平行四边形经典证明题例题讲解

经纬教育 平行四边形证明题 经典例题（附带详细答案）

1．如图，E F 、是平行四边形

ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，求证：AF CE =．

【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =，

ACB CAD ∴∠=∠．

又BE DF ∥，

BEC DFA ∴∠=∠， BEC DFA ∴△≌△， ∴CE AF =

2．如图6，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠D ，

，

求四边形ABCD 的周长． 【答案】20、

解法一: ∵

∴ 又∵

∴

∴∥即得是平行四边形 ∴

∴四边形的周长

解法二:

连接

∵

∴

又∵ ∴≌

∴

∴四边形的周长

解法三:

连接

∵

∴ 又∵ ∴

∴∥即是平行四边形 ∴

∴四边形的周长

3.（在四边形ABCD 中，∠D =60°，∠B 比∠A 大20°，∠C 是∠A 的2倍，求∠A ，∠B ，∠C

的大小．

【关键词】多边形的内角和

【答案】设x A =∠（度），则20+=∠x B ，x C 2=∠．

根据四边形内角和定理得，360602)20(=++++x x x ．

3 ,6==AB BC AB CD ∥?=∠+∠180C B B D ∠=∠?=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=?+?=AC AB CD ∥DCA BAC ∠=∠B D AC CA ∠=∠=，ABC △CDA △36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=?+?=BD

AB CD ∥CDB ABD ∠=∠ABC CDA ∠=∠ADB CBD ∠=∠AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=?+?=A

D C

B

A

D C

B

A

D C

B

D

C

A

B

E

F

解得，70=x ．

∴?=∠70A ，?=∠90B ，?=∠140C ．

4．（如图，

E F ，是四边形ABCD

的对角线

AC

上两点，

A F C E D F

B E D ==，，∥． 求证：（1）AFD CEB △≌△． （2）四边形ABCD 是平行四边形．

【关键词】平行四边形的性质,判定

【答案】证明：（1）DF BE ∥，DFE

BEF ∴∠=∠．180AFD DFE ∠+∠= °，

180CEB BEF ∠+∠=°

，

AFD CEB ∴∠=∠．又

A F C E D F

B == ，，

AFD CEB ∴△≌△(SAS)．

（2）由（1）知A

F D C E B △≌△，DAC BCA AD BC ∴∠=∠=，，AD BC ∴∥．∴

四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

5．）25．如图13-1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F

分别是BC 、DC 边上的点，

且

AE EF ⊥，2BE =. （1）求EC ∶CF 的值；

（2）延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点（如图13-2），试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由； （3）在图13-2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请

给予证明；若不存在，请说明理由．

【关键词】平行四边形的判定

【答案】解：（1）AE

EF ⊥

2390∴∠+∠=°

四边形ABCD 为正方形 90B C ∴∠=∠=° 1390∴∠+∠=°

12∠=∠

90DAM ABE DA AB ∠=∠== °，

DAM ABE ∴△≌△

DM AE ∴= AE EP = DM PE ∴=

∴四边形DMEP 是平行四边形．

解法②：在AB 边上存在一点M

，使四边形DMEP 是平行四边形

证明：在

AB 边上取一点M ，使

AM BE =，连接ME 、MD 、DP ．

90AD BA DAM ABE =∠=∠=，°

Rt Rt DAM ABE ∴△≌△ 14DM AE ∴=∠=∠， 1590∠+∠= ° 4590∴∠+∠=°

AE DM ∴⊥ AE EP ⊥ DM EP ∴⊥

A D

C

B

E

B

C

E

D

A F P

F

A

B

D

E

F

C

∴四边形DMEP 为平行四边形

6．（2009年广州市）如图9，在ΔABC 中，D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点。 证明：四边形DECF 是平行四边形。

【关键词】平行四边形的判定

【答案】∵D.E 、F 分别为AB.BC.CA 的中点， ∴DF ∥BC ，DE ∥AC ，

∴四边形DECF 是平行四边形. 7．（2009年包头）已知二次函数

2y ax bx c =++（0a ≠）

的图象经过点(10)A ，，(20)B ，，(02)C -，，直线x m =（2m >）与x 轴交于点D ．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在直线x m =（2m >）上有一点E （点E 在第四象限），使得E D B 、、为顶点的三角形与以

A O C 、、为顶点的三角形相似，求E 点坐标（用含m 的代数式表示）；

（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？

若存在，请求出m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存在，请说明理由．

【关键词】二次函数、相似三角形、运动变化、抛物线

解：（1）根据题意，得04202.a b c a b c c ++=??

++=??=-?

，

，

解得132a

b c =-==-，，．

232y x x ∴=-+-．

（2）当EDB AOC △∽△时，

得

AO CO ED BD =或AO CO

BD ED

=， ∵122AO CO BD m ===-，，， 当AO CO ED BD =时，得12

2

ED m =-， ∴2

2

m ED -=，

B C

E D

A F

P

5

4

1

M

∵点E 在第四象限，∴122m E m -??

???

，．

当AO CO BD ED =时，得12

2m ED

=-，∴24ED m =-， ∵点E 在第四象限，∴2(42)E m m -，． （3）假设抛物线上存在一点F ，使得四边形

ABEF 为平行四边形，则

1EF AB ==，点F 的横坐标为1m -，

当点1E 的坐标为22m m -?? ?

?

?，时，点1F 的坐标为212m m -??- ???，， ∵点1F 在抛物线的图象上，

∴

22(1)3(1)22

m

m m -=--+--， ∴2

211140m

m -+=，

∴(27)(2)0m m --=， ∴7

22

m

m ==，（舍去）， ∴15324F ??

-

??

?，， ∴33

144

ABEF

S =?

= ．

当点2E 的坐标为(42)m m -，时，点2F 的坐标为(142)m m --，， ∵点2F 在抛物线的图象上， ∴2

42(1)

3(1)2m m m -=--+--，

∴2

7100m

m -+=，

∴(2)(5)0m m --=，∴2m =（舍去），5m =， ∴2(46)F -，， ∴166ABEF

S =?= ．

注：各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分． 8．（2009年莆田）已知：如图在

ABCD 中，过对角线BD 的中点O 作直线EF 分别交DA

的延长线、AB 、DC 、BC 的延长线于点E 、M 、N 、F 。

（1）观察图形并找出一对全等三角形：△________≌△____________，请加以证明；

（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换

得到？

【关键词】四边形、全等三角形、变换 （1）DOE BOF ①△≌△；

证明：∵四边形

ABCD 是平行四边形

∴AD BC ∥

∴EDO

FBO E F

∠=∠∠=∠，

又∵OD OB =

∴()DOE BOF

AAS △≌△

BOM DON ②△≌△

证明：∵四边形

ABCD 是平行四边形

∴AB CD ∥

E B

M

O

D N

C

A E

B M O

D N

C

A

∴MBO

NDO BMO DNO ∠=∠∠=∠，

又∵BO DO =

∴()BOM DON

AAS △≌△

ABD CDB ③△≌△；

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形

∴AD CB AB CD ==，

又∵BD

DB =

∴()ABD CDB

SSS △≌△

（2）绕点O 旋转180°后得到或以点O 为中心作对称变换得到． 8分

9．(2009年温州)在所给的9×9方格中，每个小正方形的边长都是1．按要求画平行四边形，使

它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上．

(1)在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数；(2)在图乙中画一个平行四边形，使它的周长不是整数．(注：图甲、图乙在答题纸上) 【关键词】平行四边形的性质，判定 【答案】解：（1）

（2）

10．（2009年中山）在

ABCD 中，10AB =，AD m =，60D ∠=°，

以

AB 为直径作O ⊙，

（1）求圆心O 到CD 的距离（用含m 的代数式来表示）； （2）当m 取何值时，CD 与O ⊙相切．

【关键词】利用平行四边形证明线段相等 【答案】（1）分别过A O ，两点作

AE CD OF CD ⊥⊥，，垂足分别为点E ，点F

，

AE OF OF ∴∥，就是圆心O 到CD 的距离． 四边形ABCD 是平行四边形， AB CD AE OF ∴∴=∥，．

在Rt ADE △中，60sin sin 60AE AE

D D AD AD

∠=∠=

=°，，°，

222

AE AE m OF AE m ====，，， 圆心到CD 的距离PF

． （2

）OF =

， AB 为O ⊙的直径，且10AB =，

∴当5OF =时，CD 与O ⊙相切于F

点，

5m ==

，， ∴

当m =

时，CD 与O ⊙相切． 11．(2009年宁德市)（本题满分8分）如图：点A.D.B.E 在同一直线上，AD =BE ，AC =DF ，AC ∥DF ，请从图中找出一个与∠E 相等的角，并加以证明．（不再添加其他的字母与线段）

【关键词】平行四边形的判定

【答案】解法1：图中∠CBA ＝∠E

证明：∵AD ＝BE

∴AD ＋DB ＝BE ＋DB 即AB ＝DE ∵AC ∥DF ∴∠A ＝∠FDE 又∵AC ＝DF

∴△ABC ≌△DEF

∴∠CBA ＝∠E

解法2：图中∠FCB ＝∠E 证明：∵AC ＝DF ，AC ∥DF

∴四边形ADFC 是平行四边形 ∴CF ∥AD ，CF ＝AD

∵AD ＝BE ∴CF ＝BE ，CF ∥BE ∴四边形BEFC 是平行四边形 ∴∠FCB ＝∠E

12．（2009年山东青岛市）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6cm AD

=，4cm CD =，

10cm BC BD ==，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由

DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（05t <<）．解答下列问题： （1）当t 为何值时，PE AB ∥？

（2）设PEQ △的面积为

y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t ，使2

25

PEQ BCD S S =

△△？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．

（4）连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．

【关键词】全等三角形的性质与判定、相似三角形判定和性质、平行四边形有关的计算 【答案】

A

F

E

D C B A F

E

D C B

解：（1）∵PE AB ∥

∴DE DP

DA DB

=． 而10DE t DP t ==-，， ∴10610t t -=， ∴154t =．

∴当15

(s)4

t PE AB =，∥． （2）∵EF 平行且等于CD ， ∴四边形CDEF 是平行四边形．

∴DEQ C DQE BDC ∠=∠∠=∠，．

∵10BC

BD ==，

∴DEQ C

DQE BDC ∠=∠=∠=∠．

∴DEQ BCD △∽△．

∴

DE EQ

BC CD =． 104

t EQ =． ∴2

5

EQ t =．

过B 作BM CD ⊥，交CD 于M

，过P 作PN EF ⊥，交EF 于N ．

BM =．

∵ED DQ BP t =

==，

∴102PQ t =-． 又PNQ BMD △∽△，

PQ PN

BD BM

=，

10210t -=，

15t PN ?=-??

211212255255PEQ t S EQ PN t t t ?=

=??-=-+??

△． （3

）11422BCD S CD BM ==??= △ 若225

PEQ

BCD S S =△△，

则有22

25

=?，

解得1214t t ==，．

（4）在PDE △和FBP △中，

10DE BP t PD BF t PDE FBP PDE FBP ==?

?

==-???∠=∠?

，

，△≌△，

F

∴PDE PFCDE PFCD S S S =+△五边形四边形

FBP PFCD S S =+△四边形

BCD S ==△．

∴在运动过程中，五边形PFCDE 的面积不变．

13． (2009年达州)如图10，⊙O 的弦AD ∥BC,过点D 的切线交BC 的延长线于点E ，AC ∥DE 交BD 于点H ，DO 及延长线分别交AC.BC 于点G 、F.

(1)求证：DF 垂直平分AC ； （2）求证：FC ＝CE ；

（3）若弦AD ＝5㎝，AC ＝8㎝，求⊙O 的半径.

【关键词】圆,平行四边形,勾股定理 【答案】

（1）∵DE 是⊙O 的切线，且DF 过圆心O ∴DF ⊥DE 又∵AC ∥DE ∴DF ⊥AC

∴DF 垂直平分AC （2）由（1）知：AG=GC

又∵AD ∥BC ∴∠DAG=∠FCG 又∵∠AGD=∠CGF ∴△AGD ≌△CGF （ASA ） ∴AD=FC

∵AD ∥BC 且AC ∥DE ∴四边形ACED 是平行四边形 ∴AD=CE ∴FC=CE5分

（3）连结AO ； ∵AG=GC ，AC=8cm ，∴AG=4cm 在Rt △AGD 中，由勾股定理得 GD=AD2-AG2=52-42=3cm 设圆的半径为r ，则AO=r ，OG=r-3

在Rt △AOG 中，由勾股定理得 AO2=OG2+AG2 有：r2=(r-3)2+42解得 r=256 ∴⊙O 的半径为256cm.

经典例题（附带答案2）

例1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？

分析 根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数． 解 设平行四边形的一个内角的度数为x ，则它的邻角的度数为3x ，根据题意，得

，解得

，∴

∴这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°，135°，45°，135°．

例2 已知：如图，的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，的周长比的周长多8cm，求这个平行四边形各边的长．

分析由平行四边形对边相等，可知平行四边形周长的一半＝

30cm，又由的周长比的周长多8cm，可知cm，由此两式，可求得各边的长．

解∵四边形为平行四边形，∴

，∴

，∴

∴

答：这个平行四边形各边长分别为19cm，11cm，19cm，11cm．

说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半．（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差．

例 3 已知：如图，在中，交于点O，过O点作EF交AB、CD于E、F，那么OE、OF是否相等，说明理由．

分析观察图形，，从而可说明

证明在中，交于O，∴

，∴，

∴，∴

例4 已知：如图，点E在矩形ABCD的边BC上，且，垂足为F。求证：

分析观察图形，与都是直角三角形，且锐角

，斜边，因此这两个直角三角形全等。在这个图形中，若连结AE，则与全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。

证明∵四边形ABCD是矩形，∴，∴

，∴，

又，∴。∴

例5 O是ABCD对角线的交点，的周长为59，，，则________，若与的周长之差为15，则______，ABCD的周长=______.

解答：ABCD中，，.

∴的周长

∴.

在ABCD中，. ∴

的周长－的周长

∴

∴ABCD的周长

说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将与的周长的差转化为两条线段的差.

例6 已知：如图，ABCD的周长是，由钝角顶点D向AB，BC引两条高DE，DF，且，. 求这个平行四边形的面积.

解答：设.

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴.

又∵四边形ABCD的周长为36，∴①

∵，

∴

∴②

解由①，②组成的方程组，得.

∴.

说明：本题考查平行四边形的性质及面积公式，解题关键是把几何问题转化为方程组的问题.

经典例题（附带详细答案3）

例1 （2006年·河北）如图1，平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD

交

BC 边于点E ，则线段BE 、EC 的长度分别是（ ）。 A 、2和3

B 、3和2

C 、4和1

D 、1和4

解析：因四边形ABCD 是平行四边形，故AD//BC ，AD=BC 。所以∠DAE=∠BEA 。又AE 平分∠BAD ，故∠BAE=∠DAE=∠BEA 。所以AB=BE=3，CE=5－3=2。故选B 。

例2 （2006年·枣庄市）如图2，平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果AC=12，BD=10，AB=m ，那么m 的取值范围是（ ） A 、10

B 、2

C 、1

D 、5

解析：因四边形ABCD 是平行四边形，故AO=CO ，DO=BO ，又AC=12，BD=10，则AO=6，BO=5。故6－5

例3 （2006年·北京市海淀区）如图3，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 和AD 上的点，并且BE=DF 。

求证：CDF ABE ???。

证明：因四边形ABCD 是平行四边形，故AB=CD ，∠B=∠D 。又BE=DF ，所以△ABE ≌△CDF （SAS ）。

点评：平行四边形具有以下性质：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③两组对角分别相等；④对角线互相平分。

二、考查平行四边形的判定

例4 （2006年·攀枝花市）如图4，AD=BC ，要使四边形ABCD 是平行四边形，还需补充的一个条件是___________。

解析：可选择AD//BC ，AB=CD ，∠A+∠B=80°，∠C+∠D=180°等条件中的一个。此题是答案不唯一的开放题，所添的条件灵活多样，主要考查平行四边形的判定方法。

例5 如图5，四边形ABCD 中，AB//DC 、E 是BC 的中点，AE 、DC 的延长线相交于点F ，连接AC 、BF 。四边形ABFC 是什么四边形？说明你的理由。

解析：因AB//DC，故∠CFA=∠BAF。又E是BC的中点，故CE=BE。又∠CEF=∠BEA，则△CEF≌△BEA。则EF=EA。故四边形ABFC是平行四边形。

点评：平行四边形的判定方法有很多：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。证明四边形是平行四边形，要根据题目所给的条件及图形的特点，选择适当的判定方法。

三、考查性质与判定的综合应用

例6 如图6，在平行四边形ABCD中，点E、F在BD上，且BF=DE。

（1）写出图中所有你认为全等的三角形；

（2）延长AE交BC的延长线于点G，延长CF交DA的延长线于点H（请补全图形），并证明四边形AGCH是平行四边形。

解析：（1）图中全等的三角形有△ABE≌△CDF，△AED≌△CFB，△ABD≌△CDB。

（2）补全后的图形如图7所示。

因四边形ABCD是平行四边形，故AB//CD，AB=CD，∠ABD=∠CDB。又BF=DE，故BF+FE=DE+FE，即BE=DF。所以△ABE≌△CDF，故∠AEB=∠DFD，HC//AG。又HA//CG，故四边形AGCH是平行四边形。

点评：平行四边形是一种重要的四边形，中考中与之相关的试题较多。此题综合考查了平行四边形的性质、平行四边形的判定及全等三角形等知识。（1）要先找出图中所有的三角形，然后根据三角形全等的条件及平行四边形的特征进行分析判断。（2）是补图证明题，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键。

七年级数学平行线经典证明题

平行线经典证明题 一、选择题： 1.如图，能与∠α构成同旁内角的角有（ ） A ． 5个 B ．4个 C ． 3个 D ． 2个 2.如图，AB ∥CD ，直线MN 与AB 、CD 分别交于点E 和点F ，GE ⊥MN ，∠1=130°，则∠2等于 ( ) A ．50° B ．40° C ．30° D ．65° 3.如图，DE ∥AB ，∠CAE=3 1∠CAB ，∠CDE=75°，∠B=65°则∠AEB 是 ( ) A ．70° B ．65° C ．60° D ．55° 4.如图，如果AB ∥CD ，则α∠、β∠、γ∠之间的关系是（ ） A 、0180=∠+∠+∠γβα B 、0180=∠+∠-∠γβα C 、0180=∠-∠+∠γβα D 、0 270=∠+∠+∠γβα 5.如图所示,AB ∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C 等于( ) A.180° B.360° C.540° D.720° 6.如图，OP ∥QR ∥ST ，则下列各式中正确的是（ ） A 、∠1＋∠2＋∠3＝180° B 、∠1＋∠2－∠3＝90° C 、∠1－∠2＋∠3＝90° D 、∠2＋∠3－∠1＝180° 7.如图，AB ∥DE ，那么∠BCD 于（ ） A 、∠2－∠1 B 、∠1＋∠2 C 、180°＋∠1－∠2 D 、180°＋∠2－2∠1 二、填空题： 8.把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α=_______度． 9.求图中未知角的度数，X=_______，y=_______. 10.如图，AB ∥CD ，AF 平分∠CAB ，CF 平分∠ACD ．(1)∠B+∠E+∠D=________；(2)∠AFC=________. 11.如图，AB ∥CD ，∠A=120°，∠1=72°，则∠D 的度数为__________． 12.如图，∠BAC=90°，EF ∥BC ，∠1=∠B ，则∠DEC=________. 13.如图，把长方形ABCD 沿EF 对折，若∠1=500，则∠AEF 的度数等于 14.如图，已知AB ∥CD ，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=____ 三、计算证明题： 15.如图，在四边形ABCD 中，∠A=104°－∠2，∠ABC=76°+∠2，BD ⊥CD 于D ，EF ⊥CD 于F ，能辨认∠1=∠2吗？试说明理由． 16..如图，CD ∥AB ，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF 与AB 有怎样的位置关系，为什么？ 17.已知：如图23，AD 平分∠BAC ，点F 在BD 上，FE ∥AD 交AB 于G ，交CA 的延长线于E ， 求证：∠AGE ＝∠E 。 18. 如图，AB ∥DE,∠1=∠ACB,∠CAB=2 1∠BAD,试说明：AD ∥BC.

必用平行四边形知识点及典型例题

平行四边形知识点及典型例题 一、知识点讲解：. 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 1．平行四边形的性质： 四边形ABCD 是平行四边形?????? ????. 54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等； （）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（ 2.平行四边形的判定： . 3. 矩形的性质： 因为四边形ABCD 是矩形??? ? ??.3; 2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（ (4)是轴对称图形，它有两条对称轴． 4矩形的判定： (1)有一个角是直角的平行四边形； (2)有三个角是直角的四边形； (3)对角线相等的平行四边形； (4)对角线相等且互相平分的四边形． ?四边形ABCD 是矩形. 两对角线相交成60°时得等边三角形。 5. 菱形的性质： 因为ABCD 是菱形??? ? ??.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等； （有通性；）具有平行四边形的所（ 6. 菱形的判定： ?? ? ?? +边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321?四边形ABCD 是菱形. 菱形中有一个角等于60°时，较短对角线等于边长； 菱形中，若较短对角线等于边长，则有等边三角形； 菱形中，两对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，每个直角三角形的斜边是菱形的边，两直角边分别是两对角线的一半。 菱形的面积等于两对角线长积的一半。 A B D O C A B D O C A D B C A D B C O C D B A O C D B A O

C D A B A B C D O 7.正方形的性质： 四边形ABCD 是正方形??? ? ??.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角； ）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（ 8. 正方形的判定： ???? ? ? ? ?? ++++++对角线互相垂直矩形）（一组邻边等 矩形）（对角线相等）菱形（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（54321?四边形ABCD 是正方形. 9. 三角形中位线 （1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．每个三角形都有三条中位线． （2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 10. 直角三角形特殊性质 （1）斜边上的中线等于斜边的一半。 （2)300所对的直角边等于斜边的一半。 （3）射影定理，勾股定理，面积不变定理 特殊的、平行四边形知识点 学生记住

平行线证明题

第一篇：平行线证明题 平行线证明题 直线ab和直线cd平行 因为,∠aef=∠efd.所以ab平行于cd 内错角相等，两直线平行 em与fn平行因为em是∠aef的平分线,fn是∠efd的平分线,所以角mef=1/2角aef,角efn=1/2角efd 因为,∠aef=∠efd，所以角mef=角efn 所以em与fn平行，内错角相等，两直线平行 2 第五章相交线与平行线试卷 一、填空题： 1、平面内两条直线的位置关系可能是或。 2、“两直线平行，同位角相等”的题设是，结论是。 3、∠a和∠b是邻补角，且∠a比∠b大200，则∠a=度，∠b=度。 4、如图1，o是直线ab上的点，od是∠cob的平分线，若∠aoc=400，则 ∠bod= 0。 5、如图2，如果ab‖cd，那么∠b+∠f+∠e+∠d=0。 6、如图3，图中abcd-是一个正方体，则图中与bc所在的直线平行的直线有条。 7、如图4，直线‖，且∠1=280，∠2=500，则∠acb=0。 8、如图5，若a是直线de上一点，且bc‖de，则∠2+∠4+∠5=0。 9、在同一平面内，如果直线‖，‖，则与的位置关系是。 10、如图6，∠abc=1200，∠bcd=850，ab‖ed，则∠cde0。 二、选择题：各小题只有唯一一个正确答案，请将正确答案的代号填在题后的括号内 11、已知：如图7，∠1=600，∠2=1200，∠3=700，则∠4的度数是 a、700 b、600 c、500 d、400 12、已知：如图8，下列条件中，不能判断直线‖的是 a、∠1=∠3 b、∠2=∠3 c、∠4=∠5 d、∠2+∠4=1800 13、如图9，已知ab‖cd，hi‖fg，ef⊥cd于f，∠1=400，那么∠ehi= a、400 b、450 c、500 d、550 14、一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角 a、相等 b、相等或互补 c、互补 d、不能确定

《相交线与平行线》证明题专项训练A

《相交线与平行线》证明题专项训练A 第一组---简简单单 1.如图，∠1=∠A，试问∠2与∠B相等吗？为什么？ 2.如图，已知OA⊥OB，∠1与∠2互补，求证：OC⊥OD. 3.如图，直线l ⊥,，∠1=∠2，求证：∠3=∠4. n m⊥ l 4.如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A=37o，求∠D的度数．

第二组---相信自己 5.如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度数. 6．如图，BD平分∠ABC，?DF?∥AB，?DE?∥BC，?求∠1?与∠2?的大小关系．7．如图，已知∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2，求证：∠3=∠4. 8．如图，已知∠ABC＋∠ACB=110°，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，EF过点O与BC平行，求∠BOC的度数.

第三组-----善于思考 9．如图，已知： DE∥AB，DF∥AC，试说明∠FDE=∠A. 10．如图，AB∥CD，∠NCM＝90°，∠NCB＝30°，CM平分∠BCE，求∠B的度数. 11．如图，AB∥CD，HP平分∠DHF，若∠AGH=80°，求∠DHP的度数. 12．如图，AC⊥AB，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2，试问AC⊥DG吗？请写出推理过程.

第四组---转弯抹角 13．如图，M、N、T和A、B、C分别在同一直线上，且∠1=∠3，∠P=∠T，求证：∠M=∠R. 14．如图，已知∠1=∠2, ∠B=∠C，你能得出∠A=∠D的结论吗？ 15．如图，CD⊥AB于D，FE⊥AB于E，且∠1=∠2，?∠3=80°．求∠BCA的度数 16．如图，AD⊥BC，FG⊥BC，且∠1=∠2，求证：∠BDE=∠C.

平行四边形的判定练习题汇编

（一）平行四边形的判定 一、教学目的： 1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法． 2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题． 3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题． 二、重点、难点 1．重点：平行四边形的判定方法及应用． 2．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用． 平行四边形的判定方法 平行四边形判定方法1(与边相关) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 平行四边形判定方法2 (与边相关) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 平行四边形判定方法3 (与边相关) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定方法4 (与角相关) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定方法5 (与对角线相关) 对角线互相平分的四边形是平行四边形。三、练习题 1．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O， （1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ _cm，CD=___ _cm时，四边形ABCD 为平行四边形； （2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__ _cm，DO=__ _cm时，四边形ABCD为平行四边形． （3）．（选择）下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（）． （A）对角线互相垂直（B）对角线相等 （C）对角线互相垂直且相等（D）对角线互相平分 2．判断题： (1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形； ( ) (2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ( ) (3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ( ) (4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ( ) (5)对角线相等的四边形是平行四边形； ( ) (6)对角线互相平分的四边形是平行四边形． ( ) 3．（选择）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）． （A）AB∥CD，AD=BC （B）∠A=∠B，∠C=∠D （C）AB=CD，AD=BC （D）AB=AD，CB=CD

平行四边形经典证明题例题讲解

1 / 1 经纬教育 平行四边形证明题 经典例题（附带详细答案） 1．如图，E F 、是平行四边形 ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥， 求证：AF CE =． 【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =， ACB CAD ∴∠=∠． 又BE DF ∥， BEC DFA ∴∠=∠， BEC DFA ∴△≌△， ∴CE AF = 2．如图6，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠D ， ， 求四边形ABCD 的周长． 【答案】20、 解法一: ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴∥即得是平行四边形 ∴ ∴四边形的周长 解法二: 3 ,6==AB BC AB CD ∥?=∠+∠180C B B D ∠=∠?=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=?+?=D C A B E F A D C B

连接 ∵ ∴ 又∵ ∴≌ ∴ ∴四边形的周长解法三: 连接 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴∥即是平行四边形 ∴ ∴四边形的周长 3.（在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C 的大小． 【关键词】多边形的内角和 【答案】设x A= ∠（度），则20 + = ∠x B，x C2 = ∠． 根据四边形内角和定理得，360 60 2 ) 20 (= + + + +x x x． 解得，70 = x． ∴? = ∠70 A，? = ∠90 B，? = ∠140 C． 4．（如图，E F ，是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF CE DF BE DF BE == ，，∥． AC AB CD ∥ DCA BAC∠ = ∠ B D A C CA ∠=∠= ， ABC △CDA △ 36 AB CD BC AD ==== ， ABCD18 3 2 6 2= ? + ? = BD AB CD ∥ CDB ABD∠ = ∠ ABC CDA ∠=∠ ADB CBD∠ = ∠ AD BC ABCD 36 AB CD BC AD ==== ， ABCD18 3 2 6 2= ? + ? = A D C B A D C B 1 / 1

2020年平行线的有关证明单元测试题

2020年平行线的有关证明单元测试题 时间: 120分钟满分:120分姓名: 一、选择题：（共12个小题，每小题4分，共48分） 1．下列命题中，是真命题的是（） A．两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等 B. 两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等 C．两直线被第三条直线所截，截得的同旁内角相等 D．垂直于同一直线的两条直线平行 2．如图1，直线AC∥BD，AO，BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，那么下列结论错误的是 ( ) A．∠BAO与∠CAO相等B．∠BAC与∠ABD互补 C．∠BAO与∠ABO互余D．∠ABO与∠DBO不等 3．下列条件能判断直线a∥b的是（） A．∠1=∠2 B．∠4=∠2 C. ∠3=∠4 D．∠1=∠3 4．如图3，△ABC中，AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹， 则下列结论错误的是（） A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC 5．已知a∥b，一块含30°角的直角三角板如图4所示放置，∠2=45°，则∠1等于（）A．100°B．135° C．155° D．165°

6．下列命题是真命题的是（） A．相等的角一定是同位角 B．互补的角一定是同旁内角 C．同位角一定相等 D．平行线于同一直线的两直线平行 7．如图5，直线AB∥CD，∠A=70°，∠C=40°，则∠E等于（）A．30° B．40°C．60°D．70° 8．如图6所示，已知AB∥CD，则下列结论正确的是（） A．∠A =∠D B．∠A =∠B C．∠A +∠1=180° D．∠DFA=∠D 9．下列说法中，正确的是（） A．两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等 B．对顶角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角互补 D．和平行线中的一条直线垂直的直线，必垂直另一条 10．如图7，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=30°，则∠AEC等于（）A．20°B．50° C．80° D．100°

七年级数学平行线经典证明题75401

平行线经典证明题 一、选择题: 1、如图,能与∠α构成同旁内角的角有( ) A. 5个 B.4个 C. 3个 D. 2个 α 2、如图,AB ∥CD,直线MN 与AB 、CD 分别交于点E 与点F,GE ⊥MN,∠1=130°,则∠2等于 ( ) A.50° B.40° C.30° D.65° 3、如图,DE ∥AB,∠CAE= 3 1 ∠CAB,∠CDE=75°,∠B=65°则∠AEB 就是 ( ) A.70° B.65° C.60° D.55° 4、如图,如果AB ∥CD,则α∠、β∠、γ∠之间的关系就是( ) A 、0180=∠+∠+∠γβα B 、0180=∠+∠-∠γβα C 、0180=∠-∠+∠γβα D 、0270=∠+∠+∠γβα 5、如图所示,AB ∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C 等于( ) A 、180° B 、360° C 、540° D 、720° 6、如图,OP ∥QR ∥ST,则下列各式中正确的就是( ) A 、∠1＋∠2＋∠3＝180° B 、∠1＋∠2－∠3＝90° C 、∠1－∠2＋∠3＝90° D 、∠2＋∠3－∠1＝180° 7、如图,AB ∥DE,那么∠BCD 于( ) A 、∠2－∠1 B 、∠1＋∠2 C 、180°＋∠1－∠2 D 、180°＋∠2－2∠1 二、填空题: 8、把一副三角板按如图方式放置,则两条斜边所形成的钝角α=_______度. α 45° 30° 9、求图中未知角的度数,X=_______,y=_______、 10、如图,AB ∥CD,AF 平分∠CAB,CF 平分∠ACD.(1)∠B+∠E+∠D=________;(2)∠AFC=________、

数学 平行四边形的专项 培优易错试卷练习题

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH． （1）求证：∠APB=∠BPH； （2）当点P在边AD上移动时，求证：△PDH的周长是定值； （3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长． 【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）2． 【解析】 试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出 ∠APB=∠PBC即可得出答案； （2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出 PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8； （3）过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB，证明△EFM≌△BPA，设AP=x，利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF，结合二次函数的性质求出最值． 试题解析：（1）解：如图1， ∵PE=BE， ∴∠EBP=∠EPB． 又∵∠EPH=∠EBC=90°， ∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP． 即∠PBC=∠BPH． 又∵AD∥BC， ∴∠APB=∠PBC． ∴∠APB=∠BPH．

（2）证明：如图2，过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q ． 由（1）知∠APB=∠BPH ， 又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP ， 在△ABP 和△QBP 中， {90APB BPH A BQP BP BP ∠=∠∠=∠=?=， ∴△ABP ≌△QBP （AAS ）， ∴AP=QP ，AB=BQ ， 又∵AB=BC ， ∴BC=BQ ． 又∠C=∠BQH=90°，BH=BH ， 在△BCH 和△BQH 中， {90BC BQ C BQH BH BH =∠=∠=?=， ∴△BCH ≌△BQH （SAS ）， ∴CH=QH ． ∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8． ∴△PDH 的周长是定值． （3）解：如图3，过F 作FM ⊥AB ，垂足为M ，则FM=BC=AB ． 又∵EF 为折痕， ∴EF ⊥BP ． ∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°， ∴∠EFM=∠ABP ．

(完整)初中数学平行四边形经典例题讲解(3套)

平行四边形经典例题（附带详细答案） 1．如图，E F 、是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥， 求证：AF CE =． 【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =， ACB CAD ∴∠=∠． 又BE DF ∥， BEC DFA ∴∠=∠， BEC DFA ∴△≌△， ∴CE AF = 2．如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠D ，， 求四边形ABCD 的周长． 【答案】 解法一: ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴∥即得是平行四边形 ∴ ∴四边形的周长 解法二: 3 ,6==AB BC AB CD ∥?=∠+∠180C B B D ∠=∠?=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=?+?=A D C B D C A B E F

连接 ∵ ∴ 又∵ ∴≌ ∴ ∴四边形的周长 解法三: 连接 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴∥即是平行四边形 ∴ ∴四边形的周长 3.（在四边形ABCD 中，∠D =60°，∠B 比∠A 大20°，∠C 是∠A 的2倍， 求∠A ，∠B ，∠C 的大小． 【关键词】多边形的内角和 【答案】设x A =∠（度），则20+=∠x B ，x C 2=∠． 根据四边形内角和定理得，360602)20(=++++x x x ． 解得，70=x ． AC AB CD ∥DCA BAC ∠=∠B D AC CA ∠=∠=，ABC △CDA △36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=?+?=BD AB CD ∥CDB ABD ∠=∠ABC CDA ∠=∠ADB CBD ∠=∠AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=?+?=A D C B A D C B

平行四边形证明题中考练习

24．（10分）如图（1），在△ABC 和△EDC 中，AC ＝CE ＝CB ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝ 90， AB 与CE 交于F ，ED 与AB 、BC 分别交于M 、H ． （1）求证：CF ＝CH ； （2）如图（2），△ABC 不动，将△EDC 绕点C 旋转到∠BCE = 45时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论． 24. 如图1，在△ABC 中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，若B 、P 在直线a 的异侧， BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，连接PM 、PN ； （1） 延长MP 交CN 于点E （如图2）。 求证：△BPM ?△CPE ； 求证：PM = PN ； （2） 若直线a 绕点A 旋转到图3的位置时，点B 、P 在直线a 的同侧，其它条件不变。此时 PM =PN 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3） 若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其它条件不变。请直接判断四边形MBCN 的形状及此时PM =PN 还成立吗？不必说明理由。 四、【安徽省】 20.如图，AD ∥FE ，点B 、C 在AD 上，∠1＝∠2，BF ＝BC 。 ⑴求证：四边形BCEF 是菱形 ⑵若AB ＝BC ＝CD ，求证：△ACF ≌△BDE 23.（本题7分） a A B C P M N A B C M N a P A B C P N M a 圖1 圖2 圖3 A C D B M E F H 图（1） A C D B M E F H 图（2）

如图，四形ABCD 中，对角线相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是AD ，BD ， BC ，AC 的中点。 （1）求证：四边形EFGH 是平行四边形； （2）当四边形ABCD 满足一个什么条件时，四边形EFGH 是菱形？并证明你的结论。 18．如图，分别以Rt ABC ?的直角边AC 及斜边AB 向外作等边ACD ?，等边ABE ?．已知 ∠BAC ＝30°，EF ⊥AB ，垂足为F ，连结DF ． ⑴试说明AC ＝EF ； ⑵求证：四边形ADFE 是平行四边形． 26.如图10，若四边形ABCD 、四边形CFED 都是正方形，显然图中有AG =CE ，AG ⊥CE . （1）当正方形GFED 绕D 旋转到如图11的位置时，AG =CE 是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. （2）当正方形GFED 绕D 旋转到如图12的位置时，延长CE 交AG 于H ，交AD 于M . ①求证：AG ⊥CH ; ②当AD =4，DG CH 的长。 22. （本题满分8分） 如图6，已知ABC △是等边三角形，点D 、F 分别在线段BC 、AB 上，∠60EFB =°， DC EF =. (1) 求证：四边形EFCD 是平行四边形； A B C D E F G H O 第18题图 A B C D E F C D E 图110 A D 图11 F E B C G A D B C E F H M 图12 A E F

很好的平行线证明题

1．如图，EF ∥AD ，∠1=∠2，∠BAC =70°．将求∠AGD 的过程填写 完整． ∵EF ∥AD （ ） ∴∠2= ．（ ） 又∵∠1=∠2，（ ） ∴∠1=∠3．（ ） ∴AB ∥ ．（ ） ∴∠BAC + = 180°．（ ） 又∵∠BAC =70°，（ ） ∴∠AGD = ．（ ） 2．如图，46BAF =∠，136ACE =∠，CE CD ⊥．问CD AB ∥吗？为什么？ 3．已知：如图，∠ABC =∠ADC ，BF 、DE 是∠ABC 、∠ADC 的角平分线，DE // BF ． 求证：DC // AB ． 4．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光 线与平面镜所夹的锐角相等． (1) 如图，一束光线m 射到平面镜a 上，被a 反射到平面镜b 上，又被b 反射．若 被b 反射出的光线n 与光线m 平行，且∠1=50°，则∠2= °，∠3= °． (2) 在(1)中，若∠1=55°，则∠3= °；若∠1=40°，则∠3= °． (3) 由(1)、(2)，请你猜想:当两平面镜a 、b 的夹角∠3= °时，可以使任何 射到平面镜a 上的光线m ，经过平面镜a 、b 的两次反射后，入射光线m 与反射 光线n 平行．请简要说明理由． 321n m b a

5. 如图，已知：∠A +∠C =∠E . 求证: AB //CD . 6. 如图， 已知：AD ⊥BC 于D ，EG ⊥BC 于G ，∠E =∠1，求证：AD 平分∠BAC . E C B A 3 21 5题图 6题图 7．如图，已知： AB ∥DE ，∠1=∠ACB ，AC 平分∠BAD ．求证：AD ∥BC . 8．如图，已知: ∠1+∠2=180°，∠3=∠B ，试判断∠AED 和∠ACB 的大小关系，并写出推理过程. 9. 如图， 已知： ∠1+∠2=180°，∠A =∠C ，AD 平分∠BDF ，求证：BC 边平分∠DBE .

平行线的证明典型题练习

平行线的证明典型题练习 1．命题“对顶角相等”的题设是:________＿_____＿__，结论是__ ＿ _______ ＿_＿_＿＿____ 2.下列命题：①对顶角相等;②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行;③相等的角是对 顶角；④同位角相等.其中错误的有 3. 如图,ＢＥ平分∠AＢＣ,DＥ∥BＣ,图中相等的角共有对 4. 如图,在△AＢC中,D是B C的延长线上的一点，Ｅ是CＡ的延长线上的一点,Ｆ在A B上，连 接E F，请你判断∠ＡC D∠AＦE． 5.如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下,则∠1= 6．如图，已知AB∥ＣＤ,∠B＝６５°，CＭ平分∠ＢCE,∠MＣN=90°,求∠DＣＮ＝ 第３题图第4题图第5题图第６题 图 7.如图,在△ＡBＣ中，∠A=α，∠ＡＢC的平分线与∠ＡCD的平分线交于点A１，得∠A1,∠A1BC 的平分线与∠A1CD的平分线交于点Ａ２，得∠A2，…,∠A201３ＢＣ的平分线与∠A20１3CD的平分线交于 点A２014，得∠A20１４ＣＤ，则∠A2０14＝______. 8. 如图,在△ABC中，AＢ=AD＝DC,∠BAD＝26°.∠Ｂ＝∠C= 9.如图所示．∠Ａ=1０°，∠ＡBC=9０°,∠ACB=∠DCE,∠ADＣ＝∠ＥDＦ，∠CE Ｄ=∠FＥＧ．则∠F ° 10．如图所示,CD是∠ACＢ的平分线，CＦ是△ABC的外角∠ACＢ的外角平分线，FD ∥BＣ交CF于点F.若∠Ａ=40°，∠Ｂ=60°,∠ＦCD＝，∠DFＣ ＝ 第7题图 第8题图 第9 题图第10题图 １1.已知如图所示，在△ABＣ中,AB＞AC，∠ＡEF＝∠AFＥ，延长EF与BC的延长 线交于点G，求证：∠Ｇ＝1／2(∠ＡCB－∠B)． 12.如图所示,BＥ与CD相交于点A,CF为∠BCD的平分线,EＦ为∠BED的平分线． （1)试探索∠Ｆ与∠Ｂ,∠D之间的数量关系,并加以证明 （2)若∠B：∠D：∠F=２:4：x 求x的值 --

平行四边形证明练习题

平行四边形证明练习题

平行四边形证明练习题 一．解答题 1．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF． 2．在?ABCD中，E，F分别是BC、AD上的点，且BE=DF．求证：AE=CF． 3．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC．AD上的点，∠1=∠2 求证：△ABE≌△CDF． 4．如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CD边的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于F点．求证：BC=DF．

5．如图，在?ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，请判断线段BE、DF的关系，并证明你的结论． 6．已知：如图，?ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．求证：△ABE≌△CDF． 7．如图，已知在?ABCD中，过AC中点的直线交CD，AB 于点E，F．求证：DE=BF． 8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AE．四边形AECD是平行四边形吗？为什么？

13．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC 上的两点，AE=CF． 求证：（1）△ADF≌△CBE； （2）连接DE、BF，试判断四边形DEBF的形状，并说明理由． 14．如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF． 求证：四边形EFGH是平行四边形． 15．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF． （1）猜想探究：BE与DF之间的关系：_________（2）请证明你的猜想．

16．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF．求证：∠1=∠2． 17．如图，已知E，F分别是?ABCD的边AB，CD的中点．求证：ED=BF． 18．如图，BD是?ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．求证：四边形DEBF为平行四边形． 19．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E、F分别为AO、OC的中点，证明：四边形BFDE是平行四边形．

平行四边形典型例题

平行四边形典型例题 【例1】如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则图中全等三角形有（） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【分析】由平行四边形的对边平行、对角线互相平分，可得全等三角形有：△ABD和△CDE， △ADC和△CBA ，△AOD 和△BOC 、△AOB 和△COD ． 【答案】C 【例2】如图，□ABCD中，∠B、∠C的平分线交于点O ，BO 和CD 的延长线交于E ，求证：BO=OE ． 【分析】证线段相等，可证线段所在三角形全等．可证△COE ≌△COB ．已知OC 为公共边，∠OCE=∠OCB，又易证∠E=∠EBC．问题得证． 【证明】在□ABCD中，∵AB//CD， ∴， 又∵（角平分线定义）． ∴， 又∵， ∴△≌△ ∴． 说明：证线段相等通常有两种方法：（1）在同一三角形中证三角形等腰；（2）不在同一三角形则证两三角形全等．本题也可根据等腰三角形“三线合一”性质证明结论．

【例3】如图，在ABCD中，AE⊥BC于E ，AF⊥DC 于F ，∠ADC=60°，BE=2，CF=1，求△DEC 的面积． 【解】在中，，、． 在Rt △ABE 中，，． ∴，． ∴． 在△中，． ∴． 故． 【例4】已知：如图，D 是等腰△ABC 的底边BC 上一点，DE//AC ，DF//AB ．求证：DE+DF=AB． 【分析】由于，，从而可以利用平行四边形的定义和性质，等腰三角形的判定和性质来证． 【解】∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵，∴．

∵，∴． ∴． ∴． 说明：证明一条线段等于另外两条线段的和常采用的方法是：把三条线段中较长的线段分为两段，证明这两段分别等于另两条线段． 【例5】如图，已知：中，、相交于点，于， 于，求证：． 【分析】 【解】因为四边形是平行四边形， 所以，． 又因为、交于点， 所以． 又因为，， 所以．

初中数学：《平行线的证明(一)》测试题

初中数学：《平行线的证明（一）》测试题 一、填空题 1．命题“任意两个直角都相等”的条件是______，结论是______，它是______（真或假）命题． 2．已知，如图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠BOD且∠AOE=150°，∠AOC的度数为______． 3．如图，如果∠B=∠1=∠2=50°，那么∠D=______． 4．如图，直线l 1、l 2 分别与直线l 3 、l 4 相交，∠1与∠3互余，∠3的余角与∠2互补，∠4=125°， 则∠3=______． 5．如图，已知AB∥CD，∠C=75°，∠A=25°，则∠E的度数为______度． 6．如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD∥BE 解：∵AB∥CD（已知） ∴∠4=∠______（______） ∵∠3=∠4（已知） ∴∠3=∠______（______） ∵∠1=∠2（已知） ∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（______）

即∠______=∠______（______） ∴∠3=∠______ ∴AD∥BE（______）． 二、选择题 7．如图，平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（） A．4对B．8对C．12对D．16对 8．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1=15°30′，则下列结论中不正确的是（） A．∠2=45°B．∠1=∠3 C．∠AOD与∠1互为补角D．∠1的余角等于75°30′ 9．下列语言是命题的是（） A．画两条相等的线段 B．等于同一个角的两个角相等吗？ C．延长线段AO到C，使OC=OA D．两直线平行，内错角相等． 10．下列命题是假命题的是（） A．对顶角相等 B．﹣4是有理数

平行线与相交线经典例题

相交线与平行线经典题型汇总 班级: 姓名: 1. 如图，∠B=∠C ，AB ∥EF 求证：∠BGF=∠C 2.如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2，∠BAC = 70°。求∠AGD 《 3.已知：如图ＡＢ∥ＣＤ，ＥＦ交ＡB 于G ，交CD 于F ，FH 平分∠EFD ，交AB 于H ，∠AGE=500 ，求：∠BHF 的度数。 4.已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D ，那么∠A=∠F 吗试说明理由 & H G F E D C B A H G 2 1 F E D C B A G F E C B A

5. 已 知 ： 如 图 ， AB E F AB CD 1D ∠=∠2∠C ∠EC AF ⊥O //AB CD //AC BD //AB CD E ∠=∠1 F ∠=∠2AE CF O CF AE ⊥ . 8．如图13，AEB NFP ∠=∠，M C ∠=∠，判断A ∠与P ∠的大小关系，并说明理由. ^ 9．如图14，AD 是CAB ∠的角平分线，//DE AB ，//DF AC ，EF 交AD 于点O ． 请问：（1）DO 是EDF ∠的角平分线吗如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． （2）若将结论与AD 是CAB ∠的角平分线、//DE AB 、//DF AC 中的任一条件 交换，?所得命题正确吗 F E M P A C N 1 2 3 O B C D E

A D B C E F 1 2 3 · 4 ' 10.如图，AD 是∠EAC 的平分线，AD ∥BC ，∠B = 30°， 你能算出∠EAD 、∠DAC 、∠C 的度数吗 11. 如图, ∠1=∠2 , ∠3=1050， 求 ∠4的度数。 【 12．如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2，∠BAC = 70°。将求∠AGD 的过程填写完整。 因为EF ∥AD ，所以 ∠2 = 。 又因为 ∠1 = ∠2，所以 ∠1 = ∠3。 所以AB ∥ 。 所以∠BAC + = 180°。 又因为∠BAC = 70°， 所以∠AGD = 。 · 13．已知，如图，BCE 、AFE 是直线，AB ∥CD ，∠1=∠2，∠3=∠4。 AD 与BE 平行吗为什么。 ' d c 3 1 a b 2 4

平行四边形知识点及练习题含答案

平行四边形知识点及练习题含答案 一、解答题 1．如图，在Rt ABC ?中，090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F （1）求证：四边形ADCF 是菱形 （2）若4,5AC AB ==，求菱形ADCF 的面积 2．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=8cm ，AD=16cm ，BC=22cm ，∠ABC=90°．点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度向点D 运动，点Q 从点C 同时出发，以3cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒． （1）当t= 时，四边形ABQP 成为矩形？ （2）当t= 时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？ （3）四边形PBQD 是否能成为菱形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q 点的速度（匀速运动），使四边形PBQD 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度． 3．综合与探究 （1）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =．CE 和CF 之间有怎样的关系．请说明理由． （2）如图2，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，如果45GCE ∠=?，请你利用（1）的结论证明：GE BE CD =+． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3在直角梯形ABCD 中，//()AD BC BC AD >，90B ∠=?，12AB BC ==，E 是AB 上一点，且45DCE ∠=?，4BE =，求DE 的长．

平行四边形知识点及典型例题

一、知识点讲解： 1．平行四边形的性质： 四边形ABCD 是平行四边形?????? ????. 54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等； （）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（ 2.平行四边形的判定： . 3. 矩形的性质： 因为四边形ABCD 是矩形??? ? ??.3; 2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（ (4)是轴对称图形，它有两条对称轴． 4矩形的判定： (1)有一个角是直角的平行四边形； (2)有三个角是直角的四边形； (3)对角线相等的平行四边形； (4)对角线相等且互相平分的四边形． ?四边形ABCD 是矩形. 两对角线相交成60°时得等边三角形。 5. 菱形的性质： 因为ABCD 是菱形??? ? ??.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等； （有通性；）具有平行四边形的所（ 6. 菱形的判定： ?? ? ?? +边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321?四边形ABCD 是菱形. 菱形中有一个角等于60°时，较短对角线等于边长； 菱形中，若较短对角线等于边长，则有等边三角形； 菱形中，两对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，每个直角三角形的斜边是菱形的边，两直角边分别是两对角线的一半。 菱形的面积等于两对角线长积的一半。 A B D O C A B D O C A D B C A D B C O C D B A O C D B A O

C D A B A B C D O 7.正方形的性质： 四边形ABCD 是正方形??? ? ??.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角； ）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（ 8. 正方形的判定： ???? ? ? ? ?? ++++++对角线互相垂直矩形）（一组邻边等 矩形）（对角线相等）菱形（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（54321?四边形ABCD 是正方形. 9. 1．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三 遍的一半。 2．由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 二、例题 例1：如图1，平行四边形ABCD 中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E 、F. 求证：∠BAE =∠DCF. 例2如图2，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE⊥AC 于E ，CF⊥BD 于F. 求证：BE = CF. 例3．已知：如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 交于点O ，F ，G 分别是OB ，OC 的中点．求证：四边形DFGE 是平行四边形． 例4如图7 的对角线AC 的垂直平分线与边AD ，BC 分别相交于点E ，F. 求证：四边形AFCE 是菱形. （图1） O A B C D E F （图2） B

七年级数学平行线经典证明题

七年级数学平行线经典证明题

经典平行线经典证明题 一、选择题： 1.如图，能与∠α构成同旁内角的角有（ ） A ． 5个 B ．4个 C ． 3个 D ． 2 个 α 2.如图，AB ∥CD ，直线MN 与AB 、CD 分别交于点E 和点F ，GE ⊥MN ，∠1=130°，则∠2等于 ( ) A ．50° B ．40° C ．30° D ．65° 3.如图，DE ∥AB ，∠CAE=3 1∠CAB ，∠CDE=75°，∠B=65°则∠AEB 是 ( ) A ．70° B ．65° C ．60° D ．55° 4.如图，如果AB ∥CD ，则α∠、β∠、γ∠之间的关系是 （ ） A 、0180=∠+∠+∠γβα B 、0180=∠+∠-∠γβα C 、0180=∠-∠+∠γβα D 、0 270=∠+∠+∠γβα 5.如图所示,AB ∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C 等于( ) A.180° B.360° C.540° D.720°

6.如图，OP∥QR∥ST，则下列各式中正确的是（） A、∠1＋∠2＋∠3＝180° B、∠1＋∠2－∠3＝90° C、∠1－∠2＋∠3＝90° D、∠2＋∠3－∠1＝180° 7.如图，AB∥DE，那么∠BCD于（） A、∠2－∠1 B、∠1＋∠2 C、180°＋∠1－∠2 D、180°＋∠2－2∠1 二、填空题： 8.把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α=_______度． 45° α 30° 9.求图中未知角的度数，X=_______，y=_______. 10.如图，AB∥CD，AF平分∠CAB，CF平分∠ACD．(1)∠B+∠E+∠D=________；(2)∠AFC=________.