高等数学(二)教学大纲

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《高等数学(二)》课程教学大纲
课程编号：1111(2)10022
课程名称：高等数学(二)
课程类型：公共基础课
总 学 时：160
学 分：5
适用对象：本课程适合下列专业的一年级本科学生：1.工学门类的食品科学与工程、纺织科学与工程、轻工技术与工程等一级学科中所有的专业。2.工学门类的材料科学与工程、化学工程与技术、环境科学与工程等一级学科中对数学要求较低的专业。
先修课程：初等数学
一、课程性质、目的和任务
高等数学(二)是全校性公共数学基础课，是高等学校各相关专业学生一门必修的重要的基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高素质专门人才服务的。通过本课程的学习，要使学生获得极限、一元函数微积分学、常微分方程、向量代数和空间解析几何、多元函数微分学、无穷级数等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题能力，为学习后续课程和进一步获得数学知识奠定必要数学基础。
　二、教学基本要求
课堂教学：
课堂教学环节主要分理论授课和习题课两种形式，具体学时安排请参考学时分配表；课堂教学过程也可配合使用多媒体教学手段；注意从历史和应用建模等角度充分调动学生的主观能动性，加强师生互动，保证教学效果。
作业：
每周收取一次，任课教师应及时批改并将学生作业中出现的普遍性问题在课堂教学过程中予以讲解，学生完成作业的情况应由教师保留完整记录。
　三、教学内容及要求
第一章 函数、极限、连续
1．理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3．理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4．掌握基本初等函数的性质及其图形。
5．会建立简单应用问题中的函数关系式。
6．理解极限概念，理解函数左、右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
7．掌握极限的性质及四则运算法则。
8．掌握极限存在两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
9．理解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。
10．理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。
11．了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定

理和介值定理)，并会应用这些性质。
第二章 一元函数微分学
1．理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。
2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，了解微分在近似计算中的应用。
3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。
4．会求分段函数的一阶、二阶导数。
5．会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
6．理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西定理。
7．了解并会用泰勒中值定理。
8．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
9．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，能求水平、铅直和斜渐近线，能描绘函数的图形。
10．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
11．了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径，会求两曲线的交角。
12．了解求方程近似解的二分法和切线法。
第三章 一元函数积分学
1．理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念，理解定积分中值定理。
2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及换元积分法与分部积分法。
3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。
4．理解变上限定积分是其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿-莱布尼茨公式。
5．了解广义积分的概念并会计算广义积分。
6．了解定积分的近似计算法。
7．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等)。

第四章 向量代数和空间解析几何
1．理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。
2．掌握向量运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，了解两个向量垂直、平行条件。
3．掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法。
4．掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。
5．理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，

会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
6．了解空间曲线的参数方程和一般方程。
7．了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。
第五章 多元函数微分学
1．理解多元函数的概念。
2．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭域上连续函数的性质。
3．理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，以及全微分在近似计算中的应用。
4．掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。
5．会求隐函数的偏导数。
6．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。
第六章 多元函数积分学
1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。掌握二重积分(直角坐标、极坐标)的计算方法，会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。
2．会用重积分，求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等)。
第七章 无穷级数
1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
2．掌握几何级数与p级数的收敛性。
3．会用正项级数的比较审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。
4．会用交错级数的莱布尼茨定理。
5．了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。
6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
7．掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。
9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
10．掌握,,,和的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
11．了解幂级数在近似计算上的简单应用。
第八章 常微分方程
1．了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。
2．掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。
3．会解齐次方程、伯努利方程，知道全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。
4．会用降阶法解下列方程：,,。
5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
6．掌握二

阶常系数齐次线性微分方程解法，会解某些高于二阶常系数齐次线性微分方程。
7．会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
8．会用微分方程(或方程组)解决一些简单的应用问题。
注：第八章常微分方程的内容也可以放在第四章向量代数和空间解析几何之前讲授。
四、课外习题及课程讨论
每次理论授课之前适当安排预习，授课之后布置适当的自由练习题(从课本每节之后的习题中筛选)，必须布置作业(以课后习题为主)要求学生完成并及时批改。
学生的自学的主要内容：一、预习和复习课堂授课内容的理论知识；二、课后练习题；三、课后作业题(其中课后练习题和作业题可以较好的巩固和加深对课堂讲授理论知识的理解并熟练应用于实际问题)。
五、教学方法与手段
1．采用课堂上传统的黑板教学与课后网上教学优势互补的教学模式。充分利用网络资源，开发网络课件，给学生提供有效的在线学习资源，弥补学生在课堂学习中的不足，也可方便学生自主学习，促进以学生为中心的主动教学方式的形成，提高教学质量，使高等数学网上教学在学生学习高等数学起到积极的促进作用。
2．在课堂上，试点多媒体教学。选定若干个适于使用多媒体教学的章节(如空间解析几何、向量代数、无穷级数、多元积分学中的图形等)，使用多媒体教学，充分发挥多媒体的长处。
3．教学内容上，在所学教材的基础上，适当地做些"减法"和"加法"。"减"即为调整、精简一些传统的教学内容；"加"即增加数学应用的实例，通过这些实例，使学生认识到数学如何有用，进而深入了解数学应用的方法和技巧。对实例的教学，采用讨论形式，强调学生的直接参与，发挥学生的主动性和创造性，加强学生数学知识的应用意识，培养学生的数学思维能力，立足课堂、拓展课堂、超越课堂，最终使学生学会应用数学知识解决实际问题的能力。
4．为提高教学水平，我们深入开展了教学研究工作，确立了"少教多学、精讲多练"的教学策略；在课堂上积极倡导"质疑问难"的教学方式；课后进行定时、定点、答疑辅导。
5．改革考试内容、强化命题。我们命题的宗旨是"强调基础、保证质量、控制两头"。每道试题都要精心选择，分数的高低确实能体现学生知识掌握、运用的好坏。
六、各教学环节学时分配

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　章 节 学时分配 讲课 习题课 其它 合计 第一章 函数、极限

、连续 13 3 16 第二章 一元函数微分学 25 7 32 第三章 一元函数积分学 35 9 44 第四章 向量代数和空间解析几何 13 3 16 第五章 多元函数微分学 13 3 16 第六章 多元函数积分学 8 2 10 第七章 无穷级数 10 2 12 第八章 常微分方程 11 3 14 合 计 128 32 160 七、考核方式
闭卷考试。
学生考试成绩应以期末考试为主并适当参考平时作业完成情况综合给出，一般情况下平时出勤、作业、课堂回答问题等占分数比例为0~30%。期末考试一律采取统一命题、统一考试、集体流水阅卷方式进行。
八、推荐教材和教学参考书
教材：高等数学(第六版)，同济大学应用数学系主编，高等教育出版社，2007。
参考书：
1．高等数学典型应用实例与模型，王宪杰等，科学出版社，2005。
2．大学数学(第二版)微积分，萧树铁等，高等教育出版社，2003。
3．大学数学教程-微积分，刘建亚，高等教育出版社，2003。
4．高等数学，张荫南、童裕孙等，高等教育出版社，2000。
5．工科数学分析基础，孙振绮等，机械工业出版社，2003。
6．高等数学：多元微积分及其教学软件，上海交通大学等. 北京：科学出版社，1999。
7．工科数学分析基础，王绵森、马知恩，高等教育出版社，1999。
8．高等数学， 侯云畅，，高等教育出版社，1999。
9．高等数学，陈庆华，，高等教育出版社，1999。











大纲制定人：孙华娟
大纲审定人：王宪杰
制定日期： 2010.12

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