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第四章曲线运动万有引力定律

第一单元曲线运动

第1课时运动的合成与分解

要点一曲线运动

1.下列哪幅图能正确描述质点运动到P点时的速度v和加速度a的方向关系 ( )

答案 AC

要点二运动的合成与分解

2.关于互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动,下列说法正确的是 ( )

A.一定是直线运动

B.一定是抛物线运动

C.可能是直线运动,也可能是抛物线运动

D.以上说法都不对

答案 C

题型1 小船渡河问题

【例1】小船在d=200 m宽的河中横渡,水流速度是2 m/s,船在静水中的航行速度为4 m/s.求:

(1)小船渡河的最短时间.

(2)要使小船航程最短,应该如何航行?

答案 (1)50 s (2)船速与上游河岸成60°

题型2 绳通过定滑轮拉物体问题

【例2】如图所示,站在岸上的人通过跨过定滑轮的不可伸长

的绳子拉动停在平静湖面上的小船,若人拉着自由端Q以水

平速度v0匀速向左前进,试分析图示位置时船水平向左的运动

速度v .

答案 θ

cos 0v

题型3 相对运动中速度合成问题

【例3】如图所示,图一辆邮车以速度u 沿平直公路匀速行驶,在离此公路距

离d 处有一个邮递员,当他和邮车的连线与公路的夹角为α时开始沿直线匀

速奔跑,已知他奔跑的最大速度为v ,试问:

(1)他应向什么方向跑才能尽快与邮车相遇?

(2)他至少以多大的速度奔跑,才能与邮车相遇?

答案 (1)与公路夹角为arcsin (αsin v

u )+α的方向 (2)u tan α 题型4 划曲为直思想

【例4】设“歼—10”质量为m ,以水平速度v 0飞离跑道后逐渐上升,若飞机在此过程中水平速度保

持不变,同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供,不含重力).求:

(1)用x 表示水平位移,y 表示竖直位移,试画出“歼—10”的运动轨迹简图,并简述作图理由.

(2)若测得当飞机在水平方向的位移为L 时,它的上升高度为h .求“歼—10”受到的升力大小.

(3)当飞机上升到h 高度时飞机的速度大小和方向.

答案 (1)“歼—10”的运动轨迹简图如下图所示.

“歼—10”战机在水平方向做匀速直线运动,在竖直方向受重力和竖直向上的恒定升力,做匀加速直

线运动,则运动轨迹为类平抛运动.

(2)水平方向L =v 0t ① 竖直方向22

1at h = ② 得2022v L

h a = ③ 由牛顿第二定律F -mg =ma ④

所以F =mg (1+

2022v gL h ) ⑤ (3)

水平方向速度v x = v 0

⑥

竖直方向速度v y =ah 2=h L h 20222v ?=L

h 02v ⑦

由于两速度垂直,合速度

v =22y x v v +=v 02241L h +=220

4h L L +v ⑧

合速度与水平方向夹角θ,tan θ=x y

v v =L

h 2 ⑨

1.图为一空间探测器的示意图,P 1、P 2、P 3、P 4是四个喷气式发动机,P 1、P 3的连线与空间一固定坐标

系的x 轴平行,P 2、P 4的连线与y 轴平行.每台发动机开动时,都能向探测器提供推力,但不会使探测

器转动.开始时,探测器以恒定的速率v 0向正x 方向平动.要使探测器改为向正x 偏负y 60°的方向

以原来的速率v 0平动,则可 ( )

A.先开动P 1适当时间,再开动P 4适当时间

B.先开动P 3适当时间,再开动P 2适当时间

C.开动P 4适当时间

D.先开动P 3适当时间,再开动P 4适当时间

答案 A

2.质量为m 的物体,在F 1、F 2、F 3三个共点力的作用下做匀速直线运动,保持F 1、F 2不变,仅将F 3的

方向改变90°(大小不变)后,物体可能做 ( )

A.加速度大小为m

F 3的匀变速直线运动 B.加速度大小为

m F 32的匀变速直线运动 C.加速度大小为

m F 32的匀变速曲线运动

D.匀速直线运动

答案 BC

3.(2009·重庆模拟)如图所示,(a)图表示某物体在x轴方向上分速度的v—t图象,(b)图表示该物体

在y轴上分速度的v—t图象.求:

(1)物体在t=0时的速度.

(2)t=8 s时物体的速度.

(3)t=4 s时物体的位移.

答案 (1)3 m/s (2)5 m/s (3)10

4 m

4.在光滑水平面上放一滑块,其质量m=1 kg,从t=0时刻开始,滑块受到水平力F的作用,F的大小保

持0.1 N不变.此力先向东作用1 s,然后改为向北作用1 s,接着又改为向西作用1 s,最后改为向南作用1 s.以出发点为原点,向东为x轴正方向,向北为y轴正方向,建立直角坐标系.求滑块运动

4 s后的位置及速度,并在图中画出其运动轨迹.

答案(0.20 m,0.20 m) 0 运动轨迹图如下图所示

第2课时平抛运动

要点一平抛运动

1.在平坦的垒球运动场上,击球手挥动球棒将垒球水平击出,垒球飞行一段时间后落地.若不计空气

阻力,则 ( )

A.垒球落地时瞬时速度的大小仅由初速度决定

B.垒球落地时瞬时速度的方向仅由击球点离地面的高度决定

C.垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定

D.垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定

答案 D

要点二类平抛运动

2.如图所示,光滑斜面长为a ,宽为b ,倾角为θ,一物块A 沿斜面左上方顶

点P 水平射入,恰好从右下方顶点Q 离开斜面,求入射初速度.

答案 b

g a 2sin θ?

题型1 平抛运动规律的应用

【例1】如图所示,从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速

度水平抛出,小球均落在斜面上.当抛出的速度为v 1时,小球到达斜面时速度

方向与斜面的夹角为1α;当抛出速度为v 2时,小球到达斜面时速度方向与斜

面的夹角为2α,则 ( )

A.当v 1>v 2时, 1α>2α

B.当v 1>v 2时, 1α<2α

C.无论v 1、v 2关系如何,均有1α=2α

D. 1α、2α的关系与斜面倾角θ有关

答案 C

题型2 平抛运动中的临界问题

【例2】如图所示,排球场总长为18 m,球网高度为2 m,运动员站在离网3 m

的线上(图中虚线所示)正对网向上跳起将球水平击出(球在飞行过程中所

受空气阻力不计,g 取10 m/s 2

).设击球点在3 m 线的正上方高度为2.5 m 处,

试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界?

答案 s m/103≤v ≤m/s 212 题型3 情景模型

【例3】在发生的交通事故中,碰撞占了相当大的比例,事故发生时,车体上的部分物体(例如油漆碎

片、车灯、玻璃等)会因碰撞而脱离车体,位于车辆上不同高度的两个物体散落在地面上的位置是

不同的,如图所示,据此可以测定碰撞瞬间汽车的速度,这对于事故责任的认定具有重要作用,《中

国汽车驾驶员》杂志第163期发表的一篇文章中给出了一个计算碰撞瞬间车辆速度的公式,

v =9.4×2

1h h L -?,在式中L ?是事故现场散落在路面上的两物体沿公路方向上的水平距离,h 1、

h 2是散落物在车上时的离地高度.只要用米尺测量出事故现场的L ?、h 1、h 2三个量,根据上述公式

就能计算出碰撞瞬间车辆的速度.(g 取9.8 m/s 2

)你认为上述公式正确吗?若正确,请说明正确的理

由;若不正确,请说明不正确的原因.

答案据平抛运动的知识

散落物A 的落地时间t 1= g

h 12 ① 散

落物B 的落地时间t 2=g h 22 ②

散落物A 的水平位移s 1=v t 1=g

h 12v ③ 散落物B 的水平位移s 2=v t 2=g h 22v

④ 据以上各式可得v =9.4×2

1h h L -?

⑤

故上述公式正确. ⑥

1.如图所示,以9.8 m/s 的水平初速度v 0抛出的物体,飞行一段时间后,垂直地撞

在倾角θ为30°的斜面上,可知物体完成这段飞行的时间是(g =9.8 m/s 2

) ( ) A.33 s B.3

32 s C 3 s D.2 s 答案 C

2.如图所示,a 、b 两个小球从不同高度同时沿相反方向水平抛出,其平抛运动轨迹的

交点为P ,则以下说法正确的是 ( )

A.a、b两球同时落地

B.b球先落地

C.a、b两球在P点相遇

D.无论两球初速度大小多大,两球总不能相遇

答案 BD

3.如图所示,A、B两球之间用长6 m的柔软细线相连,将两球相隔0.8 s先后

从同一高度同一点均以4.5 m/s的初速度水平抛出,求:

(1)A球抛出后多长时间,A、B两球间的连线可拉直.

(2)这段时间内A球离抛出点的水平位移多大?(g取10 m/s2)

答案 (1)1 s (2)4.5 m

4.（2009·衡阳质检）国家飞碟射击队在进行模拟训练时用如图所示装置进行.被训练的运动员在

高H=20 m的塔顶,在地面上距塔水平距离为s处有一个电子抛靶装置,圆形靶可被以速度v2竖直向上抛出.当靶被抛出的同时,运动员立即用特制手枪沿水平方向射击,子弹速度v1=100 m/s.

不计人的反应时间、抛靶装置的高度及子弹在枪膛中的运动时间,且忽略空气阻力及靶的大小(g取10 m/s2).

(1)当s取值在什么范围内,无论v2为何值都不能被击中?

(2)若s=100 m, v2=20 m/s,试通过计算说明靶能否被击中?

答案 (1)s>200 m (2)恰好击中

1.如图所示,汽车在一段弯曲水平路面上匀速率行驶,关于它受到的水平方

向的作用力方向的示意图(如下图),可能正确的是(图中F为地面对它的

静摩擦力,F1为它行驶时所受阻力) ( )

答案 C

2.如图所示,一玻璃筒中注满清水,水中放一软木做成的小圆柱体R(圆柱体的直径略

小于玻璃管的直径,轻重大小适宜,使它在水中能匀速上浮).将玻璃管的开口端用

胶塞塞紧(图甲).现将玻璃筒倒置(图乙),在软木塞上升的同时,将玻璃管水平向右加速移动,观察

木塞的运动.将会看到它斜向右上方运动.经过一段时间,玻璃管移至图丙中虚线所示位置,软木塞

恰好运动到玻璃管的顶端.在下面四个图中,能正确反映软木塞运动轨迹的是 ( )

答案 C

3.如图所示,一条小船位于200 m 宽的河正中A 点处,从这里向下游1003 m 处有一危险区,当时水

流速度为4 m/s,为了使小船避开危险区沿直线到达对岸,小船在静水中的速度至少是 ( )

A.334 m/s

B.3

38 m/s C.2 m/s D.4 m/s

答案 C

4.(2009·贵阳模拟)如图所示,两小球a 、b 从直角三角形斜面的顶端以相同大小的水平速率v 0向左、

向右水平抛出,分别落在两个斜面上,三角形的两底角分别为30°和60°,则两小球a 、b 运动时间

之比为 ( )

A.1∶3

B.1∶3

C.3∶1

D.3∶1

答案 B

5.如图所示,从一根内壁光滑的空心竖直钢管A 的上端边缘,沿直径方向向管内水

平抛入一钢球.球与管壁多次相碰后落地(球与管壁相碰时间不计),若换一根等

高但较粗的内壁光滑的钢管B ,用同样的方法抛入此钢球,则运动时间 ( )

A.在A 管中的球运动时间长

B.在B 管中的球运动时间长

C.在两管中的球运动时间一样长

D.无法确定

答案 C

6.执行救灾任务的飞机,逆风做水平匀速直线飞行,相隔0.5 s 先后释放形状和质量完全相同的两

箱救灾物资1号箱和2号箱.假设风力保持不变,这两箱物资在空中下落时,地上的人沿着飞机飞行

的方向看 ( )

A.1号箱在2号箱的正下方

B.两箱间的水平距离保持不变

C.两箱间的水平距离越来越大

D.两箱间的水平距离越来越小

答案 C

7.如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A ,小车下装有吊着物体B 的吊钩,在小车A

与物体B 以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时,吊钩将物体B 向上吊起,A 、B 之间的距

离以d =H -2t 2

(SI)(SI 表示国际单位制,式中H 为吊臂离地面的高度)规律变化,则物体做

( )

A.速度大小不变的曲线运动

B.速度大小增加的曲线运动

C.加速度大小方向均不变的曲线运动

D.加速度大小方向均变化的曲线运动

答案 BC

8.（2009·海淀区模拟）民族运动会上有一个骑射项目,运动员骑在奔驰的马背上,弯弓放箭射击侧

向的固定目标.假设运动员骑马奔驰的速度为v 1,运动员静止时射出的弓箭速度为v 2.直跑道离固

定目标的最近距离为d .要想在最短的时间内射中目标,则运动员放箭处离目标的距离应该为( ) A.21222

v v v -d B.22221v v v +d C.21v v d D.1

2v v d 答案 B

9.如图所示, A 、B 为两个挨得很近的小球,并列放于光滑斜面上,斜面足够长,在

释放B 球的同时,将A 球以某一速度v 0水平抛出,当A 球落于斜面上的P 点时,B

球的位置位于 ( )

A.P 点以下

B.P 点以上

C.P 点

D.由于v 0未知,故无法确定

答案 B

10.一阶梯如图所示,其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 cm,一小球以水平速

度v 飞出,欲打在第四台阶上，则v 的取值范围是（） A.6 m/s ＜v ＜22 m/s B.22 m/s ＜v ≤3.5 m/s C.2 m/s ＜v ＜6 m/s D.22 m/s ＜v ＜6 m/s

答案 A

11.如图甲所示,在一端封闭、长约1 m 的玻璃管内注满清水,水中放一个蜡烛做的蜡块,将玻璃管的

开口端用胶塞塞紧.然后将这个玻璃管倒置,在蜡块沿玻璃管上升的同时,将玻璃管水平向右移动.

假设从某时刻开始计时,蜡块在玻璃管内每1 s 上升的距离都是10 cm,玻璃管向右匀加速平移,

每1 s 通过的水平位移依次是2.5 cm 、7.5 cm 、12.5 cm 、17.5 cm.图乙中,y 表示蜡块竖直方向

的位移,x 表示蜡块随玻璃管通过的水平位移,t =0时蜡块位于坐标原点.

(1)请在图乙中描绘出蜡块4 s 内的轨迹.

(2)求出玻璃管向右平移的加速度a .

(3)求t =2 s 时蜡块的速度v 2.

答案 (1)略 (2)5×10-2 m/s 2 (3)0.12 m/s

12.如图所示, M 和N 是两块相互平行的光滑竖直弹性板.两板之间的距离为L ,高度为H .现从M 板

的顶端O 以垂直板面的水平速度v 0抛出一个小球.小球在飞行中与M 板和N 板分别在A 点和B

点相碰(假设碰撞时无能量损失),并最终在两板间的中点C 处落地.求:

(1)小球抛出的速度v 0与L 和H 之间满足的关系.

(2)OA 、AB 、BC 在竖直方向上的距离之比.

答案 (1) v 0=H g L 25.2 (2)4∶12∶9

13.如图所示为车站使用的水平传送带的模型,它的水平传送带的长度为L =8 m,传

送带的皮带轮的半径均为R =0.2 m,传送带的上部距地面的高度为h =0.45 m,现

有一个旅行包(视为质点)以v 0=10 m/s 的初速度水平地滑上水平传送带.已知旅行包与皮带之间的

动摩擦因数为 =0.6.g 取10 m/s 2

.试讨论下列问题: (1)若传送带静止,旅行包滑到B 端时,人若没有及时取下,旅行包将从B 端滑落.则包的落地点距B

端的水平距离为多少?

(2)设皮带轮顺时针匀速转动,并设水平传送带长度仍为8 m,旅行包滑上传送带的初速度恒为10 m/s.当皮带轮的角速度ω值在什么范围内,旅行包落地点距B端的水平距离始终为(1)中所求的水平距离?若皮带轮的角速度ω1=40 rad/s,旅行包落地点距B端的水平距离又是多少?

(3)设皮带轮以不同的角速度顺时针匀速转动,在图所示的坐标系中画出旅行包落地点距B端的水平距离s随皮带轮的角速度ω变化的图象.

答案 (1)0.6 m (2)ω≤10 rad/s 2.4 m (3)

第二单元圆周运动

第3课时圆周运动的基本概念与规律

要点一描述圆周运动的几个物理量

1.对于做匀速圆周运动的物体,下面说法正确的是 ( )

A.相等的时间里通过的路程相等

B.相等的时间里速度变化量相等

C.相等的时间里发生的位移相同

D.相等的时间里转过的角度相等

答案 AD

要点二向心力的特点及其计算

2.小球质量为m,用长为L的悬线固定在O点,在O点正下方L/2处有一光滑圆钉C(如图所示).今

把小球拉到悬线呈水平后无初速地释放,当悬线呈竖直状态且与钉相碰时 ( )

A.小球的速度突然增大

B.小球的向心加速度突然增大

C.小球的向心加速度不变

D.悬线的拉力突然增大

答案 BD

要点三离心现象及其应用

3.如图所示,一物体沿光滑球面下滑,在最高点时速度为2 m/s,球

面半径为1 m,求当物体下滑到什么位置时开始脱离球面?(g=10 m/s2)

答案当物体下滑到圆上某点时的半径与竖直半径成37°角时

题型1 传动问题中圆周运动各量的关系问题

3r.其中A、B两点分例1如图所示皮带传动装置,主动轮O1的半径为R,从动轮O2的半径为r,R=

1R,设皮带不打滑,则有ωA∶ωB= ;

别是两轮缘上的点,C点到主动轮轴心的距离R′=

ωA∶ωC= ;ωB∶ωC = ;v A∶v B= ;v A∶v C= ;v B∶v C= ;向心加速度a A∶a B= ;a A∶a C= ;a B∶a C= .

答案 2∶3 1∶1 3∶2 1∶1 2∶1 2∶1 2∶3 2∶1 3∶1

题型2 圆周运动的一般动力学问题

例2某游乐场中有一种叫“空中飞椅”的游乐设施,其基本装置是将绳子上端固

定在转盘的边缘上,绳子下端连接座椅,人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋.

若将人和座椅看成是一个质点,则可简化为如图所示的物理模型.其中P为处于

水平面内的转盘,可绕竖直转轴OO′转动,设绳长l=10 m,质点的质量m=60 kg,

转盘静止时质点与转轴之间的距离d=4 m.转盘逐渐加速转动,经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动,此时绳与竖直方向的夹角θ=37°.(不计空气阻力及绳重,绳子不可伸长,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g=10 m/s2)求质点与转盘一起做匀速圆周运动时转盘的角速度及绳子的拉力.

3rad/s 750 N

答案

题型3 运动建模

例3如图所示,质量均为m的两个小球A、B套在光滑水平直杆P上,整个直杆被固定在竖直转轴上,并保持水平,两球间用劲度系数为k,自然长度为L的轻质弹簧连接在一起,A球被轻质细绳拴在竖直转轴上,细绳长度也为L,现欲使横杆AB随竖直转轴一起在水平面内匀速转动,其角速度为ω,求当弹簧长度稳定后,细绳的拉力和弹簧的总长度各为多大?

答案 m ω2L (1+22ωm k k -) L m k m k 2

2ωω-+

1.如图所示, a 、b 是地球表面上不同纬度上的两个点,如果把地球看作是一个球

体,a 、b 两点随地球自转做匀速圆周运动,这两个点具有大小相同的

( )

A.线速度

B.角速度

C.加速度

D.轨道半径

答案 B

2.如图所示是上海锦江乐园新建的“摩天转轮”,它的直径达98 m,世界排名

第五,游人乘坐时,转轮始终不停地匀速转动,每转一周用时25 min,每个厢

轿共有6个座位.判断下列说法中正确的是（）

A.每时每刻每个人受到的合力都不等于零

B.每个乘客都在做加速度为零的匀速运动

C.乘客在乘坐过程中对座位的压力始终不变

D.乘客在乘坐过程中的机械能始终保持不变

答案 A

3.如图所示,一个水平放置的圆桶绕轴OO ′匀速转动,转动角速度

ω=2.5π rad/s,桶壁上P 处有一圆孔,桶壁很薄,桶的半径R =2 m.当圆

孔运动到桶的上方时,在圆孔的正上方h =3.2 m 处有一个小球由静止开始下落,已知圆孔的半径略

大于小球的半径.试通过计算判断小球是否和圆桶碰撞.(不考虑空气阻力,g =10 m/s 2

)

答案不会

4.飞机俯冲拉起时,飞行员处于超重状态,即飞行员对座位的压力大于他所受的重力,这种现象也叫

过荷.过荷会造成飞行员大脑缺血,四肢沉重.过荷过大时,飞行员还会暂时失明,甚至晕厥.飞行员

可以通过加强训练来提高自己的抗荷能力.如图所示是训练飞行员用的一种离心试验器.当试验器

转动时,被训练人员根据测试要求,在试验舱内可取坐、卧等不同姿势,以测试离心作用对飞行员产

生的影响.离心试验器转动时,被测验者做匀速圆周运动.现观察到图中的直线AB(即垂直于座位的

直线)与水平杆成30°角.被测验者对座位的压力是他所受重力的多少倍?向心加速度多大?

答案 2 3g

第4课时专题:圆周运动向心力公式的应用

要点一火车转弯问题的力学分析

1.质量为100 t 的火车在轨道上行驶,火车内、外轨连线与水平面的夹角为

α=37°,如图所示,弯道半径R =30 m,重力加速度取10 m/s 2.求:

(1)当火车的速度为v 1=10 m/s 时,轨道受到的侧压力多大?方向如何?

(2)当火车的速度为v 2=20 m/s 时,轨道受到的侧压力多大?方向如何?

答案 (1)6103

1? N 沿斜面向上 (2)4.7×105 N 沿斜面向下要点二竖直平面内的圆周运动

2.如图所示,轻杆长1 m,其两端各连接质量为1 kg 的小球,杆可绕距B 端0.2 m 的轴O 在竖直平面内自由转动,轻杆从静止由水平转至竖直方向,A 球在最低点时的速度为4 m/s.(g 取10 m/s 2

)求:

(1)A 球此时对杆的作用力大小及方向.

(2)B 球此时对杆的作用力大小及方向.

答案 (1)30 N,向下 (2)5 N,向下

题型1 有关摩擦力的临界问题

例1 如图所示的装置中,在水平转台上开有一光滑小孔O ,一根轻绳穿过小

孔,一端拴质量为M 的物体,另一端连接质量为m 的物体.已知O 与物体M

间的距离为r ,物体M 与转台一起做匀速圆周运动,设最大静摩擦力为f m (f m

答案 Mr f mg m -≤ω≤Mr

f m

g m + 题型2 物理最高点和几何最高点问题

例2 如图所示,在O 点系长度为L 的细线,线的另一端系质量为m 、电荷

量为+q 的带电小球,小球可绕O 点在竖直平面内转动.空间存在水平向右

的匀强电场,若电场力大小是重力的3倍.在最低点至少使小球获得多

大的速度可使物体在竖直平面内绕O 点转动?

答案 gL 8

题型3 情景建模

例3 如图所示,在同一竖直平面内的两正对着的相同半圆光滑轨道,相隔一定的距离,虚线沿竖直方

向,一小球能在其间运动,今在最高点与最低点各放一个压力传感器,测试小球对轨道的压力,并通

过计算机显示出来,当轨道距离变化时,测得两点压力差与距离x 的图象如图,g 取10 m/s 2

,不计空

气阻力,求:

(1)小球的质量为多少?

(2)若小球在最低点B 的速度为20 m/s,为使小球能沿轨道运动,x 的最大值为多少?

答案 (1)0.1 kg (2)15 m

1.在实际修筑铁路时,要根据弯道半径和规定的行驶速度,适当选择内外轨的高度差,如果火车按规

定的速率转弯,内、外轨与车轮之间没有侧压力,那么火车以小于规定的速率转弯,则 ( )

A.仅内轨对车轮有侧压力

B.仅外轨对车轮有侧压力

C.内、外轨对车轮都有侧压力

D.内、外轨对车轮均无侧压力

答案 A

2.(2009·兰州模拟)如图所示,半径为R 的圆筒绕竖直中心轴OO ′转动,小物块A 靠在圆筒的内壁

上,它与圆筒的动摩擦因数为μ,现要使A 不下落,则圆筒转动的角速度ω至少为 ( )

A. R g μ

B. g μ

C. R g

D.R

g μ 答案 D

3.如图所示,光滑圆管形轨道AB 部分平直,BC 部分是处于竖直平面内半径为R

的半圆,圆管截面半径r R ,有一质量为m ,半径比r 略小的光滑小球以水平初

速度v 0射入圆管.

(1)若要小球能从C 端出来,初速度v 0多大？

(2)在小球从C 端出来的瞬间,对管壁压力有哪几种典型情况,初速度v 0各应满足什么条件？

答案 (1) v 0>gR 4

(2)小球从C 端出来瞬间,对管壁压力可以有三种典型情况:

①刚好对管壁无压力,此时重力恰好充当向心力,由圆周运动知识mg =m R

c 2

v .由机械能守恒定律,2021v m =mg 2R +221c m v ,联立解得v 0=Rg 5. ②对下管壁有压力,此时应有mg >m R c 2

v ,此时相应的入射速度v 0应满足Rg 4

m c 2

v ,此时相应的入射速度v 0应满足v 0>Rg 5.

4.如图所示,在匀速转动的水平圆盘上,沿半径方向放置两个用细线相连的质量均

为m 的小物体A 、B ,它们到转轴的距离分别为r A =20 cm,r B =30 cm, A 、B 与盘

面间最大静摩擦力均为重力的0.4倍,试求:

(1)当细线上开始出现张力时,圆盘的角速度0ω.

(2)当A 开始滑动时,圆盘的角速度ω.

(3)当A 即将滑动时,烧断细线,A 、B 运动状态如何?(g 取10 m/s 2)

答案 (1)3.65 rad/s (2)4 rad/s (3)A 随圆盘做圆周运动,B 做离心运动

1.质量为60 kg 的体操运动员,做“单臂大回环”,用一只手抓住单杠,伸展身体,以单杠为

轴做圆周运动.如图所示,此过程中,运动员到达最低点时手臂受的拉力至少约为(忽略空

气阻力,g =10 m/s 2

) ( )

A.600 N

B.2 400 N

C.3 000 N

D.3 600 N

答案 C

2.如图所示为A、B两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象,其中

A为双曲线的一个分支,由图可知 ( )

A.A物体运动的线速度大小不变

B.A物体运动的角速度大小不变

C.B物体运动的线速度大小不变

D.B物体运动的角速度与半径成正比

答案 A

3.如图所示, M、N是两个共轴圆筒的横截面,外筒半径为R,内筒半径比R

小很多,可以忽略不计,筒的两端是封闭的,两筒之间抽成真空.两筒以相同

的角速度ω绕其中心轴线(图中垂直于纸面)做匀速转动.设从M筒内部可

以通过窄缝S(与M筒的轴线平行)不断地向外射出两种不同速率v1和v2的

微粒,从S处射出时的初速度的方向都是沿筒的半径方向,微粒到达N筒后就附着在N筒上.如果R、v1和v2都不变,而ω取某一合适的值,则 ( )

A.有可能使微粒落在N筒上的位置都在a处一条与S缝平行的窄条上

B.有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如b处一条与S缝平行的窄条上

C.有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处如b处和c处与S缝平行的窄条上

D.只要时间足够长,N筒上将到处都落有微粒

答案 ABC

4.如图所示,将完全相同的两小球A、B用长为L=0.8 m的细绳悬于以v=4 m/s

向右运动的小车顶部,两小球与小车前后竖直壁接触,由于某种原因,小车

突然停止,此时悬线中张力之比T B∶T A为(g=10 m/s2)

( )

A.1∶1

B.1∶2

C.1∶3

D.1∶4

答案 C

5.(2009·西宁模拟)如图所示,放置在水平地面上的支架质量为M,支架顶端用

细绳拴着的摆球质量为m,现将摆球拉至水平位置,然后释放,摆球运动过程

中,支架始终不动,以下说法中正确的是 ( )

A.在释放瞬间,支架对地面压力为(m+M)g

B.在释放瞬间,支架对地面压力为Mg

C.摆球到达最低点时,支架对地面压力为(m+M)g

D.摆球到达最低点时,支架对地面压力为(3m+M)g

答案 BD

6.在光滑的圆锥漏斗的内壁,两个质量相同的小球A和B,分别紧贴着漏斗在水平面内

做匀速圆周运动,其中小球A的位置在小球B的上方,如图所示.下列判断正确的是

( )

A.A球的速率大于B球的速率

B.A球的角速度大于B球的角速度

C.A球对漏斗壁的压力大于B球对漏斗壁的压力

D.A球的转动周期大于B球的转动周期

答案 AD

7.如图所示,一轻杆一端固定质量为m的小球,以另一端O为圆心,使小球做半径为R

的圆周运动,以下说法正确的是 ( )

A.小球过最高点时,杆所受的弹力可以等于零

B.小球过最高点时的最小速度为gR

C.小球过最高点时,杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反

D.小球过最高点时,杆对球作用力一定与小球所受重力方向相反

答案 AC

8.质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质木架上的A点和C点,如图

所示,当轻杆绕轴BC以角速度ω匀速转动时,小球在水平面内做匀速圆周

运动,绳a在竖直方向,绳b在水平方向,当小球运动到图示位置时,绳b被

烧断的同时杆子停止转动,则 ( )

A.小球仍在水平面内做匀速圆周运动

B.在绳b被烧断瞬间,a绳中张力突然增大

C.若角速度ω较小,小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动

D.若角速度ω较大,小球可能在垂直于平面ABC 的竖直平面内做圆周运动

答案 BCD

9.如图所示,两个内壁光滑、半径不同的半球形碗,放在不同高度的水平面上,

使两碗口处于同一水平面,现将质量相同的两个小球(小球半径远小于碗的半

径),分别从两个碗的边缘由静止释放,当两球分别通过碗的最低点时( )

A.两球的速度大小相等

B.两球的速度大小不相等

C.两球对碗底的压力大小相等

D.两球对碗底的压力大小不相等

答案 BC

10.(2009·成都模拟)一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动,圆盘半径为R ,甲、

乙两物体的质量分别为M 与m (M >m ),它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压

力的μ倍,两物体用一根长为l (l

转轴的位置上,甲、乙之间轻绳刚好沿半径方向拉直,要使两物体与转盘之间不发生相对滑动,则转

盘旋转的角速度最大值不得超过 ( ) A. ml g m M )(-μ B. Ml

g m M )(-μ C.Ml g m M )(+μ D. ml

g m M )(+μ 答案 D

11.如图所示,细绳长l ,吊一个质量为m 的铁球,绳受到大小为2mg 的拉力就会断

裂,绳的上端系一质量不计的环,环套在光滑水平杆上.起初环带着球一起以速

度v =gl 向右运动,在A 处环被挡住而停下的瞬间,绳子所受拉力为多少?在

以后的运动过程中,球是先碰墙还是先碰地?第一次的碰撞点离B 点的距离是多

少?(已知A 处离墙的水平距离为l ,球离地的高度h =2l )

答案 2mg 球先碰墙 l 2

12.如图所示,小球从光滑的圆弧轨道下滑至水平轨道末端时,光电装置被触

动,控制电路会使转筒立刻以某一角速度匀速连续转动起来.转筒的底面

半径为R ,已知轨道末端与转筒上部相平,与转筒的转轴距离为L ,且与

转筒侧壁上的小孔的高度差为h ;开始时转筒静止,且小孔正对着轨道方

向.现让一小球从圆弧轨道上的某处无初速滑下,若正好能钻入转筒的小

孔(小孔比小球略大,小球视为质点,不计空气阻力,重力加速度为g ),求:

(1)小球从圆弧轨道上释放时的高度H .

(2)转筒转动的角速度ω.

答案 (1)h R L 4)(2- (2) h

g n 2π(n =1,2,3…) 13.(2009·海淀区模拟)如图所示,左图是游乐场中过山车的实物图片,右图是过山车的原理图.在原

理图中半径分别为R 1=2.0 m 和R 2=8.0 m 的两个光滑圆形轨道,固定在倾角为α=37°斜轨道面上

的Q 、Z 两点,且两圆形轨道的最高点A 、B 均与P 点平齐,圆形轨道与斜轨道之间圆滑连接.现

使小车(视作质点)从P 点以一定的初速度沿斜面向下运动.已知斜轨道面与小车间的动摩擦因数

为μ=24

1,g =10 m/s 2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8.问:

(1)若小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A 处,则其在P 点的初速度应为多大?

(2)若小车在P 点的初速度为10 m/s,则小车能否安全通过两个圆形轨道?

答案 (1)62 m/s (2)能

第三单元万有引力人造卫星

第5课时万有引力与天体运动

要点一开普勒三定律

1.某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图所示,F 1、F 2是椭圆轨道的两个焦点,

太阳在焦点F 1上,A 、B 两点是F 1、F 2连线与椭圆的交点.已知A 点到F 1的距离为a ,B 点到F 1的

距离为b ,则行星在A 、B 两点处的速率之比多大?

答案

b 要点二万有引力定律

2.两个质量均为M 的星体,其连线的垂直平分线为HN ,O 为其连线的中点,如

图所示,一个质量为m 的物体从O 沿OH 方向运动,则它受到的万有引力大

万有引力定律公式总结

万有引力公式线速度角速度向心加速度向心力两个基本思路 1.万有引力提供向心力：r m r n m ma r T m r m r v m r M G ωππω======22222 2244m 2.忽略地球自转的影响： mg R GM =2 m （2 g R GM =，黄金代换式）一、测量中心天体的质量和密度测质量： 1．已知表面重力加速度g ，和地球半径R 。（mg R GM =2m ，则G gR M 2= ） 2．已知环绕天体周期T 和轨道半径r 。(r T m r Mm G 2224π= ，则2 3 24GT r M π=) 3．已知环绕天体的线速度v 和轨道半径r 。（r v m r Mm G 22=，则G r v M 2=） 4．已知环绕天体的角速度ω和轨道半径r 。（r m r Mm G 2 2ω=，则G r M 32ω=） 5．已知环绕天体的线速度v 和周期T 。（T r v π2=,r v m r M G 22m =，联立得G T M π2v 3=）测密度：已知环绕天体的质量m 、周期T 、轨道半径r 。中心天体的半径R ，求中心天体的密度ρ 解：由万有引力充当向心力

r T m r Mm G 2224π= 则2 324GT r M π= ——① 又3 3 4R V M πρρ? == ——② 联立两式得：3 23 3R GT r πρ= 当R=r 时，有2 3GT π ρ= 二、星球表面重力加速度、轨道重力加速度问题 1．在星球表面: 2 R GM mg =（g 为表面重力加速度，R 为星球半径） 2．离地面高h: 2 ) (h R GM g m += '（g '为h 高处的重力加速度）联立得g'与g 的关系： 2 2 )('h R gR g += 三、卫星绕行的向心加速度、速度、角速度、周期与半径的关系 1．ma r M G =2m ，则2 a r M G =（卫星离地心越远，向心加速度越小） 2．r v m r Mm G 2 2=，则r GM v = （卫星离地心越远，它运行的速度越小） 3．r m r Mm G 22ω=，则3r GM =ω（卫星离的心越远，它运行的角速度越小） 4．r T m r Mm G 22 24π=，则GM T 3 2r 4π= （卫星离的心越远，它运行的周期越大）

高中物理公式大全全集万有引力

五、万有引力 1、开普勒三定律： ⑴开普勒第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上 ⑵开普勒第二定律（面积定律）：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积 ⑶开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等对T 1、T 2表示两个行星的公转周期，R 1、R 2表示两行星椭圆轨道的半长轴，则周期定律可表示为32 312221R R T T = 或k T R =3 3，比值k 是与行星无关而只与太阳有关的恒量【注意】：⑴开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，只不过此时k T R =33 ‘ ，比值k ’ 是由行星的质量所决定的另一恒量。 ⑵行星的轨道都跟圆近似，因此计算时可以认为行星是做匀速圆周运动 ⑶开普勒定律是总结行星运动的观察结果而总结归纳出来的规律，它们每一条都是经验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的。例题：飞船沿半径为R 的圆周绕地球运动，其周期为T ，如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A 处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B 点相切，如图所示，如果地球半径为R 0，求飞船由A 点到B 点所需要的时间。解析：依开普勒第三定律知，飞船绕地球做圆周（半长轴和半短轴相等的特殊椭圆）运动时，其轨道半径的三次方跟周期的平方的比值，等于飞船绕地球沿椭圆轨道运动时，其半长轴的三次方跟周期平方和比值，飞船椭圆轨道的半长轴为 2 R R +，设飞船沿椭圆轨道运动的周期一、知识网络二、画龙点睛概念

万有引力定律应用的12种典型案例

3232 万有引力定律应用的12种典型案例万有引力定律不仅是高考的一个大重点，而且是自然科学的一个重大课题，也是同学们最感兴趣的科学论题之一。特别是我国“神州五号”载人飞船的发射成功，更激发了同学们研究卫星，探索宇宙的信心。下面我们就来探讨一下万有引力定律在天文学上应用的12个典型案例：【案例1】天体的质量与密度的估算下列哪一组数据能够估算出地球的质量 A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B.地球表面的重力加速度与地球的半径 C.绕地球运行卫星的周期与线速度 D.地球表面卫星的周期与地球的密度解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。月球也是地球的一颗卫星。设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，卫星的运行周期为T ，轨道半径为r 根据万有引力定律： r T 4m r Mm G 22 2π=……①得： 2 32G T r 4M π=……②可见A 正确而T r 2v π= ……由②③知C 正确对地球表面的卫星，轨道半径等于地球的半径，r=R ……④ 由于3 R 4M 3 π= ρ……⑤结合②④⑤得： G 3T 2π = ρ 可见D 错误地球表面的物体，其重力近似等于地球对物体的引力由2R Mm G mg =得：G g R M 2=可见B 正确

3333 【探讨评价】根据牛顿定律，只能求出中心天体的质量，不能解决环绕天体的质量；能够根据已知条件和已知的常量，运用物理规律估算物理量，这也是高考对学生的要求。总之，牛顿万有引力定律是解决天体运动问题的关键。【案例2】普通卫星的运动问题我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的运行轨道是不同的。“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为12 h ，“风云二号”是同步轨道卫星，其运行轨道就是赤道平面,周期为24 h 。问：哪颗卫星的向心加速度大哪颗卫星的线速度大若某天上午8点，“风云一号”正好通过赤道附近太平洋上一个小岛的上空，那么“风云一号”下次通过该岛上空的时间应该是多少解析：本题主要考察普通卫星的运动特点及其规律由开普勒第三定律T 2 ∝r 3 知：“风云二号”卫星的轨道半径较大又根据牛顿万有引力定律r v m ma r Mm G 22==得： 2r M G a =，可见“风云一号”卫星的向心加速度大， r GM v = ，可见“风云一号”卫星的线速度大， “风云一号”下次通过该岛上空，地球正好自转一周，故需要时间24h ，即第二天上午8点钟。【探讨评价】由万有引力定律得：2M a G r = ，v = ω= 2T = ⑴所有运动学量量都是r 的函数。我们应该建立函数的思想。 ⑵运动学量v 、a 、ω、f 随着r 的增加而减小，只有T 随着r 的增加而增加。 ⑶任何卫星的环绕速度不大于7.9km/s ，运动周期不小于85min 。 ⑷学会总结规律，灵活运用规律解题也是一种重要的学习方法。【案例3】同步卫星的运动下列关于地球同步卫星的说法中正确的是： A 、为避免通讯卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上 B 、通讯卫星定点在地球赤道上空某处，所有通讯卫星的周期都是24h C 、不同国家发射通讯卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上

(完整版)万有引力与航天重点知识、公式总结

万有引力与航天重点规律方法总结一.三种模型 1．匀速圆周运动模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可看成质点，围绕中心天体（视为静止）做匀速圆周运动 2．双星模型：将两颗彼此距离较近的恒星称为双星,它们相互之间的万有引力提供各自转动的向心力。 3.“天体相遇”模型：两天体相遇，实际上是指两天体相距最近。二.两种学说 1.地心说：代表人物是古希腊科学家托勒密 2/日心说：代表人物是波兰天文学家哥白尼三.两个定律 1.开普勒定律：第一定律（又叫椭圆定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上第二定律（又叫面积定律）：对每一个行星而言，太阳和行星的连线，在相等时间内扫过相同的面积。第三定律（又叫周期定律）：所有行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴R 的三次方跟公转周期T 的二次方的比值都相等。表达式为：)4(2 23 π GM K K T R == k 只与中心天体质量有关的定值与行星无关 2.牛顿万有引力定律 1687年在《自然哲学的数学原理》正式提出万有引力定律 ⑴.内容:宇宙间的一切物体都是相互吸引的.两个物体间引力的方向在它们的连线上,引力的大小跟它们的质量的乘积成正比,跟它们之间的距离的二次方成反比. ⑵.数学表达式: r F Mm G 2 =万 ⑶.适用条件: a.适用于两个质点或者两个均匀球体之间的相互作用。（两物体为均匀球体时，r 为两球心间的距离） b. 当0→r 时，物体不可以处理为质点，不能直接用万有引力公式计算 c. 认为当0→r 时，引力∞→F 的说法是错误的 ⑷．对定律的理解 a.普遍性：任何客观存在的有质量的物体之间都有这种相互作用力 b.相互性：两个物体间的万有引力是一对作用力和反作用力，而不是平衡力关系。 c.宏观性：在通常情况下万有引力非常小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间,它的存在才有实际意义. d.特殊性:两个物体间的万有引力只与它们本身的质量、它们之间的距离有关.与所在空间的性质无关,与周期及有无其它物体无关. （5）引力常数G ：

万有引力定律及其应用

万有引力定律及其应用知识网络: 常见题型万有引力定律的应用主要涉及几个方面：（1）测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力）由r T m r Mm G 222?? ? ??=π 得2324GT r M π= 又ρπ?=33 4R M 得3233R GT r πρ= 【例1】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T =30 1s 。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数G =6.67?1011-m 3/kg.s 2) 点评：在应用万有引力定律解题时，经常需要像本题一样先假设某处存在一个物体再分析求解是应用万有引力定律解题惯用的一种方法。（2）行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题：（重力近似等于万有引力）表面重力加速度：2002R GM g mg R Mm G =∴=Θ 轨道重力加速度：()()2 2h R GM g mg h R GMm h h +=∴=+Θ 【例2】一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g 0，行星的质量M 与卫星的质量m 之比M /m=81，行星的半径R 0与卫星的半径R 之比R 0/R ＝3.6，行星与卫星之间的距离r 与行星的半径R 0之比r /R 0＝60。设卫星表面的重力加速度为g ，则在卫星表

面有mg r GMm =2 …… 经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600。上述结果是否正确？若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果。（3）人造卫星、宇宙速度：人造卫星分类（略）：其中重点了解同步卫星宇宙速度：（弄清第一宇宙速度与发卫星发射速度的区别）【例3】我国自行研制的“风云一号”、“风云二号”气象卫星运行的轨道是不同的。“一号”是极地圆形轨道卫星。其轨道平面与赤道平面垂直，周期是12h ；“二号”是地球同步卫星。两颗卫星相比号离地面较高；号观察范围较大；号运行速度较大。若某天上午8点“风云一号”正好通过某城市的上空，那么下一次它通过该城市上空的时刻将是。【例4】可发射一颗人造卫星，使其圆轨道满足下列条件（） A 、与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆 B 、与地球表面上某一经度线是共面的同心圆 C 、与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是运动的 D 、与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是静止的【例5】侦察卫星在通过地球两极上的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h ，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件的情况下全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球半径为R ，地面处的重力加速度为g ，地球自转的周期为T 。【例6】在地球（看作质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是（） A ．它们的质量可能不同 B ．它们的速度可能不同 C ．它们的向心加速度可能不同 D ．它们离地心的距离可能不同点评：需要特别提出的是：地球同步卫星的有关知识必须引起高度重视，因为在高考试题中多次出现。所谓地球同步卫星，是相对地面静止的且和地球有相同周期、角速度的卫星。其运行轨道与赤道平面重合。【例7】地球同步卫星到地心的距离r 可由2223 4πc b a r =求出，已知式中a 的单位是m ，b

万有引力定律公式总结

万有引力定律知识点班级：姓名：一、三种模型 1、匀速圆周运动模型：无论自然天体还是人造天体都可以看成质点，围绕中心天体做匀速圆周运动。 2、双星模型：将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们相互之间的万有引力提供各自转动的向心力。 3、“天体相遇”模型：两天体相遇，实际上是指两天体相距最近。二、两种学说 1、地心说：代表人物是古希腊科学托勒密 2、日心说：代表人物是波兰天文学家哥白尼三、两个定律第一定律（椭圆定律）：所有行星绕太阳的运动轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的每一个焦点上。第二定律（面积定律）：对每一个行星而言，太阳和行星的连线，在相等时间内扫过相同的面积。第三定律（周期定律）：所有行星绕太阳运动的椭圆轨道半长轴R 的三次方跟公转周期T 的二次方的比值都相等。（表达式）四、基础公式线速度：v ==== 角速度：== == 向心力：F=m =m(2r=m(2 )2r= m(2)2r=m =m 向心加速度：a= = (2r= (2)2r= (2 )2r== 五、两个基本思路 1．万有引力提供向心力：ma r T m r m r v m r M G ====22 2224m πω 2.忽略地球自转的影响： mg R GM =2m （2g R GM =，黄金代换式）六、测量中心天体的质量和密度测质量： 1．已知表面重力加速度g ，和地球半径R 。（mg R GM =2m ，则G gR M 2=）一般用于地球 2．已知环绕天体周期T 和轨道半径r 。(r T m r Mm G 2224π= ，则2 3 24GT r M π=) 3．已知环绕天体的线速度v 和轨道半径r 。（r v m r Mm G 22=，则G r v M 2=） 4．已知环绕天体的角速度ω和轨道半径r （r m r Mm G 22ω=，则G r M 32ω=） 5．已知环绕天体的线速度v 和周期T （T r v π2=,r v m r M G 22m =，联立得G T M π2v 3=）测密度：

万有引力定律及其应用教学设计

万有引力定律及其应用高三物理张翠云 4月18日知识网络: 教学目标： 1．掌握万有引力定律的内容并能够应用万有引力定律解决天体、卫星的运动问题 2．掌握宇宙速度的概念 3．掌握用万有引力定律和牛顿运动定律解决卫星运动问题的基本方法和基本技能教学重点：万有引力定律的应用教学难点：宇宙速度、人造卫星的运动教学方法：讲练结合，计算机辅助教学教学过程：一、万有引力定律：（1687年）适用于两个质点或均匀球体；r 为两质点或球心间的距离；G 为万有引力恒量（1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出）2211 /10 67.6kg m N G ??=- 二、万有引力定律的应用 1．解题的相关知识：（1）在高考试题中，应用万有引力定律解题的知识常集中于两点：一是天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即222r v m r Mm G =＝r T m 224πr m 2 ω=；二是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即G 2R mM ＝mg 从而得出GM ＝R 2 g 。（2）圆周运动的有关公式：ω＝T π 2，v=ωr 。讨论：

①由222r v m r Mm G =可得：r GM v = r 越大，v 越小。 ②由r m r Mm G 2 2 ω=可得：3r GM =ω r 越大，ω越小。 ③由r T m r Mm G 2 22?? ? ??=π可得：GM r T 3 2π= r 越大，T 越大。 ④由向ma r Mm G =2 可得：2r GM a =向 r 越大，a 向越小。点评：需要说明的是，万有引力定律中两个物体的距离，对于相距很远因而可以看作质点的物体就是指两质点的距离；对于未特别说明的天体，都可认为是均匀球体，则指的是两个球心的距离。人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动。 2．常见题型万有引力定律的应用主要涉及几个方面：（1）测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力）由r T m r Mm G 2 22??? ??=π 得2 324GT r M π= 又ρπ?=3 3 4R M 得3233R GT r πρ= 【例1】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T = 30 1 s 。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数G =6.67?10 11 -m 3/kg.s 2 ) 解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。设中子星的密度为ρ，质量为M ，半径为R ，自转角速度为ω，位于赤道处的小物块质量为m ，则有 R m R GMm 2 2 ω= T πω2= ρπ33 4R M = 由以上各式得2 3GT πρ= ，代入数据解得：3 14/1027.1m kg ?=ρ。点评：在应用万有引力定律解题时，经常需要像本题一样先假设某处存在一个物体再分

万有引力定律应用的12种典型案例

万有引力定律应用的12种典型案例万有引力定律不仅是高考的一个大重点，而且是自然科学的一个重大课题，也是同学们最感兴趣的科学论题之一。特别是我国“神州五号”载人飞船的发射成功，更激发了同学们研究卫星，探索宇宙的信心。下面我们就来探讨一下万有引力定律在天文学上应用的12个典型案例：【案例1】天体的质量与密度的估算下列哪一组数据能够估算出地球的质量 A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B.地球表面的重力加速度与地球的半径 C.绕地球运行卫星的周期与线速度 D.地球表面卫星的周期与地球的密度解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。月球也是地球的一颗卫星。设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，卫星的运行周期为T ，轨道半径为r 根据万有引力定律： r T 4m r Mm G 22 2π=……①得： 2 32GT r 4M π=……②可见A 正确而T r 2v π= ……由②③知C 正确对地球表面的卫星，轨道半径等于地球的半径，r=R ……④ 由于3 R 4M 3 π= ρ……⑤结合②④⑤得： G 3T 2π = ρ 可见D 错误地球表面的物体，其重力近似等于地球对物体的引力由2R Mm G mg =得：G g R M 2=可见B 正确【探讨评价】根据牛顿定律，只能求出中心天体的质量，不能解决环绕天体的质量；能够根据已知条件和已知的常量，运用物理规律估算物理量，这也是高考对学生的要求。总之，牛顿万有引力定律是解决天体运动问题的关键。【案例2】普通卫星的运动问题我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的运行轨道是不同的。“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为12 h ，“风云二号”是同步轨道卫星，其运行轨道就是

万有引力定律的推导及完美之处

万有引力定律的推导及完美之处现在由开普勒第一定律来求行星所受的力的量值。既然轨道为椭圆，我们就可把轨道方程写为 1cos P r e θ=+ 或1cos e P P μθ=+ 把这关系式1cos e P P μθ=+代入比耐公式 2222()d F h d m μμμθ+=- ，就得到 222222 22()d mh h m F mh d P P r μμμμθ=-+=-=- 这表明行星所受力是引力，且与距离平方成反比。乍一看来，似乎不需要开普勒第三定律就已经能推出胡克的万有引力公式。其实不然，我们并不能把 22h m F P r =-化成22k m F r =-，因为式22h m F P r =-中的h 和P 对每一个行星来讲都具有不同的数值（2r h θ=，1r μ=，P 为椭圆曲线正焦弦长度的一半），而式中的2k 是一个与行星无关的常数。开普勒第一定律：行星绕太阳作椭圆运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。开普勒第二定律：行星和太阳之间的连线，在相等的时间内所扫过的面积相等。开普勒第三定律：行星公转的周期的平方和轨道半长轴的立方成正比。为了能把22h m F P r =-化为 22k m F r =-，就得利用开普勒第三定律，由行星公转的周期得 22324T P a h π= 虽然h 和P 都是和行星有关的常数，但根据开普勒第三定律中2 3T a 是与行星无关的常数，可以得到2P h （或2 h P ）是一个与行星无关的常数（即跟行星质量无关，而是由太阳决定了行星轨道的性质）。因而可以令22h k P =，我们就可以把22h m F P r =-化为 22k m F r =-，即 2222h m k m F P r r =-=-

(完整word版)高中物理万有引力定律知识点总结和典型例题精选

万有引力定律人造地球卫星『夯实基础知识』 1．开普勒行星运动三定律简介（轨道、面积、比值）丹麦天文学家第一定律：所有行星都在椭圆轨道上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上；第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等；第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等．即k T r =23 开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟谷的大量观测数据的基础上概括出的，给出了行星运动的规律。 2．万有引力定律及其应用 (1) 内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量成积成正比，跟它们的距离平方成反比，引力方向沿两个物体的连线方向。 2r Mm G F =（1687年） 2211/1067.6kg m N G ??=-叫做引力常量，它在数值上等于两个质量都是1kg 的物体相距1m 时的相互作用力，1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出。万有引力常量的测定——卡文迪许扭秤实验原理是力矩平衡。实验中的方法有力学放大（借助于力矩将万有引力的作用效果放大）和光学放大（借助于平面境将微小的运动效果放大）。万有引力常量的测定使卡文迪许成为“能称出地球质量的人”：对于地面附近的物体m ，有2E E R m m G mg =（式中R E 为地球半径或物体到地球球心间的距离），可得到G gR m E E 2 =。 (2)定律的适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r 应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体，r 是两球心间的距离．当两个物体间的距离无限靠近时，不能再视为质点，万有引力定律不再适用，不能依公式算出F 近为无穷大。 (3) 地球自转对地表物体重力的影响。体随地球自转时需要向心力．重力实际上是万有引力的一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，

万有引力定律及其应用完美版

万有引力定律及其应用教学目标： 1．掌握万有引力定律的内容并能够应用万有引力定律解决天体、卫星的运动问题 2．掌握宇宙速度的概念 3．掌握用万有引力定律和牛顿运动定律解决卫星运动问题的基本方法和基本技能教学重点：万有引力定律的应用教学难点：宇宙速度、人造卫星的运动教学方法：讲练结合，计算机辅助教学教学过程：一、万有引力定律：（1687年）适用于两个质点或均匀球体；r 为两质点或球心间的距离；G 为万有引力恒量（1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出）2211/1067.6kg m N G ??=- 二、万有引力定律的应用 1．解题的相关知识：（1）在高考试题中，应用万有引力定律解题的知识常集中于两点：一是天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即222r v m r Mm G =＝r T m 22 4πr m 2ω=；二是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即G 2R mM ＝mg 从而得出GM ＝R 2g 。（2）圆周运动的有关公式：ω＝T π2，v=ωr 。讨论：1）由222r v m r Mm G =可得：r GM v = r 越大，v 越小。 2）由r m r Mm G 22ω=可得：3r GM =ω r 越大，ω越小。 3）由r T m r Mm G 222??? ??=π可得：GM r T 32π= r 越大，T 越大。

4）由向ma r Mm G =2可得：2 r GM a =向 r 越大，a 向越小。点评：需要说明的是，万有引力定律中两个物体的距离，对于相距很远因而可以看作质点的物体就是指两质点的距离；对于未特别说明的天体，都可认为是均匀球体，则指的是两个球心的距离。人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动。 2．常见题型万有引力定律的应用主要涉及几个方面：（1）测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力）由r T m r Mm G 222?? ? ??=π 得2324GT r M π= 又ρπ?=33 4R M 得3233R GT r πρ= 【例1】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T =30 1s 。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数G =6.67?1011-m 3/kg.s 2 ) 解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。设中子星的密度为ρ，质量为M ，半径为R ，自转角速度为ω，位于赤道处的小物块质量为m ，则有 R m R GMm 22ω= T πω2= ρπ33 4R M = 由以上各式得23GT π ρ= ，代入数据解得：314/1027.1m kg ?=ρ。点评：在应用万有引力定律解题时，经常需要像本题一样先假设某处存在一个物体再分析求解是应用万有引力定律解题惯用的一种方法。（2）行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题：（重力近似等于万有引力）表面重力加速度：2002R GM g mg R Mm G =∴= 轨道重力加速度：()()22h R GM g mg h R GMm h h +=∴=+

高中物理万有引力定律公式

高中物理万有引力定律公式 1.开普勒第三定律：T2/R3=K(=4π2/GM){R：轨道半径，T：周期，K：常量(与行星质量无关，取决于中心天体的质量)｝ 2.万有引力定律：F=Gm1m2/r2(G=6.67×10-11N?m2/kg2，方向在它们的连线上) 3.天体上的重力和重力加速度：GMm/R2=mg;g=GM/R2{R：天体半径(m)，M：天体质量(kg)｝ 4.卫星绕行速度、角速度、周期： V=(GM/r)1/2;ω=(GM/r3)1/2;T=2π(r3/GM)1/2{M：中心天体质量｝ 5.第一(二、三)宇宙速度V1=(g地r地)1/2=(GM/r 地)1/2=7.9km/s;V2=11.2km/s;V3=16.7km/s 6.地球同步卫星GMm/(r地+h)2=m4π2(r地+h)/T2{h≈36000km，h：距地球表面的高度，r地：地球的半径｝注： (1)天体运动所需的向心力由万有引力提供，F向=F万; (2)应用万有引力定律可估算天体的质量密度等; (3)地球同步卫星只能运行于赤道上空，运行周期和地球自转周期相同; (4)卫星轨道半径变小时，势能变小、动能变大、速度变大、周期变小(一同三反); (5)地球卫星的最大环绕速度和最小发射速度均为7.9km/s。 (1)内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。 (2)适用条件：

①严格地说，万有引力定律只适用于质点间的相互作用; ②两个质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r是两个球体球心间的距离; ③一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离; ④两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，其中r为两物体质心间的距离。 (3)注意：公式中F是两物体间的引力，F与两物体质量乘积成正比，与两物体间的距离的平方成反比，不要理解成F与两物体质量成正比，与距离成反比。 (4)对万有引力定律的理解： ②万有引力的相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力。它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。 ③万有引力的客观性：通常情况下，万有引力非常小，它的存在可由卡文迪许扭秤来观察，只有在质量巨大的天体间，它的作用才有宏观物理意义。 ④万有引力的特殊性：两个物体间的万有引力，只与它们本身的质量有关，与它们之间的距离有关，和所在空间的性质无关，和周围有无其他物体的存在无关。

第六章万有引力定律知识归纳

第六章：万有引力定律知识归纳 1、（1）开普勒第一定律： _______________________________________________________________________________________________________________________________________ （2）开普勒第二定律： ____________________________________________________________________ 从这个定律能得出行星在近日点的速度______（填大于，小于，等于）远日点的速度。（3）开普勒第三定律： ______________________________________________________________________________________________________________________________________ 用公式k=_________来表示；R 表示______________；T 表示____________周期；K 与_________有关；根据公式3Mm G ＝R m 2)2(π 可得K=____________；当我们把行星的椭圆轨道按圆的轨道来近似处理时，则R 表示______________ 2、万有引力定律内容及公式：内容： ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 公式：_________________________其中引力常量G=_______________ 定律适用条件： (1)______________________(2)_______________________________ 3、(1)地球上的重力和重力加速度:在质量为M 、半径为R 的天体表面上，如果忽略天体自转的影响，质量为m 的物体的重力加速度g ，可以认为是由天体对它的万有引力产生的。由万有引力定律和牛顿第二定律有：mg R Mm G =2，则该天体表面的重力加速度为：=g ________由此式可知，天体表面的重力加速度是由天体的质量和半径决定的 (2)远离地面的高空物体: 远离地面高空且只受万有引力作用的物体，作落体运动，这时万有引力不提供向心力，也不产生向心加速度，即，万有引力

万有引力定律及其应用

第二讲万有引力定律及其应用 1、万有引力和重力 1、行星绕轴自转的周期为6h ，用弹簧秤称某物体，在赤道上示数恰为在两极处示数的90%，假设该行星是标准的均匀球体，求其密度。（G=6.67×1011N ·m 2/kg 2） 2、英国《新科学家（New Scientist ）》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650-500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R 约45km ，质量M 和半径R 的关系满足 2 2M c R G =（其中c 为光速，G 为引力常量），则该黑洞表面重力加速度的数量级为（） A ．8 2 10m/s B ．10 2 10m/s C ．12 2 10m/s D ．14 2 10m/s 2、定轨问题 3、地球同步卫星离地心距离r ，运行速率v1，加速度a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，圆周运动速率为v2；地球近地卫星运行速率v3，加速度a3；地球半径为R ，则 A ．a1/a2=r/R B ．a1/a ３=R2/r2 C ．v1/v2=R2/r2 D ．v1/v ３= R r 4、宇宙飞船以周期为T 绕地地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为R ，地球质量为M ，引力常量为G ，地球处置周期为T 。太阳光可看作平行光，宇航员在A 点测出的张角为α，则 A. 飞船绕地球运动的线速度为 22sin()R T απ B. 一天内飞船经历“日全食”的次数为T/T 0 C. 飞船每次“日全食”过程的时间为0/(2) aT π D. 飞船周期为T= 222sin()sin() R R GM ααπ 5、经长期观测发现，A 行星运行的轨道半径为R 0，周期为T 0但其实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t 0时间发生一次最大的偏离．如图所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A 行星外侧还存在着一颗未知行星B ，则行星B 运动轨道半径为 A ． 03 0002()2t R R t T =- B ．T t t R R -=00 C ． 3 2 000 0) (T t t R R -= D ．3002 00T t t R R -= 6、如图所示是月亮女神、嫦娥1号绕月做圆周运行时某时刻的图片，用1R 、2R 、1T 、2T 分别表示月亮女神和嫦娥1号的轨道半径及周期，用R 表示月亮的半径。（1）请用万有引力知识证明：它们遵循33 12 2312 R R K T T ==,其中K 是只与月球质量有关而与卫星无关的常量；（2）在经多少时间两卫星第一次相距最远；（3）请用嫦娥1号所给的已知量，估测月球的平均密度。 7、(2013四川卷)．迄今发现的二百余颗太阳系外行星大多不适宜人类居住，绕恒星“Gliese581”运行的行星“G1- 58lc ”却很值得我们期待。该行星的温度在O o C 到40o C 之间、质量是地球的6倍、直径是地球的1.5倍、公转周期为13个地球日。“Gliese581”的质量是太阳质量的0.31倍。设该行星与地球均视为质量分布均匀的球体，绕其中心天体做匀速圆周运动，则 A ．在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同 B ．如果人到了该行星，其体重是地球上的322 倍 C ．该行星与“Gliese581”的距离是日地距离的 365 13 倍 D ．由于该行星公转速率比地球大，地球上的米尺如果被带上该行星，其长度一定会变短 8、近年来，我国已陆续发射了七颗“神舟”号系列飞船，当飞船在离地面几百千米的圆形轨道上运行时，需要进行多次轨道维持，轨道维持就是通过控制飞船上发动机的点火时间和推力，使飞船能保持在同一轨道上稳定运行．如果不进行轨道维持，飞船的轨道高度就会逐渐降低，则以下说法中不正确的是 A ．当飞船的轨道高度逐渐降低时，飞船的周期将逐渐变短 B ．当飞船的轨道高度逐渐降低时，飞船的线速度逐渐减小 C ．当飞船离地面的高度降低到原来的 1 2 时，其向心加速度将会变为原来的4倍 D ．当飞船的轨道高度逐渐降低时，飞船的角速度逐渐增大 9、某球形天体的密度为ρ0，引力常量为G ．（1）证明对环绕密度相同的球形天体表面运行的卫星，运动周期与天体的大小无关．（球的体积公式为34 3 V R π= ，其中R 为球半径）

有关万有引力定律及其公式的理解

有关万有引力定律及其公式的理解万有引力定律由牛顿于1687年在《原理》上首次发表，它和牛顿运动定律一起，构成了天体力学的基础。它是以牛顿为代表的科学家们经过长期探索，总结出的智慧的结晶。该定律指出：自然界中任何两个物体之间都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1，m2的乘积成正比，与它们之间的距离r 的平方成反比。这个结论经过检验与事实相符，成为科学史上伟大的定律之一——万有引力定律。其公式为，下面本人就该定律和其物理公式的理解做简要的阐述。一、万有引力定律的理解万有引力定律主要涉及了三个方面的内容，首先它提出了万有引力定律是自然界中的任何物体，即万有引力具有普遍性。大到天体与天体之间，小到微观粒子之间都存在万有引力作用，比如质子与质子之间，和电子与电子之间。这里要特别注意的是，电荷之间的排斥力或吸引力属于电场力，由于微观粒子间的万有引力非常小，所以我们通常可以忽略不计，只有质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间，它的存在才有宏观的物理意义，即万有引力具有宏观性。其次，定律还指出了万有引力的方向是在它们的连线上，根据力是物体间的相互作用的知识，即两物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们等大、反向、共线、分别作用在两个物体上。我们还能得出，万有引力由受力物体指向施力物体。第三，由定律的内容我们可以知道影响万有引力大小的因素是物体质量和物体间的距离，即引力的大小只与物体的质量m1，m2的乘积成正比，与它们之间的距离r 的平方成反比。而与所在空间的性质无关，与周围有无其他物体也无关，这体现了万有引力的特殊性。万有引力定律的提出对人类研究和探索宇宙提供的非常主要的现实指导意义。二、万有引力公式的理解引力常量G 的数值是卡文迪许通过著名的扭秤实验得出的，在国际单位制中G=6.67259×10-11Nm 2/Kg 2,通常取G=6.67×10-11Nm 2/Kg 2。引力常量G 的得出成为万有引力定律正确性的有力证据，也使得在用万有引力定律计算天体质量，天体密度等有关问题时具有了现实的操作性。比如，我们根据天体对它的卫星（或行星）的引力就是卫星绕天体做匀速圆周运动的向心力： G 2r mM =m 224T πr ，由此可得：M=23 24GT r π；ρ=V M =334R M π=3223R GT r π（R 为行星的半径）由上式可知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径r 及运行周期T ，就可以算出天体的质量M ，若知道行星的半径则可得行星的密度。另外，公式中的r ，指的是两物体间的距离。若两物体可以看做质点，或的质量分布均匀的球体，那么r 就是两质点或两球心之间的距离。若求任意的两个物体间的引力，必须把每个物体分成很多小部分，每个小部分看成是一个质点，计算所有这些质点间的相互作用力，这种情况高中阶段一般不研究。所以万有引力定律的公式一般只用来直接计算可以看作是质点的两个物体，质量分布均匀的两球体或质量分布均匀的球体与质点之间的万有引力。例如对两个相距不太远的非球形物体，例如两个60kg 的人相距1m 时，求他们之间的吸引力就不能简单地把两人质心间距作为r 代入公式来计算。如果两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可看成质点，公式可近似适用，其中r 为两物体质心间的距离。下面我们举个典型的例子，如图所示，有质量为m 、半径为R 的质量分布均匀的球体A 与用同种材料制成的半径为均匀球体B ，两球球心相距L ，现在在球A 中靠近B 球一边与A 球相切的挖一个半径为的球形洞，三个球心在同一条连线上，求挖空后两球间的万有引力。

第四章 曲线运动 万有引力定律

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第四章曲线运动万有引力定律