AB =- (D) ()()().P A B P A P B -=- 2. 设 2~(,), X N μσ 则随着σ的增大, (||)P X μσ->将 ( ). (A) 单调增加; (B)单调减少; (C) 增减不定; (D) 保持不变. 3. 设X , Y 不相关，则下列结论正确的是 ( ) (A) ()D X Y DX DY -=+; (B) ()D X Y DX DY -=-; (C) ()D XY DXDY = (D) X 与Y 相互独立. 4. 设,X Y 独立，~(0,1),~(1,1)X N Y N 则 ( ) (A) 1{0};2P X Y +≤= (B)1 {1};2P X Y +≤= (C) 1{0};2P X Y -≤= (D)1 {1};2 P X Y -≤= 三、（12分） 对以往数据分析表明：机器调整良好时, 产品的合格率为90%, 而机 器发生某一故障时, 其合格率仅为20%, 每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为75%, 试求: (1) 某天早上第一件产品为合格品的概率; (2) 已知某天早上第一件产品为合格品时, 机器调整良好的概率. 四、（12分）设连续型随机变量为 0, 1;()arcsin ,11;0,1x F x a b x x x <-?? =+-≤≤??>?

南京工业大学 数据结构 作业答案 作业6

第六次作业 1. 假定对有序表：（3，4，5，7，24，30，42，54，63，72，87，95）进行折半查找，试回答下列问题： （1）画出描述折半查找过程的判定树； （2）若查找元素54，需依次与哪些元素比较？ （3）若查找元素90，需依次与哪些元素比较？ （4）假定每个元素的查找概率相等，求查找成功时的平均查找长度。 2. 设哈希（Hash）表的地址范围为0～17，哈希函数为：H（K）＝K MOD 16。 K为关键字，用线性探测法再散列法处理冲突，输入关键字序列： （10，24，32，17，31，30，46，47，40，63，49） 造出Hash表，试回答下列问题： （1）画出哈希表的示意图； （2）若查找关键字63，需要依次与哪些关键字进行比较？ （3）若查找关键字60，需要依次与哪些关键字比较？ （4）假定每个关键字的查找概率相等，求查找成功时的平均查找长度。 3. 在一棵空的二叉查找树中依次插入关键字序列为12，7，17，11，16，2，13，9，21，4，请画出所得到的二叉查找树。 4. 试写一个判别给定二叉树是否为二叉排序树的算法，设此二叉树以二叉链表作存储结构。且树中结点的关键字均不同。 1.假定对有序表：（3，4，5，7，24，30，42，54，63，72，87，95）进行折半查找，试回答下列问题： （5）画出描述折半查找过程的判定树； （6）若查找元素54，需依次与哪些元素比较？ （7）若查找元素90，需依次与哪些元素比较？ （8）假定每个元素的查找概率相等，求查找成功时的平均查找长度。 解： （1）先画出判定树如下（注：mid=?(1+12)/2?=6）： 30 5 63 3 7 42 87 4 24 54 72 95 (2) 查找元素54，需依次与30, 63, 42, 54 等元素比较； (3) 查找元素90，需依次与30, 63,87, 95, 72等元素比较； （4）求ASL之前，需要统计每个元素的查找次数。判定树的前3层共查找1＋2×2＋4×3=17次； 但最后一层未满，不能用8×4，只能用5×4=20次， 所以ASL＝1/12（17＋20）＝37/12≈3.08

高考概率统计9个考点解析

高考概率与统计9个考点解析 概率与统计试题是高考的必考内容。它是以实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等知识为工具，以考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算和随机变量概率分布列性质及其应用为目标的中档师，预计这也是今后高考概率统计试题的考查特点和命题趋向。下面对其常见题型和考点进行解析。 考点1 考查等可能事件概率计算 在一次实验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等。如果事件A 包含的结果有m 个，那么P （A ）= n m 。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式。高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。 例1（2004天津）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛. (I) 求所选3人都是男生的概率； (II)求所选3人中恰有1名女生的概率； (III)求所选3人中至少有1名女生的概率. 考点2 考查互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算 不可能同时发生的两个事件A 、B 叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B ，用概率的加法公式)()()(B P A P B A P +=+计算。 事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，则A 、B 叫做相互独立事件，它们同时发生的事件为B A ?。用概率的法公式()()()B P A P B A P ?=?计算。高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。 例2.（2005全国卷Ⅲ） 设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125， （Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；

哈工大概率论与数理统计课后习题答案四

习 题 四 1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以,X Y 分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求(,)X Y 的 分布列. 解 (,)X Y 的分布列为 其中 (1,1)(1)(1|1)0P X Y P X P Y X ======= (1,2)(1)(2|1)P X Y P X P Y X ====== 121436 =?= 余者类推。 2．将一枚硬币连掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正 面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(,)X Y 的分布列及边缘分布列。 解 一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故1 ~(3,).2 X B 331 ()(),0,1,2,32 k P X k C k ===，于是(,)X Y 的分布列和边缘分布为 其中 (0,1)(0)(1|0)0P X Y P X P Y X =======，

13 313(1,1)(1)(1|1)()128 P X Y P X P Y X C =======?=， 余者类推。 3．设(,)X Y 的概率密度为 1 (6),02,24, (,)80,.x y x y f x y ?--<<<

《概率论与数理统计》习题一答案详解

《概率论与数理统计》习题及答案 习题一 1． 略.见教材习题参考答案. 2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件： （1）A发生，B，C都不发生； （2）A与B发生，C不发生； （3）A，B，C都发生； （4）A，B，C至少有一个发生； （5）A，B，C都不发生； （6）A，B，C不都发生； （7）A，B，C至多有2个发生； （8）A，B，C至少有2个发生. 【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC （4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC (6) ABC (5) ABC=A B C (7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC 3. 略.见教材习题参考答案 4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）. 【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1）在什么条件下P（AB）取到最大值？ （2）在什么条件下P（AB）取到最小值？ 【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6. （2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3. 6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.

【解】 P （A ∪B ∪C ）=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC ) =14+14+13-112=34 7. 从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率 是多少？ 【解】 p =533213 1313131352C C C C /C 8. 对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=517=（17 ）5 （亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故 P （A 2）=5567=(67)5 (3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日} P （A 3）=1-P (A 1)=1-(17 )5 9. 略.见教材习题参考答案. 10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n