文档库 最新最全的文档下载
当前位置:文档库 › 13.函数与方程思想

13.函数与方程思想

13.函数与方程思想
13.函数与方程思想

函数与方程思想

一、复习策略

函数思想是一种通过构造函数从而应用函数图象、性质解题的思想方法,即用运动变化的思想观点,分析和研究具体问题中的数量关系,通过函数的形式把这种数量关系表示出来,并加以研究其内在的联系,使问题获解.应用函数思想解题的基础是:常见函数的单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换等;熟练掌握一次函数、二次函数、指对数函数等具体特征;应用函数思想解题的关键是:善于观察题目的结构特征,揭示内在联系,挖掘隐含条件,从而恰当地构造函数和利用函数性质去解题.

方程思想是若干变量关系是通过解析式表示的,则可以把解析式看成一个等式,然后通过方程的讨论从而使问题获解.许多问题中含有常量、变量和参量,可以通过适当方式,运用方程的观点去观察、深入分析问题的结构特点,抓住某一个关键变量,构造出这种等式来处理.两种思想方法是相辅相成的,有关方程、不等式、最值等问题,利用函数、方程观点加以分析,常可以使问题“明朗化”,从而易于找到适当解题途径.

历年的高考试题中,每年都有一些设问新颖的函数与方程题目,而且占有相当的比重,一些常见的解题规律和方法在这里得到比较充分的体现.

二、典例剖析

题型一根据等式的特点,构建方程

例1.设是方程的两个不等实根,那么过点和的直线与圆的位置关系是()

A.相离B.相切

C.相交D.随的值而变化

分析:

判断直线与圆的位置关系,即判断圆心到直线的距离与圆的半径的关系.

解:

由题意,得,即,

因此和都在直线上,∴原点到该直线的距离,∴过的直线与单位圆相切.

点评:

本题的关键之处在于求出过两点的直线方程,这里是从方程的形式中观察出的,灵活运用函数与方程的思想,通过“设而不求”而得出的.

例2.对于函数f(x),若存在x

0∈R,使f(x

)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.已知函数

f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0).

(1)若a=1,b=-2时,求f(x)的不动点;

(2)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围;

(3)在(2)的条件下,若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点,且A、B关于直线y=kx+对称,求b的最小值.

解:

(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-x-3,

由题意可知x=x2-x-3,得x

1

=-1,x2=3.

故当a=1,b=-2时,f(x)的两个不动点为-1,3.

(2)∵f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0)恒有两个不动点,

∴x=ax2+(b+1)x+(b-1),

即ax2+bx+(b-1)=0恒有两相异实根.

∴Δ=b2-4ab+4a>0(b∈R)恒成立.

于是Δ′=(4a)2-16a <0解得0<a <1.

故当b ∈R ,f(x)恒有两个相异的不动点时,0<a <1.

(3)由题意A 、B 两点应在直线y=x 上,设A(x 1,x 1),B(x 2,x 2).

又∵A 、B 关于y=kx +对称.

∴k=-1. 设AB 的中点为M(x′,y′).

∵x 1,x 2是方程ax 2+bx +(b -1)=0的两个根.

∴x′=y′=,

又点M 在直线上有, 即.

∵a >0,∴2a +≥2当且仅当2a=即a=∈(0,1)时取等号,

故b≥-,得b 的最小值-.

例3.对于定义域为D 的函数,若同时满足下列条件:

①f(x)在D 内单调递增或单调递减;

②存在区间

使f(x)在上的值域为;那么把叫闭函数.

(1)求闭函数符合条件②的区间;

(2)判断函数是否为闭函数?并说明理由;

(3)若是闭函数,求实数k的范围.

分析:

这是一个新定义型的题目,要能从题中所给信息,进行加工提炼,得出解题的条件.解:

(1)由题意,上递减,则解得

所以,所求的区间为[-1,1].

(2)当

所以,函数在定义域上不单调递增或单调递减,从而该函数不是闭函数.

(3)若是闭函数,则存在区间[a,b],在区间[a,b]上,函数f(x)

的值域为[a,b],即,的两个实数根,

即方程有两个不等的实根.设f(x)=x2-(2k+1)x+k2-2.

法一:当时有解得.当有此时不等式组无解.综上所述,.

法二:只需满足方程x2-(2k+1)x+k2-2=0有两大于或等于k的不等实根,即:

点评:

在解数学题的过程中,寻找一个命题A的等价命题B往往是解题的关键,本题就是运用函数与方程的思想把一个看似函数性质讨论的问题转化为方程解的讨论问题.

题型二函数与方程思想在数列中的应用

例4.已知等差数列的公差,对任意都有,函数

(1)求证:对任意,函数的图象过一定点.

(2)若,函数f(x)与x轴的一个交点为(),且,求数列的通项公式.

(3)在(2)的条件下,求.

分析:

函数f(x)的图象过一定点,可运用等差数列的性质进行论证;后一问中可运用根与系数的特点进行求解.

解:

(1)为等差数列,故,故必是方程

的一个根,即方程均有一个相同的根为-1.

故函数f(x)过一定点(-1,0).

(2)方程的两根为与.

有,故,

(3),

故.

点评:

数列综合题往往和函数、方程、不等式相结合,以数列为载体,利用函数性质研究数列与方程,或以数列为载体,利用方程为工具去研究相关函数或数列的性质.

题型三函数与方程思想在不等式中的应用

例5.设a>b>c,且a+b+c=0,抛物线被x轴截得的弦长为l,求证:

分析:

由于弦长l是与a,b,c有关的变量,若能建立的表达式,那么结论相当于确定该函数的值域.为了确定函数的值域,需要解决好三个问题:

一是求出变量l关于a,b,c的解析式;二是将这个多元函数通过集中变量、消元或变量代换转化为一元函数;三是需要确定这个一元函数的定义域.

证明:

,且.从而.故抛物线与x轴有两个不同的交点,即方程必有两个不相等的实数根,由韦达定理得.

可见,是的二次函数.

由及,得,解得.

在上是减函数,

即.

点评:

应用函数与方程思想处理不等式问题,关键在于构造一个适当的函数和用好方程理论,弄清函数、方程及不等式的内在联系,树立相互转化的观点.

例6.已知函数f(x)=6x-6x2,设函数g

1

(x)=f(x),g2(x)=f[g1(x)],g3(x)=f[g2(x)],…g n(x)=f

[g

n-1

(x)],…

(1)求证:如果存在一个实数x

0,满足g

1

(x0)=x0,那么对一切n∈N,g n(x0)=x0都

成立;

(2)若实数x

0满足g

n

(x0)=x0,则称x0为稳定不动点,试求出所有这些稳定不动点;

(3)设区间A=(-∞,0),对于任意x∈A,有g

1

(x)=f(x)=a<0,g2(x)=f[g1(x)]=f(0)<0,且n≥2时,g n(x)<0.试问是否存在区间B(A∩B≠),对于区间内任意实

数x,只要n≥2,都有g

n

(x)<0.

(1)证明:当n=1时,g1(x0)=x0显然成立;

设n=k时,有g

k

(x0)=x0(k∈N)成立,

则g

k+1

(x0)=f[g k(x0)]=f(x0)=g1(x0)=x0.

即n=k+1时,命题成立.

∴对一切n∈N,若g

1

(x0)=x0,则g n(x0)=x0.

(2)解:由(1)知,稳定不动点x

0只需满足f(x

)=x0.

由f(x

)=x0,得6x0-6x02=x0,∴x0=0或x0=.

∴稳定不动点为0和.

(3)解:∵f(x)<0,得6x-6x2<0x<0或x>1.

(x)<0f[g n-1(x)]<0g n-1(x)<0或g n-1(x)>1.

∴g

n

(x)<0,必须有g1(x)<0或g1(x)>1.

要使一切n∈N,n≥2,都有g

n

由g

(x)<06x-6x2<0x<0或x>1.

1

(x)>06x-6x2>1.

由g

1

故对于区间()和(1,+∞)内的任意实数x,

(x)<0.

只要n≥2,n∈N,都有g

n

题型四函数与方程思想在三角函数中的应用

例7.已知函数f(x)=x2-(m+1)x+m(m∈R).

(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根,A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证:m≥5;

(2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)≤0,证明m≥3;

(3)在(2)的条件下,若函数f(sinα)的最大值是8,求m.

分析:

利用一元二次方程的韦达定理、二次函数在区间上的最值的求法,三角函数的值域进行求解.解题时要深挖题意,做到题意条件都明确,隐性条件注意列.列式要周到,不遗漏.

(1)证明:f(x)+4=0即x2-(m+1)x+m+4=0.依题意:

又A、B锐角为三角形内两内角,∴<A+B<π.

∴tan(A+B)<0,即.

∴∴m≥5.

(2)证明:∵f(x)=(x-1)(x-m),又-1≤cosα≤1,

∴1≤2+cosα≤3,恒有f(2+cosα)≤0.

=3,∴m≥x max=3.即1≤x≤3时,恒有f(x)≤0即(x-1)(x-m)≤0,∴m≥x但x

max

(3)解:∵f(sinα)=sin2α-(m+1)sinα+m=,

且≥2,∴当sinα=-1时,f(sinα)有最大值8.

即1+(m+1)+m=8,∴m=3.

点评:

在解答过程中,第(1)问中易漏掉Δ≥0和tan(A+B)<0,第(2)问中如何保证f(x)在[1,3]上恒小于等于零为关键.

题型五函数与方程思想在解析几何中的应用

例8.给定抛物线,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A,B两点.

(1)设l的斜率为1,求与的夹角的大小;

(2)设,若,求l在y轴上的截距的变化范围.

解:

(1)C的焦点为F(1,0),直线l的斜率为1,

所以l的方程为将代入方程,并整理得

设则有

所以夹角的大小为

(2)由题设得

由②得,∵∴③

联立①、③解得,依题意有∴又F(1,0),得直线l方程为

当时,l在y轴上的截距为

设,

可知在[4,9]上是递减的,(或用导数,证明是减函数.)∴

直线l在y轴上截距的变化范围为

点评:

不少解析几何问题,其中某些元素处于运动变化之中,存在着相互联系、相互制约的量,它们之间往往构成函数关系;对于直线和曲线交点问题,经常要转化为方程问题,用方程的理论加以解决.

例9.直线和双曲线的左支交于A、B两点,直线l过点P(-2,0)和线段AB的中点M,求l在y轴上的截距b的取值范围.

分析:

b的变化是由于k的变化而引起的,即对于k的任一确定的值,b有确定的值与之对应,因此b是k的函数,本题即为求这个函数的值域.

解:由消去y,得.()因为直线m与双曲线的左支有两个交点,所以方程()有两个不相等的负实数根.

所以解得.

设,则

由三点共线,得出.

设,则在上为减函数,

,且.,或,

,或.

点评:

根据函数的思想建立b与k的函数关系,根据方程的思想,运用二次方程的理论具体求出b的表达式,是解此题的两个关键问题.不少解析几何问题,其中某些元素处于运动变化之中,存在着相互联系、相互制约的量,它们之间往往构成函数关系;对于直线和曲线交点问题,经常要转化为方程问题,用方程的理论加以解决.

题型六函数与方程思想在立体几何中的应用

例10.如图,已知面,于D,.

(1)令,,试把表示为x的函数,并求其最大值;

(2)在直线PA上是否存在一点Q,使成立?

分析:

(1)为寻求与x的关系,首先可以将转化为.(2)由正切函数的单调性可知:点Q的存在性等价于:是否存在点Q使得

解:

(1)∵面,于D,∴.

∴.

∵为在面上的射影.

∴,即.

∴.

即的最大值为,等号当且仅当时取得.

(2).

令,解得:,与交集非空.

∴满足条件的点Q存在.

点评:

本题将立体几何与代数融为一体,不仅要求有一定的空间想象力,而且,做好问题的转化是解决此题的关键.

题型七函数与方程思想在实际问题中的应用

例11.某工厂2005年生产利润逐月增加,且每月增加的利润相同,但由于厂方正在改造建设,一月份投入的建设资金恰与一月份的利润相等,随着投入资金的逐月增加,且每月增加投入的百分率相同,到十二月份投入的建设资金又恰与十二月份生产利润相同,问全年总利润W与全年总投入资金N的大小关系是()

A.W>N B.W

分析:

本题没有一个已知数据,要列出通项进行比较易陷入繁杂的运算中,可运用函数的图象进行解题.

解:

设第一个月的投入资金与一月份的利润均为a,每月的增加投入百分率为r.则每月的利润组成数列,每月投入资金组成数列

如图,由两函数图象特点可知,有,

可见,故W>N,故选A.

点评:

函数的图象是函数的方程思想中的重要的手段,有时运用图象解题可以使人耳目一新的感觉,可以使解题过程简单优美

2014届高三数学一轮必备“高频题型全掌握”21.数学方法:函数与方程思想

- 1 - 【精选三年经典试题(数学)】2014届高三全程必备《高频题型全掌 握系列》21.数学方法:函数与方程思想 1.(2013.厦门联考)二次函数f (x )=ax 2+bx +c ,a 为正整数,c ≥1,a +b +c ≥1,方程ax 2+bx +c =0有两个小于1的不等正根,则a 的最小值是 ( ). A .3 B .4 C .5 D .6 解析 由题意得f (0)=c ≥1,f (1)=a +b +c ≥1.当a 越大,y =f (x )的开口越小,当a 越小,y =f (x )的开口越大,而y =f (x )的开口最大时,y =f (x )过(0,1),(1,1),则c =1,a +b +c =1.a +b = 0,a =-b ,-b 2a =12 ,又b 2-4ac >0,a (a -4)>0,a >4,由于a 为正整数,即a 的最小值为5. 答案 C 2.(2013·烟台月考)已知点P 是直线2x -y +3=0上的一个动点,定点M (-1,2),Q 是线段PM 延长线上的一点,且|PM |=|MQ |,则Q 点的轨迹方程是( ). A .2x +y +1=0 B .2x -y -5=0 C .2x -y -1=0 D .2x -y +5=0 解析 由题意知,M 为PQ 中点,设Q (x ,y ),则P 为(-2-x ,4-y ),代入2x -y +3=0,得2x -y +5=0. 答案 D 3.(2013·沈阳二模)在平行四边形ABCD 中,∠BAD =60°,AD =2AB ,若P 是平面ABCD 内一 点,且满足:xAB →+yAD →+PA →=0(x ,y ∈R ).则当点P 在以A 为圆心,33 |BD →|为半径的圆上时,实数x ,y 应满足关系式为 ( ). A .4x 2+y 2+2xy =1 B .4x 2+y 2-2xy =1 C .x 2+4y 2-2xy =1 D .x 2+4y 2 +2xy =1 解析 如图,以A 为原点建立平面直角坐标系,设AD =2.据题意,得 AB =1,∠ABD =90°,BD = 3.∴B 、D 的坐标分别为(1,0)、(1,3), ∴AB →=(1,0),AD →=(1,3).设点P 的坐标为(m ,n ),即AP →=(m , n ),则由xAB →+yAD →+PA →=0,得:AP →=xAB →+yAD →,∴??? m =x +y ,n =3y . 据题意,m 2+n 2=1,∴x 2+4y 2+2xy =1. 答案 D

高考数学函数与方程的思想方法

高考数学函数与方程的 思想方法 Last revised by LE LE in 2021

第4讲 函数与方程的思想方法 一、知识整合 函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f(x)=0的解就是函数y =f(x)的图像与x 轴的交点的横坐标,函数y =f(x)也可以看作二元方程f(x)-y =0通过方程进行研究。 就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题:二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是历年高考的重点。 1.函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。 2.方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系. 3.(1) 函数和方程是密切相关的,对于函数y =f(x),当y =0时,就转化为方程f(x)=0,也可以把函数式y =f(x)看做二元方程y -f(x)=0。函数问题(例如求反函数,求函数的值域等)可以转化为方程问题来求解,方程问题也可以转化为函数问题来求解,如解方程f(x)=0,就是求函数y =f(x)的零点。 (2) 函数与不等式也可以相互转化,对于函数y =f(x),当y>0时,就转化为不等式f(x)>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式。 (3) 数列的通项或前n 项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点处理数列问题十分重要。 (4) 函数f(x)=n b ax )( (n ∈N *)与二项式定理是密切相关的,利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。 (5) 解析几何中的许多问题,例如直线和二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元

函数与方程思想在高中的应用

函数与方程思想在高考中的应用 组长:潘云鹏 12033034 组员:夏炎 12304177 杨岑 12304154 张瑶 12304184 孙雪 12304013 高清华 12304196 谭博闻 12304159 郭志岩 12304143 刘春旭 12304009 函数与方程思想在高考中的应用

摘要本文阐述了函数思想与方程思想的概念、二者之间的相互转换及在转换时需要注意的一些问题.用典型的例题阐明用函数与方程思想方法能够轻易解决数学学科中不等式、数列、二项式定理、三角函数、平面向量、解析几何、立体几何、概率与统计、导数、实际问题等难以突破的部分,并且它也应用在其他学科领域中.并结合中学数学教学,提出教师应该在教学中有意培养学生的函数与方程思想,并且给出了具体可行性的建议. 一.函数与方程思想的概念 1.函数思想 函数思想是一种通过构造函数从而应用函数图象、性质解题的思想方法,即用运动变化的思想观点,分析和研究具体问题中的数量关系,通过函数的形式把这种数量关系表示出来,并加以研究其内在的联系,使问题获解.应用函数思想解题的基础是:常见函数的单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换等;熟练掌握一次函数、二次函数、指对数函数等具体特征;应用函数思想解题的关键是:善于观察题目的结构特征,揭示内在联系,挖掘隐含条件,从而恰当地构造函数和利用函数性质去解题.. 2.方程思想 方程思想是若干变量关系是通过解析式表示的,则可以把解析式看成一个等式,然后通过方程的讨论从而使问题获解.许多问题中含有常量、变量和参量,可以通过适当方式,运用方程的观点去观察、

深入分析问题的结构特点,抓住某一个关键变量,构造出这种等式来处理.两种思想方法是相辅相成的,有关方程、不等式、最值等问题,利用函数、方程观点加以分析,常可以使问题“明朗化”,从而易于找到适当解题途径. 3.函数与方程思想的相互转化 很明显,只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中,具备有标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维,才能构造出函数原型,化归为方程的问题,实现函数与方程的互相转化接轨,达到解决问题的目的. 方程与函数是中学数学的重点内容,占了相当多的份量,其中某些内容既是重点又是难点.例如,列方程(组)解应用题,函数的定义和性质,反函数的概念,平面解几里曲线的方程,方程的曲线的概念等等.方程的思想和函数的思想是处理常量数学与变量数学的重要思想,在解决一般数学问题中具有重大的方法论意义.在中学数学里,对各类代数方程和初等超越方程都作了较为系统的研究.对一个较为复杂的问题,常常先通过分析等量关系,列出一个或几个方程或函数关系式,再解方程(组)或研究这函数的性质,就能很好地解决问题.函数知识涉及到的知识点多,面广,在概念性、应用性、理解性上能达到一定的要求,有利于检测学生的深刻性、独创性思维. 二.函数思想在解题中的应用分析 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的

函数与方程思想的典型例题

函数与方程思想的典型例题 [例1]设函数)(x f 的定义域为R ,对任意实数βα,有 ,且21)3(=πf ,0)2(=πf . (1)求证:)()()(x f x f x f --==-π; (2)若20π <≤x 时,0)(>x f ,求证:)(x f 在],0[π上单调递减; (3)求)(x f 的最小周期并*证明. [解析](1)),0()3(2)3()3(f f f f πππ=+ 且2 1)3(=πf ,1)0(=∴f . 又)()0(2)()(x f f x f x f =-+,)()(x f x f -=∴. )2()2(2)()(πππ-=-+x f f x f x f ,且0)2(=π f ,)()()(x f x f x f --=-=∴π. (2))()(x f x f =- 且20π<≤x 时,0)(>x f ,∴当2 2ππ<<-x 时,0)(>x f . 设π≤<≤210x x , 则)()()()(2121x f x f x f x f -+=-π)2()2( 22121ππ-+-+=x x f x x f . 222,2202121πππππ<-+<-<+-≤x x x x ,0)2 (,0)2(2121>-+>-+∴ππx x f x x f . )()(21x f x f >∴,即)(x f 在],0[π上单调递减. (3)由(1))()(x f x f --=-π得)()(x f x f +-=π,)2()(x f x f +-=+ππ, )()2(x f x f =+∴π,说明π2是原函数的一个周期. 假设0T 也是原函数的一个周期,且)2,0(0π∈T ,则由)()(0x f x T f =+得)()0(0T f f =. 但若],0(0π∈T 时,因原函数是单调递减函数,所以)()0(0T f f >,两者矛盾; 若)2,(0ππ∈T 时,),0(20ππ∈-T ,从而)()()2()0(000T f T f T f f =-=->π,两

高考数学重点难点3函数与方程思想大全

重点难点36 函数方程思想 函数与方程思想是最重要的一种数学思想,高考中所占比重较大,综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单,即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数,结合初等函数的图象与性质,加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决. ●重点难点磁场 1.(★★★★★)关于x的不等式2?32x–3x+a2–a–3>0,当0≤x≤1时恒成立,则实数a的取值范围为. 2.(★★★★★)对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0) (1)若a=1,b=–2时,求f(x)的不动点; (2)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围; (3)在(2)的条件下,若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点,且A、B关于直线y=kx+ 对称,求b的最小值. ●案例探究 [例1]已知函数f(x)=logm (1)若f(x)的定义域为[α,β],(β>α>0),判断f(x)在定义域上的增减性,并加以说明; (2)当0<m<1时,使f(x)的值域为[logm[m(β–1)],logm[m(α–1)]]的定义域区间为[α,β](β>α>0)是否存在?请说明理由. 命题意图:本题重在考查函数的性质,方程思想的应用.属★★★★级题目. 知识依托:函数单调性的定义判断法;单调性的应用;方程根的分布;解不等式组. 错解分析:第(1)问中考生易忽视“α>3”这一关键隐性条件;第(2)问中转化出的方程,不能认清其根的实质特点,为两大于3的根. 技巧与方法:本题巧就巧在采用了等价转化的方法,借助函数方程思想,巧妙解题. 解:(1)x<–3或x>3. ∵f(x)定义域为[α,β],∴α>3 设β≥x1>x2≥α,有 当0<m<1时,f(x)为减函数,当m>1时,f(x)为增函数. (2)若f(x)在[α,β]上的值域为[logmm(β–1),logmm(α–1)] ∵0<m<1, f(x)为减函数. ∴ 即 即α,β为方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的两个根 ∴∴0<m< 故当0<m<时,满足题意条件的m存在. [例2]已知函数f(x)=x2–(m+1)x+m(m∈R) (1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根,A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证:m≥5; (2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)≤0,证明m≥3; (3)在(2)的条件下,若函数f(sinα)的最大值是8,求m. 命题意图:本题考查函数、方程与三角函数的相互应用;不等式法求参数的范围.属

函数与方程思想简单应用

数学思想方法的简单应用(1) 一、函数与方程思想 函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时,还需要函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。 函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关系型的数学模型,从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地,函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题,经常利用的性质是:y=f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等,要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解决问题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型。另外,方程问题、不等式问题、集合问题、数列问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题,即用函数思想解答非函数问题。 1.证明:若 则为整数. 解析:若x+y+z+t=0,则由题设条件可得 ,于是此时(1)式的值等于-4. 若x+y+z+t≠0,则 由此可得x=y=z=t.于是(1)式的值等于4. 2.已知:函数g(x)=ax2﹣2ax+1+b(a≠0,b<1),在区间[2,3]上有最大值4,最小值1,设函数f(x)=. (1)求a、b的值及函数f(x)的解析式; (2)若不等式f(2x)﹣k?2x≥0在x∈[﹣1,1]时恒成立,求实数k的取值范围;

中考专题--方程思想

方程应用试题 姓名___________ 应用方程思想解题时应注意:①要具备用方程思想解题的意识;②要具有正确列出方程的能力;(正确的找到等量关系)③要掌握运用方程思想解决问题的要点 一.方程思想在代数问题中的应用 (1)整式与方程思想 1.已知25A x mx n =-+,2 321B y x =-+-,若A B +中不含有一次项和常数项,则222m mn n -+的值为 2.单项式2343m n m n x y ++与422y x -是同类项,则m n 的值为 (2)函数与方程思想 3.若函数2 1 5m m y mx --=+是一次函数,且y 随x 的增大而减小,则m = 4.已知反比例函数k y x = 与一次函数2y x k =+的图像的一个交点的纵坐标是4-,则k 的值为 5.已知点(1,)P m 在正比例函数2y x =的图像上,那么点P 的坐标为 二.方程思想在几何问题中的应用 在解答几何问题中经常会①运用勾股定理建立方程;②运用相似三角形对应边成比例建立方程;③运用锐角三角函数的意义建立方程 (1)三角形和四边形与方程思想 通常解决等腰三角形相关问题时要列出方程 6.如图,矩形纸片ABCD 中,AB=4,AD=3,折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合,折痕为DG ,则AG 的长为( ) A .1 B . 34 C .2 3 D .2 7.如图,如图,矩形ABCD 中,AB =2,BC =3,对角线AC 的垂直平分线分别交AD ,BC 于点E 、F ,连接CE , 则CE 的长________. 8.如图,已知等腰△ABC 中,顶角∠A=36°,BD 为∠ABC 的平分线,则 AD AC 的值为( ) . A . 1 2 B .51- C .1 D .51+ 9.如图,在△ABC 中,∠C=45°,BC=10,高AD=8,矩形EFPQ 的一边QP 在边上,E 、F 两点分别在AB 、AC 上,AD 交EF 于点H 。设EF=x ,当x 为何值时,矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值 (3)圆与方程思想 通常以半径相等或者切线长相等为突破口 以“勾股定理”为等量关系列出方程 10.如图,ABC Rt ?中,?=∠90ACB ,4=AC ,3=BC ,以BC 上一点O 为圆心作⊙O,与AC 、AB 分别相切于C 点、E 点,则⊙O 的半径为 11.如图,已知AB 是⊙O 的弦,P 是AB 上一点,若AB =10cm ,PB =4cm ,OP =5cm ,则⊙O 的半径等于______________cm 。 A ′ G D C 6题 第7题 F A D O E B C E B O 第10题 O B A P D 第11题 第8题

高中数学竞赛专题一 函数与方程思想

高中数学竞赛专题一函数与方程思想 函数是中学数学的一个重要概念,它渗透在数学的各部分内容中,它主要包括函数的概念、图象和性质以及几类典型的函数,函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼,是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题,研究问题和解决问题。函数思想贯穿于高中代数的全部内容,它是在学习指数函数、对数函数以及三角函数的过程中逐渐形成,并为研究这些函数服务的,如研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容,一直是高考的热点、重点内容。函数的思想,就是用运动变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,建立函数关系,运用函数的知识,使问题得到解决.这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征,重在对问题的变量的动态研究,从变量的运动变化,联系和发展角度拓宽解题思路. 和函数有必然联系的是方程,方程是初中代数的主要内容,初中阶段主要学习了几类方程和方程组的解法,方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系,通过设未知数、列方程或方程组,解方程或方程组等步骤,达到求值目的的解题思路和策略。 一、考点回顾 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题:二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的。比如,对于满足0≤p≤4的一切实数,不等式x2+px>4x+p-3恒成立,试求x的取值范围一例,我们习惯上把x当作自变量,构造函数y=x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为:当p∈[0,4]时,y>0恒成立,求x的取值范围.解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理,可想而知,这是相当复杂的. 如果把p看作自变量,x视为参数,构造函数y=(x-1)p+(x2-4x+3),则y是p的一次函数,就非常简单.即令 f(p)=(x-1)p+(x2-4x+3).函数f(p)的图象是一条线段,要使f(p)>0恒成立,当且仅当f(0)>0,且f(4)>0,解这个不等式组即可求得x的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).本题看上去是一个不等式问题,但是经过等价转化,我们把它化归为一个非常简单的一次函数,并借助于函数的图象建立了一个关于x的不等式组来达到求解的目的 在函数的学习和复习中,要做到熟练掌握基础知识,充分理解各知识点间的内在联系,如数列中的an、Sn都可以看作是n的函数而应用函数思想以获得新的解法。要总结、归纳运用

函数与方程思想总结(很好很全面)

函数与方程思想 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题:二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的。函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是历年高考的重点。 1.函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决。 2.方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决。方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系; 3.函数方程思想的几种重要形式 (1)函数和方程是密切相关的,对于函数y=f(x),当y=0时,就转化为方程f(x)=0,也可以把函数式y=f(x)看做二元方程y-f(x)=0。 (2)函数与不等式也可以相互转化,对于函数y=f(x),当y>0时,就转化为不等式f(x)>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式; (3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点处理数列问题十分重要; (4)函数f(x)=(1+x)^n (n∈N*)与二项式定理是密切相关的,利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题; (5)解析几何中的许多问题,例如直线和二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程组才能解决,涉及到二次方程与二次函数的有关理论; (6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。 【例1】. 关于x的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0,给出下列四个命题: ①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根; ②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根; ③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根; ④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根. 其中真命题是_____________ 解答:根据题意可令|x2-1|=t(t≥0),则方程化为t2-t+k=0,(*) 作出函数t=|x2-1|的图象,结合函数的图象可知①当t=0或t>1时,原方程有两上不

高中数学必修一 函数与方程的思想方法

函数与方程的思想方法 函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是历年高考的重点。 函数的思想,是用运动和变化的观点、集合与对应的思想,去分析和研究数学问题中的数量关系,建立函数关系或构造函数,再利用函数的图像和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决。函数思想的精髓就是构造函数。 方程的思想,是分析数学问题中变量间的等量关系,从而建立方程或方程组,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决。 方程的思想与函数的思想密切相关,函数与方程的思想方法,几乎渗透到中学数学的各个 领域,在解题中有着广泛的运用。对于函数 ) (x f y=,当0 = y时,就转化为方程0 ) (= x f, 也可以把函数式 ) (x f y=看做二元方程0 ) (= -x f y,函数与方程这种相互转化的关系十 分重要。 函数与表达式也可以相互转化,对于函数 ) (x f y=,当0 > y时,就转化为不等式 ) (> x f,借助与函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式。 数列的通项或前n项和时自变量为自然数的函数,用函数观点去处理数列问题也是十分重要。 函数 ) ( ) ( ) (* N n bx a x f n∈ + =与二项式定理密切相关,利用这个函数,用赋值法和比 较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题。 解析几何中的许多问题,例如直线与二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程组才能解决,这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。建立空间向量后,立体几何与函数的关系就更加密切。 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关问题,达到化难为易、化繁为简的目的。 高考中的方程和不等式问题包括方程、不等式的求解及方程、不等式观点的应用,可以分成逐渐提高的四个层次。 第一层次:解方程或不等式,主要是指解代数(一次、二次等)方程或不等式,指数、对数方程或不等式,三角方程或不等式,复数方程等; 第二层次:对带参数的方程或不等式的讨论,常涉及二次方程的判别式、韦达定理、区间根、区间上恒成立的不等式等问题; 第三层次:转化为方程的讨论,如曲线的位置关系(包括点与曲线及直线与曲线的位置关系)、函数的性质、集合的关系等; 第四层次:构造方程或不等式求解问题。 其中第三、四层次(特别是第四层次)已经进入到方程、不等式观点应用的境界,即把方程、不等式作为基本数学工具去解决各个学科中的问题。 纵观中学数学,可谓是以函数为中心,以函数为纲,“纲举目张”,抓住了函数这个“纲”

专题01 函数与方程思想(解析版)

专题01 函数与方程思想 思想方法诠释 1.函数的思想:是通过建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题得到解决的思想. 2.方程的思想:是建立方程或方程组或者构造方程或方程组,通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的思想. 【典例讲解】 要点一 函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用 [解析] (1)当y =a 时,2(x +1)=a ,所以x =a 2 -1. 设方程x +ln x =a 的根为t ,则t +ln t =a ,则|AB |=????t -a 2+1=????t -t +ln t 2+1=????t 2-ln t 2 +1.设g (t )=t 2-ln t 2+1(t >0),则g ′(t )=12-12t =t -12t ,令g ′(t )=0,得t =1,当t ∈(0,1)时,g ′(t )<0;当t ∈(1,+∞)时,g ′(t )>0,所以g (t )min =g (1)=32,所以|AB |≥32,所以|AB |的最小值为3 2,故选D. (2)因为函数f (x )=log 3(9x +t 2)是定义域R 上的增函数,且为“优美函数”,则f (x )=x 至少有两个不等 实根,由log 3(9x +t 2)=x ,得9x +t 2=3x ,所以(3x )2-3x +t 2=0有两个不等实根.令λ=3x (λ>0),则λ2-λ+t 2 =0有两个不等正实根,所以????? Δ=1-4t 2>0,t 2>0, 解得-12

高三数学教案 函数与方程思想

第十一专题 函数与方程思想 考情动态分析: 本专题的内容主要是函数思想、方程思想及其应用.函数的思想方法是用联系变化的观点,将给定的数学问题转化为函数关系,通过研究函数的性质,得出所需的结论.高考中有关函数思想的试题主要涉及四个方面:(1)具体的原始意义上的函数问题;(2)方程、不等式与函数的综合问题;(3)数列这一特殊的函数;④利用辅助函数解题. 方程的思想方法,就是设出未知数.根据题中各量间的关系,列出等式,沟通未知与已知的关系,从而使问题得以解决.高考中有关方程的试题单独命题较少,主要有以下几个方面:(1)方程、函数、不等式的综合题;(2)求曲线的方程;(3)数列中方程思想的应用. 对函数与方程思想的考查,集中体现在应用题、探索性问题,主要考查学生的阅读能力、应用能力、理解能力、表达能力及信息加工处理能力,命题集中体现在在知识交汇点处命制综合性问题. 第一课时 函数思想与方程思想 一、考点核心整合 函数思想就是要用运动变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,通过函数的形式把这数量关系表示出来,并加以研究,从而使问题获得解决.函数思想的实质是剔除问题的非数学特征,用联系的观点提出数学抽象,抽象其数学特征,建立函数关系. 方程的思想就是如果变量间的关系是通过解析式表示出来的,则可以把解析式看作一个方程,通过对方程的讨论使问题得到解决. 函数思想、方程思想体现了一种解决数学问题的理念——建“模”意识.所谓“模”就是一个问题的载体,是联系已知、未知的桥梁,建“模”后的第二个步骤是解析“模”,从而真正将实际问题化为数学问题,数学因此也成为探索大自然奥秘的工具. 二、典例精讲: 例1 已知函数)(x f 的定义域为}3,2,1{=A ,值域为}2,1{--=B ,则这样的函数共有 ________个. 例2 设平面内两向量与互相垂直,且1||,2||==,又k 与t 是两个不同时为0的实数. (Ⅰ)若t )3(2 -+=与b t a k y +-=垂直,求k 关于t 的函数关系式)(t f k =; (Ⅱ)试确定)(t f k =的单调区间. 例3 已知函数)(log )1(log 1 1 log )(222 x p x x x x f -+-+-+=. (Ⅰ)求)(x f 的定义域; (Ⅱ)求)(x f 的值域. 例4 二次函数r qx px x f ++=2 )(中实数、r 、q p 满足 012=++++m r m q m p ,其中0>m ,求证:(Ⅰ)0)1 ( <+m m pf ; (Ⅱ)方程0)(=x f 在)1,0(内恒有解. 三、提高训练: (一)选择题:

函数方程思想

难点36 函数方程思想 函数与方程思想是最重要的一种数学思想,数学中所占比重较大,综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单,即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数,结合初等函数的图象与性质,加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决. ●难点磁场 1.(★★★★★)关于x 的不等式2·32x –3x +a 2–a –3>0,当0≤x ≤1时恒成立,则实数a 的取值范围为 . 2.(★★★★★)对于函数f (x ),若存在x 0∈R ,使f (x 0)=x 0成立,则称x 0为f (x )的不动点.已知函数f (x )=ax 2+(b +1)x +(b –1)(a ≠0) (1)若a =1,b =–2时,求f (x )的不动点; (2)若对任意实数b ,函数f (x )恒有两个相异的不动点,求a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若y =f (x )图象上A 、B 两点的横坐标是函数f (x )的不动点,且A 、B 关于直线y =kx + 1 212 +a 对称,求b 的最小值. ●案例探究 [例1]已知函数f (x )=log m 3 3 +-x x (1)若f (x )的定义域为[α,β],(β>α>0),判断f (x )在定义域上的增减性,并加以说明; (2)当0<m <1时,使f (x )的值域为[log m [m (β–1)],log m [m (α–1)]]的定义域区间为[α,β](β>α>0)是否存在?请说明理由. 命题意图:本题重在考查函数的性质,方程思想的应用.属★★★★级题目. 知识依托:函数单调性的定义判断法;单调性的应用;方程根的分布;解不等式组. 错解分析:第(1)问中考生易忽视“α>3”这一关键隐性条件;第(2)问中转化出的方程,不能认清其根的实质特点,为两大于3的根. 技巧与方法:本题巧就巧在采用了等价转化的方法,借助函数方程思想,巧妙解题. 解:(1) ?>+-03 3 x x x <–3或x >3. ∵f (x )定义域为[α,β],∴α>3 设β≥x 1>x 2≥α,有 0) 3)(3() (6333321212211>++-=+--+-x x x x x x x x 当0<m <1时,f (x )为减函数,当m >1时,f (x )为增函数. (2)若f (x )在[α,β]上的值域为[log m m (β–1),log m m (α–1)] ∵0<m <1, f (x )为减函数. ∴??? ???? -=+-=-=+-=) 1(log 33log )()1(log 33log )(ααααββββm f m f m m m m

中考专题方程思想

A .1 B . C . D .2 A .如图,已知等腰△8 A BC 中,顶角∠A=36°,BD 为∠ABC 的平分线,则 的值为( ) . A . B . C .1 D . 中考数学专题复习—方程思想 方程思想是指对所求问题通过列方程(组)求解的一种思想方法。方程思想在初中数学的多个知 识点中均有体现,并且应用其解题可以使问题由复杂变得简单,易懂,易于求解。方程思想也是解几 何计算题的重要策略。 应用方程思想解题时应注意:①要具备用方程思想解题的意识;②要具有正确列出方程的能力; ③要掌握运用方程思想解决问题的要点 一.方程思想在代数问题中的应用 (1)整式与方程思想 1.已知 A = 5 x 2 - mx + n , B = -3 y 2 + 2 x - 1 ,若 A + B 中不含有一次项和常数项, 则 m 2 - 2mn + n 2 的值为 2.单项式 3x m +2n y 3m +4n 与 -2 y 4 x 2 是同类项,则 n m 的值为 (2)函数与方程思想 3.若函数 y = mx m 2-m -1 + 5 是一次函数,且 y 随 x 的增大而减小,则 m = 4.已知反比例函数 y = k 与一次函数 y = 2 x + k 的图像的一个交点的纵坐标是 -4 ,则 k 的值为 x 5.已知点 P(1,m ) 在正比例函数 y = 2 x 的图像上,那么点 P 的坐标为 二.方程思想在几何问题中的应用 在解答几何问题中经常会①运用勾股定理建立方程; ②运用相似三角形对应边成比例建立方程;③运用锐角三角函数的意义建立方程 (1)三角形和四边形与方程思想 通常解决等腰三角形相关问题时要列出方程 6.如图,矩形纸片 ABCD 中,AB=4,AD=3,折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重合,折痕为 DG , 则 AG 的长为( ) 4 3 3 2 7.如图,如图,矩形 A BCD 中,AB =2,BC =3,对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD ,BC 于点 E 、 F ,连接 CE ,则 CE 的长________. D C E D A ′ O A G 6 题 B B F C 第 7 题 第 8 题 AD AC 1 5 - 1 5 + 1 2 2 2 △9.如图,在 ABC 中,∠C=45°,BC=10,高 AD=8,矩形 EFPQ 的一边

函数和方程的思想方法

函数与方程的思想方法 函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。 笛卡尔的方程思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界,充斥着等式和不等式。我们知道,哪里有等式,哪里就有方程;哪里有公式,哪里就有方程;求值问题是通过解方程来实现的……等等;不等式问题也与方程是近亲,密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别,如函数y=f(x),就可以看作关于x、y的二元方程f(x)-y=0。可以说,函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。 函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关系型的数学模型,从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地,函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题,经常利用的性质是:f(x)、f 1(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等,要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型。另外,方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题,即用函数思想解答非函数问题。 函数知识涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是:遇到变量,构造函数关系解题;

第1讲 函数与方程思想

高考命题中,以知识为载体,以能力立意、思想方法为灵魂,以核心素养为统领,兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性,展现数学的科学价值和人文价值.高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合,二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查.如果说数学知识是数学的内容,可用文字和符号来记录和描述,那么数学思想方法则是数学的意识,重在领会、运用,属于思维的范畴,用于对数学问题的认识、处理和解决.高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等. 第1讲 函数与方程思想 思想概述 函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决. 方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析问题、转化问题,使问题得以解决. 方法一 运用函数相关概念的本质解题 在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上,主动、准确地运用它们解答问题.常见问题有:求函数的定义域、解析式、最值,研究函数的性质. 例1 若函数f (x )=????? -x +3a ,x <0,a x ,x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数,则实数a 的取值范围为( ) A .(0,1) B.????13,1 C.????13,1 D.??? ?0,13 思路分析 先求出f (x )=a x 是减函数时a 的范围→满足-0+3a ≥a 0时a 的范围→取交集 答案 B

解析 ∵函数f (x )是R 上的减函数, ∴? ???? 02b B .a <2b C .a >b 2 D .a

函数与方程思想

函数与方程思想 1对任意a ∈[-1,1],函数f (x )=x 2+(a -4)x +4-2a 的值总大于零,则x 的取值范围是________.(-∞,1)∪(3,+∞) 3.已知向量a =(3,2),b =(-6,1),而(λa +b )⊥(a -λb ),则实数λ=__________. 4.方程m +1-x =x 有解,则m 的最大值为________. 5.已知R 上的减函数y =f (x )的图象过P (-2,3)、Q (3,-3)两个点,那么|f (x +2)|≤3的解集为________. 6.当x ∈(1,2)时,不等式x 2+mx +4<0恒成立,则m 的取值范围为__________. 7.若关于x 的方程4cos x -cos 2x +m -3=0恒有实数解,则实数m 的取值范围是________. 8.已知函数f (x )=(x -a )(x -b )-2,其中a 0成立,则实数x 的取值范围是____________. 12.已知函数f (x )=??? -x 2, -3≤x ≤3,x 2-6,x <-3或x >3, 若0