Sx-13-10-001 课题:不等式的解集与区间;主备人:姚福军;审核人:___;编写时间:2013.9.22;使用时间:____班级:姓名:
教学目标:
1、掌握一元一次不等式(组)的解法
2、会用数轴表示不等式解集
3、掌握用区间表示一元一次不等式(组)解集的方法
4、体会数形结合、类比等数学思想方法
教学重点与难点:
1、重点:一元一次不等式(组)的解法
2、难点:用区间表示不等式的解集
一、知识点:不等式解集的概念
1、在含有未知数的不等式中,能使不等式成立的未知数值的全体所构成的集合,叫做不等式的解集。
2、区间表示法
闭区间:实数集的子集 { x | a ≤ x ≤ b }叫做以 a , b 为端点的闭区间,记作[a,b] 开区间:实数集的子集 { x | a < x < b } 叫做以 a , b 为端点的开区间,记作(a,b)
半开半闭区间:实数集的子集{x|a≤x
实数集R 用区间表示为( -∞,+∞)-∞读作:负无穷大+∞读作:正无穷大
满足x≥a 的全体实数,可记作(a,+∞)
满足x≤a 的全体实数,可记作(-∞,a]
满足x 二、例题:用区间表示下列数集,并在数轴上表示 (1){x|-1 解:{x|-1 (2){x|-2≤x<2} 解:{x|-2≤x<2}表示为[-2,2) Sx-13-10-002 1.3.1不等式的解集与区间;编写人:姚福军。审核人:_____;编写时间:______;使用时间:_____。姓名:班级: Sx-13-10-001 课题:不等式的解集与区间;主备人:姚福军;审核人:___;编写时间:2013.9.22;使用时间:____班级:姓名: 【教学目标】1. 2. 通过教学,渗透数形结合的思想和由一般到特殊的辩证唯物主义观点. 3. 培养学生合作交流的意识和乐于探究的良好思维品质,让学生从数学学习活动中获得成功的体验,树立自信心. 【教学重点】用区间表示数集. 【教学难点】对无穷区间的理解. 【教学方法】本节课主要采用数形结合法与讲练结合法.通过不等式介绍闭区间的有关概念, 并与学生一起在数轴上表示两种不同的区间,学生类比得出其它区间的记法.在此基础上引导学生用区间表示不等式的解集,为学习用区间法求不等式组的解集打下坚实的基础. 【教学过程】教师提问: (1) 用不等式表示数轴上的实数范围; (2) 把不等式1≤x ≤5在数轴上表示出来.设 a ,b 是实数,且 a <b . 满足 a ≤x ≤b 的实数 x 的全体,叫做闭区间,记作 [a ,b ],如图. a , b 叫做区间的端点.在数轴上表示一个区间时,若区间包括端点,则端点用实心点表示;若区间不包括端点,则端点用空心点表示. 全体实数也可用区间表示为(-∞,+∞),符号“+∞”读作“正无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”. 例1用区间记法表示下列不等式的解集: (1) 9≤x ≤10; (2) x ≤0.4.解 (1) [9,10]; (2) (-∞,0.4]. 练习1 用区间记法表示下列不等式的解集,并在数轴上表示这些区间: (1) -2≤x ≤3; (2) -3<x ≤4;(3) -2≤x <3; (4) -3<x <4;(5) x >3; (6) x ≤4. 例2 用集合的性质描述法表示下列区间:(1) (-4,0); (2) (-8,7]. 解 (1) {x | -4<x <0};(2) {x | -8<x ≤7}. 练习2 用集合的性质描述法表示下列区间,并在数轴上表示这些区间: (1) [-1,2); (2) [3,1]. 例3 在数轴上表示集合{x |x <-2或x ≥1}. x 1 -1 如何解一元二次不等式,例如:x?2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路 解:对于高中“解一元二次不等式”这一块, 通常有以下两种解决办法: ①运用“分类讨论”解题思想; ②运用“数形结合”解题思想。 以下分别详细探讨。 例1、解不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0。 解法①:原不等式可化为: (x -- 4) (x + 2) ≥ 0。 两部分的乘积大于等于零, 等价于以下两个不等式组: (1)x -- 4 ≥ 0 或(2)x -- 4 ≤ 0 x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0 解不等式组(1)得:x ≥ 4(因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2,此为“同大取大”) 解不等式组(2)得:x ≤ -- 2(因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4,此为“同小取小”) ∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为:x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 其解集为:( -- ∞,-- 2 ] ∪[ 4,+ ∞)。 解法②:原不等式可化为: [ (x2 -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。 ∴(x -- 1)2 ≥ 9 ∴x -- 1 ≥ 3 或x -- 1 ≤ -- 3 ∴x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 ∴原不等式的解集为:( -- ∞,-- 2 ] ∪[ 4,+ ∞)。 解法③:如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方, 那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解, 如本题,用求根公式求得方程x2 -- 2x -- 8 = 0 的两根为x1 = 4,x2 = -- 2,则原不等式可化为:(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。下同解法①。 体会:以上三种解法,都是死板板地去解; 至于“分类讨论”法,有时虽麻烦,但清晰明了。 下面看“数形结合”法。 解法④:在平面直角坐标系内,函数f(x) = x2 -- 2x -- 8 的图像 开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2,0) 和(4,0), 显然,当自变量的取值范围为x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时, 图像在x 轴的上方; 当自变量的取值范围为-- 2 ≤ x ≤ 4 时,图像在x 轴的下方。 ∴当x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时,x2 -- 2x -- 8 ≥ 0, 即:不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为:x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 顺便说一下,当-- 2 ≤ x ≤ 4 时,图像在x 轴的下方,即:x2 -- 2x -- 8 ≤ 0,∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为:-- 2 ≤ x ≤ 4 。其解集为:[ -- 2,4 ]。 领悟:对于ax2 + bx + c >0 型的二次不等式,其解为“大于大根或小于小根”; 对于ax2 + bx + c <0 型的二次不等式,其解为“大于小根且小于大根”。例2、解不等式x2 + 2x + 3 >0。 在实数范围内左边无法进行因式分解。 配方得:(x + 1)2 + 2 >0。 无论x 取任何实数,(x + 1)2 + 2 均大于零。 ∴该不等式的解集为x ∈R。 用“数形结合”考虑, ∵方程x2 + 2x + 3 = 0的根的判别式△<0, ∴函数f(x) = x2 + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。 即:无论自变量x取任意实数时,图像恒位于x 轴的上方。 ∴不等式x2 + 2x + 3 >0的解集为x ∈R。 20XX年高中测试 高 中 试 题 试 卷 科目: 年级: 考点: 监考老师: 日 期: 第7章 第1节 一、选择题 1.(文)(20XX·深圳市深圳中学)不等式(x -1)x +2≥0的解集是( ) A .{x|x>1} B .{x|x≥1} C .{x|x≥1且x =-2} D .{x|x≥1或x =-2} [答案] D [解析] 不等式化为????? x -1≥0x +2≥0或x +2=0, ∴x≥1或x =-2,故选D. (理)(20XX·天津文,7)设集合A ={x|x -a|<1,x ∈R},B ={x|1<x <5,x ∈R},若A∩B =?,则实数a 的取值范围是( ) A .{a|0≤a≤6} B .{a|≤2,或a≥4} C .{a|a≤0,或a≥6} D .{a|2≤a≤4} [答案] C [解析] |x -a|<1?a -1 函数,函数y =f ′(x)的图象如图所示.若实数a 满足f(2a +1)<1,则a 的取值范围是( ) x -2 0 4 f(x) 1 -1 1 A.????0,32 B.??? ?-12,32 C.????12,72D.??? ?-32,32 [答案] D [解析] 由f ′(x)的图象知,f(x)在[-2,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,又由表知若f(2a + 1)<1,则-2<2a +1<4,∴-321,则下列不等式成立的是( ) 专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法 一、选择题 1.(2019·北京高考真题(文))已知集合A ={x |–1 科 目数学授课 日期 课 时 4 教学 内容 1.1不等式的性质与解集班级 授 课 方 式 讲授法、练习法课型新授课 教学目的1、理解实数的大小与比较,会用数轴上的点表示实数 并比较大小 2、理解不等式的性质,并学会应用性质比较大小 3、理解集合的概念,掌握集合的表示方法,并学会表 示不等式的解集 教 具 多媒体 重点1、用数轴上的点表示实数并比较大 小 2、应用不等式性质比较大小 3、不等式解集的表示 难 点 应用不等式性质比较大小 课后 分析 说 明 审阅签名:年月日 教学环节教师活动学生活动设计意图及资源准备 组织教学10分钟1、师生互相问候 2、检查学生出勤 1、师生互相问 候 2、向教师报告 出勤情况 设计意图: 营造课堂气氛 资料准备: 多媒体课件 新课导入10分钟日常生活中,我们在考察事物的时候经常要进行大 小、轻重、长短的比较。在数学中常应用不等式 知识来研究这类问题。不等式是进一步学习数学 和其他科学的基础,在本章中,我们将学习不等式 的性质及其解法。 对问题进行思考 以及回答 设计意图: 导入本节课内容。 资料准备: 多媒体课件 讲授新课60分钟一、实数的大小 我们知道,实数与数轴上的点之间可以建立一一对 应关系 例如,点A与数2对应,点B与-3对应等,可以 看到,当数轴上一点P从左向右移动时,它对应的 实数就从小到大变化 数轴上的任意两点中,右边的点对应的实数比左边 的点对应 的实数大 例如,点A位于点B的右边,则点A对应的实数2 比点B 对应的实数-3大,即2>-3 在数轴上,如果点A在点B的右边,点A对应的实 数为a 点B对应的实数为b,则有a>b或b0?a>b a-b=0?a=b a-b<0?ab,那么a+m>b+m 如果ab且m>0,那么am>bm 如果a0,那么am 一元二次不等式的解法(一) 学习目标: 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型; 2.掌握求解一元二次不等式的基本方法,并能解决一些实际问题。 3.培养数形结合的能力,培养分类讨论的思想方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能力 知识点一:一元二次不等式的定义 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的不等式,称为一元二次不等式。比如: . 任意的一元二次不等式,总可以化为一般形式:)0(02>>++a c bx ax 或 )0(02><++a c bx ax . 知识点二:一般的一元二次不等式的解法 ( (1)先看二次项系数是否为正,若为负,则将二次项系数化为正数; (2)写出相应的方程)0(02 >=++a c bx ax ,计算判别式?; ①0>?时,求出两根21x x 、,且21x x <(注意灵活运用因式分解和配方法); ②0=?时,求根a b x x 221-==; ③0--x x ; (3)0652 >--x x (4)0442 >+-x x ; (5)0542 >-+-x x ; (6)23262x x x -++<- 举一反三: 【变式1】解下列不等式 (1)02322 >--x x ; (2)02232 >+--x x (3)01442 ≤+-x x ; (4)0322 >-+-x x . (5)()()() 221332x x x +->+ 【变式2】解不等式:(1)6662<--≤-x x (2)18342 <-≤x x 类型二:已知一元二次不等式的解集求待定系数 例2 不等式02 <-+n mx x 的解集为)5,4(∈x ,求关于x 的不等式012 >-+mx nx 的解集 举一反三: 【变式1】不等式0122 >++bx ax 的解集为{} 23<<-x x ,则a =_______, b =________ 【变式2】已知关于x 的不等式02<++b ax x 的解集为)2,1(,求关于x 的不等式0 12 >++ax bx 的解集. 类型三:二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题 例3 已知关于x 的不等式03)1(4)54(2 2 >+---+x m x m m 对一切实数x 恒成立,求实数m 的取值范围。 举一反三: 【变式1】 若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解集为空集,求m 的取值范围. 【变式2】若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解为一切实数,求m 的取值范围. 【变式3】若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解集为非空集,求m 的取值范围. 班级:课时:2授课时间:年月日 课题:§2.2.1不等式的解集与区间 目的要求: 掌握区间的概念,会用区间表示相关的集合,通过数形结合的方法,培养 学生的观察能力和数学思维能力. 重点难点: 教学重点是掌握区间的概念,掌握写区间的方法与技巧. 教学难点是理解无穷区间的概念,会对区间端点的进行取舍. 教学方法及教具: 采用讲授法、讨论法与观察法相结合完成教学,多媒体设备与作图工具辅 助教学. 教学反思: 作业或思考题: (1)读书部分:复习教材中§2.2.1; (2)书面作业:修改课堂练习并完成学习手册第 49 50 页中强化练习 1—3. 教学过程 *揭示新知识 数学和诗歌一样,有着独特的简洁美.我们在初中 学过不等式、在第一章学习了集合描述法,有没有更简 洁的表示范围的方法呢? 这就是我们将要研究学习的 2.2.1 不等式的解集与区间. *创设情景新知识导入 提出问题 某段高速公路规定汽车的行驶速度有限制,最低速度为 60km/ h ,最高速度为 120km / h ,如何表示汽车的行驶速度的范围? 解决问题 不等式: 60 v 120; 集合:v 60 v 120 ; 数轴:位于60与120 之间的一段包括端点的线段. 归纳小结教师学生设计 时间活动活动意图 05 介绍倾听点明教分钟说明了解学内容 05 播放观看通过实分钟课件课件例引导 质疑思考学生探 索新知 识,并 启发学 生体会 引导自我区间的 分析建构表示. 除了用集合描述法表示行驶速度范围,如何用更简 洁的形式表示? * 观察思考探索新知25 不等式的概念归纳探究通过不分钟 等式解 在含有未知数的不等式中,能使不等式成立的未知集概念 数值的全体所构成的集合,叫做不等式的解集.和及其表示方 不等式解集的表示方法法的讲 ( 1)性质描述法讲解理解解,引 导学生 例如:不等式 2 5x 0 的解集可表示为 理解区x 间的概 2 5x 0 .念,为 x x 后续学 ( 2)区间表示法 习做准强调记忆备. ①有限区间 设 a, b R,且a b . 初二下册第二章一元一次不等式及不等式组 一元一次不等式的解法(基础)知识讲解 【学习目标】 1.理解并掌握一元一次不等式的概念及性质; 2.能够熟练解一元一次不等式; 3.掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集. 【要点梳理】 要点一、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数,未知数的次数是一次的不等式,叫做一元一次不等式,例如, 2 x50 是一个一元一次不等式. 3 要点诠释: (1)一元一次不等式满足的条件:①左右两边都是整式( 单项式或多项式 ) ; ②只含有一个未知数; ③未知数的最高次数为 1. (2)一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系: 相同点:二者都是只含有一个未知数,未知数的次数都是1,“左边”和“右边”都是整式. 不同点:一元一次不等式表示不等关系,由不等号“<” 、“≤”、“≥”或“>”连接,不等 号有方向;一元一次方程表示相等关系,由等号“=”连接,等号没有方向.要点二、一元一次不 等式的解法 1.解不等式:求不等式解的过程叫做解不等式. 2.一元一次不等式的解法: 与一元一次方程的解法类似,其根据是不等式的基本性质,将不等式逐步化为:x a (或 x a )的形式,解一元一次不等式的一般步骤为:(1) 去分母; (2) 去括号; (3) 移项; (4) 化为ax b(或ax b)的形式(其中a 0); (5) 两边同除以未知数的系数,得到不等式的 解集 . 要点诠释: (1)在解一元一次不等式时,每个步骤并不一定都要用到,可根据具体问题灵活运用. (2)解不等式应注意: ①去分母时,每一项都要乘同一个数,尤其不要漏乘常数项; ②移项时不要忘记变号; ③去括号时,若括号前面是负号,括号里的每一项都要变号; ④在不等式两边都乘以( 或除以 ) 同一个负数时,不等号的方向要改变. 要点三、不等式的解及解集 1.不等式的解: 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解. 2.不等式的解集: 对于一个含有未知数的不等式,它的所有解组成这个不等式的解集. 要点诠释: 不等式的解是具体的未知数的值,不是一个范围 不等式的解集是一个集合,是一个范围.其含义: 一元二次不等式及其解法 【设计思想】 新的课程标准指出:数学课程应面向全体学生;促进学生获得数学素养的培养和提高;逐步形成数学观念和数学意识;倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念,通过对已学知识的回忆,引导学生主动探究。强调学习的主体性,使学生实现知识的重构,培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心,以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程,符合学生的认知规律,使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程,从而培养学生的创新意识。 【教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法,本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式,并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时,本节课属于第一课时,课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学,除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外,更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系,体会数形结合,分类讨论,等价转换等数学思想。 【学情分析】 学生在初中就开始接触不等式,并会解一元一次不等式。 【教学目标】 知识与技能:通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法; 过程与方法:自主探究与讨论交流过程中,培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力; 情感态度价值观:培养学生的合作意识和创新精神。 【教学重点】一元二次不等式的解法。 【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 【教学策略】 探究式教学方法 (创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价) 【课前准备】 教具:“几何画板”及PPT课件. 粉笔:用于板书示范. 一元二次不等式解法一、知识梳理 1.“三个二次”的关系 2.常用结论 (x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解法 口诀:大于取两边,小于取中间. 二、例题讲解 题型一 一元二次不等式的求解 命题点1 不含参的不等式 例1 求不等式-2x 2+x +3<0的解集. 解 化-2x 2+x +3<0为2x 2-x -3>0, 解方程2x 2-x -3=0得x 1=-1,x 2=3 2 , ∴不等式2x 2-x -3>0的解集为(-∞,-1)∪(3 2,+∞), 即原不等式的解集为(-∞,-1)∪(3 2,+∞). 命题点2 含参不等式 例2 解关于x 的不等式:x 2-(a +1)x +a <0. 解 由x 2-(a +1)x +a =0得(x -a )(x -1)=0, ∴x 1=a ,x 2=1, ①当a >1时,x 2-(a +1)x +a <0的解集为{x |1不等式的解集与区间
如何解一元二次不等式
{高中试卷}高三数学一轮复习:不等式性质及解法练习题3[仅供参考]
专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法(精练)(原卷版)
1.1不等式的性质与解集
一元二次不等式的解法
2.2.1不等式的解集与区间.doc
一元一次不等式的解法(教师版).doc
一元二次不等式及其解法教学设计
一元二次不等式解法