平方根与立方根讲义
第二讲 平方根与立方根
1、 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根． 思考：负数为什么没有平方根
求一个非负数a 的平方根的运算，叫做开平方。
一个正数a 的正的平方根用符号“2a ”表示。a 叫做被开方数2叫做根指数，正数a 的负的平方根用符号“2a ” 表示，两个平
”读作“二次根号”，
”．这里，符号±方根合起来可以记作“22"a 省略不写，如，
时，通常将这个”．根指数是读作“二次根号下22a 2
a ”．
，读作“正、负根号下±记作±”；，读作“根号记作a a a a a 22
a 算术平方根：一个正数a 的平方根有两个，他们是互为相反数，其中正的平方根又叫做数a 的算术平方根 2、立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（也叫做三次方根）．
任何数（正数、负数或0）的立方根存在的话，必定只有一个！
如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根．数a 的立方根用符号3a 表示，读作“三次根号a ”，其中a 是被开方数，3是根指数（注意：根指
数3不能省略）．
3.开立方：
求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方也是互为逆运算，
因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求．
由于正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，可将
它
立方根的性质与平方根的有关性质进行比较
一个数的平方根和一个数的立方根，有什么相同点和不同点？ 相同点：正数，都存在平方根或立方根；
零，都存在一个平方根或立方根，它们都是零． 不同点：正数，虽都存在平方根或立方根，但个数不同；
负数，有一个立方根，还是负数；但负数却没有平方根．这是因为，正数、零、负数的平方都不是负数． 例1：求下列各数的平方根：
（1）81 （2）1625 （3）214
（4）0.49
例3：求下列各数的算术平方根： （1）25 （2）
4964
（3）0.81
（4）81
例4：求下列各式的值：
（1）144
（2）-
36
121
（3）±00001.
（4）2
141
16
+
例5：（1）已知正方形的边长为5cm ，求这个正方形的面积；(2)已知正方
形的面积是25cm 2，求这个正方形的边长 例6：判断下列语句是否正确，正确的打“√”，错误的画“×”，并将错误改正。
（1）7是()-72
的算术平方根； （ ）
（2）-25的平方根是±5； （ ）
（3）36等于±6； （ ） （4）16的平方根是±2； （
）
（5）6是()-62的平方根；
（
） （6）10是10的一个平方根； （ ） （7）正数的平方比它的算术平方根大。
（
）
例7：求下列各式中x 的值： （1）x 2
144= （2）816402
x -=
例8：已知5217228452177223....==，，开平方时，被开方数的小数点向左（或
向右）每移动两位，平方根的小数点相应的移动一位即可。
（1）求0052175217.和的值； （2）若x =02284.，求x 的值。
例9：16的平方根是几？ 注意:要审清题意，问的倒底是求谁的平方根，： 例10立方根
一、判断下列各题，对的打“√”，错的画“×”： 1、
125512的立方根是59和－5
9 （ ） 2、-1216的立方根是没有意义
（ ） 3、-35是-27125的立方根
（ ）
4、1512
的立方根是8
（ ）
5、-53是－5的立方根
（
）
二、填空题：
1、()
-11999
的立方根是 2、-0008.的立方根是
3、-
7
10
是 的立方根
4、-=33
8
3
，--=3433
5、-=00005123.
，--=91
18
3
6、24452003
??=
，()---=y 13
3
7、已知05390813853937775391753333......===，，，
则00005393.=
，539003=
8、有理数和 统称为
。
三、选择题：（单选题）
1、已知1550的立方根是11.57，若x 301157=.，则x 等于（
）
A ．0.00155
B ．1.55
C ．15.5
D ．0.000155 2、下列语句中，正确的是（ ） A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数 B ．一个实数的立方根不是正数就是负数 C ．负数没有立方根 D ．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1 3、若一个数的立方根与它的平方根完全相同；则这个数是（ ） A ．1 B ．－1 C ．－1或1 D ．0 4、在实数范围内，下列运算中，不是总能进行的是（ ） A ．平方 B ．立方 C ．开平方 D ．开立方 5、下列说法中，正确的是（ ） A ．带根号的数是无理数 B ．无限小数是无理数 C ．不能写成分数形式的数是无理数
D ．不能在数轴上表示的数是无理数 四、求下列各数的立方根：
1、-3
38
2、4
1727
3、5269
?
4、-?81012
五、求下列各式的值：
1、-3433
2、37
64
13
- 3、3435127293??
1.求下列各数的立方根： (1)216； (2) -0.027； (3) －125
64
；
(4)0.125； (5) －
64
27
； (6) 1 331．
练习一
一、填空题：（每空1分，共15分） 1、一个正数有 平方根，它们是互为 ；0有 平方根，它是
本身；负数 平方根。 2、正数a 有两个平方根，它们是 ，其中
叫做a
的算术平方根。 3、0的算术平方根是 ，即
= 0。
4、已知7218268672188496....==， 则：72180=
，0007218.=
。
5、1
9
16
的平方根是
，算术平方根是
。
16的
平方根是
。
6、如果
()x x -=-332
，则x 的取值范围是
。
二、选择题：（每题3分，共24分） 1、下列说法中，正确的是（ ） A ．任何数的平方根都有两个 B ．一个正数的平方根的平方就是这个数 C ．只有正数才有平方根 D ．不是正数，没有平方根 2、下列说法中，错误的是（ ） A ．5是5的一个平方根 B ．3是3的算术平方根
C ．3的平方根就是3的算术平方根
D ．－3的平方是3
3、下列各式中，无意义的是（ ）
A ．-32
B ．-32
C ．
()-32
D ．32-
4、下列各数中，没有平方根的是（ ）
A ．()-32
B ．0
C ．()--3
D ．－32
5、()-62
的算术平方根是（ ）
A ．6
B ．36
C ．6
D ．±6
6、49的平方根是（ ）
A ．±7
B ．7
C ．±7
D ．7
7、下列计算正确的是（ ）
A ．1
91654=
B ．4
14212
= C ．025005..=
D ．()--=--=4977
8、
425的平方根是±2
5
，这句话用数学式子表示为（ ）
A ．-
=-4252
5 B ．
4252
5=
C ．±
=±42525
D ．
42525
=± 三、求下列各数的平方根：（每个3分，共15分）
1、0.0064
2、106
-
3、()-252
4、
16
25
5、
169
四、求下列各数的算术平方根：（每小题3分，共6分）
1、1
11
25
2、324.
五、求下列各式的值：（每小题3分，共18分）
1、±
94
2、-169
.
3、102-
4、124
25
-
5、-?? ?
??-3443
2
6、()--
-882
六、求下列各式中的x ：（每小题3分，共12分） 1、x 2
100=
2、2516902
x -= 3、()21362
x -=
4、1212516
2
+?? ?
??+=x
七、（10分） 已知：x y +++=3240，计算x y 22
+的值。
平方根 立方根综合练习2
一、填空： 1、任何数的平方都是
，－9的平方是 ，9的平
方根是 。 2、1的平方根是 ，－1的平方根 。
3、x =6，则x =
，x 2
6=，x =
。
4、0的算术平方根是 ，5是
的算术平方根。
5、1.21的平方根是 ，算术平方根是
。 6、2
7
9
的平方根是
，
1
10000
的平方根是
。
7、()-732
.的平方根是
，15的算术平方根是
。
8、28192
--?? ?
?
?的平方根的和是
。
9、化简122-+=ππ 10、化简122++=a a
11、已知24515652454950....==，
则：245=
，2450=
。
二、选择题：
1、下列说法中，正确的是（ ） A ．因为5的平方是25，所以25的平方根是5 B ．因为－5的平
方是25，所以25的平方根是－5
C ．因为()-52
的底数是－5，所以()-52
就没有平方根 D ．因为－25是负
数，所以－25没有平方根
2、下列各式中，正确的是（
）
A ．164=±
B ．±=164
C ．-=-164
D ．
()-=-16162
3、当x =-6时，x 2的值是（
）
A ．6
B ．－6
C ．36
D ．±6
4、如果a 是任意数，下列各式中，有意义的是（ ）
A ．a
B ．()--a 2
C ．a a +-
D ．
()-a 2
5、下列语句，写成式子正确的是（ ）
A ．7是49的算术平方根，即：497=±
B ．7是()-72
的算术平方
根，即：()-=772
C ．±7是49的平方根，即：±=497
D ．7是7的算术平方根，
即：77=
6、下列各式中，计算正确的是（ ）
A ．5353222-=-= B
．
141912135
6
+=+=
C ．()--=--=8199
D ．1
916251654
== 7、下列命题中，其中正确命题的个数是（ ）
①0.25的平方根是±05.②-05.是-025.的平方根③只有正数才有平方根
④()12
-x 的平方根是()±-x 1
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8、已知4567213745676758...==，，那么，0.4567的平方根是
A ．±002137.
B ．±0.06758
C ．±0.2137
D ．±0.6758
七、正方形的面积等于120，求它的对角线的长。
平方根立方根练习题 3
一、填空题
1．如果9=x ，那么x ＝________；如果92
=x ，那么=x ________
2．如果x 的一个平方根是7.12，那么另一个平方根是________． 3．2-的相反数是 ， 13-的相反数是 ；
4．一个正数的两个平方根的和是________．一个正数的两个平方根的商是________．
5．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________； 6．算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________．
7．81的平方根是_______，4的算术平方根是_________，210-的算术平方
根是 ；
8．若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是 ；
9．当______m 时，m -3有意义；当______m 时，33-m 有意义； 10．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ；
11．已知0)3(122=++-b a ，则=332ab ；
12．21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________． 13．12+x 的算术平方根是2，则x ＝________． 二、选择题
14．下列说法错误的是（ ）
A 、1)1(2=-
B 、()1133-=-
C 、2的平方根是2±
D 、81-的平方根是9±
15．2
)3(-的值是（ ）．
A ．3-
B ．3
C ．9-
D ．9
16．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ） A 、1 B 、9 C 、4 D 、5 17.下列各数没有平方根的是（ ）．
A ．－﹙－2﹚
B ．3)3(-
C ．2)1(-
D ．11.1 18.计算3825-的结果是（ ）.
A.3
B.7
C.-3
D.-7
19.若a=23-,b=-∣－2∣，c=33)2(--,则a 、b 、c 的大小关系是（ ）. A.a ＞b ＞c B.c ＞a ＞b C.b ＞a ＞c D.c ＞b ＞a 20．如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
平方根与立方根自我检测试题（A ）
一、填空题（每题3分，共30分）
1, 121的平方根是＿＿＿＿，算术平方根＿＿＿＿＿． 2, 4.9×103的算术平方根是＿＿＿＿＿＿． 3，（－2）2的平方根是＿＿＿＿＿，算术平方根是＿＿＿＿． 4, 0的算术平方根是＿＿＿，立方根是＿＿＿＿． 5，－3是＿＿＿＿的平方根． 6, 64的平方根的立方根是＿＿＿＿＿． 7，若4ｘ2－25＝0，则ｘ＝＿＿＿＿＿． 8，计算：327
19
1-
＝＿＿＿＿＿＿． 9，若b a -+-331＝0，则3ab ＝＿＿＿＿． 10，若a ＝2，则（2ａ－5）2－1的立方根是＿＿＿＿． 二、选择题（每题3分，共30分）
11, 169的平方根是（）
A ，13
B ，－13
C ， ±13
D ，±13 12，0.49的算术平方根是（）
A ，0.49
B ，－0.7
C ，0.7
D ，7.0 13，
81的平方根是（）
A ， 9
B ，－9
C ，±9
D ，±3 14，下列等式正确的是（）
A ，9-＝－3
B ，144＝±12
C ，
()
2
7-＝－7 D ，()2
2
-＝2
15，若ｘ使（ｘ－1）2＝4成立，则ｘ的值是（）
A ，3
B ，－1
C ，3或－1
D ，±2 16，－
8
1
的立方根是（） A ，－81 B ，±21 C ，－2
1
D ，21
17，当ｘ＝－8时，则32x 的值是（）
A ，－8
B ，－4
C ，4
D ，±4
18，下列语句，写成式子正确的是（）
A ，3是9的算术平方根，即39±=
B ，－3是－27的立方根，3
27
-＝±3
C ，2是2的算术平方根，即2＝2
D ，－8的立方根是－2，即38-＝－2
19，下列说法：①一个数的平方根一定有两个；②一个正数的平方根一定是它的算术平方根；③负数没有立方根．其中正确的个数有（）
A ， 0个
B ，1个
C ，2个
D ，3个 20，若一个数的平方根与它的立方根完全相同，则这个数是（）
A ， 1
B ， －1
C ， 0
D ，±1, 0 三、解答题（每题5分，共40分）
21，求下列各数的平方根和算术平方根：
（1）0. 0121；（2）（－3）2；（3）3161；（4）36
1
-；（5）625．
22，求下列各数的立方根：
（1） －
271；（2）0.064；（3）1－87；（4），64；（5）512
169－1．
23，求下列各式中的ｘ：
（1） 169ｘ2＝100； （2）（2ｘ－1）2＝289；
（3） 125－8ｘ3＝0； （4）0.5（ｘ+3）3＝4．
24，(1)若ｃ＝22b a +，其中ａ＝6，ｂ＝8，求ｃ的值；
(2)若ｃ2＝ａ2+ｂ2，其中ａ＝12，ｂ＝5，求ｃ的值．
25，已知：33-+-x x +5＝ｙ，求ｘ+ｙ的立方根．
26，已知：（ｘ－1）2+z y x y +++
+3＝0，求ｘ+ｙ2－ｚ的立方根．
27，已知：ｘ－2的平方根是±2, 2ｘ+ｙ+7的立方根是3，求ｘ2+ｙ2的平方根．
28，若ｘ2＝（－3）2，ｙ3＝（－2）3，求ｘ+ｙ的所有可能值．
(完整)初二数学上册平方根与立方根专项练习题
初二数学上册平方根与立方根专项练习题 一、填空题： 1、144的算术平方根是 ， 16的平方根是 ； 2、327= ， 64-的立方根是 ； 3、7的平方根为 ，21.1= ； 4、一个数的平方是9，则这个数是 ，一个数的立方根是1，则这个数是 ； 5、平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ； 6、当x= 时， 13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义； 7、若164=x ，则x= ；若813=n ，则n= ； 8、若 3x x =，则x= ；若x x -=2，则x ； 9、若0|2|1=-++y x ，则x+y= ； 10若x 的算术平方根是4，则x=＿＿＿；若 3x =1，则x=＿＿＿； 11．若2)1(+x -9=0，则x=＿＿＿；若273x +125=0，则x=＿＿＿； 12．当x ＿＿＿时，代数式2x+6的值没有平方根； 13如果a 的算术平方根和算术立方根相等，则a 等于 ； 147在整数 和整数 之间，5在整数 和整数 之间。 二、选择题 11、若a x =2，则（ ） A 、x>0 B 、x ≥0 C 、a>0 D 、a ≥0 12、一个数若有两个不同的平方根，则这两个平方根的和为（ ） A 、大于0 B 、等于0 C 、小于0 D 、不能确定 13、一个正方形的边长为a ，面积为b ，则（ ） A 、a 是b 的平方根 B 、a 是b 的的算术平方根 C 、b a ±= D 、a b = 14、若a ≥0，则24a 的算术平方根是（ ） A 、2a B 、±2a C 、a 2 D 、| 2a | 15、若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ） A 、0
平方根和立方根知识点
平方根: 概括1：一般地，如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根(或二次方根)。就是 说，如果x 2 ＝a,那么x 就叫做a 的平方根。 如：23与－23都是529的平方根。 因为(±23)2 ＝529，所以±23是529的平方根。 问：（1）16，49，100，1 100都是正数，它们有几个平方根?平方根之间有什么关系? （2）0的平方根是什么? 概括2：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没 有平方根。 知识点二： 概括3：求一个数a(a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方。 开平方运算是已知指数和幂求底数。平方与开平方互为逆运算。一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0的平方是0。但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0的平方根是0。负数没有平方根。 因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。 知识点三： （1）625的平方根是多少？这两个平方根的和是多少？ －7和7是哪个数的平方根？ 正数m 的平方根怎样表示？ （2）下列各数的平方根各是什么？ 64； 0； (－0.4)2 ； 3 21(-（3）已知正方形的面积等于a, 3、例题讲解： 例1、求下列各数的平方根： (1)81； (2)1916； (3)0.09 例2、下列各数有平方根吗? 如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由。 (1)－64； (2)0； (3)( - 例3、求下列各式的值： (1)10000； (2)144-；(4)0001.0-； (5)81 49±
平方根与立方根基础练习题(B卷)
平方根与立方根练习题（B 卷） 一、填空题： 1、144的算术平方根是 ，16的平方根是 ； 2、3 27= ， 64-的立方根是 ； 3、7的平方根为 ，21.1= ； 4、一个数的平方是9，则这个数是 ，一个数的立方根是1，则这个数是 ； 5、平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ； 6、当x= 时，13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义； 7、若164 =x ，则x= ；若813=n ，则n= ； 8、若3x x =，则x= ；若x x -=2，则x ； 9、若0|2|1=-++y x ，则x+y= ； 10、计算： 381264 27 3292531+-+= ； 二、选择题 11、若a x =2，则（ ） A 、x>0 B 、x ≥0 C 、a>0 D 、a ≥0 12、一个数若有两个不同的平方根，则这两个平方根的和为（ ） A 、大于0 B 、等于0 C 、小于0 D 、不能确定 13、一个正方形的边长为a ，面积为b ，则（ ） A 、a 是b 的平方根 B 、a 是b 的的算术平方根 C 、b a ±= D 、a b = 14、若a ≥0，则24a 的算术平方根是（ ） A 、2a B 、±2a C 、a 2 D 、| 2a | 15、若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ） A 、0
平方根与立方根试题
平方根与立方根试题 一 选择 1、若a x =2，则（ ） A 、x>0 B 、x ≥0 C 、a>0 D 、a ≥0 2、一个数若有两个不同的平方根，则这两个平方根的和为（ ） A 、大于0 B 、等于0 C 、小于0 D 、不能确定 3、一个正方形的边长为a ，面积为b ，则（ ） A 、a 是b 的平方根 B 、a 是b 的的算术平方根 C 、b a ±= D 、a b = 4、若a ≥0，则24a 的算术平方根是（ ） A 、2a B 、±2a C 、a 2 D 、| 2a | 5、若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ） A 、0
算术平方根、平方根知识点
学科教师辅导讲义
知识点2：估算 估算算术平方根的大小主要是利用逼近法，即利用与被开方数最接近的完全平方数来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 规律小结 确定一个无限不循环小数的整数部分，一般采用估算法（估算到个位）；确定其小数部分的方法是：首先确实其整数部分，然后利用这个数减去它的整数部分. 例2.如果17-=m ，那么m 的取值围是（ ） A.10< 2.平方根与算术平方根的区别与联系 例2.求下列各数的平方根和算术平方根： （1）0.0009 （2）8125 （3）25-）（ 知识点4：平方根的性质 平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 规律小结：一个正数a 的平方根有两个记作a ± ，表示a 的正的平方根和负的平方根，其中正的平方根a 也叫做a 的算术平方根. 注：一个正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个. 例3.一个正数x 的两个平方根分别是31-+a a 与，则a 的值为（ ） A.2 B.-1 C.1 D.0 随堂巩固 一、选择题. 1. 4的算术平方根是（ ） A.2 B.-2 C.±2 D.16 2.下列说确的是（ ） A.5是25的算术平方根 B.16是4的算术平方根 C.-6是()2 6-的算术平方根 D.0没有算术平方根 3.下列整数中，与 最接近的是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 4.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ） A.2与3 之间 B.3与4 之间 C.4与5之间 D.5与6之间 5.81的平方根是（ ） A.3± B.3 C.9± D.9 6.下列语句正确的是（ ） A.-2是-4的平方根 B.2是()22-的算术平方根 C.()22-的平方根是2 D.4的平方根是2或-2 7.252=a ，3=b ，则a+b 的值是（ ） A.-8 B.8± C.2± D.8±或2± 二、填空题 1.化简：（1）4 12= ； （2） = . 2.大于2且小于5的整数是 . 3.使式子11=-x 成立的未知数x 的值是 。 4.已知一个正数的平方根是23-x 和65+x ，则这个数是 5.已知m,n 为两个连续的整数，且n m <<11，则n m += . 3004.0 平方根和立方根练习题 一、平方根 1．如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么________叫做_________的算术平方根；0的算术平方根是______，∴当a ≥0时，a 表示a 的_________________； 2． 如果x 2=a ，那么_________叫做_______的平方根；一个正数a 的平方根，记为________；____数没有平方根；平方根等于本身的数是_____________； 3．下列说法正确的是（ ） （A ）a 2的平方根是a ， （B ）a 2的平方根是－a （C ）a 2的算术平方根是a ， （D ）a 2的算术平方根是a ； 4．在数轴上实数a ，b 的位置如图所示，化简|a+b|+ 的结果是（ ） A ．﹣2a ﹣b B ．﹣2a+b C ．﹣2b D ．﹣2a 5．直接写出下列各式的值： （1）=16 （2）=04.0 （3）()=-22.0 （4）=-2)4( (5) =--)2)(8( (6) =-221213 （7）－=16 （8）=0001.0 （9）－=256 9 （10）±=16 （11）=3600 6．若x 2= 4，则x=______；若=x 4，则x=______ 7．要使式子7 5-x 有意义，则x 的取值范围是（ ） （A ） x ≠5 ，（B ） x ≥5 ，（C ） x ＞5 ，（D ）x ≤5 ； 8、计算：÷+（2﹣）0﹣（﹣1）2014+|﹣2|+（﹣）﹣2． 9、.若（x －5）2＋3+y =0，则xy=______； 10．化简下列二次根式 （1）（2）（3）（4）． 11．若一个长方体的长为，宽为，高为，则它的体积为cm3．12．计算的结果是． 13．计算：= ． 14．化简2﹣+的结果是（） A．B．﹣C． D．﹣ 15．化简（﹣2）2002?（+2）2003的结果为（） A．﹣1 B．﹣2 C．+2 D．﹣﹣2 16．如果下列二次根式中有一个与是同类二次根式，那么这个根式是（）A． a B．C．D． 17．如果=2﹣a，那么（） A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2 18．若代数式﹣在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x≠﹣2 B．x≤5 C．x≥5 D．x≤5且x≠﹣2 19．式子（a＞0）化简的结果是（） A．B．C．D． 20．下列计算正确的是（） A．2=B．= C．4﹣3=1 D．3+2=5 21、下列根式中，不是 ．．最简二次根式的是（） A B C．D x<,( ) 22、已知1 平方根与立方根练习题 班级 姓名 时间 一、填空题 1．如果9=x ，那么x ＝________；如果92=x ，那么=x ________； 2．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________； 3．算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________． 4. x ==则 ，若,x x =-=则 。 5．81的平方根是_______，4的算术平方根是_________，210-的算术平方根是 ； 6．当______m 时，m -3有意义；当______m 时，3 3-m 有意义； 7．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ； 8．21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________． 二、选择题 9. 若2x a =，则（ ） A.0x > B. 0x ≥ C. 0a > D. 0a ≥ 10．2)3(-的值是（ ）． A ．3- B ．3 C ．9- D ．9 11．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ） A 、1 B 、9 C 、4 D 、5 12．如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 13．一个等腰三角形的两边长分别为25和32，则这个三角形的周长是（ ） A 、32210+ B 、3425+ C 、32210+或3425 + D 、无法确定 14. 若5x -能开偶次方，则x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥ B.5x > C. 5x ≥ D. 5x ≤ 15. 若n 为正整数,则2n ） A ．-1 B.1 C.±1 D.21n + 16. 若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ） A.01a << B.0a > C. 1a < D. 1a > 三、解方程 1. 8)12(3-=-x 2．4(x+1)2=8 3. 2(23)2512x x -=- 4. (2x-5)3=-27 四、解答题 已知： 实数a 、b 满足条件 0)2(12=-+-ab a 试求: ) 2004)(2004(1)2)(2(1)1)(1(1 1 ++++++++++b a b a b a ab 的值 平方 根 立方立方根 52^3=140608 53^3=148877 54^3=157464 55^3=166375 56^3=175616 57^3=185193 58^3=195112 59^3=205379 60^3=216000 61^3=226981 62^3=238328 63^3=250047 64^3=262144 65^3=274625 66^3=287496 67^3=300763 68^3=314432 69^3=328509 70^3=343000 71^3=357911 72^3=373248 73^3=389017 74^3=405224 75^3=421875 76^3=438976 77^3=456533 78^3=474552 79^3=493039 80^3=512000 81^3=531441 82^3=551368 83^3=571787 84^3=592704 85^3=614125 86^3=636056 87^3=658503 88^3=681472 89^3=704969 90^3=729000 91^3=753571 92^3=778688 93^3=804357 94^3=830584 95^3=857375 96^3=884736 97^3=912673 98^3=941192 99^3=970299 100^3=1000000 3√0 = 0 3√1 = 1 3√2 = 1.260 3√3 = 1.442 3√4 = 1.587 3√5 = 1.710 3√6 = 1.817 3√7 = 1.913 3√8 = 2 3√9 = 2.080 3√10 = 2.154 3√11 = 2.224 3√12 = 2.289 3√13 = 2.351 3√14 = 2.410 3√15 = 2.466 3√16 = 2.520 3√17 = 2.571 3√18 = 2.621 3√19 = 2.668 3√20 = 2.714 3√21 = 2.759 3√22 = 2.802 3√23 = 2.844 3√24 = 2.884 3√25 = 2.924 3√26 = 2.962 3√27 = 3 3√28 = 3.037 3√29 = 3.072 3√30 = 3.107 3√31 = 3.141 3√32 = 3.175 3√33 = 3.206 3√34 = 3.240 3√35 = 3.271 3√36 = 3.302 3√37 = 3.332 3√38 = 3.362 3√39 = 3.391 3√40 = 3.420 3√41 = 3.448 3√42 = 3.476 3√43 = 3.503 3√44 = 3.530 3√45 = 3.557 3√46 = 3.583 3√47 = 3.609 3√48 = 3.634 3√49 = 3.659 3√50 = 3.684 3√51 = 3.708 3√52 = 3.733 3√53 = 3.756 3√54 = 3.780 3√55 = 3.803 3√56 = 3.826 3√57 = 3.849 3√58 = 3.871 3√59 = 3.893 3√60 = 3.915 3√61 = 3.936 3√62 = 3.958 3√63 = 3.979 3√64 = 4 3√65 = 4.021 3√66 = 4.041 3√67 = 4.062 3√68 = 4.082 3√69 = 4.102 3√70 = 4.121 3√71 = 4.141 3√72 = 4.160 3√73 = 4.179 3√74 = 4.198 3√75 = 4.217 3√76 = 4.236 3√77 = 4.254 3√78 = 4.273 3√79 = 4.291 3√80 = 4.309 3√81 = 4.327 3√82 = 4.344 3√83 = 4.362 3√84 = 4.380 3√85 = 4.397 3√86 = 4.414 3√87 = 4.431 3√88 = 4.448 3√89 = 4.465 3√90 = 4.481 3√91 = 4.498 3√92 = 4.514 3√93 = 4.531 3√94 = 4.547 3√95 = 4.563 3√96 = 4.579 3√97 = 4.595 3√98 = 4.610 3√99 = 4.626 3√100 = 4.642 平方根、立方根练习题 一、填空题： 1、144的算术平方根是 ，16的平方根是 ； 2、327= ， 64-的立方根是 ； 3、7的平方根为 ，21.1= ； 4、一个数的平方是9，则这个数是 ，一个数的立方根是1，则这个数是 ； 5、平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ； 6、当x= 时，13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义； 7、若164 =x ，则x= ；若813=n ，则n= ； 8、若3x x =，则x= ；若x x -=2，则x ； 9、若0|2|1=-++y x ，则x+y= ； 10、计算： 381264 27 3292531+-+= ； 11、若m 的平方根是51a +和19a -，则m = ． 12、0.25的平方根是 ；125的立方根是 ； 13、计算：412 =＿＿＿；38 3 3-=＿＿＿； 14、若x 的算术平方根是4，则x=＿＿＿；若3x =1，则x=＿＿＿； 15、若2 )1(+x -9=0，则x=＿＿＿；若273 x +125=0，则x=＿＿＿； 16、当x ＿＿＿时，代数式2x+6的值没有平方根； 17、如果x 、y 满足|2|+++x y x =0，则x= ，y=＿＿＿； 18、如果a 的算术平方根和算术立方根相等，则a 等于 ； 二、选择题 1、若a x =2 ，则（ ）A 、x>0 B 、x ≥0 C 、a>0 D 、a ≥0 2、一个数若有两个不同的平方根，则这两个平方根的和为（ ） A 、大于0 B 、等于0 C 、小于0 D 、不能确定 3、一个正方形的边长为a ，面积为b ，则（ ） A 、a 是b 的平方根 B 、a 是b 的的算术平方根 C 、b a ±= D 、a b = 4、若a ≥0，则2 4a 的算术平方根是（ ） A 、2a B 、±2a C 、a 2 D 、| 2a | 5、若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ）A 、0 1．已知15的整数部分为a ，b 是25的平方根，求ab 的值． 2．已知x-1是64的算术平方根，求x 的算术平方根． 3．若4m+1的算术平方根为3，求m 的值． 4．已知a 的平方根是±3，b 的算术平方根是4，求a+b 的平方根． 5．已知|a|=6，b 2=16，求a+b 的平方根． 6．已知3+x =3，求7x+7的算术平方根． 7．已知9的算术平方根为a ，|b|=4，求a-b 的值． 8．若2x-4的平方根为±3，求x 的值． 9．如果3x+12的立方根是3，求2x+6的平方根． 10．计算：若5x+19的立方根是4，求2x+18的平方根． 11．已知x 的算术平方根为3，y 的立方根是-3，求x-y 的平方根． 12．已知a 为17的整数部分，b-1是8的立方根，求ab 的值． （2）若4a+1的算术平方根是5，则a2的算术平方根是______． （3）一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是______． （4）一个自然数的平方是b,那么比这个自然数大1的数是______． 13、若2+x ＝2，求（x+2）2的平方根． 14．已知x 2=4，y 3=8，求x+y 的值． 15．若9的平方根是a ，3b ＝4，求a+b 的值． 16、36的平方根是______，64的立方根是______． 17．已知x 没有平方根，且|x-3|=6，求x 的值． 18．一个正数的平方根是2a-7和a+4，求这个正数. 19．已知一个正数的平方根是3a+1和a+11，求这个数的立方根． 20．若5x-19的算术平方根是4，求3x+9的平方根． 21．已知y ＝2-x +x -2+3，求yx 的平方根． 22．已知y ＝x -3+ 3-x +2，求xy+yx 的平方根 平方根1 教学目的： 1、使学生理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根； 2、掌握用平方运算求某些数的平方根的方法； 教学重点和难点： 重点：平方根的概念及求某些数的平方根的方法； 难点：平方根的概念；关键：对符号“”意义的理解。 学法指导： 根据教师为主导，学生为主体的原则，始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导—反馈矫正”的教学方法。 教法指导： 1、针对八年级学生的认知特点，体现“以学生发展为本”的教育理念，发展学生的个性特长，让学生学会学习。本堂课主要采用引探式和启发式的教学方法，教师引导为辅，学生自主思考解决问题为主。 2、数学概念的学习比较抽象、枯燥，用多媒体辅助教学，增加课堂的趣味性，提高学生的学习积极性。 教学过程： 一、引入新课： 我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算，但在现实生活中，有些问题仅运用这五种运算是无法解决的。例如已知正方形一边长是4厘米，那么它的一条对角线的长是多少厘米?解决这个问题就要运用一种新的运算方法，这种运算叫做开方。这节课我们就要学习开方运算和平方根。 可以先预练1—20的平方计算。 二、新课学习： 1、知识设疑： （1）计算：42；(－4)2； (0.8)2；(－0.8)2 （2）如果已知一个数的平方等于16 2、知识形成： 知识点一： 我们可以设这个数为x，则2x＝16，问题归结为求x。这个问题可以通过乘方运算来解决。 因为42＝16所以x ＝4 ， 可以表示为(±4)2 ＝16。 因为4或－4的平方都等于16，我们把4及－4叫做16的平方根。 概括1：一般地，如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根(或二次方根)。就是 说，如果x 2＝a,那么x 就叫做a 的平方根。 如：23与－23都是529的平方根。 因为(±23)2＝529，所以±23是529的平方根。 问：（1）16，49，100，1 100都是正数，它们有几个平方根?平方根之间有什么关系? （2）0的平方根是什么? 概括2：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数 没有平方根。 知识点二： 概括3：求一个数a(a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方。 开平方运算是已知指数和幂求底数。平方与开平方互为逆运算。一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0的平方是0。但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0的平方根是0。负数没有平方根。 因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。 知识点三： （1）625的平方根是多少？这两个平方根的和是多少？ －7和7是哪个数的平方根？ 正数m 的平方根怎样表示？ （2）下列各数的平方根各是什么？ 64； 0； (－0.4)2 ； )3 2 1( （3）已知正方形的面积等于a, 3、例题讲解： 例1、求下列各数的平方根： (1)81； (2)1916； (3)0.09。 平方根立方根的计算 一、填空题 1.如果x 的平方等于a ，那么x 就是a 的 ，所以的平方根是 2.非负数a 的平方根表示为 3.因为没有什么数的平方会等于 ， 所以负数没有平方根，因此被开方数一定是 或者 4 既 的平方根是 5.非负的平方根叫 平方根 6．如果9=x ，那么x ＝________；如果92=x ，那么=x ________； 7．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________； 8．算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________． 9. x =则 ，若,x x =-=则 。 10．81的平方根是_______，4的算术平方根是_________，2 10-的算术平方根是 ； 11．当______m 时，m -3有意义；当______m 时，33-m 有意义； 12．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ； 13．21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________． 14 _______；9的平方根是_______． 15．144的算术平方根是 ，16的平方根是 ； 16．327= ， 64-的立方根是 ； 17．7的平方根为 ，21.1= ； 18．一个数的平方是9，则这个数是 ，一个数的立方根是1，则这个数 是 ； 19．平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数 是 ； 20．当x= 时，13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义； 21．若164=x ，则x= ；若813=n ，则n= ； 22．若3x x =，则x= ；若x x -=2 ，则x ； 23．若0|2|1=-++y x ，则x+y= ； 24．计算： 381264 27 3292531+-+= ； 25．2 )8(-= ， 2)8(= 。 26．9的算术平方根是 ，16的算术平方根是 ； 27．2 10-的算术平方根是 ，0)5(-的平方根是 ； 28．一个正数有 个平方根，0有 个平方根，负数 平方根. 29．一个数的平方等于49，则这个数是 30．16的算术平方根是 ，平方根是 31．一个负数的平方等于81，则这个负数是 32．如果一个数的算术平方根是5，则这个数是 ，它的平方根是 33．25的平方根是 ； （-4）2 的平方根是 。 34．9的算术平方根是 ；3-2 的算术平方根是 。 35．若a 的平方根是±5，则a = 。 36．如果a 的平方根等于2±，那么_____=a ； 【基础知识巩固】 一、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 （1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即： 如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根． （2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。 （3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3 （4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算 （5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根； 正数a 的负的平方根可用-a 表示． （6）a x =2 <—> a x ±= a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x 2、算术平方根 （1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，2 个正数x 叫做a 的算术平方根．a “根号 a”，a 叫做被开方数． 规定：0的算术平方根是0. 也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。 （2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数； 当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。 （3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大； 当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。 一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如错误!未找到引用源。=5，错误!未找到引用源。=50。 （4）夹值法及估计一个（无理）数的大小 （5）a x =2 (x≥0) <—> a x = a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x （6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a 师：大家从小学就开始接触正方形，同学们知道它们的面积怎么算吗？ 生：回答 师：大家都知道已知边长的正方形面积如何计算，那么给大家面积同学们能够告诉老师它的 边长吗？请说出面积为4cm 2、16cm 2、25cm 2正方形的边长吗？ 生：回答 师：前面给出的数据都是有规律的平方数，如果正方形面积是10cm 2、20cm 2，同学们怎么去计算正方形的边长？这就是下面我们要学习的内容 1．算术平方根 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2 x a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方 根. a 的算术平方根记为______，读作________，a 叫做__________. 规定：0的算术平方根是 _____. 平方根及立方根 2. 平方根 一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根. 这就是说，如果2x a =，那么______叫做_________的平方根. a 的算术平方根记为______，读作________，a 叫做__________. 求一个数a 的平方根的运算，叫做_________. 3．立方根 （1）定义： 一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根. 这就是说，如果3x a =，那么______叫做_________的平方根. 求一个数的立方根的运算，叫做_________. 一般地，33a a -=-. （2）性质： 正数的立方根是_____数；负数的立方根是_____数；0的立方根是_____ （20-40分钟） 平方根与算数平方根 【典题导入】【亮点题】 例一、1.44的算术平方根为 ，13的算术平方根为 ，2(7)-的算术平方根为 ； 例二、若一个数的算术平方根是6，则这个数为 ；6是 的算术平方根 例三、求下列各数的算术平方根: （1） 6449 （2）917 （3）43- （4） |-25 24 1| 【小试牛刀】 考点1 “平方根”与“立方根”知识点小结 一、知识要点 1、平方根： ⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。 ⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 ⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 。 2、立方根： ⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a （a 称为被开方数）。 ⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 二、规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 30a ≥0。 4、公式：⑴2=a （a ≥0）（a 取任何数）。 5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0 例1 求下列各数的平方根和算术平方根 （1）64；（2）2)3(-； （3）49151 ； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值 （1）81± ； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-. （5） 44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(- 例3、求下列各数的立方根： ⑴ 343； ⑵ 10227-； ⑶ 0.729 二、巧用被开方数的非负性求值. 当a ≥0时，a 的平方根是± a ，即a 是非负数. 例4、若 ,622=----y x x 求y x 的立方根. 练习：已知 ,21221+-+-=x x y 求y x 的值. 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根. 练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值. 四、巧解方程 例6、解方程（1）（x+1）2 =36 （2）27(x+1)3=64 五、巧用算术平方根的最小值求值. 0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零. 例4、已知：y= )1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根. 23(2)0y z -++=，求xyz 的值。 精品教学教案设计| Excellent teaching plan 教师学科教案[ 20–20学年度第__学期] 任教学科： _____________ 任教年级： _____________ 任教老师： _____________ xx市实验学校 精品教学教案设计| Excellent teaching plan 《用计算器求平方根和立方根》教案 教学目标 ( 一) 知识目标 1. 会用计算器求平方根和立方根. 2. 经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力. ( 二 ) 能力训练目标 1. 鼓励学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲. 2. 鼓励学生自己探索计算器的用法，并能熟悉用法. 3. 能用计算器探索有关规律的问题，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性. ( 三 ) 情感与价值观目标 让学生经历运用计算器的活动，培养学生探索规律的能力，发展学生合理推理的能力.教学重点、难点 1. 探索计算器的用法. 2.用计算器探求数学规律 . 教学方法 学生自主探究法. 教学过程 ( 一) 新课导入 我们在前几节课分别学习了平方根和立方根的定义，还知道乘方与开方是互为逆运算. 比如23828 的立方根， 82 的立方，有时可以根据逆运算来求方根或平方、立方. 对于 1 =，叫叫 0以内数的立方，20以内数的平方要求大家牢记在心，这样可以根据逆运算快速地求出这些 特殊数的平方根或立方根，那么对于不特殊的数我们应怎么求其方根呢？可以根据估算的方 法来求，但是这样求方根的速度太慢，这节课我们就学习一种快速求方根的方法，用计算器开方 . ( 二) 新课讲解 【师】请大家互相看一下计算器，拿类型相同的计算器的同学请坐到一起. 这样便于大家互相讨论问题. 如果你的计算器的类型与书中的计算器的类型相同，请你按照书中的步骤 熟悉一下程序，若你的计算器的类型不同于书中的计算器，请拿相同类型计算器的同学先要 探索一下如何求平方根、立方根的步骤，把程序记下来，好吗？给大家 8分钟时间进行探索. 【师】现在根据自己掌握的程序计算 5.89，32 ,3 1285 , 5+1 7 平方根和立方根（复习课） 学习目标： （1）进一步掌握平方根、立方根的概念、性质，并归纳它们之间的联系和区别． （2）能熟练进行开平方、开立方的相关运算． （3）、灵活运用乘方、开方的知识，实现知识的迁移，并使新旧知识融会贯通。学习重点： 开平方、开立方的相关运算. 学习难点：解一元一次方程，解一元二次方程 学习方法: 自主学习、小组交流、感悟提升 【教学过程】 通过让学生小组讨论做简单的测试题引出教学题目 (1)49的平方根是（），算术平方根是（）； 0.008的立方根是（）。 (2)若－是x的一个平方根，那么x的另一个平方根是（）； (3)平方根等于它本身的数是（），算术平方根等于它本身的数是（），立方根等于它本身的数是（）； (4) 一个数的平方等于0.01 ，这个数是（），一个数的立方等于0.008，这个数是（） （设计意图）通过测试自己回顾已知识的哪个知识点的内容为下面的课做准备 一、回顾与思考 1．复习算术平方根，平方根，立方根的概念 2．填表区分算术平方根，平方根，立方根的区别 【设计意图】通过学生课前的自我复习达到自我复习的目的，巩固好前面所学的概念，以及相对抽象的数学符号.然后在此基础上进一步推广n 次方根的概念，培养学生的发散性思维. 3．熟练技能 判断下列说法是否正确,并说明理由。 (1） 8 27 的立方根是± 23 ； （2） 9 的平方根是±3 ； （3）-64的立方根是-4 ； （4） 3± ； （5）1的平方根和立方根都是1 强化训练 4.说出下列各式的值： （1 ）（2） ± （3） （4）（5） （ 6） 【设计意图】通过简单的题型真正暴露学生掌握的情况， 不仅可以调整后面的教学，还可以让学生明白自己的问题在哪里，同时巩固所学的概念，对概念还有不清的学生起到及时纠正的作用 应对挑战，你做好准备了吗？ 5拓展延伸1 +- - （1 2 2 ) 7(81)5(- (3)+- （设计意图）由简单到难 通过做拓展延伸1 更好的掌握学生对开平方、开立方的相关运算掌握了多少 5拓展延伸2 你能求出下列各式中的未知数x 吗？ 1）3x 2=27 (2) (x-5)2=64 （3） x 3＝125 （4）(x-1)3＝1252018年平方根及立方根练习
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