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常微分选择题及解答

选择题（每小题4分）

1、下列方程中为常微分方程的是（）

(A) 2-210x x += (B) 2

y xy '=

(C)

2222u u u

t x y

???=+??? (D) 2 y x c =+(c 为常数） 2、下列微分方程是线性的是（）

(A)2

y x y =+ (B)2

y y e ''+= (C)2

0 y x ''+= (D)2

-y y xy '= 3、方程2-2 32x

y y y x e

'''++=特解的形状为( )

(A)2

-2

1 x y ax ey

= (B) 2-2 1 () x y ax bx c e =++

1 ()x y x ax bx c e

=++ (D) 2

-21 ()x

y x ax bx c e

=++

4、下列函数组在定义域内线性无关的是（）

(A) 4, x (B) 2

,2, x x x (C)2

2 5,cos ,sin x x (D) 2

1,2,,x x 5、微分方程2-y

xdy ydx y e dy =的通解是( )

(A)(-) y

x y c e = (B)()y

x y e c =+ (C)()x

y x e c =+ (D) (-)y

y x c e =

6、下列方程中为常微分方程的是（）

(A)2

0 t dt xdx += (B)sin 1x =

x y

??+=?? 7、下列微分方程是线性的是（）

(A)2

1y y '=+ (B)

11dy dx xy

=+ (C)2( ) y by cx '+= (D) 4

0y xy '+= 8、方程 -22(cos 2sin )x

y y y e x x x '''+=+特解的形状为( )

(A) 1[()cos sin ]x

y e Ax B x C x =++ (B) y e Ax x C x x

1=+[cos sin ] (C)y e Ax B x Cx D x x

1=+++[()cos ()sin ] (D)y xe Ax B x Cx D x x

1=+++[()cos ()sin ] 9、下列函数组在定义域内线性无关的是（ A ）

(A)3

1, , x x (B)2

2,,x x x

1,sin ,cos2x x (D)2

5,sin (1),cos (1)x x ++ 10、微分方程2-x

ydx xdy y e dx =的通解是( )

(A)() x

y x e c =+ (B)( ) x

x y e c =+ (C)(-) x

x y c e = (D)(-)x

y x e c = 11、下列方程中为常微分方程的是（）

(A)2

-10 x y += (B) 2

x y y

'= (C) 222222u u u x y

???=+??? (D) 2

x y c +=(c 为常数）

12、下列微分方程是线性的是（） (A) dy dx y x

= (B)2

()y '+6y '=1 (C)

y '=y 3+sin x (D)y '+y =y 2cos x

13、方程y ''+y =2sin x 特解的形状为( )

(A) )sin cos (1x B x A x y += (B) y Ax x 1=sin (C)y Bx x 1=cos (D)y Ax x x 12=+(cos sin ) 14、下列函数组在定义域内线性无关的是（）

(A) 0,1, t (B) e t ，2e t ,e -t (C)e t e t t t --3322sin ,cos (D) t t t t ,||,242+

15、微分方程ydx-xdy=x 2e x dx 的通解是( )

(A) y=x(c+e x ) (B) x=y(c+e x ) (C) x=y(c-e x ) (D) y=x(c-e x ) 16、下列方程中为常微分方程的是（）

(A) x 2+y 2-z 2=0 (B) x

y ce '=

=22 (D) y=c 1cost+c 2sint (c 1,c 2为常数）

17、下列微分方程是线性的是（）

(A) )(t x ' -x=f(t) (B)3

()y '+y=cos x (C) x +2

()y '=y '' (D)

y '+(1/3)y =y 4

18、方程y ''-2y '+3y =e -x cos x 特解的形状为( )

(A)y AxB x 1=+c o s s i n (B) y A e x 1=- (C)y eA x B x x

1=+-(c o s s i n ) (D)y A x e x x

-c o s 19、下列函数组在定义域内线性无关的是（）

(A)

23,,t t t e e e (B) 20,, t t

++t t ， (D) 4-t,2t-3,6t+8

20、微分方程xdy-ydx=y 2e y dy 的通解是( )

(A) x=y(e y + c) (B) x=y(c-e y ) (C) y=x(e x +c) (D) y=x(c-e y ) 21、下列方程中为常微分方程的是（）

(A) x 3

+1=0 (B) y ce x

= (C)????u t u x

=22 (D) ''+

=y y e x

2' 22、下列微分方程是线性的是（）

(A)y ''+y 2=1+x (B)y '2

+y=cosx (C)

y '-2y=2x 2 (D) xdx+ydy=0

23、方程''

-+=-y y y e x

69163'特解的形状为( ) (A) 31x

y Ae = (B)y A xe x

123=

333=+(s i n c o s) 24、下列函数组在定义域内线性无关的是（）

(A)2,,x

e xe x e (B) 2

2,cos , sin x x (C) 2

1,2,x (D) 542

0,,x

e x e x 25、微分方程ydx-xdy=2x 2e x dx 的通解是( )

(A) y=x(c-2e x ) (B) x=y(c+2e x ) (C) x=y(c-2e x ) (D) y=x(c+2e x ) 26、微分方程

d y d x y x t g y

=+的通解为（） (A) 1sin y x

cx = (B) sin y x =x +c (C) sin y x =c x (D) sin x

y =c x

27、微分方程2y y ''=(y ')2的通解（）

(A) (x-c )2 (B) c 1(x -1)2+c 2(x +1)2 (C) c 1+(x -c 2)2 (D) c 1(x -c 2)2 28、微分方程xdy-ydx=y 2e y dy 的通解为（）

(A) y=x(e x +c) (B) x=y(e y +c) (C) y =x(c-e x ) (D) x=y(c-e y ) 29、微分方程y ''-2y '-3y =0的通解y 为（）

(A)

c x c x 123+ (B) c x c x

123+ (C) c e ce x x 123+- (D) c e ce x x

123-+ 30、微分方程y ''-3y '+2y =2x -2e x 的特解y *的形式是（）

(A) (ax+b)e x (B) (ax+b)xe x (C) (ax+b)+ce x (D) (ax+b)+cxe x 31、通过坐标原点且与微分方程

x =+1的一切积分曲线均正交的曲线方程是( ) (A) e x y -=+1 (B) e x y ++=10 (C) e x y

=+1 (D) 2

22y x x =+ 32、设y(x)满足微分方程2

(cos )tan x y y x '+=且当x=π/4时y=0，则当x =0时y =( )

(A) π/4 (B) -π/4 (C) -1 (D) 1

33、已知y=y(x) 的图形上点M(0,1)处的切线斜率k=0，且y(x)满足微分方程''=+y y 12

(')，则y(x)=( ) (A) sin x (B)cos x (C) shx (D) chx

34、微分方程y ''-2

y '-3y =0的通解是y =( )

(A)3

3x x ++ (B) c x c x

123+

123-+ 35、设y x yx yx 123(),(),()是线性非齐次方程d y d x

a x d y

d x b x y f x 22

++=()()()的特解，则y c c y x c y x c y x =--++()()()()11211223

（） (A) 是所给微分方程的通解 (B) 不是所给微分方程的通解 (C) 是所给微分方程的特解

(D) 可能是所给微分方程的通解也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解 36、设 y(x)满足 sin ln y x y y '=，且y (π/2)=e ，则y (π/4)=（）

(A) e /2 (B)-1e (C) e 21

- (D) e

37、微分方程2

cos 0yn ytgx y x -+=的通解是（）

(A) arctgx c + (B)

1x ()arctgx c + (C) 1arctgx c x + (D) 1

arctgx c x

++ 38、微分方程(1+y 2)dx=(arctgy-x)dy 的通解为（）

(A) x a r c t g y c e a r c t g y

=-+-1 (B) x a r c t g y c e a r c t g y

=-++1

c a r c t g y

=-++ (D) x a r c t g y c e c

a r c t g y

=-+ 39、微分方程76sin y y y x '''-+=的通解是 y =（）

(A) e x x x

-++5747

74s i n c o s (B) c ec x c e c x x x 1234

+++-s i n c o s (C) ()()cc x e c c x e x x

1233

+++- (D) ()s i n ()c o s c c xx c c x x 1233+++ 40、设y(x)满足微分方程2

ln 0xy y x '+=且当y(1)=1,则y(e)=( )

(A) 1/e (B) 1/2 (C) 2 (D) e 41、已知()y y x =满足()()x x y y d x y x y x d y 2

220

+-++-=，且(1)1y =则y 122+?? ?

?=( )

(A) 1 (B) 1/2 (C) 22

(D)

42、微分方程2

xy y x '

''=

+满足初始条件y x ==01, 0|x y =的特解是y=( ) (A)x x 3

3++ (B) x x 3

31++ (C) x x 2

3++ (D) x x 2

++ 43、微分方程6130y y y '''++=的通解是y=( )

(A) e c x c x x -+31222(c o s s i n ) (B) ec x c x x

21233(c o s s i n )- (C) ec x c x x

31222(c o s s i n)- (D) e c x c x x

-+212

33(c o s s i n ) 44、微分方程20y

y x x

+=满足y

x ==20的特解y =（） (A) 4422x x - (B)

x x 2244- (C))2ln (ln 2-x x (D))2ln (ln 1

2-x x 45、微分方程(y 2

-6x )y ' +2y=0的通解为（）

(A) 2x-y 2+cy 3=0 (B) 2y-x 3+cx 3=0 (C) 2x-cy 2+y 3=0 (D) 2y-cx 3+x 3=0

46、微分方程''+=y y x 421

c o s 的特解的形式是y=（） (A) cos2a x (B) cos2ax x

(C)sin2cos2 a x b x + (D)sin2cos2 ax x bx x + 47、初值问题40,(0)0,(0)1y y y y '''+===的解是()y x =（）（其中其通解为

1212()sin 2cos2,,y x c x c x c c =+为任意常数）

(A)1sin 23x (B)1sin 22x (C)1sin 33x （D ）1sin 32

x 48、下列方程中为常微分方程的是（）

(A)42

310x x x +-+= (B) 2y y x '''+=

(C)

2222u u u

t x y

???=+??? (D)2u v w =+ 49、下列微分方程是线性的是（）

(A)2

y xy y x '''++= (B)2

y x y '=+ (C)2

()y xy f x ''-= (D)3

y y y '''-=

50、已知(,)F x y 具有一阶连续偏导，且(,)()F x y ydx xdy +为某一函数的全微分，则（）

(A)

F F x y ??=?? (B)F F x y x y ??=?? (C)F F x y x y ??-=?? (D)F F

y x

x y

??=?? 51、设123(),(),()y x y x y x 是二阶线性非齐次微分方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的三个线性无关解，

12,c c 是任意常数，则微分方程的解为( )

(A)11223c y c y y ++ (B)1122123(1)c y c y c c y ++-- (C)1122123()c y c y c c y +-+ (D)1122123(1)c y c y c c y +---

52、若连续函数()f x 满足关系式20()ln 22x

t f x f dt ??=

+ ???

?，则()f x 为（） (A)2x e ln (B)22x e ln (C)2x e ln + (D)22x

e ln +

53、若3312,x x

y e y xe ==，则它们所满足的微分方程为（ D ）

(A)"6'90y y y ++= (B)"90y y -= (C)"90y y += (D)"6'90y y y -+=

54、设123,,y y y 是二阶线性微分方程()()()y p x y q x y r x '''++=的三个不同的特解，且12

y y y y --不是常数，

则该方程的通解为（）

(A)11223c y c y y ++ (B)1122231()()c y y c y y y -+-+

()1

()()f tx dt nf x n N =∈?，则()f x 为（）

(A)1n n

- (B)(c c 为常数） (C)sin c nx (D)s cco nx

56、设12,y y 是方程()()0y p x y q x y '''++=的两个特解，则1122y c y c y =+（12,c c 为任意常数）（）

(A)是此方程的通解 (B)是此方程的特解 (C)不一定是该方程的解 (D)是该方程的解 57、方程22

(2)(2)(22)0x x y x y x y '''---+-=的通解为（）

(A)12x

y c e c =+ (B)12x

y c e c e -=+ (C)2

12x

y c e c x =+ (D)12x

y c e c x =+ 58、微分方程1x

y y e '''-=+的一个特解形式为（）

(A)x ae b + (B)x axe bx + (C)x ae bx + (D)x

axe b + 59、方程2

()(2)0pxy y dx qxy x dy --+=是全微分的充要条件是（）

(A)4,2p q == (B)4,2p q ==- (C)4,2p q =-= (D)4,2p q =-=- 60、表达式2

[cos()][cos()3]x y ay dx by x y x dy +++++是某函数的全微分，则（）

(A)2,2a b == (B)3,2a b == (C)2,3a b == (D)3,3a b == 61、方程x

y y y y xe

-''''''+++=的特解形式为（）

(A)()x ax b e -+ (B)()x

x ax b e -+ (C)2

()x

x ax b e

-+ (D)[()cos2()sin 2]x

e ax b x cx d x +++

62、方程2x

y y y xe '''-+=的特解*y 的形式为（）

(A) x axe (B)()x

ax b e + (C)()x

x ax b e + (D)2

()x

x ax b e +

63、已知1cos y wx =与23cos y wx =是微分方程2

0y w y ''+=的解，则1122y c y c y =+是（）

(A) 方程的通解 (B)方程的解，但不为通解 (C)方程的特解 (D)不一定是方程的解 64、方程3232x

y y y x e '''-+=-的特解*

y 的形式为（）

(A) ()x

ax b e + (B)()x

ax b xe + (C)()x

ax b ce ++ (D)()x

ax b cxe ++ 65、下列函数在定义域内线性无关的是（）

(A) 4,x (B)2

,2,x x x (C)2

5,cos ,sin x x (D)2

1,2,,x x 66、微分方程2y

xdy ydx y e dy -=的通解是（）

(A)()y

x y c e =- (B)()y

x y e c =+ (C)()x

y x e c =+ (D)()y

y x c e =- 67、方程

5,3dx dy

x y x dt dt

=-+-=-的奇点为（） (A)（0,0） (B) (0,5) (C) (5,5) (D) (5,0) 68、（0,0）为系统

,23dx dy

y x y dt dt

==--的（） (A) 鞍点 (B) 结点 (C) 中心 (D) 焦点 69、方程

dx dy dz xz yz xy

==的首次积分是（） (A)2

xy z c -= (B)2

x c y

= (C)2x yz c -= (D)2xz x c -= 70、方程22222dx dy dz

x y z xy xz

==--的首次积分是（）

(A) 2

x y z c x

++= (B)222x y z c y ++= (C)y c x = (D)z

c x = 71、系统22dx

x y dt

dy x y dt

?=-+????=--??的奇点类型为（）

(A) 稳定结点 (B) 不稳定结点 (C) 稳定焦点 (D) 不稳定焦点

72、系统34

74dx

x y dt dy x y dt

?=-????=-??的奇点类型为（）

(A) 鞍点 (B) 焦点 (C) 中心 (D) 结点 73、方程x

y y xe

-''+=有形如（）特解

(A)x

y Axe -= (B)2

1()x

y Ax Bx c e

-=++

y Ax B e -=+ (D)x

Ae -

74、方程2

613(512)t x x x e t t '''++=-+特解形状为（）

(A)2

1()t

x At Bt c e =++ (B)1()t

x At B e =+ （C)1t

x Ate = (D)1t

x Ae = 75、方程22cos x

y y y e

x -'''-+=的特解形状为（）

(A)1cos x y A xe -= (B)1sin x

y A xe -= (C)1(cos sin )x y e A x B x -=+ (D)1x

y Ae -= 76、方程22cos t x x x te t '''-+=的特解形状为（）

(A)2

1()cos t

x At Bt c e t =++ (B)2

1()sin t

x At Bt c e t =++ ( C) 1(cos sin )t x e A t B t =+

(D)2

1()cos ()sin t

x At Bt c e t Dt Et F e t =+++++ 77、微分方程()()0x

x ye e dx xe

e dy ---++=的通解为（）

(A)x

ye xe c -= (B)y

ye xe c -= (C)x

ye xe

c --= (D)x y ye xe c --=

78、微分方程(sin 2sin )(cos 2cos )0x x

e y y x dx e y x dy -++=的通解为（）

(A)sin 2cos x

e y y x c += (B)s 2cos x

e co y y x c += (C)sin cos x

e y y x c += (D)s 2cos x

e co y y x c += 79、微分方程(2)0y

e dx x xy e dy -+=的通解为（）

(A)2

xe y c += (B)2y e y c x += (C)y xe xy c += (D)y y e c x

+= 80、方程2

(3)20x e y dx xydy ++=的通解为（）

(A)32x xe x y c += (B)232

(2)x x x e x y c -+= (C)2

(22)x

x x e x y c --+= (D)2

(2)x

x e x y c -+= 81、下列方程为常微分方程的是（）

(A)2

0x y z ++= (B)

22u u u x y y

???+=??? (C)sin sin y A t B t =+ (D)'x y Ae = 82、方程432422

(22)(3)0y y xy e xy y dx x y e x y x dy +++--=的积分因子为（ C ）

(A)2

1()x x μ=

(B)1

()x x

μ= (C)41()y y μ= (D)21()y y μ= 83、方程(2)0y

e x xy e dy -+=的积分因子为（ A ）

(A)21()x x μ=

(B) 1

()x x

μ=

(3)20x

e y dx xydy ++=的积分因子为（ B ）

(A) 1()x x

μ=

(B)2()x x μ= (C) 1()y y μ= (D) 2

()y y μ=

85、方程(1)0y xy dx xdy --+=的积分因子为（ B ）

(A)()x

x e μ= (B)()x

x e

μ-= (C)()y y e μ= (D)()y

y e

μ-=

86、方程2

(225)(22)0x y y dx x x dy ++++=的积分因子为（ B ）

(A) 1()x x μ=

(B)2

()1x x

μ=+ (C) 1()y y μ= (D)21()1y y μ=+ 87、方程3

2(1)0xy dx x y dy +-=的积分因子为（ D ）

(A) 1()x x μ=

(B) 21

()x x

μ= (C) 1()y y μ= (D) 21()y y μ=

88、方程(2cos )0x

e dx e ctgx y y dy ++=的积分因子为（ C ）

(A)()sin x x μ= (B)()s x co x μ= (C)()sin y y μ= (D)()s y co y μ= 89、方程2

()0ydx x y x dy -++=的积分因子为（ C ）

(A) 2

()x x μ=

(B) 21()y y μ= (C)221(,)x y x y μ=+ (D)1(,)x y x y μ=

+ 90、方程3

2()0y dx x xy dy +-=的积分因子为（ D ）

(A) 2

μ=

(B)1xy μ= (C)221x y μ= (D)21x y μ= 91、方程36330x y x dx dy y y

x ????

+++= ? ?????的积分因子为（ C ）

(A)x μ= (B)y μ= (C)xy μ= (D)2

x y μ=

92、下列方程中为常微分方程的是（）

(A) 2-210x x += (B) 2

y xy '=

(C)

2222u u u

t x y

???=+??? (D) 2 y x c =+(c 为常数） 93、下列微分方程是线性的是（）

(A)2

y x y '=+ (B)2

y y e ''+= (C)2

0 y x ''+= (D)2

-y y xy '=

选择题答案

B 2

C 3 C 4 A 5 A 6 A 7 B 8

D 9 A 10 B 10 B 12 A 13 A 14 C 15 D 16 B 17 A 18 C 19 A 20 B 21 D 22 C 23 B 24 A 25 A 26 C 27 D 28 D 29 D 30 D 31 A 32 C 33 D 34 D 35 D 36 C 37 B 38 A 39 C 40 B 41 D 42 B 43 A 44 A 45 A 46 D 47 B 48 B 49 A 50 B 51 B 52 B 53 D 54 B 55 A 56 D 57 C 58 D 59 C 60 B 61 B 62 D 63 B 64 D 65 C 66 B 67 B 68 B 69 A 70 B 71 C 72 D 73 C 74 A 75 C 76 D 77 C 78 A 79 B 80 C 81 D 82 C 83 A 84 B 85 B 86 B 87 D 88 C 89 C 90 D 91 C

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷一、填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是阶（线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为． 9.可用变换将伯努利方程化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件的唯一解. 11.方程的待定特解可取的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

常微分方程习题及答案

第十二章常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是。 ③x y y dx dy x ln ?=是。 ④x x y y x sin 2+='是。 ⑤02=-'+''y y y 是。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是阶微分方程。 7．y 1 = 所满足的微分方程是。

8．x y y 2='的通解为。 9． 0=+x dy y dx 的通解为。 10．()2511 2+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为。三、选择题 1．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程3 23y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ．上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．2 2x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 9．下列微分方程中，( )是二阶常系数齐次线性微分方程。

第3章微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。第三章微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得'()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理

条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。如果翻来覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔定理的明显特征。拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式： 122()()-()1()m x f x f x m x <<；一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样便于直接应用拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义，一般区间就是12[,]x x 。 5、洛必达法则应用注意正常求极限是不允许使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极限中。不定式极限有如下7种： 000,,0*,,0,1,0∞∞ ∞∞-∞∞∞ 每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。 6、泰勒公式求极限。如果极限是0 lim () x x f x → 那么就在0x 附近展开。如果极限是

常微分方程试题库

常微分方程试题库二、计算题（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ； 2. 解方程：x y x y e 2d d =+； 3. 解方程：； 4. 解方程： t e x dt dx 23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ； 6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx x y ； 7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ； 8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 12. 解方程： y y dx dy ln =； 13. 解方程：y x e dx dy -=； 14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ； 15. 解方程：x y dx dy cos 2=； 16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+； 17. 解方程：x xy dx dy 42=+； 18. 解方程：23=+ρθ ρ d d ； 19. 解方程：22x y xe dx dy +=； 20. 解方程：422x y y x =-'；选题说明：每份试卷选2道题为宜。

二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx 解： ,2,1,0,2 ,±±=+==k k x k y π ππ是原方程的常数解，（2分）当2 ,π ππ+ ≠≠k x k y 时，原方程可化为： 0cos sin sin cos =-dx x x dy y y ，（2分）积分得原方程的通解为： C x y =cos sin . （2分） 2. 解方程： x y x y e 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ? ? +? =-),)(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） x x x x dx x dx e Ce dx e C e dx e e C e 3 1 )() (23222+=+=?+?=---?? 分）（分）（22 3. 解方程：解：由一阶线性方程的通解公式 ??+?=-))(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） =??+?-)sec (tan tan dx xe C e xdx xdx （2分） ?+=)sec (cos 2xdx C x x x C sin cos +=. （2分） 4. 解方程： t e x dt dx 23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+? =-))(()()(dt e t f C e x dt t p dt t p （2分） =??+?-)(323dt e e C e dt t dt （2分） ?+=-)(53dt e C e t t

常微分方程证明题及答案

证明题（每题10分） 1、设函数f (t)在[,)0+∞上连续且有界，试证明方程 dx dt x f t +=()的所有解均在[,)0+∞上有界. 证明：设x=x(t)为方程的任一解，它满足某初始条件x(t 0)=x 0,t 0∈[0+∞) 由一阶线性方程的求解公式有 y x y e f s e ds x x s x x x ()()() ()=+---?000 现只证x(t)在[t 0,+∞)有界，设|f(t)|≤M ,t ∈[0+∞) 于是对t 0≤t<+∞有 ||||()y y e M x x ≤+--00|()|()f s e ds M s t x x -? ≤|x 0|+Me -t e ds s t t ? ≤|x 0|+M[10--e t t () ] ≤|x 0|+M 即证 2、设函数f (x),p(x)在[,0+∞）上连续，且b x f a x p x <>=+∞ →|)(|0)(lim 且 (a,b ,为 3、设函数f (x)在[,0+∞）上连续，且lim ()x f x b →+∞ =又a >0 4、设函数y (x)在[,)0+∞上连续且可微，且lim['()()]x y x y x →+∞ +=0试证lim ()x y x →+∞ =0 5、若y 1(x ),y 2(x )为微分方程0)()()(21=+'+''x p x y x p y 的两个解，则它们的朗斯基行列式为w y y ke p x dx (,) ()121==? -其中k 为由y 1(x ),y 2(x )确定的常数 6、求微分方程()()'x y xyy x 2 2 2 12-'-=的通解 7、解方程xdx x y dx x y dy x y + +--+=()()22 0 8、解方程()()'x y xyy x 2 2 2 12-'-= 9、解方程xdx x y dx x y dy x y + +--+=()()22 10、解方程2 3 ()()0yy y y ''''-+= 11、已知()f x 是连续函数。（1）求初值问题0 '() |0x y ay f x y =+=??=?的解()y x ，其中a 是正常数。（2）若|()|f x k ≤（k 为常数），证明当0x >时有|()|(1)ax k y x e a -≤-。 12、已知当1x >-时()f x 具有一阶连续导数，且满足()01()()01(0)1 x f x f x f t dt x f ? +-=?+??=??

(完整版)利用微分中值定理证明不等式

微分中值定理证明不等式微分中值定理主要有下面几种： 1、费马定理：设函数()f x 在点0x 的某邻域内有定义,且在点0x 可导,若点0x 为()f x 的极值点,则必有 0()0f x '=. 2、罗尔中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；（3）()()f a f b =, 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()0f ξ'=. 3、拉格朗日中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()()()f b f a f b a ξ-'=-. 4、柯西中值定理：若函数()f x ,()g x 满足如下条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续；（2）在开区间(,)a b 内可导；（3）()f x ',()g x '不同时为零；（4）()()g a g b ≠；则在开区间(),a b 内存在一点ξ,使得 ()()()()()() f f b f a g g b g a ξξ'-='-. 微分中值定理在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决. 例1、设 ⑴(),()f x f x '在[,]a b 上连续； ⑵()f x ''在(,)a b 内存在； ⑶()()0;f a f b == ⑷在(,)a b 内存在点c ,使得()0;f c > 求证在(,)a b 内存在ξ,使()0f ξ''<. 证明由题设知存在1(,)x a b ∈,使()f x 在1x x =处取得最大值,且由⑷知1()0f x >,1x x =也是极大值点,所以 1()0f x '=. 由泰勒公式：211111()()()()()(),(,)2! f f a f x f x a x a x a x ξξ'''-=-+-∈. 所以()0f ξ''<. 例2 、设0b a <≤,证明ln a b a a b a b b --≤≤.

常微分方程基本概念习题附解答

§1.2 常微分方程基本概念习题及解答 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=| )1(|ln 1+x c 3．dx dy =y x xy y 32 1++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3 1x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c

另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 211 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3

微分中值定理例题

理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理

()()1.()0,(0)0,f x f f f ?ξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）．解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０）＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζ?''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。 12n 12n 12n 11221122n 001 1 000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n n n i i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >???∈<<1++?+=++?+≤?=<=>α. '''=+-+ ∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 00 1 1 1 1 0000111() ()()()().x 2! ()()()()()(()()().) n n n i i i i i i i n n i n n i i i i i i i i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======?? ''-'-≥+-<<'≥+-===- ??? ∑∑∑∑∑∑∑注：x ()3.)tan . 2 F ,F 2 (0)0,(0)0,((cos 2 F f x f F F f ππξ ξπξξπππ πππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈Q 设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cos sin F cos sin 0222222 cos 0)tan 2 2 x x x f f f πξξξ ξξξξ ξ ξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

常微分方程证明题

常微分方程试题——证明题证明题 1. 试证：如果)(t ?是 AX dt dX =满足初始条件η?=)(0t 的解，那么 η ?)(exp )(0t t A t -=. 2. 设)(1x y ?=和)(2x y ?=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数． 3. 假设m 不是矩阵A 的特征值，试证非齐线性方程组 mt Ce AX dt dX +=，有一解形如：mt Pe t = )(?，其中P C ,是常数向量. 4. 设(,)f x y 及y f ??连续,试证方程0 ),(=-dx y x f dy 为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x 的积分因子. 5. 设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞ →x f x ，求证：方程) (d d x f y x y =+的任意解)(x y y = 均有0 )(lim =+∞ →x y x . 6. 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解. 7. n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解. 8. 设)(x y ψ=是一阶非齐次线性方程于区间I 上的任一解，)(x ?是其对应一阶齐次线性方程于区间I 上的一个非零解。则含有任意常数C 的表达式： )()(x x C y ψ?+= 是一阶非齐次线性方程于区间I 上的全部解的共同表达式。 9. 设n n ?矩阵函数)(1t A ，)(2t A 在（a , b ）上连续，试证明，若方程组 X t A dt dX )(1=与 X x A dt dX )(2=有相同的基本解组，则)(1t A ≡)(2t A 。 10. 证明：一个复值向量函数)()()(t iv t u t X +==?是（LH ）的解的充要条件，它的实部)(t u 和虚部)(t v 都是（LH ）的解。

常微分方程期末考试练习题及答案

一，常微分方程的基本概念常微分方程：含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。二.可分离变量的方程 A.变量分离方程

1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. （*）说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导）分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2，代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知

常微分方程试题

一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.

4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则（）. A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,

其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).

A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,

常微分方程试题库.

常微分方程一、填空题 1 .微分方程(立)n +业—VEX? = 0的阶数是 dx dx 答：1 2 .若M (x, V)和N (x, V)在矩形区域R内是(x, V)的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则方程M (x,y)dx + N(x, y)dy =0有只与V有关的积分因子的充要条件是血 f N -1 答：(亏一寸M)= (V) 3. ^为齐次方程. 答：形如dV =g(V)的方程 dx x 4 .如果f (x, V) ___________________________________________ M ,业=f (x, V)存在 dx 唯一的解y = %x)，定义丁区问x-x o

8. 若X i (t)(i =1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为答：X =' c i x i - X i 4 9. 若中(X)为毕卡逼近序列虬(X)}的极限，则有|%x)M n(x)W 答：MLh n1 (n 1)! 10. 为黎卡提方程，若它有一个特解y(x),则经过变换 ____________________ ,可化为伯努利方程. 答：形如—=p(x)y2+q(x)y + r (x)的方程y = z + y dx 11. 一个不可延展解的存在区间一定是区间. 答：开 12. ______________________________________________________________ 方程业=后〔满足解的存在唯一性定理条件的区域是_______________________________ . dx ' 答：D ={(x,y)在R2y >0},(或不含x轴的上半平■面) 13 .方程华=x2sin y的所有常数解是. dx 答：y =k二，k =0, —1, —2, 14. 函数组明(x)*2(x)，…，气(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不包等丁零. 答：充分 15. 二阶线性齐次微分方程的两个解y〔(x), y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是. 答：线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等丁零) 16. 方程广-2y'+y=0的基本解组是答：e x, xe X 17. 若y =%x)在(s,十8)上连续，则方程d^=

(完整版)常微分方程习题及解答

常微分方程习题及解答一、问答题： 1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义? 答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。常微分方程，自变量的个数只有一个。偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。 2．举例阐述常数变易法的基本思想。答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。例：求 ()()dy P x y Q x dx =+的通解。首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dx y c ?=l ，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dx y c x ? =l ，微分之，得到 ()()()()()P x dx P x dx dy dc x c x P x dx dx ?? =+l l ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()() P x dx P x dx P x dx dc x c x P x dx c x P x Q x ??+?=+l l l 即 ()() ()P x dx dc x Q x dx -? =l 积分后得到()()()P x dx c x Q x dx c -?=+? %l 进而得到方程的通解 ()()(()) P x dx P x dx y Q x dx c -? ?=+?%l l 3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题 ()(1) 11(1) 01020()...()()()(),(),....()n n n n n n x a t x a t x a t x f t x t x t x t ηηη---'?++++=??'===?? 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a t b ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈， 12,,...,n ηηη是已知常数。它可以化为线性微分方程组的初值问题

微分中值定理的证明题(题目)

微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明： (1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 6. 若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

9. 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导(0),a b ≤<()(),f a f b ≠ 证明: ,(,)a b ξη?∈使得 ()().2a b f f ξηη +''= (1) 10. 已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，b a <<0，证明存在),(,b a ∈ηξ，使)()()(3/22/2ηξηf b ab a f ++= 略） 11. 设)(x f 在a x ≥时连续，0)(时，0)(/>>k x f ，则在))(,(k a f a a -内0)(=x f 有唯一的实根根 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin 0()0 0t t f t t t ?≠?=??=?在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得： 21s i n 0()(0)111s i n ()2s i n c o s 00x f x f x x f x x x ξξξξ --'====--- (0)x ξ<< 即：1 1 1cos 2sin sin x x ξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由01l i m 2s i n 0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x +→= 得：0lim x +→1cos 0ξ=，即01lim cos 0ξξ+→= 出 13. 证明：02x π?<<成立2cos x x tgx x <<。