中学数学的最值问题

a

b

2中学数学的最值问题

最值问题是历年高考的热点，也是学生学习的难点。对于中学数学的常见最值问题，可归纳为以下几大块： 一、用函数的单调性求代数函数的最值

（1）对于一次函数、指数函数、对数函数等单调递增或单调递减的函数，若定义域的闭区间，如x ∈[m ，n],则f （m ），与f （n ）中较大者为最大值，较小者为最小值。

（2）求二次函数f(x)=ax 2

+bx+c 在[m,n]上的最值时，先判定对称轴x= - 是否属于

[m,n]，若x=- ∈[m,n],

则f(m) , f(n) ,f(- 中

较大者是最大值，较小者是最小值，若- [m,n]，则f(m)与f(n)

中较大者为最大值，较小者为最小值；若二次函数f(x)2ax 2

+bx+c 的定义域为R ，当a>0时，有最小值y mn = ,岂a<0时，有最大值y max = , 例

1、求函数y=x 2

-2x-3

在[ ， ]上的最值。 a

b 2a

b

2a b ac 442-212

5a

b a

c 442

-

解：∵对称轴x=1∈[ , ]f ，而f( )= ,f(1)=-4, f( ∟ )= - . ∴f(x)max= f(x)min=-4 例2、（2004年北京卷） f(x)=ax2+bx+c 中，若a 、b 、c 成等比数列，且f(0)=-4,则f(x)有最________值（填“大”或“小”）且该值为_______。 解： ∵f(0)=-4 ∴c=-4 2∵a 、b 、c 成等比数列 ∴b2=ac=-4a 而b ≠0 则有a<0

从而函数f(x)=ax2+bx+c 的图象的开口向下，故有最大值，其最大值为：

f(x)max= = =-3. （3）对定义在[n,m]上的函数f(x)还可借助导函数值的符号判定其单调性，从而求得函数f(x)在[n,m]上的最值。

例3、已知函数f(x)= x ∈[1,+∞]

当

a= 时，求函数

f(x)的最小值 （2004年上海）

解：当a= 时， f(x)=x+ +2 ∵f /

(x)=1- 2

14

15

-254

7

2

12

54

7-a

b a

c 442

-a a a 4416+-x

a x x ++22

21

21

x

21

2

21x

∵x ∈[1,+∞] ∴f /

(x)>0 ∴f(x)在[1，+∞]上是增函数 ∴f(x)在区间[1，+∞]上的最小值是 f(x)min =f(1)=

二、有关三角函数最值的求法 （1）用三角函数的有界性求最值

由于正弦函数，余弦函数均是有界函数，即： -1≤sinx ≤1 -1≤cosx ≤1,故在求三角函数有关的函数的最值时，可考虑把它转化为同一三角函数，然后运用三角函数的有界性求其最值。

例4，已知R<-4,则函数cos2x+R(cosx-1)的最小值是（ ） A 、1 B 、-2 C 、2R+1 D 、-2R+1 解：∵y=cos2x+R(cosx-1) =2cos2x+Rcosx-R-1

=2(cosx+ )

2

-R-1- 而R ＜-4 ∴当cosx=1时,ymin=1 例5，a 、b 是不相等的函数，求y=

x

bsin x acos 22+ +

x

bcos x asin 22+的最大值

2

74

k 8

2

k

和最小值。

解：∵y 是正值，故使y 2

达到最大（或最小）的x 值也使y 达到最大（或最小）。

y 2

=acosx 2

+bsin 2

x+2x

bsin x acos 22+·

x

bcos x asin 22++asin 2x+asin 2x+bcos 2

x

=a+b+

2x sin b)-(a 4ab 22+

∵a ≠b a>0 b>0 ∴(a-b)2>0 0≤sin2x ≤1

∴当sinx=±1,即x= + (k ∈z)时y max =2b 2a +

当sinx=0,即x= (k ∈z)时，y min =

a

+

b

(2)利用三角函数的单调性

如果f(x)在[α,β]上是增函数，则f(x)在[α，β]上有f(x)max=f(β),f(x)min=f(x),如果f(x)在[α,β]上是减函数，则f(x)在[α,β]上有最大值f(x)，最小值f(β).

例6，在0≤x ≤ 的条件下，求y=cos 2

x-4sinxcosx-3sin 2

x 的最大值和最小值。

解：用二倍角公式及变形公式有：

y= -2sinx-3 2πk 2π

2

πk 2

π22cos 1x +2

2cos 1x -

=2(cos2x-sinx)-1 =22(cos2xcos -sin2xsin )-1 =2

2

cos(2x+ )-1

∵0≤x ≤ ∴

≤2x+ ≤ 由余弦函数的单调性知：cos(2x+ )在[0， ]上是减函数，故岂

x=0

时有最大值 ，当x= 时有最小值-1。 cos(2x+ )在[ ， ]上是增函数，故当x= 时，有最小值-1,当x= 时有最大值- 。 综上 当x=0时 ,y max =2

2

× -1=1 当x= 时 ,y min =2

2

x(-1)-1=2

2

-1

（3）用换元法求三角函数的最值

利用变量代换，我们可以把三角函数的最值问题转化为代数函数最值问题求解，

例7，求f(x)=sin 4

x+2sin 3

xcosx+sin 2

xcos 2

x+2sinxcos 3

x +cos 4

x 的最大值和最小值。

4π4

π

4

π2π4π4π45π

4π83π

228

3π4ππ832ππ8

3

2

π

2

2

2

2

π8

3

解：f(x)=sin 4x+2sincosx+sin 2xcos 2x+2sinxcos 3x+cos 4

x

=(sin 4

x+2sin 2

xcos 2

x+cos 4

x)-sin 2

xcos 2

x+2sinxcosx

(sin2x+cos2x)

=(sin 2

x+cos 2

x)2-sin 2

xcos 2

+2sinxcosx =1+2sinxcosx-sin 2

xcos 2

x 令t=sinxcosx=

2

1sin2x 则-

2

1≤t ≤

2

1

∴f(t)=1+2t-t 2

=-(t-t)2

+2 (-2

1≤t ≤

2

1)

当t=

2

1,即x=k π+

4

π(k ∈z)时,f(x)max =f(t)max =

4

7

当t=-2

1 ,即x= k π+

π4

3(k π∈z)时,f(x)min =-4

1

∴f(x)max =

4

7 f(x)min =-

4

1

三、用均值定理求最值 1、均值定理的构成的注意事项 二元均值不等式：2b

a +≥a

b （a>0,b>0,当且仅当a=b 时取等号） 三元均值不等式：3

c

b a ++≥3ab

c （a>0,b>0，c>0,当且仅当a=b=c 时取等号）

n 元均值不等式：

n

a a a n

++21≥n n a a a 21(a 1＞0,a 2＞0…a n ＞0，当且仅

当a 1=a 2=…=a n 时取不等号)

在运用均值不等式求最值时应注意以下三点： i>函数解析式中各项均为正数。

ii>函数的解析式中含有变数的各项的和或积必须有一个定值。 iii>含变数的各项均相等时才能取得最值。 2、均值定理在求函数最值中的应用 例8、解答下列各题 （1）求函数y=x 2+44

x (x>0) 的最小值。

（2）求函数

y=2x 2

+x 4(x>0)的最小值。

（3）求函数y=6x 2

-3x 3

(0

)(0

y=x

x x 2sin sin 82cos 12++(0

)的最小值。

分析：若均值定理的某一端为常数，则当不等式的等号能取到时，这个常数就是另一端的最值，如 2

b a +≥ab ，当ab 为常数m>0时，则当且仅

当a=b 时，a+b 有最小值m 2

，若a+b 为常数n>0，则当且仅当a=b 时，有

最大值2n

，较解这些问题的关键是构造“定”或“定积”。

解：（1）∵y=x 2

+

4

4

x =

22x +2

2x +

4

4x ≥3

422

4

2

23x x x ?

?=3

∴当且仅当

2

2x =

4

4x ，即 x=

2

(∵x>0)时，y min =3

(2)∵x>0 ∴2x 2

>0 x

2>0

∴y=2x 2+x 4=2x 2+x 2+x 2≥322223x x x ??=6

∴当且仅当2x 2=x 2

,即x=1时，y min =6 (3)∵y=6x 2

-2x 3

=2x 2

(3-x)

∵00 2x

>0

∴y=8·2

x

·2

x (3-x)≤8×3

3

)3(2

2???

??

?

-++x x x =8

当且仅当2

x

=3-x,即x=2时，y max =8 (4)∵00 1-x 2

>0 ∴x(1-x 2

)>0 ∵y 2

=x 2

·(1-x 2)2

=21

·2x 2(1-x 2)(1-x 2

) ≤=

3

3)1()1(2212

22??

????-+-+x x x =274

当且仅当2x 2=1-x 2

,即x=3

3时，y 2

有最大值274

。

∴当x=

3

3时，y max =

9

32 （5）y=x

x x

x cos sin 2sin 81cos 2122+-+

=cotx+4tanx

∵0

∴cotx>0 tanx>0

∴y=cotx+4tanx ≥x x cot tan 42=4 当且仅当4tanx=cotx 即x=aintan 2

1时，y min =4

3、运用均值定理解应用题

例9：学校食堂定期从某粮店以每吨2000元价格购进大米，每次购进大米需支付运输费100元，已知食堂每天需用大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元，假如食堂每次都在用完大米的当天购买。

（1）该食堂每隔多少天进一次大米才能使平均每天所支付的费用最少？

（2）粮食提出价格优惠条件：一次购买不少于20吨时，大米价格可享受九五折优惠，问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由。

解：（1）设每隔x 天购进一次大米，因为每天用米一吨，故一次购米x 吨，从而库存总费用为2[x+(x-1)+……+2+1]=x(x+1)若设平均每天所支付的总费用为y,则

y 1=x 1[x(x+1)+100]+2000=x+x

100+2001≥2x x 100

?+2001=2021 当且仅当x=x 100 即x=10时取等号。

∴每隔10天购出一项，才能使每天所付费用最少。

（2）设能接受优惠条件，则至少每隔20天购米一项，没每隔七天购米一次，平均每天费用为y2元，则

y 2=1[t(t+1)+100]+2000×95%=t+t 100+1901

由于t=10不在函数定义域内，教不能使用均值定理。 令f(t)=t+t 100+1901 (t ≥20) 设t 1 ,t 2∈[20 ,+∞)且t 1>t 2 则

f(t 2)-f(t 1)=t 2-t 1+1

2

100

100

t t -=(t 2-t 1)(1-12100

t t )

=

∵t 2>t 1≥20 ∴t 2－t 1>0 t 2t 1-100>0 t 2t 1>0

1

21212)

100)((t t t t t t --

∴f(t 2)-f(t 1)>0 即 f(t 2)>f(t 1) ∴f(t)在[20，+∞]上是增函数。 ∴当x=20时，y 2取得最小值1926元 而1926＜2021，故该食堂可接受优惠条件。 四、运用线性规划求最值

运用线性规划求最值就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，从而求出最值，无论此类问题是以什么实际问题提出，其解题格式步骤基本不变：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数。

（2）由二元一次不等式表示出平面区域（即可行域）

（3）在可行域内求目标函数的最优解，从而求出最值（求是优解时，主要由图形得出，故应准确作图）

例10、（2005年福建）非负实数x 、y 满足?

??≤-+≤-+030

42y x y x 则x+3y 的最大

值为__________

解：约束条件所围成的区域， 如图所示，将目标函数z=x+3y 从左向右平移，最后经

过的点是（0，3）

∴x+3y 的最大值为0+3×3=9

例11、（2004年江西）设实数x,y 满足 则x y 的最大值是______________.

解：画出约速条件所围成的区域，如图所

示，

令 x

y

=k ，则K 的最大值即为过原点且过可行域内的一点的直线中，斜率的最

大值。

?????≤-≥-+≤--0

320

4202x y x y x

∴由图形知，直线过点A （1，23）时 K max =23

例2，已知 试求（x+1）2+(y+1)2

的最大值、最小值，及取得最大、最小值

时x 、y 的值。

解：作出不等式组所表示的平面区域如右图所示，其区域的顶点A （2，1），B （3，4），C

（1，3）

而（X+1）2+（y+1）2

表示可行域内的动点M （x , y ）与定点P （-1，-1）的距离的平方，过点P 作AC 的垂线，垂足不在可行域内，由图可知，只有当x=2 ,y=1时，（x+1）2

+(y+1)2

才取得最小值，最小值为13，当x=3.y=4时，（x+1）2

+(y+1)2

才取得最小值，最大值为41。

五、运用构造求最值

构造法就是数学建模在解题中的应用，它要求具有相当的基本功，能根据不同的题型，构造成我们能够解决的数学模型，从而使问题得以解决。

??

???≥+-≤--≥-+052053052y x y x y x

1、构造距离解题

例13、求函数y=

5

22+-x x +222++x x 的最小值

解：原函数可变形为：y=

2

222)10()1()20()1(-+++-+-x x

∴函数y 的值可看作点P （x ,o ）到点A （1，2）与点B （-1，1）的距离之和，而点P （x ,0）

为x 轴上的点。

即在x 轴上取点P 使|PA|+|PB|为最小。 如图，作点B 关于x 轴的对称点B ′（-1，-1） 连结AB ′交x 轴于点P ，则PA+PB=AB ′ ∴y min =AB ′=13)12()11(22=+++

2、构造向量

例14、已知：a 2+b 2+c 2=1, x 2+y 2+z 2

=1 其中a 、b 、c 、x 、y 、z 均为实数，求ax+by+cz 的最大值与最小值。

解：构造向量a =(a 、b 、c)、b =（x 、y 、z ） 由题设引知：|a |2=1， |b |2=1

设＜a ，b ＞=2，则α∈[o ，π]

且

又∵1cos ≤α ∴-1≤ax+by+cz ≤1

即ax+by+cz 的最大值为1，最小值为-1 3、构建圆锥曲线

例15：已知ABC 的周长C=16cm BC=6cm 求ABC 面积的最大值

解：BC 的长为定值，点A 到点B 与C 的距离之和也为定值，故点A 在以B 、C 为焦点、焦距2C=6cm ，长轴长2a=10cm 椭圆上，c=3，a=5，b=4

由-byb 得ABC 中BC 边上的高H 的取值范围是0h4 ABC 的最大值为BC4=12（cm2） 六、解几何中的最值问题

1、已知两定点A （a ，b ）、B （a 2，b 2）直线L ，在定直线L 上求点P 使最小，若A 、B 在直线L 的两旁，连结A 、B 交直线L 于点P ，P 点即为所

cz

by ax b a cos b

a b

a ++=?==??α

求；若A、B在直线L的同旁，则求点B关于L的对称点B，AB与直线L的交点P即为所求。

2、圆C上的动点M与定直线L的距离的最大值与最小值是过圆心C 作已知直线L的垂线，垂足为D，交圆C于M1，M2，则M1与M2中较小者为最小值，较大者为最大值。

3、运用定义求最值

例16：已知抛物线X2=2py（p＞0）及抛物线内点A（a，b），F为焦点(如图)，在抛物上，求点P 使PF

PA 最小。

分析：过点作抛物线渐近线的垂线AB，垂足不B，交抛物线于P，则由抛物线定义有

|PB|=|PF|，|PA|+|PF|=|AB|

设P/为抛物线上除P外另一点，则由三角形三边之间的关系得|P/B|+|P/A|＞|AB|

点P的纵坐标为y=b，代入抛物线方程即可求得点P坐标。

例17：已知A （4，0），B （2，2）是椭圆+=1内的两个点，M 是椭圆上的动点，则|MA |+|MB |的最大值为： 最小值为

分析：由

9

25

22

y x +

=1知a=5，b=3，c=4

∴点A （4，0）为椭圆的右焦点，左焦点

为F （-4，0）

则|MF |+|MA |=10 |MA |=10-|MF | 从而有 |MA |+|MB |=（|MB |—|MF |）+10

故只要求得|MB |-|MF |的最大值或最小值即可，而由三角形三边之间的关系，其最值显然在M 、B 、F 三点共线时达到，即

-|BF |≤|MB |—|MF |≤|BF | 2|BF |=

1022)24(22=+--

|MB |+|MA |的最大值为10+102，最小值为

10-102

中学数学教学中的反证法-精选教育文档

中学数学教学中的反证法 在生活中，我们都有这样的常识，去掉大米中的砂粒，有两种方法.一种是直接从大米中把砂粒一粒一粒地拣出来；一种是用间接的方法――淘洗法，把砂粒残留下来.这两种方法虽然形式不同，但结果却是一样的，都能达到去掉砂粒的目的.有时用直接方法很困难，而用间接方法却容易得多.牛顿曾说：“反证法是数学家最精当的武器之一.”当一些命题不易从正面直接证明时，就可考虑用反证法. 一、反证法的基本概念 1.反证法的定义 法国数学家阿达玛对反证法的实质做了如下概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这是对反证法的极好概括.其实反证法也称作归谬法。反证法适合一些正面证明比较困难，但是否定则比较简单的题目，在高中数学中的应用较为广泛，在解决一些较难问题的时候，反证法能体现其优越性. 2.反证法的基本思想 反证法的基本思想就是否定之否定，这种基本思想可以用下面的公式表示： “否定→推理→矛盾→肯定”，即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定. 3.反证法的逻辑依据 通过以上三个步骤，为什么能肯定原命题正确呢？其逻辑根据就在于形成逻辑的两个基本规律：“排中律”和“矛盾律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于

小学数学-怎样评价一节课说课材料

小学数学怎样评价一节课 如何评价一节数学课（一） 课堂教学是学校教学的基本形式。如何评价一堂课的优劣是教育工作者研究的重要课题。那么如何评价数学课呢？这里我从五个方面来讲： （一）教学目标 教学目标是整个课堂教学过程的一个纲，是数学评课首先要考虑的因素。教学目标确定的好不好，一要看目标是否明确，能不能兼顾能力培养、思想与道德教育等方面的内容；二要看广度、深度是否符合数学课程标准和教材的要求，是否符合学生实际；三要看是否简明扼要、具体，便于实施，便于检测，四要看教学中是否达到了教学目标。 （二）教学内容 教学内容规定着教什么和学什么的问题，恰当地选择和处理教学内容是实现教学目标的重要保证，也是数学评课要考虑的重要因素之一。教学内容处理是否得当，首先要看执教者能否明确教学内容在整个教材系统中的地位和作用，内容是否具有科学性、思想性、教育性，有无知识性和原则性错误；其次，要看教学内容是否围绕目标、反映目标，执教者能否分清主次，准确地确定重点、难点、关键点，处理好新旧知识的结合点，抓住知识的生长点，讲授具有启发性、层次详略得当；三要看执教者能否处理好数学知识结构与学生认知结构的关系，按由易到难的顺序安排教学内容，注重思维训练与思维能力的培养。四要看执教者能否挖掘教材中的德育因素，做到既教书又育人。 （三）教学方法 教学方法是实现教学目标，体现教学内容的手段，教学方法包括教法和学发两部分。教学方法运用的是否得当，主要看能否充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，能否最大限度地提高课堂的教学效率。因此，教学方法也是数学评课要考虑的重要因素之一。教学方法是否得当合适，可从以下几个方面入手：首先要看是否体现启发式教学原则和对学生进行学法指导。使学生积极思维、主动学习、自主学习，从而达到会学的目的。其次看数学基础知识的掌握与基本技能训练的情况，是否让学生参与尝试、猜想、试验、探索与发展的过程，培养学生良好的思维习惯与思维品质。评课时不仅要重视学生对结论的掌握情况，还要看教师如何引导学生揭示教学知识的本质，掌握数学知识和方法的内部规律。学生是否在原有知识的基础上，在暴露知识发生的过程中，明确结论是在什么条件下

高中数学函数最值问题的常见求解方法

一、配方法 例１：当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322 ?-=+的最大值和最小值． 解析：34)3 22(32 + --=x y ，当01≤≤-x 时，122 1≤≤x ．显然由二次函数的性质可得1min =y ，3 4max = y ． 二、判别式法 对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值． 例２：已知012442 2 =-++-x x xy y ，求y 的最值． 解析：由已知，变形得0)1()12(242 2 =-+--y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)1(16)12(422≥---y y 故 4 5≤ y ． 因此 4 5 max = y ，无最小值． 例3：若x 、R y ∈且满足：022 2 =-+++y x xy y x ，则m ax x = min y = 解析：由已知，变形得：0)()12(2 2 =++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 81≤ x ．即 8 1max =x ． 同理，0)()12(2 2 =-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 81-≥y ．即 8 1 min -=y ． 注意：关于x 、y 的有交叉项的二元二次方程，通常用此法 例4：已知函数1 1 3452 2+++=x x x y ，求y 的最值． 解析：函数式变形为：0)1(34)5(2 =-+--y y x y ，R x ∈，由已知得05≠-y ， 0)1)(5(4)34(2≥----=?∴y y ，即：0762≤--y y ，即：71≤≤-y ． 因此 7max =y ，1min -=y ． 例5：已知函数)(1 2R x x b ax y ∈++=的值域为]4,1[-，求常数b a , 解析： 01 2 22 =-+-?+=+?++= b y ax yx b ax y yx x b ax y

小学二年级下册数学期末评价方案最新稿

小学二年级下册数学期末评价方案 郑州市金水区凤凰双语小学 一、指导思想。 数学《课程标准》中提出，评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习，促进学生全面发展。数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。将评价贯穿于日常的教学活动中，用发展的眼光去看待学生，关注学生在学习过程中的发展与变化，不断以评价激励学生，帮助学生认识自我，建立信心，以促进学生更好地发展。为了更好的在常态教学中认真解决课程教学中的核心问题，激励每一个学生努力完成学业，实现课程育人的教——学——评一致性，我们紧紧围绕学科课程标准和“学科课程学习内容和认知水平评价参照”结合学生的学习和发展实际，特制定我校二年级下学期数学学业质量评价方案。 二、评价维度。 梳理二年级下学期课程学习内容和认知水平评价参照表，结合数学《课程标准》中学段目标的要求： 1、知识与技能：在分析和解决实际问题的过程中，进一步体会加减法的意义，感受数学与日常生活的密切联系。结合平均分物与操作活动学习有余数的除法，认识余数并探索除数和余数的关系。经历

从实际物体中抽象出简单几何体和平面图形的过程，了解一些简单集合体和常见的平面图形；掌握初步的测量的技能。初步体会时、分、秒的实际意义，可以用时、分、秒描述一些生活现象。 2、数学思考：在运用数及适当的度量单位描述现实生活中的简单现象，以及对运算结果进行估计的过程中，发展数感。 3、问题解决：从日常生活中发现和提出简单的数学问题，并尝试解决。了解分析问题和解决问题的一些基本方法，知道同一个问题可以有不同的解决方法。尝试与他人合作交流解决问题的过程。 4、情感态度：了解数学可以描述生活中的一些现象，感受数学与生活有密切联系。在他人帮助下，感受数学活动中的成功，能尝试克服困难。 三、具体措施及权重。 本次评价将采取过程性评价、活动性评价、终结性评价三种方式来开展。 过程性评价权重80%，终结性评价20%。 （一）过程性评价，权重80% 1、平时教学评。权重50% （评价手段：教师依据《课标》要求及学生平时表现进行评价，学生之间相互评价，评价工具：定性）

高中数学解题四大思想方法

思想方法一、函数与方程思想 姓名： 方法1 构造函数关系，利用函数性质解题 班别： 根据题设条件把所求的问题转化为对某一函数性质的讨论，从而使问题得到解决，称为构造函数解题。通过构造函数，利用函数的单调性解题，在解方程和证明不等式中最为广泛，解题思路简洁明快。 例1 （10安徽）设232555322(),(),(),555 a b c ===则,,a b c 的大小关系是（ ） ....A a c b B a b c C c a b D b c a >>>>>>>> 例2 已知函数21()(1)ln , 1.2 f x x ax a x a =-+-> （1） 讨论函数()f x 的单调性； （2） 证明：若5,a <则对任意12121212 ()(),(0,),, 1.f x f x x x x x x x -∈+∞≠>--有 方法2 选择主从变量，揭示函数关系 含有多个变量的数学问题中，对变量的理解要选择更加合适的角度，先选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系，再利用函数性质解题。 例3 对于满足04p ≤≤的实数p ，使2 43x px x p +>+-恒成立的x 的取值范围是 . 方法3 变函数为方程，求解函数性质 实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式，我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题一般是通过方程来实现的……函数与方程是密切相关的。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 例4 函数()2)f x x π=≤≤的值域是（ ） 11111122.,.,.,.,44332233A B C D ????????----?????????? ??????

初中数学最值问题典型例题(含解答分析)

中考数学最值问题总结 考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 （2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题） 问题原型：饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： 条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使PA PB +的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于 点P，则PA PB A B' +=的值最小 例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三 角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由； （3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长。 A B A'′P l

例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0） （1）求抛物线的解析式 （2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由. （3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.

四年级数学评价方案

小学四年级学生数学综合评价方案 一、评价的指导思想： 小学生发展性评价，以学生发展为本的教育理念为出发点，关注每一个学生的全面发展、持续发展和终身发展。 二、评价目的： 评价的目的是全面考察学生的学习状况，激励学生的学习热情，促进学生的全面发展，评价通过形式多样的全面评价获得的多源反馈信息而深刻地积极地改进教学，促进师生共同发展。对学生数学学习的评价，既要关注学生技能的理解和掌握，更要关注他们情感的与态度的形成和发展；既要关注学生数学学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展；还要关注学生的个性差异，保护学生的自尊心和自信心。对评价结果的描述，应采用鼓励性语言，发挥评价的激励作用。教师要善于利用评价所提供的大量信息，适时调整和改善教学过程。 三、评价的依据： 小学生发展性评价的依据是《基础教育课程改革纲要》、《教育部关于积极推进中小学评价与考试制度改革的通知》和《数学课程标准》。 四、评价的原则： 1．评价内容多维化。 对学生的学业要从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度进行综合评价。评价的内容更多地指向：“学习有价值的数学”——有价值的数学任务和数学活动。数学任务更多地需要有意义的“做数学”过程，更多地暴露学生的数学思维过程。 2．评价主体多元化。 既要有教师的评价，还要有学生的自我评价，家长的评价，也要有学生间的相互评价。 3．评价方式多样化。 根据数学学科的特点，小学生数学学习的评价形式、手段和方法，可以是考试，动手操作，撰写数学小论文或调查报告，小组实践活动等等；自我评价、面谈、提问、日常观察、成长记录袋等多种方法相结合。定量评价与定性评价相结合，形成性评价和阶段性评价相结合，书面考试和实践应用相结合。结合区教科中心规定的“四结合”评价方式，注意多种评价方式，既书面考试、口试、动手实践、平时表现的有机结合。 4、评价关注过程与能力 要注重对过程性知识形成与掌握的评价。重视对学生发现问题和解决问题的评价。注重

中学数学思想方法论

作业 1．第1题 A.一次划分 B.连续划分 C.二分法 D.复分 您的答案：C 题目分数：2 此题得分：2.0 2．第2题 《曲线求积法》和《流数术分法与无穷级数》的作者是（） A.布莱尼兹 B.牛顿 C.笛卡尔 D.伯利亚 您的答案：B 题目分数：2 此题得分：2.0 3．第3题 自然数分为奇数和偶数，了、，这个划分属于（） A.一次划分 B.连续划分 C. 复分 D.二分法 您的答案：A 题目分数：2 此题得分：2.0 4．第4题 首先使用符号“0”来表示零的国家或民族是( ) A.中国 B.印度

C.阿拉伯 D.古希腊 您的答案：B 题目分数：2 此题得分：2.0 5．第5题 以下哪位没有古希腊圣贤之称（） A.欧几里得 B.阿波罗尼 C.阿基米德 D.欧拉 您的答案：D 题目分数：2 此题得分：2.0 6．第6题 若sin2x>0,且cos<0,则x是（） A.第二象限角 B.第三象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第三象限角 您的答案：C 题目分数：2 此题得分：2.0 7．第7题 “自然数的皮亚诺公理”是（）方式定义。 A.归纳定义 B.公理化定义 C.关系性定义 D. 发生性定义 您的答案：B 题目分数：2 此题得分：2.0

8．第8题 按判断的质分类，可以将判断分为（） A.全称判断 B.特征判断 C.肯定判断 D.否定判断 E.宣言判断 您的答案：D 题目分数：2 此题得分：2.0 9．第9题 “等腰三角形底边上的高”和““等腰三角形底边上的中线”两个概念之间的关系是（） A.同一关系 B.从属关系 C.矛盾关系 D.交叉关系 您的答案：A 题目分数：2 此题得分：2.0 10．第10题 “有理数与无理数统称为实数”其定义方式是（） A.归纳定义 B.发生性定义 C.关系性定义 D.公理化定义 您的答案：B 题目分数：2 此题得分：2.0

浅谈中学数学中的反证法

本科生毕业论文 浅谈中学数学中的反证法 院系：数学与计算机科学学院 专业：数学与应用数学 班级： 2008级数学与应用数学(2)班 学号： 200807110211 姓名：黎康乐 指导教师：陈志恩 完成时间： 2012年5月26日

浅谈中学数学中的反证法 摘要: 数学命题的证明分直接证法和间接证法两种．在间接证法中，最常见的是反证法．虽然平时我们接触了相关方面的知识，但比较零散，对其概念、应用步骤、使用范围等没有系统的认识，并且由于数学命题的多样性、复杂性，哪些命题适宜用反证法很难给出确切的回答.本课题通过查阅资料和自己在学习数学过程中的发现就中学数学中反证法的概念、反证法的逻辑依据、种类及步骤，解题过程中怎样由假设出发寻找矛盾、以及哪些类型的问题适宜从反证法出发进行证明的问题进行了归纳．并总结出在学习反证法的过程中应注意的三个方面，通过对以上提出的所有问题进行系统归纳，这有利于帮助学生系统的学习反证法，提高学生利用反证法进行解题的技巧从而达到预期效果. 关键词:反证法假设矛盾结论

Abstract:The mathematical proof points directly proofs proposition and indirect proof two. In indirect proof, the most common is required. Although peacetime we contact with the related knowledge, but is scattered, of the concept, application procedures, the scope of use of not understanding of the system, and the mathematical proposition the diversity and complexity, which is suitable for proposition is very difficult to give the exact with reduction to answer. This subject will be required in the middle school mathematics concept, apagoge is logical basis, types and steps, problem solving process of how a hypothesis of contradictions, and looking for what types of questions appropriate counter-evidence method from the proof of the set out on the induction. And summed up in the process of learning be should be paid attention in the three aspects, through all the questions put to the above system induce, this will help the students to learn the required system, improve the students use to problem solving skills required to achieve the expected effect. Key words:Counter-evidence method hypothesis contradiction conclusion

高中数学四大思想

高中数学四大思想 1.数形结合思想 数形结合，“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。 实质：将抽象的数学语言与直观图形结合起来；将抽象思维和形象思维结合起来。抽象问题具体化，复杂问题简单化。 应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化： （1）集合的运算及韦恩图； （2）函数及其图象； （3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象； （4）方程（多指二元方程）及方程的曲线. 以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法. 以数助形常用有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合. 2.分类讨论思想 分类讨论思想，即根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决. 原则：化整为零，各个击破。无重复、无遗漏、最简。 步骤： 1）明确讨论对象，确定对象范围； 2）确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏； 3）逐类讨论，获得阶段性结果； 4）归纳总结，得出结论。 常见的分类情形有：按数分类；按字母的取值范围分类；按事件的可能情况分类；按图形的位置特征分类等.

3.函数与方程思想 函数思想，即将所研究的问题借助建立函数关系式或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题； 方程思想，即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决. 运用函数与方程的思想时，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化，应做到： （1）深刻理解函数f(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质。 （2）密切注意一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式等问题；掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略。 4.转化与化归思想 转化与化归思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将，问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。 转化，是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程； 化归，是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题. 转化有等价转化与不等价转化。等价转化后的新问题与原问题实质是一样的；不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。 原则：化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化. 常见的转化有：正与反的转化、数与数的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化.

反证法在数学中的应用

论文 反证法在数学中的应用 开封县八里湾镇第一初级中学 杨继敏

反证法在数学中的应用 摘要反证法是数学教学中所涉及的基本论证方法,它为一些从正面入手,无法使已知条件和结论找出联系的问题，提供了一条解题途径，它通过给出合理的反设,来增加演绎推理的前提，从而使那种只依靠所给前提而变的山穷水尽的局面,有了柳暗花明又一村的境地,使学生看到增加演绎推理前提的方便功效。在过去的数学学习中,许多人拘泥于传统的推理方法，常常使问题复杂化,尽管最后能达到目的，但往往费时费力,因为数学的研究往往体现一种思维转换，我们可以用一种“换位”思想来处理我们日常遇到的数学问题。 【关键词: 逆向思维;假设；归谬;数学逻辑推理；矛盾；结论。】 １．引言 反证法是数学中一种重要的解题方法，对数学解题有着重要作用。其基本思想是通过求证对立面的不成立从而推出正面的正确。因为这种方法推理严密，说服性强，所以除了在数学中应用反证法,在实际生活中的应用也比较广泛。 在不同的数学情境下,反证法的前提假设不同。因此，在数学中应用反证法,一定要具体问题提出相应具体正确的假设。这就需要熟练掌握反证法的反设词，除此,还应熟记反证法的证题步骤——假设，归谬，结论。有关这个课题的研究,以及涉及到各种文章说明其步骤，适用范围，并附以大量例题。但对反证法在数学中的应用,文字讲解与反证法适宜的数学题型的归纳总结还欠缺。本文就基于这方面的考虑,根据反证法在数学中适宜的命题应用进行了详细的文字讲解及归纳总结。 2. 反证法初探 ２.1 反证法的含义及逻辑依据 含义:所谓反证法就是从反面证明命题的正确性，即欲证明“p则q”,则从反面推导出“若p非q”不能成立,从而证明“若p则ｑ”成立。它从否定结论出发,经过正确的严格推理,得到与已知（假设)或已成立的数学命题相矛盾的结果,从而验证产生矛盾的原因，推出原命题的结论不容否定的正确结论。

(完整版)高中数学四大思想方法

高中数学四大思想方法 ————读《什么是数学》笔记 《什么是数学》这本书是一本数学经典名著，它收集了许多闪光的数学珍品。它的目标之一是反击这样的思想："数学不是别的东西，而只是从定义和公理推导出来的一组结论，而这些定义和命题除了必须不矛盾外，可以由数学家根据他们的意志随意创造。"简言之，这本书想把真实的意义放回数学中去。但这是与物质现实非常不同的那种意义。数学对象的意义说的是"数学上'不加定义的对象'之间的相互关系以及它们所遵循的运算法则"。数学对象是什么并不重要，重要的是做了什么。这样，数学就艰难地徘徊在现实与非现实之间；它的意义不存在于形式的抽象中，也不存在于具体的实物中。对喜欢梳理概念的哲学家，这可能是个问题，但却是数学的巨大力量所在--我们称它为，所谓的"非现实的现实性"。数学联结了心灵感知的抽象世界和完全没有生命的真实的物质世界。我根据自己在数学方面的兴趣，基于已有的数学背景知识，选取一部分和高中有关的内容进行舒心愉快的阅读。重新总结了高中数学中的数学四大思想方法：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；函数与方程 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。 等价转化等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范

浅谈中学数学中的反证法

浅谈中学数学中的反证法 摘要：反证法在数学中是一种非常重要的间接证明方法，它被称为“数学家最精良的武器之一”，又称为归谬法、背理法。反证法不仅是一种论证方法，还是一种思维方式，对培养和提高学生的逻辑思维能力和创造性思维能力也有极其重要的作用，还能拓展学生的解题思路，从而使学生形成良好的数学思维。反证法在中学数学中有着广泛的应用，如今学生在运用反证法解题中，基础一般的学生会受到思维能力的限制，如果能恰当的使用反证法，在一些有难度的题目上也许能够得到解决。所以本文首先会叙述反证法的产生，具体阐述反证法的定义，即反证法的概念、分类、科学性，介绍反证法在中学数学中的应用并举例分析以及说明应用反证法要注意的问题。 关键词：反证法；中学数学；应用； On the Proof by Contradiction in Middle School Mathematics Abstract：Proof by contradiction is a very important indirect proof method in mathematics, it is called "one of the most sophisticated weapons of mathematicians", also known as reduction to absurdity, unreasonable method. Proof by contradiction is not only an argumentation method, but also a way of thinking. It plays an extremely important role in cultivating and improving students' logical thinking ability and creative thinking ability. It can also expand students' thinking of solving problems, so that students can form good mathematical thinking. Anyway, the method has been widely used in middle school mathematics. Nowadays, when students solve problems with the method of proof by contradiction, the students with general foundation are limited by their thinking ability. If the method of proof by contradiction can be used properly, they may be able to solve some difficult problems. Therefore, this paper will first describe the source of proof by contradiction, specifically elaborate the definition of proof by contradiction, that is, the concept, classification and logical basis of proof by contradiction, introduce the application of proof by contradiction in middle school mathematics and explain the problems to be noticed in the application of proof by contradiction. Keywords：proof by contradiction; Middle school mathematics; Application;

小学数学学科过程性评价方案

数学学科过程性评价方案 对于小学高效课堂，作为一名年轻教师来说，如何更好地把握教学、提高教学质量呢？在《新课程标准》对评价建议指出：评价的目的是为了全面了解学生的学习状况，激励学生的学习热情，促进学生的全面发展。对学生数学学习的评价指出：既要关注学生知识与技能的理解和掌握，更要关注他们情感与态度的形成和发展；既要关注学生数学学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展，注重学生的个性差异，保护学生的自尊心和自信心，评价的手段和形式要多样化，应以过程评价为主。 对此，我认为可以确立“关注学生生命历程”的数学教育理念（它不仅可以从关注学生的认知领域转变到生命领域，将数学学习的发展目标由知识层次提升到生命层次；它意味着在关注每个学生潜能优势发展的同时，还要培养他们终身学习数学的能力、方法、习惯和信念；也意味着数学教学过程不再是一个机械的、程式化的、严密的组织形式，而是一个洋溢着生命活力的、动态的、生命的流动和交触的过程，意味着数学对人的智慧生命和超越生命的高度重视），引导数学学生学习质量评价改革的深入。 一、明确数学学习质量评估的内容和标准。 《数学课程标准》在各个学段中安排了：“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个学习领域。课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应用意识与推理能力。 《小学数学课程标准》对学生学习提出的要求，在知识技能方面，要求“经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，掌握数与代数的基础

知识和基本技能，并能解决简单的问题”；在小学数学思考方面，要求“经历运用数字、字母、图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维”；在解决问题方面，要求“逐步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能来解决问题”；在情感与态度方面，要求“能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲”。 近年来，以“注重体现学生的学习过程的发展性，强调知识形成的综合性，应用多元化评价方式”为客观标准借鉴。受到普遍关注的质性评价方法—“学生成长记录袋”评价法的形式，建立一种简单易行的表格式评价法。结合教师评价、自我评价、同伴评价、家长评价的多主体评价方式，充分发挥学生的自主性，减少教师的工作量，避免形式化，清晰的反映学生的学习质量。 二、选择评估方法，设计评价工具。 (一)检测袋 1、目的要求：以学段的基础知识与基础技能目标为标准。通过检测，恰当的评估学生基础知识和基本技能理解和掌握程度，淡化检测的甄别、选拔、排名的功能，把检测作为查缺补漏和促进学生学习的环节。 2、方法：(1)卷面测试与口头测试相结合。(2) 结合教师评价、自我评价、家长评价的多主体评价方式。(3) 采用“推迟判断”，给予学生多次的考试机会。(4)在呈现评估结果时，采用了定性与定量相结合的方法。定量评价主要采用百分制或等级制的方式，不根据分数排名次；定性评价主要采用评语的形式，充分肯定学生的进步和发展，并帮助学生明确自己的不足和努力的方向。

初中数学《几何最值问题》典型例题

初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 轴 对 称 最 值 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直 线，P为直线l上的一 个动点，求AP+BP的 最小值 A，B为定点，l为定直线， MN为直线l上的一条动线 段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动 点，求|AP-BP|的最大值转化 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折， B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为． 【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD

中学数学中四种重要思想方法

中学数学中四种重要思想方法 一、函数方程思想 函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系,从而解决问题的一种思维方式,是很重要的数学思想. 1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来,并研究这些量间的相互制约关系,最后解决问题,这就是函数思想； 2.应用函数思想解题,确立变量之间的函数关系是一关键步骤,大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式,把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数,利用函数的相关知识解决问题；（3）方程思想：在某变化过程中,往往需要根据一些要求,确定某些变量的值,这时常常列出这些变量的方程或（方程组）,通过解方程（或方程组）求出它们,这就是方程思想； 3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念,它们之间相互渗透,很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决,很多函数的问题也需要用方程的方法的支援,函数与方程之间的辩证关系,形成了函数方程思想. 二、数形结合思想 数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一,对于所研究的代数问题,有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）；或者对于所研究的几何问题,可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决（以数助形）,这种解决问题的方法称之为数形结合. 1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性,发挥数的思路的规范性与严密性,两者相辅相成,扬长避短. 2.恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”.这就是说：数形结合是数学的本质特征,宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一.因此,数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂. 3.数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系,数量关系决定了几何图形的性质. 4.华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直观,形少数时难入微；数形结合百般好,隔裂分家万事非.”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系. 5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中,历年高考的解答题都有关于这个方面的考查（即用代数方法研究几何问题）.而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现. 6.我们要抓住以下几点数形结合的解题要领： (1) 对于研究距离、角或面积的问题,可直接从几何图形入手进行求解即可； (2) 对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题,可通过函数的图象求解（函数的零点,顶点是关键点）,作好知识的迁移与综合运用； (3) 对于以下类型的问题需要注意：可分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点及余弦定理进行转化达到解题目的. 三、分类讨论的数学思想 分类讨论是一种重要的数学思想方法,当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结果,最终综合各类结果得到整个问题的解答. 1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决,引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种： （1）涉及的数学概念是分类讨论的； （2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；

初中几何反证法专题

初中几何反证法专题 学习要求 了解反证法的意义，懂得什么是反证法。 理解反证法的基本思路，并掌握反证法的一般证题步骤。 知识讲解 证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提升推理论证的水平、探索新知识的水平都是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单介绍。 1．反证法的概念： 不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而 证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 2．反证法的基本思路： 首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下实行一系列 的准确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还能够是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还能够是从两个不同角度实行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。 3．反证法的一般步骤： (1)假设命题的结论不成立； (2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾； (3)由矛盾判定假设不准确，从而肯定命题的结论准确。

简来说之就是“反设－归谬－结论”三步曲。 相平分。 （1） 证明：假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非⊙O直径，可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。 ∵OA＝OB，M是AB中点 ∴OM⊥AB （等腰三角形底边上的中线垂直于底边） 同理可得： OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM 这与已知的定理相矛盾。 故AB与CD不能互相平分。 例2．已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点， 且MN＝（AD＋BC）。 求证：AD∥BC

最新小学数学综合评价方案

一年级数学综合评价方案 新一轮基础教育课程改革要求评价与考试方式必须改革。在评价与考试领域对学生发展性评价进行研究与实践，有利于推动课改向纵深发展，在课改的每一阶段为学生的发展提供充分的评价保障。 一、指导思想 《基础教育课程改革纲要（试行）》指出，要“建立促进发现和发展学生全面发展的体系。评价不仅要关注学生的学业成绩，而且要建立发现和发展学生多方面的潜能，了解学生发展中的要求，帮助学生认识自我，建立自信。发挥评价的教育功能，促进学生在原有水平上得到发展。”在这样的理念指导下，课程评价的功能已经发生转变，既重视学生评价中的个性化反应方式，又倡导学生在评价中学会合作。强调评价的真实性、情景性；评价不仅重视学生解决问题的结论，而且重视得出结论的过程。倡导建立评价主题多元、评价项目多种、评价方式多样的发展性评价体系。 二、评价目的 小学生综合评价既是为了考察学生达到教学目的的程度，更是为了检查和改进学生的学和教师的教，改善课程设计，完善教学过程，有效地促进学生发展。培养学生的综合素质，促进学生身心健康和知识能力的和谐发展，激发学生的创新精神，通过多元化评价，发挥评价的教育功能，完善教学过程，全面促进学生发展。 三、评价内容 学习习惯、课堂参与、数感、符号感、空间观念、统计观念、以及应用意识与推理能力、数学实践活动、期末测试。 学习过程评价，40%，（形成性评价20%；课堂参与10%；平时作业10%）；期末笔试60%。 四、评价办法 1、学习过程（40%）。 （1）它包括形成性测试评价20%，即数学的各单元测试成绩占综合评价的20%。数学每上一个单元教师都要及时检测，及时反馈。